Обобщенная локализация и равносходимость разложений в двойной ряд и интеграл Фурье тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Рослова, Татьяна Юрьевна

• Рослова, Татьяна Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рослова, Татьяна Юрьевна

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. ОБОБЩЕННАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ ПОЧТИ ВСЮДУ ДЛЯ

ДВОЙНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ

Введение

§1 Обобщенная локализация почти всюду

1°. Вспомогательные утверждения

2°. Представление частичной суммы двойного тригонометрического

ряда Фурье

3°. Обобщенная локализация для двойных тригонометрических

рядов Фурье функций из L log+ Llog+log+L

§2. Отсутствие обобщенной локализации на множествах, не

являющихся плотными в Г2

Глава II. РАВНОСХОДИМОСТЬ РАЗЛОЖЕНИЙ В ДВОЙНОЙ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ

ФУРЬЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обобщенная локализация и равносходимость разложений в двойной ряд и интеграл Фурье»

Введение

§1. Равносходимость разложений в двойной тригонометрический

ряд Фурье и интеграл Фурье функций из Llog+ Llog+log+L ...____43

1°. Вспомогательные утверждения.......................43

2°. Равносходимость при суммировании по прямоугольникам........53

§2. Отрицательные результаты...............................66

§3. Обобщенная локализация почти всюду для двойных интегралов

Фурье ......................................68

ЛИТЕРАТУРА..................................71

ВВЕДЕНИЕ

I

1. Рассмотрим N—мерное евклидово пространство M.N, элементы которого будем обозначать х — [х\,... , xjv), и положим ух = у\х\ +... 4- Vn%n , |х| = (х? + ... + х^/2.

Рассмотрим множество С всех векторов с целочисленными координатами и для любого X Е Z1 положим — {а € : otj > Л, j = = 1,... ,N}. Положим также Zf = П Rf.

Пусть Ф : [0,оо) [0, оо) - неубывающая функция. Через $(L)(T'JV) обозначим множество суммируемых на TN = {х € M.N: —ж < Xj < тг, j = = 1,... , N} функций / таких, что

У Ф(|/(аг)|)<йг<оо,

TN

а через Ф(Ь)(Ш.М) — множество суммируемых на R.N функций д таких, что

j Ф(|р(ж)|)«&гг < оо.

RN

Если Ф(и) = ир, то обозначим Ф(L) = Lp, р > 1; если Ф(г^) = и log+ и, где log+ и = log тах{1,«}, то Ф(L) — L log+ L.

Пусть 27г-периодическая по каждому аргументу функция f(x) € € Ф(L)(Tn), N > 1 разложена в кратный тригонометрический ряд Фурье

rix) ~ Y1 • (°л)

feez*

Для любого вектора n = (ni,... ,njv) € рассмотрим прямоугольную частичную сумму этого ряда:

П\ TCJV

5п(®;/)= X] ... £ (0.2)

fci =—»j fcjv =—TCJV

частным случаем которой является квадратная частичная сумма 5По(ж;/), когда щ = 712 = ... = п^ = по. При этом под сходимостью ряда (0.1) по прямоугольникам будем понимать существование предела частичных сумм 5п(ж;/) — (0.2) при п -4 оо (т.е.^тт^п^ —¥ оо), а под сходимостью ряда (0.1) по квадратам — существование предела 5тео(а:;/) при По оо.

Пусть функция д € Ф(Ь)(Ш.М)У N > 1 разложена в кратный интеграл Фурье:

д(х) ~ I

Для любого вектора а — («1,... ,ск.лг) € М^ рассмотрим собственный интеграл Фурье:

«1 "л?

