Анализ хаотических и гиперхаотических режимов колебаний по точечным процессам на основе показателей Ляпунова тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат наук МОХАММАД Ясир Халаф Мохаммад

• МОХАММАД Ясир Халаф Мохаммад
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук МОХАММАД Ясир Халаф Мохаммад

Оглавление

Введение

1 Реконструкция динамических систем по точечным процессам

модели накопление-сброс

1.1 Восстановление входного сигнала по точечному процессу 20 модели накопление-сброс

1.2 Метод расчета показателей Ляпунова по восстановленному 24 входному сигналу

1.3 Результаты вычисления динамических характеристик 26 хаотического режима динамики по точечным процессам модели накопление-сброс

1.4 Пример применения метода расчета показателей Ляпунова по 52 точечным процессам для анализа экспериментальных данных

1.5 Заключение по 1 главе

2 Диагностика переходов «хаос - гиперхаос» по

последовательностям времен возврата в секущую Пуанкаре

2.1 Предварительные замечания

2.2 Вычисление показателей Ляпунова по временам возврата

2.3 Влияние выбора секущей плоскости и длины 77 последовательности времен возврата

2.4 Заключение по 2-й главе

3 Расчет старшего показателя Ляпунова хаотических режимов

колебаний по точечным процессам при наличии шума

3.1 Предварительные замечания

3.2 Особенности расчета старшего показателя Ляпунова по 85 точечным процессам при наличии шума

3.3 Результаты исследований

3.4 Заключение по 3-й главе

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ хаотических и гиперхаотических режимов колебаний по точечным процессам на основе показателей Ляпунова»

Введение

Для динамики многих систем в природе характерна генерация определенных повторяющихся событий; при этом именно моменты их появления являются носителями информации о режиме функционирования системы [1-9]. Последовательность соответствующих моментов времени tN удобно представить в виде набора точек на временной оси, что позволяет использовать терминологию точечных процессов, хорошо известных в статистической радиофизике [10-18]. К числу примеров таких процессов можно отнести моменты генерации одиночных импульсов пороговыми устройствами, когда входной сигнал превышает заданный уровень; моменты времени, в которые электроны вылетают из нагретого катода электронной лампы, приводя к появлению дробового шума анодного тока; процесс Пуассона и т.д. В динамике биологических систем примерами являются характерные осцилляторные паттерны, которые генерируются при эпилепсии, и «зажигания» отдельных нейронов [19-22]. Особый интерес точечные процессы вызывают в нейродинамике, когда анализируются события, соответствующие потенциалам действия нервных клеток или «спайкам» напряжения. Задача их исследования носит междисциплинарный характер. Применительно к радиофизике данная задача связана с изучением принципов кодирования информации нервными клетками и ансамблями нейронов.

К настоящему времени проведены обширные исследования процессов передачи информации, которая содержится в меняющемся во времени сигнале на входе сенсорного нейрона, выходными последовательностями спайков [23-26]. В работах [27, 28] была обоснована возможность восстановления входных стимулов по точечным процессам, генерируемым нейронами. Однако менее понятно, каким образом характерные свойства нейронов влияют на соответствующую передачу информации. Эти свойства

включают временное интегрирование, расстояние от потенциала покоя до порогового уровня, тип порога, пейсмекерную активность и т.д. Понимание данного влияния могло бы способствовать установлению общих принципов обработки информации нейронными ансамблями, применимыми для разных классов нейронов, как сенсорных, так и нервных клеток других типов.

С точки зрения теории динамических систем, эволюция во времени переменных, характеризующих состояние нейрона (мембранный потенциал, ионная проводимость и другие), за счет наличия порогового уровня отображается в точечный процесс (последовательность времен генерации спайков) и характеризуется такими величинами, как межспайковые (или межимпульсные) интервалы (МИ). При некоторых условиях МИ можно представить в качестве новой переменной состояния, которая позволяет охарактеризовать временную динамику нейрона. В частности, в серии работ [29-46] обсуждалась задача преобразования входного хаотического сигнала в выходную последовательность спайков с помощью различных моделей пороговых устройств. При этом рассматривалась возможность реконструкции хаотического аттрактора [47-68] на входе порогового устройства по выходному точечному процессу и обобщения на этот случай теоремы Такенса [48], доказанной для динамических систем с дискретным и с непрерывным временем. Применительно к точечному процессу данная реконструкция могла бы осуществляться, например, путем применения метода задержки к последовательности МИ.

Такие рассуждения послужили начальной идеей одной из ключевых работ по рассматриваемой теме [29], в которой на примере простейшей модели нейрона «накопление-сброс» (НС) (в зарубежной литературе используется название ííintegrate-and-fire", в дословном переводе "интегрируй и стреляй") было показано, что применение традиционного метода задержки к последовательности МИ действительно позволяет осуществить реконструкцию хаотического аттрактора, соответствующего

сигналу на входе. Таким образом, для простейшей динамики нейрона была строго обоснована возможность восстановления аттрактора и расчета его метрических и динамических характеристик по точечному процессу.

Основываясь на полученных строгих математических результатах, таких как теорема Зауэра [29], являющаяся обобщением классической теоремы Такенса на случай точечных процессов, в последующих исследованиях осуществлялись попытки расширить и обобщить основные выводы статьи [29] на более сложные нейронные модели, чтобы выявить границы применимости методов реконструкции и понять, какое влияние на реконструкцию оказывают различия между нейронами разных типов, отличающихся по таким параметрам как потенциал покоя, пороговый уровень, пейсмекерная активность, амплитуда входного сигнала, рефрактерность. В частности, в работе [32] были рассмотрены четыре нейронных модели, представляющих модификации стандартной модели НС, каждая из которых позволяет учитывать одну или несколько перечисленных характерных особенностей нейрона. С использованием количественных критериев, применяемых в нелинейной динамике и характеризующих сложную геометрию и предсказуемость хаотических процессов, было изучено влияние этих особенностей на реконструкцию аттрактора, соответствующего входному сигналу.

