Сходимость кратных рядов и интегралов Фурье некоторых классов ограниченных функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Бахвалов, Александр Николаевич

• Бахвалов, Александр Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бахвалов, Александр Николаевич

Введение.

1 О расходимости всюду рядов Фурье непрерывных функций многих переменных.

1.1 Вспомогательные результаты.

1.2 Построение функции с рядом, расходящимся почти всюду

1.3 Построение функции с всюду расходящимся рядом

2 Непериодические функции ограниченной Л-вариации и интеграл Фурье.

2.1 Некоторые свойства функций ограниченной

Л-вариации.

2.2 Представление непериодических функций ограниченной Л-вариации интегралом Фурье

3 О поведении треугольных частичных сумм рядов Фурье функций ограниченной Л-вариации.

3.1 Модифицированные частичные суммы.

3.2 Оценки поведения модифицированных ядер Дирихле.

3.3 Достаточные условия ограниченности и сходимости треугольных частичных сумм.

3.4 Пример функции с неограниченными треугольными частичными суммами.

Список обозначений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сходимость кратных рядов и интегралов Фурье некоторых классов ограниченных функций»

Структура работы

Работа состоит из введения, трех глав, списка основных обозначений и списка литературы из 46 наименований.

В данной работе формулы, леммы и теоремы будут имеют номера из двух чисел, первое из которых — номер главы, а второе — номер формулы (леммы, теоремы) в этой главе. Определения нумеруются сквозным образом. Результаты других авторов нумеруются сквозным образом латинскими буквами.

Основные определения

Данная работа посвящена исследованию сходимости и расходимости рядов и интегралов Фурье функций двух и более вещественных переменных. Рассматриваемые функции будут предполагаться измеримыми комплекснознач-ными.

В работе мы будем придерживаться следующих соглашений. В главах 1 и 3 все функции будут считаться 27г-периодическими по каждому переменному, если не оговорено противное. Такие функции будут рассматриваться на кубе Тп или Т™, где Т = [0, 2тг), Т\ = [—7г, 7г), в зависимости от того, какой способ нам удобнее в конкретном случае. Через Ок{х) будем обозначать одномерное ядро Дирихле: зт(к + \)х

2эт |

В случае, когда размерность пространства независимых переменных больше единицы, будут использоваться следующие обозначения. Элементы будут обозначаться как векторы, например, х = ., хп). Угловыми скобками будем обозначать скалярное произведение п х,у) = ^хкук. к=1

Вектор с целочисленными координатами для краткости будем называть номером.

Через [ж] и [ж] будем обозначать соответственно наибольшее целое п ^ х и наименьшее целое ш ^ х. Через ха будем обозначать характеристическую функцию множества А.

Через С и С(-) обозначаются соответственно положительные постоянные и положительные величины, зависящие лишь от перечисленных в скобках аргументов, не обязательно одинаковые в различных случаях. Там, где

ВВЕДЕНИЕ необходимо указать, что такие постоянные или величины в нескольких формулах совпадают, они снабжаются индексом, например: С2{х, Л) (нумерация ведется в пределах главы).

При оценке различных интегралов для краткости будут вводиться обозначения вида </, и т- п. Такие обозначения вводятся заново в каждом доказательстве, если не оговорено противное.

Определение 1. Пусть ${х) — 27г-периодична по каждому аргументу и интегрируема по Лебегу на Тп. Ее рядом Фурье по тригонометрической системе называется ряд

00 где

X/ Стпе гп1,.,тп=—оо 1 г (то,а;)

С-т С-т\,.,тп коэффициенты Фурье функции /. В двумерном случае будет, как правило, применяться обозначение сГО)п = ¿// 1(х,у)е-{тхе-™У(1хйу. гр 2

Определение 2. Прямоугольной частичной суммой ряда Фурье называется г(т,х)

М\ Мп гп1=-М1 тп=-Мп или в двумерном случае

М N т=-М п=-И

В двумерном случае нас будут интересовать также сферические и треугольные частичные суммы.

