Синтез статических регуляторов при неполностью измеряемом состоянии системы на основе аппарата линейных матричных неравенств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Мухин Алексей Валерьевич

• Мухин Алексей Валерьевич
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Мухин Алексей Валерьевич

Введение

Глава 1. Преобразование базиса системы

1.1. Линейные матричные неравенства

1.2. Формулировка задачи

1.3. Алгоритмы решения билинейных матричных неравенств

1.4. Блочно-однородные матрицы выхода

1.5. Условие неразрешимости задачи о размещении полюсов

1.6. Выводы

Глава 2. Синтез статических регуляторов по выходу для линейных систем

2.1. Преобразование к блочной симметрической матрице

2.2. Необходимые условия разрешимости

2.3. Достаточные условия разрешимости

2.4. Выпуклый класс задач

2.5. Скалярный статический регулятор по выходу

2.6. Блочно-однородные матрицы входа

2.7. Выводы

Глава 3. Синтез статических регуляторов по выходу для нелинейных систем

3.1. Нечеткие модели Takagi-Sugeno

3.2. Неравенство Ляпунова для нечетких систем

3.3. Нечеткие статические регуляторы по состоянию

3.4. Нечеткие статические регуляторы по выходу

3.5. Необходимые условия разрешимости системы матричных неравенств

3.6. Достаточные условия разрешимости системы матричных неравенств

3.7. Выпуклый класс задач для нечетких систем

3.8. Выводы

Глава 4. Стабилизация системы электромагнитных подшипников

4.1. Математические модели систем

4.2. Стабилизация электромагнитного подвеса

4.2.1. Стабилизация по состоянию

4.2.2. Стабилизация по выходу

4.3. Стабилизация вращающегося ротора

4.4. Выводы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синтез статических регуляторов при неполностью измеряемом состоянии системы на основе аппарата линейных матричных неравенств»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследований и степень ее разработанности. Аппарат линейных матричных неравенств является сравнительно молодым. Его возникновению предшествовали труды таких ученых как Александр Михайлович Ляпунов и Владимир Андреевич Якубович. Теория и методы исследования положений равновесия, разработанные А.М. Ляпуновым еще в конце XIX века [19, 20], стали отправным пунктом не только теории устойчивости, но и теории управления. В.А. Якубович является одним из тех, кто внес заметный вклад в теорию управления и ее практические приложения [10, 46-48]. Его работы по методу линейных матричных неравенств получили признание среди специалистов, и нашли многочисленных последователей не только в России, но и за ее пределами. Неслучайно в первой зарубежной монографии [58], посвященной линейным матричным неравенствам, В. А. Якубович назван отцом этого нового научного направления. Наряду с Р. Калманом [16], В.А. Якубович установил связь между частотными методами классической теории управления и методами функций Ляпунова в пространстве состояний. Этот результат известен как лемма «Якубовича-Попова-Калмана» (см., например, [10]).

Широкое практическое применение линейные матричные неравенства получили отнюдь не сразу. После того как были разработаны численные алгоритмы [102, 115], а затем и их программная реализация [43, 82], аппарат линейных матричных неравенств прочно утвердился в теории управления как мощный математическое средство для формулировки и решения многих задач синтеза. Дело в том, что такие неравенства определяют выпуклые ограничения [57]. Принято считать, что если задачу удалось сформулировать в виде линейных матричных нера-

венств, то ее можно считать решенной, в том смысле, что если решение существует, то оно будет гарантированно найдено с заданной точностью. К настоящему времени разработано большое количество, как математических программ, так и отдельных решателей, таких как Yalmip [110], SeDuMi [122], Mosek, РЕМЬАВ и многие другие. Алгоритмы решения линейных матричных неравенств заложены в пакетах МАГЬАВ [82] и SCILAB [117]. Обстоятельный обзор программного обеспечения можно найти в [65].

Начиная практически с середины прошлого века, наблюдается рост публикаций, посвященных решению задач синтеза посредством аппарата линейных матричных неравенств. За невозможностью указать все работы, важность которых трудно переоценить, отметим только часть. Одна из первых упомянутых выше работ, была опубликована еще в 1962 году [46]. Спустя некоторое время выходят статьи, в которых показано что синтез регуляторов различного типа может быть сведен к решению матричных неравенств [2, 51, 64, 71, 72, 74, 83]. Появляются книги, посвященные линейным матричным неравенствам. Первая отечественная монография [6] была опубликована в 2007 году. В ней подробно рассмотрены математический аппарат и подходы для решения многих задач управления, а также некоторые вычислительные процедуры. Как отмечают авторы [6], линейные матричные неравенства позволяют с единых позиций формулировать многие проблемы теории управления. Это такие задачи как стабилизация неустойчивой системы по состоянию и по измеряемому выходу, модальное управление, оптимальное линейно-квадратичное управление, оптимальное гашение внешних возмущений в рамках теории Н управления, робастная устойчивость и стабилизация, абсолютная устойчивость и стабилизация, робастное управление.

Процедура синтеза стабилизирующих регуляторов в рамках аппарата матричных неравенств состоит в поиске квадратичной функции Ляпунова с положительно определенной симметрической матрицей. Производная такой функции в силу исходной системы приводит к появлению матричного неравенства, которое является билинейным относительно двух переменных, включая неизвестную матрицу регулятора. С решением таких неравенств, в отличие от линейных матричных неравенств, дело обстоит гораздо менее оптимистично, т.к. они определяют невыпуклые ограничения. Задача решения таких неравенств является NP-трудной [128]. В некоторых частных случаях билинейные матричные неравенства удается свести к линейным матричным неравенствам. Поиск таких случаев представляет большой интерес в силу простой численной реализации последних.

Наиболее важные с практической точки зрения задачи управления формулируются именно в терминах билинейных матричных неравенств (например, [6]). К числу таких задач следует отнести, прежде всего, управление обратной связью статическим регулятором по измеряемому выходу [1, 17]. Статическая стабилизация систем в условиях неполной обратной связи вызывает большой практический интерес. Дело в том, что измерение всех переменных, описывающих систему, в ряде случаев технически неосуществимо. Кроме того, статическая обратная связь по выходу предполагает наиболее простую систему управления, что еще больше привлекает внимание практиков. Интерес к задаче синтеза статического регулятора по выходу этим не ограничивается. Являясь фундаментальной в теории управления, она не менее интересна и в теоретическом отношении. В работе [61] доказано, что задача о существовании статического регулятора по выходу с интервальными ограничениями на элементы матрицы регулятора является трудной. В [116] утверждается, что задача о существовании статического регуля-

тора по выходу и в общем случае является NP-трудной. Кроме статической обратной связи существуют и другие способы стабилизации, такие как, например, стабилизация с построением наблюдателей. В частности, используются наблюдатели Люенбергера. Для синтеза соответствующих регуляторов можно использовать аппарат матричных неравенств. Практически важной задачей, связанной с задачей о статическом регуляторе по выходу, является также задача о размещении полюсов [134, 135]. Более подробный обзор можно найти в работе [45].

