Синтез оптимальных многостадийных систем теплообмена тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Ле Куанг Туен

• Ле Куанг Туен
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Ле Куанг Туен

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 Обзор основных подходов к синтезу оптимальных систем теплообмена

1.1 Анализ подходов к энергоресурсосбережнию в химико-технологических системах

1.2 Постановка задачи оптимальной теплоинтеграции систем теплообмена

1.3 Математические модели теплообменного оборудования для синтеза систем теплообмена

1.4 Основные подходы к синтезу оптимальных систем теплообмена

1.4.1 Эвристические методы

1.4.2 Термодинамические методы

1.4.3 Алгоритмические методы

1.4.4 Метод одновременного синтеза оптимальных систем теплообмена

1.5 Обоснование выбора метода решения задачи оптимальной тепловой интеграции

1.6 Синтез системы теплообмена как задача о назначениях

1.7 Метод последовательного квадратичного программирования

1.8 Декомпозиционные методы оптимизации химико-технологических систем

Выводы

Постановка задачи исследования. Цель и задачи

ГЛАВА 2. Разработка интегрально-декомпозиционного подхода для синтеза

оптимальной многостадийной теплоинтеграции

2.1 Постановка задачи синтеза многостадийных систем теплообмена

2.2 Метод синтеза оптимальных многостадийных систем теплообмена на прямоточной суперструктуре

2.3 Алгоритм синтеза оптимальных многостадийных систем теплообмена на прямоточной суперструктуре

2.4 Метод синтеза оптимальных многостадийных систем теплообмена на противоточной суперструктуре

2.5 Алгоритм синтеза оптимальных многостадийных систем теплообмена на противоточной суперструктуре

Выводы

ГЛАВА 3. Разработка программного комплекса синтеза оптимальной многостадийной системы теплообмена. Вычислительный эксперимент

3.1. Разработка программного комплекса синтеза оптимальной многостадийной системы теплообмена

3.1.1 Укрупненный алгоритм решения задачи синтеза оптимальных многостадийных систем теплообмена

3.1.2 Выбор универсальной моделирующей программы и математического пакета

3.1.3 Описание интерфейса пакета прикладных программ Matlab и универсально-моделирующей программы HYSYS

3.1.4 Разработка программного комплекса решения задачи синтеза оптимальных многостадийных систем теплообмена

3.2. Вычислительный эксперимент

3.2.1 Синтез оптимальных систем теплообмена без изменения агрегатного состояния материально-тепловых потоков

3.2.2 Синтез оптимальных систем теплообмена с изменением агрегатного состояния материально-тепловых потоков

Выводы

ГЛАВА 4. Оптимальный синтез многостадийной системы теплообмена

установки ректификации производства этилового спирта

4.1 Описание технологической схемы установки ректификации этилового спирта

4.2 Построение компьютерной модели установки ректификации этилового спирта

4.2.1 Выбор математических моделей технологического оборудования

4.2.2 Выбор методов расчета фазового равновесия и энтальпии

4. 2.3 Выбор методов расчета материально-теплового баланса

4.3 Компьютерное моделирование установки ректификации этилового спирта

4.3.1 Материальный баланс установки ректификации этилового спирта

4.3.2 Пинч-анализ установки ректификации этилового спирта как объекта тепловой интеграции

4.3.3 Синтез оптимальных одностадийной, многостадийных прямоточной и противоточной систем теплообмена установки ректификации этилового

спирта

Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Приложение 1. Модельные примеры синтеза оптимальных изотермических

систем теплообмена

Приложение 2. Модельные примеры синтеза оптимальных неизотермических систем теплообмена

Приложение 3. Акты об использовании результатов диссертационной работы

ВВЕДЕНИЕ1

Актуальность темы исследования. Высокая энергоемкость процессов химической, нефтехимической и нефтеперерабатывающей промышленности требует поиска системных технологических решений, направленных на ее снижение, и является актуальной задачей для обеспечения конкурентоспособности выпускаемой продукции и требований экологичности технологических установок. Одним из эффективных подходов к повышению энергетической эффективности химико-технологических систем (ХТС) является тепловая интеграция материально-тепловых потоков. Так, по данным зарубежных и отечественных источников [11, 119, 120], оптимальная теплоинтеграция позволяет сэкономить до 80% потребляемых энергоресурсов. В общем случае интеграция процессов - это целостный подход к проектированию и эксплуатации процесса. Тепловая интеграция заключается в организации передачи тепла между внутрисистемными источниками и стоками в целях уменьшения использования тепловой энергии от внешних источников. При этом сокращение потребления горячих теплоносителей, как правило, сопровождается эквивалентным уменьшением использования холодных. Разработка новых методов и алгоритмов оптимальной теплоинтеграции в ХТС неразрывно связана с развитием системной инженерии, в основе которой лежат методы системного анализа, синтеза, математического моделирования, оптимизации, а также информационные технологии.

Рассматриваемая задача оптимальной теплоинтеграции, другими словами задача синтеза оптимальной системы теплообмена (СТО), является сложной, комбинаторной, многоэкстремальной задачей большой размерности вследствие наличия в технологических установках множества источников и стоков тепловой энергии. За последние несколько десятилетий разработан ряд подходов и методов

1 Автор выражает благодарность к.т.н. Емельянову Илье Игоревичу за ценные практические советы и рекомендации в процессе выполнения данной работы.

оптимальной теплоинтеграции, позволяющих достичь существенного снижения значения критерия - суммы приведенных капитальных и операционных затрат [120]. Среди подходов, сформированных к настоящему времени, которые включают эвристические, термодинамические и алгоритмические методы, наибольший интерес представляют последние. Это объясняется применением строгих математических моделей и современных методов математического программирования, а также возможностью полной автоматизации поиска точного решения. В настоящей работе получил дальнейшее развитие алгоритмический метод, изложенный в [19], который основан на сведении задачи тепловой интеграции к задаче линейного математического программирования о назначениях. Преимуществом этого метода является устранение структурной дискретности, возможность решения крупномасштабных задач оптимального синтеза СТО и частичная ликвидация локальных минимумов критерия оптимальности.

Степень разработанности темы. Впервые задача синтеза оптимальных СТО, как задача о назначениях, была сформулирована, решена и опубликована Kobayashi S., Umeda Т., Ichikawa A. В дальнейшем она получила развитие в работах Klemes J., Kravanja Z., Кафарова В.В., Мешалкина В.П., Гурьевой Л.В., Островского Г.М., Бережинского Т.А., Зиятдинова Н.Н., Емельянова И.И. Общим недостатком указанных работ явилось ограничение на однократный теплообмен между горячими и холодными потоками. Очевидно, что снятие этого ограничения, разработка подхода к синтезу многостадийных систем теплообмена, позволит существенно расширить поисковую область и получить лучшие решения.

Объект исследования. Системы теплообмена материально-тепловых потоков химико-технологических установок.

Предмет исследования. Метод синтеза оптимальных многостадийных систем теплообмена на основе задачи о назначениях.

Цель исследования. Разработка и оценка эффективности алгоритмического декомпозиционно-интегрального метода синтеза оптимальных многостадийных систем теплообмена.