Определение 3. Сферической (шаровой) частичной суммой ряда Фурье функции двух переменных называется то^у))= Е атМУтхеыу. т2+п2<Л2

Определение 4. Треугольной частичной суммой ряда Фурье функции двух переменных называется

НхН/!

М N

ВВЕДЕНИЕ 5

Определение 5. Ряд Фурье функции / называется Л-сходящимся (по прямоугольникам) в точке ж, где А ^ 1, если существует тшМ^+оо г

1 Мъ х по всем номерам М таким, что — ^ ^ Л для любых пл. ].

1-сходимость обычно называется сходимостью по квадратам (по кубам), а сходимость без ограничений на отношения компонент — сходимостью по прямоугольникам (по Прингсхейму). Аналогично можно рассматривать различные случаи сходимости треугольных частичных сумм. Подробнее о различных типах сходимости кратного ряда см. [27], гл.1, §6, и [1], введение, п.З.

Если Л С то частичную сумму п-кратного ряда Фурье теА можно представить в виде

S(A)(f,x) = ^ J f{x + u)D(A)(u)du, fn где величина ~ £ е!<Й' х) теА называется ядром Дирихле, соответствующим этой частичной сумме. В частности, прямоугольным частичным суммам соответствуют прямоугольные ядра Дирихле, которые имеют вид п к=1 то есть распадаются в произведение одномерных ядер Дирихле. Явный вид треугольных ядер Дирихле D(x,y) будет приведен ниже (в главе 3).

Введем также определения модулей непрерывности 27Г-периодических по каждому переменному функций.

Определение 6. Модулем непрерывности функции / € С(Тп) называется функция от 5 > 0, определяемая формулой u(f,6) = sup sup \f(x + h)-f(x)\. heRn:\\h\\^6

ВВЕДЕНИЕ 6

Если в этом определении ограничиться теми h, у которых лишь к-я компонента отлична от нуля, то мы получим определение частного модуля непрерывности u>k{f, 5).

Определение 7. Модулем непрерывности в пространстве Lp(Tn) для принадлежащей этому пространству функции f(x) называется функция от 5 > О, определяемая формулой u(f,6)p - ( sup I |/(f + h) - f(x)\pdx I .

4\\h\№

Для интегрируемой на Ж2 функции двух переменных рассмотрим ее преобразование Фурье fit,г}) = ¿// f(s,t)e-*se-^dtds.

Возникает следующая проблема: когда можно утверждать, что справедлива формула обращения ^ II f&vh^e'ndtdr, ?

1)

Уже в одномерном случае требование интегрируемости /(£) накладывает столь излишне ограничительные условия на функцию /, что интеграл в формуле обращения обычно понимают в смысле главного значения.

В случае функции двух переменных мы имеем еще больше свободы в интерпретации формулы (1). А именно, мы можем, например, понимать интеграл в ее правой части как предел интегралов по некоторой расширяющейся последовательности плоских множеств (подробнее см. [1], введение, п.7).

Нас будет интересовать сходимость "прингсхеймовского типа" в (1). Мы определяем частичные интегралы по прямоугольникам: ж, г/)) = 1

2тг

А В

2)

-А -В и изучаем их поведение при независимом стремлении Аи5к+оо.

Другие определения и обозначения будут вводиться по мере необходимости. Для удобства в конце работы приведена таблица основных обозначений с указанием страниц, на которых они впервые вводятся.

ВВЕДЕНИЕ 7

Обзор предшествующих результатов

Состояние исследований по различным проблемам теории кратных тригонометрических рядов рассматривалось в обзорных статьях Л.В.Жижиаш-вили [14], Б.И.Голубова [7], Ш.А.Алимова, Р.Р.Ашурова и А.К.Пулатова [1], М.И.Дьяченко [11], в книгах Л.В.Жижиашвили [13] и [16], А.И.Янушаускаса

Мы дадим обзор результатов, непосредственно связанных с тематикой данной работы.