Отсутствие необходимых и достаточных условий, проверяемых за полиномиальное время, вынуждает прибегать к поиску приближенных алгоритмов решения. Обзор литературы показывает активную деятельность исследователей в этом направлении, что дополнительно свидетельствует об актуальности задачи. Действительно, решению задачи синтеза статических регуляторов по выходу посвящено внушительное количество разных по содержанию работ. Не претендуя на полноту, отметим труды [21, 25, 26, 28, 29, 32, 53, 54, 56, 77, 121]. Достаточные условия можно найти в статье [105]. Основной упор делается либо на поиск эффективных алгоритмов решения, либо на поиск отдельных классов, которые могут быть решены в рамках линейных матричных неравенств. Вообще говоря, такой подход является общепринятым при решении трудных задач [84], ибо проще найти решение для частной задачи, нежели пытаться найти всеобъемлющее решение. Некоторые частные случаи, в которых задача сводится к решению линейных матричных неравенств, можно найти в [21, 25, 78, 114]. В работе [118] систематизирован обзор основных частных случаев. Например, случаи когда В = /, или С = /. Подобные случаи подразумевают какие-либо ограничения или совокупности ограничений на матрицы системы. Типичный случай описан в вышеупомянутой работе [78]. Развитие наблюдается и в части поиска алгоритмов решения. Многие

алгоритмы основаны на итерационном решении линейных матричных неравенств. В работе [5], например, предложен алгоритм поиска двух взаимно-обратных матриц и доказана его сходимость независимо от начальных условий. Несмотря на существование различных алгоритмов, все они обладают некоторыми недостатками: они предназначены для решения одного неравенства, а также неэффективны для решения большеразмерных задач, так как предполагают вычисление матрицу функции Ляпунова целиком.

Сказанное выше относилось к линейным системам. Но задачи управления ими не ограничиваются, а, напротив, с них все начинается. В действительности, большинство объектов являются нелинейными. Математический аппарат теории управления оперирует в основном с линейными моделями, получаемыми, как правило, линеаризацией исходной нелинейной системы в окрестности ее положения равновесия. Математические методы работы с такими системами достаточно хорошо изучены, имеют крепкую теоретическую базу, чего нельзя сказать про нелинейную теорию. В [36] отмечено, что теория нелинейных динамических систем далека от завершения. Методы синтеза законов управления нелинейными системами существуют в виде отдельных «ящиков с инструментами» [36]. Недостатком линеаризованных моделей является их ограниченная применимость, т.к. они работают только в окрестности положения равновесия, при небольших начальных отклонениях. В действительности начальные возмущения системы могут быть произвольными, выходящими за пределы модели линейного приближения. Теория нелинейных систем автоматического регулирования изложена в монографии [38]. Вопросам устойчивости нелинейных систем посвящена работа [108].

Для стабилизации нелинейных систем существует известный в теории управления метод линеаризации обратной связью ([см, например, 36]). Идея дан-

ного метода состоит в выборе таких управляющих функций, которые линеаризуют замкнутую систему. Применимость данного метода ограничена, и поэтому едва ли его можно считать универсальным и применимым для решения широкого круга задач. Более универсальным методом является использование нечетких моделей [12, 13, 18, 33, 76]. Одной из первоначальных работ по данному направлению следует считать статью Л. Заде [137]. Дальнейшее практическое развитие нечетких систем связано с такими именами как Ибрагим Мамдани, Мичио Сугено и Томохиро Такаги [13]. Нечеткие модели зарекомендовали себя в решении большого круга практических задач. Подтверждением этому является тот факт, что крупнейшие мировые производители автомобилей, активно используют нечеткие модели в системах управления [42]. Для стабилизации нелинейных систем применяются нечеткие модели Такаги-Сугено. Нечеткие модели Такаги-Сугено описываются набором линейных подсистем. Благодаря этому появляется возможность использовать аппарат линейных матричных неравенств. Применению аппарата линейных матричных неравенств применительно к нечетким моделям Такаги-Сугено посвящена отдельная монография [124]. В ней рассмотрено применение метода функций Ляпунова для стабилизации нечетких систем статическими регуляторами по состоянию, а также динамическими регуляторами полного порядка. Наибольший практический интерес, как было отмечено выше, представляют статические регуляторы по выходу. Для нечетких систем синтез таких регуляторов сводится к решению системы билинейных матричных неравенств. Если для одного неравенства задача трудноразрешима, то уж тем более для системы. Важность поиска эффективных путей решения таких задач была отмечена выше и поэтому не нуждается в обосновании. Исходя из сказанного можно заключить, что актуальность диссертационной работы, посвященной решению за-

дачи синтеза статических регуляторов при неполностью измеряемом состоянии для линейных, а также нелинейных систем на основе линейных матричных неравенств не вызывает сомнений.

Цель и задачи. Целью работы является разработка обобщенного подхода к решению задачи синтеза статических регуляторов при неполностью измеряемом состоянии, обеспечивающих асимптотическую устойчивость линейных и нелинейных непрерывных стационарных систем на основе аппарата линейных матричных неравенств. Для выполнения намеченной цели предлагается решить следующие задачи:

1. Разработать алгоритм приведения матрицы замкнутой системы к блочному виду, в котором матрица регулятора будет локализована в одной из двух ее подматриц.

2. Разработать алгоритм решения билинейных матричных неравенств, записанных в виде блочных матриц.

3. Разработать метод синтеза законов управления при неполностью измеряемом состоянии нелинейных систем с помощью нечетких моделей Такаги-Сугено.

4. Синтезировать законы управления при неполностью измеряемом состоянии для системы электромагнитных подшипников.

Научная новизна. Научная новизна содержится в следующих результатах:

1. Сформулировано и доказано условие, при котором задача о размещении полюсов с помощью статического регулятора по выходу принципиально неразрешима.

2. Доказано, что проверка неразрешимости системы билинейных матричных неравенств сводится к задаче выпуклого программирования.

3. Разработан метод синтеза законов управления при неполностью измеряемом состоянии системы, в котором матрица функции Ляпунова вычисляется не целиком, а по блокам за два последовательных шага.

4. Предложен способ декомпозиции системы электромагнитных подшипников на две управляемые подсистемы.

Практическая значимость. На основании полученных теоретических результатов решена задача синтеза законов управления при неполностью измеряемом состоянии системы электромагнитных подшипников. В рамках системного анализа предложен способ декомпозиции системы на две управляемые подсистемы. Благодаря этому синтезированы не только линейные, но и нелинейные законы управления, обеспечивающие стабилизацию системы в широком диапазоне начальных положений.