Основной вывод работы [32] состоял в том, что для трех исследуемых модифицированных моделей НС было установлено соответствие между аттракторами, восстановленными по входному и выходному сигналам, но это соответствие наблюдается только при высокой частоте генерации спайков и в том случае, когда «зажигания» нейрона происходят в широком диапазоне амплитуд входного сигнала. Если эти условия выполняются, существует однозначная взаимосвязь между входной и выходной динамикой нейронной модели, и входной сигнал может быть восстановлен путем нелинейного преобразования выходного процесса. Было установлено, что реконструкция

аттрактора является значительно более чувствительной к средней частоте генерации импульсов, чем к распределению МИ. С точки зрения теории динамических систем это означает, что амплитуда входного сигнала является более важным параметром, чем степень хаотичности, так как при малой амплитуде, приводящей к редким спайкам, может быть потеряна информация о входной динамике, и не будет выполняться однозначное соответствие между входом и выходом нейронной модели. Степень хаотичности влияет в меньшей степени, и провести реконструкцию можно как для режимов слабого (фазо-когерентного хаоса), так и для режимов развитого хаоса, для которых отсутствует четко выраженная базовая частота в спектре мощности. При низкой частоте генерации спайков, когда МИ превышают время предсказуемости динамики, или если сама динамика не позволяет осуществить гладкое обратимое отображение между аттракторами, соответствующими процессам на входе и выходе нейронной модели, информация будет потеряна. Таким образом, установлено, что информацию о динамике на входе нейронной модели трудно восстановить при низкой частоте генерации, и этот вывод может быть обобщен на динамические системы разных типов, генерирующие характерные повторяющиеся события.

Вывод о необходимости рассмотрения высокой частоты генерации спайков моделью НС непосредственно следует из теоремы Зауэра [29], доказательство которой было получено именно в этом приближении. Однако не приводится критерия, насколько высокой должны быть частота генерации, и каковы границы применимости метода реконструкции аттрактора по точечному процессу НС-модели. В ходе численных исследований, выполненных в статье [41], было установлено, что для систем со слабым (фазо-когерентным) хаосом, когда можно ввести в рассмотрение величину базового периода колебаний, средний МИ не должен превышать 1/4 этого периода. Соответствующие оценки были проведены для разных источников хаотических колебаний на входе НС-модели, позволив ввести

количественный критерий, который может использоваться для проверки качества реконструкции.

Более сложной является задача реконструкции аттрактора по точечному процессу модели «пересечение порога» (ПП), в рамках которой генерация спайков проводится при превышении сигналом порогового значения. Этот вариант модели нейронной активности имеет тесную аналогию с введением секущей Пуанкаре для аттрактора динамической системы. Особенностью подхода является задание секущей плоскости в виде х() = ©, где х ) - динамическая переменная, то есть ограниченный выбор уравнения секущей плоскости (тогда как для хаотического аттрактора в теории колебаний секущая поверхность может задаваться произвольным образом, при условии, что все фазовые траектории пересекают ее трансверсально). Еще одной из особенностей является то, что пороговый уровень 0 может быть задан большим, и в течение некоторых осцилляций сигнала х) пересечения данного уровня не будет происходить. С точки зрения теории динамических систем это означает, что секущая Пуанкаре задана некорректно (то есть введенная плоскость не является секущей Пуанкаре). С точки зрения нейронной модели ситуация не столь однозначна. Если рассмотреть задачу о динамике модели ПП с порогом 0, на вход которой поступает хаотический сигнал, то в зависимости от амплитуды данного сигнала в выходном точечном процессе отражаются сведения либо обо всех осцилляциях, либо только о какой-то части. И для того, чтобы охарактеризовать входной сигнал, важно извлечь максимально возможную информацию о нем по имеющимся данным. В связи с этим задача определения характеристик сигнала на входе нейронной модели остается актуальной даже при некорректном задании секущей Пуанкаре, и для ее рассмотрения целесообразно использовать терминологию точечных процессов ПП-модели, а не времен возврата в секущую Пуанкаре, чтобы избежать необходимости ограничивать диапазон пороговых уровней. Если

же априори задается условие сравнительно малых пороговых уровней, то допустимо применять терминологию времен возврата наряду с точечными процессами ПП-модели.

Возможность проведения реконструкции по временам возврата обсуждалась в ряде публикаций [35, 41, 44]. С одной стороны, было отмечено сходство фазовых портретов аттракторов, реконструированных по временам возврата, с множествами точек в сечении Пуанкаре хаотического режима динамики на входе модели ПП. Кроме того, расчеты метрических характеристик, например, корреляционной размерности, подтверждают сходство геометрической структуры данных множеств. С другой стороны, отсутствуют строгие математические результаты, которые могли бы служить доказательством реконструкции динамической системы. В работе [36] был предложен подход, позволяющий предложить приближенное обоснование возможности восстановления аттрактора по временам возврата. В основе данного подхода была рассмотрена идея восстановления усредненной мгновенной частоты хаотических колебаний [69-72]. Формально, переход к мгновенной частоте сохраняет метрические и динамические характеристики хаотических режимов колебаний. Сложность анализа времен возврата состоит в том, что они позволяют оперировать только с усредненной мгновенной частотой, и время усреднение (то есть размер временного окна, в пределах которого проводится усреднение) меняется во времени. Тем не менее, полученная зависимость позволяет проводить расчеты фрактальных размерностей аттракторов и показателей Ляпунова [73-86]. В частности, расчеты старшего показателя Ляпунова по временам возврата могут быть выполнены с хорошей точностью (с ошибкой, не превышающей 10% - 15%), что соответствует допустимой погрешности метода расчета показателей Ляпунова по временным рядам [75]. Более того, было установлено [41], что если часть фазовых траекторий будет пропущена (некорректное задание секущей Пуанкаре хаотического аттрактора или большой пороговый уровень

для модели ПП), то старший ляпуновский показатель по-прежнему может быть вычислен, если только средний МИ модели ПП не превышает время предсказуемости [87-89], в качестве количественной оценки которого может быть выбрана величина, обратная старшему показателю Ляпунова.

Метод [75] позволяет проводить расчеты двух старших показателей, в связи с чем были проведены исследования, направленные на диагностику гиперхаотических режимов автоколебаний по точечным процессам. Эти исследования не позволили сделать однозначный вывод о возможности корректной оценки показателей Ляпунова по последовательностям времен возврата. Было показано [44], что если для связанных автоколебательных систем рассматривается секущая плоскость вида х] () = в, то

соответствующие последовательности времен возврата позволяют вычислить только старший показатель Ляпунова, а второй показатель определяется неправильно (получается нулевое значение в режиме гиперхаоса). Для диагностики переходов между хаотическими и гиперхаотическими режимами в этом случае необходимо использовать, по крайней мере, две последовательности времен возврата в разные секущие плоскости [44]. В исследованиях [90-92] рассмотрены другие варианты диагностики переходов «хаос-гиперхаос» по временным рядам, но они требуют большей статистики времен возврата, необходимой для аппроксимации распределений последовательностей МИ.