В главе 1 изучается вопрос о расходимости ряда Фурье непрерывной функции многих переменных.

Как известно, для одномерного случая решение проблемы сходимости ряда Фурье непрерывной функции вытекает из общего результата Л.Карлесона - Р.Ханта ([29],[35]):

Теорема А. Если для некоторого р > 1 выполнено f(x) G LP(T), то ряд Фурье функции f(x) сходится почти всюду.

В случае двух переменных результат зависит от того, какой вид сходимости рассматривается.

Для сходимости по квадратам Н.Р.Тевзадзе [22] доказал аналог теоремы Карлесона:

Теорема В. Если f(x,y) £ /^(Т2), то ряд Фурье функции f(x,y) сходится по квадратам почти всюду.

Дальнейшие обобщения этого результата были даны Ч.Фефферманом [32], П.Шёлином [37] и Н.Ю.Антоновым ([2], [3]).

Ситуация существенно меняется при рассмотрении сходимости по прямоугольникам. Ч.Фефферман [31] установил следующий результат:

Теорема С. Существует непрерывная на плоскости 2тт-периодическая по каждому переменному функция, ряд Фурье которой расходится по Принг-схейму всюду.

Основываясь на методе Феффермана, М.Бахбух и Е.М.Никишин [5] получили такое утверждение:

Теорема D. Существует непрерывная на плоскости 2тг-периодическая по каждому переменному функция fix, у) с модулем непрерывности ряд Фурье которой расходится по Прингсхейму на [0.2, 27т — 0.2]2.

М.И.Дьяченко [11] указал, что незначительная модификация доказательства этой теоремы позволяет установить следующее утверждение.

27].

ВВЕДЕНИЕ 8

Теорема Б'. Для любого натурального гп существует непрерывная 2тг-периодическая по каждому переменному функция 2т переменных /(¿с) такая, что и>(/,5) = 0((1п |)~то) при 5 —^ +0, и ее ряд Фурье расходится по Прингсхейму почти всюду.

С другой стороны, К.И.Осколков [18] доказал достаточное условие сходимости почти всюду в терминах модуля непрерывности.

Теорема Е. Если /О, у) € С{Т2) и о ln In In ^ то ряд Фурье функции / сходится по Прингсхейму почти всюду.

Отметим также, что позже И.Л.Блошанский [6] получил достаточное условие сходимости почти всюду по Прингсхейму ряда Фурье функции из ЬР(Т2), которое обобщает теорему Е.

В случае большей размерности какие-либо аналоги теоремы Е неизвестны. Однако Л.В.Жижиашвили [15] получил достаточное условие сходимости в терминах модуля непрерывности в ¿2, а именно:

Теорема Е. Если ¡(х) е ¿2 (Тп) и для некоторого € > 0 то ряд Фурье /(х) сходится по прямоугольникам почти всюду.

В главе 1 будет показано, как по заданному А > 1 построить непрерывную функцию 2т переменных с оценкой на модуль непрерывности т

1' ряд Фурье которой А-расходится всюду.

В главах 2 и 3 рассматриваются функции ограниченной Л-вариации.

Введем вначале необходимые обозначения. Для промежутка I через 0(7) обозначим множество всех конечных систем попарно непересекающихся интервалов {1П}, таких что 1П С I.

Пусть I = (а, 6), А = (a, f3). Для функции одного переменного обозначим /(/) = fib) — f(a). Для функции двух переменных обозначим f{I,yo) =f(b,yo) — /(а, т/о), f(x0,A) = f(x0,{3) -/0о,а), /(/ х А) = /(6,(3) - /(о, /3) - Д6, а) + Да, а).

ВВЕДЕНИЕ 9

Если I, А — некоторые промежутки из К, быть может, бесконечные, то их декартово произведение I х А будем называть обобщенным прямоугольником.

