Смешанный метод конечных элементов в создании и исследовании моделей формообразования тонкостенных профилей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Лавыгин, Дмитрий Сергеевич

• Лавыгин, Дмитрий Сергеевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Лавыгин, Дмитрий Сергеевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

1 Обзор известных результатов, задачи диссертационной работы

1.1 Способы получения тонкостенных перфорированных профилей

1.1.1 Получение перфорированных изделий методом листовой штамповки

1.1.2 Применение механообработки в процессах перфорирования

1.1.3 Лазерная резка

1.1.4 Типы перфорации пластин

1.1.5 Технологии получения перфорированных гнутых профилей

1.2 Методы анализа напряженно-деформированного состояния перфорированных изделий

1.3 Сравнительный анализ существующих комплексов программ, реализующих метод конечных элементов

1.3.1 Программный комплекс А^УБ

1.3.2 Программный комплекс РЕшСБ

1.3.3 Программный комплекс Б1йраск

1.3.4 Программные модули ЬМтГет, ЕВт£ет и СЫп^ет

1.3.5 Программный комплекс РгоЬЗо1

1.4 Выводы

2 Смешанные методы конечных элементов, связанные с использованием ортогональных финитных функций

2.1 Смешанный вариационно-сеточный метод в задачах теории стержней

2.2 Смешанный метод конечных элементов в задачах теории стержней

2.3 Алгоритм эффективного решения систем сеточных уравнений смешанных численных методов, связанных с ортогональными финитными функциями

2.4 Смешанный метод конечных элементов в задачах теории пластин

2.5 Смешанный метод конечных элементов в трехмерной задаче теории упругости

2.6 Выводы

3 Реализация комплекса программ Л^ЗоЬгег для решения задач теории стержней, пластин и трехмерной теории упругости

3.1 Общая структура программного комплекса

3.2 Межпрограммное взаимодействие и форматы обмена данными

3.2.1 Авторский текстовый формат РЕМЬ

3.2.2 Авторские бинарные форматы УБОЬ, УМАТ и УКЕБ

3.3 Работа с программным комплексом

3.3.1 Использование интерфейсов обработки данных

3.3.2 Работа с построителями систем уравнений

3.3.3 Решение систем уравнений с помощью встроенных решателей

3.3.4 Применение верифицирующих программ

3.3.5 Постпроцессорная обработка результатов в среде У1Роб1

3.4 Выводы

4 Применение программного комплекса У^ЗоЬ^ег к решению задач формообразования

4.1 Цель и задачи исследований

4.2 Используемые программные и аппаратные средства

4.3 Свойства применяемых моделей материалов и констант

4.4 Верифицирующие решения задач изгиба стержней круглого сечения под действием распределенной нагрузки

4.4.1 Препроцессорная подготовка

4.4.2 Построение систем уравнений

4.4.3 Решение систем уравнений

4.4.4 Анализ результатов решений

4.5 Верифицирующие решения задач изгиба квадратной пластины

под действием распределенной нагрузки

4.5.1 Препроцессорная подготовка

4.5.2 Получение решения в ViSolver

4.5.3 Анализ результатов решений

4.6 Верифицирующие решения трехмерных задач изгиба балки квадратного сечения под действием силы тяжести

4.6.1 Препроцессорная подготовка

4.6.2 Получение решений

4.6.3 Анализ результатов решений

4.7 Исследование напряженно-деформированного состояния перфорированной заготовки

4.7.1 Программа и задачи исследования

4.7.2 Препроцессорная подготовка

4.7.3 Допущения, принятые при моделировании

4.7.4 Получение решений

4.7.5 Анализ результатов

4.8 Моделирование формообразования профиля корытообразного типа из перфорированной ленты

4.8.1 Программа и задачи исследования

4.8.2 Схема формообразования

4.8.3 Препроцессорная подготовка

4.8.4 Допущения, принятые при моделировании

4.8.5 Получение решений

4.8.6 Анализ результатов

4.9 Основные направления дальнейших исследований

4.10 Выводы

Заключение

Список литературы

144

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Смешанный метод конечных элементов в создании и исследовании моделей формообразования тонкостенных профилей»

ВВЕДЕНИЕ

Широкое распространение тонкостенных металлических профилей обусловлено постоянно нарастающими объемами отечественного промышленного производства. Область их применения включает в себя такие важнейшие отрасли промышленности, как строительство, машиностроение, авиастроение и др. Сложность производства профильной продукции сопряжена с большими трудозатратами и наукоемкостью при проектировании и отладке технологического процесса, что оказывает существенное влияние на конечную стоимость продукции. Другим сдерживающим фактором являются временные затраты на подготовку технологической платформы, которые включают в себя аналитические и экспериментальные исследования. Натурный эксперимент является наиболее трудоемким этапом и предполагает использование дорогостоящего оборудования. Перспективным направлением в решении этой проблемы является применение методов математического моделирования в средах специализированных конечно-элементных программных комплексов [31,32].

В настоящее время для моделирования формообразования тонкостенных профилей используются такие программные продукты зарубежных производителей, как ANSYS, LS-DYNA, COPRA RollForm и др. Современные CAD-систсмы, как правило, имеют в своем составе расчетные конечно-элементные модули, позволяющие проводить анализ напряженно-деформированного состояния конструкции. Однако, подобные программные продукты зачастую имеют ограниченный инструментарий для постпроцессорной обработки результатов и характеризуются высокими требованиями к аппаратной части вычислительных систем, что вынуждает пользователей использовать модели меньшей размерности, либо вводить упрощения и ограничения, отрицательно влияющие на точность получаемых результатов. Большинство недостатков существующих конечно-элементных пакетов связано с особенностью используемой формулировки метода конечных элементов в перемещениях, что находит подтверждение в работах [25,45].

Увеличение производительности вычислений и точности получаемых решений может быть достигнуто путем применения смешанных формули-

ровок метода конечных элементов с использованием ортогональных финитных функций, математическое обоснование которых представлено в работах [45,46]. Однако, сдерживающим фактором использования данного метода является отсутствие его программной реализации.

В связи с этим, создание комплекса программ, реализующего метод конечных элементов в смешанной постановке с использованием ортогональных финитных функций и предназначенного для математического моделирования формообразования тонкостенных профилей является актуальной задачей.

Целью данной работы является разработка комплекса программ конечно-элементного анализа в смешанной форме с использованием ортогональных финитных функций и его применение для решения технических задач — получения схем формообразования и технологических параметров формообразующих инструментов при производстве корытообразных профилей специальной формы.