Задачи исследования:

• Провести анализ современного состояния проблемы синтеза оптимальных систем теплообмена химико-технологических установок;

• Разработать метод, алгоритм и программный комплекс решения задачи синтеза оптимальных многостадийных систем теплообмена;

• Провести анализ работоспособности и оценку эффективности разработанных метода, алгоритма и программного комплекса на модельных примерах в сравнении с результатами синтеза оптимальных одностадийных систем и интегрального метода синтеза оптимальных систем теплообмена, реализованного в получившем широкое распространение программном комплексе SYNHEAT;

• На построенной компьютерной модели установки ректификации производства этилового спирта провести термодинамический анализ материально-тепловых потоков установки с целью определения предельных возможностей энергосбережения;

• Решить задачу синтеза оптимальной многостадийной системы теплообмена установки ректификации производства этилового спирта с использованием разработанного метода и провести сравнительный анализ полученного результата с результатами синтеза одностадийной системы теплообмена.

Методология и методы исследования. Системный подход, математическое и компьютерное моделирование, методы термодинамического анализа, линейного и нелинейного математического программирования.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синтез оптимальных многостадийных систем теплообмена»

Научная новизна работы

1. Впервые предложены суперструктуры для синтеза оптимальных прямоточных и противоточных многостадийных систем теплообмена на основе задачи о назначениях, в которых горячие и холодные потоки могут обмениваться

теплом многократно, и которые позволяют проводить условную декомпозицию задачи синтеза систем.

2. Формализованы постановки задач синтеза оптимальных прямоточных и противоточных многостадийных систем теплообмена на основе декомпозиционного принципа закрепления промежуточных переменных и задачи о назначениях.

3. Предложен новый интегрально-декомпозиционный подход для синтеза оптимальной системы многостадийной теплоинтеграции, сводящий задачу дискретно-непрерывного нелинейного программирования к итерационной последовательности задач линейного программирования систем теплообмена, выделяемых из предложенной суперструктуры. Подход основан на решении задачи линейного программирования о назначениях и декомпозиционном принципе закрепления переменных оптимизации сложных систем.

4. Разработаны методы и алгоритмы синтеза оптимальных многостадийных систем теплообмена на прямоточной и противоточной суперструктурах.

Теоретическая и практическая значимость Анализ современного состояния проблемы синтеза оптимальных систем теплообмена химико-технологических установок расширяет теоретические представления о развитии научного направления, связанного с решением проблем теплоинтеграции химико-технологических систем, обеспечивающих повышение их энергоэффективности на основе задачи о назначениях. В работе предлагается развитие алгоритмического интегрально-декомпозиционного подхода для синтеза оптимальных многостадийных систем теплообмена. Для подтверждения эффективности данного подхода:

• Разработана многоуровневая структура программного комплекса оптимального синтеза многостадийных систем теплообмена;

• Создан программный комплекс для решения задач синтеза оптимальных многостадийных систем теплообмена с использованием программного пакета МаАаЬ;

• Выбраны известные и разработаны авторские модельные примеры для сравнения разработанного метода синтеза многостадийных систем теплообмена с наиболее эффективным методом интегрального синтеза, реализованного в программном пакете SYNHEAT;

• В среде универсальной моделирующей программы HYSYS разработана компьютерная модель установки ректификации производства этилового спирта;

• Разработан интерфейс пакета прикладных программ МаАаЬ и универсальной моделирующей программы HYSYS;

• С использованием разработанного в среде МаЙаЬ программного комплекса и компьютерной модели установки ректификации этилового спирта решена задача синтеза оптимальной системы теплообмена по критерию суммарных приведенных капитальных и эксплуатационных затрат для одностадийной, многостадийной прямоточной и противоточной суперструктур;

• Разработанные алгоритмы, программный комплекс, модельные примеры внедрены в учебный процесс кафедры системотехники для подготовки бакалавров по направлению 27.06.03 - Системный анализ, управление и обработка информации (в химической технологии), а также переданы для использования в ООО НПО «Высокие технологии» и ООО «Технологии оптимального проектирования».

Достоверность полученных результатов. В работе использованы математический пакет Ма1ЬаЬ, включающий быстродействующие, точные методы линейного и нелинейного математического программирования, универсальная программа HYSYS, содержащая точные методы расчета термодинамических свойств веществ, адекватные строгие математические модели технологического оборудования, построенные на законах сохранения массы, энергии, импульса.

Личный вклад автора. Диссертация написана автором самостоятельно. Все результаты, составляющие основное содержание диссертационной работы, получены лично автором или при его непосредственном участии.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях»: ММТТ-29 (С-Петербург, 2016 г.), ММТТ-30 (С-Петербург, 2017 г.), ММТТ-31 (С-Петербург, 2018 г.); XI Международной Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление» (Казань, 2017 г.), Международной научно-практической конференции «Логистика и экономика ресурсосбережения и энергосбережения в промышленности» (МНПК «ЛЭРЭП-12-2018»).

Положения, выносимые на защиту:

• Суперструктуры для синтеза оптимальных прямоточных и противоточных многостадийных систем теплообмена на основе задачи о назначениях, в которых горячие и холодные потоки могут обмениваться теплом многократно, и которые позволяют проводить условную декомпозицию задачи синтеза систем;

• Формализованные постановки задач синтеза оптимальных прямоточных и противоточных многостадийных систем теплообмена на основе декомпозиционного принципа закрепления промежуточных переменных и задачи о назначениях;

• Интегрально-декомпозиционный подход для синтеза оптимальной многостадийной теплоинтеграции, сводящий задачу дискретно-непрерывного нелинейного программирования к итерационной последовательности задач линейного программирования систем теплообмена, выделяемых из предложенной суперструктуры;

• Методы и алгоритмы синтеза оптимальных многостадийных систем теплообмена на прямоточной и противоточной суперструктурах;

• Многоуровневая структура программного комплекса оптимального синтеза многостадийных систем теплообмена;

• Программный комплекс для решения задач синтеза оптимальных многостадийных систем теплообмена с использованием программного пакета МаАаЬ;

• Результаты вычислительного эксперимента на модельных примерах для сравнения эффективности разработанного метода синтеза многостадийных систем теплообмена с известным методом интегрального синтеза, реализованным в программном пакете SYNHEAT;

• Компьютерная модель установки ректификации производства этилового спирта разработанная в среде универсальной моделирующей программы HYSYS;

• Интерфейс пакета прикладных программ Matlab и универсальной моделирующей программы HYSYS;

• Результаты (с использованием разработанного в среде Matlab программного комплекса и компьютерной модели установки ректификации производства этилового спирта) решения задачи синтеза оптимальной системы теплообмена по критерию суммарных приведенных капитальных и эксплуатационных затрат для одностадийной, многостадийной прямоточной и противоточной суперструктур. Сравнительный анализ полученных результатов с результатами синтеза одностадийной системы теплообмена установки ректификации этилового спирта.

Публикации. Основные положения диссертационной работы опубликованы в 9 научных работах, в том числе 3 статьи в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ, 1 статья в журнале, цитируемом в научно-метрических базах Scopus, Web of Science.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 165 страницах машинописного текста, состоит из введения, четырех глав основного текста, заключения, списка использованной литературы из 156 наименований, 3 приложений. Работа содержит 43 рисунка и 35 таблиц.

В первой главе сформулирована задача синтеза оптимальных систем теплообмена. Рассмотрены математические модели теплообменного оборудования, используемые при решении задач синтеза систем теплообмена, приведены основные положения пинч-анализа, дан обзор методов нелинейного

программирования, нашедших применение при решении оптимизационных задач в химической технологии, представлен критический анализ основных подходов и методов синтеза оптимальных систем теплообмена. Показана перспективность дальнейшего развития алгоритмических методов синтеза оптимальных систем теплообмена, основанных на задаче о назначениях. Глава завершается формулировкой цели и задач исследования.