Несмотря на многочисленные исследования и большое количество результатов, полученных как численно, так и аналитически, многие аспекты проблемы реконструкции динамических систем по точечным процессам изучены недостаточно детально. Мало изучен вопрос о границах применимости теоремы Зауэра при низкой частоте генерации спайков. Из общих соображений можно ожидать увеличение погрешности вычисления характеристик хаотических режимов автоколебаний и ошибочную диагностику режимов с одним и двумя положительными показателями

Ляпунова. Детальное исследование границ применимости метода реконструкции позволило бы перейти к количественным критериям, позволяющим судить о качестве реконструкции. Недостаточно внимания уделено проблеме верификации результатов численных исследований - если метод [75] приводит к ложной диагностике режимов, при которой хаотический процесс идентифицируется как гиперхаотический и наоборот, то можно ли осуществить дополнительную проверку, которая позволила бы убедиться в достоверности сделанных выводов?

Нет достаточной ясности в эффективности оценок динамических характеристик сложных режимов колебаний по точечным процессам при рассмотрении режимов развитого хаоса, характеризующихся большими значениями показателей Ляпунова. Не получен однозначный ответ на вопрос о возможности диагностики переходов «хаос-гиперхаос» по одной последовательности времен возврата в секущую Пуанкаре и проведения расчетов двух положительных показателей Ляпунова по точечным процессам при условии малого объема выборки. Почти не изучены границы применимости методов реконструкции при вычислении второго показателя Ляпунова по точечным процессам. Не рассмотрена проблема влияния артефактов на качество определения характеристик входной динамики.

Не проведено изучения влияния флуктуаций во входном сигнале на решение задачи реконструкции динамических систем по точечным процессам. Несмотря на то, что стандартный алгоритм расчета показателей Ляпунова [75] предусматривает возможность введения порогового значения, устраняющего дополнительное разбегание траекторий в реконструированном фазовом пространстве за счет наличия аддитивных флуктуаций (так называемого измерительного шума), верификация результатов вычислений динамических характеристик зашумленных точечных процессов остается неизученной задачей. Ее решение осложняется также тем, что оценка уровня шума, присутствующего в экспериментальных данных, остается сложной

проблемой для точечных процессов, так как применение методов спектрального анализа для определения отношения сигнал/шум часто не позволяет надежно разделить спектр флуктуаций и спектр информационного сигнала. Проведение более детальных исследований, направленных на решение проблемы реконструкции динамических систем по точечным процессам, определяет актуальность диссертационной работы.

Цель диссертационной работы состоит в выявлении возможностей и ограничений анализа сложных режимов колебаний по точечным процессам на основе показателей Ляпунова и развитии подходов, позволяющих повысить точность их вычисления.

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие основные задачи:

1. Установить границы применимости реконструкции динамических систем по точечным процессам модели «накопление-сброс» при уменьшении частоты генерации импульсов. Выявить возможности повышения надежности расчета показателей Ляпунова по выходной последовательности межимпульсных интервалов.

2. Изучить возможность диагностики гиперхаотических режимов автоколебаний по последовательностям времен возврата в секущую Пуанкаре. Исследовать влияние объема выборки и способа задания секущей плоскости на надежность диагностики переходов «хаос -гиперхаос».

3. Изучить вопрос о влиянии аддитивного шума на расчет показателей Ляпунова хаотических режимов колебаний по точечным процессам. Разработать метод анализа надежности проводимых оценок для зашумленных точечных процессов.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Продемонстрирована возможность диагностики режимов гиперхаотических колебаний по последовательности времен

возврата в секущую Пуанкаре при наличии небольшого объема выборки (300-500 отсчетов).

2. Предложен критерий достоверности оценки старшего показателя Ляпунова хаотического режима колебаний по зашумленным точечным процессам.

3. Установлены закономерности зависимости величины старшего показателя Ляпунова от задания верхней границы линейного приближения.

4. Продемонстрированы принципиальные различия точности вычисления первого и второго показателей Ляпунова по последовательностям времен возврата хаотических и гиперхаотических режимов колебаний в зависимости от задания секущей Пуанкаре.

Научно-практическое значение результатов работы:

1. Предложенная модернизация метода расчета показателей Ляпунова по последовательностям времен возврата позволяет повысить надежность идентификации динамического режима и избежать ошибочной идентификации, вызванной наличием артефактов.

2. Разработанная модификация метода расчета показателей Ляпунова, предусматривающая построение зависимости оцениваемой величины от ошибки ориентации, позволяет расширить возможности диагностики хаотических режимов колебаний по зашумленным процессам и предложить критерии достоверности вычисления количественных мер предсказуемости экспериментальных данных.

3. Результаты диссертации могут применяться в учебном процессе при подготовке студентов радиофизических специальностей. В настоящее время результаты используются в лабораторной работе «Анализ точечных процессов» спецпрактикума для студентов

магистратуры физического факультета Саратовского государственного университета.

Достоверность научных выводов работы базируется на применении апробированных методов анализа структуры сигналов, устойчивости применяемых алгоритмов к изменениям параметров счета, непротиворечивости результатов и выводов диссертационной работы известным теоретическим представлениям.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Верхняя граница линейного приближения при расчете старшего показателя Ляпунова по точечным процессам модели «накопление-сброс» является наиболее важным параметром, влияющим на точность проводимых расчетов, по сравнению с параметрами реконструкции, такими как временная задержка и размерность пространства вложения. Наибольшая точность расчетов достигается в малой окрестности максимума зависимости оцениваемого старшего показателя Ляпунова от верхней границы линейного приближения.

2. Режим гиперхаоса в динамике связанных автоколебательных систем диагностируется по последовательностям времен возврата в секущую Пуанкаре, составляющим несколько сотен отсчетов, если уравнение секущей плоскости задано таким образом, что соответствующие последовательности времен возврата отражают сопоставимый вклад динамики каждой системы. Наличие близких значений положительных показателей Ляпунова приводит к недооценке второго показателя, но не препятствует диагностике переходов между хаотическими и гиперхаотическими режимами динамики при изменении управляющих параметров.

3. Наличие максимума зависимости оцениваемого старшего показателя Ляпунова от допустимой ошибки ориентации векторов

при проведении перенормировок вектора возмущения в реконструированном фазовом пространстве является индикатором корректности проводимых расчетов. Изменение наклона этой зависимости в области больших ошибок ориентации позволяет диагностировать наличие шума в точечном процессе при условии высокой частоты преобразования входного аналогового сигнала в выходную последовательность импульсов.

