Алгебраические модели турбулентности для некоторых канонических пристенных течений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Лабусов, Алексей Николаевич

• Лабусов, Алексей Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лабусов, Алексей Николаевич

Оглавление

Условные обозначения

Введение

0.1 Об основных подходах к моделированию турбулентных

пристенных течений

0.2 О структуре турбулентных пограничных слоев

0.3 Цели работы. Базовые модели

0.4 Краткое содержание работы

1 Алгебраическая модель переходного пограничного слоя на плоской пластине

1.1 Введение

1.2 Модификация модели ПЛК-3 для переходного пограничного слоя

1.3 Тестирование модели

1.4 Выводы

2 Алгебраические модели переходного и турбулентного пограничного слоя на плоской пластине для течений сжимаемого газа с теплообменом

2.1 Введение

2.2 Уравнения сжимаемого турбулентного пограничного слоя

на плоской пластине

2.2.1 Вычисление коэффициентов молекулярного переноса для воздуха

2.3 Модификация моделей ПЛК-3 и ГЛС для сжимаемых течений

2.4 Тестирование модифицированных моделей ГЛС и ПЛК-3

для случая сжимаемого течения

2.4.1 Теплоизолированная стенка, Tw/Taw — 1

2.4.2 Теплопроводная стенка, Tw/Taw = 0.2 -f 0.5

2.5 Тестирование модели переходного пограничного слоя для случая сжимаемого течения

2.6 Выводы

3 Алгебраическая модель турбулентного пограничного слоя

на выпуклой криволинейной поверхности

3.1 Введение

3.2 Уравнения пограничного слоя на криволинейной поверхности

3.3 Модель турбулентности

3.3.1 Баланс сил в пограничном слое на криволинейной поверхности

3.3.2 Формулировка модели

3.4 Тестирование модели

3.5 Замечания о законе стенки

3.6 Выводы

Заключение

Список литературы

Условные обозначения

х, у, г- оси координат;

и, V, IV- проекции вектора полной скорости на оси координат;

ир- скорость потенциального потока;

11ри)- скорость потенциального потока на стенке;

р- давление;

р- плотность;

Т- температура;

Я- газовая постоянная;

Иш- радиус кривизны поверхности;

Ме- число Маха внешнего потока;

г- коэффициент восстановления;

ср- удельная теплоемкость газа при постоянном давлении;

¡л- динамическая вязкость;

V- кинематическая вязкость;

Л- коэффициент теплопроводности;

/г- энтальпия;

с/- коэффициент трения;

г- напряжение трения;

Vскорость трения;

Ъ8С- масштаб скорости;

I- линейный масштаб;

д- тепловой поток;

5- толщина пограничного слоя; 5*- толщина вытеснения; S**- толщина потери импульса; Н = 5*/5**- формпараметр;

7- параметр перемежаемости, показатель адиабаты; D- демпфирующий множитель; (р, г/- переменные закона стенки; Hs- коэффициент Ламэ; Рг- число Прандтля; Rex- число Рейнольдса,Деж = Uxfv, Re**~ число Рейнольдса,Ле** = US**/и; Ri- число Ричардсона; е- степень турбулентности потока; Нижние индексы:

е- условия на внешней границе; w- условия на стенке;

aw- условия на теплоизолированной стенке; Т- параметры в турбулентном потоке; eff- эффективные параметры; г- внутренняя область; о~ внешняя область;

т- граница между внутренней и внешней областями;

995- условная толщина пограничного слоя в которой значение скорости составляет величину 0,995Ue;

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгебраические модели турбулентности для некоторых канонических пристенных течений»

Введение

1. Об основных подходах к моделированию турбулентных пристенных течений

Проблема турбулентности в механике жидкости и газа была и до настоящего времени остается одной из наиболее актуальных и практически значимых. Говоря об основных тенденциях в развитии исследований в этой области, нужно отметить отчетливо проявившееся в последние два-три десятилетия смещение центра тяжести указанных исследований от экспериментального изучения процессов переноса в турбулентных потоках к их численному моделированию. Важнейшей предпосылкой для развития этой тенденции стал быстрый рост ресурсов памяти и быстродействия ЭВМ, а также разработка и внедрение в практику высокоэффективных вычислительных технологий. Немаловажную роль сыграл и экономический фактор: высокая стоимость экспериментальных исследований.

Рассмотрим несколько подробнее ситуацию, складывающуюся в настоящее время, в области моделирования турбулентных пристенных течений. Традиционный подход к расчету таких течений основывается на осредненных по тому или иному правилу уравнениях Навье-Стокса. Полученные таким образом уравнения Рейнольдса вследствие нелинейности уравнений Навье-Стокса оказываются незамкнутыми; замыкание уравнений Рейнольдса проводится с помощью тех или иных полуэмпирических гипотез турбулентности.

Принципиальный недостаток такого подхода заключается в том, что осреднение осуществляется сразу по всем масштабам турбулентности и, следовательно, моделирование на основе полу эмпирических гипотез необходимо проводить с учетом разномасштабности структур, участву-

ющих в процессах переноса в тех или иных областях течения. В рамках простейших алгебраических моделей турбулентности учет многомас-штабности турбулентности как явления выразился в создании многослойных схем течений, в частности пограничных слоев (более подробно ситуация с алгебраическими моделями будет проанализирована ниже).

На рубеже 60-70-х годов потенциальные возможности алгебраических моделей, предназначенных для замыкания уравнений для первых моментов, представлялись в большей степени исчерпанными. Констатация этого факта была зафиксирована в выводах 1-ой Стэнфордской конференции 1968г. [1].

70-е годы и начало 80-х годов прошли под знаком интенсивного развития полу эмпирических моделей турбулентности, основывающихся на уравнении для старших, прежде всего вторых моментов. В настоящее время спектр этих моделей необычайно широк и включает модели разного уровня. Классификация по уровням [2] базируется на оценке характера уравнений, используемых в модели:

1. Алгебраические модели (нулевой уровень).

2. Модели турбулентности, основанные на использовании, помимо уравнений для первых моментов, одного обыкновенного дифференциального уравнения для описания того или иного параметра (полудифференциальные модели).

3. Дифференциальные модели с одним уравнением (например, для кинетической энергии турбулентности) и алгебраическим соотношением для линейного масштаба турбулентности (первый уровень). Сюда же относятся модели с одним уравнением для турбулентной вязкости.

4. Дифференциальные модели с двумя уравнениями к — £", к — а;, к — Ь (второй уровень).

5. Модели Рейнольдсовых напряжений.

Оценивая итоги развития дифференциальных моделей, основанных на использовании уравнений для вторых моментов (модели групп 3 и

4), в 70-е годы 2-ая Стэнфордская конференция 1980г. [3] отметила, что в рамках этого подхода, существенно расширившего возможности моделирования особенно течений со сложной геометрией, не удалось решить проблемы пристенной турбулентности: предсказание точки отрыва пограничных слоев при неблагоприятных перепадах давления, описания переходных режимов течений от ламинарного к турбулентному, течений в отрывных областях и т.д.