Вторая глава посвящена разработке интегрально-декомпозиционного подхода для синтеза оптимальной многостадийной системы теплообмена. Сформулирована постановка задачи синтеза многостадийных систем теплообмена. Разработаны суперструктуры систем многостадийного теплообмена материально-тепловых потоков с прямоточной и противоточной топологией. Разработаны методы и алгоритмы синтеза оптимальных многостадийных систем теплообмена на прямоточной и противоточной суперструктурах. Для этого предложен способ декомпозиции исходной задачи синтеза систем теплообмена на вложенные задачи оптимизации в соответствии с иерархическим представлением элементов суперструктуры, формализована задача синтеза оптимальных многостадийных систем теплообмена на предложенных суперструктурах в виде многоуровневой итерационной последовательности задач линейного и нелинейного программирования для оптимизации элементов суперструктуры и способ их координации, разработан метод решения задачи синтеза оптимальной многостадийной системы теплообмена на основе декомпозиционного принципа закрепления промежуточных переменных и задачи о назначениях.

В третьей главе дано описание разработанного программного комплекса синтеза оптимальной системы теплообмена. Представлен укрупненный многоуровневый алгоритм решения задачи синтеза оптимальных многостадийных систем теплообмена. Приведено обоснование выбора универсальной моделирующей программы для создания адекватной компьютерной модели и математического пакета для программной реализации разработанного алгоритма. Дано описание разработанного интерфейса пакета прикладных программ МайаЬ и универсально-моделирующей программы HYSYS. В завершении главы на

известных и разработанных автором модельных примерах неизотермических и изотермических систем теплообмена проведена оценка эффективности полученных результатов синтеза оптимальных СТО по сравнению с результатами, полученными с использованием известного программного пакета SYNHEAT.

Четвертая глава посвящена оптимальному синтезу многостадийной системы теплообмена установки ректификации производства этилового спирта с использованием разработанного программного комплекса синтеза оптимальных многостадийных систем теплообмена. В среде универсальной моделирующей программы HYSYS построена компьютерная модель рассматриваемой установки, проведен пинч-анализ, показавший резервы для теплоинтеграции и решена задача синтеза оптимальной многостадийной системы теплообмена. В результате получена двухстадийная система, которая показала возможность снижения экономического критерия на 6,2% по сравнению с методом синтеза оптимальной одностадийной системы теплообмена.

Каждая глава завершается выводами.

В заключении представлены основные результаты работы и выводы.

В приложениях 1,2 представлены результаты решения 10 авторских модельных примеров синтеза систем теплообмена без изменения и с изменением агрегатного состояния. Приведено сравнение полученных результатов с результатами, полученными программой SYNHEAT.

В приложении 3 представлены Акты об использовании результатов диссертационной работы.

ГЛАВА 1 Обзор основных подходов к синтезу оптимальных систем

теплообмена

1.1 Анализ подходов к энергоресурсосбережнию в химико-технологических

системах

В настоящее время сформировалось несколько направлений повышения энергоэффективности химико-технологических процессов и систем. Среди них выделяют следующие:

1. Модернизация конструкции аппаратов с целью интенсификации протекающих в них процессов, на различных иерархических уровнях [10, 15]. В процессах ректификации это замена контактных устройств для увеличения поверхности контакта фаз, снижения гидравлического сопротивления [2, 44, 45, 66]. Это приводит к снижению расхода флегмы и, как следствие, к экономии расхода внешних теплоносителей в кипятильниках и дефлегматорах. В реакторных процессах расход энергии во многом определяется конверсией сырья за один проход [72]. Повышение конверсии может быть достигнуто с увеличением поверхности соприкосновения реагирующих фаз в гетерогенной системе, использованием современных катализаторов, обеспечивающих снижение энергетического уровня протекания химической реакции, повышение селективности процесса [13]. В теплообменных процессах это мероприятия, направленные на увеличение теплопередачи между обменивающимися теплом потоками за счет создания искусственных шероховатостей, оребрения поверхностей теплообмена, закручивания потоков, что приводит к турбулизации потоков, выбора современных конструкционных материалов, обладающих максимальной теплопередачей, организации потоков внутри теплообменников и др. [13, 15, 42, 74, 146].

2. Технологическая подготовка материально-тепловых потоков участвующих в тепломассообмене, которая в частности заключается в использовании ингибиторов коррозии, полимеризации и биообрастания поверхностей теплообмена, очистке газов, паров, жидкостей от твердых включений и примесей, которые отрицательно сказываются на процессах тепломассообмена, например, вызывая отложения на поверхности тепломассобменного оборудования [33, 39, 65].

3. Совмещение нескольких процессов в одном аппарате. Примерами таких процессов являются совмещение в реакторе нескольких химических реакций, в том числе экзо- эндотермических реакций, что приводит к адиабатическому режиму в реакторе [72, 114], реакционно-ректификационные процессы [41, 72], ректификационные комплексы с полносвязанными и частичносвязанными материально-тепловыми потоками [42, 63] и т.д.

4. Синтез и реконструкция оптимальных химико-технологических систем. Значительный вклад в этом случае вносят поиск оптимального количества тарелок, поиск последовательности разделения смеси, нахождение оптимальных тарелок для подачи сырья, тепловая интеграция внутренних технологических потоков системы, тепловые насосы и т.д. Повторная утилизация материальных и энергетических потоков, а также увеличение внутренней рециркуляции также могут вести к сокращению использования ресурсов [7, 34, 44, 46, 55, 69, 70, 72, 79, 88, 90, 94, 138].

4. Оптимизация стационарных и динамических режимов химико-технологических систем по критерию минимизации энергетических затрат в рамках АСУТП, с учетом оптимальных свойств статических и динамических свойств объектов управления [62, 95, 96, 97].

6. Использование компьютерных тренажеров для обучения оперативного персонала энергосберегающим принципам управления технологическими установками [14, 84, 85].

7. Синтез оптимальных систем теплообмена на основе тепловой интеграции материально-тепловых потоков химико-технологических систем при наличии источников и стоков тепловой энергии [9, 36 ,48, 71, 78, 91, 120].

Оптимальная теплоинтеграция материально-тепловых потоков химико-технологических систем считается одним из наиболее эффективных подходов повышения их энергоэффективности. Данный подход заключается в организации передачи тепла между внутрисистемными источниками и стоками в целях уменьшения использования тепловой энергии от внешних источников.

1.2 Постановка задачи оптимальной теплоинтеграции систем теплообмена

Рассмотрим математическую модель некоторой ХТС. Среди материально-тепловых потоков рассмотрим те, которые являются входными для теплообменных аппаратов. Разделим эти потоки на горячие и холодные. Назовем горячими потоки, которые охлаждаются до заданных температур и холодными -потоки, которые нагреваются до заданных температур.

Пусть имеется М горячих потоков £гь, (¿=1,..., М1) и М холодных потоков

, 0=1,., Мс), имеющих расходы ^и начальные температуры Г.ЬДп, (/=1,., М1), Гс,1п, (/=1,., Ме), удельные изобарные теплоемкости сгЬ, с/,

соответственно (Рисунок 1.1). Задача синтеза оптимальной системы теплообмена, другими словами оптимальной теплоинтеграции, ставится следующим образом [59,119,48]: необходимо найти структуру СТО горячих и холодных потоков, содержащую рекуперативные теплообменники, и, в случае необходимости, поставить холодильники на горячих потоках и нагреватели на холодных, определить такие значения всех поверхностей теплообмена рекуперативных

г1 лЬе ^ ¿геЬ >со1

теплообменников А , нагревателей А и холодильников А , расходов холодного теплоносителя ^" в холодильниках и горячего теплоносителя в нагревателях, при которых температуры горячих и холодных потоков после СТО будут равны

заданным значениям Т, (/=1,..., 7/С,ои, (/-1,..., Мс), и будет обеспечен

отбор необходимого количества теплоты А ^ от горячих потоков и передано

необходимое количество теплоты АО/ холодным потокам, а критерий

оптимальности (сумма приведенных капитальных и операционных затрат) примет минимальное значение. Выбор этого экономического критерия не случаен, так как он обеспечивает компромисс между приведенными капитальными и операционными затратами [143]. Отметим, что в качестве критерия оптимальности также используют термодинамический критерий суммарной рекуперируемой энергии [64,71].