Апробация работы и публикации. Материалы диссертации были представлены на международных научных конференциях: «Dynamics and Fluctuations in Biomedical Photonics XIII» (Сан-Хосе, США, 2016), «Saratov Fall Meeting» (Саратов, СГУ, 2015), Всероссийской молодежной конференции «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине» (Саратов, СГУ, 2014, 2015), 5-й научно-практической конференции "Presenting Academic Achievements to the World" (Саратов, СГУ, 2014). Результаты диссертации обсуждались на научных семинарах кафедры радиофизики и нелинейной динамики Саратовского государственного университета и Потсдамского института исследований влияния климата (Германия).

По теме диссертации опубликовано 8 работ: 5 статей в журналах, входящих в перечень ВАК РФ или в перечень изданий, включенных в международные системы Scopus и Web of Science, и 3 статьи в сборниках трудов конференций. Результаты работы использовались при выполнении гранта Российского научного фонда № 14-12-00224.

Личный вклад автора. Результаты исследований, представленные в диссертации, были получены лично автором. Автором проводились численные исследования на основе методов реконструкции динамических систем. Объяснения полученных результатов и подготовка научных статей были проведены совместно с соавторами и научным руководителем.

Структура и объем диссертации. Диссертация включает введение, три главы, в которых обсуждается основное содержание работы, заключение и список цитированной литературы, содержащий 133 источника, изложена на 121 странице, содержит 41 рисунок.

Во введении обсуждается актуальность темы диссертации, приводятся формулировки цели и задач выполненного исследования, изложены научная новизна и научно-практическое значение результатов диссертации, сформулированы положения и результаты, выносимые на защиту.

В первой главе диссертации решается задача реконструкции динамических систем по точечным процессам, которые регистрируются на выходе модели «накопление-сброс». Рассматривается проблема оценки динамических характеристик хаотических режимов автоколебаний на входе данной модели по последовательности МИ. Анализируются возможности и ограничения метода реконструкции в зависимости от параметров модели, в частности, от частоты генерации импульсов. Предложен метод повышения точности расчета старшего показателя Ляпунова, основанный на построении зависимости оцениваемой величины от максимального расстояния между точками в фазовом пространстве, которое задает границы линейного приближения.

В разделе 1.1 рассматривается общая постановка задачи о восстановлении входного сигнала по точечному процессу НС-модели. Обсуждаются ограничения реконструкции аттрактора динамической системы при низкой частоте генерации импульсов. Отмечается, что отсутствие сведений о пороговом значении не препятствует решению данной задачи.

В разделе 1.2 описан общий принцип вычисления двух максимальных показателей Ляпунова по восстановленному сигналу. Дискутируются различные варианты перенормировок векторов в фазовом пространстве, позволяющие повысить точность расчетов. Представлены краткие сведения о способе вычисления второго показателя.

В разделе 1.3 приведены основные результаты расчета динамических характеристик режимов хаотических автоколебаний по последовательностям МИ модели НС. В качестве базовой системы, генерирующей хаотические автоколебания, выбрана система Ресслера. Показано, что если средний МИ превышает 1/4 базового периода автоколебаний, то наряду с недооценкой старшего показателя Ляпунова происходит ошибочное определение второго показателя (вычисляется положительная величина вместо нулевого значения), что приводит к ложной интерпретации хаотического режима колебаний как гиперхаотического. Показано, что результаты вычислений незначительно зависят от стандартных параметров реконструкции (задержки, размерности пространства вложения), если их выбор проводится на основе достаточно общих рекомендаций. При этом наблюдается существенная зависимость вычисляемых величин от задания границ экспоненциального разбегания траекторий. Обсуждаются пути повышения надежности вычислений. Показано, что достоверная диагностика режима динамики может быть проведена по сравнительно небольшой выборке. Достоверность сделанных выводов подтверждена в ходе рассмотрения других базовых моделей систем с хаотическим поведением: системы Лоренца и генератора с инерционной нелинейностью.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук МОХАММАД Ясир Халаф Мохаммад, 2016 год

Список литературы

[1] Lasota, A. The statistical dynamics of recurrent biological events / A. Lasota, M. C. Mackey, J. Tyrcha // J. Math. Biol. - 1992. - Vol. 30. - P. 775-800.

[2] Norsworthy, S. R. Delta-sigma data converters - theory, design and simulation / S. R. Norsworthy, R. Schreier, G. C. Temes. - New York: IEEE Press, 1997.

[3] Sayers, B. McA. Inferring significance from biological signals / B. McA. Sayers // Biomedical Engineering Systems ; ed. by M. Clynes, J. Milsum. -New York: McGraw-Hill, 1970. - Ch. 4. - P. 84-164.

[4] Babu, G. J. Spatial point processes in astronomy / G. J. Babu, E. D. Feigelson // Journal of Statistical Planning and Inference. - 1996. - Vol. 50(3). - P. 311-326.

[5] Thompson, H. Spatial point processes, with applications to ecology / H. Thompson // Biometrika. - 1955. - Vol. 42(1/2). - P. 102-115.

[6] Bertero, M. Image deblurring with poisson data: from cells to galaxies / M. Bertero, P. Boccacci, G. Desidera, G. Vicidomini // Inverse Problems. -2009. - Vol. 25(12). - P. 123006.

[7] Grimmett, G. Probability and random processes / G. Grimmett, D. Stirzaker.

- Oxford: Oxford University Press, 2001.

[8] Barbour, A. D. Stein's method and point process approximation / A. D. Barbour, T. C. Brown // Stochastic Processes and their Applications. - 1992.

- Vol. 43(1). - P. 9-31.

[9] Schuhmacher, D. Distance estimates for poisson process approximations of dependent thinning / D. Schuhmacher // Electronic Journal of Probability. -2005. - Vol. 10. - P. 165-201.

[10] Тихонов, В. И. Марковские процессы / В. И. Тихонов, М. А. Миронов.

- М.: Сов .радио, 1977.

[11] Daley, D. J. An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume I: Elementary Theory and Methods / D. J. Daley, D. Vere-Jones. - Berlin: Springer, 2003.

[12] Daley, D. J. An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure / D. J. Daley, D. Vere-Jones. - Berlin: Springer, 2007.

[13] Diggle, P. Statistical Analysis of Spatial Point Patterns, 2nd edition / P. Diggle. - London: Arnold, 2003.

[14] Last, G. Marked Point Processes on the Real Line: The Dynamic Approach. Probability and its Applications / G. Last, A. Brandt. - New York: Springer, 1995.