В случае функции одного переменного хорошо известно (см., например, [4],гл.1,§39 или [41], т.1, гл.2, §8) следующее утверждение, называемое обычно признаком Жордана или признаком Дирихле — Жордана:

Теорема С. Пусть / 6 ВУ(Т). Тогда в каждой точке х Е Т ряд Фурье / сходится к величине + 0) + /(х — 0)), и сходимость равномерна внутри каждого интервала непрерывности.

Эта теорема обобщалась различными авторами на классы обобщенной ограниченной вариации, а также на случай функции многих переменных.

Д.Ватерман [39] определил в одномерном случае классы функций ограниченной Л-вариации.

Определение 8. Скажем, что неубывающая последовательность положительных чисел Л = {Лп} задает класс функций ограниченной Л-вариации (класс Ватермана), если Хп —» оо при п —> оо и оо п—1 1

Л,

00. п

В дальнейшем рассматриваются только такие Л.) Через Лто будем обознат чать величину -г-. к= 1

Определение 9. Функция ${х) называется функцией ограниченной Л-вариации на промежутке /, если конечна величина

По

КЛ(/;/)= 8пр V {1п}ет ^ Ш

Ат}, которая в этом случае называется Л-вариацией функции / по промежутку I. Через АВУ(1) будет обозначаться множество функций ограниченной Л-вариации на данном промежутке I (класс Ватермана).

Замечание 1. Определение функции ограниченной А-вариации, данное Ватерманом в качестве основного, несколько отличается от определения 9, но в [40] Ватерманом доказана эквивалентность двух указанных определений.

В частности, для последовательности Л = {п} будут употребляться обозначения / е НВУ{1) и Уя(/; I).

Ватерман доказал, что функция из класса АВУ(1), как и функция ограниченной вариации, может иметь точки разрыва лишь первого рода, и установил следующее обобщение теоремы С (см. [39]): /

ВВЕДЕНИЕ

10

Теорема Н. Пусть f Е НВУ(Т). Тогда в каждой точке х € Т ряд Фурье / сходится к величине |(/(ж + 0) + /(ж — 0)), и сходимость равномерна внутри каждого интервала непрерывности. Если НВУ{Т) С ЛБУ (Г) есть собственное подмножество, то найдется функция / Е КВУ{Т), ряд Фурье которой расходится в точке.

Другие свойства функций ограниченной Л-вариации от одного переменного изучались Ватерманом и М.Шраммом в работах [40], [36].

В двумерном случае Г.Харди [34] определил класс функций ограниченной вариации (в смысле Харди).

Определение 10. Скажем, что функция /(х,у) имеет ограниченную вариацию в смысле Харди на Б = / х А (/ Е ВУ(Б)), если

В указанной работе Харди доказал сходимость по Прингсхейму ряда Фурье функции из ВУ(Т2) в каждой точке.

Результаты Харди были перенесены Б.И.Голубовым ([8]-[10]) на более общий случай, а именно, на класс функций ограниченной Ф-вариации.

В работе [33] К.Гоффман и Д.Ватерман определили классы ограниченной Л-вариации для функции двух и более переменных и доказали для этих классов теоремы локализации прямоугольных частичных сумм.

А.А.Саакян [19] дал другое определение Л-вариации функции двух переменных, в котором на функцию накладывается условие, обобщающее условие Харди и более жесткое по сравнению с определением Гоффмана и Ва-термана.

Модификации определения Саакяна вводились и рассматривались рядом авторов, в частности А.И.Саблиным [20], М.И.Дьяченко [11].

Мы введем здесь понятие Л-вариации, взяв за основу определение из [20]. При этом мы допускаем, что промежутки определения функции бесконечны.

Различия между нашим определением и определением Саакяна будут рассмотрены ниже при обсуждении результатов §2.1, а также в самом этом параграфе.

Введем вначале три вспомогательных определения.

Определение 11. Пусть / — функция двух переменных. Л-вариацией функции / относительно х по промежутку I при у = уо называется

ПЛЯ)= вир /(4 X 4)1 + эир Ух(/(х,у0)]1) + вир А) < оо.