В качестве альтернативного методу Рейнольдса направления в конце 70-х начале 80-х годов стало рассматриваться прямое численное моделирование турбулентных течений (в зарубежной литературе DNS-Direct Numerical Simulation) на основе трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса [4]. В рамках этого направления, не нуждающегося в использовании какой-либо эмпирической информации, были получены многие важные для теории турбулентности результаты. Однако, высокая стоимость подобных численных расчетов и ограниченность вычислительных ресурсов даже современных суперкомпьютерных систем, позволили до сих пор осуществить моделирование лишь сравнительно простых канонических течений с умеренными числами Рейнольдса.

В качестве компромиссного в определенном смысле подхода к моделированию турбулентных течений в конце 70-х годов стал рассматриваться метод моделирования крупных вихрей (в зарубежной литературе LES - Large Eddy Simulation) [5]. Суть данного подхода состоит в математическом разделении описания крупных и мелкомасштабных структур посредством той или иной операции фильтрации. При этом расчет осредненных характеристик крупномасштабных вихревых структур, размер которых определяется полосой пропускания фильтра, проводится на основе детерминированных уравнений. Мелкомасштабные вихри необходимо моделировать. Для моделирования мелкомасштабной турбулентности обычно используются приемы, во многом адекватные приемам построения полуэмпирических моделей для замыкания уравнений Рейнольдса. В рамках этого направления так же, как и в рамках прямого моделирования турбулентности, были получены важные для понимания поведения крупномасштабных структур результаты. При этом, однако, выяснилось, что качество моделирова-

ния мелкомасштабной турбулентности во многом определяется шириной фильтра. Стремление к снижению ширины фильтра ведет к росту вычислительных ресурсов, необходимых для моделирования. Оценки вычислительных затрат в рамках метода моделирования крупных вихрей показывают [6], что они соизмеримы с затратами при прямом численном моделировании. По прогнозу, приведенному в работе Ф. Спа-ларта [6], прямое моделирование может стать инструментом практического решения прикладных задач примерно к 2080г., а метод моделирования крупных вихрей - к 2045г. Из приведенных оценок следует, что практической основой моделирования турбулентных течений в ближайшей и среднесрочной перспективе останется подход, основанный на уравнениях Рейнольдса, замкнутых с помощью тех или иных моделей турбулентности.

Возможно, не слишком оптимистичный прогноз относительно перспектив DNS и LES, сделанный в работе [6], в определенной степени обусловлен существенными результатами, полученными в рамках традиционного моделирования. В последние годы появились модели с достаточно широким диапазоном применимости, подтвердившие свою эффективность при решении многих прикладных задач. В связи с этим укажем на две дифференциальные модели с одним уравнением для турбулентной вязкости- модель {vt — 92) А.H. Секундова с соавторами [7] и модель Спаларта-Аллмараса [8], а также дифференциальную модель с двумя уравнениями (к — uj) Ментера [9].

В заключение коснемся проблем и роли алгебраических моделей турбулентности в контексте высказанных выше соображений о ситуации в области моделирования турбулентных пристенных течений.

Алгебраические модели турбулентных пристенных течений, т.е. модели, основанные на уравнениях для первых моментов, а также на некоторых представлениях о структуре течения и простейших полуэмпирических теориях турбулентности (Прандтля, Кармана, Клаузера и др.) в течение длительного времени были основным средством решения многочисленных прикладных проблем гидрогазодинамики. Ограниченные возможности этих моделей хорошо известны. Сфера их применимости- турбулентные пограничные слои, течения с ясно выраженным сдвигом; однако, эти модели трудно применить к течениям со слож-

ной геометрией. Последнее обстоятельство, по-видимому, было одной из главных причин достаточно длительной по времени утраты интереса к алгебраическим моделям, наступившей в начале 70-х годов после 1-ой Стэнфордской конференции. Несомненно, негативную роль сыграла также известная переоценка возможностей полуэмпирических моделей турбулентности, основанных на уравнениях для вторых моментов, имевшая место в 70-е годы. Выводы 2-ой Стэнфордской конференции 1980-1981 гг. подтвердили существование чрезмерного оптимизма в оценке указанных моделей.

Анализ ситуации, касающейся проблем моделирования турбулентных течений, сложившейся в середине 80-х годов [10], привел, в частности, к выводу о том, что потенциальные возможности алгебраических моделей далеко не исчерпаны. При этом отмечалось, что основное внимание при разработке алгебраических моделей должно быть сосредоточено на простейших канонических течениях. Как правило, такие течения хорошо изучены экспериментально и широко используются как тестовые для "настройки" более сложных моделей турбулентности. Следует подчеркнуть, что с точки зрения понимания и осмысления структуры канонических течений алгебраические модели представляются наиболее развитым инструментом анализа. Более глубокий анализ канонических течений [11] показал, что некоторые фундаментальные закономерности таких течений остаются не изученными до сих пор. Это относиться, в частности, к проблеме многообразия форм закона стенки, реализующихся в тех или иных канонических течениях. Лишь для некоторых канонических течений, например, течения на плоской пластине и течений с продольным перепадом давления, можно с определенностью указать на форму закона стенки, определяющего профиль скоростей в пристенной области. В ряде других случаев такая определенность отсутствует. Следует отметить, что вопрос о форме закона стенки является принципиальным для моделей турбулентности всех уровней. "Неудачи" многочисленного семейства к — е-моделей в предсказании характеристик пограничных слоев в предо-трывных областях, как свидетельствует анализ [11], непосредственно связан с характерной для этих моделей формой закона стенки, существенно отличающейся от канонической.

Последние годы отмечены возрождающимся интересом к алгебраическим моделям для пристенных турбулентных течений [11], [12], [13].

На кафедре гидроаэродинамики Санкт-Петербургского государственного технического университета в последние годы разработан ряд алгебраических моделей для некоторых типов канонических пристенных течений - турбулентного пограничного слоя на плоской пластине [14]; переходного и турбулентного установившегося течения в трубе с гладкими стенками [15], [16] и шероховатыми [17]; турбулентного пограничного слоя на плоской пластине с неблагоприятным градиентом давления [18].

Настоящая работа [19], [20] лежит в русле этих исследований и является обобщением ранее предложенных алгебраических гипотез турбулентности для описания двух типов пристенных канонических течений: в переходном пограничном слое плоской пластины и течения в турбулентном пограничном слое на выпуклой криволинейной поверхности. Прежде чем будут сформулированы дели, поставленные в диссертационной работе, коротко коснемся вопроса о структуре турбулентных пограничных слоев.

2. О структуре турбулентных пограничных слоев

Современные представления о структуре турбулентного пограничного слоя базируются на опытных данных [21]. Согласно этим представлениям в турбулентном пограничном слое можно выделить по меньшей мере пять подобластей: вязкий подслой, переходная или буферная область, область логарифмического профиля скоростей, область закона следа и область перемежаемости. Первые три области (вязкий подслой, буферная область и область логарифмического профиля скоростей) принято объединять в одну внутреннюю область или область закона стенки. Внутренняя область пограничного слоя на плоской пластине занимает ~ 15 — 20% от толщины всего слоя. Согласно измерениям в ней генерируется до 80% энергии турбулентности, причем первые 5% толщины дают более половины вклада в полное производство турбулентной энергии. Область закона следа и область перемежаемости обычно объединяют во внешнюю область пограничного слоя, которая занимает « 80% от толщины всего слоя.

