Диаграммные инварианты узлов и интеграл Концевича тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Тюрина, Светлана Дмитриевна

• Тюрина, Светлана Дмитриевна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тюрина, Светлана Дмитриевна

Содержание

Введение

I Топологические инварианты узлов

1.1. Краткая история вопроса и обсуждение результатов

1.2. Узлы, сингулярные узлы и диаграммы

1.2.1. Изотопическая эквивалентность узлов

1.2.2. Диаграммы узлов

1.2.3. Типы узлов

1.2.4. Диаграммы Гаусса

1.2.5. Диаграммы Гаусса зеркального и инверсного

отображений узла

1.2.6. Движения Рейдемейстера на языке диаграмм

Гаусса

1.2.7. Хордовые диаграммы

1.3. Инварианты узлов

1.3.1. Инварианты узлов конечного типа

1.3.2. Инварианты Васильева

1.3.3. Весовые системы

1.4. Примеры вычисления инвариантов

1.4.1. Инварианты нулевого и первого порядков

1.4.2. Инварианты второго порядка

1.4.3. Инварианты третьего порядка

1.5. Модуль Васильева

1.5.1. Двойственность пространств инвариантов и син-

гулярных узлов

1.5.2. Разложения инвариантов в модулях Васильева

1.5.3. Теорема разложения

II Формулы типа Ланна и Виро-Поляка для инвариантов конечного порядка

2.1. Обзор и обсуждение результатов

2.2. Инварианты Васильева как производные

2.2.1. Аналог теоремы Лейбница для инвариантов

конечного типа

2.2.2. Аналог формулы Лагранжа

2.2.3. Интегрирование

2.2.4. "Координаты" на узле

2.2.5. Разложение инварианта в ряд Тейлора

2.3. Формулы Ланна

2.3.1. Формулы Ланна для инвариантов нулевого и

первого порядков

2.3.2. Формулы Ланна для инвариантов второго и

третьего порядков

2.4. Формулы Виро-Поляка

2.4.1. Формулы Виро-Поляка для инварианта Василь-

ева второго порядков

2.4.2. Формулы Виро-Поляка для инварианта Василь-

ева третьего порядков

2.4.3. Новая формула инварианта Васильева третье-

го порядка

2.5. Диаграммные формулы для инвариантов 4-го порядка

2.5.1. Формула Виро-Поляка для инварианта Василь-

ева четвертого порядка

2.5.2. Анализ формулы Виро-Поляка для инварианта

Васильева четвертого порядка

2.5.3. Новая формула для инвариантов Васильева чет-

вертого порядка

2.6. Инварианты Васильева для торических узлов

III Интеграл Концевича и вычисление инвариантов

3.1. Обзор и обсуждение результатов

3.2. Интеграл Концевича

3.2.1. Определение интеграла Концевича

3.2.2. Сходимость интеграла

3.2.3. Универсальный инвариант Васильева

3.3. Интеграл Концевича для танглов

3.3.1. Определение тангла

3.3.2. Хордовые диаграммы танглов

3.3.3. Разложение узлов в композицию элементарных

танглов

3.3.4. Вычисление интеграла для элементарных танг-

лов

3.3.5. Сокращение количества слагаемых под знаком

интеграла

3.4. Вычисление интеграла Концевича для узлов

3.4.1. Вычисление интеграла Концевича для компо-

зиции танглов

3.4.2. Вычисление интеграла Концевича для У-узла

3.4.3. Вычисление интеграла Концевича для трилистника и восьмерки

Библиография

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Диаграммные инварианты узлов и интеграл Концевича»

Введение

Актуальность темы. Основными задачами математического анализа являются задачи дифференцирования и интегрирования функций. Данная работа посвящена решению проблемы интегрирования старших производных инвариантов конечного типа (весовых систем) до настоящих инвариантов, определенных на пространстве узлов.

Современная теория инвариантов узлов восходит к работе Алек-сандера 1923 года [1], в которой впервые был построен полиномиальный инвариант узла. Для его определения было разработано свободное дифференциальное исчисление Фокса [30].

Спустя 60 лет появилось много работ (Конвей, Джонс, НотАу, Кауффман и др, см. [23], [24], [39], [60], [27].) с аналогичными конструкциями. В 1984 году В. Джонс построил полиномиальный инвариант называемый теперь полиномом Джонса. Он возник из теории операторных алгебр и связан с П-факторами Дж.фон-Неймана.

