Современные полуэмпирические модели турбулентности для пристенных течений: Тестирование и сравнительный анализ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Гарбарук, Андрей Викторович

• Гарбарук, Андрей Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гарбарук, Андрей Викторович

Оглавление

Оглавление

Список обозначений

Введение

Глава 1. Полуэмпирические модели пристенной турбулентности:

сравнительный анализ

1.1. Способы замыкания уравнений Рейнольдса

1.2. Модели турбулентной вязкости

1.2.1. Алгебраические и полудифференциальные модели

1.2.2. Модели с одним дифференциальным уравнением

1.2.3. Модели с двумя дифференциальными уравнениями

1.2.4. Другие модели, базирующиеся на гипотезе Буссинеска

1.3. Модели, не использующие гипотезу Буссинеска

1.3.1. Дифференциальные модели рейнольдсовых напряжений

1.3.2. Алгебраические модели рейнольдсовых напряжений

1.3.3. Явные алгебраические модели рейнольдсовых напряжений и нелинейные модели турбулентной вязкости

1.4. Выбор моделей для детального анализа

Глава 2. Обобщенная двухслойная алгебраическая модель

турбулентности для расчета пристенных пограничных слоев

2.1. Общий принцип построения модели

2.2 Определение скоростных масштабов в пограничных слоях с немонотонным распределением касательного напряжения

2.2.1. Внутренняя область пограничного слоя

2.2.2. Внешняя область пограничного слоя

2.3. Формулировка предлагаемой модели

2.4. Определение эмпирических констант модели

Глава 3. Эксперименты, выбранные для тестирования моделей

турбулентности

3.1. Пограничные слои на плоских поверхностях

3.2. Пограничные слои на искривленных поверхностях

3.3. Одномерные установившиеся течения в криволинейных и вращающихся каналах

Глава 4. Постановка рассматриваемых задач и методы расчета

4.1. Пристенные турбулентные пограничные слои

4.1.1. Уравнения двумерного турбулентного пограничного слоя с учетом продольной кривизны обтекаемой поверхности

4.1.2. Уравнения квазитрехмерного турбулентного пограничного слоя с учетом поперечной кривизны обтекаемой поверхности

4.1.3. Метод решения уравнений пограничного слоя

4.1.3.1. Аппроксимации производных

4.1.3.2. Аппроксимация источниковых членов в дифференциальных моделях

турбулентности

4.1.3.3. Метод решения разностных уравнений

4.1.3.4. Обратный метод

4.1.3.5. Конечно-разностная сетка

4.1.3.6. Задание начальных и граничных условий по экспериментальным данным

4.2. Постановка и метод решения одномерных задач

4.2.1. Течение в криволинейном канале

4.2.2. Течение во вращающемся канале

4.2.3. Метод решения одномерных задач

Глава 5. Результаты сравнительного анализа моделей турбулентности

5.1. Сравнительная оценка вычислительных свойств рассматриваемых моделей

турбулентности

5.1.1. Чувствительность результатов расчетов в рамках различных моделей к изменению конечно-разностной сетки по поперечной координате

5.1.1.1. Влияние величины пристеночного шага

5.1.1.2. Влияние степени сгущения сетки

5.1.2. Чувствительность результатов расчетов к граничным условиям в начальном сечении пограничного слоя

5.1.3. Чувствительность результатов расчетов к характеристикам турбулентности во внешнем потоке

5.1.3.1. Модели с одним уравнением

5.1.3.2. Модели, требующие задания на внешней границе пограничного слоя значений кие или со

5.1.4. Возможность расчета течений с ламинарными участками и управления

переходом к турбулентности

5.1.5. Общая оценка вычислительных свойств рассматриваемых моделей

5.2. Сравнительная оценка точности моделей при расчете пристенных пограничных слоев на плоских поверхностях

5.2.1. Пограничный слой на плоской пластине

5.2.2. Пограничные слои на плоских поверхностях при наличии продольного градиента давления

5.2.2.1. Сравнение прямого и обратного методов решения уравнений пограничного слоя

5.2.2.2. Пограничный слой на плоской поверхности при наличии отрицательного градиента давления (опыт 2700)

5.2.2.3. Пограничные слои с положительным градиентом давления (опыты 3300, 0141, 1200, 4800, 0431)

5.2.2.4. Пограничный слой со знакопеременным градиентом давления (опыт ТМ)

5.2.3. Пограничный слой на плоской поверхности при наличии вдува и отсоса

5.2.3.1. Пограничный слой при наличии вдува (опыт 0241)

5.2.3.2. Пограничный слой при наличии отсоса (опыт 0242)

5.2.4. Пограничный слой на плоской поверхности при наличии скачкообразного изменения скорости стенки (опыт НА)

5.3. Пограничный слой на продольно обтекаемом цилиндре (опыт DF)

5.4. Турбулентные течения с существенной кривизной линий тока и вращением

5.4.1. Результаты расчета одномерных течений

5.4.1.1. Установившееся течение в криволинейном канале

5.4.1.2. Течение Куэтта в зазоре между вращающимися цилиндрами

5.4.1.3. Установившееся течение в плоском вращающемся канале

5.4.2. Пограничные слои с существенной кривизной линий тока

5.4.2.1. Пограничный слой на выпуклой поверхности со слабой кривизной (опыт 0231)

5.4.2.2. Пограничный слой на вогнутой поверхности со слабой кривизной (опыт 0232)

5.4.2.3. Пограничный слой на выпуклой поверхности с сильной кривизной (опыт 0233)

5.4.3. Пограничный слой на продольно обтекаемом цилиндре при наличии резкого изменения граничных условий на стенке

5.5. Общая характеристика рассмотренных моделей

Заключение

Приложение

Алгебраические модели

Модель GLS (Гарбарук, Лапин, Стрелец, 1999)

Модель CS (Cebeci, Smith, 1974)

Полудифференциальные модели

Модель Но СHorton, 1994)

Модели с одним дифференциальным уравнением

Модель SA (Spalart, Allmaras, 1992)

Модель vr-92 (Гуляев, Козлов, Секундов, 1993)

Модель DM Y (Durbin, Mans our, Yang, 1994)

Модели с двумя дифференциальными уравнениями

Ks модель LS (Launder, Sharma, 1974)

К-8 модель Ch {Chien, 1982)

К-6 модель HL {Hwang, Lin, 1998)

K-œ модель WL {Wilcox, 1993c)

K-œ модель MSST {Menter, 1993)

Модели с тремя дифференциальными уравнениями

K-e-v2 модель Du {Lien, Durbin, Pameix, 1997)

Явные алгебраические модели рейнольдсовых напряжний (EARSM)

Модель Sp {Abid, Rumsey, Gatski, 1995)

Модель WJ {Wallin, Johansson, 1997)

Список литературы

Список обозначений.