Методология и методы исследования. Линейная система представлялась в матрично-векторной канонической форме. Для аппроксимации нелинейных систем набором линейных, использовались нечеткие модели Такаги-Сугено. Для синтеза законов управления применялся аппарат линейных матричных неравенств. Вычислительные эксперименты проводились с помощью встроенных команд Robust Control Toolbox пакета MATLAB, в основе которых лежат методы выпуклого и полуопределенного программирования. Для моделирования переходных процессов использовались встроенные функции решения систем дифференциальных уравнений пакета MATLAB. Положения, выносимые на защиту:

1. Аналитически проверяемое условие принципиальной неразрешимости задачи о размещении полюсов с помощью статического регулятора по выходу.

2. Алгоритм проверки неразрешимости системы билинейных матричных неравенств.

3. Двухшаговый метод синтеза законов управления при неполностью измеряемом состоянии линейных и нелинейных систем.

4. Метод синтеза законов управления по измеряемому выходу для системы электромагнитных подшипников.

Степень достоверности результатов. Достоверность теоретических результатов подтверждена строгостью математических доказательств и дополнительно подкреплена результатами вычислительных экспериментов. Кроме того, обзор литературы дает основание утверждать, что полученные в диссертации теоретические результаты не противоречат существующим положениям, а напротив, дополняют их.

Соответствие диссертации паспорту научной специальности. Первое и второе положения, выносимые на защиту, соответствуют пункту 1 паспорта научной специальности 2.3.1 «Системный анализ, управление и обработка информации, статистика» (теоретические основы и методы системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений, обработки информации и искусственного интеллекта) в части системного анализа и управления. Третье и четвертое положения, выносимые на защиту, соответствуют пункту 4 паспорта научной специальности 2.3.1 «Системный анализ, управление и обработка информации, статистика» (разработка методов и алгоритмов решения задач системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений, обработки информации и искусственного интеллекта) в части системного анализа и управления.

Апробация полученных результатов. Основные результаты диссертационной работы обсуждались на следующих конференциях:

1. Всероссийская конференция молодых ученых-механиков (МГУ им. М.В. Ломоносова, 3-13 сентября 2020, Сочи).

2. Международная научно-техническая конференция «Автоматизация» RusAutoCon 2020 (6-12 сентября 2020, Сочи).

3. 20-я Международная конференция и молодежная школа «Математическое моделирование и суперкомпьютерные технологии» (23-27 ноября 2020, Нижний Новгород).

4. XXI Международная конференция и молодежная школа «Математическое моделирование и суперкомпьютерные технологии» (22-26 ноября 2021, Нижний Новгород).

5. XXII Международная конференция и молодежная школа «Математическое моделирование и суперкомпьютерные технологии» (14-17 ноября 2022, Нижний Новгород).

Публикации. В рамках диссертационного исследования автором подготовлено и опубликовано 14 работ. Основные научные статьи опубликованы в ведущих рецензируемых научных изданиях таких как «Управление большими системами» [1-4], «Сборник трудов НГТУ им. Р.Е. Алексеева», «Проблемы информатики», «Communications in Computer and Information Science (Springer)», «Lecture Notes in Electrical Engineering (Springer)». Количество статей, опубликованных в журналах, входящих в перечень ВАК - 9, в системе SCOPUS - 3.

Личный вклад автора. Все представленные в работе формулировки и доказательства предложены автором самостоятельно. Вычислительные эксперименты, результаты которых помещены в последней главе, выполнялись на основе программных кодов, написанных автором на встроенном языке про-

граммирования МА^АВ. Все публикации выполнены автором самостоятельно без соавторов.

Автор выражает сердечную благодарность научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору Дмитрию Владимировичу Баландину за ценные замечания и помощь в формулировке основных пунктов вводной части диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав основной части, заключения и списка литературы. Введение содержит следующие пункты: актуальность темы исследования и степень ее разработанности, цель и задачи, научная новизна, практическая значимость, методология и методы исследования, положения, выносимые на защиту, степень достоверности результатов, соответствие диссертации паспорту научной специальности, апробация основных результатов, публикации и личный вклад автора. В первой главе предложен алгоритм приведения матрицы замкнутой системы к блочному виду, в котором матрица регулятора локализуется в одной из двух ее подматриц. В этой главе определено аналитически проверяемое условие неразрешимости задачи о размещении полюсов с помощью статического регулятора по выходу. Вторая глава посвящена решению задачи синтеза статических регуляторов для линейных систем. В третьей главе решается задача синтеза статических регуляторов по выходу для нелинейных систем с помощью нечетких моделей Такаги-Сугено. Четвертая глава - решение задачи синтеза статических законов управления для системы электромагнитных подшипников при неполностью измеряемом состоянии. В заключении сформулированы основные результаты диссертации. Объем диссертации - 114 страниц, рисунков - 13, использованных источников литературы - 138.

Глава 1

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСА СИСТЕМЫ

Линейные матричные неравенства. Формулировка задачи. Обзор алгоритмов решения билинейных матричных неравенств, возникающих в задачах синтеза. Преобразование базиса. Блочно-однородные матрицы выхода. Условие неразрешимости задачи о размещении полюсов. Выводы.

1.1. Линейные матричные неравенства

Математическим инструментом решения задачи синтеза является аппарат линейным матричных неравенств. Дадим сначала соответствующее определение, а затем приведем алгоритм решения таких неравенств [57, 115]. Этимология слов указывает на то, что есть линейное (описывается линейной функцией) матричное (аргументом является матрица) неравенство. Необходимо только уточнить, что аргументом является симметрическая матрица. Линейное матричное неравенство относительно переменных х^ и заданных действительных пхп симметрических матриц р1, Ь = 1,2, ...,г + 1 можно записать в следующем виде [6]:

Р(х) = Ро + £[=1хЛ>0. (1.1)

Знак в правой части (1.1) значения не имеет. Неравенство может быть и нестрогим. Выражение (1.1) представляет собой аффинную матричную функцию (авторы [6] отмечают, что термин «аффинное матричное неравенство» был бы более подходящим). Разрешимость неравенства (1.1) означает, что соответствующая матрица положительно определена:

уу ^0 ^ утР(х)у > 0,

т.е. все собственные числа ¿(х) являются действительными положительными числами. Зададим допустимое множество решений (1.1):

! = {хе #г| ¿(х) > 0}. Для Ух1; х2 £ Х и 0 < ) < 1 имеем:

¿(ахх + (1 — ))х2) = «¿(х1) + (1 — а^(х2) > 0. Следовательно, множество Х является выпуклым. Задача разрешимости линейного матричного неравенства состоит в том, чтобы найти точку х* £ Х или доказать, что таковая отсутствует, т.е. Х = {0}. Выпуклость Х сильно упрощает решение такой задачи. Рассмотрим вспомогательную задачу:

Пусть тш0 = 0*. Если 0* < 0, то задача разрешима, в противном случае - нет. Задача (1.2) представляет собой задачу минимизации максимального собственного значения матрицы ¿(х). Сведем (1.2) к задаче безусловной выпуклой оптимизации. Введем для этого барьерную функцию:

Функция 1(х) выпукла на множестве Х. Алгоритм состоит в следующем. Сначала необходимо задать начальное значение параметра 0 таким образом, чтобы (1.2) выполнялось, а затем итерационно минимизировать 0 по тех пор, пока оно не

ттхд{0^(х) + 0/ > 0}.