Следующий этап в теории инвариантов узлов связан с построением инвариантов конечного типа. В 1990 г. В.Васильев [52], [53], используя дискретные производные для распространения инвариантов на пространство сингулярных узлов, построил инварианты, которые начиная с некоторого момента имеют нулевые производные (т.е. ведут себя как многочлены). Эти инварианты теперь на-, зываются инвариантами Васильева. Их старшие производные (или весовые системы) связаны с хордовыми диаграммами и, в отличие от самих инвариантов, имеют простое комбинаторное описание. Возникает задача восстановления инвариантов по их весовым системам, т.е. задача интегрирования.

Теорема о восстанавлении весовой системы произвольного порядка до инварианта того же порядка была доказана в 1993 г. М.Концевичем (см. [28]), который дал выражение для всех инвариантов Васильева в виде кратных интегралов по соответствующим конфигурационным пространствам.Эти формулы являются обобщением электродинамической формулы Гаусса, выражающей коэффициенты зацепления двух замкнутых кривых в трехмерном пространстве в виде двойного интеграла.

Таким образом, интеграл Концевича является интегралом в двух смыслах: во-первых, с помощью него интегрируются весовые системы до инвариантов, а во-вторых, его слагаемые являются обычными интегралами от дифференциальных форм вида = ^-^х

3

После решения принципиальных вопросов, связанных с описанием пространств весовых систем и возможности их интегрирования, возникла задача эффективного вычисления инвариантов по простым исходным данным, например, по координатам на диаграмме узла.

Первые явные формулы были построены Ж.Данном [31], который, используя идею разложения инвариана в ряд Тейлора, получил выражения для базисных инвариантов второго и третьего порядков.

Затем О.Виро и М.Поляк дали комбинаторно-диаграммную трактовку этого метода [41], а М.Гусаров в 1998 г. доказал теорему о существовании представления любого инварианта в виде стрелочно-хордового полинома, которая является аналогом теоремы Ланна о разложении инварианта в ряд Тейлора.

Цель работы - опираясь на идеи дифференциального и интегрального исчисления и применяя их к теории инвариантов узлов,

исследовать пространство инвариантов Васильева конечных порядков, построить явные формулы для вычисления инвариантов 4-го порядка и установить связь коэффициентов при весовых функциях в этих формулах с коэффициентами хордовых диаграмм в интеграле Концевича, вычислить соответствующие слагаемые ряда Концевича, определить критерий целочисленности инвариантов 4-го порядка, получить формулы для произвольных инвариантов до 4 порядка включительно.

Научная новизна. Получена формула для вычисления двух базисных инвариантов 4-го порядка. Установлено, что формула Виро и Поляка для третьего базисного инварианта 4-го порядка не всегда дает правильные ответы. Подробно разобран соответствующий контрпример для узла 5ь Показано, что при определенных дополнительных условиях инварианты произвольного порядка получаются с помощью формул типа Ланна. Эти формулы используются для анализа ряда Концевича.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретическое значение. Результаты диссертации могут найти применение в математическом анализе, в теории дифференциальных уравнений, в алгебраической геометрии и топологии, в теории динамических систем, в теории особенностей, в магнитотермодина-мике, биологии.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на семинаре под руководством М. М. Постникова в Московском Государственном Университете имени М.В.Ломоносова, на семинаре под руководством В. А. Васильева в Независимом московском университете, на семинаре под рук. В. А. Голубевой в Коломенском педагогическом институте.

Кроме того, результаты работы в качестве докладов были пред-

ставлены на международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Л.С.Понтрягина (Москва, 1998) и на международной конференции по монодромии и дифференциальным уравнениям в Международном Центре математических исследований в Люмини (Франция, 1999).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах, список которых приведён в конце диссертации.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трёх глав, разбитых на 15 параграфов. Каждая глава снабжена кратким введением, где даётся сжатый обзор известных результатов и работ, непосредственно связанных с содержанием данной главы, а также сводка полученных результатов. В список литературы включено 60 названий.

Во введении обсуждаются история, главные идеи и наиболее важные работы и результаты, относящиеся ко всему кругу вопросов, рассматриваемых в диссертации. Изложены основные результаты диссертации и её структура.