Ак=г/Я{Г - текущий коэффициент кривизны; В*= Ущг/ V* - коэффициент массообмена на стенке; Ср - коэффициент трения на стенке;

Н - формпараметр пограничного слоя;

к - кинетическая энергия турбулентности;

К ±1/ Яф- - коэффициент кривизны поверхности (положительное значение К

соответствует выпуклой поверхности, отрицательный - вогнутой); Рк - генерация кинетической энергии турбулентности;

Яцг - радиус кривизны поверхности;

г - текущий радиус кривизны;

К<&0=0и/у- число Рейнольдса, построенное по толщине потери импульса; Яех^хи/у - число Рейнольдса, построенное по координате х; Яег - турбулентное число Рейнольдса;

Бу - компонента тензора скоростей деформаций;

Я - скорость деформации (£ = );

и - проекция скорости на ось х;

Х1щ- - значение проекции скорости и на стенке;

ие -значение проекции скорости и на внешней границе пограничного слоя;

ир - скорость потенциального течения вне пограничного слоя;

V - проекция скорости на ось у;

Уцг - значение проекции скорости V на стенке;

V* - динамическая скорость на стенке (у, = -/%//? );

м/ - проекция скорости на ось г;

IV\у - значение проекции скорости м> на стенке;

х - ось координат, направленная вдоль поверхности и совпадающая по

направлению с движением потенциального потока; у - ось координат, направленная перпендикулярно поверхности;

г -ось координат, направленная вдоль поверхности и ортогональная

осям* и .у;

у - коэффициент перемежаемости в алгебраических и

полудифференциальных моделях; р - плотность жидкости;

5 - толщина пограничного слоя;

8* - толщина вытеснения пограничного слоя;

ду - символ Кронекера;

а - диссипация турбулентности;

£ук - символ Леви-Чевита;

О - толщина потери импульса пограничного слоя;

¡л - молекулярная динамическая вязкость;

цт - турбулентная динамическая вязкость;

у - молекулярная кинематическая вязкость;

ут - турбулентная кинематическая вязкость;

Уп - турбулентная кинематическая вязкость во внутренней области

пограничного слоя;

Уто - турбулентная кинематическая вязкость во внешней области

пограничного слоя; т - тензор турбулентных напряжений;

%А - анизотропная часть тензора турбулентных напряжений

« 2//Д,); %цг - касательное напряжение на стенке;

со - удельная диссипация турбулентности;

0.у - компонента тензора завихренности;

0.1=еук Оук - компонента вектора завихренности;

О - модуль завихренности (О = ^/ЦЦ ).

Нижние индексы

е - значение на внешней границе пограничного слоя;

г - внутренняя область пограничного слоя;

т - значение в точке максимума касательного напряжения;

о - внешняя область пограничного слоя;

р - потенциальное течение;

Ж - значение на стенке.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Современные полуэмпирические модели турбулентности для пристенных течений: Тестирование и сравнительный анализ»

Введение

Несмотря на интенсивное развитие вычислительной техники и впечатляющие успехи, достигнутые в последние годы в области построения эффективных численных алгоритмов решения задач гидромеханики и в разработке сопутствующего математического обеспечения (генераторы сеток, интерактивные системы ввода данных и системы визуализации результатов расчетов), проблема численного моделирования турбулентных течений, как и на протяжении многих предшествующих десятилетий, по-прежнему остается наиболее трудной и актуальной проблемой механики жидкостей. В отличие от ламинарных течений, расчет которых, благодаря отмеченным достижениям, стал во многом рутинной процедурой, надежное предсказание характеристик сложных турбулентных течений, представляющих наибольший практический интерес, по известным причинам (стохастическая природа и исключительно широкий пространственно-временной спектр турбулентных потоков) все еще остается скорее искусством, чем строгой наукой. Вместе с тем, общий прогресс вычислительной гидроаэродинамики не мог не сказаться и на состоянии проблемы численного моделирования турбулентности. В частности, огромный опыт, накопленный при эксплуатации полуэмпирических моделей турбулентности, используемых для замыкания осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса (в западной литературе Reynolds Averaged Navier-Stokes - RANS), привел к ясному осознанию того факта, что надежды на создание универсальной модели турбулентности, пригодной для расчета всех или, по крайней мере, большинства турбулентных течений, казавшиеся вполне реальными еще в 70-80-х годах, едва ли осуществимы. Это, в свою очередь, привело к значительному смещению акцентов в исследованиях, посвященных моделированию турбулентности. Так, все больше и больше внимания стало уделяться альтернативным (не использующим RANS) подходам, а именно методу моделирования крупных вихрей (Large Eddy Simulation - LES) и прямому

численному моделированию турбулентности (Direct Numerical Simulation - DNS). Однако, в силу исключительной вычислительной трудоемкости этих подходов, область их применения ограничена в настоящее время относительно простыми течениями при низких и умеренных числах Рейнольдса, а основным инструментом для расчета сложных турбулентных течений при высоких числах Рейнольдса по-прежнему остается полуэмпирическая теория турбулентности. В этой области наряду с традиционными исследованиями, направленными на усовершенствование и разработку новых моделей турбулентности, в последнее время все большее значение придается проблеме тестирования и определения границ применимости уже существующих моделей. Эта работа проводится как отдельными исследователями, так и в рамках специальных международных программ, координируемых Стэнфордским университетом, Европейской комиссией по развитию научных исследований и Европейским сообществом по течениям, турбулентности и горению (ERCOFTAC). Целью этих исследований является выработка конкретных рекомендаций, позволяющих обоснованно выбрать ту или иную модель турбулентности при решении различных прикладных задач, связанных с расчетом турбулентных течений. Именно к этому направлению принадлежит данная работа. Однако, прежде чем сформулировать ее конкретные задачи, целесообразно несколько подробнее остановиться на упомянутых выше различных подходах к моделированию турбулентности.

Истоки полуэмпирической теории турбулентности (ПТТ) восходят к концу XIX века и связаны с классическими работами Рейнольдса (.Reynolds, 1895) и Буссинеска (Boussinesq, 1877), в которых были сформулированы основополагающие идеи этой теории: процедура осреднения уравнений Навье-Стокса (получение RANS) и гипотеза турбулентной вязкости.