[15] Cox, D. R. Point Processes / D. R. Cox, V. I. Isham. - New York: Chapman & Hall, 1980.

[16] Ross, S. M. Stochastic Processes / S. M. Ross. - New Jersey: Wiley, 1996.

[17] Snyder, D. L. Random Point Processes in Time and Space / D. L. Snyder, M. I. Miller. - Berlin: Springer-Verlag, 1991.

[18] Kingman, J. F. C. Poisson Processes. Vol. 3 / J. F. C. Kingman. - Oxford: Oxford University Press, 1992.

[19] Holden, A. V. Models of the Stochastic Activity of Neurones / A. V. Holden // Lecture Notes in Biomathematics. - Berlin: Springer, 1976. - Vol. 12.

[20] Brown, E. N. Multiple neural spike train data analysis: state-of-the-art and future challenges / E. N. Brown, R. E. Kass, P. P. Mitra // Nature Neuroscience. - 2004. - Vol. 7. - P. 456-461.

[21] Rinzel, J. Electrical excitability of cells, theory and experiment: Review of the Hodgkin-Huxley foundation and an update / J. Rinzel // Bull. Math. Biol. - 1990. - Vol. 52. - P. 5-23.

[22] Hramov, A. E. Wavelets in Neuroscience / A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, V. A. Makarov, A. N. Pavlov, E. Sitnikova. -Berlin, Heidelberg: Springer, 2015.

[23] Tuckwell, H. C. Introduction to theoretical neurobiology / H. C. Tuckwell. -Cambridge: Cambridge University Press, 1988.

[24] Tuckwell, H. C. Stochastic Processes in the Neurosciences / H. C. Tuckwell.

- Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1989.

[25] Eckhorn, R. Efficiency of different neuronal codes: Information transfer calculations for three different neuronal systems / R. Eckhorn, O.-J. Grosser, J. Kroller, K. Pellnitz, B. Popel // Biol. Cybern. - 1976. - Vol. 22.

- P.49-60.

[26] Abbott, L. F. Decoding neuronal firing and modelling neural networks / L. F. Abbott // Quart. Rev. Biophys. - 1994. - Vol. 27. - P. 291-331.

[27] Bialek, W. Reading a neural code / W. Bialek, F. Rieke, R. R. De Ruyter van Steveninck, D. Warland // Science. - 1991. - Vol. 252. - P. 1854-1857.

[28] Gabbiani, F. Coding of time-varying signals in spike trains of integrate-and-fire neurons with random threshold / F. Gabbiani, C. Koch // Neural Comput. - 1996. - Vol. 8, №1. - P. 44-66.

[29] Sauer, ^ Reconstruction of dynamical system from interspike intervals / T. Sauer // Phys. Rev. Lett. - 1994. - Vol. 72. - P. 3911-3914.

[30] Sauer, T. Interspike interval embedding of chaotic signals / T. Sauer // Chaos. - 1995. - Vol. 5. - P. 127-132.

[31] Sauer T. Reconstruction of integrate-and-fire dynamics / T. Sauer // Nonlinear dynamics and time series; ed. by Culter C., Kaplan D. - 1997. -Vol. 11. - P. 63-75.

[32] Racicot, D. M. Interspike interval attractors from chaotically driven neuron models / D. M. Racicot, A. Longtin // Physica D. - 1997. - Vol. 104. - P. 184-204.

[33] Castro, R. Chaotic stochastic resonance: noise-enhanced reconstruction of attractor / R. Castro, T. Sauer // Phys. Rev. Lett. - 1997. - Vol. 79. - P. 1030-1033.

[34] Castro, R. Correlation dimension of attractors through interspike intervals / R. Castro, T. Sauer // Phys. Rev. E. - 1997. - Vol. 55. - P. 287-290.

[35] Hegger, R. Embedding of sequence of time intervals / R. Hegger, H. Kantz // Europhysics Letters. - 1997. - Vol. 38. - P. 267-272.

[36] Janson, N. B. Reconstruction of dynamical and geometrical properties of chaotic attractors from threshold-crossing interspike intervals / N. B. Janson, A. N. Pavlov, A. B. Neiman, V. S. Anishchenko // Phys. Rev. E. -1998. - Vol. 58. - P. R4-R7.

[37] Anishchenko, V. S. Computing Lyapunov exponents from RR-intervals / V. S. Anishchenko, A. N. Pavlov, N. B. Janson // Proceedings of NOLTA'98. -1998. - Vol. 1. - P. 175-178.

[38] Castro, R. Reconstructing chaotic dynamics through spike filters / R. Castro, T. Sauer // Phys. Rev. E. - 1999. - Vol. 59. - P. 2911-2917.

[39] Pavlov, А. N. Extracting dynamics from return times / A. N. Pavlov, E. Mosekilde, V. S. Anishchenko // Stochaos: stochastic and chaotic dynamics in the lakes, AIP Conf. Proc. ; ed. by Broomhead D. S., Luchinskaya E. A., McClintock P. V. E., Mullin T. - 1999. - № 502. - P. 611-616.

[40] Павлов, A. H. Вычисление старшего ляпуновского показателя по последовательности времен возврата: возможности и ограничения / А. Н. Павлов, B.C. Анищенко // Изв. вузов, Прикладная нелинейная динамика. - 1999. - Т. 7, № 4. - С. 59-74.

[41] Pavlov, А. N. Extracting dynamics from threshold-crossing interspike intervals: possibilities and limitations / A. N. Pavlov, О. V. Sosnovtseva, E. Mosekilde, V. S. Anishchenko // Phys. Rev. E. - 2000. - Vol. 61, № 5. P. 5033-5044.

[42] Павлов, A. H. Определение динамических характеристик хаотических колебаний при анализе точечных процессов / А. Н. Павлов, B.C. Анищенко // Письма в ЖТФ. - 2000. - Т. 26, вып. 15. - С. 58-64.

[43] Pavlov, А. N. Interspike and interburst intervals: Nonlinear dynamics approach / A. N. Pavlov, E. V. Silantyeva, E. S. Sofyma, V. S. Anishchenko // Control of oscillations and chaos (COC'2000), Proc. of the Int. Conf. ; ed. by Chernousko F. L., Fradkov A. L. - 2000. - Vol. 3. _ p. 445 448.

[44] Pavlov, A. N. Chaotic dynamics from interspike intervals / A. N. Pavlov, О. V. Sosnovtseva, E. Mosekilde, V. S. Anishchenko // Phys. Rev. E. - 2001. -Vol. 63, No. 3. - P. 036205.