Глава /содержит ряд предварительных сведений (необходимые определения, утверждения), обобщение некоторых известных результатов. В первом параграфе описаны основные определения и свойства узлов, зацеплений, сингулярных узлов, соответствующих им диаграмм Гаусса и хордовых диаграмм, изотопической эквивалентности. На следущих рисунках изображен узел трилистник и соответствующая ему диаграмма Гаусса.

о (ф

К в{К)

Аналогично сингулярному узлу К^пе сопоставляется диаграмма Гаусса ) следующим образом:

КГ8 <ю{кг*)

Рис. 10

На следующем рисунке изображен сингулярный узел с тремя двойными точками и соответствующая ему хордовая диаграмма с тремя хордами.

КГё ¿{КГ*)

Рис. 17

Во втором параграфе рассматривается пространство хордовых диаграмм, весовых функций (систем) на нем, дается определение инвариантов конечного типа (инвариантов Васильева), а в третьем параграфе приводятся примеры вычисления этих инвариантов. В четвертом параграфе вводится модуль Васильева (объект, двойственный пространству инвариантов Васильева).

Определение. Модуль Васильева порядка п — это модуль Уп над кольцом Ъ или порожденный изотопическими классами ори-

ентированных узлов и сингулярных узлов со следующими соотношениями:

1. Е — О, где Е - тривиальный узел,

2. скейн-соотношение Васильева:

- V _ \/

3. К= 0, если т>п.

Затем вычисляются разложения всех нетривиальных узлов с минимальным числом двойных точек плоской проекции, не превышающим 7. Результаты этих вычислений приводятся в таблице 5.

Обозначим сингулярный узел с хордовой диаграммой 0 через ж, с диаграммой ^^ через к, а сингулярные узлы, соответствующие хордовым диаграммам а, с/ и д (см. ниже) — через соответственно.

© = <*, (© = *>, @ = © = @ = е, © = /, ф = д.

В модулях Васильева второго, третьего и четвертого порядков имеются следующие разложения узлов:

Узел К у2 Уз Разложения Уз в модулях

3* X Т Т Т

31 X Т -2/1 гр* гр*

41 — X -Т + к \гр 1 гр* 21 2Х

51 Зх 3Г-8/1 -Т + 4 Т* -Т + 4 Т* +д

52 2х 2Т — Ыг -\Т + |Т*

61 —2х -2 Т + 3/1 1 гр 3 гр * 2 21

62 —х -Т + 2к -Т* -Т* +и-Ы + д

63 X Т — к \т +1 т* +

Табл. 5.