= /•'• / (0.3)

—ах -ал/

Частным случаем "прямоугольной частичной суммы" — (0.3) является "квадратная частичная сумма" «7ао, когда «1 = а2 — ... = «лг = <*()•

Пусть д{х) = /(х) при х € Т^. Обозначим через Иа{х] /) следующую разность

Да(®;/) = Яа(ж;/;р) = 5[а](ж;/) - Ла{х\д), (0.4)

где [а] = ([ац],... , [ск^]) € [а7] — целая часть а^ € М1. Будем предполагать при этом, что

д(х) = 0 вне Т*. (0.5)

Пусть О - произвольное измеримое множество, О С Т^, fj.il > 0 (¡л — = - ^-мерная мера Лебега), и пусть /(ж) = 0 на О.

В диссертации изучается поведение частичных сумм (0.2) при п оо и интегралов (0.3) при а оо функций из классов Ф(£), равных нулю на

некотором множестве fI положительной меры, а также исследуется поведение разности (0.4) при а -4 оо в зависимости от условий, накладываемых на функции f(x) и д{х).

2. Согласно классической теореме Римана о локализации при N = 1, р = 1 сходимость или расходимость ряда Фурье функции f(x) в точке х зависит от значения функции f(x) в окрестности этой точки, т.е. если f(x) = 0 на интервале I С Г1, то ряд Фурье этой функции сходится к нулю равномерно на любом интервале, целиком содержащемся в /.

В отличие от одномерного случая, при N > 2 принцип локализации справедлив только для крестообразных окрестностей. Для сферических окрестностей такая локализация неверна даже для непрерывных функций. Этот факт был установлен Л.Тонелли [1].

Указанные выше обстоятельства определяют дальнейшие направления исследований по проблемам локализации в кратном случае. С одной стороны, сохраняя принцип локализации в его классическом понимании, можно перейти к классам более гладких функций. С другой стороны, оставаясь в терминах классов Lp, р > 1, ввести более широкое понятие локализации.

В рамках последнего направления в работах [2] и [3] И.Л.Блошанским было введено следующее понятие обобщенной локализации почти всюду.

Определение 1. Пусть О, ÍI С TN - произвольное множество положительной меры. Будем говорить, что для кратных рядов Фурье функций из классов Ф(L) (из класса L^) справедлива на множестве О обобщенная локализация почти всюду, если из условия f € $(L)(TN) (/ G Loo(TN)), f(x) = 0 на Í2 следует, что почти всюду на П существует предел

lim Sn(x\f) — 0.

п—>оо

При N — 1 обобщенная локализация справедлива на любых измеримых множествах Ü С Т1 в классаxlp, р > 1. Это следует из работ JI. Карлесона

[4] и Р. Ханта [5]. Если р = 1, то обобщенная локализация в одномерном случае справедлива на измеримом множестве О С Т1, цО, > 0 тогда и только тогда, когда это множество является открытым п.в.1 В части достаточности этот результат следует из классического принципа локализации Римана, необходимость доказана И. Л. Блошанским (см.[6, теорема 2 для N = 1]).

Для кратного случая исследования обобщенной локализации были проведены И. Л. Блошанским в работах [2, 3, 6-10]. Так, в случае N = 2 в работе [3] был доказан обобщенный принцип локализации п.в., заключающийся в том, что для функций / € ЬР(ТМ), р > 1 сходимость или расходимость двойного ряда Фурье (функции /) п.в. в некотором круге не зависит от поведения / вне этого крута.

Необходимо отметить, что усилить последний результат, доказав его в случае N = 2, р > 1 для произвольного измеримого множества, оказалось невозможным. В работе [8] были построены измеримое множество О С Т2 с мерой, сколь угодно мало отличающейся от меры квадрата Т2, и функция / € Ьоо(Г2), такие, что /(х) = 0 на 12, но Кт |£«(ж; /)|= +оо п.в. на Г2.

п—+оо'

Таким образом, для двойных рядов Фурье, суммируемых по прямоугольникам, обобщенная локализация справедлива в классах Ьр, р > 1 на открытых п.в. множествах.