Горячие потоки

sh

-fh,in

s2 sh

s

Mi

h,in T2 T h,in j yh,in TM 2

} f } • • • Г 1 • • • Г 1 r

Sc T"

T c,in

sc 2

Холодные потоки

T c,in о

sc j

s

LM 2

M 2

Найти:

структуру СТО,

площади рекуператоров, холодильников и нагревателей, расходы холодных и горячих теплоносителей

• • • • • •

7-fC,OU

M 2

rph out Th'Out Th'out Th'out

T2 7 M 2

Рисунок 1.1 - Постановка задачи синтеза

Сформулированная задача включает как дискретные бинарные переменные (наличие либо отсутствие теплообмена между двумя потоками), так и непрерывные переменные (площади поверхностей теплообмена в рекуператорах, холодильниках и нагревателях, расходы внешних холодных и горячих теплоносителей). Также эта задача характеризуется многовариантностью,

h

c,out

c.out

2

c.out

C,in

многоэкстремальностью, большой размерностью. Следствием сказанного является чрезвычайная вычислительная сложность рассматриваемой задачи. Это требует использовать для ее решения современные методы системного анализа [15, 38, 46, 51, 77, 98, 138, 143], в том числе методы математического моделирования [1, 8, 13, 16, 23, 76, 85], математического программирования [57, 58, 59, 97], оптимальной термодинамики [52, 81, 126, 48].

Для решения задачи оптимального синтеза СТО необходимо построить математические модели теплообменного оборудования, сформулировать критерий оптимальности, ограничения.

1.3 Математические модели теплообменного оборудования для синтеза

систем теплообмена

В общем случае теплообменное оборудование характеризуется распределенными параметрами, значения которых зависят от пространственной координаты [8, 46]. Следовательно, математическая модель теплообменников представляет собой систему дифференциальных уравнений в частных производных. Для решения задач синтеза СТО используются математические модели, описываемые системой нелинейных алгебраических уравнений [46, 143]. При построении принимают ряд допущений: 1) движение потоков в теплообменниках противоточное; 2) гидродинамические структуры потоков -идеального вытеснения; 3) теплоемкости обменивающихся теплом потоков в заданных интервалах температур являются постоянными величинами. Эти модели можно разбить на два класса: модели, основанные на среднелогарифмической разнице температур [8, 13, 34], и модели, использующие функции водяных эквивалентов [3, 31]. Структурная схема модели теплообменника представлена на Рисунке 1.2.

Г С,1П р с

Т Ь,1п р Ь

Т

с,оШ;

Т

Рисунок 1.2 - Структурная схема потоков теплообменника Первая модель позволяет рассчитывать прямо- и противоточные теплообменники и включает уравнения теплового баланса по горячему (1.1) и холодному (1.2) потокам:

д<2Ье = р/Ас/г. (тАДп - т.^)+р1 г ,

д£Ье = р/с с/ - т;,1п)+/, дй*=дй16;

/ /

уравнение теплопередачи

_ Дщ;

уравнение среднелогарифмической разности температур

Д^1п =-1-,

1п 1п( Дг1/ д*2)

д^ _т/ Ь,1п т°,ои

Д?2 _ Т.^ - т;дп ; уравнение для расчета коэффициента теплопередачи

и _ 1

1 ¿ст 1 ■ + — + —

сг

ст /

Чтобы избежать трудностей, связанных с использованием уравнения

1.1) 1.2)

1.3)

14)

1.5) 16)

1.7) 14)

для расчета среднелогарифмической разности температур д^1п [133], когда обе разности температур одинаковы, используют аппроксимации, предложенные Патерсоном [140], уравнение (1.8), и Ченом [103], уравнение (1.9).

LMTD = |(М.Дф12 + 3(Д1 + Д1) (1.8)

LMTD =

. , , . (Ж, + Ж1,)-1113 (ЖхЖ2у 1 2

(1.9)

2

Как следует из [110] расчет площади теплообмена по уравнению (1.3) с использованием аппроксимации Чена (1.9), дает немного завышенную площадь, в то время как уравнение Патерсона (1.8) занижает рассчитываемую площадь. Таким образом, приближение Чена обеспечивает получение решения с некоторым запасом, что позволяет расширить область работоспособности синтезированной СТО. В [110] показано, что влияние применяемой аппроксимации на точность проектирования СТО незначительно и обычно обсуждается только при сравнении результатов методов синтеза. Поэтому в настоящее время, при синтезе оптимальных СТО для расчета LMTD нашло применение уравнение Чена.

Модель, использующая функции водяных эквивалентов, получена из уравнения Белоконя [3]. Модель включает систему уравнений (1.10)—(1. 14) и позволяет рассчитывать теплообменники с перекрестными и смешанными потоками.

Г.кск л Тс'ои1 — Т°,'п Ж = = -; (1.10)

Т7С с грк,1п т->я,°и1 ' 4 7

Р1СР1Л1 — Т

грЪ,т грИ,°иХ р

Фэ = ' „■ " ' ■ = — . (1.11)

э т^п,1п т'с,1п

Функция тепловой эффективности элемента Ф э:

Ф=-1-; (1.12)

э [ 2 + (Ж +1)] 2 к '

2 ехр^) — 1

где 2 =7 (Ж +1)2 — 4рЖ , ре [0,1] . (1.13)

Число единиц переноса в элементе:

иА = ил

ГСЛ- ~ ЖТйТп. '

' Р 'I ] Р] ч

Т^к к____ттг ТГ'СС^ '

(1.14)

где О - количество передаваемого тепла кДж/ч; ь, ^ - массовые расходы

потоков, кг/ч; А - площадь поверхности теплопередачи, м ; и - коэффициент теплопередачи, кДж/м ч °С; А^ - средний логарифмический напор передачи тепла; £ - поправка к среднему логарифмическому температурному напору;

Г ,г/ - теплоты парообразования и конденсации, кДж/кг; аг ,а] - коэффициенты теплоотдачи потоков, кВТ/м2 К; р - индекс противоточности элемента; Фэ-функция тепловой эффективности в элементе; Лсг- коэффициент теплопроводности, кВт/м; Зст - толщина стенки, м; Ж - функция водяных эквивалентов потоков в элементе; Р - безразмерный температурный комплекс; £ -число единиц переноса тепла в элементе.

Отметим, что в модели Белоконя может возникнуть та же проблема неопределенности решения при расчете противоточных теплообменников, что и в первой модели, когда разности температур на концах теплообменника равны между собой. Мы предлагаем в таких случаях принимать индекс противоточности р равным 0,99999, то есть несколько меньше 1. Нами показано, что в этом случае результаты расчета площади теплообмена совпадают с результатами, полученными в первой модели с использованием аппроксимации Чена.

