Равносходимость разложений в кратный тригонометрический ряд и интеграл Фурье тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Графов, Денис Александрович

• Графов, Денис Александрович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Графов, Денис Александрович

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. КРАТНЫЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ ИЗ Ьр, р > 1

Введение

§ 1.1. Свойство "почти фундаментальности" для последовательности частичных сумм двойных рядов Фурье функций из Ьр, р > 1

§1.3. О справедливости равносходимости разложений в кратный ряд и

интеграл Фурье непрерывных функций

§1.4. Равносходимость разложений в ряд и интеграл Фурье функций из

Ф (Ь), где Ф (и) = о(и и) при и —> оо

ГЛАВА II. СТРУКТУРНЫЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МНОЖЕСТВ, НА КОТОРЫХ СПРАВЕДЛИВА РАВНОСХОДИМОСТЬ

РАЗЛОЖЕНИЙ В КРАТНЫЙ РЯД И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

Введение

§2.1. Равносходимость почти всюду разложений в кратный ряд и интеграл Фурье с " «Д.-лакунарными последовательностями частичных

сумм"

§ 2.2. О необходимых условиях справедливости равносходимости почти всюду кратных рядов и интегралов Фурье с " ^-лакунарными последовательностями частичных сумм"

ГЛАВА III. КРИТЕРИЙ СПРАВЕДЛИВОСТИ РАВНОСХОДИМОСТИ РАЗЛОЖЕНИЙ В КРАТНЫЙ РЯД И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

Введение

§3.1. Вспомогательные утверждения

§ 3.2. Критерий справедливости равносходимости разложений в кратный ряд и интеграл Фурье, "прямоугольные частичные суммы" которых рассматриваются по некоторым подпоследовательностям

из Ф (Ь), где Ф(/и) = о {и и) при и —у оо

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Равносходимость разложений в кратный тригонометрический ряд и интеграл Фурье»

ВВЕДЕНИЕ

1. Рассмотрим iV-мерное евклидово пространство элементы которого будем обозначать х = (х\,..., ждг), и положим (пх) = п\Х\ + • ■ • + п^х^, = (:t\ + --- + X2n)1/2.

Введем множество К^ = {(жь ... , хдг) G M.N : Xj > a, j = 1,..., N}, a G М1, и множество hN С M.N всех векторов с целочисленными координатами. Положим Zf = П ZN.

Пусть Ф: [0, оо) [0, оо) — неубывающая функция. Через Ф(Ь)(ТМ) обозначим множество суммируемых па TN = {х G \ — 7Г < Xj < ir,j = 1,..., N} функций / таких, что

J Ф{\/(х)\)(Ь < оо,

JN

а через Ф(Ь)(МДГ) — множество суммируемых на функций д таких, что

J $(\g(x)\)dx < сю.

Если Ф(к) = ир, р > 1, то обозначим Ф(Ь) = Lp; если Ф(п) = г¿log"fг¿, где log+ и — log шах{1, и}, то Ф(Ь) = L log+ L.

Пусть 27г-периодическая (по каждому аргументу) функция / 6 Ф(Ь)(ТМ) разложена в кратный тригонометрический ряд Фурье:

f(x) ~ ^ ске^\

keZN

Для любого вектора п = (щ,. . . ,пдг) G Z^ рассмотрим прямоугольную частичную сумму этого ряда

sn(x-j)= Е ••■ Е c*e<(fcB)>

|fci|<ni \kN\<nN

частным случаем которой является кубическая частичная сумма ¿^(ж;/), когда п\ — ■ • ■ = пдг = щ-

Пусть функция д 6 разложена в кратный интеграл Фурье:

а{х) ~ I

Для любого вектора а = (а?1,..., адг) £ рассмотрим собственный интеграл Фурье

а 1 адг

9) = щя I ■ ■ ■ I 1 • • • аь- (о.2)

-с*1 -ам

Частным случаем "прямоугольной частичной суммы" (0.2) является "кубическая частичная сумма" JaQ{x] д), когда а\ = ■ • • = ам = ао-

Предположим, что д(х) = /(х) при х € Т14. Обозначим через Яа(х; /, д) следующую разность:

/, д) = Яа,п(х\ /, д) = (а:; /) - Ja{x\д), (0.3)

и символом Ла(ж; /) разность

/) = /) = /) - -Л* (я; если = 0 вне тЛГ- (°-4)

В диссертации изучается поведение разностей (0.3) и (0.4) при а —> оо (т.е. ^тт^с^- —У оо) в зависимости от гладкости функций /(ж) и д{х), а также от ограничений, накладываемых на компоненты щ,..., Пдг и а^,..., адг векторов п и а, в частности, нас будет интересовать случай, когда некоторые из компонент этих векторов являются элементами (однократных) "лакунарных последовательностей".

2. Хорошо известно, что в классах Ьр, р > 1, некоторые подпоследовательности частичных сумм рядов Фурье обладают лучшими свойствами сходимости почти всюду (п.в.) по сравнению со всей последовательностью Зп(х;/),

например, те подпоследовательности, у которых компоненты вектора п являются элементами (однократных) лакунарных последовательностей.

Определение 1. Последовательность п^ £ называется ла-

кунарной, если п^ = 1 и > q > 1, s = 1, 2,... .

В одномерном случае А. Н. Колмогоровым ещё в 1922 г. в работе [1] было установлено: для любой функции / £ 1/2(Т1) lim Sn(\)(x] f) = f(x) п.в.

