Сопряженные тригонометрические ряды функций обобщенной ограниченной вариации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Редкозубова, Елена Юрьевна

• Редкозубова, Елена Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Редкозубова, Елена Юрьевна

Введение.

1 Сопряженный ряд Фурье и функции ограниченной Л-вариации одной переменной

1.1 Сходимость сопряженного ряда Фурье функций ограниченной гармонической вариации.

1.2 Случай функций ограниченной Л-вариации.

2 Двойные сопряженные ряды и функции ограниченной гармонической вариации двух переменных.

2.1 Вспомогательные результаты.

2.2 Сходимость двойного тригонометрического ряда, сопряженного по совокупности переменных к ряду Фурье.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сопряженные тригонометрические ряды функций обобщенной ограниченной вариации»

Работа состоит из введения, двух глав, списка основных обозначений и списка литературы из 36 наименований.

В данной работе формулы, леммы и теоремы будут иметь номера из двух чисел, первое из которых — номер главы, а второе — номер формулы (леммы, теоремы) в этой главе. Определения нумеруются сквозным образом. Результаты других авторов нумеруются сквозным образом латинскими буквами.

Основные определения

Данная работа посвящена исследованию сходимости и расходимости тригонометрических рядов, сопряженных к рядам Фурье функций одного и двух переменных классов ограниченной Л-вариации.

В первой главе рассматриваются 27г-периодические функции одного действительного переменного, а во второй 27г-периодические по каждому аргументу функции двух переменных, определенные соответственно либо на Т = [-7Г, 7г], либо на Т2 = [-7Г, тг]2.

Через Dn{x) будем обозначать одномерное ядро Дирихле: ад = (1) "-1" 2

А через Dn(x) — сопряженное ядро Дирихле: cos | — cos(n +

Далее везде: ад = —^-т^г——. (2)

2sin§

Gn(t) = g(t) cos nt — ^ sinnt , (4)

Hn(t) = g(t) sin nt + - cos nt , (5)

Li

Отметим, что g(t) непрерывна на T = [—7г, тг].

Элементы К2 иногда будут обозначаться как векторы, например, х = (хьх2).

Через С и С(-) обозначаются, соответственно, положительные постоянные и положительные величины, зависящие лишь от перечисленных в скобках аргументов, разные, вообще говоря, в различных случаях.

При оценке различных интегралов для краткости будут вводиться обозначения вида J, Jk, Jk,l и т. п. Такие обозначения вводятся заново в каждом доказательстве, если не оговорено противное.

Определение 1. Сопряженным рядом к тригонометрическому ряду оо

S = — + ^Г^ ап cos пх + bn sin пх

2 п=1 называется ряд оо

S = ^^ ~bn cos пх + ап sin пх. п=1

Ряды S и S являются, соответственно, действительной и мнимой частью оо степенного ряда Cnzn, со = if > Cn = ап — ibn, п — 1,2,3,., z — гегх при п=0 г = 1.

Пусть f(x) —2тт периодическая интегрируемая по Лебегу функция. Ряд Фурье функции f{x) будем обозначать S[f], а сопряженный к нему ряд — m

Исследования сходимости и суммируемости ряда 5[/] привели к понятию сопряженной функции.

Определение 2. Сопряженной функцией к функции f(x) называется

ВВЕДЕНИЕ интеграл

1 Jf(x + t)-f(x-t)dt =

2tgf lim —

1 / + - f ('-«>*= lim/М. (6)

7Г J 2tg I j-h-(T v ' ; w

5 2

Пусть теперь /(а;, у) — 27г-периодическая по каждому аргументу интегрируемая по Лебегу на Т2 функция.

Определение 3. Двойной тригонометрический ряд оо

S= ^ \mn (dmn cos mx cos пу + Ътп sin mx cos пу + Сщп cos mx sin ш/+ т,п=О dmn sin mx sin пу) называется двойным тригонометрическим рядом Фурье 5(/; х, у) функции f(x, у), если коэффициенты ряда определяются по формулам ж ж атп = ^2 J J cosmx cos пу dxdy, 7Г —Ж 7Г 7Г bmn = i J J f(x, y) sin mx cos ny dxdy,

7)

Cmn = ~2 J J f(xi У) cos mx sin n2/

7Г —7Г 7Г 7Г

4n ~ ~2 У J f(x> у) sin ma; sin ш/ dxdy,

-7Г —7Г И тп — *

1/4, т = п = 0;

1/2, т = 0, п > 0 или п = 0, т > 0; 1, т > 0, п > 0.