Для достижения поставленной цели необходимо решить ряд задач:

1. Построить алгоритмы численных методов теории стержней в форме смешанного вариационно-сеточного метода и метода конечных элементов с использованием функций Куранта и ортогональных финитных функций для проведения сравнения методов;

2. Построить смешанный метод конечных элементов теории пластин с использованием ортогональных финитных функций и соответствующих конечно-элементных моделей пластин;

3. Построить смешанный метод конечных элементов трехмерной теории термоупругости с использованием ортогональных финитных функций и соответствующих конечно-элементных моделей трехмерных упругих элементов конструкций;

4. Разработать структуру программного комплекса конечно-элементного анализа в смешанной форме, учитывающую его взаимодействие с внешними программными библиотеками решателей систем линейных алгебраических уравнений, существующими препроцессорами и с комплексом ANS YS;

5. Провести верификацию приближенных численно-аналитических решений, получаемых с помощью созданного конечно-элементного комплекса;

6. Применить созданный программный продукт к решению актуаль-

ных задач формообразования перфорированных корытообразных профилей специальной формы.

Объектом исследования являются процессы формообразования и их изучение с помощью конечно-элементных моделей, а также реализация этих моделей и алгоритмов метода конечных элементов в комплексе программ.

Предметом исследования являются алгоритмы численных методов и конечно-элементные математические модели, а также приложения их программной реализации в технических задачах.

Научная новизна заключается в создании новых алгоритмов численно-аналитических смешанных методов конечных элементов, связанных с ортогональными финитными функциями, в их программной реализации, верификации и в получении решений актуальных технических задач с более высокими характеристиками, создающими возможности для повышения уровня проектирования технологических процессов.

Теоретическая и практическая значимость работы заключается в возможности, с учетом применения ортогональных финитных функций, использования смешанных конечно-элементных моделей больших размерностей для решения технических задач формообразования.

В диссертационной работе применялись методы конечно-элементного моделирования, численные методы решения систем линейных уравнений, методы структурного и объектно-ориентированного программирования, вариационного исчисления, механики сплошных сред, теории аппроксимации.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Алгоритмы новых смешанных методов конечных элементов для одномерных, двумерных и трехмерных задач напряженно-деформированного состоянии упругих конструкций, связанные с использованием ортогональных финитных функций;

2. Новые конечно-элементные модели упругих стержней, пластин, трехмерных тел, порождаемые алгоритмами смешанного метода конечных элементов;

3. Новый алгоритм решения разреженных систем уравнений смешанного метода конечных элементов, построенных с использованием ортогональных финитных функций;

4. Комплекс программ конечно-элементного анализа, включающий в себя подпрограммы, реализующие алгоритмы смешанного метода конечных элементов, решатели, верификаторы, средства обработки входных и выходных данных и среду трехмерной визуализации результатов;

5. Конечно-элементные модели корытообразных профилей специальной формы.

Результаты основных положений диссертации докладывались и обсуждались на международной научно-практической конференции «Современная наука: теоретический и практический взгляд» (Уфа, 29-30 октября 2013 г.), на итоговом весеннем мероприятии по программе «Участник молодежного научно-инновационного конкурса» (Ульяновск, 2013 г.), на международной научно-практической конференции «Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития '2012» (Одесса, 2-12 октября 2012 г.), на 45-й научно-технической конференции УлГТУ «Вузовская наука в современных условиях» (Ульяновск, 24-29 января 2011 г.), на всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и вопросы преподавания информатики в учебных заведениях» (Ульяновск, 31 марта 2010 г.), на 12-й региональной молодежной научной школе-семинаре «Актуальные проблемы физической и функциональной электроники» (Ульяновск, 2-4 декабря 2009 г.).

Апробация проведенных исследований проходила на базе ОАО «Ульяновский НИАТ» (Ульяновский научно-исследовательский институт авиационной технологии и организации производства).

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 120 наименований. Основная часть работы изложена на 157 страницах машинописного текста и содержит 55 рисунков и 38 таблиц.

В первой главе описаны способы получения перфорированных изделий, рассмотрены методы анализа их напряженно-деформированного состояния. Проведен сравнительный анализ существующих программных комплексов, в том числе реализующих метод конечных элементов в смешанной форме.

Во второй главе рассмотрены численные методы исследования математических моделей, использующие ортогональные финитные функции. Осу-

щсствляются математические преобразования, приводящие к построению систем для одномерных, двумерных и трехмерных задач. Предлагается новый алгоритм решения разреженных систем уравнений смешанного одномерного метода конечных элементов, построенных с использованием ортогональных финитных функций.

Третья глава посвящена реализации авторского комплекса программ У18о1уег. Приведена общая структура программного комплекса. Описаны механизмы межпрограммного взаимодействия и авторские форматы обмена данными. Рассмотрены основные приемы работы пользователя с комплексом и его составляющими элементами.

В четвертой главе проведены верификационные решения для всех типов задач деформирования твердых тел. Проведены численные исследования напряженно-деформированного состояния перфорированной заготовки. Решена техническая задача формообразования тонкостенного перфорированного корытообразного профиля специальной формы. Получены основные технологические параметры профиля и формообразующего инструмента.

Материалы диссертации опубликованы в 15 печатных работах, из них 4 статьи в рецензируемых журналах, 2 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ, 6 статей в сборниках трудов конференций и тезисов докладов.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю, научному консультанту и ОАО «Ульяновский НИАТ» за оказанную помощь и поддержку в процессе подготовки работы.

1. ОБЗОР ИЗВЕСТНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ, ЗАДАЧИ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1.1. Способы получения тонкостенных перфорированных профилей

Современный технический прогресс в областях авиа-, суд о- и машиностроения неразрывно связан с применением конструкций, состоящих из тонкостенных перфированных профилей [27,48]. Перфорированные элементы, получаемые путем изготовления значительного числа правильно расположенных отверстий в листовом материале [108], обладают значительной жесткостью при минимальной массе и играют особую роль при проектировании конструкций, обеспечивая существенную экономию материала (до 20-30%) и, как следствие, уменьшение стоимости конечной продукции [55].

Примеры применения перфорированных изделий в различных отраслях промышленности показаны в таблице 1.1.

Таблица 1.1 — Применение перфорированных изделий в отраслях промышленности

Отрасль Применение

Машиностроение корпусные детали тракторов и автомобилей; воздухозаборники тракторов, автомобилей и комбайнов; каркасы масляных фильтров; конструктивные элементы глушителей; защитные экраны и кожухи для промышленного оборудования; конвеерные ленты.

Архитектура и дизайн элементы фасадов; лестничные и балконные ограждения; интерьерные светильники; декоративное оформление колонн и элементов интерьера.

Строительство защитные оконные экраны; шумогасящие и ветрозащитные панели; крепежные уголки; крепежно-соединительные пластины; перфорированные крепежные ленты; профили перфорированные монтажные.

Продолжение таблицы 1.1

Отрасль Применение

Пищевая промышленность противни для хлебопекарных предприятий; сита; фильтры; изделия инвентаря.

Радиотехника корпусные детали; элементы систем охлаждения; антенные решетки; крепежные изделия.

Топливно- энергетическая промышленность корпусные детали; фильтрующие элементы; решетки; сепараторы; элементы монтажных конструкций; кабель-каналы.