[45] Pavlov, A. N. Return times dynamics: role of the Poincare section in numerical analysis / A. N. Pavlov, D. V. Dumsky // Chaos, Solitons and Fractals. - 2003. - Vol. 18. - P. 795-801.

[46] Павлов, А. Н. Динамика времен возврата в зависимости от выбора секущей Пуанкаре / А. Н. Павлов, Д. В. Думский // Изв. вузов, Прикладная нелинейная динамика. - 2003. - Т. 11, № 6. - С. 65-74.

[47] Packard, N. H. Geometry from a time series / N. H. Packard, J. R. Crutchfield, J. D. Farmer, R. S. Shaw // Phys. Rev. Lett. - 1980. -Vol. 45. -P. 712-716.

[48] Takens F. Detecting strange attractors in turbulence / F. Takens // Dynamical systems and turbulence ; ed. by Rang D., Young L. S. - 1980. -Vol. 898. - P. 366-381.

[49] Sauer, T. Embedology / T. Sauer, J. A. Yorke, M. Casdagli // J. Statistical Physics. - 1991. -Vol. 65. - P. 579-616.

[50] Grassberger, P. Generalized dimensions of strange attractors / P. Grassberger // Phys. Lett. A. - 1983. - Vol. 97. - P. 227-230.

[51] Grassberger, P. Measuring the strangeness of strange attractors / P. Grassberger, I. Procaccia // Physica D. - 1983. - Vol. 9. - P. 189-208.

[52] Kantz, H. Nonlinear Time Series Analysis / H. Kantz, T. Schreiber. -Cambridge: Cambridge University Press, 1997.

[53] Hentschel, H. G. The infinite number of generalized dimensions of fractals and strange attractors / H. G. Hentschel, I. Procaccia // Physica D. - 1983. -Vol. 8. - P. 435-444.

[54] Grassberger, P. Characterization of strange attractors / P. Grassberger, I. Procaccia // Phys. Rev. Lett. - 1983. - Vol. 50. - P. 346-349.

[55] Abarbanel, H. Analysis of Observed Chaotic Data / H. Abarbanel. - New York: Springer-Verlag, 1996.

[56] Eckmann, J.-P. Ergodic theory of chaos and strange attractors / J.-P. Eckmann, D. Ruelle // Reviews of Modern Physics. - 1985. - Vol. 57. - P. 617-652.

[57] Fraser, A. M. Independent coordinates for strange attractors from mutual information / A. M. Fraser, H. L. Swinney //Physical Review A. - 1986. -Vol. 33. - P. 1134-1140.

[58] Pecora, L. M. A unified approach to attractor reconstruction / L. M. Pecora, L. Moniz, J. Nichols, T. L. Carroll // Chaos. - 2007. - Vol. 17. - P. 013110.

[59] Crutchfield, J. P. Inferring statistical complexity / J. P. Crutchfield, K. Young // Physical Review Letters. - 1989. - Vol. 63. - P. 105-108.

[60] Judd, K. Chaotic-time-series reconstruction by the Bayesian paradigm: Right results by wrong methods / K. Judd // Physical Review E. - 2003. -Vol. 67. - P. 026212.

[61] Stark, J. Takens embedding theorems for forced and stochastic systems / J. Stark, D. S. Broomhead, M. E. Davies, J. Huke // Nonlinear Analysis. -1997. - Vol. 30. - P. 5303-5314.

[62] Gribkov, D. A. Global dynamical modeling of time series and application to restoration of broadband signal characteristics / D. A. Gribkov, V. V. Gribkova, Yu. I. Kuznetsov, A. G. Rzhanov // Chaotic, fractal and nonlinear signal processing ; ed. by Katz R. A. - 1995. - P. 181-190.

[63] Грибков, Д. А. Восстановление внешнего воздействия по реализации одной переменной автостохастической системы / Д. А. Грибков, B. B.

Грибкова, Ю. И. Кузнецов // Вестн. Моск. ун-та. Физика, Астрономия.

- 1995. - Т. 36, № 1. - C. 76-78.

[64] Bezruchko B. P. Constructing nonutonomous differential equations from experimental time series / B. P. Bezruchko, D. A. Smirnov // Phys. Rev. E. -2001. - Vol. 63. - P. 016207.

[65] Безручко, Б. П. Реконструкция моделей неавтономных систем с дискретным спектром воздействия / Б. П. Безручко, Д. А. Смирнов, И.

B. Сысоев, Е. П. Селезнев // Письма в ЖТФ. - 2003. - Т. 29, вып. 19. -

C. 69-76.

[66] Stark, J. Delay embeddings of forced systems I: Deterministic forcing / J. Stark // J. Nonlinear Sci. - 1999. - Vol. 9. - P. 255-332.

[67] Sugihara, G. Nonlinear forecasting for the classification of natural time series / G. Sugihara // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. - 1994. - Vol. 348. - P. 477-495.

[68] Katok, A. Introduction to the modern theory of dynamical systems / A. Katok, B. Hasselblat. - Cambridge: Cambridge University Press, 1995.

[69] Вайнштейн, Л. А. Разделение частот в теории колебаний и волн / Л. А. Вайнштейн, Д. Е. Вакман. - М.: Наука, 1983.

[70] Бендат, Дж. Прикладной анализ случайных данных / Дж. Бендат, А. Пирсол. - М.: Мир, 1989.

[71] Отнес, Р. Прикладной анализ временных рядов / Р. Отнес, Л. Эноксон.

- М.: Мир, 1982.

[72] Хованова, И. А. Методы анализа временных рядов / И. А. Хованова, И. А. Хованов. - Саратов: ГосУНЦ "Колледж", 2001.

[73] Benettin, G. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for hamiltonian systems; a method for computing all of them / G. Benettin, L. Galgani, A. Giorgilli, J. M. Strelcyn // Meccanica. - 1980. -Vol. 15. - P. 9-20.

[74] Shimada, I. A numerical approach to ergodic problem of dissipative dynamical system / I. Shimada, T. Nagashima // Progr. Theor. Phys. - 1979. - Vol. 61. - P. 1605-1616.

[75] Wolf, A. Determining Lyapunov exponents from a time series / A. Wolf, J. B. Swift, H. L. Swinney, J. A. Vastano // Physica D. - 1985. - Vol. 16. - P. 285-317.

[76] Sano, M. Measurement of the Lyapunov spectrum from a chaotic time series / M. Sano, Y. Sawada // Phys. Rev. Lett. - 1985. - Vol. 55. - P. 1082-1085.