Тогда ряды

00

5Х(/; х, у) = ^^ Amn(—bmn cos mx cos ny 4- amn sin mx cos ny— m,n=0 dmn cos mx sin ny + cmn sin mx sin m/),

00

S2(/; ?/) = ^mn(-Cmn cos mx cos ny - dmn sin mx cos ny+ m,n=0 amn cos mx sin ny + bmn sin mx sin ny),

00

53(/; ж, y) = ^ (dmn cos mx cos ny — Сщп sin mi cos ny— m,n=0 bmn cos mx sin ny + amn sin mrr sin ny) называются сопряженными к ряду Фурье, соответственно, по переменной х, по переменной у и по совокупности переменных х и у.

Для кратных рядов рассматривают много различных типов сходимостей. Мы будем рассматривать ограниченную сходимость прямоугольных частных сумм и их сходимость по Прингсхейму. Подробнее о различных типах сходимости кратного ряда см. [19], гл. 1, §6, и [1] введение, п.З.

Определение 4. Прямоугольной частичной суммой ряда Фурье называется

М N

Sm,n(I; = ^rnn(amn cos mx cos ny + bmn sin mx cos ny+

771=0 П=0

Cmn cos mx sin ny + dmn sin mx sin ny).

Аналогично определяются прямоугольные частные суммы сопряженных рядов Sl(f;x,y), S2(/;^),S3(/;z,у).

Определение 5. Будем говорить, что двойной ряд Фурье S(f](x,y)) функции f(x, у) сходится в точке (х, у) в смысле ограниченной сходимости (или ограниченно сходится), если существует lim Sm n(f; (х, у)) т,п-ь оо

77 777 по всем номерам т, п таким, что отношения ^ и ^ ограничены.

Сходимость при условии т = п называется сходимостью по квадратам, а сходимость без ограничений на отношения компонент — сходимостью по прямоугольникам (по Прингсхейму).

Для сопряженных рядов Фурье рассматривают аналогичные типы сходимости.

Нам еще понадобится определение модулей непрерывности функции. Определение 6. Модулем непрерывности функции / Е С(Т2) называется функция от <5 > 0, определяемая формулой u(f, £) = sup sup | f(x + Я) - /(£)|. xei2 ЯеК2:||Я||<£

Если в этом определении ограничиться теми h, у которых лишь к-я компонента отлична от нуля, то мы получим определение частного модуля непрерывности J).

Обзор предшествующих результатов

Систематическое изучение свойств сопряженных тригонометрических рядов начинается с опубликованной в 1911 году работы У. Юнга [29], в которой была установлена связь ряда S[f], сопряженного к ряду Фурье, с выражением

1 ff(x + t)-f(x-t)

W 2tg| о которое впоследствии и стали называть (см. определение 2) сопряженной функцией f(x) к данной функции f{x).

В работе У. Юнга доказана следующая теорема.

Теорема А. Пусть f — ^-периодическая функция ограниченной вариации с рядом Фурье 5[/]. Для сходимости сопряженного ряда S[f] в точке х необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала функция f{x), то есть существовал интеграл как предел:

Umi jnx+t)-f(x-t)

5->+0 7Г J 2 tg | 8 который и представляет тогда сумму ряда 5[/].

В 1913 г. Н.Н. Лузин показал, что сопряженная функция существует почти всюду для функций с суммируемым квадратом [13], [14]. В 1918 г. И.И. Привалов [15] показал, что сопряженная функция существует почти всюду для любой 27Г-периодической интегрируемой функции. При этом им отмечалось, что имеет место суммируемость сопряженного ряда S[f] методом средних арифметических или методом Абеля-Пуассона к f(x) почти всюду.

Теорема Юнга обобщалась различными авторами на классы обобщенной ограниченной вариации функций одного и многих переменных. Б.И. Голу-бов [5] получил обобщение этой теоремы на классы функций ограниченной Ф-вариации в одномерном и двумерном случаях.