(1.2)

окажется неположительным. Для вычисления последовательности х(=+1) применяется метод Ньютона:

х(=+1) = х(к) — а(к)Я(х(к))-1@(х(к)), где )(к) - коэффициент затухания;

Н(х(к)) и @(х(к)) - гессиан и градиент функции 1(х) в точке х(к), соответствен-

но.

aW =

В [115] показано правило задания коэффициента :

( 1, S(xW) < 0.25 т+^х^))"1, 8(xW)>0.25'

где S(x^) = \\Н(х)-°-5д(х)\\.

Оптимальная длина шага на к итерации может быть получена линейным поиском:

а(Ю = аг@ —ina ф (х(= + av^), где v№ = Н(х^к^)~1д(х^к^).

После вычисления х^к+1 необходимо проверить выполнение неравенства:

р(х(к+1)) + 0(к+1)1 >0.

Если А.(к+1 <0, то задача решена. В противном случае, переходим к следующей итерации. Повторяя эти действия, получим решение задачи. Поиск решения гарантируется за полиномиальное время.

Из определения линейного матричного неравенства видно, что Fty) = РТ(х). Всякая главная подматрица симметрической матрицы со знаковой определенностью имеет ту же знаковую определенность, что и сама матрица [9, 41]. Значит, требуется обеспечить знаковую определенность всех главных подматриц F^). Поясним сказанное на примере. Пусть задана симметрическая матрица Р(х):

х2 0

Ai х' 0\

Р(х) = [х2 х1 0). (1.4)

0 0 х1

Потребуем И(х) > 0. Матрице (1.4) можно придать вид (1.1):

1 0 0 0 1 0 Р(х) = х1 [0 1 0) + х2 [l 0 0)>0. 0 0 1 0 0 0

В соответствии с критерием Сильвестра для F(x) > 0 необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры соответствующей матрицы были положительными. Приходим к системе неравенств:

Хх > 0,

ХХХХ Х'Х' > 0, Х^Х^Х^ ХХХ2Х2 > 0.

Тогда множество решений F(x) > 0 запишется в виде:

X = {Х £ #2| Хх > 0,ХХ > Х2&. Изобразим множество X на рисунке 1.

Х1

Рисунок 1 - Множество решений (1.4).

Допустимое множество линейных матричных неравенств может быть и нелинейной, но при этом всегда остается выпуклым. Если размерность задачи невелика, то с помощью критерия Сильвестра можно составить систему нелинейных уравнений и решить ее аналитически. Далее перейдем к формулировке задачи о существовании статического регулятора по выходу.

1.2. Формулировка задачи

Рассмотрим формулировку задачи о статическом регуляторе по выходу для линейной непрерывной стационарной системы. Запишем исследуемую систему в матрично-векторной форме:

Х = Ах + Ви, х(0) = х0, (1.5)

У = сх,

где х £ #п - вектор состояния системы; у £ - вектор измеряемого выхода (1 < р < п); и £ #т - вектор управлений (1 < — < п); А £ #пхп - матрица системы; В £ #пхт - матрица входа; С £ #Рхп - матрица выхода.

Матрицы входа и выхода задают управляемые и измеряемые переменные, участвующие в формировании стабилизирующей обратной связи соответственно. Будем полагать, что матрицы необратимы:

гапК(В) < п, (1.6)

гапК(С) < п.

Условия (1.6) характеризуют стабилизацию по выходу. Предельные случаи не рассматриваем (по состоянию), так как задача стабилизации системы по состоянию имеет простое решение. Кроме того, законы управления по состоянию малоинтересны с точки зрения практической. Размерности матриц В и С могут быть и избыточными. Уравнение статического регулятора имеет вид [6]:

и = [у, (1.7)

где [ £ #тхР - неизвестная матрица регулятора.

Уравнение замкнутой системы с учетом (1.7) примет следующий вид:

х = (А + В[С)х = А\х . (1.8)

Формулировка задачи звучит так (например, [35]): существует ли для заданных матриц А, В и С такая матрица [, которая обеспечивает асимптотическую устойчивость матрицы замкнутой системы (1.8)? Эта задача обсуждалась во многих работах. Отметим, например [59, 60, 62, 63]. Предложены разные подходы к ее решению. Существуют алгебраические подходы, такие как критерий Гурвица [39]. В общем случае алгебраические критерии приводят к нелинейной системе неравенств. Если размерность велика, то поиск решений аналитическим способом затруднителен. Нас интересует матрично-ориентированный подход к формулировке и решению задачи. Обратится для этого к методам А.М. Ляпунова [19, 20]. Производная квадратичной функции Ляпунова ](х) < 0, где ](х) = хТХх >0, в силу системы (1.8) будет равна [6]:

](х) = хт (А\Х + ХА\Т) х. (1.9)

Если система асимптотически устойчива, то ](х) < 0. Подставим в (1.9) матрицу

А\ = А + £[£.

Отбросив х ф 0, условие ](х) <0 с учетом (1.9) можно переписать в виде матричного неравенства:

ХА + АТХ + ХВ[С + Ст[ тВтХ<0. (1.10)

где Х = ХТ > 0.

Умножив обе части (1.10) слева и справа на матрицу Y = Х-1 запишем двойственное неравенство:

AY + YAT + B[CY + YCT[ тВт <0, (1.11)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мухин Алексей Валерьевич, 2025 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Андреев Ю.А. Управление линейными конечномерными системами / Ю.А. Андреев. - М.: Наука, 1987.

2. Баландин Д.В. Оптимальное линейно-квадратичное управление в классе обратных связей по выходу / Д.В. Баландин, М.М. Коган // Докл. РАН. 2007. Т. 415. № 6. С. 748-750.

3. Баландин Д.В. Синтез оптимальных линейно-квадратичных законов управления на основе линейных матричных неравенств / Д.В. Баландин, М.М. Коган // АиТ. 2007. № 3. С. 3-18.