Продолжение

К у2 Уз Ъ у4

2х 2Т — 2к Гр гр* Г + Г* + а

71 6х 6Т - 20/1 —АТ + ЮТ* -АТ + ЮТ* 4- 5д

72 Зх ЗТ + Зк 9 гр 3 гр* 2 2 \Т-\Т*-а-& +

73 Ьх ЪТ + 6к 8Т - 3Т* 8Т — ЗТ* + а — 3ё + Ад

74 Ах АТ + Ак 6Т - 2Т* 6Т - 2Т* + 2а-Ъё + Зд

75 Ах АТ + Ак -2 Т + 6Т* -АТ + 6Т* + а + ё. + 2д

76 X Т-Зк -\Т + \Т* -АТ+§Т* -\й+\д

77 —х -Г+ 2/1 _гр* -Т* + в,

31#41 0 -к -АГ + ±Т* -1 а + ±д

81 —Зх -3 Т + 6Л -зт* -ЗТ* + 10а - Ш + 3д

82 0 и \гр 1 гр* 2 21 -\T-\T* + 6а-^+§

83 -Ах -АТ + Ак —2Т — 2Т* -2Т-2Т* + 6а — 1Ы + Ъд

84 —Зх -3 Т + 8 к 71 _ 4у* Т-4Т* + 11а -17(1 +Ад

85 —х —Т — 2к —2Т + Т* -2Т + Т* + 9а-Ш + 2д

86 -2х -2 Т + 9к 5 гр 9гр* 21 2 §Т-|Т* -Ь 9а — Щ^в, + \д

8т 2х 2 Т 2Т 2Т - За + - д

88 2х 2 Т-к 3 гр . 1 гр * 2 2 §Т+±Т* -а+^-^д

89 -2х -2Т + 2к _у_ у* _гр_гр* + 8й _ 14(г + 3_

8ю Зх 3 т зг зт +3сг

8ц —х -Т + Зк \гр 3 т* 21 2

812 —Зх -3 Т + 3 к '¿гр 3 гр* 2 2 -|Т-|Т* +7о-^ + |

813 X Т Т Т -За + Ы-д

814 0 0 0 За — 6(1 + д

815 Ах АТ-11к -\Т+Ц-Т* +а + \ё+\д

816 X Т-2к гр* Т* - За+ Ы-д

817 —х —Т + 2к -т -Т* + За-Ъ(1 + д

818 X Т-к № + м-

819 Ъх ЪТ + Ък 15/71 5/71* 2 2 ^т - §т* +

820 2х 2Т — Ак 2Т* 2Т* + в.

821 0 к 1 гр 1 /т>* 21 2 ±Т-|Т* +3а-\ё+^д

41#41 —2х -2 Т + 2 к гр гр* -Т - Т* +3а-3ё + д

31#5! Ах АТ - 10к -Т + ЪТ* -Т + 5 Т* + За +д

Зх ЗТ + к 7 гр 1 т* 2 • \T-\T* +2а-\ё+\-д

Табл. 5.

В таблице использованы общепринятые обозначения узлов (см., например, [35]), К* обозначает зеркальный образ узла К. Сингулярные узлы выражаются через обычные узлы следующим образом:

х = Т

к = н + т

а = Р-3^ + # + 4Г ¿ = Р-2Р + Т д = Р -4 Г + Г*

Предложение. В этих разложениях (см. таблицу 5) коэффициенты при ж, к + х,а,с1,д являются, соответственно, инвариантами Васильева 2-го, 3-го и 4-го порядков 1/2, Кз, VI, У43.

Далее приводится таблица значений инвариантов Васильева порядка не выше 4:

Таблица значений инвариантов Васильева

К Уз V} VI

31 1 -1 0 0 0

41 -1 0 1 3 2 1 2

51 3 -5 0 0 1

52 2 -3 0 1 2 1 2

61 -2 1 5 2 Л 2 3 2

62 -1 1 3 -5 1

63 1 0 -1 5 2 1 2

3!#3; 2 0 1 0 0

71 6 -14 0 0 5

г2 3 6 -1 1 2 3 2

73 5 И 1 -3 4

74 4 8 2 -5 3

75 4 8 1 1 2

Табл. 6.

Продолжение

К у2 Уз V!

76 1 -2 0 3 2 1 2

77 -1 1 0 1 0

31#4! 0 -1 0 3 2 1 2

8! -3 3 10 -13 3

82 0 1 6 21 2 3 2

83 -4 0 6 -и 5

84 -3 5 11 -17 4

85 -1 -3 9 -14 2

86 -2 7 9 27 2 5 2

87 2 2 -3 7 -1

88 2 1 -1 7 2 1 2

89 -2 0 8 -14 3

8ю 3 3 0 3 0

8ц -1 2 6 11 £ 3

812 -3 0 7 17 2 2

813 1 1 -3 6 -1

8н 0 0 3 -6 1

815 4 -7 1 1 2 3 2

816 1 -1 -3 6 -1

817 -1 -1 3 -5 1

818 1 0 2 7 2 1 2

819 5 10 0 2 5 2

820 2 -2 0 1 0

821 0 1 3 9 2 1 2

-2 0 3 -3 1

31#52 4 -6 3 0 1

ЦФЦ 3 4 2 1 2 1 2

Табл. 6.

Затем доказывается формула разложения произвольного инварианта порядка не выше 4 по базисным инвариантам.

Теорема. Пусть V/ = V/ (К) - ый базисный инвариант Васильева порядка г, г = 2,3,4, ] = 1,2,3. Тогда

= [У2/2 + У3/2 - З^1 + 4VI + У43]У<4(Т)+

П4/2 - Уз/2 + У?]У<4{Т*) + [-V? + У42 + 2У43]^<4(Я)+ [V? - з^42]у<4(^) + 1# 7<4(Р),

где Т = 3*, Г* = Зь Я = 4Ь Р = 5*, Т = 5*.

В заключение первой главы приводится формула разложения узла в модуле Васильева произвольного порядка п : Теорема 1.5.1. Любой узел К в модуле Васильева п-го порядка (п > 1) имеет следующее разложение:

г+3 ¿=1

где г - размерность пространства инвариантов Васильева порядка меньшего или равного (п— 1),

5 - размерность пространства весовых систем порядка гг, VI - инварианты Васильева порядка меньшего или равного п, К{ - фиксированные (базисные) узлы.