[77] Eckmann, J. P. Liapunov exponents from a time series / J. P. Eckmann, S. O. Kamphorst, D. Ruelle, D. Gilberto // Phys. Rev. A. - 1986. - Vol. 34. -P. 4971-4979.

[78] Brown, R. Calculating Lyapunov exponents for short and/ or noisy data sets / R. Brown // Phys. Rev. E. - 1993. - Vol. 47. - P. 3962-3969.

[79] Parlitz, U. Identification of true and spurious Lyapunov exponents from time series / U. Parlitz // Int. J. Bifurcation Chaos. - 1992. - Vol. 2, №. 1. - P. 155-165.

[80] Kantz, H. A robust method to estimate the maximal Lyapunov exponents of a time series / H. Kantz // Phys. Lett. A. - 1994. - Vol. 185. - P. 77-87.

[81] Brown, R. Computing the Lyapunov spectrum of a dynamical system from an observed time series / R. Brown, P. Bryant, H. D. I. Abarbanel // Phys. Rev. A. - 1991. - Vol. 43. - P. 2787-2806.

[82] Eckmann, J. P. Fundamental limitations for estimating dimensions and Lyapunov exponents in dynamical systems / J. P. Eckmann, D. Ruelle // Physica D. - 1992. - Vol. 56. - P. 185-187.

[83] Ershov, S. V. On the concept of stationary Lyapunov basis / S. V. Ershov, A. B. Potapov // Physica D. - 1998. - Vol. 118, №3. - P. 167-198.

[84] Potapov, A. Distortions of reconstruction for chaotic attractors / A. Potapov // Physica D. - 1997. - Vol. 101, №3. - P. 207-226.

[85] Froyland, G. Estimation of Lyapunov exponents of dynamical systems using a spatial average / G. Froyland, K. Judd, A. I. Mees // Phys. Rev. E. - 1995. - Vol. 51. - P. 2844-2855.

[86] Dawson, S. P. Strange nonattracting chaotic sets, crises, and fluctuating Lyapunov exponents / S. P. Dawson // Phys.Rev.Lett. - 1996. - Vol. 76. -P. 4348-4351.

[87] Farmer, J. D. Predicting chaotic time series / J. D. Farmer, J. J. Sidorowich // Phys. Rev. Lett. - 1987. - Vol. 59. - P. 845-848.

[88] Кравцов, Ю. А. Случайность, детерминированность, предсказуемость / Ю. А. Кравцов // Успехи физических наук. - 1989. - Т. 158, №1. - С. 93-115.

[89] Аносов, О. Л. Пределы предсказуемости для линейных авторегрессионных моделей / О. Л. Аносов, О. Я. Бутковский, Ю. А. Кравцов // Радиотехника и электроника. - 1995. - Т. 40, вып. 12. - С. 1866-1873.

[90] Souza, E. G. Using recurrences to characterize the hyperchaos-chaos transition / E. G. Souza, R. L. Viana, S. R. Lopes // Phys. Rev. E. - 2008. -Vol. 78. - P. 066206.

[91] Ngamga, E. J. Recurrence-based detection of the hyperchaos-chaos transition in an electronic circuit / E. J. Ngamga, A. Buscarino, M. Frasca, G. Sciuto, J. Kurths, L. Fortuna // Chaos. - 2010. - Vol. 20. - P. 043115.

[92] Анищенко, В. С. Теория возвратов Пуанкаре и её приложение к задачам нелинейной физики / В. С. Анищенко, С. В. Астахов // Успехи физических наук. - 2013. - Т. 183. - С. 1009-1028.

[93] Abbott, L. F. Lapique's introduction of the integrate-and-fire model neuron (1907) / L. F. Abbott // Brain Research Bulletin. - 1999. - Vol. 50. - P. 303-304.

[94] Keener, J. P. Integrate and fire models of nerve membrane response to oscillatory input / J. P. Keener, F. C. Hoppensteadt, J. Rinzel // SIAM J. Appl. Math. - 1981. - Vol. 41. - P. 503-517.

[95] Alstrom P., Phase-locking structure of integrate-and-fire models with threshold modulation / P. Alstrom, M.T. Levinsen // Phys. Lett. A. - 1988. -Vol. 128. - P. 187-192.

[96] Rössler, O. E. An equation for continuous chaos / O. E. Rössler // Physics Letters A. - 1976. - Vol. 57. - P. 397-398.

[97] Rössler, O. E. Chaotic behavior in simple reaction system / O. E. Rössler // Zeitschrift für Naturforschung A. - 1976. - Vol. 31. - P. 259-264.

[98] Letellier, C. Unstable periodic orbits and templates of the Rössler system: toward a systematic topological characterization / C. Letellier, P. Dutertre, B. Maheu // Chaos. - 1995. - Vol. 5. - P. 272-281.

[99] Lorenz, E. N. Deterministic nonperiodic flow / E. N. Lorenz // J. Atmos. Sci. - 1963. - Vol. 20. - P. 130-141.

[100] Anishchenko, V. S. Nonlinear dynamics of chaotic and stochastic systems / V. S. Anishchenko, V. V. Astakhov, A. B. Neiman, Т. E. Vadivasova, L. Schimansky-Geier. - Berlin: Springer-Verlag, 2002.

[101] Анищенко, B.C. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах / В. С. Анищенко, В. В. Астахов, Т. Е. Вадивасова, А. Б. Нейман, Г. И. Стрелкова, Л. Шиманский-Гайер. - М. ; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2003.

[102] Анищенко, В. С. Синхронизация регулярных, хаотических и стохастических колебаний / В.С. Анищенко, В.В. Астахов, Т.Е. Вадивасова, Г.И. Стрелкова. - М., Ижевск: Изд-во Института компьютерных исследований, 2008.

[103] Анищенко, В. С. Регулярные и хаотические автоколебания. Синхронизация и влияние флуктуаций / В. С. Анищенко, В. В. Астахов, Т. Е. Вадивасова. - М., Ижевск: Изд-во Института компьютерных исследований, 2009.

[104] Биологические ритмы / Под ред. Ю.Ашлоффа. - М.: Мир,1984.

[105] Павлова, О. Н. Регистрация и предварительный анализ сигналов с помощью измерительного комплекса MP100: учебное пособие / О. Н. Павлова, А. Н. Павлов. - Саратов: Научная книга, 2008. - 80 с.

[106] Kapitaniak, T. Chaos-hyperchaos transition / T. Kapitaniak, Yu. Maistrenko, S. Popovych // Phys. Rev. E. - 2000. - Vol. 62. - P. 1972-1980.