4. Баландин Д.В. Линейно-квадратичные и у-оптимальные законы управления по выходу / Д.В. Баландин, М.М. Коган // АиТ. 2008. № 6. С. 5-14.

5. Баландин Д.В. Синтез регуляторов на основе решения линейных матричных неравенств и алгоритма поиска взаимно-обратных матриц / Д.В. Баландин, М.М. Коган // АиТ. 2005. № 1. С. 82-99.

6. Баландин Д.В. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств / Д.В. Баландин, М.М. Коган. - М.: Физматлит, 2007.

7. Оптимальная стабилизация тела в электромагнитном подвесе без изменения его положения / Д.В. Баландин, Р.С. Бирюков, М.М. Коган и другие // Изв. РАН. ТиСУ. 2017. № 3. С. 12-24.

8. Баландин Д.В. Управление движением вертикального жесткого ротора, вращающегося в электромагнитных подшипниках / Д.В. Баландин, М.М. Коган // Изв. РАН. ТиСУ. 2011. № 5. С. 3-17.

9. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

10. Гелиг А.Х. Нелинейные системы. Частотные и матричные неравенства /

A.Х. Гелиг, Г.А. Леонов, А.Л. Фрадков. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 608 с.

11. Гринвальд В.М. Первый отечественный аппарат вспомогательного кровообращения АВК-Н "СПУТНИК" на основе имплантируемого насоса крови /

B.М. Гринвальд и др. // Известия высших учебных заведений. Электроника. 2015. Т. 20, № 5. С. 516-521.

12. Горюшкин А.В. Об устойчивости нечетких систем управления / А.В. Го-рюшкин // Вестник КРАУНЦ. Сер. Физ.-мат. науки. 2011. №2(1). С.17-25.

13. Демидова Г.Л. Регуляторы на основе нечеткой логики в системах управления техническими системами / Г.Л. Демидова, Д.В. Лукичев - Спб.: Университет ИТМО, 2017.

14. Журавлев Ю.Н. Активные магнитные подшипники. Теория. Расчет. Применение / Ю.Н. Журавлев. - Спб.: Политехника, 2003.

15. Исмагилов Ф.Р. Перспективы развития аппаратов искусственного кровообращения / Ф.Р. Исмагилов, В.Е. Вавилов, Р.А. Нургалиева // Научное приборостроение. 2019. Т.29. №4. С. 19-27.

16. Калман Р. Очерки по математической теории систем / Р. Калман, П. Фалб, М. Арбиб. - М.: Мир, 1971.

17. Квакернаак Х. Линейные оптимальные системы управления / Х. Квакерна-ак, Р. Сиван. - М.: Мир, 1977.

18. Круглов В.В.. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети / В.В. Круглов, М.И Дли, Р.Ю. Голунов. - М.: Физматлит, 2001.

19. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения / А.М. Ляпунов. -Л.-М.: ОНТИ, 1935.

20. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения / И.Г. Малкин. - М.: Наука, 1966.

21. Мухин А.В. Синтез статических регуляторов на основе решения линейных матричных неравенств / А.В. Мухин // Управление большими системами. Выпуск 92. М.: ИПУ РАН. 2021. С. 38-42.

22. Мухин А.В. Оптимальная стабилизация ротора в системе электромагнитного подвеса с помощью нечетких моделей Takagi-Sugeno / А.В. Мухин // Проблемы информатики. 2021. №2. С. 26-37.

23. Мухин А.В. Математическое моделирование процесса стабилизации жесткого ротора, вращающего в электромагнитных подшипниках / А.В. Мухин // Труды НГТУ им. Р.Е. Алексеева. 2021. № 2. С. 36-48.

24. Мухин А.В. Применение нечетких моделей Takagi-Sugeno для стабилизации ротора в электромагнитном подвесе / А.В. Мухин // Труды НГТУ им. Р.Е. Алексеева. 2021. № 1. С. 30-38.

25. Мухин А.В. О существовании статических регуляторов по выходу /А.В. Мухин // Управление большими системами. Выпуск 69. М.: ИПУ РАН. 2021. С. 16-30.

26. Мухин А.В. Об одном случае синтеза статических регуляторов по выходу /А.В. Мухин // Сборник трудов XXI международной конференции «Математическое моделирование и суперкомпьютерные технологии» (22-26 ноября 2021, Нижний Новгород). С.236-241.

27. Мухин А.В. Управление движением вертикального жесткого ротора, вращающегося в электромагнитных подшипниках на основе измерения смещений / А.В. Мухин // Труды НГТУ им. Р.Е. Алексеева. 2022. №2(137). С. 1725.

28. Мухин А.В. Статическая стабилизация неустойчивых матриц линейных систем с помощью скалярных регуляторов / А.В. Мухин // Труды НГТУ им. Р.Е. Алексеева. 2022. №4(139). С. 37-45.

29. Мухин А.В. Пресечение множеств решений матричных неравенств в задачах синтеза статических регуляторов /А.В. Мухин // Управление большими системами. Выпуск 100. М.: ИПУ РАН. 2022. С. 107-119.

30. Неймарк Ю.И., Коган Н.Я., Савельев В.П. Динамические модели теории управления. М.: Наука, 1985.

31. Неймарк Ю.И. Математическое моделирование как наука и искусство. Нижний Новгород, ННГУ, 2010.

32. Пакшин П.В. Синтез управления со статической обратной связью по выходу для линейных систем / П.В. Пакшин, А.В. Рябов // АиТ. 2004. №4. С. 61-69.

33. Пегат А. Нечеткое моделирование и управление / А. Пегат. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2009.

34. Перов А.И. О спектральной абсциссе и логарифмической норме / А.И. Пе-ров, И.Д. Коструб // Математические заметки. 2017. №101. С. 562-575.

35. Поляк Б.Т. Трудные задачи линейной теории управления. Некоторые подходы к решению / Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков // Автоматика и телемеханика. 2005. №5. С. 7-46.

36. Поляк Б.Т. Математическая теория автоматического управления: учебное пособие / Б.Т. Поляк, М.В. Хлебников, Л.Б. Рапопорт. - М.: Ленанд, 2019.

37. Поляхов Н.Д. Обзор способов практического применения активных магнитных подшипников / Н.Д. Поляхов, А.Д. Стоцкая // Научное приборостроение. 2012. Т.12. №4. С. 5-18.

38. Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления / Е.П. Попов. - М.: Наука, 1988.

39. Постников М.М. Устойчивые многочлены / М.М. Постников. - М.: Наука, 1981.

40. Тер-Крикоров А.М. Курс математического анализа / А.М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин. - М.: БИНОМ. Лаборатория заний, 2015.