Первая модель турбулентности, то есть соотношение, определяющее связь между турбулентной вязкостью и параметрами осредненного движения, принадлежит Прандтлю (Prandtl, 1925), предложившему модель пути смешения, которая вплоть до настоящего времени играет важную роль в ПТТ и является

элементом многих появившихся впоследствии моделей турбулентности. Определяющий вклад в развитие ПТТ в середине нашего века внесли работы Кармана (von Karman, 1930), Колмогорова (.Колмогоров, 1942), Прандтля (Prandtl, 1945), Ротта (Rotta, 1951) и Клаузера (Clauser, 1954). Интенсивное применение разработанных в этот период моделей началось в 60-ых годах, когда вычислительная техника достигла необходимого для этих целей уровня. В результате к середине десятилетия отчетливо проявился основной недостаток разработанных моделей: любая из них позволяла получить приемлемые по точности результаты только для достаточно узкого, специфического для каждой модели круга течений (Coles, Hirst, 1968). Вследствие этого попытки построения новых, более общих (в идеале - универсальных) моделей турбулентности непрерывно продолжались, в результате за последующие тридцать лет появилось множество самых разнообразных полуэмпирических моделей турбулентности. Это, однако, не привело к радикальному изменению ситуации, имевшей место в конце 60-х годов: ни одна из известных в настоящее время полуэмпирических моделей не может быть названа универсальной (Spalart, 1999).

Неудовлетворенность полуэмпирическими моделями турбулентности, с одной стороны, и возросшие возможности вычислительной техники, с другой, стимулировали поиск других подходов к расчету турбулентных течений. Один из таких подходов - LES сформировался в начале 80-х годов (Ferziger, 1996). Идея LES состоит в том, что в отличие от «глобального» осреднения уравнений Навье-Стокса производится их «фильтрация» только от коротковолновых (с длинами волн порядка и меньше размеров используемой расчетной сетки) турбулентных неоднородностей. При этом влияние отфильтрованных («подсеточных») структур на длинноволновые структуры турбулентного потока, разрешаемые в рамках LES «точно», описывается с помощью полуэмпирических моделей, которые аналогичны по своей сути традиционным моделям ПТТ (эти модели называются подсеточными). Принципиальное преимущество LES перед RANS состоит в том, что, благодаря относительной однородности и изотропности

мелкомасштабной турбулентности, надежды на создание «универсальной» подсеточной модели являются гораздо более обоснованными, чем в случае RANS, когда необходимо моделировать весь спектр турбулентных пульсаций. Естественной платой за это является значительное увеличение вычислительных затрат, связанное с необходимостью проведения трехмерных нестационарных расчетов на достаточно мелких сетках даже в тех случаях, когда представляющее непосредственный интерес для практики осредненное течение является двумерным и стационарным.

Суть второго из упомянутых альтернативных подходов к расчету турбулентных течений - DNS - состоит в непосредственном (без предварительного осреднения, как в RANS, или фильтрации, как в LES) решении трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса с использованием пространственных сеток и шагов интегрирования по времени, достаточных для разрешения всех существенных для рассматриваемого течения, в том числе, и коротковолновых пространственно-временных неоднородностей. Очевидно, что этот подход является максимально строгим, так как он базируется лишь на одном, достаточно обоснованном предположении о применимости уравнений Навье-Стокса для описания турбулентных течений. Однако, не менее очевидно и то, что для его численной реализации необходимо использовать очень мелкие сетки, количество узлов которых должно резко увеличиваться с ростом числа Рейнольдса. Эти жесткие требования отчасти смягчаются при использовании высокоточных спектральных методов численного интегрирования уравнений Навье-Стокса, которые, как правило, используются для DNS. Однако эти методы неприменимы к расчету течений со сложной геометрией. Указанные обстоятельства приводят к тому, что на практике DNS применяется только для расчета простых турбулентных течений при низких (порядка 103 и ниже) числах Рейнольдса. При этом основной задачей расчета является не собственно получение данных о характеристиках осредненного течения (они, как правило, известны), а получение детальной информации о структуре турбулентности, а

также вычисление отдельных членов, входящих в те или иные модели турбулентности. Полученные таким образом результаты, наряду с экспериментальными данными, составляют основу для калибровки и тестирования полуэмпирических моделей.

Наряду с кратко рассмотренными выше тремя основными подходами к моделированию турбулентных течений в настоящее время разрабатывается ряд промежуточных подходов, сочетающих в себе те или иные элементы RANS, LES и DNS. Среди них следует отметить предложенный недавно (Spalart, Jou, Strelets, Allmaras, 1997) метод моделирования отсоединенных вихрей (Detached Eddy Simulation - DES). Этот подход представляется весьма перспективным, поскольку в нем удачно сочетаются сильные стороны RANS (экономичность и надежность расчета безотрывных течений) с возможностью расчета течений с обширными зонами отрыва, обеспечиваемой LES. В результате с его помощью уже сегодня удается с высокой степенью точности рассчитать весьма сложные отрывные течения (Shur, Spalart, Strelets, Travin, 1999), численное моделирование которых в рамках LES пока невозможно из-за ограниченной производительности вычислительной техники.

Еще один подход, получивший развитие в последние годы (см., например, Spalart, 1999), принято называть квази-прямым численным моделированием (Quasi Direct Numerical Simulation - QDNS). Он занимает промежуточное место между LES и DNS и используется в пристенных областях потока, чтобы обойти проблемы, связанные с построением подсеточных моделей турбулентности, учитывающих демпфирующее влияние твердых стенок.

В таблице В.1, заимствованной из работы Spalart, 1999, представлены данные, характеризующие вычислительные ресурсы, необходимые для реализации рассмотренных подходов к моделированию турбулентности и перспективы их практического использования с учетом прогнозов на развитие вычислительной техники. Приведенные в этой таблице данные относятся к

типичным прикладным задачам типа расчета обтекания самолета или автомобиля.

Из таблицы ясно видно, что в ближайшие годы основными подходами к решению сложных прикладных задач будут классический подход, основанный на двумерных и трехмерных уравнениях Рейнольдса (RANS/URANS), и метод DES, который в значительной мере опирается на ПТТ. Таким образом, по крайней мере в течение ближайших 40-50 лет, проблема построения новых полуэмпирических моделей турбулентности и, что особенно важно в свете проведенного выше краткого анализа современного состояния ПТТ, исследования границ применимости уже существующих моделей такого типа, будет по-прежнему оставаться одной из ключевых проблем механики жидкостей.

Таблица В.1.

Вычислительные ресурсы и перспективы практического применения различных подходов к моделированию турбулентных течений (Бра1ап, 1999).

Метод Необходимое число Необходимое Готовнос

узлов сетки число шагов по времени ть

2D 103 10" 1980

URANS*''

3D 10' 103 1985

RANS

3D ю7 10" 1995

URANS

DES 10" ю4 2000

LES Ю11-5 10ь'7 2045

QDNS 1015 10" 2070

DNS 101(5 Ю77 2080

} URANS - Unsteady Reynolds-Averaged Navier-Stokes equations (нестационарные уравнения Рейнольдса)

Значительный вклад в решение данной проблемы внесли три Стэнфордские международные конференции (1968, 1980 и 1990 гг.), получившие неофициальное название «олимпиад моделей турбулентности» (Wilcox, 1993b).