На сегодняшний день существует три основных способа получения перфорированных изделий:

1. Листовая штамповка (просечка, выдавливание и др.);

2. Механообработка (сверление, фрезерование и др.);

3. Лазерная резка.

1.1.1. Получение перфорированных изделий методом листовой штамповки

В качестве оборудования, реализующего технологию получения перфорированных изделий, используются штамповочные прессы различных типов [64]. Все прессы реализуют принцип выполнения отверстий в строго заданных местах листа металла, который подается на рабочий стол станка и закрепляется. Перфорацию осуществляют металлическими пуансоном и Рисунок 1.1 — Схема матрицей (рис. 1.1). Пуансон (1) вдавливает часть за- перфорирования готовки (2) в отверстие матрицы (3). В процессе пробивки механизм перемещает лист по двум осям с достаточно большой скоростью, которую снижают для тонколистовых заготовок, чтобы не терять точность изготовления и не снижать качество получаемого изделия.

Координатно-пробивные прессы предназначены для высокоточной, высокопроизводительной обработки заготовок из листовых металлов. Наряду со стандартными операциями пробивки фигурных отверстий и вырубки контурных деталей, эти прессы имеют также широкие возможности для выполнения специальных операций но формовке изделий: отбортовки, вытяжки, высечки-формовки сложных отверстий типа «жалюзи», формирования ребер жесткости и др. Типичным представителем данной серии является координатно-пробивной пресс DEKA МР8-30 [22], основные характеристики которого приведены в таблице 1.2.

Таблица 1.2 — Общий вид и основные характеристики пресса DEKA МР8-30

Номинальное усилие, кН

Максимальная масса заготовок, кг

Максимальная толщина заготовок, мм

Точность позиционирования, мм

Максимальное количество ударов в ед. времени,

уд/мин

Масса, кг

14500

Габаритные размеры, мм

5340 х 2700 х 2150

Электр о-механические штамповочные прессы благодаря своим конструктивным и эксплуатационным свойствам широко используются в мелкосерийных производствах, связанных с обработкой листовых заготовок на машиностроительных предприятиях оборонной и аэрокосмической промышленности, в авиастроении, тракторостроении, автомобилестроении. В зависимости от применяемой оснастки, они позволяют выполнять операции штамповки, пробивки фигурных отверстий и вырубки разных деталей, а также изгиб, вытяжку и др. Типичным представителем данной серии является электромеханический штамповочный пресс DEKA JH21-25B [80], основные характеристики которого приведены в таблице 1.3.

Таблица 1.3 — Общий вид и основные характеристики пресса DEKA JH21-25B

Номинальное усилие, кН

Максимальная высота открытия пресса, мм

Размер рабочей области ползуна, мм

270 х 330

Мощность главного двигателя, кВт

Количество ходов, фиксированное, мин

Масса, кг

Габаритные размеры,

мм

1150 х 1050 х 2050

fSÜ I Щщ »

Гидравлический пресс функционирует, основываясь на принципе взаимодействия двух камер, снабженных поршнями, или плунжерами, которые соединяются между собой трубопроводом и заполнены жидкостью (гидравлическое масло, вода или специальная жидкость). К одному из поршней прилагается сила, под действием которой образуется давление, которое передастся по всему объему жидкости, и так как оно направлено к основанию другого поршня, происходит его перемещение. Типичным представителем данного класса можно считать гидравлический пресс отечественного производства НелидовПрессМаш ДГ2428 [54], основные характеристики которого приведены в таблице 1.4.

Таблица 1.4 — Общий вид и основные характеристики пресса ДГ2428

Номинальное усилие, кН

630

Ход ползуна, мм

450

Максимальное расстояние между столом и ползуном, мм

710

Номинальное усилие нижнего выталкивателя, кН

125

Ход выталкивателя, мм

160

Масса, кг

2800

Габаритные размеры, мм

2000 х 1100 х 3200

1.1.2. Применение механообработки в процессах перфорирования Современные технологии перфорирования листовых материалов методом резания предоставляют возможность комплексной обработки с использованием высокотехнологичных фрезерных станков. Конструкции современных фрезерных станков с числовым программным управлением гарантируют высокую точность изготовления, жесткость узлов станка и динамику обработки и тем самым обеспечивают оптимальное решение основных технологических задач авиакосмической, автомобильной промышленности, инструментального производства, приборостроения, робототехники и многих других отраслей (рис. 1.2).

Рисунок 1.2 — Перфорирование листового металла с использованием фрезерно-гравировальных станков: (а) — схема работы ферезерной головки;

(Ь) — процесс фрезерования

К недостаткам механообработки при перфорировании листовых изделий следует отнести высокую стоимость оборудования и инструмента, низкую производительность, сложность обработки тонколистового материала большого размера.

1.1.3. Лазерная резка

В настоящее время все более актуальной становится технология резания листового металла без дополнительной обработки. Одним из самых перспективных методов подобной обработки является лазерная резка металла, позволяющая осуществить обработку с высоким качеством и минимальным энергопотреблением. Лазерная резка все в большей степени вытесняет штам-

(а)

(Ь)

повочные и коордииатно-пробивныс прессы за счет малой энергозатратности, а также скорости и качества получаемой кромки (рис. 1.3).

Рисунок 1.3 — Перфорирование листового металла с помощью лазера: (а) — схема работы лазерной установки: 1 — лазерный луч, 2 — корпус режущей головки, 3 — зона обработки, 4 — заготовка, 5 — отходы; (Ь) — лазерная

головка

К преимуществам данного метода резки металла можно отнести:

• возможность создания сложного вырезаемого контура, который невозможно создать на другом оборудовании;

• минимальное количество отходов;

• возможность обработки легкодеформируемых сплавов, металлов и неметаллов;

• отсутствие рваных краев и других дефектов с точностью раскроя 0,5 мм;

К недостаткам метода лазерной резки следует отнести высокую стоимость оборудования, использование дорогих расходных материалов, низкую производительность и необходимость специально оборудованного помещения.

1.1.4. Типы перфорации пластин

Существует несколько основных типов перфорации (табл. 1.5), каждый из которых имеет буквенное обозначение (Rv, Rg и т.п.), определяемое стандартом DIN 24041 [91].

Таблица 1.5 — Основные типы перфорации по ОШ 24041

Тип перфорации Обозначение по БШ 24041 Изображение

Круглая со смещенными рядами отверстий ЯУ

Круглая с прямыми рядами отверстий

3 ) к. \ с

я )

Квадратная со смещенными рядами отверстий 1—1

1чГ / с

' А'

Квадратная с прямыми рядами отверстий

о

'с

Квадратная с диагонально смещенными рядами отверстий да

Щелевидная со смещенными рядами отверстий ЬУ ^ С "И — 1 1 )

Щелевидная с прямыми рядами отверстий 1чг|

1.1.5. Технологии получения перфорированных гнутых профилей Перфорированные металлические профили часто имеют непланарную форму, т.е. подвергаются обработке для образования сечений сложной формы. В условиях мелкосерийного производства гнутые перфорированные профили получают с использованием гибочно-прокатных станков серии ГПС (ГПС 300М6; ГПС 350М6; ГПС 500М6; ГПС 500М8; ГПС 500М12) [15,57]. Основные характеристики гибочно-прокатного станка ГПС 350М6 приведены в таблице 1.6.