Исследования, проведенные в [9], показали, что для пространств размерности N > 3 обобщенный принцип локализации п.в. уже не справедлив в классах ЬР(ТМ). В этой работе было установлено, что для любого измеримого множества С Ты, N > 3, //12 > 0, не являющегося плотным в Тн (12 2 ^ ~~ замыкание множества 12), обобщенная локализация почти всюду уже неверна в классе С(Тн) при суммировании кратного ряда Фурье по прямоугольникам.

Для того, чтобы обобщенная локализация была справедлива и при

1Множество 12 будем называть (см.[6],[7]) открытым почти всюду, если сущест-

вует открытое множество такое, что 1) = 0.

N > 3 необходимо потребовать большей гладкости рассматриваемых функций. Достаточные и близкие к ним необходимые условия справедливости обобщенной локализации на любых открытых множествах Q, С Т3 в классе С(Т3) в терминах модулей непрерывности найдены в [10]. В частности, в этой работе установлено, что обобщенная локализация справедлива на Q, если модуль непрерывности функции / ш(6, /) = o([log | log log log

S-* +0.

Если же рассматривать класс L%(TN), то обобщенная локализация несправедлива при всех N > 2. Более того, в [9] показано, что OJI неверна ни на каком множестве Ü С TN, даже при суммировании кратного ряда Фурье по кубам.

Таким образом, справедливость обобщенной локализации п.в. на тех или иных множествах fí С TN существенно зависит от степени суммируемости разлагаемых функций и размерности пространства N. Наряду с этим было выяснено, что обобщенная локализация зависит от структуры множества О.

3. Определение обобщенной локализации для кратных рядов Фурье, рассмотренное выше, может быть аналогичным образом сформулировано и для кратных интегралов Фурье.

Определение 2. Пусть Í2, О С TN - произвольное множество положительной меры. Будем говорить, что для кратных интегралов Фурье функций из классов Ф(Ь) (из класса -Loo) справедлива на множестве Q1 обобщенная локализация почти всюду, если из условия g € Ф(Ь)(Ш.М) (.9 € Loo(M.N)), g(x) = 0 на Q. следует, что почти всюду на ft существует предел

lim Ja(x; g) = 0.

a—too

Можно указать два подхода к изучению обобщенной локализации для

интегралов Фурье. Первый заключается в непосредственном исследовании поведения интеграла Фурье функций, равных нулю на некотором множестве положительной меры. Вторым не менее эффективным подходом является использование теорем равносходимости разложений в кратный ряд и интеграл Фурье. Тогда, если результат, полученный для ряда Фурье, находится в предположениях теорем равносходимости, то мы можем свести изучение кратного интеграла Фурье к исследованию кратного ряда Фурье. Поэтому закономерно, что второй задачей, рассматриваемой в диссертации, является исследование поведения на Тм разности (0.4) (при а оо). На основании этих исследований в диссертации были получены результаты, касающиеся обобщенной локализации для двойных интегралов Фурье (см. теоремы II.IV и II.V).

Перейдем к подробному описанию результатов, связанных с вопросами равносходимости разложений в кратный ряд и интеграл Фурье функций из классов Ф(£), известных на данный момент.

При N — 1 для функций / € Ь^Т1) на любом сегменте, целиком лежащем внутри интервала (—тг, 7г), разность (0.4) — Ва(х; /; д) равномерно стремится к нулю при а —> оо (при этом условие финитности (0.5) для функций д{х) несущественно) (см.[ 11, с.362-363]).

Для кратного случая исследование вопроса о поведении разности 2?а(ж; /) было проведено И.Л.Блошанским в работах [2,12,13]. Так, в случае Ж = 2ир>1в работе [2] доказано, что /;д) 0 при а ->• оо (т.е.