Среди более поздних попыток организации тщательного и всестороннего тестирования моделей турбулентности следует отметить Европейский проект по вычислительной гидроаэродинамике (ECARP, 1997), в рамках которого проведено сопоставление результатов расчетов, полученных различными исследовательскими группами с использованием вычислительных программ, разработанных в странах ЕС, для широкого круга турбулентных течений с помощью большого числа самых разнообразных моделей. Аналогичные усилия предпринимаются ERCOFTAC, под эгидой которого регулярно проводятся специализированные международные рабочие семинары (см., например, Laurence, 1997, Hanjalic, Obi, Hadzic, 1998, Rodi, Bonnin, Buchal, Laurence, 1998), на которых обсуждаются результаты расчетов, полученные участниками в рамках одних и тех же моделей турбулентности для так называемых «тестовых течений», то есть выбранных экспериментов, в которых, по мнению организаторов, получены наиболее надежные и полные данные по тем или иным турбулентным течениям. Наконец, решению той же проблемы посвящены работы отдельных авторов (наиболее содержательным примером исследований такого типа является работа Bardina, Huang, Сoakley, 1997, в которой проводится всесторонний анализ возможностей четырех отобранных авторами моделей турбулентности).

Основной целью всех этих и ряда других аналогичных проектов являлось получение максимально полной и объективной (свободной от ошибок и не связанной со спецификой конкретных численных реализаций) информации о возможностях различных полуэмпирических моделей турбулентности. Однако оказалось, что достижение этой цели является далеко нетривиальной задачей и, наряду с проведением огромного объема расчетов, требует решения ряда сложных методических вопросов, возникающих при тестировании моделей.

Прежде всего, это относится к критериям отбора параметров, по которым следует производить оценку точности полученных результатов. Ясно, что набор таких параметров должен быть, с одной стороны, не слишком большим, а с

другой, - вполне представительным с тем, чтобы достаточно полно характеризовать рассматриваемое течение. Кроме того, необходимо, чтобы в него входили параметры, представляющие наибольший интерес с точки зрения тех или иных практических приложений. Обычно к их числу относятся интегральные характеристики рассматриваемого течения (например, сопротивление и подъемная сила), локальные данные по трению и теплопередаче на обтекаемой поверхности и другие параметры, зависящие от конкретной задачи. Важно также, чтобы выбранные параметры достаточно сильно реагировали на изменение модели турбулентности, поскольку в противном случае на основе анализа полученных результатов было бы трудно отдать предпочтение той или иной модели. Во многих случаях определить параметры, удовлетворяющие всем перечисленным требованиям, оказывается довольно

и и

сложной задачей, тем более, что в экспериментах зачастую отсутствуют некоторые данные, необходимые для проведения расчета (например, положение точки перехода от ламинарного режима течения к турбулентному, уровень и масштаб турбулентности во внешнем потоке и т. д.).

Еще одна методическая проблема, возникающая при тестировании моделей турбулентности, состоит, как уже отмечалось, в исключении всех или по крайней мере основных вычислительных погрешностей, связанных с конкретной численной реализацией (тип и размер сетки, способ дискретизации, численный метод, вычислительные граничные условия). Для ее решения требуется проведение специальных методических расчетов, направленных на оценку степени влияния вышеперечисленных факторов на конечные результаты расчета.

Наконец, весьма важной и трудной задачей является выбор «тестовых течений» и моделей турбулентности, «заслуживающих» тщательного тестирования. Это обусловлено исключительным многообразием и отсутствием общепринятой классификации турбулентных течений, крайне затрудняющим выбор «типичных представителей» того или иного класса турбулентных течений, с одной стороны, и огромным количеством моделей турбулентности с другой.

В настоящей работе предпринята попытка решить по крайней мере часть из перечисленных выше методических и прикладных вопросов для одного из простейших и в то же время одного из наиболее распространенных типов турбулентных течений - пристенных турбулентных пограничных слоев в несжимаемой жидкости. Такой выбор продиктован несколькими соображениями. Во-первых, пристенные пограничные слои являются важным составным элементом огромного числа более сложных течений, представляющих интерес как для задач внешнего обтекания тел различной формы, так и для задач о расчете внутренних течений. Поэтому любая модель турбулентности, претендующая на способность описания таких сложных течений, безусловно, должна обеспечивать высокую точность расчета характеристик собственно турбулентного пограничного слоя. Во-вторых, эти характеристики весьма чувствительны к различным усложняющим факторам (продольный градиент давления, кривизна обтекаемой поверхности, массообмен на поверхности и т.п.), что дает возможность проверить адекватность реакции моделей на указанные факторы в относительно простых условиях. Не менее важным является и то обстоятельство, что при современном уровне развития вычислительной техники решение уравнений турбулентного пограничного слоя, в отличие от решения ЯА^, может быть получено с очень высокой точностью при относительно малых вычислительных затратах. Это дает возможность проведения массовых расчетов, необходимых, как ясно из вышесказанного, для объективной оценки реальных возможностей той или иной модели турбулентности. По этим причинам именно пристенные пограничные слои, наряду с другими каноническими течениями, такими как струи, следы, слои смешения, используются практически всеми авторами полуэмпирических моделей для их калибровки (определении эмпирических констант и функций) и первичного тестирования. К сожалению, в силу ряда объективных и субъективных причин, в первую очередь связанных с нарушением тех или иных из сформулированных выше методических требований, результаты такого «авторского» тестирования,

как правило, оказываются неполными, а иногда и ненадежными. Широко известным примером такого положения является стандартная k-s модель турбулентности, неспособность которой с приемлемой точностью описать характеристики пограничного слоя с положительным градиентом давления, была достаточно твердо установлена лишь через много лет после ее создания (см., например, Wilcox, 1993а).

Таким образом, задача всестороннего тщательного тестирования широкого круга современных полуэмпирических моделей турбулентности (от простейших алгебраических моделей до моделей рейнольдсовых напряжений) на примере различных пристенных течений, описываемых уравнениями пограничного слоя или даже более простыми одномерными уравнениями (установившиеся течения в каналах), решению которой посвящена настоящая работа, представляется достаточно важной и актуальной.

Диссертация состоит из введения, пяти основных глав, заключения и приложения.

В первой главе на основе известных из литературы данных проведен сравнительный анализ наиболее распространенных в настоящее время моделей турбулентности. В результате этого анализа выбраны наиболее перспективные модели различных типов, подлежащие дальнейшему детальному исследованию.

Во второй главе представлена новая алгебраическая модель, разработанная в процессе работы над диссертацией. В дальнейшем эта модель тестируется наряду с известными моделями.

В третьей главе дано краткое описание экспериментов, отобранных для исследования возможностей моделей турбулентности. Представлены те характеристики течений, на основе сравнения расчета которых с опытными данными будет производиться оценка моделей турбулентности.

Четвертая глава составляет методическую основу работы. В ней представлены математические постановки и используемые численные методы

решения соответствующих задач (расчет одномерных течений и пограничных слоев с продольной и поперечной кривизной).