Таблица 1.6 — Основные характеристики гибочно-прокатпого станка ГПС 350М6

V тШШЩЩЩтш 4 ' «Врш^кк^ шШШШ

Наибольшая глубина профилирования, мм 60

Толщина обрабатываемого материала, мм 0,5-2,5

Максимальная ширина заготовки, мм 320

Мощность, кВт 11

Производительность, м/мин 20

Габаритные размеры, мм 4200 х 2100 х 1300

Масса, кг 4500

Конструкция станка включает в себя станину, клети с валами, приводы, трансмиссии и электронные блоки управления. Основным элементом профилегибочного оборудования является клеть с валами. Валы установлены параллельно и вращаются в противоположных направлениях относительно друг друга. На валы надевается пара роликов, при замыкании которых образуется роликовый калибр (рис. 1.4), используемый для изготовления гнутых профилей.

(а) (Ь)

Рисунок 1.4 — Формообразование гнутого профиля в профилегибочном станке: (а) — схема роликового калибра: 1 — валы, 2 — верхний ролик, 3 нижний ролик, 4 — заготовка; (Ь) — финальный переход роликового калибра профилегибочного станка ГПС 500М6

Сортамент перфорированных профилей представлен уголками, тонкостенными трубами различного сечения, двутаврами и изделиями сложного сечения (рис. 1.5).

Рисунок 1.5 — Примеры сортамента гнутых перфорированных профилей: (а) — равносторонний уголок; (Ь) — тонкостенная труба круглого сечения; (с) — тонкостенная труба квадратного сечения; (с!) — двутавр; (е) -профиль корытообразного сечения

К преимуществам формообразования профильной продукции в роликовых калибрах стоит отнести высокую технико-экономическую эффективность осуществляемых процессов. Простота, надежность, возможность быстрой переналадки оборудования и высокое качество выпускаемой продукцрш выгодно отличают данную технологию производства профилей в роликовых калибрах от других технологий.

1.2. Методы анализа напряженно-деформированного состояния перфорированных изделий

Геометрические неоднородности перфорированных пластин ведут к существенному усложнению методов определения их напряженно-деформированного состояния (НДС), что требует адекватного прочностного расчета конструкции с помощью аналитических методов. К настоящему времени проведено большое количество исследований НДС анизотропных и геометрически неоднородных тонких пластин и перфорированных балок, однако существующие методы зачастую ис универсальны и дают приближенные решения для напряжений и деформаций низкой точности и гладкости.

В частности, в работе А. Н. Куцемако [27] для решения задач устойчивости и колебаний неоднородных пластин и оболочек предложены алгоритмы, основанные на процедуре Бубнова-Галеркина [5,49]. Автором получены разрешающие уравнения в смешанной форме для гибких пологих неоднородных оболочек и предложены алгоритмы исследования статической устойчивости. Также исследуется динамическая потеря устойчивости гибких неоднородных прямоугольных оболочек и потеря устойчивости в статической и динамической постановках замкнутой цилиндрической оболочки при неосесимметрич-ной деформации.

К. А. Матвеев в работе [48] предлагает новые и усовершенствованные методы исследования устойчивости анизотропных пластин при темпе-ратурно-силовом нагружении, распространяя принципы теории устойчивости упругих систем на задачи термоу пру гости. Автор проводит исследования устойчивости бесконечных ортотропных пластин с эллиптическим отверстием при растяжении, а также решает задачи устойчивости ортотропных пластин при силовом и температурном нагружениях с помощью метода Ритца [18,49,113].

Диссертационное исследование Е. А. Акимовой [2] посвящено построению и обоснованию асимптотики решения смешанной краевой задачи линейной теории упругости для тонкой локально периодической композитной пластины произвольной геометрии с анизотропией упругих свойств. Ее работа опирается на труды С. Г. Лсхницкого [47] и С. А. Назарова [50], в которых предложены аналитические решения задач изгиба анизотропных пластин, в

том числе для деталей, имеющих ребра жесткости и перфорацию в виде отверстий произвольной формы.

В статье Л. И. Шкутина [79] предложено решение нелинейной краевой задачи осссимметричного выпучивания шарнирно опертой конической оболочки, радиально сжатой от нагрузки, приложенной к опорному контуру. Автор использовал систему шести обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с независимыми полями конечных перемещений и конечных поворотов. Идея решения основана на использовании «метода стрельбы», заключающегося в сведении краевой задачи к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений [16].

В диссертации П. Е. Рябчикова [60] разработана методика определения напряженно-деформированного состояния изгибаемых пластин, имеющих дефекты типа трещин, отверстий и содержащих абсолютно жесткие криволинейные стержни и двумерные жесткие шайбы. В рамках технической теории тонких пластин решена задача изгиба конечных и бесконечных многосвязных анизотропных пластин. Автором предложены алгоритмы решения задач изгиба многосвязных анизотропных пластин и их реализации в виде программного продукта. Подтверждены результаты расчетов напряженно-деформированного состояния конечных пластин данными натурных экспериментов.

Работы вышеперечисленных авторов основываются на известных методах приближенного решения краевых задач, возникновение которых связано с трудами В. Ритца [113] и И. Г. Бубнова [5], отзыв которого о работах С. П.Тимошенко [67,68,69,71,72,73] положил начало новому прямому методу, развитие и широкое применение которого тесно связано с именем Б. Г. Га-леркина.

В 1915 г. Б. Галеркин, преподаватель курса строительной механики на механическом отделении Санкт-Петербургского Политехнического института, опубликовал статью [10], где предложил приближенный метод решения краевых задач для дифференциальных уравнений. Этот метод был применен им к большому числу задач о равновесии стержней и пластин. Отличительной особенностью рассуждений Галеркина являлось, во-первых, то, что он не связывал развиваемый им метод с непосредственным решением вариацион-

ных задач и считал его общим для решения дифференциальных уравнений; во-вторых, в задачах равновесия он дал трактовку своему методу на основе начала возможных перемещений. Эти идеи оказались плодотворными не только применительно к решению задач изгиба пластин и оболочек, но и вообще в математической физике.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лавыгин, Дмитрий Сергеевич, 2014 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абовский, Н. П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек / Н. П. Абовский, Н. П. Андреев, А. П. Деруга. — М.: Наука, 1978. — 288 с.

2. Акимова, Е. А. Весовые неравенства Корна и асимптотическое поведение тонких пластин : Диссертация кандидата физико-математических наук : 01.01.02 / Акимова Елена Анатольевна. — Москва, 2004. — 102 с.