пипк5<^а5 -»• оо) для п.в. х £ Т2 (условие (0.5) в данном случае также оказалось несущественно). Таким образом, при N = 2 ш р > 1 двойной тригонометрический ряд Фурье и интеграл Фурье в смысле сходимости почти всюду на Т2 ведут себя одинаково (при суммировании по прямоугольникам), что в данном случае позволяет получить "аналог" теоремы об обобщенной локализации для двойных интегралов Фурье.

Однако, дальнейшие исследования показали принципиальные различия в поведении кратного ряда и интеграла Фурье в случае N > 2, р = 1, а при N > 3 даже в классе C(TN). В работе [2] была выяснена существенность вида сходимости Яа{щ /) и условий N = 2, р > 1. Были построены непрерывные функции: fi € С(Т2) такая, что lim |Ла(0; Л)|= +оо, и функ-

а—»оо1 1

ция /2 € C(TN), N > 2, такая, что lim |Яа(ж;/2)|= +оо всюду внутри TN.

а—>оо' 1

В свою очередь, для р = 1 приведен пример функции /3 € Li(TN) такой, что lim |i?a(rc: /з)|= +оо в каждой точке х € Т*^.

ск—Юо 1

При построении указанных контрпримеров существенным являлось использование прямоугольного метода суммирования, что позволяло варьировать переменные ctj. Поэтому в работах [12] и [13] было продолжено исследование равносходимости разложений в кратный ряд и кратный интеграл Фурье в случае р = 1 (N > 2), но уже при суммировании по квадратам.

Так, в [12] была построена суммируемая функция / € Li (Г2) такая, что lim |Да0(ам/)|= +оо для п.в. х € Г2. И так как последняя оценка

«о-ЮО1 1

выполняется за счет "разной скорости расходимости" двойного ряда Фурье функции f(x) и двойного интеграла Фурье функции д(х), д(х) = f(x) при х € Т2 (д(х) = 0 вне Г2) по одним и тем же подпоследовательностям {ао(к,х)}, ао(к,х) € К1, к — 1,2,..., то уже в работе [13] были построены две суммируемые функции fug: f € Li(TN), д £ L\{ RN), N > 2, совпадающие на TN, кратный ряд Фурье одной из которых (функции /) неограниченно расходится п.в. (по некоторым подпоследовательностям), в то время как кратный интеграл другой (функции д) сходится п.в. (по тем же самым подпоследовательностям).

II

Перейдем теперь к результатам, полученным в настоящей работе.

Как было отмечено выше, обобщенная локализация, различая в вопросах сходимости кратных рядов Фурье случаи размерности пространств

N = 2 и N > 2, справедлива для N = 2, р > 1, на открытых почти всюду множествах при суммировании двойного ряда Фурье по прямоугольникам. Уже при р = 1 такая локализация не справедлива ни на каких измеримых множествах О, it С Т2.

Оставался нерешенным вопрос о справедливости обобщенной локализации на открытых п.в. множествах в классах, "лежащих между" Li(TN) и LP(TN), р > 1 при N = 2.

Некоторый ответ на поставленный вопрос может быть дан, опираясь на результаты, касающиеся сходимости двойных тригонометрических рядов Фурье. Так, из недавно анонсированной работы [14] Н.Ю.Антонова следует, что для функций из класса L (log+ L)2 log+ log+ log+ L(T2) квадратные частичные суммы двойного тригонометрического ряда Фурье сходятся почти всюду на Г2. Следовательно, в этом классе обобщенная локализация справедлива на любом измеримом подмножестве Т2 при суммировании двойного ряда Фурье по квадратам. Ранее "таким ответом" в течение 27 лет был результат П.Шелина [15, 16] о сходимости двойных рядов Фурье, суммируемых по квадратам, в классе L (log+ L)2 log+ log+ ДТ2). Заметим, что некоторые оценки этих "уже классических работ" используются и в настоящей диссертации (см. доказательство теоремы I.I.).2

В I главе диссертации получены следующие результаты о справедливости обобщенной локализации почти всюду для двойных тригонометрических рядов Фурье в "промежуточных" между Lp, р > 1 и L\ классах Ф(L).