[107] Faure, P. A new method to estimate the Kolmogorov entropy from recurrence plots: its application to neuronal signals / P. Faure, H. Korn // Physica D. - 1998. - Vol. 122. - P. 265-279.

[108] Андронов, A. А. Теория колебаний / A. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. - М.: Наука, 1981.

[109] Блехман, И. И. Синхронизация динамических систем / И. И. Блехман. -М.: Наука, 1971.

[110] Кузнецов, А. П. Нелинейные колебания / А. П. Кузнецов, С. П. Кузнецов, Н. Ю. Рыскин. - М.: Физматлит, 2002.

[111] Ланда, П. С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы (2-е издание) / П. С. Ланда. - М.: "Либроком", 2010.

[112] Press, W. Н. Numerical recipes in С: the art of scientific computing / W. H. Press, S. A. Teukokolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flanney. - Cambridge: Cambridge University Press, 1992.

[113] Postnov, D. E. Role of multistability in the transition to chaotic phase synchronization / D. E. Postnov, T. E. Vadivasova, O. V. Sosnovtseva, A. G. Balanov, V. S. Anishchenko, E. Mosekilde // Chaos. - 1999. - Vol. 9. -P. 227-232.

[114] Mosekilde, E. Chaotic synchronization: Applications to Living Systems / E. Mosekilde, Yu. Maistrenko, D. Postnov. - Singapore: World Scientific, 2002.

[115] Ahrens, M. B. Brain-wide neuronal dynamics during motor adaptation in zebrafish / M. B. Ahrens, J. M. Li, M. B. Orger, D. N. Robson, A. F. Schier, F. Engert, R. Portugues // Nature. - 2012. - Vol. 485. - P. 471-477.

[116] Al-ani, T. Automatic removal of high-amplitude stimulus artefact from neuronal signal recorded in the subthalamic nucleus / T. Al-ani, F. Cazettes, S. Palfi, J. P. Lefaucheur // J. Neurosci. Methods. - 2011. - Vol. 198. - P. 135-146.

[117] Kapitaniak, T. Transition to hyperchaos in coupled generalized van der Pol equations / T. Kapitaniak, W.-H. Steeb // Phys. Lett. A. - 1991. - Vol. 152.

- P. 33-36.

[118] Riganti, R. Transition to hyperchaos in the dynamics of a nonlinear vibration absorber / R. Riganti, M.G. Zavattaro // Mathematical and Computer Modelling. - 1995. - Vol. 22. - P. 55-61.

[119] Paladin, G. Complexity in dynamical systems with noise / G. Paladin, M. Serva, A. Vulpiani // Phys. Rev. Lett. - 1995. - Vol. 74. - P. 66-69.

[120] Loreto, V. Concept of complexity in random dynamical systems / V. Loreto,

G. Paladin, A. Vulpiani // Phys. Rev. E. - 1996. - Vol. 53. - P. 2087-2098.

[121] Stefanski, A. Lyapunov exponents of systems with noise and fluctuating parameters / A. Stefanski // Journal of theoretical and applied mechanics. -2008. - Vol. 43. - P. 665-678.

[122] Xianbin, L. On the maximal lyapunov exponent for a real noise parametrically excited co-dimension two bifurcation system / L. Xianbin, C. Qiu, C. Dapeng // Applied Mathematics and Mechanics. - 1999. - Vol. 20. -P. 1067-1074.

[123] Serletis, A. Effect of noise on estimation of Lyapunov exponents from a time series / A. Serletis, A. Shahmoradi, D. Serletis // Chaos, Solitons & Fractals. - 2007. - Vol. 32. - P. 883-887.

[124] Yao, T.-L. Lyapunov-exponent spectrum from noisy time series / T.-L. Yao,

H.-F. Liu, J.-L. Xu, W.-F. Li // International Journal of Bifurcation and Chaos. - 2013. - Vol. 23. - P. 1350103.

[125] Yao, T.-L. Estimating the largest Lyapunov exponent and noise level from chaotic time series / T.-L.Yao, H.-F. Liu, J.-L. Xu, W.-F. Li // Chaos. -2012. - Vol. 22. - P. 033102.

Список публикаций по теме диссертации

[126] Pavlov, A. N. Characterization of the chaos-hyperchaos transition based on return times / A. N. Pavlov, O. N. Pavlova, Y. K. Mohammad, J. Kurths // Phys. Rev. E. - 2015. - Vol. 91. - P. 022921.

[127] Pavlov, A. N. Quantifying chaotic dynamics from integrate-and-fire processes / A. N. Pavlov, O. N. Pavlova, Y. K. Mohammad, J. Kurths // CHAOS. - 2015. - Vol. 25. - P. 013118.

[128] Павлов, А. Н. Диагностика режима гиперхаотической динамики по интервалам времени пересечения порогового уровня / А. Н. Павлов, О. Н. Павлова, Я. Х. Мохаммад // Письма в ЖТФ. - 2015. - Т. 41, вып. 6. -С.98-104.

[129] Павлов, А. Н. Погрешности анализа характеристик сложных режимов колебаний по точечным последовательностям модели «накопление-сброс» / А. Н. Павлов, О. Н. Павлова, Я. Х. Мохаммад // Письма в ЖТФ. - 2015. - Т. 41, вып. 21. - С. 74-79.

[130] Pavlov, A. N. Quantifying chaotic dynamics from interspike intervals / A. N. Pavlov, O. N. Pavlova, Y. K. Mohammad, G. M. Shihalov // Proceedings of SPIE. - 2015. - Vol. 9448. - P. 94481O.

[131] Павлов, А. Н. Реконструкция динамических систем по точечным процессам в динамике нейронных моделей / А.Н. Павлов, О.Н. Павлова, Я.Х. Мохаммад // Материалы Всероссийской школы-семинара «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине - 2014». - Саратов: Изд-во Саратовский источник, 2014. - С. 113-116.

[132] Мохаммад, Я. Х. Расчет динамических характеристик хаотических

колебаний по точечным процессам при наличии шума / Я. Х.

Мохаммад, О. Н. Павлова, А. Н. Павлов // Материалы Всероссийской

120

молодежной конференции «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине - 2015». - Саратов: Изд-во Саратовский источник, 2015. - С. 141-143.

[133] Mohammad, Y. K. Wavelet analysis of complex signals / Y. K. Mohammad, A. N. Pavlov // Материалы 5-й научно-практической конференции «Presenting Academic Achievements to the World». - Саратов: Изд-во СГУ, 2014. - С. 139-143.