Внешняя область турбулентного пограничного слоя с характерной для нее крупномасштабной турбулентностью обладает "долгой памятью" по Клаузеру [22]. Полное затухание возмущений в данной области происходит на расстоянии, во много раз превышающем линейный масштаб турбулентности. Следовательно, свойства течения во внешней области могут зависеть в большей степени от предыстории потока.

Как уже отмечалось выше, различные области пограничного слоя отличаются друг от друга разномасштабностью вихревых (когерентных) структур.

Цепочка вращающихся в противоположных направлениях продольных вихрей плотно покрывает всю гладкую стенку. Эти вихри подвержены колебаниям вблизи стенки и в свою очередь порождают низкоскоростные поперечные к потоку жгуты. В эволюции жгутов можно выделить следующие фазы: формирования, подъема, колебания и разрушения. Последовательность последних трех фаз принято называть всплеском. Выше низкоскоростных продольных вихрей, но все еще достаточно близко к стенке находится слой, постоянно разрушаемый всплесками. По некоторым оценкам, всплески дают и 70% рейнольд-совых напряжений. Следующим характерным элементом внутренней области являются мелкомасштабные поперечные вихри большой энергии. Эти вихри частично заполняют буферную область и полностью участок логарифмического профиля скоростей. Указанными вихрями обеспечивается квазиизотропный характер турбулентности в области логарифмического профиля скоростей. Основными элементами внешней области пограничного слоя являются крупномасштабные поперечные вихревые структуры с характерными размерами порядка толщины слоя и "типичные" вихри с большой энергией в области перемежаемости. Нетрудно видеть, что даже схематизированное представление о структуре турбулентного пограничного слоя являет собой достаточно сложную и до конца не изученную картину взаимодействия структурных элементов. Очевидно лишь, что все многообразие состояний пограничного слоя, включая переходные и турбулентные режимы течения, определяется взаимодействием разномасштабных когерентных структур [19].

3. Цели работы. Базовые модели

Сформулируем дели, поставленные в работе:

1. Обобщение недавно предложенных алгебраических моделей Пран-дтля-Лойцянского-Клаузера-3 (ПЛК-3,1995) [14] и Гарбарука, Лапина, Стрельца (ГЛС, 1999) [18], взятых в качестве базовых, на случай двух типов пристенных канонических течений несжимаемой жидкости: в переходном пограничном слое плоской пластины и течения в турбулентном пограничном слое на выпуклой криволинейной поверхности.

2. Обобщение алгебраических моделей турбулентного пограничного слоя ПЛК-3 и ГЛС для условий сжимаемого течения с теплообменом и их тестирование.

3. Обобщение предложенной алгебраической модели переходного пограничного слоя для условий сжимаемого течения с теплообменом и ее тестирование.

Выше упоминалось, что предлагаемые в настоящей работе алгебраические модели переходного пограничного слоя на плоской пластине [19] и турбулентного пограничного слоя на выпуклой криволинейной поверхности [20] получены в результате обобщения базовых моделей ПЛК-3 и ГЛС на рассматриваемые условия течений.

Приведем формулировки алгебраических моделей турбулентного пограничного слоя Прандтля-Лойцянского-Клаузера-3 (ПЛК-3, 1995) [14] и Гарбарука, Лапина, Стрельца (ГЛС, 1998) [18]. Гипотезы турбулентной вязкости, предложенные в данных моделях, оказались весьма плодотворными. На их основе удалось описать течение в пограничном слое на плоской пластине и течение с неблагоприятным продольным перепадом давления.

Модель ПЛК-3 [14], 1995

Алгебраическая модель ПЛК-3 предложена в рамках традиционной двухслойной клаузеровской схемы турбулентного пограничного

слоя. Данная модель базируется на использовании формулы Пранд-тля пути смешения с демпфирующим множителем Лойцянского Dj\ во внутренней области и соотношения, названного формулой Клаузе-ра-3, во внешней области. На основе анализа сделан вывод о том, что так называемая проблема "малых" чисел Рейнольдса есть следствие неуниверсальности использованных во внешней области масштабов. Показано, что универсальными масштабами внешней области являются динамическая скорость vt и толщина вытеснения пограничного слоя 6*. Формула Клаузера-3, согласно которой турбулентная вязкость во внешней области ит,о определяется выражением Рт,о — kv*5* (к = const = 0.4), обладает свойством универсальности (независимости от числа Рейнольдса) во всем рассмотренном диапазоне чисел Рейнольдса: 320 < Re** < 2 • 104. Здесь Re** = Ue5**/v, Ue- скорость на внешней границе пограничного слоя, 5**- толщина потери импульса, v- кинематическая вязкость. Показано, что при Re** > 103 толщина внутренней области равна толщине вытеснения пограничного слоя. Приведем формулировку модели ПЛК-3:

• во внутренней области (0 < у < ут)\

ре// = и+(ку)2^Вл (0.1)

Дл = 1 - ехр

'уу* V

Мр)

(0.2)

• во внешней области (ут < У < 5):

vt,o - (0.3)

Модель ГЛС [18], 1998

Алгебраическая модель ГЛС, подобно модели ПЛК-3, предложена в рамках двухслойной клаузеровской схемы турбулентного пограничного слоя. Данная модель базируется на использовании линейной формулы 1Ут,г = куУвс^И для турбулентной вязкости во внутренней области, здесь у- расстояние от стенки, узс>{- скоростной масштаб, в общем

случае подлежащий определению, В~ демпфирующий множитель. Во внешней области применяется формула Клаузера-3. Выбор масштаба скорости в модели у8с производится на основе распределения напряжения трения т(у), что является существенным элементом модели ГЛС. В случае течения на плоской пластине узс = г;*. Выражение для демпфирующего множителя Х> обеспечивает выполнение закона " четвертой степени" для турбулентной вязкости вблизи стенки. Приведем формулировку модели ГЛС:

• во внутренней области (0 < у < ут):

Здесь и, V- проекции скорости на оси декартовой системы координат х,у; к = 0.4- постоянная Кармана; Дц~ демпфирующий множитель Лойцянского; £>- демпфирующий множитель [18]; г/, ^т и соот-

ветственно кинематический коэффициент вязкости, его турбулентный аналог и эффективный коэффициент кинематической вязкости:

уе// = У + КУ Узе,¿-О

(0.4)

(0.5)

• во внешней области (ут < у < 6):

уТо = ку8С105* 7,

(0.6)

(0.7)

г;*- динамическая скорость:

(0.8)

тю- напряжение трения на стенке:

ди

Тт = Р^^Г-

ду у=о

(0.9)

<5*- толщина вытеснения в несжимаемой жидкости:

ОО , Ч

** = /(оло)

11е- скорость на внешней границе пограничного слоя. Параметр перемежаемости Клебанова 7 определяется соотношением [23]:

л -1

7 =

1+5-5(Г

(0.11)

Индексы " 1" и " о" в приведенных соотношениях соответствуют внутренней и внешней областям пограничного слоя, ут - ордината границы между данными областями. Следует отметить, что в модели ГЛС основой для выбора скоростного масштаба служит напряжение трения т, для которого в качестве характерной величины было выбрано значение на стенке (справедливо в случае течения на плоской пластине). Масштаб скорости д8С в модели ГЛС для случая плоской пластины равен и*, т.е.:

—

(0.12)

Существенной особенностью как модели ПЛК-3, так и ГЛС является общность скоростного масштаба V* для внутренней и внешней областей турбулентного пограничного слоя в случае течения на плоской пластине, что позволяет сократить число эмпирических констант на единицу. Константа Кармана к является общей для внешней и внутренней областей. Линейные масштабы во внутренней области в данных моделях определяются обычным образом /г- ~ у- во внешней области- 10 ~ 5*, причем коэффициентом пропорциональности, как было упомянуто выше, служит константа Кармана. Таким образом, для описания турбулентной вязкости во внешней области используется соотношение (0.3), называемое формулой Клаузера-3 [14]. Границей между внутренней и внешней подобластями пограничного слоя является величина (5*, т.е. Ут = 5*. Можно заключить, что обе модели построены на главных масштабах г>* и 6* турбулентного пограничного слоя на плоской пластине, поскольку нет необходимости использовать "подгоночные" коэффициенты на малые числа Рейнольдса в очень широком диапазоне данных

чисел 320 < Re** < 105, например, как это делается в известных моделях Себиси-Смита [23] и некоторых других [14].

4. Краткое содержание работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 135 страницах, включает 41 рисунок.

В первой главе предложена четырехпараметрическая двухслойная алгебраическая модель переходного пограничного слоя на плоской пластине, основанная на обобщении однопараметрической алгебраической модели Прандтля-Лойцянского-Клаузера-3 (ПЛК-3, 1995) [14]. В отличие от модели ПЛК-3 предлагаемая модель помимо параметра S = v*5*/v включает безразмерный параметр Re** и два существенных эмпирических параметра: числа Рейнольдса Re*s* и Re^ начала и конца перехода соответственно. Значения параметров Re*s* и Re*£ в зависимости от степени турбулентности во внешнем потоке определяются на основе эмпирических данных. Проведено достаточно широкое сопоставление расчетных характеристик переходного пограничного слоя (коэффициента трения с/, формпараметра Н = S*/8**) с имеющимися опытными данными, свидетельствующее об их удовлетворительном согласии. На основе анализа структуры переходного пограничного слоя показано, что во всем исследованном диапазоне изменения уровня турбулентности во внешнем потоке £ (0 < £ < 8%) формирование области логарифмического профиля скоростей начинается при значениях максимальной турбулентной вязкости во внешней области пограничного слоя, на порядок превышающих кинематическую вязкость {vt/v ~ 10). Для значений vt/v > 10 структура переходного слоя приобретает черты развитого турбулентного слоя (вязкий подслой, переходная область, область логарифмического профиля скоростей, области закона следа и перемежаемости). Отличие состоит в относительной протяженности логарифмического участка, который растет с увеличением числа Re** и достигает предельного значения (е = idem) при Re** = Re*s. В конце главы сформулированы краткие выводы.

Во второй главе проведено обобщение алгебраических моделей турбулентного пограничного слоя ПЛК-3 [14] и ГЛС [18] для условий сжимаемости и теплообмена. В диапазоне изменения чисел Маха Ме = 1 -г 7.8 рассмотрены случаи теплоизолированной Tw/Taw = 1, холодной Tw/Taw = 0.2 -т- 0.5 и сильнозахоложенной Tw/Taw = 0.02 -г- 0.05 стенок. Для сравнения проведены расчеты по известной алгебраической модели Себиси-Смита [23]. В качестве тестовых характеристик для холодной и теплоизолированной стенок, наряду с опытными данными, были использованы аппроксимационные зависимости Ван-Дриста-П [24] и Лапина-Лойцянского [25], хорошо согласующиеся с экспериментом.

В случае течения около теплоизолированной стенки (Tw/Taw = 1) было проведено сравнение по коэффициенту трения с/ в диапазонах чисел Маха Ме = Н5 и Рейнольдса Re** = 4 • 102 -г Ю5. Рассмотренные модели показали практически одинаковые результаты, за исключением модели ПЛК-3, завышавшей трение (максимум 10%) при Re** < 104. На основании сопоставления расчетных и канонического логарифмического профилей скорости сделан вывод о том, что в сжимаемом турбулентном пограничном слое при Tw/Taw = 1 реализуется обобщенный закон стенки по Таунсенду [26].

В случае течения около холодной стенки были исследованы диапазоны параметров: Ме = 2 т 7.8 и Tw/Taw = 0.2 -f 0.5. Проведено сравнение расчетных результатов с опытными данными [27] (значения Tw/Taw = 0.3 и 0.5, Ме = 5.9 ч- 7.8). Проведено тестирование моделей ПЛК-3, ГЛС и Себиси-Смита в диапазоне параметров Ме = 2 -j- 5 и температурного фактора Tw/Taw = 0.2 и 0.5.

Проведено обобщение алгебраической модели переходного пограничного слоя [19] совместно с алгебраическими моделями ПЛК-3 [14] и ГЛС [18] для условий сжимаемости и теплообмена в условиях сильнозахоложенной стенки, Tw/Taw = 0.02 -г- 0.05. В качестве тестовых условий для расчетов были использованы результаты [28]. Необходимая для моделирования информация взята из упомянутой работы. Получено хорошее согласие между измеренными и расчетными значениями теплового потока. Модель Себиси-Смита в указанном диапазоне параметров дает систематическое завышенное (более 25%) значение теплового потока. В конце приведены выводы по главе

В третьей главе предложена простая алгебраическая модель турбулентного пограничного слоя на выпуклых криволинейных поверхностях, основанная на обобщении двухслойной однопараметрической алгебраической модели для плоской пластины Гарбарука, Лапина, Стрельца (ГЛС, 1998) [18]. Проведено тестирование модели в широком диапазоне изменения параметра кривизны (0.01 < 50/Ии < 0.09, 50- толщина пограничного слоя в начальном сечении криволинейного участка, радиус кривизны поверхности), свидетельствующее о хорошем соответствии экспериментальных и расчетных данных по интегральным характеристикам пограничного слоя: коэффициенту трения С!, толщинам вытеснения 6* и потери импульса , формпараметру Н = 6*/8**. На основе сопоставления расчетных и опытных данных по распределению касательных турбулентных напряжений сделан вывод о том, что модель предсказывает существенно меньшее, чем в опытах, влияние кривизны на подавление турбулентности во внешней области пограничных слоев при слабой кривизне поверхности (50/11ю = 0.01). Однако это различие имеет тенденцию сокращаться с ростом параметра кривизны поверхности. Из анализа расчетных и экспериментальных профилей скорости, построенных в переменных закона стенки, сделан вывод о частичной реализации на криволинейной поверхности обобщенного закона стенки Таунсенда. В конце главы приводятся выводы.