Теорема I.I. Пусть Q — произвольное (непустое) открытое множество, О С Т2, и пусть f € L log4" L log+ log+ L(T2), f(x) = 0 на Q. Тогда

lim Sn(x; f) = 0 для почти всех x £ ft.

n—too

2При N = 1 обобщенная локализация справедлива на любых измеримых множест-

вах в классе L log* Llog+ log"'" L (это следует из работы Н.Ю.Антонова [17]).

Теорема I.II. Пусть fi — произвольное (непустое) открытое множество, О С Т2, и пусть f е L(\og+ L)2^), f(x) = 0 на Ü. Тогда для любого е > 0 существуют открытое множество íl£ С fJ>£le > — ей константа С£ > О такие, что

II sup I Sn(x;f)W\Lline) < С£ [ \f(x)\(log+\f(x)\)2 dx + С£.

Таким образом, сформулированный в теореме I.I результат показывает, что для двойных рядов Фурье, суммируемых по прямоугольникам, обобщенная локализация справедлива на любом открытом п.в. множестве О С Г2 в классе L log+ L log+ log+ L.

Сопоставляя полученные результаты с результатом Н.Ю.Антонова о сходимости почти всюду на Т2 при суммировании по квадратам двойным рядом Фурье в классе L (log+ L)2 log+ log+ log+ L, мы видим, что требование равенства нулю функции на открытых подмножествах ÍI С Т2 расширяет

4 W W U U

класс функции, двойной тригонометрическим ряд которых сходится почти всюду на этих подмножествах О, причем не только при суммировании по квадратам, но и по прямоугольникам.

Далее, естественно встает вопрос о справедливости обобщенной локализации (на открытых п.в. множествах) в "более широких", чем L log+ L log+ log+ L классах.

Некоторый ответ на поставленный вопрос дает следующая

Теорема I.III. Пусть íl-произвольное измеримое множество, О С Г2, fiíl > 0 (/л-мера Лебега), не являющееся плотным в Т2 (Í2 2 Т2). Тогда для любой неубывающей функции Ф(и) = о(и log+ log+ и) при и -ь оо существуют подмножество fio С ß&o > 0 и функция f € Ф(Ь)(Г2) такие,что

1. f(x) = 0 при xGÍÍ;

2. lim |.í>n(ín; /)|= +оо для почти всех х

п-»оо'

Замечание. Результаты, полученные в теоремах I.I и I.III интересно сопоставить с результатом работы С. В. Конягина [18], доказавшим, что для любой функции Ф(и) = о(и log+ и log+ log+ и) при и —> оо существует функция / € Ф(£)(Г2), двойной тригонометрический ряд Фурье которой, суммируемый по квадратам, неограниченно расходится в каждой точке Т2.

Во II главе диссертации рассматриваются две взаимосвязанные задачи (представляющие, впрочем, и самостоятельный интерес). Первая заключается в изучении обобщенной локализации почти всюду в "промежуточных" между Lp, р > 1 и Li классах для двойных интегралов Фурье функций, равных нулю на произвольных открытых множествах О. Поскольку одним из способов решения поставленной задачи является использование теорем равносходимости, то второй задачей, рассматриваемой во II главе, является изучение вопроса о равносходимости разложений в двойной тригонометрический ряд и интеграл Фурье (при суммировании по прямоугольникам) в указанных классах.

Используя результат теоремы I.I о справедливости обобщенной локализации для двойных рядов Фурье функций из класса L log+ L log+ log+ L, нами доказывается один из основных результатов второй главы.