1.4 Основные подходы к синтезу оптимальных систем теплообмена

Как любая задача синтеза технологических систем [34, 59, 98], задача синтеза оптимальных СТО характеризуется сложным комбинаторным характером. Число возможных вариантов структур систем теплообмена экспоненциально возрастает с увеличением числа обменивающихся теплом горячих и холодных потоков [71]. Простой перебор вариантов возможных структур СТО становится бессмысленным. Это явилось причиной разработки различных подходов, которые можно классифицировать как эвристические, термодинамические, алгоритмические [5, 34, 54, 75, 95, 112, 120, 134, 149]. Следует отметить, что рассматриваемая классификация методов синтеза оптимальных СТО является достаточно условной.

1.4.1 Эвристические методы

Эвристические методы синтеза нашли широкое применение при проектировании химико-технологических процессов и систем. Они основаны на опыте инженеров-проектировщиков. Эти методы являются полезными при предварительном рассмотрении альтернативных схем, обладают простотой и позволяют получить лишь приближенное решение. Эвристические правила часто противоречат друг другу, и найденные решения могут значительно отличаться в экономических оценках. Наиболее полный обзор эвристических правил можно найти в работах [106, 123, 141, 143].

Эвристико-эволюционные правила лежат в основе создания экспертных систем автоматизированного проектирования СТО [36, 37, 50, 102, 124]. В них для синтеза оптимальных СТО используется продукционная модель представления знаний - набор продукционных правил, принимающих вид «If ... - then ... else...». Ввиду их противоречивости возникают сложности применения простого блока логического вывода с расходящимися продукционными правилами, что связано с отсутствием гарантии минимизации нарушений эвристических правил. Как показано в работе [141], такая задача может быть формализована в виде задачи линейного программирования. В ней, для оценки суммарного нарушения всех эвристических правил, в качестве критерия используется некоторая мера, характеризующая нарушение всех эвристических правил. Устранить противоречия эвристических правил возможно также путем их совместного использования с алгоритмическими методами [112, 116, 134, 141]. Так, именно этот способ лежит в основе дизъюнктивного программирования, предложенного I. Grossmann в работах [136, 142] и получившего развитие в статье [100, 105]. В этом случае задача становится двухкритериальной, в которой кроме экономического критерия учитывается критерий, характеризующий меру нарушения эвристических правил. Отметим, что с этими работами связан подход к синтезу ХТС [58, 61], в котором рассматривается вопрос использования алгебры логики.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ле Куанг Туен, 2019 год

Д1п -

(Д1.Д2).

(1.23)

(1.22)

Движущая сила противоточного теплообменника Д1п аппроксимируется с использованием приближения Чена:

/Ж Ж N -11/3

(Д/1+Д2) 2 _

Это приближение используется, чтобы избежать численных трудностей при решении уравнения Д1п, когда разности температур ( Д t1 , Д t 2 ) для обеих

сторон теплообменника равны между собой. Когда движущая сила с обеих сторон теплообменника равна нулю, движущая сила будет приближена к нулю.

7. Целевую функцию можно определить, как годовые затраты обслуживания сети. Годовая стоимость включает в себя стоимости утилит, фиксированных платежей для теплообменников и стоимости площади для каждого теплообменника

Целевая функция определяется следующим образом:

шп X ^сиА0Г + X АеуЬи + X X X С/,]л + X сиг» + X С/Г

Ли У'

геМ

уеМ с

геМ1 у'еМс

геМ

У'еМ с

Ру'

+

+X X X с А2« ^[АтАт,у,+.(ат1У,+Ат,м+.)/2] )

геМЬ У'еМ с у'еМс

+ X ' С™ А0С" / (ис" (АТ;™)(Ть,ои тси,'п)[АТси + (ть,ои тс«,'")]/2]м)

(1.24)

геМ 1

+

уеМ с

+ X ' сЬи А2 11 и / (иЬи (АТ1™)(ТЬи,*п т*с,ои1 )[АтЬи + (тЬи,1п тс.оиг)] / 2]13)

Р/ .Ьи

111 111 111

где — = — +—; -= — +—; —— = — 4

иу/ аг а/ и? аг ас"' Ц*" а} а

Ли

(1.25)

Предложенная модель смешанного целочисленного нелинейного программирования для задачи синтеза состоит в минимизации целевой функции в уравнении (1.24) при условии возможного значения площади, определяемой уравнениями (1.15)—(1.17). Непрерывные переменные

(т, АQi у, А2Ьи, А22си, А Тг. у, А ТЬи, АТуси) неотрицательны, а дискретные переменные

Г, ггси, 2к" равны 0 или 1. Хотя уравнения (1.15)—(1.17) линейны, нелинейности в

целевой функции (1.24) могут привести к множеству локальных решений из-за их невыпуклого характера.

Следует отметить, что утверждение об изотермическом смешивании на выходах стадии для разделения потока является строгим для случая, когда сеть, которая должна быть синтезирована, не включает разделение потока. Для структур, в которых присутствует разделение, утверждение может привести к переоценке стоимости площади, поскольку это ограничит взаимодействие между площадями теплообменников, участвующих в потоке разделения. В этом случае решение состоит в том, чтобы уточнить температуры, введя переменные потока в выбранной сетевой структуре и провести оптимизацию, используя модель нелинейного программирования.

Интересной особенностью данной модели является то, что можно добавлять ограничения, чтобы избежать генерации структур без разделения потока. При

этом требуется, чтобы для каждого потока на каждом этапе выбиралось не более одного соответствия.

£2; <1, ;еМ; £2. <1, ■ еМА. (1.26)

1.5 Обоснование выбора метода решения задачи оптимальной тепловой

интеграции

Представленный в разделе 1.4 обзор методов синтеза оптимальных систем теплообмена позволяет сделать определенные выводы для обоснования выбора перспективного направления разработки методов синтеза СТО. Так, некоторые из рассмотренных методов синтеза могут привести к экономически невыгодным результатам в связи с увеличением доли капитальных затрат в стоимости реализации системы. Причиной этого может быть большое количество теплообменников с очень маленькой площадью поверхности теплообмена, а также высокая стоимость металла при наличии движущей силы процесса теплообмена, стремящейся к нулю. Ввиду своей простоты, наибольшей популярностью пользуются термодинамический подход и методы, основанные на эвристических правилах. К сожалению, эти методы не позволяют получить экономически оптимальное решение задачи теплоинтеграции. Кроме того, пинч-метод проектирования может вообще привести к неэкономичному результату. Современные методы математического программирования дают лучшие результаты, однако тоже имеют ряд недостатков, среди которых стоит отметить: многоэкстремальность, большое число поисковых переменных, вычислительную трудоемкость вследствие сложного комбинаторного характера решаемой задачи. Такие недостатки присущи методу интегрального синтеза, который сводит задачу оптимальной теплоинтеграции к оптимизации суперструктуры. Вследствие большой параметричности математической модели суперструктуры СТО для реальных промышленных задач, включающих несколько десятков материально-

тепловых потоков, метод находит лишь ограниченное применение. Частичное устранение описанных недостатков возможно при использовании декомпозиционного подхода. Большими преимуществами обладает подход на основе задачи о назначениях, который является полностью алгоритмическим, использует декомпозицию задачи синтеза СТО на подзадачи линейного и нелинейного математического программирования [12, 25, 35, 47, 60, 121]. К недостаткам данного подхода стоит отнести отсутствие возможности алгоритма, учитывать возможность многократного, или многостадийного, теплообмена между горячими и холодными потоками, из-за чего снижается степень теплоинтеграции СТО.