Пятая глава содержит обсуждение основных результатов работы. В частности, в ней приводится детальное сопоставление результатов расчетов с экспериментальными данными, на основе этого сопоставления делается оценка точности, вычислительной эффективности и некоторых других важных свойств исследуемых моделей турбулентности.

В приложение вынесены математические формулировки рассматриваемых моделей турбулентности.

В заключении кратко сформулированы основные результаты, полученные в ходе проведения данной работы.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Гарбарук, Андрей Викторович

Основные результаты проведенных исследований состоят в следующем.

1. На основе анализа современного состояния проблемы моделирования пристенных турбулентных течений определен круг полуэмпирических моделей турбулентности, заслуживающих всестороннего и детального исследования с точки зрения их вычислительной эффективности и точности описания различных типов пристенных турбулентных течений.

2. Разработана общая методика исследования и оценки свойств моделей турбулентности. В частности, предложен определенный набор количественных критериев, всесторонне характеризующих вычислительные свойства моделей, и проведен отбор экспериментальных данных по простейшим одномерным течениям и пристенным пограничным слоям, на основе которых возможна достаточно надежная количественная оценка точности расчета, обеспечиваемой рассматриваемыми моделями. Показано, что применение обратного метода решения уравнений пограничного слоя, основанного на задании из эксперимента продольного распределения толщины вытеснения пограничного слоя, а не скорости на его внешней границе, как это делается в рамках традиционного прямого метода, позволяет во многих случаях получить более объективную информацию о свойствах исследуемых моделей.

3. Предложен общий подход к построению алгебраических моделей турбулентности для пограничных слоев в рамках классической двухслойной схемы. С использованием этого подхода разработана новая алгебраическая модель турбулентности для пограничных слоев при наличии градиента давления и массообмена через стенку.

4. С помощью разработанной методики проведено детальное исследование вычислительных и физических аспектов широкого спектра полуэмпирических моделей турбулентности, начиная от простейших алгебраических моделей турбулентной вязкости и кончая моделями для рейнольдсовых напряжений. В результате сформулированы рекомендации по использованию всех рассмотренных моделей при расчете тех или иных типов пристенных турбулентных течений. Наиболее важные из них состоят в следующем.

4.1. С точки зрения универсальности явное преимущество перед другими моделями имеют модели Спаларта-Аллмареа 8А и ее модифакция БАЛС для расчета течений с кривизной линий тока и вращением, а также модель Ментера МББТ (применительно к плоским и осесимметричным течениям к ним близко примыкает модель А.Н. Секундова с сотрудниками Ут-92). Эти модели позволили с приемлемой точностью рассчитать все рассмотренные течения. При этом модель МБЗТ несколько уступает моделям БА и ^92 по вычислительной эффективности и по точности расчета параметров пограничного слоя с отсосом на поверхности, но заметно превосходит их по точности расчета пограничных слоев с сильным положительным градиентом давления, предотрывных пограничных слоев и позволяет, по крайней мере качественно, правильно описать эффекты кривизны и вращения без введения каких-либо специальных поправок.

4.2. При расчете течений с существенными эффектами кривизны и вращения модель БАЯС заметно превосходит две другие модели турбулентной вязкости с поправками на кривизну линий тока (модели ЬБ-ЬРБ и Ь8-ВМОР).

4.3. Простейшие алгебраические модели, в частности модель Себеси-Смита и предложенная в настоящей работе модель ИД являются наименее универсальными, однако при расчете течений, на которые они ориентированы, эти модели только не уступают лучшим дифференциальным моделям и даже несколько превосходят их.

4.4. Среди дифференциальных моделей с двумя уравнениями явное предпочтение следует отдать моделям типа к-со и, в первую очередь, модели М88Т. Характерными недостатками моделей типа к-е является их неспособность к расчету пограничных слоев с положительным градиентом давления и сравнительно низкая вычислительная эффективность.

4.5. Несмотря на свои важные потенциальные преимущества, модели рейнольдсовых напряжений (ЕАЛБМ) практически во всех рассмотренных случаях (исключение составляет лишь течение Куэтга между вращающимися цилиндрами) дают либо близкие, либо даже несколько менее точные результаты, чем модели турбулентной вязкости.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гарбарук, Андрей Викторович, 1999 год

Список литературы

1. AbidR, RumseyC., Gatski Т.В., 1995 Prediction of non-Equilibrium Turbulent Flows with Explicit Algebraic Stress Models. AIAA Journal, V. 33, 1995, N. 11, P. 2026.

2. Andersen P. S., Kays W. M., Moffat R. J., 1972 The turbulent boundary on a porous plate: an experimental study of the fluid mechanics for adverse free-stream pressure gradients. Thermosciences Division, Department of Mechanical Engineering, Stanford University, Report N HMT-15, 1972.

3. Aronson D., Johansson A. V., Lofdahl L., 1997 Shear-Free Turbulence near a Wall. Journal of Fluid Mech., 1997, V. 338, pp.363-385.

4. Baldwin B.S., Barth T.J., 1990 A One-Equation Turbulence Transport Model for High Reynolds Number Wall-Bounded Flows. NASA TM-102847.

5. Baldwin B.S., Lomax H., 1978 Thin-Layer Approximation and Algebraic Model for Separated Turbulent Flows. AIAA Paper, 1978, AIAA-78-257.

6. Bardina J.E., HuangP.G., Coakley T.J., 1997 Turbulence modeling validation. AIAA Parer, 1997, AIAA-97-2121.

7. Boussinesq J., 1877 Theorie de l'Ecoulement Tourbillant. Mem. Presentes par Divers Savants Acad. Sci. Inst. Fr., V. 23, PP. 46-50.

j '

8. Brabshow P., Ferris D.H., Atwell N.P., 1967 Calculation of boundary-layer development using the turbulent energy equation. Journal of Fluid Mech., 1967, V. 28(3), PP. 593-616.

9. Burr R.C., Menter F.R., Grotjans H., FrühaufH.H., 1998 Development of a Curvature Correction Method for the k-s Turbulence Model. Proc. Computational Fluid Dynamics'98, 7-11 Sep. 1998, Athens, Greece, V. 2, pp. 1105-1110.

10 .Catherall D., Mangier K. W., 1966 The integration of the two dimensional laminar boundary-layer equations past the point of vanishing skin friction. Journal of Fluid Mech., 1966, V. 26, P. 163.

11. Cebeci T., Smith A.M.O., 1974 Analysis of Turbulent Boundary Layers, Academic, New York, 1974.

12 .Chien K.-Y., 1982 Predictions of channel and boundary-layer flows with a low-Reynolds-number turbulence model. AIAA Journal, V. 20, N. 1, PP. 33-38.

13.Clauser F.H., 1954 Turbulent boundary layers in adverse pressure gradients. Journal Aeron. Sei., V. 21, PP. 91-108.