Теорема II.I. Пусть функции / G L log+ L log+ log+ L(T2) и g(x) 6 L log+ L log+ log+ L(R2) такие, что g(x) = f(x) при x £ T2 и g(x) = 0 при x € R2 \ T2. Тогда

lim Ra(x; /;g) = 0 для почти всех x € Г2.

a—¥oo

Теорема II.II. Пусть f £ £(log+ L)2^) и g{x) € i(log+i:)2( такие, что g(x) = f(x) при x € T2 и g(x) = 0 при x € К2 \ T2. Тогда для любого e > 0 существует константа С£ > 0 такая, что

|| sup \Ra(x;fig)\\\Lim <Се [ \g(x)\(log+\g(x)\)2dx + С£, «1,аг>0 J

где Т2 = {ж G К2 : -п + е < xj < тг - е, j = 1,2}.

Таким образом, из теоремы II.I следует, что для функций из класса L log+ L log+ log+ L двойной ряд и интеграл Фурье ведут себя одинаково в смысле сходимости п.в. на Г2, если д(х) — /(ж), ж € Г2 и д(ж) = 0 вне Т2.

Далее, естественно возникает вопрос о поведении разности Ra(x;f) в "более широких", чем L log+ L log+ log+ L классах. Некоторым ответом на поставленный вопрос является теорема II.III, доказательство которой опирается на установленный Т.Кернером [19] или С.В.Конягиным [18] факт существования в классах Ф(£), для любой функции Ф(и) = о(и log+ log+ и) при и оо, функции с неограниченно расходящимся всюду на Т1 тригонометрическим рядом Фурье.

Теорема II.III. Для любой функции Ф(и) = о(и log+ log"1" и) при и —У оо существует функция f € Ф(£)(Т2) такая, что

Игп |Да(ж; /)|= +оо в каждой точке ж € Г2.

а-4оо' 1

Исследования, проведенные в настоящей главе, показали, что для теорем I.I и I.II об обобщенной локализации для рядов Фурье, можно получить их "аналоги" для интегралов Фурье.

Например, положительное решение вопроса о равносходимости разложений в двойной тригонометрический ряд и интеграл Фурье функций из L log+ L log4" log+ L (см. теорему II.I) позволяет перенести на случай интегралов Фурье теорему I.I.

Теорема II.IV. Пусть Q — произвольное (непустое) открытое множество, О С Т2, и пусть g € L log"4" L log+ log+ Ь(Ш2), g{ж) = 0 ка ii. Тогда

lim Ja(x;g) = 0 для почти всех ж € О.

Q-+00

Следовательно, для двойных интегралов Фурье функций из класса L log+ L log+ log+ L (также, как и для двойных рядов Фурье) обобщенная локализация справедлива на открытых почти всюду множествах.

В свою очередь, теоремы I.II и II.II позволяют доказать следующий результат.

Теорема II.V. Пусть Q — произвольное (непустое) открытое множество, Í2 С Т2, и пусть д € L(log+ Х)2(К2) такая, что д{х) = О на íl U (М2 \ Г2). Тогда для любого е > 0 существует открытое множество Qe С fi, > ßQ — ей для любого 5 > 0 существует константа Ce,S > 0 такие, что

II sup |Jra(®;^)||U1(n.n2?) <Ce,ó / \g(x)\(log+\g(x)\)2 dx + C£,s, c*gk/5 J

Ш?

zdeT% = {x<ER2 : + j = 1,2}.

Далее, как следует из теоремы II.III, в классах Ф(L), определенных для любой функции Ф(и) = о(и log+ log+ и), и —у оо, отсутствует равносходимость разложений в двойной тригонометрический ряд и интеграл Фурье, и, следовательно, теорема I.III не находится в рамках теоремы равносходимости. Однако непосредственное исследование интеграла Фурье для функций из указанных классов позволяет получить интегральный "аналог" теоремы I.III.