Последнее равенство можно переписать в таком виде:

У2(х,)

У2(ХГ+3 У2(К)

где через Хг, Х2,..., Хг+3 обозначены базисные узлы в модуле Уп.

Глава IIпосвящена исследованию проблемы как проинтегрировать данную весовую систему, чтобы получить инвариант конечного типа. В первом параграфе инварианты Васильева определяются через дискретные производные и обсуждаются их основные

ТО)

=о.

УЦх^.) УЦК)

У£(ХГ+3) Хг+3

У'(К) к

свойства. Затем вводится понятие интегрирования весовой системы. Для этого диаграмме узла сопоставляются некоторые функции - координаты. Например, "координаты" на трилистнике выглядят так:

5Х = 1, ех = 1

8У = О, Еу — 1 6Я = 1, ея == 1

Аналогично разложению Тейлора строится разложение в ряд инварианта конечного типа:

Предложение 2.2.7. Для любого инварианта / порядка не выше т существует аналог разложения в ряд Тейлора:

2т/(К) = £ еРсР(К), Ре-Р<т

где суммирование ведется по всем подмножествам Р множества V двойных точек диаграммы узла К, т.е.

--• • • 1 -^-п}?

ср(К) - Дв1 о ДЖ2 о ... о ЛХп,

АХ{ = (Лв./)(К) = ¡(К + а*) - ¡{К - х{), узлы К + х{ и К-Хг получаются из узла К заменой перекрестков в точке Х{ на перекрестки со значениями соответственно равными 1 и 0. отличаются

В третьем параграфе описаны явные формулы для инвариантов порядков 2 и 3, полученные Ж.Ланном [31]. Обсуждается аналогичная формула для инвариантов 4-го порядка. В следующем параграфе приводятся стрелочные формулы Виро-Поляка для этих же инвариантов, а также доказывается новая формула для инварианта порядка 3 с целыми коэффициентами:

В пятом параграфе получена новая формула для двух (из трех) базисных инвариантов 4-го порядка:

ъ(к) = |^4(0) <0'°> ) <Ф +© >с> +

Кроме того, показано, что известная формула Виро-Поляка для третьего базисного инварианта порядка 4 некорректна, и подробно рассмотрен соответствующий контрпример - узел 61.

В последнем параграфе вычислены все инварианты Васильева для торических узлов типа (2,п), п = 2к + 1, к > 1.

Теорема. Пусть п > 7. Тогда инварианты Васильева торических узлов связаны следующими соотношениями:

14(п) = 214(п - 2) - 14(п - 4) + Ук-2(п - 2), к > 4, п > 7

У3(п) = 2У3(п - 2) - У3(п - 4) + п,

У2(п) = 2У2(п - 2) - У2(п - 4) + 2.

Для п = Ъ имеем У2(3) = 2, У3(3) = 1, "Ц(З) = 0, г > 4, а для п = 5 гшеелс У2(5) - б, К3(5) = 5, 1^(5) = 2, 1^(5) = 1, ^(5) = О, г > 6.

В Главе III вычисляются все слагаемые интеграла Концевича до 4-го порядка включительно. В первом параграфе дается определение интеграла Концевича и доказывается теорема о сходимости интеграла.

__л

Представим трехмерное пространство R как прямое произведение комплексной прямой С с координатой г и действительной прямой R с координатой t.

Вложим узел К в пространство R3 = Cz х Rt так, чтобы координата t была функцией Морса на К. Это значит, что во всех точках, где t как функция параметра на кривой имеет нулевую производную, ее вторая производная не должна обращаться в нуль, а значения t во всех таких точках (критические значения) должны быть различны между собой.

Обозначим минимум и максимум функции ¿на К соответственно tmin и tmax. Рассмотрим га некритических значений tmin < < ... < tm < tmax. В каждой плоскости {£ = íj С R3 выбирается неупорядоченная пара различных точек (2¿,í¿) и (2¿,£¿) на узле К. Обозначим Р = {(Zi, ¿г')} множество таких пар для г = 1,2,..., га, а символом 4. - число точек (zi,ti) или (¿j,í¿) в Р, в которых ориентация узла К противоположна ориентации, определяемой dt.