14. Coles D., 1956 The Law of the Wakes in the Turbulent Boundary Layer. Journal of Fluid Mech., 1956, v. 1, pp. 191-226.

15.Coles D.E., Hirst E.A., 1968 Computation of Turbulent Boundary Layers - 1968. AFOSR-IFP Stanford Conference. Vol. II. Stanford Univ., Palo Alto, CA.

16.Dengel P., Fernholz H.H., 1990 An experimental investigation of an incompressible turbulent boundary layer in the vicinity of separation. Journal of Fluid Mech, 1990, V. 212, P. 615.

11.Driver D.M., 1991 Reynolds Shear Stress Measurements in a Separated Boundary Layer Flow. AIAA Paper, 1991, AIAA-91-1787

18.Driver D.M., Hebbar S.K., 1987 Experimental Study of a Three-Dimensional, Shear-Driven, Turbulent Boundary Layer. AIAA Journal, 1987, V. 25, N. 1, PP.35-42.

19.Durbin P.A., 1991 Near-wall Turbulence Closure Modeling without «Damping Functions». Theoretical and Computational Fluid Dynamics, V. 3, N. 1, PP. 113.

20.Durbin P.A., 1993 Application of a Near-wall Turbulence Model to Boundary Layers and Heat Transfer. International Journal of Heat and Fluid Flow, V.14, N. 4, PP. 316-323.

21.Durbin P.A., 1995 Separated Flow Computations with the k-e-v2 Model. AIAA Journal, V. 33, N. 4, PP. 659-664.

22.Durbin P.A., Mansour N.N., Yang Z., 1994 Eddy viscosity transport model for turbulent flow. Phys. Fluids, N. 6(2), PP. 1007-1015.

23.ECARP, 1997 - European Computational Aerodynamics Research Project: Validation of CFD Codes and Assessment of Turbulence Models. (W. Haase/ E. Chaput/ E. Elsholz/ M.A. Leschziner/ U.R. Mtiller, Eds.). Notes on Numerical Fluid Mechanics (NNFM) Volume 58, 1997.

24. Eskinazi S., Yeh H., 1956 An Investigation on Fully Developed Turbulent Flows in a Curved Channel. Journal Aero. Sci., 1956, V.23, pp. 23-34.

25.Ferziger J.H., 1996 Recent Advances in Large Eddy Simulation. Engineering Turbulence Modeling and Experiments 3, W.Rodi and G.Bergeles (Editors), 1996 Elsevie, PP. 163-176.

26.Gatski T.B., Speziale C.G., 1993 On Explicit Algebraic Stress Model for Complex Turbulent Flows. Journal of Fluid Mech., V. 254, P. 59.

21 .Gillis J. C., Johnston J.P., 1979 Turbulent Boundary Layer on a Convex Wall and its Redevelopment on a Flat Wall. Journal of Fluid Mech., 1983, V. 135, PP. 123-153.

28.Goldberg U.C., 1991 Derivation and Testing of a One-Equation Model Based on Two Time Scales. AIAA Journal, V. 29, N. 8, PP. 1337-1340.

29.Hamelin J., AlingA.E., 1996 A low-shear turbulent boundary layer. Phys. Fluids, 1996, N. 8, PP. 789-804.

30.Hanjalic K., Obi S., Hadzic I., 1998 Wall-jets and flows over wall-mounted cubical obstacles. ERCOFTAC Bulletin, N. 36, March 1997.

31 .Hassid S., PorehM., 1978 A Turbulent Energy Dissipation Model for Flows with Drag Reduction. ASME, Journal of Fluids Engineering, V. 100, PP. 107-112.

32.Hoffman G.H., 1975 Improved Form of the Low-Reynolds-Number k-s Turbulence Model. Physics of Fluids, V. 18, PP. 309-312.

33.Hoffmann P.H., Bradshaw P., 1980 Turbulent boundary layers on surfaces of mild longitudinal curvature. Imperial College Aero., Report #78-04, Dec. 1978.

34.Horton H.P., 1994 Invariant imbedding algorithms for inverse boundary layer problems. Queen Mary & Westfield College, University of London, UK, Faculty of Engineering Paper. 1994. QMW-EP1102.

35. Huang P.O., Brads haw P., 1995 Law of the Wall for Turbulent flows in pressure Gradient. AIAA Journal, 1995, V. 33, N. 4, pp. 624-632.

36Hunt I.A., Joubert P.N., 1982 Effects of small streamline curvature on turbulent duct flow. Journal of Fluid Mech., 1982, V.91(4), pp. 633-659.

37Hunt J.C.R., Graham J.M.R., 1978 Free-Stream Turbulence near Plane Boundaries. Journal of Fluid Mech., 1978, V. 84(2), pp.209-235.

38.Hwang C.B., Lin C.A., 1998 Improved Low-Reynolds-Number k- g- Model Based on Direct Numerical Simulation Data. AIAA Journal, V.36, N. 1, PP. 3843.

39 .Imao S., ItohM., Harada T., 1996 Turbulent characteristics of the flow in an axially rotating pipe. Journal Heat and Fluid Flow, V. 17, PP. 444-451.

AO. Johnson D.A., King L.S., 1985 A mathematically simple turbulence closure model of attached and separated turbulent boundary layers. AIAA Journal, V. 23, N. 11, P. 1684-1692.

41. Johnston J.P., Halleen R.M., Lezius D.K., 1972 Effects of spanwise rotation on the structure of two-dimensional fully developed turbulent channel flow. Journal of Fluid Mech., 1972, V.56(3), pp. 533-557.

42.Jones W.P., Launder B.E., 1972 The Prediction of Laminarization with a Two-Equation Model of Turbulence. International Journal of Heat and Mass Transfer, V. 15, PP. 301-314.

A2.Klebanoff P.S., 1956 Characteristics of Turbulence in a Boundary Layer with Zero Pressure Gradient. NACA TN 3178.

44.Kristoffersen R., Andersson H.I., 1993 Direct simulations of low-Reynolds-number turbulent flow in a rotating channel. Journal of Fluid Mech., 1993, V. 256, pp. 163-197.

45.Kusunose K., Cao H. V., 1994 Prediction of transition location for a 2-d Navier-Stokes solver for multi-element airfoil configurations. AIAA Paper, 1994, AIAA-94-2376.

46. Lam C.K.G., Bremhorst K.A. 1981 Modified Form of k-s Model for Predicting Wall Turbulence. ASME, Journal of Fluids Engineering, V. 103, PP. 456-460.

47.Launder B.E., Priddin C.H., SharmaB.I., 1977 The Calculation of Turbulent Boundary Layers on Spinning and Curved Surfaces. ASME, Journal of Fluids Engineering, V. 99, PP. 231-239.

48.Launder B.E., Reece G.J., Rodi W. 1975 Progress in the development of a Reynolds stress turbulence closure. Journal Fluid Mech, V. 68, PP. 537-566.