А-400

на Т1, где {n^}, п^ £ Zq, Л = 1,2,..., — лакунарная последовательность. Указанный результат А. Н. Колмогорова был распространен в 1931 г. Дж. Литтлвудом и Р. Пэли [2] на классы Lv(Tl),p > 1. Позже Р. Госселином [3] и В.Тотиком [4] было установлено, что в Li(T!) этот результат неверен. Далее, в 2005 г. С. В.Конягин [5], во-первых, показал, что положительный результат справедлив для любой функции / £ L(log+ L)(T1). 1 А во-вторых, он усилил отрицательный результат В.Тотика [4], доказав, что для любой функции Ф(гб) = o(wlog+ log+ и) при и —У оо, и для любой последовательности {п^}, п^ £ Zq, п^ —> оо при V —>■ оо, существует функция / 6 Ф(1/)(Т1), для которой lim |5п(„)(я;;/)| = +оо всюду на Т1. За-

I/—»00

тем в 2012 г. в работе В. Ли [7] было доказано, что для любой функции / £ L(log+log+L)(log+log+log"1" L)(TX) и для любой лакунарной последовательности {nW}, n(A) £ Zj, А = 1, 2,..., Hm Sn(л)(ж; /) = f(x) п.в. на Т1.

Л—>оо

Первый результат для кратных рядов Фурье с "лакунарной последовательностью частичных сумм" был получен в 1971 г. П. Шёлиным в работе [8], где было доказано, что для любой лакунарной последовательности

1 Заметим, что вопрос о том, достаточно ли условие / € L{\og+ L)(T') для сходимости п.в. тригонометрического ряда Фурье функции / на Т1 (по псей последовательности), остается открытым. Наиболее общий положительный результат (для сходимости п.в. тригонометрического ряда Фурье функции / по всей последовательности) принадлежит Н.Ю.Антонову [6]: если / G L(log+ L)(log+ log+ log+ L)(T'), то тригонометрический ряд Фурье функции / сходится п.в. на Т1.

{п[М)}, п[Х^ е Zq, Ai = 1, 2,..., и для любой функции / £ LP(T2), р > 1,

lim S (Л1) (ж; /) = /(ж) п.в. на ЧГ2.

В 1977 г. М. Кожима в работе [11] обобщил результат П. Шёлина, доказав, что если функция / е Lp{TN), р > 1, N > 2, и {nJAj)}, nfj) е Zj, Xj = 1,2,..., j = 1,..., N — 1, — лакунарные последовательности, то

lim S (Al) (Ад,.о (ж; /) = /(ж) п.в. на Т^.2

Ai,Алг-ъ иле->---:nN-1 > Далее, аналогичная тенденция (т.е. улучшение свойств сходимости п.в. "лакунарной последовательности частичных сумм" по сравнению со всей последовательностью Sn(x; /)) была обнаружена при исследовании обобщенной локализации почти всюду (OJI) и слабой обобщенной локализации почти всюду (СОЛ) 3 кратных тригонометрических рядов Фурье функций из Lp(TN),p> 1,N>3.

Так, И. Л. Блошанским и О. В. Лифанцевой было показано (см., например, [12], [13] или [14]), что, в отличие от случая, когда все компоненты "номера" п прямоугольной частичной суммы Sn(ж; /) "свободны" (см., в частности, [15]), в случае, когда прямоугольные частичные суммы Sn(ж; /) кратных тригонометрических рядов Фурье имеют "номер" п, в котором некоторые компоненты являются элементами (однократных) лакунарных последовательностей, мы получаем "увеличение" множества, на котором ряд с такой "лакунарной последовательностью частичных сумм" сходится, с од-

2 В 1977 г. Д. К. Санадзе, Ш.В.Хеладзе [9] обобщили результат М.Кожимы [11] на классы L(log+ L)3N~2(TN). И в 2014 г. Н.Ю.Антонов [10] доказал, что если / € L(log+ ¿^"'(log"'" logf L)(log+ log+ log"1" log"1" L)(Tn), to последовательность Sn(x)(x;f) сходится п.в. на TN (здесь n^ = (¿¡n^ + O(l), ... + 0(1)) € , ¿1, ■ ■ ■ - положительные вещественные

числа, a n\ - произвольная лакунарная последовательность).

3 Данные понятия означают, что для кратного ряда Фурье функции /, равной нулю на множестве 21,

/¿21 > 0 (ц — TV-мерная мера Лебега), исследуется вопрос о сходимости п.в. либо на всем множестве 21 (OJI), либо на каких-либо его подмножествах 2Ц с 21, /¿2li > О (СОЛ).

новременным "уменьшением" множества, на котором необходимо равенство нулю функции / (при N = 3 результаты касаются ОЛ, при N > 3 - СОЛ).

Заметим, что ни результат М. Кожимы, ни результат И. Л. Блошанского и О. В. Лифанцевой "существенно усилены" быть не могут. В обоих случаях (с разной степенью сложности) для построения контрпримеров используется функция Ч. Феффермана из работы [16]. 4

3. Далее, перейдем к вопросам равносходимости разложений в ряд и интеграл Фурье.

Рассмотрим разности (0.3) и (0.4) при условии, что компоненты "номеров" п £ Ъо" и а £ Мд^ "частичных сумм" 5п(х;/) и За{х',д) связаны соотношениями:

пз = гДе [я^'] ~ целая часть а^ £ 3 — ■ ■ • ? N. (0-5)

При N = 1 для функции / £ 1,1 (Т1) на любом отрезке, целиком лежащем внутри интервала (—7г, 7г), разность Яа{х\ /, д) равномерно стремится к нулю при а оо (см. [17, с. 362-364]). Таким образом, в одномерном случае имеет место равномерная равносходимость разложений в тригонометрический ряд и интеграл Фурье.

Для кратного случая исследование вопроса о поведении разностей Яа(х\/,д) и Яа{х', /) при суммировании как по прямоугольникам, так и по квадратам, было проведено И. Л. Блошанским.5

Опираясь на результаты 1966 г. Л.Карлесона [21] и 1967 г. Р. Ханта [22], в 1975 г. в работе [23] И. Л. Блошанский доказал, что для N = 2 и р > 1 Ла(х;/, д) —у 0 при а —> оо п.в. на Т2. Точнее (см. [23, теорема 4]) была

1 Непрерывная функция, двойной тригонометрический ряд Фурье которой (при суммировании по

прямоугольникам) неограниченно расходится всюду внутри Т2.

5 Равносуммируемость сферических и интегральных сферических Бохнера-Рисса была исследована И. Стейном [18] (см. также обзорные статьи Б. И. Голубова [19] и Ш. А. Алимова, Р. Р. Ашурова, А. К. Пулатова [20]).