1.6 Синтез системы теплообмена как задача о назначениях

Впервые задача синтеза оптимальных СТО как задача о назначениях была сформулирована, решена и опубликована S. Kobayashi, Т. Umeda, A. Ichikawa в 1971 году [121]. Согласно этому подходу строится матрица оценок, строками которой являются заданные входные и выходные параметры источников тепловой энергии, а столбцами - заданные параметры стоков тепловой энергии. На пересечении строк и столбцов устанавливаются рассчитанные оптимальные экономические оценки возможного теплообмена между соответствующими горячими и холодными потоками. Сочетания горячих и холодных потоков, обеспечивающих минимум экономического критерия, определяются с учетом ограничений на движущую силу процесса целенаправленного теплообмена. Поисковыми переменными здесь являются элементы матрицы назначений, указывающие на то, между какими горячим и холодным потоками должен быть организован рекуперативный теплообмен.

У нас в стране этот подход получил развитие в работах В.В. Кафарова, В.П. Мешалкина, Л.В. Гурьевой [34, 36, 47], А.А. Хвостова [20], а также в работах Г.М. Островского с соавторами [56, 59]. В первой группе перечисленных работ, на основе предложенного метода построения двудольного графа дана формализация

и решение задачи синтеза систем теплообмена как задачи оптимального назначения. Во второй группе работ предложена формализованная постановка задачи расчета оптимальных экономических оценок возможного теплообмена между горячими и холодными потоками, а также условия выбора взаимодействующих потоков.

Отметим, что общим недостатком этих работ является использование, для физически нереализуемых случаев рекуперативного теплообмена, бесконечно больших экономических оценок. Эта проблема была снята в диссертационной работе И.И. Емельянова [19, 155], в которой проведен глубокий теоретический анализ рассматриваемого подхода, выявлены его недостатки и положительные стороны и даны конструктивные предложения по его развитию для синтеза одностадийных систем теплообмена. Суперструктура для поиска оптимальной одностадийной системы теплообмена имеет вид, представленный на Рисунке 1.9.

Для формализации задачи нахождения оптимальных экономических оценок на организацию теплообмена каждой совокупности пар технологических потоков, в работах [25, 9] предложена каноническая форма суперструктуры теплообменных аппаратов (СЭБСТ), содержащей все возможные варианты структур элементарных блоков системы теплообмена (ЭБСТ).

Рисунок 1.9 - Суперструктура одностадийной системы теплообмена

Под ЭБСТ понимается такая структурная единица, которая позволяет осуществить передачу некоторого заданного количество теплоты Д^ у-му

холодному потоку 5е (у = 1,...,М ), и отбор некоторого заданного количества теплоты Дот /-го горячего потока 5гН (/' = 1,...,М ). В общем случае ЭБСТ включает рекуперативный теплообменник е., нагреватель (кипятильник) BJ и

холодильник (конденсатор) С/ (Рисунок 1.10).

? ■

до1

Т Ь,1п ^11

в..

С'

Рисунок 1.10 Суперструктура элементарного блока системы теплообмена

Задача оптимизации ЭБСТ решается на моделях нелинейного математического программирования с ограничениями на допустимую движущую силу процесса теплопередачи.

Формализованная постановка задачи оптимизации ЭБСТ записывается в

виде:

У = т1п ьи( /Сар + /орег)

-Гсар ^„Ье . ,£,Ье л/1е , ™„со1 . ™„со1 лусо° . ^„геЬ . ,~,геЬ л У

/ — тт + т2 А'. + тт + т2 А: + тт + т2 А,

/орег = тси си + т1111 Fhu

«/ 11

7

^/¿е (у/Н^п ус,/п А. Ц",)_0

фс°1 (Т^' тсм'/п тнтсиА Fси Ц/ )_0

^ГвЬ /ГТ1 Ни ,/П ГТ1С' ГТ1 ¿и,Ои? rтlC.OUt А ГТ'С Т^ки Т Т \ А

р (Т ,Т7,Т ,,,F ) = 0

1.27)

1.28)

1.29)

1.30)

1.31)

1.32)

п

п^Ш.

с.оШ.

Лй16 > 0, А0;со1 > 0, А0геЬ > 0 (1.33)

> ЛТт1п,Л/2 > ЛТт1п,Л/з > ЛТт1п,Л?4 > ЛТт1п,Л/5 > ЛТт1п,Л/6 > ЛТт

(1.34)

Л/1 = т11,111 - г/, Л/2 = т11'- Тс,1п, (135)

Л / _т; 1' т. °и,ои1 л / _т 1,ои1 т. °и,1п

(1.36)

Л/5 _ т7 - т7 ,л/6 _т - т7 (1.37)

где (1.30-1.32) - уравнения математических моделей рекуператора, холодильника, нагревателя; /й1е, /й™1, й/2о1, /йГ\ /й2еЬ - ценовые коэффициенты для определения капитальных затрат рекуперативного теплообменника, холодильника и кипятильника; уы,уао\укЬ - корреляционные коэффициенты; /йеи, /й1и - стоимость единицы расхода горячего и холодного теплоносителя; А., А., А. - площади

поверхностей теплообмена рекуперативного теплообменника, холодильника и нагревателя; Л/11е, Л/ 1е, Л/3ео1, Л/4о1, Л/5геЬ, Л/6геЬ - концевые разности температур рекуперативного теплообменника, холодильника и нагревателя, соответственно; Лтт1п - минимально допустимая разность температур.

В результате решения задачи оптимизации для каждой ; - го горячего и. - го холодного потоков находится матрица экономических оценок, которая используется для решения задачи о назначениях с целью определения

оптимальной структуры СТО. Задача принимает вид:

м м

тп ЕЕ -СЧ (138)

мм

Е_ 1,Е_ 1, . _ 1,-,м (1.39)

е{0,1},;,. _ 1...М. (1.40)

Поисковыми переменными этой задачи являются двоичные переменные . В работах [19, 25, 60] предложены новые условия для выбора переменных ,

отличающиеся от раннее описанных [59], которые охватывают практически все возможные варианты теплообмена в ХТС:

1, организуется теплообмен между горячим потоком 5, и холодным потоком рекуперативным теплообменником, либо горячийпоток охлаждается с помощью холодильника и холодныйпотокнагревается посредством нагревателя;

г.. = ^

и 0, оба потока , 5е) обмениваются теплом с другими

потоками, или один из потоков (5.1, ) обменивается теплом с одним из других потоков, а другой автономно нагревается (охлаждается).

Если в задаче неравное число горячих и холодных потоков, то задача представляется в следующем виде:

'и .=1 .,=1

М1 М2

.=1 ,=1

е{0,1},, = 1,...,, = 1,...,М2. (1.43)

Для случая, когда М1 < М2 имеет следующий вид:

М! М2

т^хх,'.- (I-44)

" ,.1 ,.1

М1 М2

X= 1I£ 1 (I"45)

,=1 ,=1

е{0,1},, = 1,...,М1,, = 1,...,М2. (1.46)

Для уменьшения размерности решаемой задачи получения оптимальных экономических оценок автором предложена классификация видов ЭБСТ и условия их применимости в зависимости от параметров горячего и холодного потоков [19, 25].