В заключении представлены выводы по результатам проведенной работы.

Замечание о численном методе расчета

Для проведения численных исследований были составлены программы решения уравнений пограничного слоя. Была использована полностью неявная конечно-разностная схема типа Кранка-Николсона [30] с условно вторым порядком аппроксимации по поперечной координате и первым порядком по маршевой переменной. Узлы сетки имели сгущение вблизи стенки таким образом, чтобы в вязкий подслой попадало не менее 20-30 расчетных точек. Систематически проводились исследования на сходимость по сетке. Общее число узлов поперек слоя варьировалось от 200 до 400 в зависимости от рассматриваемых течений.

Автор считает своим долгом подчеркнуть глубочайшую признательность своему научному руководителю и Учителю Юрию Викторовичу Лапину за постоянный интерес, внимание, помощь и поддержку, проявленные при проведении данной работы, критическое обсуждение полученных результатов и полезные замечания.

Автор выражает искреннюю благодарность Александру Васильевичу Федотову, Михаилу Хаимовичу Стрельцу, Михаилу Львовичу Шуру, Евгению Михайловичу Смирнову, Андрею Викторовичу Гарбаруку и Ирине Андреевне Бассиной за помощь, оказанную в процессе работы, проявленный к исследованиям интерес и полезные обсуждения.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Лабусов, Алексей Николаевич

3.6 Выводы

- Предложена новая алгебраическая модель турбулентного пограничного слоя на выпуклых криволинейных поверхностях. Существенной особенностью предложенной модели является применение весовой функции (/3), аргументом которой является параметр, характеризующий структуру пограничного слоя - турбулентное

3.42):

3.56) число Рейиольдса ут/у. Данная функция позволила удовлетворительно описать течение в пограничном слое выпуклой криволинейной поверхности в широком диапазоне параметра кривизны 5/Яу) = 0.01 + 0.09 без введения дополнительных эмпирических поправок. В отличие от алгебраических моделей, предлагавшихся ранее, новая модель не требуют предварительной настройки эмпирического параметра /3 и спецификации вида формул для определения масштабов турбулентности в зависимости от параметра кривизны б/Лу).

- Константа С — 1.4 в предложенной модели "не несет" весовой нагрузки. Проведенные численные исследования показали, что изменение данной константы на 100% (в 2 раза) от значения С = 1 до С = 2 приводит к максимальному изменению трения на 6% при б/Яу, = 0.01 и на 9% при 8/Ят = 0.09. Данную константу можно рассматривать как параметр, определяющий закон стенки. При С — 1 реализуется обобщенный закон стенки [11], при С = 2-классический логарифм. Вопрос о характере закона стенки для турбулентного пограничного слоя около выпуклой криволинейной поверхности требует дальнейших исследований.

- Предложенная в модели форма турбулентного числа Ричардсона Шт содержит отношение ъ>т/у~ турбулентное число Рейнольдса. В классической форме Ш данного параметре нет, поскольку данное число не связано с турбулентностью, а характеризует устойчивость пограничного слоя к малым возмущениям- при Ш > 0 поток устойчив и, в противном случае, при Ш < 0- неустойчив. Можно показать, что при V? —Ъ 0 предложенная форма турбулентного числа Ричардсона Шт асимптотически переходит в классическую Ш. Турбулентное число Рейнольдса играет роль весовой функции при числе Ш и отражает более сложный механизм влияния кривизны на турбулентность.

- При выборе скоростных масштабов турбулентности для новой модели получил свое развитие подход, предложенный в [18], согласно которому основой для масштаба скорости является напряжение трения. В предложенной модели масштаб скорости определялся на основе напряжения трения с привлечением соотношений размерности.

- Проведено тестирование модели в широком диапазоне изменения параметра кривизны (0.01 < бо/В^ < 0.09). Получено хорошее совпадение экспериментальных и расчетных данных по интегральным характеристикам пограничного слоя: коэффициенту трения Cf, толщинам вытеснения 6* и потери импульса <5**, формпараме-тру Н = 5*/5**. Предложенная модель обеспечивает результаты не хуже, чем популярная дифференциальная модель САШ, хорошо зарекомендовавшая себя при расчете сложных типов течений.

- При описании профилей турбулентных напряжений получено существенное различие между расчетными и опытными данными при малых значениях параметра кривизны (¿о/Дад = 0.01). Отмечается ясно выраженная тенденция к снижению этого различия с ростом параметра кривизны. В целом для предложенной модели характерно занижение роли фактора кривизны поверхности в подавлении турбулентности.

- Описание профилей скорости во внутренней области у/5 < 0.2 можно признать хорошим, во внешней- не вполне удовлетворительным - наблюдается некоторая "незаполненность" профилей. Следует отметить, что подобные тенденции наблюдаются и при использовании известных поправок на кривизну [72]

- Из сравнения расчетных и экспериментальных профилей скорости в переменных закона стенки сделан вывод о частичной реализации обобщенного закона стенки Таунсенда в течениях с продольной кривизной поверхности.

Заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в работе.

1. Предложена новая алгебраическая модель переходного пограничного слоя в несжимаемой жидкости на плоской пластине, сформулированная в терминах двухслойной клаузеровской схемы турбулентного пограничного слоя, путем обобщения на рассматриваемые условия течения алгебраической модели ПЛК-3 [14], принятой в качестве базовой. Указанный подход (на основе двухслойной схемы) позволил описать формирование элементов структуры переходного пограничного слоя от начала перехода (ламинарный режим) до его окончания (турбулентный режим). На переходном режиме формируются элементы внутренней области турбулентного пограничного слоя- вязкий подслой, буферная область, участок логарифмического профиля скоростей. Внешняя область турбулентного пограничного слоя изначально структурно "родственна" внешней области ламинарного слоя (слой постоянной вязкости).

2. Проведено тестирование предложенной модели на имеющемся опытном материале. Были использованы экспериментальные данные Абу-Гханнама и Шоу [32] (АШ), Дхавана и Нарасимхи [34] (ДН), Шубауэра и Клебанова [40] (ШК), полученные при различных уровнях внешней турбулентности е. Для определения "точек" начала и конца перехода использованы аппроксимирующие зависимости [32], полученные путем обобщения опытных данных. В качестве параметра, определяющего начало и протяженность переходной области, рассматривалась степень турбулентности внешнего потока е. Результаты тестирования показывают, что модель вполне удовлетворительно отражает 5- образный характер зависимостей Cf(x) и Н(х), наблюдаемый в эксперименте. Максимальное отличие расчетных и опытных данных составило: с опытными данными ШК для с/- 20%, для Н- 13%; с данными ДН для с/12%, для Н- 7%. С экспериментальными данными АШ получено качественное согласие. Сопоставление экспериментальных [33] и расчетных профилей скорости, построенных в переменных закона стенки показывает качественное согласие. Отчетливо наблюдается процесс формирования элементов структуры внутренней области переходного пограничного слоя.

