Спиновая динамика в низкоконцентрированных парамагнетиках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Каганов, Илья Вячеславович

• Каганов, Илья Вячеславович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Каганов, Илья Вячеславович

1. Введение

1.1 Двухтемпературное квазиравновесие

1.2 Магниторазбавленные системы, специфическое неоднородное уширение, спиновые пакеты

1.3 Экспериментальные результаты

1.4 Корреляционные функции и кинетика насыщения резонанса

1.5 Кластерное разложение

1.6 Процессы переноса в неупорядоченных средах

1.7 Основные проблемы теории низкоконцентрированных парамагнетиков

2. Спиновая динамика в твердых низкоконцентрированных парамагнетиках

2.1 Введение в проблему

2.2 Конфигурационное усреднение корреляционных функций

2.3 Кластерное разложение функции формы линии и ССИ в модели Андерсона

2.4 Учет временных флуктуаций в приближении нормального случайного процесса

2.5 Спектр скоростей флуктуаций локальных полей

2.6 Оценка вклада кластеров высших рангов в корреляционные функции

3. Спиновая кинетика магниторазбавленных систем. Устойчивость результатов, получаемых на основе кластерных разложений относительно выбора классификации кластеров

3.1 Проблема неопределенности некоторых физических параметров

3.2 Другие физически допустимые подходы к классификации взаимодействий в системе

3.3 Влияние способа классификации кластеров на ССИ спиновой системы

4. Тестирование теории, построенной на основе кластерных разложений с помощью численного моделирования

4.1 Проблема проверки предсказаний теории

4.2 ССИ в системе с классическими спинами

4.3 Численный эксперимент

5. Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спиновая динамика в низкоконцентрированных парамагнетиках»

1. Введение

Цель работы: Разработать методы анализа и добиться количественного понимания процессов спиновой динамики в пространственно-неупорядоченных низкоконцентрированных спиновых системах.

Содержание работы: Теоретическое изучение протекания неравновесных процессов в неупорядоченных системах. Основное внимание уделено поведению функций спада свободной индукции (ССИ).

Научная новизна: Впервые выполнено детальное исследование поведения функции спада свободной индукции (ССИ) в разбавленном парамагнетике на немалых временах, показано что она состоит из монотонной и осциллирующей компонент, убывающих почти экспоненциально на средних и более медленно (как ¡3 > 0) на очень больших временах, причем особенности ее поведения тесно связаны с видом функций корреляции локальных полей, убывающих в изучаемых системах значительно медленнее, чем функции, обычно используемые в регулярных системах. Предсказания теории мало меняются при вариациях физически неоднозначных параметров задачи. Такое поведение ССИ неожиданно с точки зрения ранее применявшихся способов ее описания в разбавленных системах и показывает ошибочность сложившегося представления о немодифицируемости лоренцевой линии поглощения движением. Впервые (насколько известно автору) проведено прямое численное моделирование ССИ на малых и умеренно-средних временах (изменение ССИ на порядок), результаты которого подтверждают предсказания теории и уточняют значения некоторых параметров.

На защиту выносятся результаты исследований:

— поведения ССИ и ее компонент в разбавленном парамагнетике;

— вида соответствующих функций формы линии;

— поведения функций корреляции локальных полей в разбавленном парамагнетике;

— устойчивости результатов при вариациях неоднозначно определенных параметров.

— поведения ССИ и важнейших автокорреляционных функций разбавленного парамагнетика путем прямого численного моделирования.

Работа доложена: На семинарах в ИТЭФ, ИРЭ, ПГУ, ПГПУ, Луисвиллском Университете, докладе на XXVII международном амперовском конгрессе.

Публикации:

1. F.S. Dzheparov, I.V. Kaganov, Е.К. Henner, Multi-spin processes of establisment of equilibrium in magnetically-diluted solids //in Extend. Abstracts of XXVII Congress Ampere, Kazan, 1994, P.200.

2. Ф.С. Джепаров, И.В. Каганов, Е.К. Хеннер, Спиновая динамика в твердых низкоконцентрированных парамагнетиках //Препринт ИТЭФ N49, 1996.

3. Ф.С. Джепаров, И.В. Каганов, Е.К. Хеннер, Спиновая динамика в твердых низкоконцентрированных парамагнетиках //ЖЭТФ, 1997, 112, 596.

4. Ф.С. Джепаров, И.В. Каганов, Спиновая кинетика магнито-разбавленных систем. Зависимость результатов, полученных на основе кластерных разложений, от выбора классификации класте-

ров //Препринт ИТЭФ N3, 1998.

5. F.S. Dzheparov, I.V. Kaganov, Spin Kinetics in Dilute Systems. Variations of Physical Predictions in Cluster Theory //в печати.

6. I.V. Kaganov, Spin Dynamics in Diluted Systems. Testing of Cluster Based Theory with Direct Numerical Simulation //в печати.

Объем работы: 90 страниц.

Обзор состояния проблемы:

Термин "спиновая динамика" включает большое разнообразие проблем, относящихся к эволюции спиновой системы благодаря как внешним магнитным полям, так и внутренним (спин-спиновым) взаимодействиям. Эти явления являются основой ЯМР и ЭПР-спектроскопии. Глубокое понимание спиновой динамики в концентрированных (ядерных) спиновых системах [1,2] сделало возможным достигнуть большого прогресса в экспериментальном наблюдении ЯМР. Теория спиновой динамики в разбавленных (электронных) спиновых системах гораздо менее разработана и многие экспериментальные результаты не имеют количественного (а иногда и качественного) объяснения (см. обзор [3]). Главную роль в теории таких систем играет понимание процессов установления квазиравновесия в разбавленной спиновой системе. Моделью такой системы являются дипольно взаимодействующие спины (парамагнитные центры), случайно распределенные по решетке.

1.1 Двухтемпературное квазиравновесие

Рассмотрим [4,5,6] твердый парамагнетик, содержащий макроскопическое число спинов 5,- во внешнем магнитном поле Н01| Oz

б

при температуре решетки. Будем далее рассматривать случай изотропного фактора Ланде д. Спиновый гамильтониан системы Я состоит ио двух частей: взаимодействия с внешним полем (зе-емановской части) и диполь-дипольного спин-спинового взаимодействия. Первое дается выражением Нг = Ьи^Б* где со0 = 7Я0 = д(1В%Но — ларморова частота спина во внешнем постоянном поле Я0 (цв — магнетон Бора). В типичных условиях проведения ларморова частота в локальном дипольном поле а< а?0> так что только секулярная к Нг часть дипольного гамильтониана должна быть учтена:

= £ ^ №5/ - у^г - т^Л (1.1)

где Ау = ^(1 - Зшз2^). Здесь и гу — угол между г^ и Ох

*3

и длина Гц соответственно. Латинские индексы здесь нумеруют спины в системе. Первый член в (1.1) обеспечивает статическое уширение резонансной линии, второй, внося вклад в уширение, играет также динамическую роль — благодаря ему происходят флип-флопы спинов, что, как считается, ведет в конечном счете к установлению квази-равновесия, характеризующегося матрицей плотности системы

р = ехр(-&Я, - /?„Я„)/8рехр(-&Я, - £,Я„). (1.2)

Здесь ¡Зг и ¡388 — обратные температуры зеемановской подсистемы и спин-спинового резервуара соответственно. В высокотемпературном приближении

р = (1 - /3ЯНЯ - 0„Яи)/8р1. (1.3)

Уравнения Провоторова [5,7,8] описывают эволюцию такой квазиравновесной матрицы плотности при условии й^То < 1, и)\Тс < 1,

ш\Т\ < 1 где Т2 — характерное время фазовой релаксации в спиновой системе, тс — характерное время установления квазиравновесия в спиновой системе (время флип-флопа), Т\ — характерное время спин-решеточной релаксации, щ = 7#ь #1 — амплитуда внешнего РЧ-поля. Из уравнений Провоторова следует, в частности, эффект охлаждения подсистемы взаимодействий (и, т.о., образца в целом) в процессе насыщения резонанса (^--^ где /30

— обратная температура решетки (равновесная начальная температура), А = — расстройка при насыщении резонанса).