Теорема II.VI. Пусть íl-произвольное измеримое множество, О С Т2, ßÜ > 0 (fjL-мера Лебега), не являющееся плотным в Т2 (Q 2 Т2). Тогда для любой неубывающей функции Ф(и) — о(и log+ log+ и) при и -» оо существует подмножество fio С íi, дПо > 0 и функция g € Ф(Ь)(М2) такая,что

1. д(х) = 0 при х € Í2;

2. lim \ Ja{%\g)\— для почти всех х 6 fio*

В заключение мне хотелось бы выразить глубокую благодарность моему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Блошанскому И.Л.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рослова, Татьяна Юрьевна, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Tonelli L. Serie trigonometriche. Bologna, 1928.

2. Блошанский И.Л. Равносходимость разложений в кратный тригонометрический ряд Фурье и интеграл Фурье // Матем.заметки. 1975. Т.18.2. С.153-168.

3. Блошанский И.Л. Обобщенная локализация почти всюду и сходимость двойных рядов Фурье // Докл.АН СССР. 1978. Т.242.1. С.11-13.

4. Carleson L. On convergence and growth of partial sums of Fourier series // Acta math. 1966. V.116. P.135-137.

5. Hunt R.A. On the convergence of Fourier series //Proc.Conf.Edwards-ville, 1967. 111.: SIU Press.Carbondale, 1968. P.235-255.

6. Блошанский И.Л. Структура и геометрия максимальных множеств сходимости и неограниченной расходимости почти всюду кратных рядов Фурье функций из Iq, равных нулю на заданном множестве // Изв.АН СССР. Сер. матем. 1989. Т.53.4. С.675-707.

7. Блошанский И.Л. Два критерия слабой обощенной локализации для кратных тригонометрических рядов Фурье функций из Lp, р > 1 //Изв.АН СССР. Сер.матем. 1985. Т.49.2. С.243-282.

8. Bloshanskii I.L. Generalized localization and convergence tests for double trigonometric Fourier series of functions from Lp, p > 1 // Analysis Math. 1981. V.7.1. P.3-36.

9. Блошанский И.Л. Некоторые вопросы многомерного гармонического анализа. Дисс.... докт. физ.-матем.наук. М., МИАН, 1991.

10. Блошанский И.Л. О сходимости и локализации кратных рядов и ин-тегралдов Фурье. Дисс. ...канд. физ.-матем. наук. М., 1978.

11. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т.2, М., "Мир". 1965.

12. Блошанский И.Л. О равносходимости разложений в кратный ряд и

интеграл Фурье при суммировании по квадратам // Изв. АН СССР. Серия матем. 1976. Т.40.3. С.685-705.

13. Блошанский И.Л. Кратный интеграл и кратный ряд Фурье при суммировании по квадратам // Сиб. матем. ж. 1990. Т.31.1. С.39-52.

14. Антонов Н.Ю. Сходимость почти всюду кратных рядов Фурье // Деп. в ВИНИТИ 24.11.97. 3444 - В97.

15. Sjölin.P. Convergence almost everywhere of certain singular integrals and multiple Fourier series // Arkiv Matem. 1971. V.9.1. P.65-90.

16. Sjölin P. An inequality of Paley and convergence a.e. of Walsh-Fourier series //Arkiv Matem. 1969. V.7.6. P.551-570.

17. Antonov N. Yu. Convergence of Fourier series //East J. Approx, 1996. V.2.2 P.187-196.

18. Konyagin S.V. On divergence of trigonometric Fourier series over cubes //Acta Sci.Math.(Szeged). 1995. V.61. P.305-329.

19. Kömer T.W. Everywhere divergent Fourier series // Colloq.math. 1981. V.45.1. P.103-118.

20. Soria F. On an extrapolation theorem of Carleson-Sjölin with applications to a.e. convergence of Fourier series //Studia Math. 1989. V.94. P.235-244.

21. Hunt R. and Taibleson M. Almost everywhere convergence of Fourier series on the ring of integers of a local field //SIAM J.Math.Anal. 1971. V.2.4. P.607-625.