3. Проведено обобщение алгебраических моделей турбулентного пограничного слоя ПЛК-3 [14] и ГЛС [18] для условий сжимаемости и теплообмена. В диапазоне изменения чисел Маха Ме = 1 -г- 7.8 рассмотрены случаи теплоизолированной Тт/Тау} = 1, холодной Тги/Таг1) = 0.2 ч- 0.5 и сильнозахоложенной Т№/Таи) = 0.02 -г- 0.05 стенок. Для сравнения проведены расчеты по известной алгебраической модели Себиси-Смита [23]. В качестве тестовых характеристик для холодной и теплоизолированной стенок, наряду с опытными данными, были использованы аппроксимационные зависимости Ван-Дриста-П [24] и Лапина-Лойцянского [25], хорошо согласующиеся с экспериментом.

4. В случае течения около теплоизолированной стенки (Ти)/Таги = 1) было проведено сравнение по коэффициенту трения с/ в диапазонах чисел Маха Ме = 1ч-5 и Рейнольдса Ле** = 4-102-^-105. Рассмотренные модели показали практически одинаковые результаты, за исключением модели ПЛК-3, завышавшей трение (максимум 10%) при Яе** < 104. На основании сопоставления расчетных и канонического логарифмического профилей скорости сделан вывод о том, что в сжимаемом турбулентном пограничном слое при = 1 реализуется обобщенный закон стенки по Таунсенду [26].

5. В случае течения около холодной стенки были исследованы диапазоны параметров: Ме = 2-г 7.8 и Т№/Таад = 0.2^-0.5. Проведено сравнение расчетных результатов с опытными данными [27] (значения Ты/Таи = 0.3 и 0.5, Ме = 5.9-г7.8). Максимальные рассогласования между опытом и расчетом составили: по модели Себиси-Смита-12%; по модели ПЛК-3- 21%; по модели ГЛС- 19%. Проведено тестирование моделей ПЛК-3, ГЛС и Себиси-Смита в диапазоне параметров Ме = 2 Ч- 5 и температурного фактора Тги/Таи] = 0.2 и 0.5. Максимальные различия по трению составили (при Ме = 5 и Т№/Таад = 0.5): между моделями Себиси-Смита и ГЛС- 7 %; между моделями Себиси-Смита и ПЛК-3- 12%. В диапазоне чисел Re** = 4 • 103 -г Ю5 при значении Tw/Taw = 0.2 модель Себиси-Смита завышает трение на 12% по сравнению с моделями ГЛС и ПЛК-3.

6. Проведено обобщение алгебраической модели переходного пограничного слоя [19] совместно с алгебраическими моделями ГЛС [18] и ПЛК-3 [14] для условий сжимаемости и теплообмена в случае сильнозахоложенной стенки, Tw/Taw = 0.02 -ь 0.05. В качестве тестовых условий для расчетов были использованы результаты [28]. Необходимая для моделирования информация взята из упомянутой работы. Максимальное рассогласование между расчетными и экспериментальными значениями теплового потока составило величину не более 17%. Модель Себиси-Смита в указанном диапазоне параметров дает систематическое завышенное (более 25%) значение теплового потока.

7. Проведено обобщение взятой за основу алгебраической модели ГЛС [18] на условия течения в турбулентном пограничном слое на выпуклой криволинейной поверхности. Существенной особенностью предложенной модели является применение в качестве сомножителя перед параметром кривизны 5/Rw весовой функции /3, аргументом которой является турбулентное число Рейнольдса vt¡vi характеризующее структуру пограничного слоя. В отличие от алгебраических моделей, предлагавшихся ранее, новая модель не требует предварительной настройки эмпирического параметра /3 в зависимости от параметра S/Rw и позволяет удовлетворительно описать влияние продольной кривизны поверхности на турбулентность в диапазоне параметра кривизны S/Rw = 0.01 -i-0.09 без введения дополнительных эмпирических поправок.

8. Проведено тестирование модели в широком диапазоне изменения параметра кривизны (So/Rw = 0.01 -j-0.09) с использованием опытных данных для умеренной кривизны (Sq/Rw = 0.01) Гибсона, Вер-риопоулоса и Влачоса[63], Мака, Хоффманна и Брэдшоу [64] и сильной (Sq/Rw = 0.05) Coy и Меллора [57], (S0/Rw = 0.1) Гиллиса и Джонстона [62] продольной кривизны поверхности. Кроме того было проведено сопоставление с результатами расчетов проведенных на основе дифференциальной модели Спаларта и Аллмара-са [8] с поправкой на продольную кривизну Спаларта-Шура [29], (модель САШ). Получено хорошее совпадение экспериментальных и расчетных данных по интегральным характеристикам пограничного слоя: коэффициенту трения с/, толщинам вытеснения 5* и потери импульса #**, формпараметру Н = 8*/6**. Предложенная модель обеспечивает результаты не хуже, чем популярная дифференциальная модель САШ, относительно хорошо зарекомендовавшая себя при расчете сложных типов течений. При описании профилей турбулентных напряжений получено существенное различие между расчетными и опытными данными при малых значениях параметра кривизны (Sq/Rw = 0.01). Отмечается ясно выраженная тенденция к снижению этого различия с ростом параметра кривизны. Из сравнения расчетных и экспериментальных профилей скорости в переменных закона стенки сделан вывод о частичной реализации обобщенного закона стенки Таунсенда в течениях с продольной кривизной поверхности.

9. Предложенная в модели форма турбулентного числа Ричардсона Rix содержит отношение vx/v- турбулентное число Рейнольдса. В классической форме Ri данного параметре нет, поскольку указанное число не связано с турбулентностью, а характеризует устойчивость пограничного слоя к малым возмущениям- при Ri > 0 поток устойчив и, в противном случае, при Ri < 0- неустойчив. Свидетельством непротиворечивости введенного числа Rix является то обстоятельство, что при vx —> 0 предложенная форма турбулентного числа Ричардсона Rix асимптотически переходит в классическую Ri. Турбулентное число Рейнольдса играет роль весовой функции при классическом числе Ri и отражает более сложный механизм влияния кривизны на турбулентность.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лабусов, Алексей Николаевич, 1999 год

Литература

7

8

9

Coles D.E., Hirst E.A. Computation of turbulent boundary layer. 1968, Proc. AFOSR-IFR Stanf. conf., Ed. D.E. Coles et all, 1969.

EVROVAL - An Eropean initiative on validation of CFD codes, Ed. W. Haase et all, Notes on numerical fluid mechanics, 1993, v. 42.

Complex turbulent flows. 1980-1981, Proc. AFOSR-HTTM Stanf. conf., Ed. S.J. Kline et all, 1981.

Чепмен Д.Р. Вычислительная аэродинамика и перспективы ее развития,, РКТ, 1980, т. 18, N 2, с.3-32.

Ферцигер Дж.Х. Численное моделирование крупных вихрей для расчета турбулентных течений, РКТ, 1977, т. 15, N 9, с.56-66.