доказана следующая

Теорема А. Для любых функций д{х) и /(х) таких, что д £ ЬР(М2); / £ Ьр{ Т2), р>1 ,и д(х) = /(ж) при х £ Т2,

lim Rai a2{x\fi9) = 0 почти всюду па Т2;

П1, 02—^00 '

более того,

sup \Raua2(x;f,g)\

Qi, «2> О

< C(p)\\g\\Lpm:

Lp( TP)

где константа С{р)6 не зависит от функций fug.

Таким образом, при N = 2 и р > 1 тригонометрический ряд и интеграл Фурье в смысле сходимости п.в. на Т2 при суммировании по прямоугольникам ведут себя одинаково. В той же работе [23] была выяснена существенность вида сходимости Ra(x;f,g) и условий N = 2, р > 1. А именно, были по-

/2 £ С(Т^), N > 2, такая, что lim \Ra{x]/2)1 = +00 всюду внутри TN

а—>00

( [23, теорема 7]). В классе же L\ приведен пример функции /3 такой, что

строены непрерывные функции /1 £ С(Т ), такая, что lim |Яа(0; /i)| = +00,

а—>00

<• _ ^/гтЛТЛ AT л - I 7-, / р \ I

и

lim |Ra(x; /3)| = +оо в каждой точке х £ TN, N > 2 ( [23, теорема 6]).

а^оо

Дальнейшее исследование вопросов равносходимости пошло по двум направлениям. В первом случае возник вопрос о возможности построения контрпримеров (при р = 1, N > 2) для суммирования по квадратам. 7 Это было связано с тем, что при построении контрпримеров в работе [23] учитывался прямоугольный метод суммирования, что, в свою очередь, давало возможность "варьировать переменные" aj. Заметим, что в случае суммирования по квадратам построение контрпримеров оказалось существенно более сложным.

6 В дальнейшем через С, С(р), С(6), С(р,5) будем обозначать константы, вообще говоря, разные.

7 Из работ Н.Р. Тевзадзе [24] и П. Шёлина [8] следует, что для N > 3 и р > 1 Дао(а;;/, д) —> 0 при

с*о —)• сю п.в. на Тм.

Так, в 1976 г. в работе [25] была построена суммируемая функция / £ Li(T2), такая, что lim \Rao(x] f)\ = +оо для п.в. х £ Т2. Последняя оценка

Q0—>00

выполняется за счет "разной скорости расходимости" двойного ряда Фурье функции f(x) и двойного интеграла Фурье функции д(х), д(х) — f(x) при х £ Т2, д{х) = 0 вне Т2, по одним и тем же подпоследовательностям а'о (к:х) б!1, к = 1,2,.... Позже, в 1990 г. в работе [26] были построены две суммируемые функции / и д: / £ L^T^), д £ Li(MAr), N > 2, совпадающие на Т^ и такие, что кратный ряд Фурье функции / неограниченно расходится п.в. на TN по некоторым подпоследовательностям, в то время как кратный интеграл Фурье функции д сходится п.в. по тем же подпоследовательностям.

Далее, поскольку, начиная с трехмерного случая (как было доказано в [23]) равносходимость п.в. разложений в ряд и интеграл Фурье при суммировании по прямоугольникам отсутствует даже для непрерывных функций, то вторым направлением исследования стал вопрос о нахождении "классов равносходимости" при Лг > 3.

Так, в 1978 г. И. JI. Блошанским (см. [27]) было установлено, что для функций / £ Т3), где

HU(TN) = {fe C(TN) : /) = sup I f{x) - f(y)I = 0(u(6)) I ,

V x,ye Tn )

u)(6) = o{uj0(6)) при 6 -> +0, a u0(S) = (log i log log log I)-1, 8 Ra{x\ 0 при а —oo п.в. на T3.

Однако, уже в классе НШ2(Т3), определяемом модулем непрерывности cu2(S) = A(S) ■ cüi(S), где üJi(J) = \ а произвольная функция А(<5)

удовлетворяет (при 6 —> +0) двум условиям: А($) монотонно стремится к

8 Класс функций Я"(Т2), ы(£) = o(wo(<S)) при 5 —>• +0, впервые появился в работе К. И. Осколкова [28], где была доказана сходимость п.в. в этом классе двойных рядов Фурье (суммируемых по прямоугольникам).

+оо и А(6) • (logj) 1 стремится к +0, равносходимость п.в. не справедлива (доказательство этого факта опирается на оценки работы М. Бахбуха и Е. М. Никишина [29], см. [27] 9).

Далее, в 1996 г. в работе [30] И. JI. Блошанским, О. К. Ивановой и Т. Ю. Рословой было доказано, что для функций / Е L(log+ L)2(T2) равносходимость рассматриваемых разложений имеет место, т.е. lim Ra{x\ f) =

Ct—>oc

0 п.в. на Т2.

В этой же работе они доказали, что существует функция / 6 L(\og+ log+ L)1_e(T2), 0 < £ < 1, такая, что lim \Ra(x; f)\ = +оо для по-

сс—too

чти всех х € т2.

И в 1998 г. в работе [31] Т. Ю. Рослова, во-первых, усилила отрицательный результат И. Л. Блошанского ( [23, теорема 6]), доказав, что для любой функции Ф(и) = о(иlog+ log+ и) при и оо существует функция / Е Ф(Ь)(Т2) такая, что lim \Ra(x] f)\ = +оо всюду на Т2. А, во-вторых, она показа-

(X—>оо

ла, что для любой функции / £ L(log+L)(log+log+L)(T2) lim Ra{x\ f) =

Ct—»oo

0 п.в. на T2.

4. Полученные в рамках второго направления (т.е., нахождения "классов равносходимости" при N > 3) результаты поставили вопрос о справедливости равносходимости п.в. (рассматриваемых разложений) при дополнительных условиях на функции f(x) и д(х) (в частности, в классах Lp, р > 1, при iV > 3), и дополнительных ограничениях на вектор а.