1.2 Магниторазбавленные системы, специфическое неоднородное уширение, спиновые пакеты

Принцип двухтемпературного квазиравновесия был первоначально предложен для концентрированных (регулярных) систем [4,5]. Его применение к разбавленным системам сразу наталкивается на серьезные проблемы. Первые ЭПР-эксперименты [8,9] подтвердили применимость уравнений Провоторова для очень слабых переменных полей, однако даже при небольшом их увеличении (все еще Ш1Т2 < 1) возникают новые эффекты, не объясняемые в рамках этого описания.

Рассмотрим магнитный образец, представляющий собой немагнитную решетку с малой примесью парамагнитных атомов (ионов) — спинов. Каждый узел решетки занят спином с очень малой вероятностью. Во всех случаях, кроме особо оговоренных, мы будем считать, что вероятности заполнения спинами разных узлов независимы и постоянны. В такой системе существуют два характерных расстояния (и, соответственно, две характерные энергии) — минимальное расстояние — постоянная решетки и среднее расстояние между спинами. Эти величины различаются

на несколько порядков, что приводит к невозможности простой оценки времен процессов в такой системе. Это становится особенно заметным в пределе сплошной среды (ПСС), т.е. когда относительная концентрация спинов / 0, а объемная концентрация узлов решетки п-+ оо так, что объемная концентрация спинов С = /п остается конечной. В этом случае один из параметров исчезает, оставляя, однако, след в виде свойств физических величин, которые, естественно, не могут быть получены в рамках теории возмущений.

Как следует из сказанного, магниторазбавленные системы имеют существенное неоднородное уширение (см., напр., [10]). Оно связано с сильными пространственными флуктуациями диполь-ных полей спинов друг на друге. Фактически в такой системе имеется бесконечная иерархия времен релаксации, простирающаяся на времена, во всяком случае, много больше Т2. В реальных парамагнетиках существует также сильное постороннее неоднородное уширение, приводящее к дальнейшему замедлению процессов.

Первая модель, в рамках которой была найдена функция ССИ рассматриваемой системы — модель Андерсона [11] пренебрегает корреляциями между изотропной частью дипольного гамильтониана и остатком (анизотропной частью). В результате ССИ вычисляется точно и оказывается экспонентой со скоростью затухания О = (1г — 1, спин 5 = 1/2, гиромагнитное отношение спина 7, объемная концентрация спинов С) в ПСС. Эта модель нереалистична, поскольку разрыв этих корреляций эквивалентен полному отсутствию флип-флопов, т.е. статическому взаимодействию; однако она дает хорошее описание распределения статических локальных полей в системе.

Феноменологически такую систему можно описать как совокупность спиновых пакетов — линий групп спинов, находящихся в одинаковом статическом поле и, т.о., однородно уширенных. Процессы внутри спинового пакета [12] характеризуются одним энергетическим параметром и происходят за характерное время фазовой релаксации в системе порядка О'1. Кросс-релаксация же между спиновыми пакетами происходит по механизму спектральной диффузии и простейшим образом может быть описана стандартным уравнением диффузии по частоте [13]. Коэффициент диффузии определяется взаимодействиями на средних расстояниях [14] и не может быть вычислен простым почленным усреднением кинетических уравнений. Здесь предполагается, что на рассматриваемых временах спин-решеточная релаксация еще не проявляется.

Наблюдаемые величины в магниторазбавленной системе должны быть усреднены по конфигурациям, т.е. по всем возможным способам размещения спинов в решетке. Это связано с тем, что в реальной системе, состоящей из большого числа физически бесконечно малых (но состоящих из большого числа частиц) систем наблюдаемые являются суммой вкладов от каждой из них, представляющих собой некоторые конфигурации пространственного расположения спинов. Здесь проявляется основной недостаток феноменологического описания с помощью понятия спиновых пакетов: применение этого понятия эквивалентно усреднению по конфигурациям коэффициентов кинетических уравнений — функций формы линии пакетов, тогда как реальному эксперименту соответствует усреднение наблюдаемых величин — например, поляризации, и эти две процедуры приводят далеко не к одному и тому

же результату. Тем не менее, оставаясь в рамках этого описания, нужно различать два случая: слабое РЧ-поле, когда спиновая система находится в равновесии и форма линии является почти лоренцевой. В этом случае ее протяженные крылья могут быть зарегестрированы непосредственно, несмотря на сильное неоднородное уширение (гауссовой формы) [15]. Ситуация значительно усложняется в случае сильного насыщающего поля, что составляет содержание следующего раздела.

1.3 Экспериментальные результаты

В работах [16,17] экспериментально исследовалась кинетика кросс-релаксации и насыщения в низкоконцентрированных спиновых системах (таких, как Са^^УС^ с примесью Се3+). Наиболее важными результатами первой из них являются наблюдение весьма протяженных крыльев линии ЭПР, что согласуется с моделью Андерсона и четкое наблюдение в системе спектральной диффузии в линии ЭПР, которая приводит в частности к сильному изменению теплоемкости дипольной подсистемы при переходе от импульсного к стационарному режиму накачки. Характерен также вид зависимости низкочастотной восприимчивости (фактически, температуры дипольной подсистемы центра линии) от времени при действии импульса РЧ-поля на далеком крыле линии: температура продолжает расти некоторое время и после выключения РЧ-поля, что также указывает на наличие весьма медленной спектральной диффузии.

В [17] исследовалось поведение площади выжженной дыры га в зависимости от мощности импульса накачки \¥. При этом было обнаружено, что эта зависимость близка к т ~ \Z\iiWt на далеком крыле линии и т ~ \nVVt в остальной ее части {% — время

действия импульса). В рамках гипотезы спиновых пакетов это наблюдение можно трактовать как свидетельство экспоненциальной (гауссовой на крыле) их формы. Из работы также следует необходимость учета спектральной диффузии в процессе насыщения, что в частности говорит о существовании более эффективного ее механизма, чем обычный диффузионный процесс.

Резонансная кросс-релаксация (флип-флопы между спинами, находящимися на одном участке резонансной линии) могут быть изучены при наличии нелинейной зависимости уровней энергии спина от внешнего поля (например, если главная магнитная ось образца не совпадает с направлением внешнего поля). Так было показано, что скорости кросс-релаксации в разбавленной системе распределены так же как статические локальные поля в системе (лоренцева линия) [18,19,20]. Наиболее вероятное время кросс-релаксации, полученное таким способом, согласуется со временем, полученным в экспериментах по спиновому эхо [21], а также наблюдением расплывания выжженной дыры в оптическом спектре Сг3+ [22].

Некоторые эксперименты по наблюдению спинового эха приводят к аналогичному результату. Именно, флип-флопы возбужденных спинов ослабляют перенос сигнала к невозбужденным спином, что дает возможность оценить распределение скоростей флип-флопов [19,20]. С другой стороны, есть много примеров, когда эхо от парамагнитных кристаллов (Са\\Ю4 с добавкой Се3+, А1203 : Сг3+ и др.) [21,23,24,25,26] имеют более сложный вид.