41. Хорн Р. Матричный анализ / Р. Хорн, Ч. Джонсон. - М.: Мир, 1989.

42. Чернов В.Г. Нечеткие контроллеры. Основы теории и построения: учебное пособие по курсу «Интеллектуальные системы управления» / Чернов В.Г. -Владимир, 2003.

43. Чурилов А.Н. Исследование линейных матричных неравенств. Путеводитель по программным пакетам / А.Н. Чурилов, А.В. Гессен. - СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004.

44. Шеклеина И.Л. Об активных магнитных подшипниках / И.Л. Шеклеина, А.В. Угольников, Д.С. Стожков // Известия УГТУ. 2016. Т.4. №44. С.76-79.

45. Шумафов М.М. Стабилизация линейных систем управления. Проблема назначения полюсов. Обзор / М.М. Шумафов // Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2019. Т. 6. №64. Вып.4. С. 564-591.

46. Якубович В.А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического регулирования / В.А. Якубович // ДАН СССР. -1962. Т.143. № 6. С.1304-1307.

47. Якубович В.А. S-процедура в нелинейной теории регулирования / В.А. Якубович // Вестник ЛГУ. 1971. сер.1. Вып.1. С. 62-77.

48. Якубович В.А. Частотная теорема в теории управления / В.А. Якубович // Сиб. матем. журнал. 1973. Т.14. №2. С. 384-420.

49. Arrifano N.S.D. Robust fuzzy control approach for a class of Markovian jump nonlinear systems / N.S.D. Arrifano, V.A. Oliveira // IEEE Trans. Fuzzy Syst. 2009. V.14. P. 738-754.

50. Amini F. Fuzzy optimal control of uncertain dynamic characteristics in tall buildings subjected to seismic excitation / F. Amini and R. Vahdani // Journal of Vibration and Control. 2008. V.14. №12. P. 1843-1867.

51. Apkarian P. A convex characterization of gain-scheduled H1 controllers / P. Apkarian, P. Gahinet // IEEE Trans. Automat. Control. 1995. V.40. №5. P. 853-864.

52. Apkarian P. Robust control via concave minimization local and global algorithms / P. Apkarian, H.D. Tuan // IEEE Trans. Automat. Control. 2000. V. 45, №2. P. 299-305.

53. Astolfi A. Static output feedback stabilization of linear and nonlinear systems / A. Astolfi, P. Colaneri // 39th Conference on Decision and Control, Sydney, AU, 2000.

54. Astolfi A. An algebraic characterization for the static output feedback stabilization problem / A. Astolfi, P. Colaneri // American Control Conference, Arlington, VA. 2001. P. 1408-1413.

55. Bernal M. Generalized nonquadratic stability of continuous-time Takagi-Sugeno models / M. Bernal, T.M. Guerra // IEEE Trans. Fuzzy Syst. 2010. V.18. P. 815822.

56. Bernstein D. S. Some Open Problems in Matrix Theory Arising in Linear Systems and Control / D.S. Bernstein // Linear Algebra and its Applications. 1992. V.162-164. P. 409-432.

57. Ben-Tal. Lectures on Modern Convex Optimization / A. Ben-Tal, A. Nemirovski. - Technion - Israel Institute of Technology, 2000.

58. Boyd S. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory / S. Boyd and others. - Philadelphia: SIAM, 1994.

59. Brockett R. A stabilization problem. In book: Open Problems in Mathematical Systems and Control Theory / R. Brockett. - London: Springer, 1999.

60. Blondel V. Survey on the state of the systems and control / V. Blondel, M. Gevers, A. Lindquist // European J. Contol. 1995. V.1. P. 5-23.

61. Blondel V. NP-hardness of some linear control design problems / V. Blondel, J.N. Tsitsiklis // European J. control. 1994. P.1-12.

62. Open Problems in Mathematical Systems and Control Theory / V.D. Blondel, E.D. Sontag, M. Vidyasagar, J.C. Willems. - London: Springer, 1999.

63. Byrnes C. I. Output feedback and generic stabilizability / C.I. Byrnes, B.D.O. Anderson // SIAM J. Contr. Optim. 1984. V.11. P. 362-380.

64. Cao Y.-Y. Static output feedback stabilization: an ILMI approach / Y.-Y. Cao, J. Lam, Y.-X. Sun // Automatica. 1998. V.34. P. 1641-1645.

65. Caverly R.J. LMI Properties and Applications in Systems, Stability, and Control Theory / R.J. Caverly, M.J. Forbes // URL: https://arxiv.org/abs/1903.08599v1.

66. Chen C.W. Stability analysis of T-C fuzzy models for nonlinear multiple time-delay interconnected systems / C.W. Chen, W. L. Chiang, F. H. Hsiao // Mathematics and Computers in Simulation. 2004. V.66. №6. P. 523-537.

67. Chen C.W. Managing target the cash balance in construction firms using a fuzzy regression approach / C.W. Chen, H. L.Wang, J.W. Lin // International Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems. 2009. V.17. №5. P. 667684.

68. Chen C.W. Adaptive fuzzy slidingmode control for seismically excited bridges with lead rubber bearing isolation / C.W. Chen, K. Yeh, F. R. Liu // International Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems. 2009. V.17. №5. P. 705-727.

69. A stability criterion for time-delay tension leg platform systems subjected to external force / C.Y. Chen, C.W. Shen, C.W. Chen and others // China Ocean Engineering. 2009. V.23. №1. P. 49-57.

70. Chen P.C. GA-based modified adaptive fuzzy sliding mode controller for nonlinear systems / P.C. Chen, C.W. Chen, W.L. Chiang // Expert Systems with Applications. 2009. V.36. №3. P. 5872-5879.

71. Chilali M. H1-design with pole placement constraints: an LMI approach / M. Chilali, P. Gahinet // IEEE Trans. Automat. Control. 1996. V.41. №3. P. 358-367.

72. Chilali M. Robust pole placement in LMI regions / M. Chilali, P. Gahinet, P. Apkarian // IEEE Trans. Automat. Control. 1999. V.44. №12. P. 2257-2269.

73. Davoodi M. H2- and H^-Dynamic Output Feedback Control of a Magnetic Bearing System via LMIs / M. Davoodi, P.K. Sedgh, R. Amirifar // Proc. American Control Conf. Washington, USA, 2008. P. 2522-2527.

74. Doyle J. Review of LFTs, LMIs, and mu / J. Doyle, A. Packard, K. Zhou // Proceedings of the 30th Conference on Decision and Control. Brighton, England. 1991. P. 1227-1232.

75. Ding B. Further studies on LMI-based relaxed stabilization conditions for nonlinear systems in Takagi-Sugeno's form / B. Ding, H. Sun, P. Yang // Automatica. 2006. V.42. P. 503-508.