Глава I настоящей работы посвящена исследованию вопроса о равносходимости на TN разложений в кратный тригонометрический ряд и интеграл Фурье функций / G Lp(TN) и д е Lp{RN), р > 1, iV > 2, д{х) = f{x) на TN, в случае, когда "частичные суммы" указанных разложений, т.е. Sn(x; /)

9 В работе [29] построена функция из класса нш1(Т2), прямоугольные частичные суммы дпойного ряда Фурье которой расходятся в каждой точке квадрата [—7г + е, п — е]2, е > 0.

и Ja(pc\g) соответственно, имеют "номера" п £ Z^ и а € К^, в которых некоторые компоненты являются элементами "лакунариых последовательностей".

В §1.1 главы I мы рассматриваем поведение разностей Ra{x',f,9) — Sn(x; f) — Ja(x\ д) (0.3), (0.4) при N > 2, когда компоненты rij вектора п £ Z^ и компоненты ctj вектора а £ М^ связаны более широким соотношением, чем (0.5), а именно:

j = l,...,N, (0.6)

где q — некоторая константа, не зависящая от п и а.

Также в данном параграфе мы исследуем вопрос об эквивалентном поведении разностей Ra(x; /, д) = 5„(а;; /) - Ja(x; g) и

/) = 5п+т(ж; /) - Sn(x; /), n, га £ Zq . (0.7)

На первый взгляд, обе эти разности должны "вести себя в предельном случае" (т.е. в случае, когда а->ооип-Уоо, а параметр т ограничен) одинаково (т.к. имеют одно и то же количество "особенностей"), но это оказалось не так.

Справедлива следующая теорема.

Теорема LI. Для любого а = (а\, СХ2), ос £ Kjj, удовлетворяющего условию (0.6), и для любых функций д(х) и f{x) таких, что д £ ЬР(Ж2), f £ Lp{Т2), р>1,и д{х) = f(x) при х £ Т2,

lim Rai^a2(x; /, д) = 0 почти всюду на Т2;

а 1, Q2->оо

более того,

sup \Rai,a.2(x-: f,g)\

ai, a>2> 0

< C(p)\\g\\Lp{Wb

где константа C(p) не зависит от функций fug.

Результат теоремы показывает, что в двумерном случае в классах Ьр, р > 1, равносходимость п.в. разложений в тригонометрический ряд и интеграл Фурье имеет место при условии, что компоненты п^ и а^ векторов п и а связаны соотношением (0.6).

Эквивалентным теореме 1.1 является следующий результат.

Теорема 1.1'. Для любой ограниченной последовательности {т(п)}, т{п) Е п Е Хд, и для любой функции / Е Ьр{Т2), р > 1,

lim RSn+m(n)(x; /) = 0 почти всюду на Т2.10

Результат, сформулированный в виде теоремы 1.1', означает, что для последовательности частичных сумм двойных рядов Фурье функций из Ьр, р > 1, имеет место свойство "почти фундаментальности" .

Замечание 1. Под эквивалентностью теорем 1.1 и 1.1' мы подразумеваем, что из справедливости теоремы 1.1 следует справедливость теоремы 1.1', а из результата теоремы 1.1' (плюс результат теоремы А) следует результат теоремы 1.1.

Естественно, встает вопрос о поведении разностей Я8п+т(х] /) и Яа(х; /) при N > 3. Как оказалось, начиная с трехмерного случая, указанные разности не эквивалентны. Точнее, справедливы следующие результаты. Для разности Я8п+т(х\ /) имеет место

Теорема 1.П. Для любой ограниченной последовательности {т(п)}, т(п) Е п = (п1,П2) Е X2, для любых лакунарных последовательностей {п^}, п^ Е Жд, Л^ = 1,2,--., = 3,..., ЛГ, и для любой функции / Е Ьр(Тм), р > 1, N > 3, почти всюду на Тм

10 Заметим, что эта оценка справедлива и для расходящихся п.в. двойных рядов Фурье.

В свою очередь, для разности Яа(х]/) справедлив следующий результат, который уточняет отрицательный результат И. Л. Блошанского ( [23, теорема

Теорема I.III. Существует функция f 6 C(TN), N > 3; такая, что

Результат теоремы I.III, с точки зрения вопросов равносходимости разложений в кратный ряд и интеграл Фурье (которые мы исследуем в настоящей работе), показывает, что как только мы оставляем две компоненты вектора п (а значит и вектора а) "свободными" (т.е., в частности, не являющимися элементами никаких лакунарных последовательностей), то класс C(T7V), N > 3, уже не есть "класс равносходимости п.в." указанных разложений.

В § 1.2 главы I нами исследуется вопрос о справедливости равносходимости рассматриваемых разложений в случае, когда не более одной компоненты в векторе а остается "свободной".

Для формулировки результатов введем следующие понятия и обозначения.

Пусть {nM}, п^ £ Zq, к = 1,2,..., - произвольная лакунарная последовательность, и пусть g - некоторая постоянная.

Определение 2. Последовательность {о;^}, £ Mg, к = 1,

2,... ; будем называть вещественной лакунарной последовательностью, если [а^] = к = 1, 2,... (здесь [£] — целая часть £ £ R1), и обобщенной вещественной лакунарной последовательностью, если

7])-

для любых N — 2 возрастающих последовательностей {а€ Шц, а^ —>■ оо при Uj —у сю, j = 3,..., N,

а

(к) -п(к) \<ß, к = 1,2,....