Уо ед х0е1

УК1{х,уо);1) = вир

ДЛг,2/о)| п}€ОД п

ВВЕДЕНИЕ

11

Определение 12. Пусть / — функция двух переменных. Л-вариацией функции / относительно у по промежутку Д при х = хо называется яо,2/);Д)= sup V

Ак}еП(А) ~

Определение 13. Двумерной компонентой Л-вариации функции / по прямоугольнику (возможно, обобщенному) / х Д называется величина хД)= sup £

F(InxAk)\

Теперь мы дадим основное

Определение 14. Скажем, что функция f(x,y) имеет ограниченную Л-вариацию на D = I х Д (/ € ABV(D)), если

УА(/; Я) = я) + sup vsx/Oc, ЗЛ,); Л + suP KUte* УУЛ)< ОО.

Величина Уд (/,D) называется Л-вариацией / на D. Множество функций ограниченной Л-вариации на данном (обобщенном) прямоугольнике D (класс Ватермана) будет обозначаться через ABV(D).

Определение 15. Точка (х,у) называется регулярной точкой функции /, если в ней существует и конечна величина у} = (f(x+0,y+0)+f(x+0,y-0)+f(x-0,y+0)+f(x-Q,y-0)) где обозначено f(x±0),y±0) = lim f(x + s,y + t). s—>± О t—>±0

А.А.Саакян [19] доказал следующую теорему о рядах Фурье функции ограниченной гармонической вариации.

Теорема I. Пусть / - 2ir-периодическая по каждому переменному измеримая функция и f € HBV(T2). Тогда в каждой регулярной точке (х,у) ряд Фурье f(x, у) сходится по Прингсхейму к величине f*{x, у).

Не для всякой функции ограниченной Л-вариации каждая точка является регулярной. Это следует из указанного Саакяном примера функции fix,У) =

1, 0 < у < X < 7Т

0, в остальных точках (Ti)''

G HBV((Ti)2).

ВВЕДЕНИЕ 12

Для этой функции Ф.Устина [38] доказал, что частичные суммы ее ряда Фурье расходятся по Прингсхейму в точке (0,0).

Отметим в связи с этим, что в работе [30] М.И.Дьяченко доказал следующее утверждение.

Теорема 3. Если А определяет класс ограниченной А-вариации, то следующие условия эквивалентны:

1) Для любой функции / е АВУ(Т2) каждая точка Т является регулярной.

ОО 1

1 лп 71=1

Результаты Саакяна частично (а именно, в случае непрерывной функции и при некоторых дополнительных предположениях на функцию) перенесены на случай размерности, большей двух, А.И.Саблиным ([20], [21]).

В главе 2 настоящей работы доказывается сходимость в смысле предела интегралов по прямоугольникам интеграла Фурье функций ограниченной Л-вариации двух переменных для некоторых классов ЛБУ (К2).

Как известно (см., например, [41], т.2, гл.16, §1), в одномерном случае представимость функции рядом или интегралом Фурье в точке определяется поведением функции в сколь угодно малой окрестности этой точки, и имеет место следующее утверждение о равносходимости:

Теорема К. Пусть / е 1/(К) и д £ Ь(Т), где д(Ь) — 2тт-периодическая функция. Если для некоторого интервала I С Т функции /ид совпадают на I, то

А -А при А +оо равномерно внутри I.

Отсюда и из теоремы Н немедленно следует

Теорема Н7. Пусть / 6 НВУ(Ш). Тогда в каждой точке М. интеграл Фурье / сходится в смысле главного значения к величине ^(/(ж + 0) + /(ж — 0)), и сходимость равномерна внутри каждого интервала непрерывности. Если НВУ(Ш) С АВУ(Ш) есть собственное подмножество, то найдется функция / е АВУ(Ш), интеграл Фурье которой расходится в некоторой точке (в смысле главного значения).