Определим итерированный интеграл, задающий инвариант мор-совского узла, не меняющийся на множестве вложений, имеющих заданное число морсовских критических точек.

Интегралом Концевича узла К называется следующий элемент градуированного пополнения алгебры хордовых диаграмм:

со i - т

= Е / <t < <( <t Е (-1 )'DP Л

w dzi - dz¡

i '

ТП~0 \Í""/J " 'min^'l^'-^tmMmai P—Ux ' ¡e'H ¿=1

где Ир диаграмма с т хордами, связывающими точки ориентированной окружности К. Суммирование ведется по всем выборам точек для всех г. Областью интегрирования является га-мерный симплекс £тг-п < ^ < ... < 1т < £таа., разделенный критическими ^ значениями на связные компоненты.

ва:

Затем вводится понятие универсального инварианта Василье-

2{К) = 2{к)1г{\})<1\

где У - общепринятое обозначение узла с четырьмя критическими точками (см., например, [13], а с - число критических точек узла К. Далее вычисляется ряд Концевича до 4-го порядка для У-узла тремя различными способами. 1) Прямые вычисления кратных интегралов:

^г(и) = , / -(Ипа12 А сИпЬ13 + ¿1па12 А сИп Ь23+

{¿ТГ1) <<тоа®

1п а\з А с? 1п &1з — й 1п а-13 А с£1п Ь23 = 1 ~ Г^иЫи 1^1 1 1

V / =__^у^__1—Г(2\=-

¿^7о к и 4Гтг)2 Н А:2 4Ы2^ ; :

4(7г)2^7о к и 4(тг)2^А:2 4(тг)2^; 24

(исходя из определения В.И.Арнольд [3] вычислил интеграл Концевича до члена второго порядка ¿/2(и)).

2) Использование гипотезы Д. Бар-Натана:

¿(и) = ехр Ь2п^2п = 1'+ (X) Ъ2п™2п) + Ь2п^2п)2 + . . . ,

п=0 п=0 ^ п=О

где Ъ2п - модифицированные числа Бернулли, т.е. коэффициенты следующего ряда Тейлора:

т£ 1 ®/2 _ -х/2

(&2 = 1/48,64 = —1/5760,...), а -ш2п - колеса, т.е. диаграммы вида

= О, =

(гипотеза Д. Бар-Натана с соавторами [5], доказана в 1998 году в работе [6].

3)Использование монодромии уравнения Книжника-Замолодчикова для трехточек, когда его коэффициенты трактуются как хордовые диаграммы на трех струнах и используется замыкание этих диаграмм.

Ф(*12, ¿23) = 1- ^¡-[¿12, [¿12, ¿23]]) + . • . ,

(где Ф(^12,^2з) ~ ассоциатор Дринфельда).

В результате получено выражение интеграла Концевича через хордовые диаграммы

11 1

г (О) = 1-1--11)0 Н--Шо--и)л +

у ; 48 2 4608 2 5760 4

где а, с, (I - введенные выше обозначения хордовых диаграмм.

В следующем, третьем параграфе исследуются разложение узлов на элементарные танглы, вычисляются интегралы Концевича от этих танглов и их композиций.

В заключительном, четвертом параграфе вычисляется интеграл Концевича для простейших узлов (тривиального, трилистника, восьмерки).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тюрина, Светлана Дмитриевна, 1999 год

Библиография

[1] J.W.Alexander, Topological invariants of knots and links, -Trans. Amer. Math. Soc. 20 (1923), 275-306.

[2] V.I. ARNOLD, Plane curves, their invariants, perestroikas and classification. In: Singularities and Bifurcations. Ser. Advances in Soviet Mathematics. Vol 21, 1994. Amer. Math. Soc., Providence, RL, P. 33-91.

[3] V.I.arnold Vassiliev's theory of discriminants and knots, First European Congress of Mathématiciens (Paris, July 1992) 1, 3-29. Birkhâuser, Basel-Boston-Berlin.

[4] D. BAR-NATAN, On the Vassiliev knot invariants. Topology 34 (1995), 423-472.

[5] d. Bar-Natan, S.Garoufalidis, L.Rozansky, d.thurston, Wheels, wheeling, and the Kontsevich integral of the unknot. Preprint, 1997.

[6] D.Bar-Natan, Thang Le, D. Thurston, The Kontsevich integral of the unknot. In preparation.