(0.8)

Пусть М — множество чисел {1, ...,7V} и к G М. Обозначим через Jk = {ju—,jk}, ja < j\ пРи s < l, и (в случае к < N) М \ Jk = {mi,..., rriN-k}, ms < mi при s < l, — непустые подмножества множества M. Пусть и = v{Jk) = {v3l,..., Vjk) G Zg, j3 G Jk, s = 1,..., к. Символом Ч^к] = (ni,... ,пдг) G обозначим АГ-мерный вектор, у которого компоненты rij с номерами j = js, s = 1,..., к, являются элементами некоторых (однократных бесконечно больших) последовательностей натуральных чисел (при j G Jk ■ п3 = п^ и п^ —> ос при и3 оо). В частности, символом n<A) = n^[Jk] G Zf (где Л - А(Л) - (A7l,...,AJ € Zg, je G Jb 5 = 1,..., к) будем обозначать А"-мерный вектор, у которого компоненты rij, j G Jk-, являются элементами некоторых (однократных) лакунарных последовательностей, а символом аМ = a^[Jk] = (ai,..., cvjv) G обозначим А"-мерный вектор, у которого компоненты а3, j G Jk, являются элементами некоторых (однократных) обобщенных вещественных лакунарных последовательностей. При этом последовательности частичных сумм Snw[jk](x] f) и </а(А)[^](ж; д) будем называть соответственно 11 ^-лакунарными последовательностями прямоугольных частичных сумм" ряда Фурье и интеграла Фурье.

Справедлив следующий результат

Теорема I.IV. Для любого Jjv-i С М, N > 3, и для любых функций д{х) и f(x) таких, что д G LP(HHN), f G Lp(TN), p > 1, g{x) = f(x) при x G TN, если числа а3 G Mq u nj ^ j € M \ Jn~\, удовлетворяют условию (0.6), то

lim -RaPOijjv.iOc; f-, g) — 0 почти всюду на T^;

Uj—wo,

более того,

sup I [./„_!] (>;/,#) I

Oj>0 ,j£M\Jn_1

< C(p)\\g\\Lp(RN),

LP(TN)

где константа C(p) не зависит от функций fug.

Следствие (теоремы I.IV). Для любого Jn-i С М, N > 3, и для любой функции g Е Lp(M.N), р > 1,

n

lim Jaw\jN_A{x'i g) — g{x) для почти всех х Е Т

Qj-юо, jeM\Jpf_i

Результат теоремы 1.1У (для N > 3) оказался в каком-то смысле эквивалентен результату теоремы 1.1 (для N = 2), т.е. лакунарность N — 1 компоненты в УУ-мерном векторе а разности Яа(ж; /, д) (теорема 1.1У) "заменяет" одну свободную компоненту в двумерном векторе (а^аг) разности Яаьа2(ж; /, д) (теорема 1.1). В таком случае по-прежнему стоит вопрос о справедливости равносходимости п.в. (рассматриваемых разложений) при N > 3 либо в более "узких классах" , чем С(ТЛГ), либо в классах Ьр, р > 1, при дополнительных условиях на функции /(ж) и д(х), но уже в случае, когда две или более компонент вектора а являются одномерными лакунарными последовательностями.

В § 1.3 главы I нами получено некоторое продвижение в первом направлении данного вопроса. Обозначим

#"*(Т3) = (/ Е С(Т3) :

u*{6,f)= sup \f(xi,x2,x3) - f{xi,y2,ys)\ = 0(uj{6)) L

(x2-y2)2 + (x3-V.i)2<S2, J

здесь w(6) = о(и0(б)) при 6^+0 (очевидно, что Я"(Т3) С ЯШ*(Т3)).

Теорема I.V. Для J\ = {1} и для любой функции / G Я^*(Т3) при условии, что ctj G Mg и nj ^ 3 ^ M\J\, удовлетворяют (0.6),

lim R {x)\j ](x-, f) = 0 почти всюду па Т3;

х^-^оо, jeJ\, 1 1J

aj—юо, j'GM\Ji

более того, существует число р = p(f) G IR}6 такое, что

<C(p)[u*(lJ) + ||/IUP(I°)], Р>1,

ЫТ3)

где константа С(р) не зависит от функции f(x).

И, наконец, в § 1.4 главы I нами доказана теорема (которая обобщает отрицательный результат Т. Ю. Рословой 131]), о том, что в двумерном случае равносходимость п.в. (рассматриваемых разложений) будет отсутствовать в классе Ф(L), где Ф: [0, оо) —> [0, оо) — любая неубывающая функция, удовлетворяющая условию Ф(и) = o(wlog+ log+ и), и —» оо.

Теорема I.VI. Для любой функции Ф(и) = o(wlog+ log+u) при и —> оо, и для любых возрастающих последовательностей {а^}, а^ G Mq, а^ —>• оо при Vj —> оо, j — 1, 2, существует функция f G Ф(£)(Т2) такая, что

lim |R (v2){x'i /)| = +00 всюду внутри Т2.11

uliV2—>00 ' а2

В главе II нами получено некоторое продвижение во втором направлении исследования равносходимости разложений в кратный ряд и интеграл Фурье - поиске дополнительных условий на функции f(x) и д(х) из классов Ьр, р > 1, для справедливости равносходимости исследуемых разложений. И в качестве таких достаточных условий мы рассматриваем равенство нулю функции f(x) на множествах определенного вида.

В §2.1 главы II мы описываем класс "самых простых" множеств, на которых справедлива равносходимость п.в. (рассматриваемых разложений) в

11 В частности, каждая последовательность {af1^} может быть лакунарной последовательностью.

sup IЯа(х)Ш(х; f)\

классах Ьр1р > > 3, в случае, когда "частичные суммы" указанных

разложений, т.е. ¿"„(ж;/) и За(х;д), имеют "номера" п Е и а £ Ш^, в которых некоторые компоненты являются элементами "лакунарных последовательностей ".

Введем следующие обозначения.

Разложим пространство на сумму двух подпространств Щ-Д] и Ш[М \ Зк], где ЩЗк] = {х = (х1,..., ждг) Е М^ \ х^ = ® при э Е М \ Зк}. Обозначим также = {х Е ЩЗк] : — 7Г < х^ < 7Г при у Е Зк}. Очевидно, что

Щ^] = М^, а Т[7лг] = Т^.