Таким образом, рассматриваемый метод представляет собой двухуровневую структуру. Нижний уровень решает задачу (1.26) поиска оптимальных

экономических оценок возможного теплообмена между горячими и холодными потоками. Эти задачи имеют небольшую размерность (не более 3-х поисковых переменных) и решаются методом нелинейного программирования. В результате формируется матрица назначений, которая используется для определения оптимальной структуры СТО по критерию минимума суммарных приведенных капитальных и эксплуатационных затрат (1.41). Эта задача линейного программирования, которая имеет эффективные методы решения [4, 32, 130]. Рассматриваемый метод обладает рядом преимуществ по сравнению с рассмотренными выше методами. Так метод является строго алгоритмическим, что позволяет полностью автоматизировать процесс проектирования оптимальной СТО. Он позволяет устранить проблемы дискретности задачи и частично обойти проблемы, связанные с многоэкстремальностью. При расчете оптимальных экономических оценок могут быть учтены затраты, связанные с пространственным расположением теплообменного и другого оборудования, затраты на транспортировку технологических и вспомогательных потоков и многое другое.

К числу недостатков рассматриваемого метода одностадийной интеграции следует отнести отсутствие возможности многократного обмена теплом материально-тепловых потоков, деления и рециркуляции обменивающихся теплом материально-тепловых потоков. Очевидно, что реализация этих возможностей существенно расширит область поиска оптимальной структуры системы теплоинтеграции по критерию суммарных приведенных капитальных и операционных затрат.

В нашей работе будет предложен интегрально-декомпозиционный метод синтеза оптимальных многостадийных систем теплообмена на основе задачи о назначениях. В связи с этим требуют рассмотрения методы решения задач нелинейного программирования и декомпозиционные методы оптимизации.

1.7 Метод последовательного квадратичного программирования

Для решения задач синтеза оптимальных СТО широко используются как стохастические, так и детерминированы методы оптимизации. Среди стохастических методов нашли применение такие методы, как имитация отжига [93], эволюционная стратегия [113, 153], генетические алгоритмы [89, 131]. Их преимуществом является возможность применения для решения невыпуклых задач смешанного дискретно-непрерывного нелинейного программирования большой размерности, решения задач глобальной оптимизации. Недостатком стохастических методов является отсутствие гарантии нахождения точного решения.

В обзорной статье [111] представлена классификация применяемых методов оптимизации к синтезу СТО, программная реализация и программные комплексы, в которые они вошли (Рисунок 1.11).

Как следует из классификации наиболее широкое распространение при решении задач нелинейного программирования получил метод последовательного квадратичного программирования (SQP). Действительно, в настоящее время метод SQP считается одним из самых эффективных методов минимизации с линейными и нелинейными ограничениями, при приемлемых начальных приближениях и небольшом числе поисковых переменных. Метод SQP использует как ограничения типа равенств, так и ограничения типа неравенств. В данном методе [55, 58] для выбора направления поиска решается задача квадратичного программирования, числовые характеристики которой последовательно уточняются от итерации к итерации. В задаче квадратичного программирования критерий является квадратичным приближением к функции Лагранжа, а ограничения - линейным приближением к ограничениям исходной задачи.

tu S

ä «

о а s

й &

о а с

tu о и о cu V S

ä s

tu

Обобщенное дизъюнктивное программирование

Vecchietti and Grossmann (1999, 2000) Lee and Grossmann (2000)

Генетические алгоритмы

Г

Случайный Имитация

поиск (RS) отжига

Гибридный метод

Дискретный поиск

Табу

LP/NLP на базе ветвей и границ

Quesada and Grossmann (1992) Van Roy and Wolsey (1987)

Смешанное Целочисленное Нелинейное Программирование

(MINLP)

Ветвления и Сужения

(Sahinidis, 1996)

Секущих плоскостей (ECP)

Westerlund and Pettersson (1992, 1995)

Внешней аппроксиации (OA)

Duran and Grossmann (1986) Wiswanathan Grossmann (1990) Fletcher and Leyffer (1994)

Обобщённяя декомпозиция Бендера (GBD)

Bender (1962), GeoffTion (1972)

Ветвей и Границ (B&B)

Gupta and Ravindran (1985) Borchers and Mitchell (1994) Leyffer (2001), Bussieck and Drud (2001)

Внутренней точки (IP)

Forsgren, Gill, and Wright (2002) Wachter (2002), Byrd et al. (1999)

Модифицированного Лагранжа

Conn, Gould and Toint (1992)

Нелинейное Программирование

(NLP)

Уменьшения градиента (GRG)

Drud (1992) Murtagh and Saunders (1998)

Последовательного квадратичного программирования (SQP)

Gill, Murray and Saunders (1997) Byrd, Hribar and Nocedal (1999)

Последовательного линейного программирования (SLP)

Fletch and Sainz de la Maza (1989) Byrd, Gould and Nocedal (2003)

Ветвей и Отсечения

Crowder et al. (1983) Johnson et al. (2000)

Смешанное Целочисленное Линейное Программирование (MILP)

Скущих плоскостей (CP)

Gomory (1960), Balas et al (1993)

Ветвей и границ (B&B)

Lang and Doing (1960), Dakin (1965)

Линейное Программирование (LP)

Внутренней точки

Karmarkar (1984)

Симплекс

Dantzing (1949)

Класс

Алгоритм решения

Интерфейс

Программа

Моделирующие системы

Рисунок 1.11 - Классификация методов оптимизации и их программная

реализация

Рассмотрим метод SQP подробнее [55, 97]. Для удобства изложения запишем задачу нелинейного программирования в виде

min f (x), (1.47)

x

при ограничениях

g (x) = 0 , i eI = {1,..., p}, (1.48)

g (x) < 0 , i e I2 = {p +1,..., m}, (1.49)

где x = (xx,..., xn )T. Отметим, что все простые ограничения вида xf < xi < xU , i = 1,...,n здесь включены в множество ограничений gi(x) < 0, i eI2.

Функции f (x), gi (x) (i = 1,..., m) будем полагать гладкими, и пусть градиент критерия vf(x) и матрица градиентов ограничений vg(x), как обычно, определены соотношениями:

Vf (x) =

df df

ЭХ/ ' аХ„ у ^^ (Х) = )

С задачей (1.47) связана следующая функция Лагранжа Ф (х, Л) = / (х) + (х), где Л - вектор множителей Лагранжа, причем Л > 0 при / е 12. Пусть

(1.50)

(1.51)

г д2Ф

V ХФ (x,A)

дФ дФ

dx1 dx

, VФ(x,Ä)

n У

д2Ф л

dxdx. dxdx

11 1 n

д2Ф д2Ф

(1.52)

кдхпдх1 дхпдхп у

являются градиентом и Гессианом функции Лагранжа по переменным вектора х . Укрупненный алгоритм метода SQP включает следующие шаги.

1. На шаге к = 0 выбрать начальные приближения для векторов х, Л и матрицы VххФ(х,Л): х0, Л0, В0.

2. Вычислить V/ (хк), V g (хк).

3. Решить задачу квадратичного программирования:

T

min (V/ (xk )Td + 0,5dTBkd), (1.52)

g.(xk) + Vg.(xk)Td = 0, i g /x, (1.53)

g.(xk) + Vgi(xk)Td < 0, i g /2, (1.54)

Пусть dk - решение задачи (1.52) и rf - (векторный) множитель Лагранжа в точке решения задачи.

4. Найти новое приближение для (х,Л) по формулам

xk+1 = xk + akdk, Лк+1 = Лк + ак (рк - Лк), (1.55)

где ак - параметр, определяющий величину шага: 0 <ак < 1 (шаг на направлении должен обеспечить убывание целевой функции направления).

5. Проверка на окончание итераций. Если да, то фиксировать xk+1 как решение задачи (1.52) и прекратить поиск. В противном - перейти к шагу 6.