[7] J. BIRMAN, Braids, links and mapping class groups, Ann. of Math. Studies, vol. 82, Princeton University Press. Princeton. NJ, 1974.

[8] J. BIRMAN, New points of view in knot theory. Bull. Amer. Math. Soc. 28 (1993), 253-287.

[9] J. BIRMAN and X.S. LIN, Knot polynomials and Vassiliev's invariants. Invent. Math. Ill (1993), 225-270.

[10] Joan S. Birman, Michael D. Hirsch, A new algorithm for recognizing the unknot, http: //xxx. lani. gov/ abs/ math. GT/9801126.

[11] P. CARTIER, Construction combinatoire des invariants de VaKsiliev-Kontsevich des noeuds. Comptes Rendus Acad. Sc. Paris 316 (1993), 1205-1210.

[12] S.V.Chmutov, S.V.Duzhin, S.K.Lando. Vassiliev knot invariants /-///. - Adv. Sov. Math. 21(1994),117-147.

[13] Дужин C.B., Чмутов C.B. Узлы и их инварианты. - Математическое просвещение. Сер. 3, 3, 1999. С. 59-93.

[14] S.V.Chmutov, A.N.Varchenco. Remarks on the Vassiliev knot invariants coming from sl2■ - Topology 36(1997), 153-178.

[15] O.T. Dasbach, S. Hougardy, Does the Jones Polynomial Detect Unknottedness? Journal of Experimental Mathematics, Vol. 6, No. 1, 1997. P. 51-56.

[16] m.domergue, P.donato. Integrating a weight system of order n to an invariant of (n — 1)-singular knots. - J. of Knot Theory and Its Ram., Vol.5 No.l (1996) 23-35.

[17] V.G. DRINFELD, Quasi-Hopf algebras, Algebra i Analiz 1:6

(1989), 114-148 (= Leningrad Math. J. 1 (1990), 1419-1457).

[18] V.G. DRINFELD, On quasitriangular quasi-Hopf algebras and a group closely connected with Gal(Q/Q), Algebra i Analiz 2:4

(1990), 149-181 (= Leningrad Math. J. 2 (1991), 829-860)

[19] S. Gordan, J. Luecke, Knots are determined by their complements. Journal Amer. Math. Soc. Vol. 2, 1989. P. 371-415.

[20] M.N.gusarov. A new form of the Conway-Jones polynomial of oriented links. -Nauchn. Sem. Len. Otdel. Mat. Inst. Steklov, 193 (1991), Geom. i Topol. 1, 4-9, 161; или Topology of manifolds and varieties. (O. Viro, ed.), Amer. Math. Soc. Providence, Rl (1994), 167-172.

[21] J. Hoste, M. Thistlethwaite and J. Weeks, The first 1,701,936 knots. Mathematical Intelligencer. Vol. 20, 1998. P. 3348.

[22] J. Hoste, M. Thistlethwaite, J. Weeks, Таблица узлов и программа KnotScape. http: //www.math, utk.edu/"morwen (home page of Thistlethwaite).

[23] V.F.R. JONES, Polynomial invariants of knots via van Neumann algebras. Bull. Amer. Math. Soc. 12 (1985), 103-111.

[24] V.F.R. JONES, Hecke algebra representations of braid groups and link polynomials, Ann. of Math. 126 (1987), 335-388.

[25] C. KASSEL, Quantum groups. Graduate Texts in Math., vol. 155. Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1995.

[26] L. KAUFFMAN, State models and the Jones polynomial. Topology 26 (1987) 395-407.

[27] L. KAUFFMAN, Knots and physics, 2nd edition. Series on knots and everything, vol. 1, World Scientific. Singapore. 1993.

[28] M. KONTSEVICH, Vassiliev's knot invariants. In I.M.Gelfand Seminar. Adv. Soviet Math.. Amer. Math. Soc., Providence, RI, vol. 16, Part 2 (1993), 137-150.

[29] ч. косневски, Начальный курс алгебраической топологии. Перевод с англ. - М.: Мир, 1983.

[30] Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов. - М.: Мир, 1967.

[31] J.Lannes, Sur les invariants de Vassiliev de degree inférieur ou égal à 3. - L'Enseignement Mathématique, t.39 (1993), 295-316.

[32] T.Q.T. LE and J. MURAKAMI, Representations of the category of tangles by Kontsevich's iterated integral, Comm. Math. Phys. 168 (1995), 535-562.