Другой путь экспериментального изучения продольных корреляционных функций состоит в измерении релаксации ядер матрицы под влиянием флип-флопов примесных спинов. Именно, ско-

рость релаксации ядра пропорциональна спектральной плотности продольной корреляционной функции спина электрона [27]. Проблемы, возникающие здесь, связаны с тем, что зеемановская подсистема ядер взаимодействует с решеткой посредством спин-спиновой подсистемы взаимодействий и если теплоемкость последней мала, наблюдаемым процессом будет взаимодействие спиновой системы с решеткой, а не зееманеовской системы ядер с резервуаром взаимодействий. Эта проблема может быть преодолена ускорением релаксации подсистема взаимодействий — решетка [28,29] или уменьшением зеемановской энергии ядер благодаря выбору ядер с маленьким магнитным моментом [30]. Полученные таким путем результаты согласуются с распределением скоростей флип-флопов [19,20].

1.4 Корреляционные функции и кинетика насыщения резонанса

В работах [31,32] проведено теоретическое исследование кинетики насыщения резонанса, не ограничивающееся случаем высоких спиновых температур в рамках двухтемпературного приближения. При этом обнаружилась особенность разбавленной системы, резко отличающая ее от регулярной: уравнения насыщения оказываются аналогичными уравнениям Провоторова только при температурах, высоких по сравнению с взаимодействием на средних расстояниях. Техника концентрационного разложения [33] состоит в разложении величин, зависящих от чисел заполнения узлов спинами по степеням этих чисел с последующим конфигурационным усреднением и позволяет получить разложение физических величин по степеням где (3 — обратная температура дипольной подсистемы, Е — энергия взаимодействия на средних расстояниях, что в пределе сплошной среды дает результат дру-

гого вида, чем в случае регулярной системы. В работах [31,34,35] развит способ концентрационного разложения и рассмотрено поведение различных корреляционных функций магниторазбавлен-ной спиновой систмы при условии (ЗЕ < 1 в модели Андерсона и с использованием методов функций памяти и кумулянтного разложения при наличии внешнего по отношению к взаимодействиям спинов в системе неоднородного уширения. Любопытным результатом является наличие сдвига центра линии резонанса при отличной от нуля поляризации даже для кубической решетки матрицы и сферического образца. Теплоемкости определяются взаимодействиями на средних, а не минимальных расстояниях как в высокотемпературном приближении (ВТП). Это общий результат, связанный с тем, что результаты ВТП-теории основаны на разложении по величине ДЗ/Д гДе Р — обратная температура, и некорректны при / —► 0. Кинетика насыщения резонанса также существенно отличается от таковой в высокотемпературной области тем, что определяется средними расстояниями; это приводит, например, к значительно меньшим значениям квазистационарной дипольной энергии в обычном эксперименте насыщения резонанса ЭПР, чем результаты ВТП-теории.

В [36] рассмотрена кинетика насыщения резонанса при учете спин-решеточного взаимодействия.

1.5 Кластерное разложение

Стандартные способы описания кинетики магнитных систем базируются на предположении о наличии быстрого (со скоростью фазовой релаксации) процесса смешивания в дипольной системе гамильтониана, что приводит к квазиравновесной двухтемпера-турной матрице плотности для процессов насыщения спиновой си-

стемы. С другой стороны, практически единственная модель, дающая надежду на качественно правильную асимптотическую оценку длинновременного поведения корреляционных функций (модель нормального случайного процесса [37]) предполагает наличие в системе для каждого спина большого количества одновременно действующих полей одного порядка величины. Наличие в разбавленной системе двух характерных масштабов взаимодействия приводит к тому, что ни одно из указанных условий не выполняется.

Путь возможного решения проблемы был указан в [38,39,40] и состоит в выделении в системе кластеров — частей — групп сильно взаимодействующих между собой спинов. Эти группы образуют подсистемы, связанные дипольным взаимодействием между спинами различных групп. Основная идея заключается в том, что каждая из таких групп состоит из небольшого числа спинов и может быть рассмотрена точно, остальная же система значительно регулярнее исходной и может быть описана обычным образом. Способ выделения таких групп составляет отдельный вопрос, поскольку, очевидно, неоднозначен, и наличие физического смысла результатов тесно связано с их устойчивостью по отношению к изменению этого способа.

В [40] показано, что именно такие группы исчерпывают крыло линии. Из той же работы следует, что приближение нормального случайного процесса дает разумные предсказания поведения функции ССИ в пределе отсутствия временных флуктуаций и удовлетворительно описывает поведение площади выжженной в спектре дыры от мощности импульса РЧ-поля [6] в процессе насыщения в пределе очень большой мощности (\n.Wt > 1). При этом следует выполнять конфигурационное усреднение наблюдаемых величин,

т.е. гипотеза спиновых пакетов неприменима.

1.6 Процессы переноса в неупорядоченных средах

Выше мы рассматривали макроскопические задачи, где наблюдаемые величины являлись суммой вкладов от большого числа частиц. Более элементарной и в то же время более фундаментальной является проблема переноса плотности аддитивных интегралов движения (например, поляризации) при локализованном (микроскопическом) начальном условии, эта задача в случае равномерного распределения спинов по пространству подробно изучалась в [14,41], а при учете заведомого существования спина в точке, где поляризация была вначале в [42,43,44].

Стандартная постановка задачи выглядит следующим образом: перенос сохраняющейся физической величины между спинами, случайно распределенными по решетке, описывается системой линейных уравнений

Рр — ^^{Р* ~ Рр)

V

с начальным условием = 0) = (//, V — номера спинов). Задача состоит в вычислении (^)с(^) — усредненной по конфигурациям величины Рц. Техника концентрационного разложения позволяет получить для ряд по степеням что решает

задачу при < 1, где ¡3~х = (^ \ ) . При ^ оо задача значительно сложнее и до конца не исследована. Сравнение с точно решаемыми одномерными моделями дает основания полагать, что длинновременная асимптотика (Рр)с(1) диффузионная. Полуфеноменологическая теория [41,42,43], основанная на определении ядра интегрального уравнения для (Р^,)с(г), полученного в проекционной технике, из простого процесса оттока поляризации из одного

узла и притока ее в другой узел, дает именно такую асимптотику. Численные исследования [44] подтверждают диффузионно сть длинновременной асимптотики хотя дают коэффициент

V V У V V

диффузии, несколько меныпии, чем в полуфеноменологическои теории. Он вычислен в [45] методом расчета пропагатора в двухчастичном самосогласованном приближении и близок к настоящему [44], однако при этом получена неверная асимптотика при t оо. Это неудивительно, так как коэффициент диффузии — интегральная характеристика, а неэкспоненциальность пропагатора проявляется только на весьма больших временах.

Аналогичная задача возникает и при описании спектральной диффузии [46,47]. При этом выявляется основная трудность полуфеноменологической теории — неправильное описание переноса при неравномерном распределении спинов (центров локальных возбуждений) по энергии (кинетический коэффициент переноса возбуждения (поляризации) между локальными центрами зависит от положения их в резонансной линии). Трудность св53 с1ы с1 с тем, что ядро интегрального уравнения для (Р^сОО в полуфеноменологической теории не удовлетворяет принципу детального равновесия. Предложенное в [46] самосогласованное вычисление ядра в двухчастичном приближении дает ядро, удовлятворяющее принципу детального равновесия, но дающее неверное поведение (Ро(¿))с при % со и неверное ядро в пределе необратимого переноса.

1.7 Основные проблемы теории низкоконцентрированных парамагнетиков

Как показывает эксперимент, миграция спиновых возбуждений в низкоконцентрированной системе затруднена настолько, что

уже при небольших амплитудах насыщающего поля в системе не успевает установиться квазиравновесие на временах, значительно больших Т2. Это обстоятельство делает необходимым построение теории, не исходящей из существования квазиравновесия, а описывающей его установление.

Этот, в некотором смысле, глобальный вопрос непосредственно связан с задачей об установлении реального вида функции ССИ на всех временах, что требует детального рассмотрения процессов в парамагнетике, а также с проблемой усреднения кинетических уравнений процессов, имеющих неравномерное распределение параметров — аргументов коэффициентов кинетических уравнений — спектральный беспорядок.