Теорема В. Пусть Ф(и) и 4f(u) дополнительные в смысле У. Юнга функции, f(x) — 2п-периодическая функция ограниченной Ф-вариации и выполняется условие оо ^

8)

П=1

Тогда а) для сходимости сопряженного ряда S[f] в точке х необходимо и достаточно существования в этой точке функции f(x), б) утверждение пункта а) теряет силу, если

В первой главе диссертации рассматривается задача обобщения теоремы Юнга ( теорема А) для классов функций ограниченной Л-вариации (функций одного переменного).

Для отрезка / = [а, Ь] через Q(I) обозначим множество всех конечных систем попарно неперекрывающихся отрезков {1П}, таких что In = [an, bn] С I. Для любой функции / и отрезка I = [а, 6] пусть /(/) = f(b) — f(a). Через L обозначим множество таких неубывающих последовательностей Л положительных чисел Ап, что Ап —>• оо и

В дальнейшем рассматриваются только Л € L.)

Определение 7. Функция f(x) называется функцией ограниченной Л-вариации на промежутке /, если конечна величина которая в этом случае называется Л-вариацией функции / на отрезке I. Через ABV(I) будет обозначаться множество функций ограниченной Л-вариации на данном промежутке I (класс Ватермана).

В частности, для последовательности Л = {п} (обозначим ее Н) будут употребляться обозначения / € HBV(I) и Vn{f\I). оо

Понятие ABV-функций было введено Д. Ватерманом [28]. Он доказал, что функция из класса ABV(I), как и функция ограниченной вариации, может иметь лишь устранимые точки разрыва и первого рода, и установил следующее обобщение теоремы Дирихле—Жордана ([31], с. 98, 104; [2], с. 121) о сходимости ряда Фурье S[f]:

Теорема С. Пусть f £ HBV(T). Тогда в каждой точке х £ Т ряд Фурье функции / сходится к величине \{f(x + 0) + f(x — 0))7 и сходимость равномерна на каждом отрезке из интервала непрерывности. Если HBV{T) есть собственное подмножество ABV{T), то найдется функция f £ ABV(T), ряд Фурье которой расходится в точке.

Замечание 1. Определение функции ограниченной Л-вариации, данное Д. Ватерманом в качестве основного, несколько отличается от определения 7, но в [28] им же доказана эквивалентность его определения и опредления 7.

Другие свойства функций ограниченной A-вариации одного переменного изучались Д. Ватерманом и М. Шраммом в работах [23], [28].

Во второй главе диссертации исследуется сходимость сопряженного по совокупности переменных ряда Фурье функции двух переменных ограниченной гармонической вариации.

Вопросы сходимости и суммируемости сопряженных рядов функции двух переменных также привели к понятию сопряженных функций двух переменных.

Определение 8. Интегралы

1(3, у) = --[ ds = lim -- [ f{x + S;y)ds,

J y ttJ 2tg§ 7Г J 2tg|

-яp(x>У) = Л[Щм+й dt = lira f HzdLp. A,

J K ,У) ttJ 2tg§ r/->+0 7Г J 2 tg |

-к Ч^Щ^Я

9)

2 " vb 2 —TV —тг lim —г

Е-н-о называют сопряженными функциями, соответственно, по переменной х, по переменной у и по совокупности переменных х и у.

Впервые двойные сопряженные ряды Фурье и сопряженные функции были рассмотрены JI. Чезари [21]. Он исследовал вопрос равномерной суммируемости этих рядов двойным методом средних арифметических для функций из класса Липшица 0 < а ^ 1. И.Е. Жак установил признак равномерной сходимости двойных сопряженных рядов Фурье [8]. К. Сокол-Соколовский [24], А. Зигмунд [31], JI.B. Жижиашвили ([9], [10], [11], [12]) исследовали суммируемость кратными методами (С, 1) и Абеля-Пуассона сопряженных рядов S1, S2, S3.

В. Шапиро [25] в 1971 году доказан многомерный аналог теоремы Юнга для функций ограниченной вариации. Об определениях функций двух переменных ограниченной вариации см., например, [20]. Как уже отмечалось выше, в двумерном случае для функций ограниченной Ф-вариации аналог теоремы Юнга для рядов 51, S2, S3 был получен Б.И. Голубовым [5].