76. Driankov D. An introduction to fuzzy control / D. Driankov, H. Hellendorm, M. Reich Frank. - Berlin: Springer, 1996.

77. El Ghaoui L. A cone complementarity linearization algorithm for static outputfeedback and related problems / L. El Ghaoui, F. Oustry, M. Aitrami // IEEE Transactions on Automatic Control. 1997. V. 42. P. 1171-1176.

78. Elias A. A Novel relaxation of the static output feedback problem for a class of plants // Automatica. 2023. №158.

79. Faria F.A. Improving the stability conditions of TS fuzzy systems with fuzzy Lyapunov functions / F.A. Faria, G.N. Silva, V.A. Oliveira // Proceedings of the 18th IFAC World Congress, Milano, Italy, P. 10881-10886.

80. Faria F.A. Reducing the conservatism of LMI-based stabilization conditions for TS fuzzy systems using fuzzy Lyapunov functions / F.A. Faria, G.N. Silva, V.A. Oliveira // Int. J. Syst. Sci. 2012. V.44. P. 1956-1969.

81. Design of fuzzy design control systems with guaranteed stability / G. Feng, S.G. Cao, N.W. Rees and others // Fuzzy Sets and Systems. 1997. V. 85(1) P. 1-10.

82. The LMI Control Toolbox. For Use with Matlab. User's Guide / P. Gahinet, A. Nemirovskii, A.J. Laub and others. - Natick, MA: The MathWorks, Inc., 1995.

83. Gahinet P. A linear matrix inequality approach to H1-control / P. Gahinet, P. Apkarian // International Journal of Robust and Nonlinear Control. 1994. V.4. P. 421-448.

84. Garey M.J. Computers and intractability. A guide to the theory of NP-completeness / M.J. Garey, D.S. Jonson. - San Francisco.: 1979.

85. ^/km-synthesis via bilinear matrix inequalities / K.-C. Goh, J.H. Ly, L. Turan and others // Proc. of the IEEE Conf. on Decision and Control, Lake Buena Vista, Florida, Dec. 1994. P. 2032-2037.

86. Goh K.-C. A global optimization approach for the EMH problem / K.-C. Goh, M. G. Safonov, G. P. Papvassilopoulos // Proc. of the IEEE Conf. on Decision and Control, IEEE Press, Piscataway, NJ. 1994. P. 2009-2014.

87. Goh K.-C. Biaffine matrix inequality properties and computational methods / K.-C. Goh and others // Proc. of the American Control Conf., IEEE Press, Piscataway, NJ. 1994. P. 850-855.

88. Goh K.C. Robust control synthesis via bilinear matrix inequalities / K.-C. Goh // Ph.D. thesis, University of Southern California, Los Angeles, CA, 1995.

89. Guclu R. Fuzzy logic control of vibrations of a light rail transport vehicle in use in Istanbul traffic / R. Guclu and M. Metin // Journal of Vibration and Control. 2009. V.15. №9. P. 1423-1440.

90. Hautus M.J.M. Controllability and observability of linear autonomous systems / M.J.M. Hautus // Nedert. Acad. Wetensch. 1969. Proc. Ser. A72. P. 443-448.

91. Hassibi A. A path following method for solving BMI problems in control / A. Hassibi, J. How, S. Boyd // Proceedings of American Control Conference. 1999. V.2. P. 1385-1389.

92. Henrion D. Solving polynomial static output feedback problems with PENBMI / D. Henrion and others// Proc. joint IEEE Conf. Decision Control and Europ. Control Conf., Sevilla, Spain. 2005.

93. Hsiao F. H. T-C fuzzy controllers for nonlinear interconnected systems with multiple time delays / F.H. Hsiao and others // IEEE Transactions on Circuits and Systems I. 2005. V.52. №9. P. 1883-1893.

94. Hsiao F. H. Application and robustness design of fuzzy controller for resonant and chaotic systems with external disturbance / F.H. Hsiao and others // Interna-

tional Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems. 2005. V.13. №3. P. 281-295.

95. Hsieh T. Y. A new viewpoint of s-curve regression model and its application to construction management / T.Y. Hsieh and others // International Journal on Artificial Intelligence Tools. 2006. V.15. №2. P. 131-142.

96. Hua H. A new impulsive synchronization criterion for T-C fuzzy model and its applications / H. Hua and others // Appl. Math. Model. 2013. V.37. P. 8826-8835.

97. Iwasaki T. The dual iteration for fixed order control / T. Iwasaki // IEEE Trans. Automat. Control. 1999. V.44. №4. P. 783-788.

98. Iwasaki T. All controllers for the general H1-control problem: LMI existence conditions and state space formulas / T. Iwasaki, R. E. Skelton // Automatica. 1994. V.30. №8. P. 1307-1317.

99. Iwasaki T. Linear quadratic suboptimal control with static output feedback / T. Iwasaki, R. E. Skelton, J.C. Geromel // Systems and Control Letters. 1994. V.23. №6. P. 421-430.

100. Iwasaki T. The XY-centering algorithm for the dual LMI problem: a new approach to fixed order control design / T. Iwasaki, R. E. Skelton // International Journal of Control. 1995. V.62. №6. P. 1257-1272.

101. Jadbabaie A. A reduction in conservatism in stability and L2 gain analysis of Tak-agi-Sugeno fuzzy systems via linear matrix inequalities / A. Jadbabaie // Proceedings of the 14th IFAC World Congress, Beijing, China. P. 285-289.

102. Jarre F. An interior-point method for minimizing the maximum eigenvalue of a linear combination of matrices / F. Jarre // SIAM J. Control and Opt. 1993. №31. P. 1360-1377.

103. Kawamoto S. An Approach to Stability Analysis of Second Order Fuzzy Systems / S. Kawamoto et al. // Proceedings of First IEEE International Conference on Fuzzy Systems. 1992. V.4. P. 1427-1434.

104. Kharrati H. Improved polynomial fuzzy modeling and controller with stability analysis for nonlinear dynamical systems / H. Kharrati and others // Math. Prob. Eng. 2012.

105. Kimura H. Pole assignment by gain output feedback / H. Kimura // IEEE Trans. AC. 1975. Vol. AC-20. P. 509-516.

106. Lee D.H. A fuzzy Lyapunov function approach to estimating the domain of attraction for continuous-time Takagi-Sugeno fuzzy system / D.H. Lee, J.B. Park, Y.H. Joo // Inform. Sci. 2012. V.185. P. 230-248.

107. Lee D.H. A new fuzzy Lyapunov function for relaxed stability condition of continuous-time Takagi-Sugeno fuzzy systems / D.H. Lee, J.B. Park, Y.H. Joo // IEEE Trans. Fuzzy Syst. 2011. V.19. P. 781-791.