3. Басов, К. А. Графический интерфейс комплекса ANSYS / К. А. Басов. - М. : ДМК Пресс, 2006. - 248 с. - ISBN 5-94074-074-Х.

4. Бланшет, Ж. Qt 4: Программирование GUI на С++. 2-е дополненное издание / Ж. Бланшет, М. Саммерфилд. - М. : КУДИЦ-ПРЕСС, 2008. — 736 с. - ISBN 978-5-91136-059-7.

5. Бубнов, И. Г. Отзыв о сочинениях проф. Тимошенко, удостоенных премии им. Журавского / И. Г. Бубнов // Сборник Института инженерных путей сообщения. — Санкт-Петербург, 1913. — №81. — С. 1-5.

6. Вайникко, Г. М. Оценка погрешности метода Бубнова-Галеркинав в проблеме собственных значений / Г. М. Вайникко // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1965. — Т. 5. — №4. — С. 587-607.

7. Ванько, В. И. Вариационное исчисление и оптимальное управление / В. И. Ванько, О. В. Ермошина, Г.Н. Кувыркин. — М. : МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. - 488 с. - ISBN 5-7038-2627-6.

8. Вишик, М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида / М. И. Вишик, М. С. Агранович // Успехи математических наук. - 1964. - Т. 19. - №3. - С. 53-161.

9. Ворович, И. И. Математические проблемы нелинейной теории оболочек / И. И. Ворович. — М. : Наука, 1989. — 376 с.

10. Галеркин, Б. Г. Стержни и пластинки. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластинок / Б. Г. Галеркин // Вестник инженеров. - 1915. - Т. 1. - С. 897-908.

11. ГОСТ 1050-88. Прокат сортовой, калиброванный, со специальной отделкой поверхности из углеродистой качественной конструкционной стали. — 1989. - 30 с.

12. Даугавет, И. К. О быстроте сходимости метода Галеркина для обыкновенных дифференциальных уравнений / И. К. Даугавет // Известия высших учебных заведений. Математика. — 1958. — Т. 6. — №5. — С. 158-165.

13. Джишкариани, А. В. О быстроте сходимости метода Бубнова-Галсркина / А. В. Джишкариани // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1964. — Т. 4. — №2. — С. 343-348.

14. Икрин, В. А. Сопротивление материалов с элементами теории упругости и пластичности / В. А. Икрин. — М. : Изд-во АСВ, 2004. — 424 с. — ISBN 5-696-01677-4.

15. Илюшкин, М. В. Моделирование процесса изготовления гнутого профиля корытного типа, исследование контактных взаимодействий [Электронный ресурс] / М. В. Илюшкин, В. А. Марковцев, А. С. Баранов. — Режим доступа: http://www.dynaomd.ru/statyal2.htm.

16. Калиткин, И. H. Численные методы / Н. И. Калиткин. — М. : Наука, 1978. - 512 с.

17. Каменских, А. А. Численная реализация метода геометрического погружения на основе вариационного принципа кастильяно / А. А. Каменских, Н. А. Труфанов, В. П. Матвеенко // Вестник Пермского Национального Исследовательского Политехнического Университета. Механика. — Пермь, 2010. - т. - С. 5-18. - ISSN 2224-9893.

18. Канторович, JI. В. Приближенные методы высшего анализа / Л. В. Канторович, В. И. Крылов. — М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. — 695 с.

19. Каплун, А. Б. ANSYS в руках инженера: Практическое руководство / А. Б. Каплун, Е. М. Морозов, М. А. Олферьева. — М. : Едиториал УРСС, 2003. - 272 с. - ISBN 5-354-00238-9.

20. Карпов, В. В. Вариационные методы и вариационные принципы механики при расчете строительных конструкций: учебное пособие / В. В. Карпов, А. Ю. Сальников. - Санкт-Петербург : СПбГАСУ, 2009. - 75 с. - ISBN 978-5-9227-0144-0.

21. Клявлин, А. Е. Моделирование поляризованного реле / А. Е. Кляв-лин // САПР и графика. - М., 2011. - №9. - С. 52-53. - ISSN 1560-4640.

22. Координатно-пробивной пресс с поворотной головкой DEKA [Электронный ресурс] / DEKA - Станкопром. — Режим доступа: http: //www.deka-stanki.ru/stanki/kuznechno-pressovoe-oborudovanie/ koordinatno-probivnye-pressy/mp/.

23. Кочулимов, А. В. О методе конечных элементов, связанном с использованием двумерных ортогональных финитных функций, в задаче теплопроводности / А. В. Кочулимов, В. JI. Леонтьев // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2009. — Т. 16. — №5. — С. 868-869. — ISSN 0869-8325.

24. Кочулимов, А. В. О повышении точности аппроксимации ортогональными финитными функциями второй степени на треугольных сетках / А. В. Кочулимов, В. Л. Леонтьев // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2010. - Т. 17. - №3. - С. 427-428. - ISSN 0869-8325.

25. Кочулимов, А. В. Математические модели и численные методы, связанные с ортогональными финитными функциями на треугольных сетках : Диссертация кандидата физико-математических наук : 05.13.18 / Кочулимов Александр Валерьевич. — Ульяновск, 2011. — 158 с.

26. Красносельский, М. А. Сходимость метода Галеркина для нелинейных уравнений / М. А. Красносельский // Доклады Академии наук СССР. — 1950. - Т. 73. - №6. - С. 1121-1124.

27. Куцсмако, А. Н. Устойчивость и колебания неоднородных оболочек : Диссертация доктора технических наук : 05.23.17 / Куцемако Анатолий Николаевич. — Саратов, 2000. — 255 с.

28. Лавыгин, Д. С. Алгоритм смешанного метода конечных элементов решения задач теории стержней / Д. С. Лавыгин, В. Л. Леонтьев // Инженерный вестник Дона. — 2013. — №4. — Режим доступа: http://ivdon.ru/ magazine/archive/n4y2013/1910.

29. Лавыгин, Д. С. Использование программного комплекса ANSYS/LS-DYNA при проведении научно-исследовательской работы студентов / Д. С. Лавыгин, Н. В. Буздалова // Информационные технологии и вопросы преподавания информатики в учебных заведениях. Материалы Всероссийской научно-практической конференции 31 марта 2010 года. — Ульяновск : УлГ-ПУ, 2010. - С. 111-114. - ISBN 978-5-86045-371-5.

30. Лавыгин, Д. С. Исследование эффективности библиотеки MaLLBa на примере задач максимальной выполнимости / Д. С. Лавыгин, А. В. Цыганов, О. И. Булычов // Программные продукты и системы. — 2009. — Т. 87. — т. - С. 116-120. - ISSN 0236-235Х.