49.Launder B.E., Sharma B.I. 1974 Application of the Energy Dissipation Model of Turbulence to the Calculation of Flow near a Spinning Disc. Letter in Heat and Mass Transfer. V. 1, N. 2, PP. 131-138.

50.Launder B.E., Spalding D.B. 1972 Mathematical Models of Turbulence. Academic Press, London.

51..Laurence D„ 1997 5th ERCOFTAC Workshop on Refined Flow Modelling for Turbulent flows. ERCOFTAC Bulletin, N. 33, June 1997.

52.LienF.S., DurbinP.A., ParneixS., 1997Non-linear v2-/modeling with application to aerodynamic flows. Proc. 8-th Symposium on Turbulent Shear Flows, Grenoble, France, 8-10 Sep. 1997, V. 1, Sec. 6, PP. 19-24.

53.Maslov V.P., MineevB.I., PichkovK.N., SecundovA.N., VorobievA.N., Strelets M.Kh, TravinA.K., 1999 Turbulence intensity, length scale and heat transfer around stagnation line of cylinder and turbine blade. ASME Gas Turbine Congress. June 7-11, 1999, Indianapolis, USA.

54.Menter F.R., 1993 Zonal two equation k-co turbulence models for aerodynamic flows. AIAA Paper, 1993, AIAA-93-2906.

55.Nee V. W., Kovasznay L.S.G., 1969 Simple phenomenological theory of turbulent shear flows. Phus. Fluids, V. 12, N. 3, PP. 473-483.

5e.Patel V.C., Rodi W., Scheuerer G. 1985 Turbulence Models for Near-Wall and Low Reynolds Number Flows: A Review. AIAA Journal, V. 23, N. 9, PP. 13081319.

51.Perot В., Moin P., 1995 Shear-Free Turbulent Boundary Layers. Journal of Fluid Mech., 1995, V. 295, pp. 199-227.

58 .Pettersson B.A., Anderson H.I., Hjelm-Larsen 0., 1996 Analysis of near-wall second-moment closures applied to flows affected by streamline curvature. Engineering Turbulence Modelling and Experiments 3, W.Rodi and G.Bergeles (Editors), 1996 Elsevie, PP. 49-58.

59.Pope S.B., 1975 A More General Effective-Viscosity Hypohesis. Journal of Fluid Mech, V. 72(2), PP. 331-340.

60.PrandtlL., 1925 Über die ausgebildete Turbulenz. ZAMM, V. 5, PP. 136-139, (русский перевод - Проблемы турбулентности. M.: ОНТИ, 1936, стр. 14-16).

61 .Prandtl L., 1931 NASA TM, #4135

62.Prandtl L., 1945 Über ein neues Formeissystem für die ausgebildete Turbulenz. Nacr. Acad. Wiss. Göttingen, Math-Phus. Kl. 1945, PP. 6-19.

6Ъ.Reynolds О., 1895 On the Dynamical Theory of Incompressible Viscous Fluids and the Determination of the Criterion. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series A, V. 186, P. 123.

64.Rodi W., 1972 The prediction of free turbulent boundary layers by use of a two equation model of turbulence, Ph. D. thesis, University of London, 1972.

65.Rodi W., Bonnin J. C., Bûchai T., Laurence D., 1998 Testing of calculation methods for turbulent flows: workshop results for five test cases. EDF-98NB00004.

66.Rodi W., Scheuerer G., 1983 Calculation of curved shear layers with two-equation turbulence models. Physics of Fluids, V. 26 (6), pp. 1422-1436.

61.Rodi W., Scheuerer G., 1986 Scrutinizing the k-s Turbulence Model under Adverse Pressure Gradient Conditions. Transactions of the ASME, V. 108, N. 6, PP. 174-179.

68.RottaJ.C., 1951 Statistiscer Theorie nichthomogener Turbulenz. Zeitschrift fur Phusik, V. 129, PP. 547-572.

69.Rumsey C.L., Gatski T.B., Morrison J.H., 1999 Turbulence Model Predictions of Extra-Strain Rate Effects in Strongly Curved Flows. AIAA Paper, 1999, AIAA 99-0157.

lO.Saffman P.G., 1970 A Model for Inhomogeneous Turbulent Flow. Proc. Roy. Soc., London, V. A317, PP. 417-433.

ll.Saffman P.G., Wilcox D.C., 1974 Turbulence-Model Predictions for Turbulent Boundery Layers. AIAA Journal, V. 12, N. 4, PP. 541-546.

72.Samuel A.E., Joubert P.N., 1974 A boundary layer developing in an increasingly adverse pressure gradient. Journal of Fluid Mech, 1974. V. 66(3), P. 481.

73.Shih T.-H., LumleyJ.L., ZhuJ., 1993 A realizable Reynolds stress algebraic equation model. ICOMP-92-27, CMOTT-92-14.

1 A.ShurM., SpalartP. R, StreletsM., TravinA., 1999 Detached-eddy simulation of an airfoil at high angle of attack. 4th Int. Symposium on Eng. Turb. Modeling and Measurements, May 24-26, 1997, Corsica.

15.ShurM., StreletsM., TravinA., andZaikovL., 1996 Comparative Study of One-and Two-Equation Turbulence Models for Incompressible and Transonic Flows with Separation and Reattachment. Engineering Turbulence Modeling and Experiments 3, W.Rodi and G.Bergeles (Editors), 1996 Elsevie, PP. 697-707.

76.ShurM., StreletsM., TravinA., SpalartP. R, 1998 Turbulence Modeling in Rotating and Curved Channels. Assessment of the Spalart-Shur Correction Term. AIAA Paper, 1998, AIAA-98-0325.

11.ShurM., StreletsM., ZaikovL., GulyaevA., Kozlov V., SecundovA., 1995 Comparative Numerical Testing of One- and Two-Equation Turbulence Models for Flows with Separation and Reattachment. AIAA Paper, 1995, AIAA-95-0863.

IS.Shur M.L., Spalart P.R., Strelets M.Kh, Travin, A.K., 1996. Navier-Stokes simulation of shedding turbulent flow past a circular cylinder and a cylinder with a backward splitter plate. Third Eur. CFD Conf, Sept. 1996, Paris.

79.Simpson R.L., Chew Y.-T., ShivaprasadB.J., 1981 The structure of a separating turbulent boundary layer. Part 1. Mean flow and Reynolds stresses, Journal of Fluid Mech, 1981, V. 113, PP 23-51.

80.Smith G.P., TownsendA.A., 1982 Turbulent Couette flow between concentric cylinders at large Taylor numbers. Journal of Fluid Mech., 1982, V. 123, pp. 187-217.

SI.Spalart P.R., 1999 Strategies for turbulence modeling and simulations. 4-th International Symposium on Engineering Turbulence Modeling and Measurements. FRANTOUT&CCAS, Porticcio Ajaccio, Corsica, France, May 24-26, 1999.