Рассмотрим обобщение понятия Л-вариации для функций двух переменных.

Впервые классы ограниченной Л-вариации для функции двух и более переменных определили К. Гоффман и Д. Ватерман в работе [22] и доказали для этих классов теоремы локализации прямоугольных частичных сумм рядов Фурье.

А.А. Саакян [16] дал другое определение Л-вариации функции двух переменных, в котором на функцию накладывается условие, более жесткое по сравнению с определением К. Гоффмана и Д. Ватермана. Он обобщил теорему Дирихле-Жордана для функций двух переменных ограниченной гармонической (Л = Н = {п}) вариации.

Модификации определения А.А. Саакяна вводились и рассматривались рядом авторов, в частности А.И. Саблиным [17], и М.И. Дьяченко [7].

Мы введем здесь понятие Л-вариации, взяв за основу определение из [17]. Различия между этим определением и определением А.А. Саакяна были рассмотрены А.Н. Бахваловым [3]. Для функций заданных на замкнутом прямоугольнике определения А.А. Саакяна и А.И. Саблина эквивалентны.

Пусть I = [a,b], J = [а,/.3]. Для функции двух переменных обозначим

Введем вначале два вспомогательных определения.

Определение 9. Пусть / — функция двух переменных. Л-вариацией функции / относительно переменной х по промежутку I при у = у0 называется

Аналогично Л-вариацией функции / относительно переменной у по промежутку J при х = xq называется f{I,Vo) = ДМо) - /(а,Уо), f(xо, J) = f{x0, р) - f(xо, а), /(/ х J) = /(6,(3) - /(а, р) - f(b, а) + /(а, а).

ВВЕДЕНИЕ 13

Определение 10. Пусть Л1 = {А^}, Л2 = {д12)} последовательности из L. Двумерной компонентой (Л1, Л2)-вариации функции / по прямоугольнику А = I х J называется величина

Величины

VS(/; А) = supV5(/(®,yo);/), VUh А) = BupV*3(f(x0,y);J) j/osJ х0е/ будем называть одномерными компонентами (Л1, Л2)-вариации.

Теперь мы дадим основное

Определение 11. Скажем, что функция f(x,y) имеет ограниченную (Л1, Л2)-вариацию на А = I х J, если конечна величина

14.,^/; Д) = Vj'fA2(/; Д) + У5(/; Д) + V*, (/; Д).

Множество функций ограниченной Л-вариации на данном прямоугольнике А (класс Ватермана) будет обозначаться через (Л1, A2)BV(A).

Отметим, что если Л1 = Л2 = Л, то будем писать вместо (Л1, A2)BV(А) — ABV(А), а если Л1 = Л2 = Я, то вариацию будем называть гармонической вариацией.

Обозначим Лп = {An+fc}j£=i

Определение 12. Функция / G (Л1, Л2)BV(A) называется непрерывной по (Л1, Л2)-вариации, если компоненты вариации стремятся к нулю при n —> оо.

Множество таких функций обозначим С(А1, A2)Vr(A).

В двумерном случае понятие непрерывности по Л-вариации было рассмотрено О.С. Драгошанским [6]. Им получены условия совпадения классов функций ограниченной Л-вариации и функций, непрерывных по Л-вариации, из которых, в частности, следует что HBV(A) = C(H,H)V(А).

Обзор результатов по главам

Первая глава состоит из двух параграфов.

В первом параграфе доказывается обобщение теоремы Юнга ( теорема А) для класса функций ограниченной гармонической вариации. Для этого доказана вспомогательная лемма.

Теорема 1.1. Если f(x) — 2т:-периодическая функция ограниченной гармонической вариации, то для сходимости сопряженного ряда Фурье 5[/] в точке х необходимо и достаточно, чтобы существовал интеграл который представляет тогда сумму ряда <S[/].

Отметим, что с помощью этой теоремы автоматически получается теорема В, так как при условии (8) (как показано в [27]) функция ограниченной Ф-вариации является Д'БУ-функцией.