31. Лавыгин, Д. С. Применение метода конечных элементов для совершенствования технологии обработки металлов на машиностроительных и металлообрабатывающих предприятиях / Д. С. Лавыгин // Актуальные проблемы физической и функциональной электроники. Материалы 12-й региональной научной школы-семинара. 1-5 декабря 2009 г. Том 2. — Ульяновск : УлГТУ, 2009. - С. 54-56. - ISBN 978-5-9795-0523-7.

32. Лавыгин, Д. С. Применение современных средств компьютерного моделирования для исследования деформации твердого тела / Д. С. Лавыгин, В. В. Левщанов, В. В. Шишкарев, Н. В. Буздалова // Вестник УлГПУ. — 2010. - Т. 6. - С. 206-210. - ISBN 978-5-86045-370-8.

33. Лавыгин, Д. С. Программная реализация средств трехмерной визуализации эксплуатационных параметров ТВЭЛов реакторов ВВЭР-1000 / Д. С. Лавыгин, В. В. Левщанов, О. Ю. Левкина // Сборник научных трудов

SWorld. Материалы международной научно-практической конференции «Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития '2012». Выпуск 3. Том 1. — Одесса : Куприенко, 2012.

34. Лавыгин, Д. С. Реализация комплекса программ ViSolvcr для решения задач теории стержней, пластин и трехмерной теории упругости / Д. С. Лавыгин // Современная наука: теоретический и практический взгляд. Международная научно-практическая конференция. 29-30 октября 2013 г. Часть 2. - Уфа : РИЦ БашГУ, 2013. - С. 88-91. - ISBN 978-5-7477-3347-3.

35. Лавыгин, Д. С. Смешанный вариационно-сеточный метод, связанный с ортогональными финитными функциями, в задачах теории стержней / Д. С. Лавыгин, В. Л. Леонтьев // Прикладная математика и механика. — 2011. - С. 362-367. - ISBN 978-5-9795-0904-4.

36. Лавыгин, Д. С. Смешанный метод конечных элементов в задачах изгиба упругих пластин / Д. С. Лавыгин, В. Л. Леонтьев // Современная наука: теоретический и практический взгляд. Международная научно-практическая конференция. 29-30 октября 2013 г. Часть 2. — Уфа : РИЦ БашГУ, 2013. — С. 83-87. - ISBN 978-5-7477-3347-3.

37. Лавыгин, Д. С. Смешанный метод конечных элементов в трехмерных задачах теории упругости / Д. С. Лавыгин // Современные проблемы науки и образования. — 2013. — №5. — Режим доступа: http://www. science-education.ru/lll-10651.

38. Лавыгин, Д. С. Смешанный метод конечных элементов теории стержней / Д. С. Лавыгин, В. Л. Леонтьев // Вузовская наука в современных условиях. Тезисы докладов 45-й научно-технической конференции УлГ-ТУ (24-29 января 2011 г.). - Ульяновск : УлГТУ, 2011. - С. 88-91.

39. Лавыгин, Д. С. Смешанный метод конечных элементов, связанный с использованием ортогональных финитных функций / Д. С. Лавыгин, В. Л. Леонтьев // Математические методы и модели: теория, приложения и роль в образовании. - 2011. - С. 142-147. - ISBN 978-5-9795-0905-1.

40. Лавыгин, Д. С. Способ трехмерной визуализации эксплуатационных параметров тепловыделяющих элементов реакторов ВВЭР-1000 / Д. С. Лавыгин, В. В. Левщанов // Программные продукты и системы. — 2013. — Т. 104. - №4. - С. 277-281. - ISSN 0236-235Х.

41. Левщанов, В. В. Математическое моделирование интенсивного формообразования с использованием конечно-элементного анализа : Диссертация кандидата технических наук : 05.13.18 / Левщанов Владимир Викторович. — Ульяновск, 2010. — 147 с.

42. Леонтьев, В. Л. Методы конечных элементов, основанные на использовании обобщенных функций Куранта в теории упругих колебаний / В. Л. Леонтьев // Проблемы динамики и прочности электро- и энергомашин. Тезисы докладов Всероссийского научного семинара (18-20 мая 1993 г.). — Санкт-Петербург : Изд-во Института проблем машиноведения РАН, 1993. — С. 21-22.

43. Леонтьев, В. Л. Об одном обобщении функций Куранта / В. Л. Леонтьев // Теория функций и приближений. Труды 7-й Саратовской зимней школы (30 января - 4 февраля 1994 г.). Часть 3. — Саратов : Изд-во СГУ, 1994. — С. 36-40.

44. Леонтьев, В. Л. Об ортогональных финитных функциях второй степени, связанных с треугольными сетками, и их применении в математическом моделировании / В. Л. Леонтьев, А. В. Кочулимов // Вестник Самарского государственного технического университета. — 2011. — Т. 22. — №1. — С. 241-243. - ISSN 1991-8615.

45. Леонтьев, В. Л. Ортогональные финитные функции и численные методы / В. Л. Леонтьев. — Ульяновск : Изд-во УлГУ, 2003. — 177 с. — ISBN 5-88866-144-9.

46. Леонтьев, В. Л. Ортогональные финитные функции, смешанные вариационные принципы в численных методах : Диссертация доктора физико-математических наук : 05.13.18 / Леонтьев Виктор Леонтьевич. — Ульяновск, 2002. - 390 с.

47. Лехницкий, С. Г. Анизотропные пластины / С. Г. Лехницкий. — М. : Физматгиз, 1957. — 420 с.

48. Матвеев, К. А. Разработка и развитие вариационных методов исследования устойчивости анизотропных пластин : Диссертация доктора технических наук : 05.07.03 / Матвеев Константин Александрович. — Новосибирск, 2002. - 293 с.

49. Михлин, С. Г. Вариационные методы в математической физике / С. Г. Михлин. — М. : Наука, 1970. - 512 с.

50. Назаров, С. А. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Том 1. Понижение размерности и интегральные оценки / С. А. Назаров. — Новосибирск : Научная книга, 2002. — 406 с. — ISBN 5-88119-031-9.

51. Никольский, М. Д. Встречные формы метода конечных элементов в теории упругости : Диссертация доктора технических наук : 01.02.04 / Никольский Михаил Данилович. — Санкт-Петербург, 1992. — 297 с.

52. Обианг, Э. Н. Анализ геометрически нелинейных деформаций высотных зданий : Диссертация кандидата технических наук : 05.23.17 / Эуссбио Heye Обианг. — Москва, 2002. — 191 с.

53. Польский, Н. И. О сходимости некоторых приближенных методов анализа / Н. И. Польский // Украинский математический журнал. — 1955. — Т. 7. -т.- С. 56-70.

54. Прессы гидравлические для рсактопластов серии ДГ24 [Электронный ресурс] / НелидовПрессМаш. — Режим доступа: http://www.pks-trade.ru/katalog/stan/ pressy-gidravliceskie-dla-reaktoplastov-serii-dg24.