108. Lefschetz S. Stability of Nonlinear Control Systems. Mathematics in Science and Engineering. Academic Press / S. Lefschetz. - New York, 1965.

109. Li Y.M. Type-2 T-C fuzzy impulsive control of nonlinear systems / Y.M. Li, Y.Y. Sun // Appl. Math. Model. 2012. V.36. P. 2710-2723.

110. Löfberg J. YALMIP: A Toolbox for Modeling and Optimization in MATLAB / J. Löfberg // Proceedings of the CACSD Conference, Taipei, Taiwan, 2004.

111. Mozelli L.A. A systematic approach to improve multiple Lyapunov function stability and stabilization conditions for fuzzy systems / L.A. Mozelli, R.M. Palhares, G.S.C. Avellar // Inform. Sci. 2009. V.179. P. 1149-1162.

112. Mukhin A.V. Optimal stabilization of the rigid rotor rotating in electromagnetic bearings / A.V. Mukhin // Lecture Notes in Electrical Engineering. 2021. V.729.

113. Mukhin A.V. Optimal rotor stabilization in an electromagnetic suspension system using Takagi-Sugeno fuzzy models / A.V. Mukhin // Communications in Computer and Information Science. 2021. V.1413. P. 181-192.

114. Mukhin A.V. Solving of the static output feedback synthesis problem in a class of block-homogeneous matrices of input and output / A.V. Mukhin // Communications in Computer and Information Science (CCIS). 2022. V.1750. P. 202-214.

115. Nesterov Y. E. Interior-Point Polynomial Algorithms in Convex Programming / Y. E. Nesterov, A. Nemirovski. - Philadelphia: SIAM, 1994.

116. Nemirovskii A.A. Several NP-hard problems arising in robust stability analysis / A.A. Nemirovskii // Math. Control, Signals, Systems. 1994. V.6. P. 99-105.

117. Nikoukhah R. LMITOOL: a Package for LMI Optimization in Scilab User's Guide: research report RT-0170, INRIA / R. Nikoukhah, F. Delebecque, L. El Ghaoui. 1995. P.23.

118. Sadabadi M. S. From static output feedback to structured robust static output feedback: A survey / M.S. Sadabadi., D. Peaucelle // Annual Reviews in Control. 2016. V. 42. P. 11-26.

119. Shorten R. Stability Criteria For Switched and Hybrid System / R. Shorten, F. Wirth, O. Mason, K. Wulff, C. King // SIAM Review. 2007. V. 49. №4. P. 542-595.

120. Sugeno M. Structure identification of fuzzy model / M. Sugeno, G.T. Kang // Fuzzy Sets Syst. 1998. V.28. P. 15-33.

121. Syrmos V. L. Static Output Feedback. A Survey / V. L. Syrmos and others // Automatica. 1997. V.33. №.2. P. 125-137.

122. Sturm J.F. Using SeDuMi 1.02, a MATLAB toolbox for optimization over symmetric cones / J.F. Sturn // Optim. Methods Software. 1999. V.11. №12. P. 625-653.

123. Takagi T. Fuzzy identification of systems and its applications to modeling and control / T. Takagi and M. Sugeno // EEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics. 1985. V.15. №1. P. 116-132.

124. Tanaka K. Fuzzy control systems design and analysis: a linear matrix inequality approach / K. Tanaka, H.O. Wang. - N.Y.: Wiley, 2001.

125. Tanaka K. Stability analysis and design of fuzzy control systems / K. Tanaka, M. Sugeno // Fuzzy Sets and Systems. 1992. V.2. №45. P. 135-156.

126. Tanaka K. A multiple Lyapunov function approach to stabilization of fuzzy control systems / K. Tanaka, T. Hori, H.O. Wang // IEEE Trans. Fuzzy Syst. 2003. V.11 P. 582-589.

127. Teixeira M.C.M. On relaxed LMI-based designs for fuzzy regulators and fuzzy observers / M.C.M. Teixeira, E. Assunero, R.G. Avellar // IEEE Trans. Fuzzy Syst. 2003. V.11. P. 613-623.

128. Toker O. On the NP hardness of solving bilinear matrix inequalities and simultaneous stabilization with static output feedback / O. Toker, H. Ozbay // Proceedings of the 1995 American control conference: the Westin Hotel, Seattle, Washington. June 21-23. 1995. V.4. P. 2525-2526.

129. Tong S. Robust stabilization of nonlinear time-delay interconnected systems via decentralized fuzzy control / S. Tong, Q. L. Zhang // International Journal of Innovative Computing, Information and Control. 2008. V.4. №7. P. 1567-1582.

130. Tong S. Decentralized output feedback fuzzy H-infinity tracking control for nonlinear interconnected systems with time-delay / S. Tong and Q. L. Zhang // Inter-

national Journal of Innovative Computing, Information and Control. 2008. V.4. P. 3385-3398.

131. Tognetti E.S. Selective H2 and H1 stabilization of Takagi-Sugeno fuzzy systems / E.S. Tognetti, R.C.L.F. Oliveira, P.L.D. Peres // IEEE Trans. Fuzzy Syst. 2011. V.19. P. 890-900.

132. Tognetti E.S. Fuzzy pole placement based on piecewise Lyapunov functions / E.S. Tognetti, V.A. Oliveira // Int. J. Robust Nonlinear Control. 2010. V.20. P. 571-578.

133. Wang H.O. An approach to fuzzy control of nonlinear systems: Stability and design issues / H.O. Wang, K. Tanaka, M.F Griffin // IEEE Transactions on Fuzzy Systems. 1996. V.4. №1. P. 14-23.

134. Wang X.A. Grassmanian, Central Projection, and Output Feedback Pole Assignment of Linear System / X.A. Wang // IEEE Transactions on Automatic Control. 1996. V.41. №6. P. 786-794.

135. Wonham W.M. On Pole Assignment in Multi-Input Controllable Linear Systems / W.M. Wonham // IEEE Trans. Aut. Contr. 1967. Vol.AC-12. №6. P. 660-665.

136. Yang Y. Optimal Control and Output Feedback Design Options for Active Magnetic Bearing Spindle Position Regulation / Y. Yang, H. Zhu // J. Networks. 2013. V.8. P. 1624-1631.

137. Zadeh L. Outline of new approach to the analysis of complex systems and decision processes / L. Zadeh // IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics. 1973. V.3. P. 28-44.

138. Zhang H. Relaxed stability conditions for continuous-time TS fuzzy control systems via augmented multi-indexed matrix approach / H. Zhang, X. Xie // IEEE Trans. Fuzzy Syst. 2011. V.19. P. 478-492.