[33] T.Q.T. LE and J. MURAKAMI, The universal Vassiliev-Kontsevich invariant for framed oriented links. Сотр. Math. 102 (1996), 41-64.

[34] T.q.T.le, J.murakami. Kontsevich's integral for the Kauffman polynomial. - Nagoya Math. J. Vol.142 (1996), 39-65.

[35] Математическая энциклопедия,:M., Советская энциклопедия, 1985.

[36] с. в. матвеев, Классификация достаточно больших трехмерных многообразий. УМН. Т. 52, вып. 5, 1997. С. 147-174.

[37] Матвеев c.b., фоменко А.т. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии. - М.: Наука, 1998.

[38] W. Menasco, M. Thistlethwaite, A classification of alternating links. Annals of Mathematics. Vol. 138, 1993. P. 113171.

[39] K. Murasugi, Jones polynomial and classical conjectures in knot theory. Topology. Vol. 26, 1987. P. 184-194.

[40] O.-P. ôstlund, Preprint Uppsala University, 1997.

[41] M.polyak, O.vlro, Gauss diagram formulae for Vassiliev invariants. - Int. Math. Res. Notices. 11 (1994), 445-453.

[42] M.Polyak. On Milnor's triple linking number. - C.R.Acad.Sci. Paris, t.325, Serie I, p.77-82, 1997 Topologie.

[43] В.В.Прасолов, А.Б.Сосинский, Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия. М.: МЦНМО, 1997. - 352 с.

[44] S. PIUNIKHIN, Combinatorial expression for universal Vassiliev link invariant, Comm. Math. Phys. 168 (1995), 1-22.

[45] S.PlUNlKHlN. Weights of Feynman diagrams, links polynomials and Vassiliev knot invariants. - J. of Knot Theory and Its Ram., Vol.4 No.l (1995) 163-188.

[46] m. thistlethwaite, A spanning tree expansion for the Jones polynomial. Topology. Vol. 26, 1987. P. 297-309.

[47] H.F.TROTTER, Non-invertible knots exist. Topology. Vol. 2, 1964. P. 275-280.

[48] Тюрина С.д. О формулах типа Ланна и Виро-Поляка для инвариантов Васильева. Международная конференция, посвященная 90-летию со дня рождения Л.С.Понтрягина. Тезисы докладов. Оптимальное управление и добавления. - Москва, издательство МГУ, 1998, 329-330.

[49] Tyurina S.D. Explicit formulas for finite degree invariants. International Conference "Monodromie et equations différentielles en théorie des singularités et des représentations de groupes." Thèses. - Luminy, France, CNRS-SMF, 1999.

[50] тюрина С.д. О формулах типа Ланна и Виро-Поляка для инвариантов конечного порядка. - Математические заметки, 1999, Т. 65, 6.

[51] Тюрина С.Д. Диаграммные формулы типа Виро-Поляка для инвариантов конечного порядка. - Успехи математических наук, 1999, Т. 54, 3.

[52] V.Vassiliev, Topology of complements to discriminants and loop spaces. - Adv. in Soviet Math. Vol.1 (1990), 9-21.

[53] V.A. VASSILIEV, Cohomology of knot spaces, in Theory of singularities and applications, Adv. Soviet Math., vol. 1 (1990), Amer. Math. Soc., Providence, Rl, 23-69.

[54] В.А.ВАСИЛЬЕВ, Топология дополнений к дискриминантам. М.: ФАЗИС, 1997.

[55] O.vlro, First degree invariants of generic curves on surfaces. Preprint Uppsala University, 1994.

[56] W. Whitten, Knot complements and groups. Topology. Vol. 26, 1987. P. 41-44.

[57] S.WlLLERTON, Vassiliev invariants and Hopf algebra of chord diagram. - Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 119 (1996), 55-65.

[58] S.WlLLERTON. A combinatorial half-integration from weight system to Vassiliev knot invariant. - J. of Knot Theory and Its Ram., Vol.7 No.4 (1998) 519-526.

[59] S.WlLLERTON. Vassiliev invariants as polynomials. - Knot Theory, Banach center publications, Vol.42, Warszawa, 1998.

[60] E. WITTEN, Quantum field theory and the Jones polynomial, Comm. Math. Phys. 121 (1989), 351-399.