Во втором параграфе исследуется окончательность вопроса сходимости в точке сопряженного ряда Фурье к значению сопряженной функции класса ограниченной Л-вариации для произвольной последовательности Л 6 L.

Приведен пример такой непрерывной f(x) е KBV(T), ABV(T) 2 HBV(T), что сопряженная функция существует всюду на Т, а сопряженный ряд S[f] расходится в точке х = 0 (теорема 1.2).

Показано, что если сопряженная к непрерывной функции / функция /

7Г

7Г 6

1 Г f(x + t)-f(x-t)

W 2tg | в точке не существует, то сопряженный ряд обязательно расходится в этой точке.

Вторая глава также состоит из двух параграфов.

В первом параграфе доказываются четыре вспомогательные леммы, во втором — доказываются основные результаты главы.

Теорема 2.1. Пусть f(x,y), fl{x,y), f2(x,y) — непрерывные 2к-периодические по каждому аргументу функции ограниченной гармонической вариации на Т2 = [—7г, 7г]2. Тогда разность х>у) - у) О ПРИ m,n оо тп7 п в каждой точке (х, у).

Следующая теорема, являющаяся двумерным обобщением теоремы У. Юнга, выводится из теоремы 2.1.

Теорема 2.2. Пусть f(x,y), fl(x,y), f2(x,y) — непрерывные 2тт-периодические по каждому аргументу функции ограниченной гармонической вариации на Т2 = [—7г, 7г]2. Тогда тригонометрический ряд <S3(/; х, у), сопряженный по обеим переменным к ряду Фурье функции f, сходится в смысле ограниченной сходимости в тех и только тех точках, где существует f3(x, у), которая и является тогда суммой ряда 53(/; х, у), причем /3(я, у) понимаем как lim f3£ J1(x, у) с условием, что отношения | и % ограничены. v->+0

Основные результаты данной диссертации опубликованы в работах автора [32] - [36].

Они докладывались в МГУ им. М.В. Ломоносова на семинаре по теории ортогональных рядов под руководством чл. - корр. РАН, проф. П.Л. Ульянова, проф. М.К. Потапова и проф. М.И. Дьяченко, на семинаре по теории функций действительного переменного под руководством проф. Т.П Лукашенко, проф. В.А. Скворцова и м.н.с. А.П. Солодова, на семинаре по теории ортоподобных систем под руководством проф. Т.П. Лукашенко и доц. Т.В. Родионова, асс. В.В. Галатенко; на международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Ростов-на-Дону, 2004); на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (2005).

В заключение приношу глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Т.П. Лукашенко за постановку задач и всестороннюю помощь в подготовке работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Редкозубова, Елена Юрьевна, 2005 год

1. Алимов ША., Ашуров P.P., Пулатов А.К., Кратные ряды и интегралы Фурье. // Соврем, пробл. матем., Фундам. направл. 1989, Т.42, с.7-104.

2. Бари Н.К., Тригонометрические ряды. М., Физматлит, 1961.

3. Бахвалов А.Н., Сходимость кратных рядов и интегралов Фурье некоторых классов ограниченных функций. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Москва, 2000.

4. Бахвалов А.Н., Сходимость кратных рядов и интегралов Фурье некоторых классов ограниченных функций. // Мат. сб. Москва, 2002, Т.193, №12, с. 3-20.

5. Голубов Б.И., Функции обобщенной ограниченной вариации, сходимость их рядов Фурье и сопряженных тригонометрических рядов. // Доклады АН СССР, 1972, Т.205, №, с. 1277-1280.

6. Драгошанский О.С., Непрерывность по К-вариации фугжций многих переменных. // Мат. сб., 2000, Т.191, №2, с. 3-20.

7. Дьяченко М.И., Некоторые проблемы теории кратных тригонометрических рядов. 11 УМН, 1992, Т.47, №5, с. 97-162.

8. Жак И.Е., О сопряженных двойных тригонометрических рядах. //Мат. сб., 1952, V.31, №3, с. 469-484.

9. Жижиашвили J1.B., Сопряженные функции и тригонометрические ряды. Тбилиси, изд-во Тбил. ун-та, 1969.