Пусть £7, Г2 с Т^, N > 2, — произвольное (непустое) открытое множество, и пусть ГЦЛУ = ргщ{0,} -- ортогональная проекция множества О на плоскость Ж [./г], 32 С М. Положим

= ад х Т[М \ 32 С М.12 (0.9)

Множества будем называть "ЛГ-мерными брусками". Далее, для любо-

го Зк, 0 < к < N — 2, рассмотрим следующие множества: множество

\¥ = \У(Зк) = \У(П,Зк)= У \¥[32] (0.10)

^с м\л

и множество

= \У\Зк) = 1К°{П,Зк) = р| \¥[32). (0.11)

•/2с м\л

В §2.1 доказана следующая теорема.

12 При этом любой вектор г = (г1,..., € Ах В , где А С Щ./ь], а. В С К[М \ мы отождествляем с вектором х = {х\,..., хм) € К^ по формуле

при в е Л, при в 6 М \ Л-

Теорема 11.1. Для любого с М, 1 < к < N — 2, N > 3, и для любой функции / б ЬР(ТЫ), р> 1, /(ж) = 0 на IV,

^ Нт^ Ла(\)щ(х', /) = 0 для почти всех х Е ]¥°.

ау —Уоо,

Результат теоремы показывает, что для кратных рядов и интегралов Фурье с "«/¿-лакунарными последовательностями частичных сумм" равносходимость п.в. (рассматриваемых разложений) в классах Ьр, р > 1, при N > 3 будет справедлива па множестве Ж0 = И/0(7/с) вида (0.11) при условии равенства нулю функции /(ж) на множестве \У = вида (0.10).

Естественно, встает вопрос о том, можно ли в теореме ИЛ добиться равносходимости п.в. (рассматриваемых разложений) на всем множестве И^Т/с).

Если при N >3 величина к — N — 2, то справедливо следующее

Следствие (теоремы 11.1). При N > 3 для любого </дг-2 С М и для любой функции / Е Ьр(Т^), р > 1, /(ж) = 0 на V/,

Ит Я„<а)г7д, п](х\ Л = 0 для почти всех х Е IV.

Если же при N > 4 величина к меньше N — 2, то усилить теорему II.I, установив равносходимость на всем нельзя, что показывает следую-

щий результат.

Теорема II.II. Пусть N > 4 и ^ С М, 1 < к < N — 3, тогда существуют множество IV = УУ^к) вида (0.10) и функция / Е Ь^^) такие, что /(ж) = 0 на ]У и для любых к вещественных последовательностей {а^}, 3 Е Зк, о^^ ~* со при V] —> оо, справедлива оценка

Нт |Ла(„)^](ж; /)| = +оо почти всюду на Т^ \ \У°.

В § 2.2 главы II нами доказан результат, который показывает, что теорема II.I не может быть усилена в плане отказа от равенства нулю функции д(ж) вне Т*.

Теорема II.III. Существует функция д(х), д £ С(М3), д(х) = 0 при х £ Т3, такая, что для любой последовательности {а^}, £ Mg, при Ъ>3 —У оо,

lim \R (^3)[х] 0,(7)| = +оо всюду внутри Т3.

С*Ъ ОС2, ЮО

В качестве следствия теоремы II.III имеем:

Следствие (теоремы II.III). Для любого N > 3 существуют функции д{х) и f(x), д £ C{RN), / е C(TN), д{х) = f(x) при х £ такие, что для любых N — 2 последовательностей {ар"1}, ос?^ £ Rq; ар^ —> оо при uj -> 00, j = 3,..., N,

lim Sn(x] /) = f(x) в каждой точке TN

n—ïoo

a

2. lim IJ („3) (vN)(x; g)\ = +00 всюду внутри TN.

«1, 02, f3, ..., г/yv—>00

Замечание 2. Несложно видеть, что результат теоремы I.III непосредственно следует из данного следствия.

В главе III диссертации в терминах свойства В^ нами доказан критерий справедливости равносходимости п.в. разложений в кратный ряд и интеграл Фурье с " Jfc-лакунарными последовательностями частичных сумм" в классах Lp, р > 1, на произвольных подмножествах TN положительной меры (удовлетворяющих некоторым ограничениям на границу множества).

Также в данной главе доказана теорема, которая показывает, что найденная геометрия множеств, на которых справедлива равносходимость п.в. разложений в кратный ряд и интеграл Фурье с " Л^-лакунарными последовательностями частичных сумм" в классах Lp, р > 1, перестаёт "работать" в

классе Ф(L), где Ф: [0, оо) —> [0, со)— любая неубывающая функция, удовлетворяющая условию Ф(и) = o(wlog+log+ и), и —> оо.

В работе [32] И. JT. Блошанским и О. В. Лифанцевой было введено следующее понятие.

Определение 3. Пусть 21 с TN, Jk С М, 1 < к < N - 2, N > 3.

1. Будем говорить, что множество 2t обладает свойством В^, если найдется множество W = W(Jk) вида (0.10) такое, что ¡i{yV \ 2t) = 0; причем свойство В^ есть свойство В^^Ж0), если W = W(W°, Jk)•

2. Свойство B^Jfe)(W0) множества 2t будем называть максимальным свойством В^ множества 2t, если для любого множества W0 = W°(Jk) вида (0.11) такого, что \ W°) > 0; множество 2t не обладает свойством M{2Jk)(W°).

Далее, пусть измеримое множество 2t С Т^, 0 < //21 < (2^)^, N > 3, удовлетворяет следующим условиям на границу:

/¿(93 \ ¿пЁВ) = 0; (0.12)

fi2Frpr{j2){inm} — 0, J2 С М \ Jk) (0.13)

здесь — ТГ^ \ 2t, Jk С М, 1 < k < N — 2, ¡i2 — мера на плоскости (intP — множество внутренних точек, Р — замыкание и FrP — граница множества

Р)-

Теорема III.I. Пусть 2t — произвольное измеримое мноэюество, 21 С TN, N > 3, 0 < /¿2t < (2*-)^, и пусть Jk С М, 1 < к < N - 2.

1. Если существует множество W° = W°(Jk) вида (0.11) такое, что множество 2t обладает свойством B^^W0), то для любой функции f Е Lp{TN), р>1, f{x) = 0 на 2t;

lim Яа(\)щ(х] f) = 0 почти всюду на W0.

cij —toc,jQM\Jf.