В двумерном случае свойство равносходимости, вообще говоря, не выполняется, поэтому вопрос о представимости функции интегралом Фурье представляет самостоятельный интерес.

ВВЕДЕНИЕ 13

В главе 3 рассматривается поведение треугольных частичных сумм рядов Фурье функции ограниченной Л-вариации для некоторых классов ABV(M?).

Поведение различных видов частичных сумм для рядов Фурье функций из классов Ватермана изучалось рядом авторов. Результаты А.А.Саакяна о сходимости прямоугольных частичных сумм были приведены нами выше (теорема I).

М.И.Дьяченко рассмотрел поведение сферических частичных сумм рядов Фурье функций из классов ABV(T2). В статье [30] им было доказано следующее утверждение.

Теорема L. Для произвольной функции из класса ABV(T2), где Хп = sfn, сферические частичные суммы ее ряда Фурье равномерно ограничены. В статье [12] он установил более сильное утверждение. Теорема М. Пусть / — функция из класса A^BV(T2), где Л(£) =

Mn+I))^}; £ > Положим w(t) = т/(2 sin(T/2)) и Ir(f) = sup sup I x,yeT u,ve[-l,l] rliS|(m>n)|<r+1 где

Фх,у,иЛt) = f {x + VУ + s)w(t)w(s)e-^tu+sv\

Если Ir(f) ^ С при г ^ 1, то сферические частичные суммы ее ряда Фурье равномерно ограничены. Если /г(/) —> 0 при г —> +оо, то ряд Фурье f сходится по сферам в каждой регулярной точке.

Поведение треугольных частичных сумм функций ограниченной вариации или обобщенной ограниченной вариации ранее специально не рассматривалось, но М.И.Дьяченко (см. [11], гл.7), основываясь на работах С.А.Теляковского [23] и В.Н.Темлякова [24], установил общий результат об w-сходимости рядов Фурье функций, имеющих ограниченную вариацию по Харди, частным случаем которого является следующее утверждение.

Теорема N. Если функция f(x, у) имеет ограниченную по Харди вариацию на Т2, то у)

M,iV—>оо в каждой точке при независимом стремлении М и N к бесконечности.

Обзор результатов по главам

Первая глава состоит из трех параграфов.

ВВЕДЕНИЕ

14

В §1.1 рассматриваются свойства прямоугольных частичных сумм рядов Фурье "функций Феффермана" и их модификаций. В параграфе установлено 11 вспомогательных лемм. Многие доказательства этого параграфа повторяют с незначительными изменениями рассуждения Феффермана (см.[31]) или Бахбуха и Никишина (см. [5]), и приведены для полноты изложения. Это относится к леммам 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, и частично к леммам 1.7 и 1.11.

В §1.2 мы осуществляем построение семейства функций 2т переменных, которое является основным элементом для построения главного примера. Построение происходит в два этапа.

Пусть фиксированы числа А\ = 7Г — у- и А<± = 27т — где В ^ —.

I) А — 1

На первом этапе (леммы 1.12 - 1.13) строится семейство непрерывных функций F(x, {А^}) со следующими свойствами: для функций Р(х, {Л^}) их ряды Фурье Л-расходится, если одновременно

Ряды Фурье функций Р(х, {А^}) сходятся по Прингсхейму, если условия (3) нарушены, и к тому же ни одна из точек х^, ] = 1,., 2т, не совпадает ни с ни с Лг- При этом модуль непрерывности любой функции Р = ^(ж, {-Л/^}) удовлетворяет условию

На втором этапе (лемма 1.14) строится семейство функций й(х, {Щ}) с таким же условием на модуль непрерывности, ряды Фурье которых расходятся всюду, кроме конечного числа гиперплоскостей.

В §1.3 доказывается основное утверждение главы.

Теорема 1.1. Для любого Л > 1 существует функция Н(х) £ С(Т2т), такая что ее ряд Фурье Х-расходится всюду, а ее модуль непрерывности удовлетворяет условию

Отметим, что в [43] автором было дано для случая 2т = 2 доказательство, основанное на несколько другом методе. Глава 2 состоит из двух параграфов.