2. Спиновая динамика в в твердых низкоконцентрированных парамагнетиках

2.1 Введение в проблему

Теория магнитной спектроскопии многоспиновых систем использует относительно небольшое число фундаментальных корреляционных функций и их спектральных плотностей, полностью описывающих динамику таких систем. На заре становления теории магнитного резонанса все обсуждение в принципе сводилось к изучению формы линии и спин-решеточной релаксации, исчерпывающим образом описываемых двумя-тремя такими функциями.

В настоящее время ситуация существенно изменилась [6,40,48,49]. В частности, прямому измерению теперь доступны некоторые свойства многоспиновых корреляционных функций, определяющих, например, многоспиновые когерентности [6] и скорости флип-флоп переходов [49] в ядерных спиновых системах. С другой стороны, экспериментальные [16,17] и теоретические [39,50] исследования спектрального и пространственного переноса в магниторазбавленных ЭПР-системах стимулировали разработку нового метода кластерных разложений [40], который использует многоспиновые корреляционные функции физически выделенных групп спинов — кластеров и в принципе позволяет построить адекватную теорию таких процессов.

Точный расчет корреляционных функций кластеров при реальном взаимодействии пока невозможен. Поэтому в настоящей работе, имея в виду проблемы спиновой динамики магниторазбавленных систем, мы обратились вначале к точно решаемой модели Андерсона [11], которая до настоящего времени служит основным источником надежной информации для магниторазбавленных си-

стем (см., например, [31,51] и цитированную там литературу). Модель Андерсона не учитывает влияния временных флуктуаций локальных полей на процессы в системе. Поэтому мы далее ввели и рассмотрели простейшую модель, которая принимает это явление во внимание в духе теории Андерсона — Вейсса — Кубо (АВК) [37,52] и опирается на кластерный анализ [40]. На этом пути были получены явные интегральные представления для функции спада свободной индукции (ССИ), причем обнаружилось расхождение между предсказаниями модели Андерсона и новой более реалистической моделью. Заметим, однако, что результаты двух подходов согласуются в пределе медленных флуктуаций.

В основе нашего анализа лежат следующие соображения. Кластерное разложение (очень кратко, подробности см. в [40]) выглядит следующим образом. Кластер ранга I — группа из I спинов, в силу чисто геометрических причин взаимодействующих друг с другом сильнее, чем с любым спином, не входящим в группу. Для однозначности разбиения вводятся ортогональные кластеры — каждый спин содержится не более чем в одном таком кластере. Разложение по ортогональным кластерам осуществляется следующим образом: из физических соображений фиксируется к — старший ранг кластеров, рассматриваемых в задаче, выделяются все кластеры этого ранга, затем ранга к -1 и т.д. Оставшаяся после выделения всех кластеров часть системы называется "массой". В качестве физического критерия выбора к в [40] предложена квазиоднородность массы, понимаемая как возможность описывать ее термодинамику в приближении сплошной среды (ПСС). До выделения кластеров дипольная теплоемкость в ПСС бесконечна, а после кластерного разбиения дипольная теплоемкость массы ста,-

новится конечной и определяется взаимодействиями на средних расстояниях. Совершенно аналогично ведет себя и второй момент линии поглощения. Поэтому можно предположить, что время установления равновесия в массе порядка характерного времени флип-флопа и что оно соотносится со временем фазовой релаксации приблизительно так же, как в регулярных системах. Флуктуирующие локальные поля, создаваемые окружением на спинах массы и на кластерах значительно ближе к нормальному случайному процессу, чем поля на спинах до выделения кластеров. Учет же внутрикластерных взаимодействий можно провести точно.

Далее мы уделяем значительное внимание поперечной корреляционной функции 0(1) — функции спада свободной индукции, классической в теории магнитного резонанса. Ее спектральная плотность дает функцию формы линии поглощения, а кластерное разложение этой плотности выражает функции формы линии поглощения относительно независимо эволюционирующих частей системы.

Мы ограничились высокотемпературным приближением поскольку специфика неупорядоченных систем весьма полно проявляется уже в этом пределе. Ряд вычислений в модели Андерсона проведен для произвольного спина. Это представляет интерес для возможного сопоставления с результатами численного моделирования, которое в силу ограниченности современных вычислительных возможностей, как правило, производится для классических спинов [53,54].

2.2 Конфигурационное усреднение корреляционных функций

Всюду ниже мы считаем, что изучаемая спиновая система состоит из примесных спинов, хаотически распределенных по ре-

щетке.

В представлении чисел заполнения [43] и в высокотемпературном приближении поперечная корреляционная функция имеет вид [48]

G(t) s (S+)(t)/(S+}(0) = <{5+(i)5-)0)c / «5+5-}0>е, (2.1)

где {.. .)0 = Sp(.. .)/Spl, S± = Sx±iSy = njSp, rij — число заполнения узла j (rij = 0 или 1), {...)c — символ конфигурационного усреднения,

S+(t) = ex-p{iHdt}S+ exp {-iHdt},

Hd — гамильтониан спин-спинового взаимодействия. В модели Андерсона

3

= о £ AijmnjSfSj, z i<j

где Aij = fry21-3°зз2 — дипольное взаимодействие. Более общее взаимодействие, которое реализуется в типичных условиях, описывается секулярной частью дипольного гамильтониана и имеет вид

= Ai^npSfS] - SiSj). i<j

По своему смыслу G(t) аддитивно-одночастична и поэтому разлагается на сумму вкладов от кластеров ранга I G(t) = ZL <?/(*), где Git) = «5+>0>c(t)/«6'+>0>c(0).

Здесь и далее к — максимальный выбранный ранг ортогональных кластеров [40], а индексы г, j обозначают узлы решетки. Кластерное разложение аддитивно-одночастичного оператора А имеет вид

к 1 А = £ща{ = £ £ Ziifi^...^) £«(%), (2.2) i !=li1<...<ij 1

где — число заполнения ортогонального кластера, размещенного в узлах [40], причем I = 1 и ^(г) сопоставляются спину из массы и его числу заполнения. В модели Андерсона

по&о(1) = п0ехр(гЯ^)5+ехр(-г'Я^) = тг05+ Д ехр ( ),

зфо ^ )

поэтому

'о з

По ($0+№-)0 = 1п0*(а + 1) П (1 + п,- в) - 1)), (2.3)

зф о

где з — спин частиц системы,

Ч 1 Л ,3. . V 8Ш + V))

При выводе (2.3), как обычно, учтено, что для произвольной функции <р(пх) справедливо тождество (р(пх) = <р(0) + пх{(р{\) - <р(0)). ПСС соответствует пределу, когда относительная концентрация спинов / = 0, но плотность С ~ ¡п (п — объемная концен-

трация узлов решетки) остается конечной, а суммы по решетке заменяются на интегралы по всему пространству. При этом

= ((ГГТУ! / ^' *' ' - ^ (5о+т->0) / {(5+5">о>с'

(2.4)

Здесь N — количество узлов в кристалле.

С учетом (2.3) видно, что конфигурационное среднее сводится к выражению

о,Г2,п(1 + щ-1))) •

\ зфо 'с

Вычислим сначала ^¿/(0,г2,... ,Г/)П^о(1 + - 1))^ ? где

¿1 — число заполнения неортогонального кластера ранга /. Учи-

тывая некоррелированность распределения спинов по узлам, получим в ПСС

(г,( о, ..., г» п (1 + з) -1))\ =

\ зфо 'с

(2.5)

где — запрещенный объем кластера 2\ — область, внутри которой не должно быть других спинов кроме тех, из которых состоит кластер, чтобы не нарушалось условие его существования.