82.Spalart P.R., Allmaras, S.R, 1992 A One-Equation Turbulence Model for Aerodynamic Flows. AIAA Paper, 1992, AIAA-92-0439.

83.Spalart P.R., Jou W.-H., StreletsM., Allmaras S.R., 1997 Comments on the feasibility of LES for wings, and on a hybrid RANS/LES approach (invited). 1st AFOSR Int. Conf. on DNS/LES, Aug. 4-8, 1997, Ruston, LA. In «Advances in DNS/LES», C. Liu and Z. Liu Eds., Greyden Press, Columbus, OH.

84.Spalart P.R., ShurM.L., 1997 On the sensitization of simple turbulence models to rotation and curvature. Aerosp. Sc. and Techn. 1997, V. 1, N. 5, P.297.

85.Spalart P.R., Strelets M.Kk, 1997 Dirct and Reynolds-averaged numerical simulations of transitional separation bubble. 11 Symposium on Turbulent Shear Flows, Grenoble, France, September 8-10, 1997, V. 3, P. 30-13 - 30-18.

%6.Speziale C.G., 1987 On nonlinear K-l and K-s models of turbulence. Journal of Fluid Mech., 1987, V. 178, PP. 459-475.

87 .Speziale S.G., 1997 Comparison of Explicit and Traditional Algebraic Stress Models of Turbulence. AIAA Journal, 1997, V. 35, N. 9, P. 1506-1510.

88.Tsuji Y, Morikawa Y., 1976 Turbulent boundary layer with pressure gradient alternating in sign. Aeronautical Quarterly, 1976, V. 27, N. 1, P. 15.

89. Van Driest E.R., 1956 On Turbulent Flow Near a Wall. Journal Aero. Sci., 1956, V. 23, N. 11.

90. Van Le N., 1952 The von Karman integral methods as applied to turbulent boundary layer. JAS, 1952. V.19. P.801.

91 .Vasiliev V.l., VolkovD.V, Zaitsev S.A., Lyubimov D.A., 1997 Numerical

Simulation of Channel Flows by a One-Equation Turbulence Model. Journal of Fluid Engineering, ASME, V.119, 1997, pp.885-892.

92. Von Karman Т., 1930 Mechanische Ähnlichkeit und Turbulenz. Proc. Int. Congr, Appl. Mech., 3-rd, Stockholm, Part 1, PP. 85-105, (русский перевод -Проблемы турбулентности. М.: ОНТИ, 1936, стр. 271-286).

93.Wallin S., Johansson A.V., 1996 A new explicit algebraic Reynolds stress turbulence model including an improved near-wall treatment. Flow Modeling and Turbulence Measurements VI, Chen,Shih, Lienau & Kung (eds). 1996 Balkema, Rotterdam.

94.Wallin S., Johansson A.V., 1997 A new explicit algebraic Reynolds stress turbulence model for 3D flow. Proceedings of the 11 th Symposium on Turbulent Shear Flows, Grenoble, France. V.2, P. 13-13.

95. WattendorfF., 1935 A Study of the Curvature on Fully Developed Turbulent Flow. Proc. Roy. Soc., 1935, V. 148(A), pp. 565-598.

96. Wendt F., 1933 Turbulente Strömungen zwichen zwei rotierenden konaxialen Zylindern. Ing. Arch., 1933, Bd. 4, pp. 577-595.

97. Wilcox D.C., 1988 Reassessment of the Scale-Determining Equation for Advanced Turbulence Models. AIAA Journal, 1988, V. 26, N. 11, PP. 12991310.

98. Wilcox D.C., 1993a Comparison of Two-Equation Turbulence Models for Boundary Layers with Pressure Gradient. AIAA Journal 1993, V. 31, N. 8, PP. 1414-1421.

99. Wilcox D.C., 1993b Turbulence Modeling for CFD. Griffin Printing, Glendale, California.

100. Wilcox D. C., 1993c A two-equation turbulence model for wall-bounded and free-shear flows. AIAA Paper, 1993, AIAA-93-2905.

101. Wilcox D.C., Alberl.E., 1972 A Turbulence Model for High Speed Flows. Proc. of the 1972 Heat Trans. & Fluid Mech. Inst., Stanford Univ. Press, PP. 231-252.

102. Wilcox D.C., RubesinM. W., 1980 Progress in Turbulence Modeling for Complex Flow Fields Including Effects of Compressibility. NASA TP-1517.

Ш. Wilcox D.C., Traci R.M., 1976 A Complete Model of Turbulence. AIAA Paper, 1976, AIAA-76-351.

104.ZagarolaM. V., Smits A.J., 1997 Scaling of the mean velocity profile for turbulent pipe flow. Physics Review Letters, 1997.

105.Белов И.A., 1986 Модели турбулентности: Учебное пособие. - 2-е изд., перераб. и доп. - Л.: ЛМИ, 1986.

106.Гантмахер Ф.Р., 1967 Теория матриц. М.: Наука, 1967.

107ТарбарукА.В., Лапин Ю.В., Стрелец М.Х., 1998 Применение обратного метода решения уравнений пограничного слоя для тестирования моделей турбулентности. ТВТ, 1998, N4, Стр. 607-616.

\0%.ГарбарукА.В., Лапин Ю.В., Стрелец М.Х., 1999 Простая алгебраическая модель турбулентности для расчета турбулентного пограничного слоя с положительным перепадом давления. ТВТ, 1999, N1, стр. 82-86.

109.Гуляев А.Н., Козлов В.Е., Секундов А.Н., 1993 К созданию универсальной однопараметрической модели для турбулентной вязкости. Изв. АН СССР, МЖГ, 1993, N. 4, Стр. 69.

110.Дмитриев С.С., 1996 Исследование структурных изменений в пограничном слое в предотрывной области, ТВТ, 1997, Т. 35, № 2, Стр. 263.

111 .Колмогоров А.Н., 1942 Уравнения турбулентного движения в

несжимаемой жидкости. Известия АН СССР, физика, Т. 6, Стр. 56-58.

112Ламли, 1984 Модели второго порядка для турбулентных течений. Методы расчета турбулентных течений (под ред. В.Колльмана). М.: Мир, 1984, Стр. 8-35.

113.Лапин Ю. В., Стрелец М.Х., 1989 Внутренние течения газовых смесей. М.: Наука, 1989.

114.Лапин Ю.В., 1982 Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа. М.: Наука, 1982.

115.Лапин Ю.В., Поспелов В.А., 1995 Турбулентный пограничный слой на плоской пластине. ТВТ, 1995, № 3, Стр. 422.

116.Лойцянский Л.Г., 1987 Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987.

117.Травин А.К., 1997 Численное моделирование турбулентного обтекания цилиндра при докритических числах Рейнольдса. Вестник Молодых Ученых (прикладная математика и механика), 1997, № 1, стр. 48-55.