9/л(х,у) = е х^е{АъА2), 7 = 1,., 2т.

3)

ВВЕДЕНИЕ 15

В §2.1 рассматриваются различные свойства двумерных классов Ватер-мана.

Введем еще два определения Л-вариации функции. Первое из них есть в точности определение А.А.Саакяна (см. [19]).

Определение 16. Пусть I — промежуток с концами а и b, а А — промежуток с концами а и ß. Л-вариацией функции / на D = I х А называется величина

Va(/; D) = УЛ/; D) + VxK(f{x,«);/) + ^(/(а, у); А)

Определение 17. (для 2-7г-периодических по каждому переменному функций). Л-вариацией функции / на (Т\)2 = [—7Г, 7г]2 называется величина t/A(/; (Ti)2) = sup Va(/; [ж0 - 7Г, Ж0 + тг] X [j/q - TT, уо + 7Г]).

Следующие леммы устанавливают взаимосвязь этих понятий.

Лемма 2.1. Если а и а конечны, a G I и a G А, то

VA(f]D)^VA(f]D) ^ (l + 2max{l,Ai})FA(/;ö).

Приведенные в §2.1 примеры показывают, что условия a G / и а Е А существенны.

Лемма 2.2. Для любой 2тт-периодической по каждому переменному функции выполняется неравенство

VA(f-,T?) ^ УЛ(/;Г2) < 4VA(f-Tf).

Далее в этом параграфе изучается поведение Л-вариации функции в окрестности регулярной точки. А.А.Саакян (см. [19]) доказал следующее утверждение.

Лемма А. Если f — 2тг-периодическая по каждому переменному функция и / £ HBV([—ir, 7г]2) и в точке (х, у) существует предел f(x + 0, у + 0), то lim VH(f; (х, х + е) х (у, у + е)) = 0. 0

Однако при доказательстве своего основного результата (теорема I) он фактически использовал другое утверждение:

Лемма А' . Если f — 2тт-периодическая по каждому переменному функция и / G HBV{\—it, 7г]2) и в точке [х, у) существует предел f(x + 0, у + 0), то lim Vff(f; (х, х + е) х (у, у + е)) = 0.

ВВЕДЕНИЕ

16

Нами доказана следующая лемма, усиливающая лемму А'.

Лемма 2.10. Если / — 2п-периодическая по каждому переменному функция, f £ ABV([—7T, 7г]2), и в точке (х, у) существует предел f(x + 0, у + 0), то lim VA(f] {х, х + е)х{у,у + е)) = 0.

-++0

Это устраняет указанный пробел в доказательстве теоремы I, данном Са-акяном. Кроме того, лемма 2.10 используется нами в дальнейшем.

В §2.2 нами рассматриваются некоторые свойства интеграла Фурье для функций ограниченной А-вариации.

Как уже отмечалось, мы изучаем поведение частичных интегралов по прямоугольникам [—А, А] х [—В, В] (см. (2)) для интеграла Фурье при независимом стремлении А и В к +оо.

Прежде всего, отметим, что частичные интегралы по прямоугольникам, определенные формулой (2), можно преобразовать следующим образом: . чч 1 [f г/ чsmAssinBt 1 7 VA,B{J, [х, y)) = -j / / f{x + s, у + t)--:— dt ds.

7г t

4)

В начале параграфа плоскость интегрирования в (4) разбивается на несколько прямоугольников (конечных и бесконечных) и доказываются оценки для интегралов по этим прямоугольникам.

Затем доказывается основной результат параграфа и всей главы.

Теорема 2.1. Пусть функция f 6 L(R2) П АБУ(Е2), где — | 0. Тогда в

7Ъ каждой регулярной точке (х,у) £ Ж2 функции f имеет место равенство lim aAiB(x,y) = f*(x,y).