Учитывая, что = 0, а ^ 0 только если ¿Г/ входит в состав некоторого кластера более высокого ранга, имеем реккурентное соотношение

к-1

, • •«, г}) = гх{?ъ..., п)- £ £ 2^п{гъ..., ги гк1,..., гкт).

(2.6)

Отсюда следуют соответствующие формулы для (.. .)с и формальный переход к пределу сплошной среды. Если два аргумента у числа заполнения кластера совпадают, оно равно нулю.

Формула (2.6) позволяет вычислять последовательно от

максимального значения / = к до / = 1 поскольку (^¿¡{гг,...,г/)^ = /'ехр {-/ПУГ1...Г,} при / < 1 [40].

Пользуясь соотношениями (2.6), (2.5), (2.4), можно вычислить вклад в корреляционную функцию от кластеров любого ранга

2.3 Кластерное разложение функций формы линии и ССИ

в модели Андерсона

Далее верхний индекс у £(/) и ее фурье-образа. д{А) обозначает максимальный ранг выделенных кластеров к, а андерсоновская

ширина линии D = ^/¿С'72 определяет характерный временной масштаб задачи. Предполагается нормировка

£¡LiG¡(0) = 1- При

этом (jf(0) имеет смысл вероятности попадания спина в ортогональный кластер ранга I, если максимальный ранг выделенных кластеров равен к.

Если к = 1, т.е. если система рассматривается в целом, без выделения кластеров, то Zi(r) = пг и

G\{t) = e~F°D\ (2.7)

где

Fs^j df[ 1 - £,(M)j// dr[ 1 - Br^ l/2)¡ = 2Tfl t la{-

<T ~~ S

Напомним, что все рассматриваемые корреляционные функции инвариантны к отражению времени. Поэтому здесь и далее предполагается, что t > 0. Вычисляя Fs, получим для полуцелого и для целого спина соответственно

Т.о., поведение С СИ качественно одинаково для любого значения спина. При з = 1/2 (2.7) совпадает с известным выражением [11]; при s -* оо, G\cl(t) — exp {-1Ш}, где Lb = %sj$(s + 1) — момент импульса частицы. Соответствующая (2.7) функция формы линии поглощения — лоренциан с полушириной DFS.

Заметим, что классический предел (2.8) можно получить и непосредственным интегрированием с последующим усреднением

уравнения движения классического спина в модели Андерсона

j

для компоненты = 4- магнитного момента в m-ом узле решетки с учетом постоянства во времени ßz- = 7Lz-. Штрих у знака суммы (произведения) здесь и далее означает отсутствие диагонального члена с Атт. Усреднение по конфигурациям выполняется также как и в квантовом случае, термодинамическое

—f

усреднение сводится к усреднению Lj по направлениям.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда максимальный ранг кластера к = 2 (выделим пары и, таким образом, учтем существующую в системе неоднородность). Используя (2.6), (2.5), (2.4) получим, что

G\(t) — С jdrBr(t,s)exр j-СГог - Сdq{ 1 - Bq(t9s)) j =

= e-F°DiCJdrBr{t,s)exp^-C(2.9)

В работе [40] показано, что запрещенный объем двухспинового

кластера можно представить в форме У0,. = г3, где

6К Хог

Хог = 1 -3cos2i?0r,

а к = G|(0) = 0.58 ± 0.01 — доля спинов в парах.

Точное вычисление асимптотики G\(t) затруднено сложной конфигурацией объема V0ry однако для получения полуколичественного результата во втором из интегралов (2.9) заменим г3 —► г3 | хог |> q3 q3 \ Ход I, после чего примем, что объем, получившийся из запрещенного после этих преобразований, имеет форму шара. Заметим, что сравнительно небольшое расстояние между спинами пары, образующей запрещенный объем, по отношению к характерному размеру этого объема, делает несущественным вопрос о

положении его центра, который мы поместим в нуле. После элементарного интегрирования по угловым переменным и замен радиальных переменных, упрощающих аргументы косинусов, получим для спина 5 = 1/2

т=|сц. (2Л0)

Подчеркнем, что в (2.10) cos у и cosa? происходят непосредственно шз Br(t, 1/2) и Bq(t,1/2). Ассимптотика (2.10) при Dt > 1 определяется точкой перевала kxq = | и имеет вид

GlW-^TDíe-^-^cos^, 7г 2к

где ё = ^¡г < 1. Другой способ расчета, учитывающий угловые зависимости в (2.9) и принимающий за шар сам запрещенный объем F0r> Дает еЩе меньшее значение 6. Поскольку G(t) = G¡(í) + Gf(¿) = e~D\ на больших временах функции G\(t) и G\{t) в модели Андерсона убывают с одинаковой скоростью и противоположны по знаку.

Найдем фурье-преобразование от Gl(t) — функцию формы линии пар

g¡(A)slRefG%t)e^dt.

Подставляя сюда (2.9) и вычисляя интеграл по dt с учетом того, что Br{t, s) = b(r/t1/3, s), получаем

á(A) « Le ídrb{r,s) ^(Уог + ^т-Ъ,*)))*-*

* (c? {v0r + Jqtv0r dq( 1 - 6(<z, s))f + Д2)

(2.11)

Производя замену

Vbr + fq(Vor dq{ 1 - b(q, a)) ^Vg + [/áfll - 6(g, з))

которая точна для малых и больших г (и вносит, как показано ниже, небольшую погрешность при А/В < 1), получим для случая 3 = 1/2

ехр <

7Г1

'1 +

Д2 В2

(1+4п2

7Г1

'1 +

Д2 1)2

(2.12)

где 7г2 = ^г = 1.1. То же выражение получается при аналогич-

жк

ной аппроксимации и непосредственно из (2.10). В классическом пределе вместо (2.12) имеем

1-ехр

2?Г1

2жгА2 ехр у/1+АУ(Рь)2

^1+А2/(М)2/ (В1)2 (1 + Д2/(М)2)3/2

(2.13)

Мы провели прямой численный анализ представления (2.11) для изотропного взаимодействия (Аог не зависит от угла $0г) ПРИ з = 1/2. Результат качественно совпал с (2.12), а количественное расхождение не превысило 10% и было сосредоточено в области А < П. Аналогичные величины для массы д\{А) получают-

ся, очевидно, вычитанием (2.12), (2.13) из фурье-преобразования (2.7).

Поведение функций формы линии пар, массы и системы в целом для случаев 5 = 1/2 из = оо представлено на рис. 1, 2.

Линия поглощения (2.12) отлична от нуля в центре и имеет там широкое плато (со слабо выраженным минимумом) при А = 0. В классическом пределе функция формы линии (2.13) имеет только один максимум в центре. С физической точки зрения это различие в значительной степени определяется тем, какую форму имеет

огибающая линий, соответствующих данному состоянию ближайшего спина — для спина s > 1 линия поглощения имеет только один максимум в центре. Из (2.1*2), (2.13) следует, что пары исчерпывают крыло линии (ср. [40]).

2.4 Учет временных флуктуаций в приближении нормального случайного процесса

Если в модели Андерсона аппроксимировать сигнал свободной индукции (2.3) гауссовой функцией с точным вторым моментом, положив

(S+(t)Sp0 = | ф + 1)ехр{-^М2/}, (2.14)

M2j = jß(s + 1)£ 'A2mjnm,

^ т

то после выполнения конфигурационного усреднения получается, что

<ЭД = П' [1 + / (ехр + 1 -

(2.15)

/ < 1. В случае 5 = 1/2 эти формулы были получены ранее в работах [39,50]. Показатель экспоненты в них для ССИ весьма близок к правильному (2.7) и меньше его в 1.25 раза. Эта точность удивительно высока для столь грубой аппроксимации.