55. Притыкин, А. И. Разработка методов расчета и конструктивных решений балок с однорядной и двухрядной перфорацией стенки : Диссертация доктора технических наук : 05.23.01 / Притыкин Алексей Игоревич. — Калининград, 2011. — 250 с.

56. Программный модуль вычислительной гидрогазодинамики ANSYS FLUENT [Электронный ресурс] / Группа компаний Делкам Урал. — Режим доступа: http://www.delcam-ural.ru/delkam_ural/cae/ konstruktsionnyy_analiz_ansys/dinamika_jidkostey_i_gazov/ansys_ fluent.

57. Профилегибочное оборудование, прокатный станок, технологическая оснастка, раскройные комплексы [Электронный ресурс] / Ульяновский научно-исследовательский институт авиационной технологии и организации производства. — Режим доступа: http://ulniat .ru/production/3/112/.

58. Пудов, С. Г. Intel MKL PARDISO - многофункциональный прямой решатель разреженных систем линейных уравнений / С. Г. Пудов, С. А. Соловьев // Математика в приложениях. Всероссийская конференция, приуроченная к 80-летию академика С. К. Годунова (Новосибирск, 20-24 июля 2009 г.): Тез. докладов. — Новосибирск : Ин-т математики СО РАН, 2009. — С. 213-214.

59. Рубцов, Б. Г. ANSYS - программа конечно-элементного анализа / Б. Г. Рубцов, Л. П. Остапенко. - М. : CAD-FEM GmbH, 1998. - 67 с.

60. Рябчиков, П. Е. Напряженно-деформированное состояние анизотропных пластин сложной формы при изгибе : Диссертация кандидата физико-математических наук : 01.02.04 / Рябчиков Павел Евгеньевич. — Новосибирск, 2007. — 124 с.

61. Свидетельство № 2012613324 о гос. регистрации программы для ЭВМ. Fuel Elements Data System / Лавыгин Д. С. , Левщанов В. В. , Булычов О. И. , Левкина О. Ю. ; заявитель и правообладатель ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный университет». — № 2012610928 ; заявл. 13.02.2012 ; опубл. 09.04.2012.

62. Свидетельство № 2012617956 о гос. регистрации программы для ЭВМ. Программный комплекс конечно-элементного анализа в смешанной форме ViSolver / Лавыгин Д. С. , Леонтьев В. Л. ; заявитель и право-

обладатель ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный университет». — № 2012615593 ; заявл. 05.06.2012 ; опубл. 03.09.2012.

63. Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов / JT. Сегер-линд. - М. : Мир, 1979. — 392 с.

64. Семенов, Е. И. Ковка и штамповка: Справочник в 4-х томах. Том 4. Листовая штамповка / Е. И. Семенов, А. Д. Матвеев. — М. : Машиностроение, 1987. - 544 с.

65. Семушин, И. В. Численные методы алгебры: учебное пособие для вузов / И. В. Семушин. — Ульяновск : УлГУ, 2008. — 178 с. — ISBN 5-89146.

66. Сертификаты ANSYS [Электронный ресурс] / Группа компаний Делкам Урал. — Режим доступа: http://www.delcam-ural.ru/cae/ konstruktsionnyy_analiz/ansys_0.

67. Тимошенко, С. П. К вопросу о продольном изгибе / С. П. Тимошенко // Изв. Киевского политехнического института. — 1908. — №2. — С. 181-212.

68. Тимошенко, С. П. К вопросу об устойчивости сжатых пластинок / С. П. Тимошенко. — Киев : тип. С. В. Кульженко, 1907. — 60 с.

69. Тимошенко, С. П. Курс сопротивления материалов / С. П. Тимошенко. — Киев : Изд-во кн. маг. Л. Идзиковского, 1911. — 519 с.

70. Тимошенко, С. П. Курс теории упругости / С. П. Тимошенко. — Киев : Наукова думка, 1972. — 508 с.

71. Тимошенко, С. П. О влиянии круглых отверстий на распределение напряжений в пластинках / С. П. Тимошенко. — Киев : тип. С. В. Кульженко, 1907. - 21 с.

72. Тимошенко, С. П. О вынужденных колебаниях призматических стержней / С. П. Тимошенко. — Киев : тип. С. В. Кульженко, 1909. — 50 с.

73. Тимошенко, С. П. Об устойчивости упругих систем / С. П. Тимошенко // Изв. Киевского политехнического института. — 1908. — №4. — С. 375-560.

74. Тимошенко, С. П. Пластинки и оболочки / С. П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. — М. : Либроком, 2009. - 640 с. — ISBN 978-5-397-006040.

75. Тришевский, И. С. Металлические облегченные конструкции / И. С. Тришевский, В. В. Клепанда. — Киев : Буд1вельник, 1978. — 113 с.

76. Филимонов, С. В. Метод, расчеты и технология интенсивного деформирования в роликах гнутых профилей типовой номенклатуры / С. В. Филимонов, В. И. Филимонов. — Ульяновск : Изд-во УлГТУ «Венец», 2004. — 246 с.

77. Хантер, Д. XML. Работа с XML, 4-е издание / Д. Хантер, Д. Рафтер, Д. Фаусетт. - М. : Диалектика, 2009. - 1344 с. - ISBN 978-5-8459-1533-7.

78. Шабров, Н. Н. Метод конечных элементов в расчетах деталей тепловых двигателей / Н. Н. Шабров. — Маши, 1983. — 212 с.

79. Шкутин, Л. И. Численный анализ осесимметричных форм выпучивания пластин при радиальном сжатии / Л. И. Шкутин // Прикладная механика и техническая физика. — 2004. — Т. 45. — М. — С. 107-114. — ISSN 0869-5032.

80. Электромеханические штамповочные пресса DEKA серия JH ненаклонясмыс [Электронный ресурс] / DEKA - Станко-пром. — Режим доступа: http://www.stanki-deka.ru/catalog/ shtampovochnye-pressy-krivoshipnye-pressa/.

81. Яременко, А. Ф. Механика материалов и конструкций / А. Ф. Яременко, П. Г. Балдук. — Одесса : Внешрекламсервис, 2001. — 254 с. — ISBN 966-76-35-16-3.

82. AN SYS Help, Description / ANSYS Inc. - 2012.

83. ANSYS Mechanical APDL Programmer's Reference / ANSYS Inc. -2012. - 380 p.

84. Argtable - ANSI С command line parser [Электронный ресурс] / Heitmann S.. — Режим доступа: http://argtable.sourceforge.net/.

85. Bahriawati, С. Three MATLAB implementations of the lowest-order Raviart-Thomas MFEM with a posteriori error control / C. Bahriawati, C. Carstensen // Computational Methods in Applied Mathematics. — 2005. — Vol. 5. - №4. - PP. 333-361. - ISSN 1609-4840.