22. Блошанский И.Л. Два критерия слабой обобщенной локализации для кратных тригонометрических рядов Фурье функций из Lp, р > 1 // Изв. АН СССР. Сер.матем. 1985. Т.49.2. С.243-282.

23. Блошанская С.К., Блошанский И.Л. Слабая обобщенная локализация для кратных рядов Фурье-Уолша функций из Lp, p>l/j Труды МИ РАН. 1996. Т.214. С.83-106.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ

1. Рослова Т.Ю., Блошанский И.Л., Иванова O.K. Обобщенная локализация и равносходимость разложений в двойной тригонометрический ряд и интеграл Фурье функций из L(ln+ L)2 // Матем. заметки. 1996. С.437-441.

2. Рослова Т.Ю., Иванова O.K. Обобщенная локализация для двойных тригонометрических рядов Фурье функций из класса £(ln+ L)2 J/ Тезисы докл. 8-й Саратовской зимней школы. 1996. С.52-53.

3. Рослова Т.Ю. Равносходимость разложений в двойной тригонометрический ряд и интеграл Фурье функций из класса £(ln+ L)2// Тезисы докл. 8-й Саратовской зимней школы. 1996. С.93-94.

4. Рослова Т.Ю., Иванова O.K. Об обобщенной локализации для двойных тригонометрических рядов Фурье функций из класса £(ln+ L)2 // Тезисы докл. Межд.конф. по теории приближений функций. Калуга. 1996. Т.1. С.106-107.

5. Рослова Т.Ю. О равносходимости разложений в двойной тригонометрический ряд и интеграл Фурье функций из класса X(ln+ L)2 II Тезисы докл. Межд.конф. по теории приближений функций. Калуга. 1996. Т.2. С.186-187.

6. Рослова Т.Ю. Обобщенная локализация для двойных тригонометрических рядов Фурье функция из L ln+ L ln+ ln+ L// Тезисы докл. Воронежской зимней матем. шк. Воронеж. 1997. С.145.

7. Рослова Т.Ю., Блошанская С.К., Блошанский И.Л. Обобщенная локализация в классах Орлича// Тезисы докл. 9-й Саратовской зимней шк. 1998. С.26.

8. Рослова Т.Ю., Блошанская С.К., Блошанский И.Л. Обобщенная локализация для двойных рядов Фурье по тригонометрической системе

и системе Уолша-Пэли// Тезисы докл. Межд. конф. "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования." Москва. 1998. С.12.

9. Рослова Т.Ю., Блошанская С.К., Блошанский И.Л. Обобщенная локализация для двойных рядов Фурье по тригонометрической системе и системе Уолша-Пэли// Труды Межд. конф. "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования." Москва. Изд. РУДН. 1998. Т.1. С.33-36.

10. Рослова Т.Ю. О равносходимости двойных рядов и интегралов Фурье// Труды Межд. конф. "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования." Москва. Изд. РУДН. 1998. T.l. С.134-137.

11. Рослова Т.Ю., Блошанская С.К., Блошанский И.Л. Обобщенная локализация для двойных рядов Фурье// Тезисы Межд. конф. "Теория приближений и гармонический анализ". Тула. 1998. С.48-50.

12. Рослова Т.Ю. О равносходимости двойных рядов и интегралов Фурье// Тезисы Межд. конф. "Теория приближений и гармонический анализ". Тула. 1998. С.223-224.

13. Рослова Т.Ю. О справедливости обобщенной локализации для двойных тригонометрических рядов Фурье функций из L ln+ L ln+ ln+ L // Докл. АН России. 1998. Т.359.6. С.744-745.

14. Рослова Т.Ю., Блошанская С.К., Блошанский И.Л. Обобщенная локализация для двойных тригонометрических рядов Фурье и рядов Фурье-Уолша функций из L log+ L log+ log+ L// Матем. сборник. 1998. Т.189.5. С.21-46.