Пусть дополнительно множество 2t удовлетворяет условиям (0.12), (0.13), тогда

2. Если свойство B^^W0) множества 21 является максимальным свойством В^, то существует функция fi Е L00(TJV) такая, что fi(x) — 0 на 21 и для любых к последовательностей вещественных чисел {а^}, j Е J&,

00 пРи из ~~справедлива оценка

lim \Ra(„)n ](x-, MI = +oo почти всюду на TN \ W°.

Uj—, ^ '

Qj ->oo,jEM\J^,

3. В частности, если множество 2t вообще не обладает свойством В^, то существует функция /2 Е L00(TN) такая, что /2(00) = 0 на 2t и для любых к последовательностей вещественных чисел {а^}, j Е Jk, се^ —>• оо при Vj —> 00, справедлива оценка

lim \Ra{u)\j ](х; /2)1 = +оо почти всюду на TN.

Vj—tooJEJk,

Результат теоремы III.I показывает, что для любого /с, 1 < к < N — 2, справедливость или несправедливость равносходимости п.в. разложений в кратный ряд и интеграл Фурье (в случае "лакунарной последовательности частичных сумм") в классах Lp, р > 1, на множестве 2t С Тлг определяется структурой и геометрией множества 21, которые, в свою очередь, описываются свойством В^, где величина к -- это число "лакупарных компонент" вектора а = (ai,..., a/v) Е ("номера" Ra{x\ /)).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Графов, Денис Александрович, 2015 год

ЛИТЕРАТУРА

[1] Kolmogoroff А. N. Une contribution à l'étude de la convergence des séries de Fourier // Fund. Math. 1924. V. 5. P. 96-97.

[2] Littlewood J., Paley R. Theorems on Fourier series and power series // J. Lond. Math. Soc. 1931. V. 6. P. 230-233.

[3] Gosselin R. P. On the divergence of Fourier series // Proc. Amer. Math. Soc. 1958. V. 9. P. 278-282.

[4] Totik V. On the divergence of Fourier series // Publ. math., Debrecen. 1982. V. 29. №3-4. P. 251-264.

[5] Конягин С. В. О расходимости всюду подпоследовательностей частных сумм тригонометрических рядов Фурье // Теория функций. Сборник научных трудов. Тр. ИММ УрО РАН. 2005. Т. И. № 2. С. 112-119.

[6] Antonov N. Yu. Convergence of Fourier series // East J. Approx. 1996. T. 2. № 2. C. 187-196.

[7] Lie V. On the pointwise convergence of the sequence of partial Fourier Sums along lacunary subsequences // J. Funct. Anal. 2012. V.263. P. 3391-3411.

[8] Sjolin P. Convergence almost everywhere of certain singular integrals and multiple Fourier series // Arkiv Matem. 1971. V. 9. № 1. P. 65-90.

[9] Санадзе Д. К., Хеладзе Ш.В. О сходимости и расходимости кратных рядов Фурье-Уолша // Тр. Тбилисск. мат. ин-та АН Груз. ССР. 1977. Т. 55. С. 93-106.

[10] Антонов Н. Ю. О сходимости почти всюду лакунарных последовательностей кратных прямоугольных сумм Фурье // XXII Международная

конференция "Математика. Экономика. Образование". VIII международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения". Тезисы докладов. Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ ЮФУ. 2014. С. 7.

[11] KojimaM. On the almost everywhere convergence of rectangular partial sums of multiple Fourier series // Sci. Repts. Kanazava Univ. 1977. V. 22. №2. P. 163-177.

[12] Блошанский И. Jl., Лифанцева О. В. Слабая обобщенная локализация для кратных рядов Фурье, прямоугольные частичные суммы которых рассматриваются по некоторой подпоследовательности // Матем. заметки. 2008. Т. 84. № 3. С. 334-347.

[13] Bloshanskii I.L., Lifantseva О. V. Structural and Geometric Characteristics of Sets of Convergence and Divergence of Multiple Fourier Series with -lacunary Sequence of Rectangular Partial Sums // Analysis Math. 2013. V. 39. №2. P. 93-121.

[14] Блошанская С. К., Блошанский И. Л., Лифанцева О. В. Тригонометрические ряды Фурье и ряды Фурье-Уолша с лакунарной последовательностью частичных сумм // Матем. заметки. 2013. Т. 93. № 2. С. 305-309.

[15] Блошанский И. Л. О геометрии измеримых множеств в N-мерном пространстве, на которых справедлива обобщенная локализация для кратных тригонометрических рядов Фурье функций из Lp, р > 1 // Матем. сборник. 1983. Т. 121. № 1. С. 87-110.

[16] Fefferman С. On the divergence of multiple Fourier series // Bull. Amer. Math. Soc. 1971. V. 77. № 2. P. 191-195.

[17] Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 2. M.: Мир, 1965.

[18] Stein E. On certain exponential sums arising in multiple Fourier series // Ann. Math. 1961. T. 73. № 1. C. 87-109.

[19] Голубов Б. И. Кратные ряды и интегралы Фурье // В сб. Итоги науки и техники. Серия Матем. анализ. М.: ВИНИТИ, 1982. Т. 19. С. 3-54.

[20] Алимов Ш.А., Ашуров P.P., Пулатов А.К. Кратные ряды и интегралы Фурье // В сб. Итоги науки и техники. Соврем, пробл. матем. М.: ВИНИТИ, 1989. Т. 42. С. 7-104.

[21] Carleson L. On convergence and growth of partial sums of Fourier series // Acta Math. 1966. V. 116. P. 135-157.

[22| Hunt R. On the convergence of Fourier series // Proc. Conf. Edwardsville 111. 1967, Southern Illinouis Univ. Press. Carbondale 111. 1968. P. 235-255.

[23] Блошанский И. JI. О равносходимости разложений в кратный тригонометрический ряд Фурье и интеграл Фурье // Матем. заметки. 1975. Т. 18. № 2. С. 153-168.