Spalart P.R. Strategy for turbulent modelling and simulation, submitted to 4-th Int. Symposium on Eng. Turb. Modelling and Measurements, 1999, May 24-26, Corcica.

Гуляев A.H., Козлов B.E., Секундов A.H. К созданию универсальной однопараметрической модели для турбулентной вязкости, Изв. РАН, МЖГ, 1993, N 4, с.69-82.

Spalart P.R., Allmaras S.R. A one-equation turbulence model for aerodynamic flows, AIAA Paper, N 92-0439, 1992.

Menter F.R. Zonal two equation k—uj turbulence model for aerodynamic flows, AIAA Paper, N 93-2906, 1993.

Численное моделирование внутренних течений вязких химически реагирующих газовых смесей //Ю.В. Лапин, О.А. Нехамкина,

В.А. Поспелов, М.Х. Стрелец, M.JI. Шур в сб. Итоги науки и техники, ВИНИТИ, сер. МЖГ, 1985, т. 19, с.86-185.

[11] Huang P.G., Bradshaw P. Law of the Wall for Turbulent Flows in Pressure Gradient, AIAA J., 1995, v. 33, N 4, pp.624-632.

[12] Horton H.P. Invariant imbedding algorythm for inverse boundary layer problems, Queen Mary & Westfield College, University of London, UK, 1994, QMP-EP1102.

[13] Гарбарук A.B., Лапин Ю.В., Стрелец М.Х. Применение обратного метода решения уравнений пограничного слоя для тестирования моделей турбулентности, ТВТ, 1998, N 4, с. 607-616.

[14] Лапин Ю.В., Поспелов В.А. Турбулентный пограничный слой на плоской пластине, ТВТ, 1995, т.ЗЗ, N3, с. 422-429.

[15] Лапин Ю.В., Нехамкина O.A., Стрелец М.Х. Полу эмпирические модели турбулентности для пристенных течений. Установившееся течение в круглой трубе с гладкими стенками, Изв. АН СССР, МЖГ, 1990, N 2, с.31-36.

[16] Лапин Ю.В., Нехамкина O.A., Стрелец М.Х. Двухслойная трехпа-раметрическая алгебраическая модель переходного и турбулентного установившегося течения в трубе с гладкими стенками, ТВТ, 1995, т.ЗЗ, N1, с. 49-53.

[17] Лапин Ю.В., Нехамкина O.A., Стрелец М.Х. Многопараметрическая алгебраическая модель турбулентного установившегося течения в круглой трубе с песочной шероховотостъю, ТВТ, 1995, т.ЗЗ, N5, с. 731-737.

[18] Гарбарук A.B., Лапин Ю.В., Стрелец М.Х. Простая алгебраическая модель турбулентности для расчета турбулентного пограничного слоя с положительным перепадом давления, ТВТ, 1999, N 1, с. 82-86.

[19] Лабусов А.Н., Лапин Ю.В. Четырехпараметрическая двухслойная алгебраическая модель переходного пограничного слоя на плоской пластине, ТВТ, 1996, т.34, N 6, с. 942-948.

[20] Лабусов А.Н., Лапин Ю.В. Алгебраическая модель турбулентного пограничного слоя на выпуклой стенке в сб. XVI-ая Международная школа-семинар по численным методам механики вязкой жидкости, Новосибирск, 1998, 13-18 сентября, Тезисы докладов, с. 73-74.

[21] Лапин Ю.В., Стрелец М.Х. Внутренние течения газовых смесей, М: Наука, 1989.

[22] Clauzer F.H. The turbulent boundary layer, Adv. Appl. Mech., 1956, v.4, pp. 1-51

[23] Cebici Т., Smith A.M.O. Analysis of turbulent boundary layers, Academic Press, London, 1974.

[24] Ames Research Staff. Equations, tables, charts for compressible flow, NACA Rep. 1135, 1953.

[25] Лапин Ю.В. Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа, М: Наука, 1982.

[26] Townsend A.A. Equilibrium Layers and Wall Turbulence, J. Fluid Mech., 1961, v.ll, pp. 97-120.

[27] Hopkins E.J., Keener E.R., Polek Т.Е., Dwyer H.A. Hypersonic turbulent skin-friction and boundary-layer profiles on nonadiabatic flat plates, AIAA J., 1972, v. 10, N 1, pp. 40-48.

[28] Гуренцов E.B. Экспериментальное исследование теплообмена в сильно охлажденном сжимаемом пограничном слое на плоской пластине // Дисс. уч. ст. канд. техн. наук - М:ИВТ РАН, 1995.

[29] Spalart P.R., Shur M.L. On the sensitization of turbulence models to rotation and curvature, Aerospace Science and Technology, 1997, v. 1, N5, pp.297-302.

[30] Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей -М: Мир, 1991.

[31] Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа -М: Наука, 1987.

[32] Abu-Ghannam В., Shaw R. Natural transition of boundary layers -the effects of turbulence, pressure gradient and flow history, J. Mech. Eng. Sei, 1980, v. 22, N 5, pp. 213-228.

[33] Maestrello L., Nagabushana K.A. Relaminarization of turbulent flow on a flat plate by localized surface heating, AIAA pap., N 89-0985, 1989.

[34] Dhawan S., Narasimha R. Some properties of boundary-layer flow during the transition from laminar to turbulent motion, J. Fluid Mech., 1958, v. 3, pp. 418-436.

[35] McKeel S.A., Walters R.W., Chadwick K.M. Investigation into transition modelling, 12-th AIAA Fluid Dynamics Conference, 1995, pp. 1128-1138.

[36] Dey J., Narasimha R. An integral method for the calculation on 2D transitional boundary layers, Report 88 FM7, Department of Aerospace Engineering, Indian Institute of Science, Bangalore, India, 1988.

[37] Narasinha R. The laminar-turbulent transition zone in the boundary layer, Progress in Aero. Sei., 1985, v. 22, pp. 29-80.

[38] Preston J.H. The minimum Reynolds number for a turbulent boundary layer and the selection of a transition device, J. Fluid Mech., 1958, v. 3, part 4, pp. 373-384.

[39] Hall D.G., Gibbings J.C., J. Mech. Eng. Sei, 1972, v. 14, p. 134.

[40] Shubauer G.B., Klebanoff P.S. Contributions on the mechanics of boundary layer transition, NACA TN, 3489, 1955.

[41] Дыбан Е.П., Эпик Э.Я. Теплообмен и гидромеханика турбулизи-рованных потоков, Киев: Наукова думка, 1985.

[42] Spina E.F., Smits A.J. Organized structure in a compressible, turbulent boundary layer, J. Fluid Mech., 1987, v. 182, pp. 85-110.

[43] Rai M.M., Gatski Т.В., Erlebacher G. Direct simulation of spatially evolving compressible turbulent boundary layer, AIAA pap., N 950583, 1995.

[44] Morkovin M. Effects of compressibility on turbulent flows, Mecanique de la turbulence, edited by A. Favre, Centre National de la Recherche Scientifique, Paris, 1962, pp. 367-380.