Как известно, гауссов временной спад соответствует нормальному распределению статических локальных полей. Если же, в духе теории Андерсона — Вейсса — Кубо, аппроксимировать временные флуктуации локальных полей нормальным случайным процессом, или, что то же самое, учесть только первый член кумулян-тного разложения ССИ, то получается, что

(50+(г)50-}0 = ¡5(5 + 1)е-ад, (2.16)

где

ФоМ = /0 dr(t - t){W!0(t)ui0)0,

Що = § Ето ^-mO^m'S'm — локальное поле на спине 0. Определим корреляционную функцию K(i) локального поля соотношением

<w/0(*Mo>o s M20K(t), К{0) = 1. (2.17)

Формулы (2.16), (2.17) отличаются от стандартной версии теории АВК тем, что М20 и K(t) зависят от реализации случайного распределения примесей в решетке.

Локальное поле флуктуирует благодаря процессам флип-флопов и, таким образом, K{t) характеризует их статистические свойства. Поскольку скорости флуктуации спинов зависят от особенностей их взаимодействия, K(t) различна для разных реализаций распределения спинов в решетке. Однако, эта зависимость от конфигурации слабее, чем зависимость от конфигурации момента М20. Если пренебречь более слабой зависимостью, положив K(t) независимой от конфигурации, и определить I(t) = $ dr(t-r)K(r), то соотношение (2.16) можно усреднить по конфигурациям и получить, что [40]

G(t) = ехр{-2DFs\/l(t)/w} . (2.18)

При t > тс = Jo0 drK(r) отсюда следует, что

InG(t > те) = -IDFssJtTc/ft

в согласии с выводами работы [55], полученными из других соображений.

Аппроксимация АВК справедлива, если локальное поле складывается из немалого числа приблизительно одинаково распределенных слагаемых. Используемый нами способ выделения кластеров

приводит к тому, что наиболее сингулярная часть взаимодействий включается во внутрикластерные взаимодействия и учитывается точно. Поэтому после отделения кластеров локальные поля, создаваемые на спинах массы и на кластерах окружающими спинами, становятся гораздо ближе к нормальному процессу, и в результате синтеза теории АВК и кластерного разложения должны получиться результаты гораздо более точные, чем (2.15). Ниже мы сформулируем эти результаты и проверим их путем сравнения в пределе rcD > 1 с точно решаемой моделью Андерсона.

Выделим из системы пары и рассмотрим 2-кластер, составленный из спинов Sq и Si . Гамильтониан этой пары

Нр = A0i(SqS( - is+Sf ~ \SoSt) + Mt)(S*0 + Sf).

Здесь, как и ранее, мы пренебрегаем зависимостью создаваемого внешними по отношению к паре спинами поля от координаты спина в кластере.

При 5 = 1/2 уравнения движения для спинов 0, 1 пары легко интегрируются и в результате

(S+(t)S~) = icos(|A01i)exp{-M20/(i)} , (2.19)

а для спина массы остается справедливой формула (2.16).

В этом разделе мы пренебрегаем флуктуациями коррелятора K(t). Более общий случай рассмотрен в следующем разделе.

Подставим (2.14), (2.15) в (2.4) и выполним конфигурационное усреднение также как в (2.5) с учетом того, что число заполнения узла j спином из 2-кластера есть n| = J2q ^(r;,^), а число заполнения этого же узла спином массы nj = nj - пс-. В результате для функций ССИ от пар и от массы получим выражения:

022(г) = с1(1гсоБЦ^е-СУ<»ех]>![-С] <Щ(1 - е-^'Ю)},

-С/¿гехр /(*) ~ СГог} ехр |_С#(1 - е^т) |.

(2.20)

Обсудим свойства корреляционной функции А'(/), определенной формулой (2.17). Она построена из продольных компонент спиновых операторов. Коррелятор <?(£) = {{5?)2)0)с при малых !)£ ведет себя как ехр{-|1)г}, что следует из анализа первого члена концентрационного разложения. Функция К(¿) убывает с характерным временем гс, где т~1 — скорость флуктуаций. В упорядоченных системах тсБ ~ 4 (см. [56] и цитированную там литературу), так что для флип-флопов в массе и в парах в центральной части линии мы вправе ожидать такого же соотношения.

Сумма £¿1*1 3?щ (суммирование по спинам) является интегралом движения, поэтому естественно ожидать, что длинновремен-

\

ная асимптотика является диффузионной т.е. q{t > те) = (п.х3/2 •

{иг} I-

При промежуточных значениях t (в диапазоне 1/2 > > 0.1) поведение q(t), по-видимому, удовлетворительно передается фер-стеровской экспонентой [43] е~игде константа и ~ 1. Эта экспонента — функция Грина для процесса переноса поляризации в низкоконцентрированной спиновой системе в приближении необратимого переноса. Поведение К{1) качественно аналогично q(t). Следовательно, влияние диффузионного хвоста на функцию /(¿) мало, по крайней мере в трехмерных системах. Влияние начального чисто экспоненциального участка также несуществен-

щ,

но. Поэтому далее в численных оценках мы, как правило, считаем K(t) = exp{-yftJK].

В результате отличие т~1 от нуля проявляется только при tD ~ 10 и тем самым не сильно сказывается на форме линии.

При г"1 = 0, I(t) = t2/2 и, делая фурье-преобразование (2.20), интегрируя по dt и оставляя главные члены по г в числителе и знаменателе получившихся подинтегральных выражений так же как при выводе (2.12), получаем после несложных преобразований

ехр ( *iDlD* \ D у/1 + &/DV (tf 1 h

( Art + k гЩ

V+Dj)

1 rdy cxpi D2 + y(D2s~^)

91W 7Г Щ + А 2 W2WJ0 2 J (D2 + y{D2 + A2)f

(2.21)

Здесь D§ = sJ^D — скорость убывания G\(t) = exp(-Dgi) в рассматриваемой модели без выделения кластеров [40]. Нетрудно увидеть, что при Д > D, дЦА) ~ а #|(Д) = т.е. пары исчерпывают крыло линии, а асимптотика д(А) совпадает с таковой в модели Андерсона. Функции (2.21) практически совпадают с полученными в модели Андерсона и в центральной части линии. Для иллюстрации влияния г"1 ^ 0 на функции формы линии вычислим д(А) = g%(A) + gj(A) — функцию формы линии системы в приближении нормального случайного процесса при т~1 = D/4, 5 = 1/2. Соответствующие графики приведены на рис. 3. Видно, что наличие флуктуаций имеет некоторое влияние на центр линии. Как и следовало ожидать, более медленное убывание G(t) приводит к увеличению значения #(0) по сравнению со случаем отсутствия флуктуаций. Поведение функции д%(А) вблизи нуля представляет

е Г

у2

промежуточный вариант между т~1 = 0 и т~1 = ос. В последнем случае дЩ = 0 [40].

Преобразуя переменные интегрирования и запрещенный объем в (2.20) так же как при получении формулы (2.10), получаем явное интегральное представление для функций ССИ:

<*,) = . ке/; £ ехр { („ _ £. Mft ¿°° *

т). _ ЬоЩ£ §еХр {-£ - 4W) Г $е-

(2.22)

Графики функций (2.22) и их суммы G(t) для ферстеровского вида K(t) и tcD — 4 приведены на рис. 4. Там же для сравнения приведены графики этих функций в модели Андерсона.

Исследуем их дпинновременяые асимптотики. Асимптотика G\{t) может быть найдена по методу Лапласа представлением входящего в нее интеграла в форме

¡"йф^хр^ехр^Бу/Щф},

где ф(х) = Jjf фехр{—и имеет вид

G?(Z > п) ~ e-^W7»

(2.23)'

Напомним, что 1(1 > тс) ~ 2%тс при конечном тс и /(£ оо) ~ у при г"1 = 0.