10. Жижиашвили JI.B., О некоторых вопросах из теории простых и кратных тригонометрических рядов. // УМН, 1973, Т.28, №2, с. 65-119.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 56

11. Жижиашвили Л.В., О сходимости кратных тригонометрических рядов Фурье. // Сообщ. АН ГССР, 1975, Т.80, №1, с. 17-19.

12. Жижиашвили JI.B., Некоторые вопросы многомерного гармонического анализа. Тбилиси, изд-во Тбил. ун-та, 1983.

13. Лузин Н.Н., Sur la convergense des series trigonometrques de Fourier. // Compt. Rend, Acad, Sci., Paris, 1913, 156, p. 629-636.

14. Лузин H.H., Интеграл и триг. ряд. М.-Л.: ГИТТЛ, 1951.

15. Привалов И.И., Интеграл Cauchy. // Изв. ун-та, физ.-мат. фак., 1918, выпуск 1, с. 1-94.

16. Саакян А.А., О сходимости двойных рядов Фурье функций ограниченной гармонической вариации. // Изв. АН Арм. ССР, 1986, Т.21, №6, с. 517-529.

17. Саблин А.И., Функции ограниченной А-вариации и ряды Фурье. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Москва, 1987.

18. Саблин А.И., А-вариация и ряды Фурье, j j Изв. ВУЗов. Математика, 1987, то, с. 66-68.

19. Янушаускас А.И., Кратные тригонометрические ряды. Новосибирск, Наука, Сибирское отделение, 1986.

20. C.R. Adams, J.A. Clarkson, On definitions of bounded variation for functoins of two variables, j j Trans. Amer. Math. Soc., 1933, V.35, p. 824854.

21. Cesari L., Sulle eerie di Fourier dell funzioni Lipshitziane dipiu variabile.// Ann. di Scuola Norm. Superdi Pisa, 1938, 27, p. 279-295.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 57

22. Goffman С., Waterman D., The localization principle for Fourier series. // Studia math., 1980, V.99, Ш, p.41-57.

23. Schramm M., Waterman D., On the magnitude of Fourier coefficients. // Proc. Amer. Math. Soc., 1982, V.85, №3. p. 408-410.

24. Sokol-Sokolowski K., On trigonometric series conugate to Fourier series of two variables. // Fund. Math., 1947, V.34, p. 166-182.

25. Victor L. Shapiro, Spherical convergence, bounded variation, and singular integrals on the N-torus. //J. Approx. Theory, 1971, V.4, p. 204-217.

26. Perlman S., Waterman D., Some remarks on functions of A-bounded variation. // Proceedings of the Amer. Math, society., 1979, V.74, №1, p.113-118.

27. Waterman D., On convergence of Fourier series of functions of generalized bounded variation. // Studia math., 1972, V.44, №1, p. 107-117.

28. Waterman D., On A-bounded variation. // Studia math., 1976, V.57, №1, p. 33-45.

29. Young W.H., Konvergenzbedingungen filr die verwandte Reihe einer Fourierschen Reihe // Munchen. Sitzungsberichte., 1911, V.41, p. 361371.

30. Zygmund A., On the boundary of functions of functions of several complex variables. Fund. Math., 1949, V.36, p. 207-235.

31. Зигмунд А., Тригонометрические ряды. Т. 1-2. M., Мир, 1965.

32. Редкозубова Б.Ю., О сходимости сопряженного ряда Фурье функции ограниченной гармонической вариации. // Труды участников международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Ростов-на-Дону. 2004, с. 138.

33. Редкозубова Е.Ю., О сходимости сопряженного тригонометрического ряда Фурье функции ограниченной гармонической вариации. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2005. №4? с. 48-52.

34. Редкозубова Е.Ю., О сходимости сопряженного ряда Фурье функции ограниченной гармонической вариации. // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы Воронежской зимней математической школы. Воронеж. 2005, с. 195.

35. Редкозубова Е.Ю., Сопряженные тригонометрические ряды и функции ограниченной К-вариации. // Современные проблемы математики, механики, информатики. Тезисы докладов. Тула. 2005, с. 134.

36. Редкозубова Е.Ю., О сходимости двойного сопряженного ряда Фурье. // МГУ.- М.,- 19с.- Библиогр.: 7 назв.- Деп. в ВИНИТИ 02.12.05 № 1590-В2005.