[24] Тевзадзе Н. Р. О сходимости двойного ряда Фурье функции, суммируемой с квадратом // Сообщ. АН Груз. ССР. 1970. Т. 58. № 2. С. 277-279.

[25] Блошанский И. Л. Равносходимость разложений в кратный ряд и интеграл Фурье при суммировании по квадратам // Изв. АН СССР. Серия матем. 1976. Т. 40. № 3. С. 685-705.

[26] Блошанский И. Л. Кратный интеграл и кратный ряд Фурье при суммировании по квадратам // Сиб. матем. журн. 1990. Т. 31. № 1. С. 39-52.

[27] Блошанский И. Л. О сходимости и локализации кратных рядов и интегралов Фурье. Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1978.

[28] Осколков К. И. Оценка скорости приближения непрерывной функции и ее сопряженной суммами Фурье на множестве полной меры // Изв. АН СССР. Серия матем. 1974. Т. 38. № 6. С. 1373-1407.

[29] Бахбух М., Никишин Е. М. О сходимости двойных рядов Фурье от непрерывных функций // Сиб. матем. журн. 1973. Т. 14. № 6. С. 11891199.

[30] Блошанский И.Л., Иванова O.K., Рослова Т.Ю. Обобщенная локализация и равносходимость разложений в двойной тригонометрический ряд Фурье и интеграл Фурье функций из L(log+ L)2 // Матем. заметки. 1996. Т. 60. №3. С. 437-441.

[31] Рослова Т. Ю. Обобгценная локализация и равносходимость в двойной ряд и интеграл Фурье. Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. М.: МПУ, 1998.

[32] Блошанский И. Л., Лифанцева О. В. Критерий слабой обобщенной локализации для кратных рядов Фурье, прямоугольные частичные суммы которых рассматриваются по некоторой подпоследовательности Ц Докл. РАН. 2008. Т. 423. № 4. С. 439-442.

[33] Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973.

[34] Блошанский И. Л., Мацеевич Т. А. Слабая обобщенная локализация для кратных рядов Фурье непрерывных функций с некоторым модулем непрерывности // Метрическая теория функций и смежные вопросы анализа. Сб. статей. М.: АФЦ, 1999. С. 37-56.

[35] Whitney H. Analytic extensions of differentiable functions defined in closed sets // Trans. Amer. Math. Soc. 1934. V. 36. P. 63-89.

[36] Блошанский И. Л. Два критерия слабой обобщенной локализации для кратных тригонометрических рядов Фурье функций из Ьр, р > 1 // Изв. АН СССР. Серия матем. 1985. Т. 49. № 2. С. 243-282.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ

[1] Графов Д.А., Блошанский ИЛ. Вопросы равносходимости разложений в тройной ряд и интеграл Фурье // XX Международная конференция "Математика. Экономика. Образование". VII международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения". Тезисы докладов. Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ ЮФУ. 2012. С. 9-10.

[2] Графов Д.А., Блошанский И.Л. "Почти" фундаментальность для последовательности частичных сумм кратных рядов Фурье функций из Lp, р > 1 // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции Воронежской зимней математической школы. Воронеж: Изд.-полиграф. центр ВГУ. 2013. С. 28-30.

[3] Графов Д.А. Равносходимость разлоэюений в кратный ряд и интеграл Фурье с "лакунарной последовательностью частичных сумм" // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции Воронежской зимней математической школы. Воронеж: Изд.-полиграф. центр ВГУ. 2013. С. 64-65.

[4] Графов Д.А., Блошанский И.Л. О равносходимости разложений в тройной тригонометрический ряд и интеграл Фурье // Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования. Тезисы докладов четвертой Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН Л.Д.Кудрявцева. - Москва: Изд-во РУДН, 2013. С. 78-79.

[5] Графов Д.А., Блошанский И.Л. Равносходимость разложений в крат-

ный тригонометрический ряд и интеграл Фурье в случае "лакупарной последовательности частичных сумм" // Докл. РАН. 2013. Т. 450. № 3. С. 260-263.

[6] Grafov D.A., Bloshanskii I.L. "Almost" Cauchy property for the sequence of partial sums of Fourier series of functions in Lp,p > 1 // Kangro-100, Methods of Analysis and Algebra International Conference dedicated to the Centennial of Professor Gunnar Kangro. Tartu, Estonia: Estonian Mathematical Society. 2013. P. 63-64.

[7] Графов Д.А., Блошанский И.Jl. Критерий равносходимости разложений в кратный ряд и интеграл Фурье с "Jлаку парной последовательностью частичных сумм" // Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы 17-ой международной Саратовской зимней школы, посвященной 150-летию В.А. Стеклова. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2014. С. 40-42.

[8] Графов Д.А. О сходимости и локализации кратных интегралов Фурье с "Jfc- лакупарной последовательностью частичных сумм" // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XXV". Воронеж: Издательско-полиграфический центр "Научная книга". 2014. С. 48-49.

[9] Графов Д.А., Блошанский И.Л. Критерий слабой обобт^нной локализации для кратных интегралов Фурье с " Jлаку парной последовательностью частичных сумм" // XXII Международная конференция "Математика. Экономика. Образование". VIII международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения". Тезисы докладов. Ростов-па-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ ЮФУ. 2014. С. 10-11.

[10] Grafov D.A., Bloshanskíí I.L. Equiconvergence of expansions in multiple trigonometric Fourier series and Fourier integral with "Jk-lacunary sequences of rectangular partial sums" // Acta et Commentationes Universitatis Tartuensis de Mathematica. June 2014. V. 18. № 1. P. 69-80.

[11] Графов Д.А., Блошанский И.JI. Равносходимость разложений в кратный ряд и интеграл Фурье, "прямоугольные частичные суммы" которых рассматриваются по некоторой подпоследовательности // Analysis Math. 2014. Т. 40. № 3. С. 175-196.

[12] Графов Д.А. О равносходимости разложений в тройной тригонометрический ряд и интеграл Фурье непрерывных функций с некоторым модулем непрерывности // Вести. Моск. Ун-та, Сер.1 Мат., Мех. 2015. №1. С. 25-33.