Если т~1 — 0, асимптотика находится представлением входящего в эту функцию интеграла в виде Ее/0°°^^ехр где ф(х) определяется также как при выводе (2.23), а ((х) =

Jq dx expj^j:

«2 Di M)

Gl(Di » 1, r-i = 0) ~ -^e-(2.24)

Сравнивая (2.23), (2.24) с (2.7) и асимптотикой (2.10), можно видеть хорошее согласие между моделью Андерсона и приближением нормального случайного процесса в пределе медленных флуктуа-ций. На промежутке 0 < Di < 10 различие между результатами этих двух моделей настолько мало, что не видно на графиках, однако относительное различие не убывает с увеличением что приводит к заметному различию соответствующих функций формы линии вблизи А = 0.

Основное различие между приближением нормального случайного процесса, тс — оо и точной в этом случае моделью Андерсона состоит в различии скорости убывания ССЙ пар на ((* У2/75") N^h = 9-4%. Функции Gl(t) совпадают с ра-

вномерной точностью 5% в диапазоне 0 < Dt < 10. Фурье преобразования дЦА) имеют наибольшее различие при А = 0 (относительное различие 7%), оно убывает с ростом А и становится меньше 1.5% при А > D. Полный ССИ совпадает с андерсеновским с еще большей точностью. Т.о., отделение 2-кластеров привело к радикальному изменению точности результата G(t) = который следует из (2.18) при т~1 = 0.

Для того, чтобы найти асимптотику G\(t) при конечных гс, представим входящий в нее интеграл (после замены переменных х 1/ж, у 1 /у) в виде Re /0°° dxexp {^¿г/(ж)J где

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Каганов, Илья Вячеславович

5. Заключение

В данной работе проведен количественный анализ основной проблемы теории функции формы линии и ССИ в пространственно-нерегулярной спиновой системе как на основе точно решаемой модели Андерсона, так и в приближении нормального случайного процесса для локальных полей. В пределе медленных флуктуа,-ций оба подхода практически совпадают. Временные флуктуации спинов на крыле линии поглощения обеспечиваются в основном четырехспиновым процессом, возникающим во втором порядке теории возмущений, причем соответствующая функция корреляции локального поля убывает значительно медленнее чем функции, обычно применяемые для описания таких процессов в пространственно регулярных средах [56]. В системе существуют весьма медленные флуктуации, которые не дают существенного вклада в длинновременные асимптотики из-за своего малого статистического веса, но приводят к сильному замедлению выхода на асимптотику, в результате чего полная функция ССИ системы на значительных временах может быть описана моделью Андерсона.

Данный результат весьма важен и нетривиален. Дело в том, что обычно в спиновой кинетике пространственно регулярных систем лоренцева линия возникает в пределе малых времен корреляции, т.е. быстрых флуктуаций локальных полей. Это утверждение справедливо почти при любом типе взаимодействия и любой размерности пространства. В магниторазбавленных системах и в модели Андерсона механизм появления лоренцевой линии совершенно иной. Здесь, наоборот, бесконечно большое время релаксации, и лоренцева линия появляется только если взаимодействие спадает с расстоянием как 1/И, где (I — размерность пространства.

Известно, что при сужении движением лоренцева линия не модифицируется если движение имеет характер некоррелированных столкновений. В действительности временные флуктуации локальных полей гладкие и поэтому адекватность модели Андерсона для не малых времен удивительна. При тс = 4/1) отличие АВК от модели Андерсона при расчете Сг(£) достигает 20% при В1 = 3 и 50% при В1 = 5. Отсюда следует необходимость более совершенных моделей при анализе тонких особенностей рассматриваемых систем.

Более простая модель, чем использованная в настоящей работе, состоит в предположении, что поле на каждом спине может быть аппроксимировано нормальным случайным процессом, причем от конфигурации зависит только второй момент [40]. Для ССИ при этом получается £(2) = В пределе медленных .флуктуации этот результат удовлетворительно согласуется с моделью Андерсона, однако в случае реалистичных тс на средних временах результат этой модели сильно расходится с выводами кластерного анализа, которые гораздо ближе к результату Андерсона и в этом случае.

Функции формы линии, полученные в приближении нормального случайного процесса, практически совпадают с таковыми в модели Андерсона.

Полная функция ССЙ экспоненциальна на малых и средних временах и становится корневой экспонентои на больших, причем время выхода на асимптотику существенно связано с видом корреляционной функции локальных полей от самых медленных объектов в системе. Фактически происходит сильное замедление выхода ССИ на асимптотику.

Развитие методов кластерных разложений позволило показать, что регулярная процедура выделения сильно взаимодействующих групп спинов из системы приводит к адекватному описанию явлений, причем достаточен уже второй порядок разложения, т.к. третий приводит лишь к незначительной поправке.

Существующие теории ССИ не претендовали на описание его на средних и больших временах. Проведенное нами рассмотрение дает предсказание поведения ССИ практически на всех временах, что делает возможной экспериментальную проверку адекватности построенной в данной работе модели реальным процессам в низкоконцентрированной спиновой системе.

Модель Андерсона не могла претендовать на описание поведения системы на не малых временах. Можно было ожидать, что при введении в эту модель конечного времени флип-флопов, произойдет существенное изменение поведения ССИ, состоящее в основном в изменении его от чисто экспоненциального 1п(7(£) = к 1п --\ПМ на временах, близких к О"1. Наш анализ показывает, что в действительности эта асимптотика реализуется заметно позднее, а рассмотренные нами более реалистические модели обеспечивают возможность экспериментальной проверки правильности исходных предположений о процессах, протекающих в разбавленной спиновой системе и уточнения данных об их свойствах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Каганов, Илья Вячеславович, 1998 год

Литература

1. U. Haeberlen, High Resolution NMR in Solids, Academic Press, N.Y., 1976.

2. M. Mehring, High Resolution NMR Spectroscopy in Solids, Springer, Berlin, 1976.

3. V.A. Atsarkin, Magn. Res. Rev., 16, P.l, 1991.

4. B.N. Provotorov, Zh. Eksp. Teor. Fiz., 41, 1582, 1961.

5. M. Goldman, Spin Temperature and Nuclear Magnetic Resonance in Solids, Clarendon Press, Oxford, 1970.

6. P. Эрнст, Дж. Боденхаузен, А. Вокаун, ЯМР в одном и двух измерениях, М., Мир, 1990.

7. В.А. Ацаркин, Динамическая поляризация ядер, Наука, М., 1980.

8. В.А. Ацаркин, С.К. Моршнев, ПЖЭТФ, 6, 578, 1967.

9. В.А. Ацаркин, ЖЭТФ, 58, 1884, 1970.

10. A. Abragam and В. Bleaney, Electron Paramagnetic Resonance of Transition Ions, Clarendon Press, Oxford, 1970.

11. Anderson P.W., Phys. Rev.,1951, V.82, P.342.

12. Portis A.M., Phys. Rev., 1953, V.91, P.1071.

13. Kiel A., Phys. Rev., 1962, V. 125, P. 1451.

14. Vugmeister B.E., Phys. Stat. Sol. (b), 1976, 76, 161.

15. J.S. Hyde and D.A. Hyde, J. Magn. Reson., 43, 137, 1981.

16. Э.В. Авагян, В.А. Ацаркин, Г.А. Васнева,, ЖЭТФ, 1983, 85, 1790.

17. В.А. Ацаркин, Г.А. Васнева, В.В. Демидов, ЖЭТФ, 1986, 91, 1523.

18. В.А. Ацаркин, ФТТ, 17, 2398, 1975.

19. К.М. Салихов, А.Г. Семенов, Ю.Д. Цветков, "Электронное

спиновое эхо и его применение", Наука, Новосибирск, 1976.

20. К.М. Salikhov and Yu.D. Tsvetkov, in "Time Domain Electron Spin Resonance", Eds. L. Kevan and R.N. Schwartz, Wiley, N.Y., P. 231, 1979.