А,В->+со

Глава 3 состоит из четырех параграфов. В этой главе рассматривается поведение треугольных частичных сумм рядов Фурье функций из классов Ватермана, главным образом, в случае М — N.

Мы будем использоваться обозначение А° = {л/n 1па(п +1)}, где а — любое вещественное число.

Замечание 2. При а < 0 может оказаться, что последовательность {у^1п> +1)} монотонно не убывает лишь начиная с некоторого номера по. В этом случае под Аа будем понимать ее неубывающую перестановку.

В §3.1 мы вводим, следуя методу, предложенному В.А.Юдиным [26], модифицированные треугольные частичные суммы S'MN{f, {х,у)). Пусть фиксированы функция /, точка (х, у) и номер частичной суммы (М, N). Обозначим Pm,n = {{s,t) : ^ 1}. Положим Пт>п = \m-\, m+\] x [n-\,

ВВЕДЕНИЕ

17

Пусть для множества и точки (х, ?/) Е

Пусть точка (х,у) £ Т2 фиксирована. Определим коэффициенты а!т п как

К+Х 1Т+У

1 Г [ /(*, П У 8\-Цтг+п3) ^ (5)

47г2 п+х —тг+у П

Положим теперь ту

Мы оцениваем разность между обычными и модифицированными частичными суммами. Установлен следующий результат.

Лемма 3.1. Если / е А°ВУ(Т?), то Если / е А~£ ВУ (Т2) для некоторого £ > 0, то в каждой точке

2/)) - (ж, у))

0.

Далее мы определяем модифицированное треугольное ядро Дирихле которое позволяет представить модифицированные треугольные частичные суммы в виде

В леммах 3.2 и 3.3 устанавливается явный вид модифицированного ядра Дирихле, а именно: при Мх Ф Ыу и М, N ф 0 выполнено

5«

48т(в/2) зт(г/2)

МАГ сов) - шз^г) - (Мв)2 '

В §3.2 установлены оценки поведения модифицированных ядер Дирихле. Основными результатами этого параграфа являются следующие леммы:

ВВЕДЕНИЕ

18

Лемма 3.8. Существует абсолютная постоянная С\ такая, что если и, V € [0,7г], то

Лемма 3.11. Существует абсолютная постоянная С% такая, что если 0 ^ п, v ^ 7г, то тг

Лемма 3.12. Пусть х е Щ-) и у е где 1 < к,1 ^ N

В §3.3 устанавливаются следующие достаточные условия ограниченности и сходимости частичных сумм:

Теорема 3.1. Пусть / е А~1ВУ(Т1). Тогда треугольные частичные суммы ее ряда Фурье дг(/, (х, у)) равномерно ограничены на т2.

Теорема 3.2. Пусть для некоторого 6 > 0 / е л1<5бу(т12). Тогда треугольные частичные суммы ее ряда Фурье дг(/, (х, у)) сходятся к у) в каждой точке Т2.

В основе доказательств этих теорем лежит метод, который был предложен М.И.Дьяченко (см. [12],[30]).

В §3.4 доказано следующее утверждение, которое показывает границы возможного усиления результатов §3.3:

Теорема 3.3. Для любого е > 0 существует функция Ф(х, у), принадлежащая классу КеВУ{Т1), такая что треугольные частичные суммы (0,0)) не ограничены.

Основные результаты данной диссертации опубликованы в работах автора [42] - [46].

Они докладывались на семинаре по теории ортогональных рядов под руководством чл.-корр.РАН, проф. П.Л.Ульянова, проф. М.К.Потапова и проф. М.И. Дьяченко, на семинаре по основам теории функций под руководством проф. В.А.Скворцова и проф. Т.П.Лукашенко, на международной конференции "Теория приближений и гармонический анализ" (Тула, 1998),

7Г и

Тогда

ВВЕДЕНИЕ 19 на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы"(1999).

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю профессору М.И.Дьяченко за постановку задач и постоянное внимание к работе.

20