86. Clough, R. W. The Finite Element Method in Plane Stress Analysis / R. W. Clough // Conference papers American Socicty of Civil Engineers. Proc. 2nd ASCE Conf. On Electronic Computation (September 8-9, 1960). — Pittsburg, 1960.

87. Cook, R. D. Concepts and Applications of Finite Element Analysis / R. D. Cook, D. S. Malkus, M. E. Plesha. - New York : Wiley, 2002. - 719 p. -ISBN 0-471-35605-0.

88. Courant, R. Advanced Methods in Applied Mathematics / R. Courant. — New York : New York University, 1941. — 188 p.

89. Davis, T. A. A combined unifrontal/multifrontal method for unsymmetric sparse matrices / T. A. Davis, I. S. Duff // ACM Transactions on Mathematical Software. - 1999. - Vol. 25. - M. - PP. 1-20. - ISSN 0098-3500.

90. Davis, T. A. Algorithm 832: UMFPACK V4.3 - an unsymmetric-pattern multifrontal method / T. A. Davis // ACM Transactions on Mathematical Software. - 2004. - Vol. 30. - №2. - PP. 196-199. - ISSN 0098-3500.

91. DIN 24041. Perforated Plates - Dimensions. — 2002. — 21 p.

92. Geuzaine, C. Gmsh: a three-dimensional finite element mesh generator with built-in pre- and post-processing facilities / C. Geuzaine, J.-F. Remaclc // International Journal for Numerical Methods in Engineering. — 2009. — Vol. 79. — №11. - PP. 1309-1331. - ISSN 1097-0207.

93. GLC Lib, OpenGL Library Class [Электронный ресурс] / Ribon L.. — Режим доступа: http://www.glc-lib.net/index.php.

94. Gould, N. A numerical evaluation of sparse direct solvers for the solution of large sparse symmetric linear systems of equations / N. Gould, Y. Hu, J. A. Scott // ACM Transactions on Mathematical Software. — 2007. — Vol. 33. — №2. - PP. 1-32. - ISSN 0098-3500.

95. Hallquist, J. O. LS-DYNA Theory Manual / J. O. Hallquist. — Livermore Software Technology Corporation, 2006. — 680 p.

96. Hansbo, P. Discontinuous Galcrkin and the Crouzeix-Raviart. Element: Application to Elasticity / P. Hansbo, M. G. Larson // M2AN, Mathematical Modelling and Numerical Analysis. — 2003. — Vol. 37. — №1. — PP. 63-72. — ISSN 0764-583X.

97. Hellinger, E. Die allgemeinen Ansätze der Mechanik der Kontinua / E. Hellinger // Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften. — 1914. — Vol. 4. - №4. - PP. 601-694.

98. Hrennikoff, A. Solution of Problems in Elasticity by the Framework Method / A. Hrennikoff // Journal of Applied Mechanics. — 1941. — Vol. 8. — №4. - PP. A169-A175.

99. Hu, H. C. On Some Variational Principles in the Theory of Elasticity and the Theory of Plasticity / H. C. Hu // Acta Physica Sinica. — 1954. — Vol. 10. - №3. - PP. 259-290.

100. Intel Math Kernel Library: Linear Solvers Basics / Intel Corporation. — 2005. - 27 p.

101. Jha, B. A mixed finite element framework for modeling coupled fluid flow and reservoir geomechanics / B. Jha. — Stanford University, 2005. — 169 p.

102. LED Icon Set [Электронный ресурс] / LED24.DE. — Режим доступа: http://led24.de/iconset/.

103. Logg, A. Automated Solution of Differential Equations by the Finite Element Method: The FEniCS Book / A. Logg, K.-A. Mardal, G. Wells. -Springer, 2012. - 723 p. - ISBN 978-3-642-23098-1.

104. Mardal, K.-A. A Software Framework for Mixed Finite Element Programming / K.-A. Mardal, H. P. Langtangen // Lecture Notes in Computer Science. Proceedings of the 2nd International Conference on Computational Science. — Springer-Verlag, 2002.

105. Mardal, K.-A. Advanced Topics in Computational Partial Differential Equations. Mixed elements in Diffpack / K.-A. Mardal, H. P. Langtangen. — Springer-Verlag, 2003. - 153-198 p. - ISBN 978-3-540-01438-6.

106. Marini, L. D. An Inexpensive Method for the Evaluation of the Solution of the Lowest Order Raviart-Thomas Mixed Method / L. D. Marini // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 1985. - Vol. 22. - №3. - PP. 493-496. - ISSN 00361429.

107. Melosh, R. J. A Stiffness Matrix for the Analysis of Thin Plates in Bending / R. J. Melosh // Journal of the Aerospace Sciences. — 1961. — Vol. 28. - №. - PP. 34-42.

108. Perforation [Электронный ресурс] / Wikipedia: The Free Encyclopedia. — Режим доступа: http://en.wikipedia.org/wiki/ Perforation.

109. Qwt User's Guide: Qwt - Qt Widgets for Technical Applications [Электронный ресурс] / Rathmann U.. — Режим доступа: http://qwt. sourceforge.net/.

110. Reissner, E. On a variational theorem in elasticity / E. Reissner // Journal of Mathematical Physics. - 1950. — Vol. 29. — №2. — PP. 90-95.

111. RFC 20. ASCII format for Network Interchange. - 1969. - 9 p.

112. RFC 4180. Common Format and MIME Type for Comma-Separated Values (CSV) Files. - 2005. - 8 p.

113. Ritz, W. Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik / W. Ritz // Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. — Berlin, 1909. — Vol. 135. — PP. 1-61.

114. Rognes, M. E. Mixed finite element methods with applications to viscoelasticity and gels : Thesis / Marie E. Rognes. — Norway, Oslo, 2009. — 122 p. - ISSN 1501-7710.

115. Russell, J. Unix time / J. Russell, R. Cohn. — Bookvika Publishing, 2012. - 111 p. - ISBN 978-5-5112-0470-3.

116. Stanimirovic, I. P. Performance comparison of storage formats for sparse matrices / I. P. Stanimirovic, M. B. Tasic // Facta Universitatis, Series Mathematics And Informatics. - 2009. - Vol. 24. - PP. 39-51. - ISSN 0352-9665.

117. Turner, M. J. Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures / M. J. Turner, R. W. Clough, H. C. Martin, L. J. Topp // Journal of Aeronautical Sciences. - 1956. - Vol. 23. - №9. - PP. 805-823.

118. Vitter, J. S. External memory algorithms and data structures: dealing with massive data / J. S. Vitter // ACM Computing Surveys (CSUR). — 2001. — Vol. 33. - №2. - PP. 209-271.

119. Vogel, F. Diffpack - A Problem Solving Environment for Todays Challenging Simulation Problems / F. Vogel. — Germany : inuTech GmbH, 2006. - 11 p.

120. Washizu, K. Variational Methods in Elasticity and Plasticity / K. Washizu. - Oxford : Pergamon Press, 1975. - 420 p. - ISBN 0-08-017653-4.