21. D.K. Taylor and J.P. Hessler, Phys. Lett., A53, 451, 1975.

22. T. Endo, T. Hashi, and T. Muramoto, Phys. Rev., B34. 1972,

1986.

23. И.Н. Куркин, В.И. Шленкин, ФТТ, 19, 3075, 1977.

24. И.Н. Куркин, В.И. Шленкин, ФТТ, 20, 3736, 1978.

25. И.Н. Куркин, В.И. Шленкин, ФТТ, 21, 1469, 1979.

26. В.И. Шленкин, ФТТ, 22, 891, 1980.

27. A. Abragam, The Principles of Nuclear Magnetism, Clarendon Press, Oxford, 1961.

28. B.A. Ацаркин, O.A. Рябушкин, B.A. Скиданов, ЖЭТФ, 74, 720, 1977.

29. V.A. Atsarkin, G.A. Vasneva,, A.E. Mefed, and O.A. Ryabushkin, Bull. Magn. Reson. 1, 139, 1980.

30. B.A. Ацаркин, B.B. Демидов, ЖЭТФ, 89, 1438, 1980.

31. Джепаров Ф.С., Хеннер E.K., ЖЭТФ, 1989, 96, 184.4.

32. Хеннер Е.К., ФТТ, 1988, 30, 2569.

33. Джепаров Ф.С., Лундин А.А., Хазанович Г.Н., ЖЭТФ,

1987, 92, 554.

34. Henner Е.К., Henner V.K., Physica А, 172, 431.

35. Хеннер В.К., Хеннер Е.К., ФТТ, 32, 859.

36. Хеннер Е.К., Шубин С.В., Радиоспектроскопия, Пермь, вып.21, 16.

37. P.W. Anderson, P.R. Weiss, Rev. Mod. Phys., 1953, V.25, 269.

38. Джепаров Ф.С., Современные методы ЯМР и ЭПР в химии

твердого тела, Черноголовка, 1990, С.77: Extended Abstracts of the 26th Congress Ampere, Athens, 1992, P.380.

39. Drabolt D.A., Fedders P.A., Phys.Rev.B, 1988, V.37, P.3440.

40. Ф.С.Джепаров, Е.К.Хеннер, ЖЭТФ, 1993, 104, 3667.

41. Scher H., Lax M., Phys. Rev. В, 1973, 7, 4491.

42. Ф.С. Джепаров, Радиоспектроскопия, Материалы Всесоюзного симпозиума по магнитному резонансу, Пермь, 1980, 135.

43. Ф.С. Джепаров, ЖЭТФ, 1991, 99, 982.

44. Ф.С. Джепаров, Д.В. Львов, К.Н. Нечаев, В.Е. Шестопал, ПЖЭТФ, 1995, 62(8), 639.

45. Gochanour C.R., Andersen Н.С., Fayer M.D., J. Chem. Phys., 1979, V.70, P. 4254.

46. E.H. Бодунов, В.А. Малышев, ФТТ, 1985, 27, 3642.

47. T.T. Басиев, В.А. Малышев, А.К. Пржевуский, Труды Института общей физики, 1994, 46, 86.

48. А. Абрагам, М. Гольдман, Ядерный магнетизм, порядок и беспорядок, М., Мир, 1984.

49. Ю.Г. Абов, А.Д. Гулько, Ф.С. Джепаров и др., ЭЧАЯ, 1995, 26(6), 1654.

50. Ф.С. Джепаров, Э.Б. Фельдман, Изв. АН СССР, сер. физ., 1988, 52, 455.

51. E.B. Feldman, S. Lacelle, J. Chem. Phys., 1996, 104(5), 2000.

52. R. Kubo, J. Phys. Soc. Jap., 1962, V.17, 1100.

53. M. Tanaka, Y. Aoyama, Y. Yamamoto, J. Phys. Soc. Jap., 1990, V.59, 32.

54. A.G. Demenev, E.K. Henner, Extend. Abstracts of XXVII Congress Ampere, Kazan, 1994, P. 196.

55. Ф.С. Джепаров, A.A. Лундин, Т.Н. Хазанович, ЖЭТФ,

1987, 92, 554.

об. F.S. Dzheparov, S.V. Stepanov, Correlation Functions in Spin Dynamics, etc., in "Muons and pions in matter", Proc. Ill Int. Symposium on muon and pion interactions with matter, Dubna, 1995, P.247.

57. Ф.С. Джепаров, И.В. Каганов, E.K. Хеннер, ЖЭТФ, 1997, Т.112(8), 596.

58. Ф.С. Джепаров, И.В. Каганов, Препринт ИТЭФ N3, М., 1998.

59. Е. Hairer, S.P. Norsett, and G. Wanner, Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems, Springer-Verlag, Berlin — New York, 1993.

60. Ю.Л. Левитан, И.М. Соболь, Мат. Модел., 2, N8, 119, 1990.

qá

é:¿

/

,á.l5

-tH--

\ "i....... S-jíAl D;

\ ?.- gJiAjO;

\ 2 \ 9

3 \ \

3 --

gplAJD.

o.os

V.4

1

Рис. 1

A/Û

i a

1-g^A SOL;

X1

\

\ \

\

\ 4

2 - g, íAjOL:

■9¿:f

-1 i г

Ряс. 2

4 5

А/да

"i Г»1 T--ÄS

J

1 Ь-ОуШ:

Uftïf- Ц

i r-й írf t -и ч

т-

û 5

~ О

-p ú

I i I Г"~1 1 I T } 1 Т71ТТТ1Т"[''ТТ1Т"ГТТТГ]^'П"ТГГТТТУТТГТТТТТТ"РГТ"У

1 i f I 1 I 1 1 I Ï I I 1 1 I I 1 1 I I j

о

■о cd

•ф

c\¡

о

CAO

о

с......;

CD

С)

Г

О

С ; CN

о

С J

о

с

ч>

к* О ч

а

3{ 3

-с J cû

41

«

- 3; о

1я

* 2 if X

-т -ч

ф о

)

ai

а-.'

ы

«

а X

I «

-О С\1

«у в.

ь *

и "<J

i *

- -s ■J" ¡y

á ° CL

«он;

( H 's

Í ÎF

i

Cf?-9 «fr

-р л

~f>

О »—'

[ЧЛ 1+"

оч

1

}

tu ОЧ

г4

à ^

X s X

О ^

S

á» Si

ж Q

^ \ ^

О к

Q Û

К «

^ S

S X

S <V> îs- J

o Ci Q ^

оо «о

о <5

Со О

ГЬ о

-fj

¡Q

i "Ч ! ï

I é t 1

i

i ^ ОЧ / ! *

i ^ s 1 ' • ^ / i V

1 s— !

S

его

• Ы

$

a •

> Q>

Ь ДО

S s

2L *

£ *

Ç, -o

Si ^

C5 V

í- к

cSsfi '

O

N

^ r

c° S

CD

<j

s CL

.....1Q

о ï

ir

ví

o

<5p

л)

f\j

5: Q

V) -V.

и

s

O )>

X .

X *

V -

£ í

i *

o

ti o.

•е. T

<y A.

4 «

5 î

с 4-

l-í.

О

C\J

(9-7 5 V

-M

Q'

%

V

Л is

3

u

c> s

V)

V p>

5

-à rá

г» о 4

£

л

L

V/

rt<

rv)

S

oi !

rJ

rv\

J

H

/ /

Li. О

/

s

/

i

i <

Л1

J

î

V

У Со С

/Г V ^

/;- s I -

// ; * i;

; ^ >

/ » *

/ .....i <\) N ;

! ' * : •v, ,

! V «

! V

i I

<* с

/ 1

-i

4 <

О <

5 ,

/ î S

! О :

!

„4 ^ О

//' l en

// I

О

S 1

a. î

i

i

О