[45] So R.M.C., Zhang H.S., Gatski T.B., Speziale C.G. Logarithmic laws for compressible turbulent boundary layers, AIAA J., 1994, v. 32, N 11, pp. 2162-2168.

[46] Van Driest E.R. Investigation of laminar boundary layer in compressible fluids using the Crocco-Method, NACA TN, 2597, 1952.

[47] Отчет НИО-1, ГНИПГС, С.-Петербург, 1995.

[48] Van Driest E.R. Turbulent boundary layer in compressible fluids, J. of Aero. Sci., 1951, v. 18, N 3, pp. 145-160.

[49] Coles D. The turbulent boundary layer in a compressible fluid, The Phys. of Fluids, 1964, v. 7, N 9.

[50] Spalding D.B., Chi S.W. The drag of a compressible turbulent boundary layer on a smooth flat plate with and without heat transfer, J. Fluid Mech., 1964, v. 18, Pt. 1, pp. 117-143.

[51] Sommer S.C., Short B.J. Free-flight measurements of turbulent-boundary layer skin friction in the presence of severe aerodynamic heating at Mach numbers from 2.8 and 7.0, J. of Aero. Sci., 1956, v. 23, N 6.

[52] Hopkins E.I., Inouye M. An evaluation of theories for predicting turbulent skin friction and heat transfer on flat plates at supersonic and hypersonic Mach numbers, AIAA J., 1971, v. 9, N 6, pp.993-1003.

[53] Гуренцов E.B., Сокольский А.А., Шиков В.К., Эйгенсон Е.Б. Экспериментальное исследование теплообмена в сильно охлажденном пограничном слое сверхзвукового потока воздуха. Методика и результаты измерений, TBT, 1995, т.ЗЗ, N 5, с. 749-758.

[54] Гуренцов Е.В., Шиков В.К., Эйгенсон Е.Б. Экспериментальное исследование теплообмена в сильно охлажденном турбулентном пограничном слое сверхзвукового потока воздуха. Сравнение с методами расчета, ТВТ, 1995, т.ЗЗ, N 5, с. 809-813.

[55] Prandtl L. Einfluss Stabilisierender Kräfte auf die Turbulenz, Sonderdruck Vorträge aus dem Gebiete der Aerodynamik und verwandter Gebiete, Aachen, 1929.

[56] Bradshaw P. Effects of streamline curvature on turbulent flow, AGARDograph, N 169, 1973.

[57] So R.M.C., Mellor G.L. Experiment on convex curvature effects in turbulent boundary layers, J. Fluid Mech., 1973, v.60, pp. 43-62.

[58] So R.M.C., Mellor G.L. Experiment on turbulent boundary layer on a concave wall, Aero. Quart. , 1975, v.26, pp. 25-40.

[59] Shivaprasad B.G., Ramaprian B.R. Turbulence measurements in boundary layers along mildly curved surfaces, J. Fluids Engineering, 1978, v.100, pp. 37-46.

[60] Shivaprasad B.G., Ramaprian B.R. The structure of turbulent boundary layers along mildly curved surfaces, J. Fluid Mech., 1978, v.85, pp. 273-303.

[61] Prabhu A., Sundarasiva Rao B.N. Effect of concave streamline curvature on turbulent boundary layers, AIAA pap., N 81-1193, 1981.

[62] Gillis J.C., Johnston J.P. Turbulent boundary-layer flow and structure on a convex wall and its redevelopment on aflat wall, J. Fluid Mech.,

1983, v.135, pp. 123-153.

[63] Gibson M.M., Verriopoulos C.A., Vlachos N.S. Turbulent boundary layer on a mildly curved convex surface, Experiments In Fluids,

1984, v.2, pp. 17-24.

[64] Muck K.C., Hoffmann P.H., Bradshaw P. The effect of convex surface curvature on turbulent boundary layers, J. Fluid Mech., 1985, v.161, pp. 347-369.

[65] Hoffmann P.H., Muck К.С., Bradshaw P. The effect of concave surface curvature on turbulent boundary layers, J. Fluid Mech., 1985, v. 161, pp. 371-403.

[66] Barlow R.S., Johnston J.P. Structure of a turbulent boundary layer on a concave surface, J. Fluid Mech., 1988, v.191, pp. 137-176.

[67] Chebby В., Holloway A.G.L., Tavoularis S. The response of sheared turbulence to changes in curvature, J. Fluid Mech., 1998, v.358, pp. 223-244.

[68] Baskaran V., Pontikis Y.G., Bradshaw P. Experimental investigation of three-dimensional turbulence boundary layer on 'infinite ' swept curved wings, J. Fluid Mech., 1990, v.211, pp. 95-112.

[69] Bradshaw P. The Analogy between streamline curvature and byoyancy in turbulent shear flow, J. Fluid Mech., 1969, v.36, part 1, pp. 95-112.

[70] Турбулентность /Под ред. П. Брэдшоу-М: Машиностроение, 1980.

[71] Методы расчета турбулентного пограничного слоя// А.С. Гинев-ский, В.А. Иосилевич, А.В. Колесников, Ю.В. Лапин, В.Н. Пили-пенко, А.Н. Секундов в сб. Итоги науки и техники, ВИНИТИ, сер. МЖГ, 1978, т. 11, с.195-214.

[72] Халатов А.А. Теплообмен и гидродинамика около криволинейных поверхностей, Инж.-физ. журнал, 1996, т.69, N6, с.927-940.

[73] Устименко Б.П. Процессы турбулентного переноса во вращающихся течениях -Алма-Ата: Наука, 1977.

[74] Монин А.С., Обухов А.Б. Труды Геофизического ин-та АН СССР, 1954, 24, с. 163-187.

[75] So R.M.C., Mellor G.L. Turbulent boundary layers with large curvature effects, Z. Angew. Math. Phys. , 1978, v.29, pp. 54-74.

[76] So R.M.C. Discussion on turbulent wall jets with cylindrical streamwise surface curvature, J. Fluids Eng. Trans. ASME, 1976, v.98, pp. 780782.

[77] So R.M.C. On the curvature/buoyance analogy for turbulent shear flows, Z. Angew. Math. Phys. , 1980, v.31, pp. 628-633.

[78] Иконникова И.Э., Кузьмин А.В., Халатов А.А. Учет влияния сильной кривизны на характеристики турбулентного пограничного слоя, Промышленная теплотехника, 1992, т. 14, N4-6, с. 14-18.

[79] Иконникова И.Э., Кузьмин А.В., Халатов А.А. Адаптация турбулентного пограничного слоя на выпуклой поверхности, Инж.-физ. журнал, 1998, т. 71, N2, с. 306-310.

[80] Wilcox D.C., Chambers T.L. Streamline Curvature Effects on Turbulent Boundary Layers, AIAA J., 1977, v.15, N4, pp.574-580.

[81] Современное состояние гидроаэродинамики вязкой жидкости/ Под. ред. С. Гольдштейна, т.1, -М: ИЛ, 1948.

[82] Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя -М:Наука, 1974.

[83] Лойцянский Л.Г. Турбулентное движение жидкости и внутренняя задача, Изв. н.-и. инст. гидротехники, 1933, т.1Х.