6. Найти новое приближение Bk+1 для Гессиана функции Лагранжа по известной квазиньютоновской формуле BFGS (Бройдена-Флетчера- Гольдфарба-Шенно):

В/ (sk )TBk + /(/)T (sk)TB/ (yk)Ts

Bk+1 = Bk--к_кчГ„ _k + кчГк ' (1.56)

где ^ = хк+1 - , = УхФ(хк+1,Лк) -VхФ(, Л*).

7. Положить к=к+1 и перейти к шагу 2.

Метод SQP обладает глобальной сходимостью: он сходится к стационарной точке задачи (1.47) (точке, удовлетворяющей условиям Куна-Таккера). В окрестности решения метод обладает локальной сверхлинейной сходимостью [97]. При этом если нет больших математических осложнений, как показывает практика счета, метод сходится к решению задачи (1.47) [55]. Отметим еще одно достоинство метода. Поскольку в нем аппроксимируется прямой Гессиан функции Лагранжа (а не обратный), то при решении больших задач метод может быть объединен с техникой использования разреженных матриц [57]. Еще одно преимущество применения метода SQP для решения крупномасштабных смешанных целочисленных моделей нелинейного программирования (МГКЬР)

для синтеза оптимальных СТО показана в статье [129]. В статье предложен алгоритм параллельного метода SQP, который основан на разложении исходной задачи на независимые подзадачи нелинейного программирования, решаемые одновременно параллельным алгоритмом SQP центральным и графическими процессорами СРи^Ри. Получены формулы для оценки коэффициентов ускорения при использовании одного и нескольких графических процессоров. Эффективность распараллеливания показана на двух примерах синтеза крупномасштабных СТО.

Отметим еще один немаловажный факт с точки зрения решаемой в настоящей работе проблемы. Метод SQP реализован в универсальных программах HYSYS и ЦКШМ [92, 148], а также в математическом пакете Ма^аЬ [132].

1.8 Декомпозиционные методы оптимизации химико-технологических

систем

Декомпозиционные методы оптимизации ХТС предполагают, что система может быть представлена состоящей из ряда последовательных стадий. Отметим, что синонимами слова стадия являются узел, подсистема, блок. Каждая стадия может рассматриваться как условно автономная, со своим локальным критерием функционирования. Очевидно, что оптимизация отдельной стадии, без учета ее взаимодействия с остальными, не обеспечит оптимальности функционирования ХТС в целом. Вследствие этого декомпозиционные методы оптимизации имеют двухуровневую структуру (Рисунок 1.12) [53, 54]. Нижнему уровню соответствуют алгоритмы локальной оптимизации отдельных стадий ХТС, а верхнему уровню - алгоритм коррекции локальных задач оптимизации. По алгоритмам верхнего уровня для каждой стадии рассчитывается некоторая

совокупность параметров ^,...,^ вектора 5 (к=1,2,...,^), по которым

формируются локальные критерии оптимизации. После проведения оптимизации каждой стадии по алгоритмам нижнего уровня определяется совокупность

k k »-» т-г

параметров а1 ,...,ат, которая передается на верхним уровень. По этим данным

происходит корректировка параметров ¿1%..., ^ для согласования работы стадий и итерационный процесс повторяется.

51

52

х

и

а

1 •У1 х \ 2

У —►

Нижний уровень

Рисунок 1.12 - Общая структура декомпозиционного метода Запишем постановку задачи оптимизации ХТС с суммарным аддитивным

критерием в следующем виде: Ф = т* п £ ^ (х*, и*, у*)

при ограничениях

рк (х*, и*, /) = 0 ¥*(х*,и*,/) < 0

(1.57)

х* " Ут = 0

I* у т У

(1.58)

(1.59)

(1.60)

*,у = 1,2,...,N, /* = 1,2,...,I*, ту = 1,2,...,Му (1.61)

где М - число входов * - узла и выходов у -го узла соответственно; и* - вектор управлений *-ой стадии; х* - вектор входных переменных *-ой стадии; У -вектор выходных переменных *-ой стадии; ^ - локальный критерий оптимальности *-ой стадии; N - число стадий; ¥ *, рк,- ограничения типа неравенства и равенств соответственно; Ьк, М - число входов * -ой стадии и выходов у -ой стадии, соответственно.

Отметим, что вектор управлений ик может принимать как непрерывные, так и дискретные значения. Отсюда сформулированная задача (1.57) относится к классу задач смешанного дискретно-непрерывного нелинейного математического программирования.

На сегодняшний день получили распространение два основных декомпозиционных метода оптимизации: метод множителей Лагранжа (метод цен) и метод закрепления переменных [46, 53, 54, 68].

Алгоритм оптимизации, основанный на методе множителей Лагранжа, заключается в том, что на нижнем уровне определяются оптимальные значения входных хк* и управляющих переменных ик*, при которых обеспечивается максимальное или минимальное значение частного критерия оптимальности к-й

тт - к* к*

стадии. На верхнем уровне по найденным значениям х и с учетом

ограничений связей стадий решается М (м = ^ М J) нелинейных уравнений

]=1

относительно множителей Лагранжа /I и уточняются их значения. Итерационный процесс повторяется до выполнения условия окончания работы алгоритма. Очевидно, что здесь роль величин / (рисунок 1.12) выполняют множители Лагранжа /I, а роль ак - величины хк* и _ук* .

Общий алгоритм оптимизации на базе метода закрепления переменных выглядит следующим образом. Верхний уровень посылает каждой локальной стадии некоторую совокупность входных переменных. На нижнем уровне проводится оптимизация каждой стадии по управляющим переменным ик (к=1,2, ..., N при закрепленных входных переменных хк. В результате оптимизации, будут найдены значения управляющих переменных, при которых обеспечиваются минимальные значения критерия оптимальности для каждой стадии. Найденные значения управляющих переменных передаются на верхний уровень, где решается задача оптимизации всей системы, в результате которой происходит уточнение значений входных переменных с учетом ограничений связей стадий. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не выполнится условие

окончания алгоритма. Таким образом, в этом методе роль величин £к выполняют входные переменные хк, а роль величин ск - управляющие переменные ик.

В методе закрепления переменных итерация осуществляется по входным или выходным переменным каждой стадии. В методе цен итерация проводится по величинам множителей Лагранжа / к, значения приближений по которым, в отличие от первых, задавать затруднительно, поскольку они не имеют физического смысла. В методе цен оптимизация стадий проводится при условии, что их выходные переменные являются свободными, а в методе закрепления переменных они считаются фиксированными. При оптимизации стадии методом закрепления определяется только локальный минимум критерия оптимизации [53]. В случае же применения метода множителей Лагранжа - определяются как глобальные, так и локальные значения критерия, что приводит к усложнению задачи. Отметим, что в методе закрепления переменных разбивать схему на блоки необходимо таким образом, чтобы число управляющих переменных / было больше числа выходных переменных потока пк. В методе множителей Лагранжа количество итераций по множителям Лагранжа / к зависит от размерности систем уравнений. Чем больше аппаратов объединяется в одну стадию, тем меньше будет число уравнений, но при этом оптимизация каждой стадии усложняется.

Представленный краткий обзор декомпозиционных методов оптимизации подсказывает, что для решения задачи многостадийного синтеза СТО предпочтение следует отдать методу закрепления переменных. Это следует из простого понимания результатов оптимизации на каждой стадии, которая обеспечивает локальный минимум критерия оптимальности, физического смысла определяемых на верхнем уровне входных переменных каждой стадии, а также выполнения требований на размерность вектора поисковых переменных каждой стадии.

Выводы

1. Показано, что химико-технологические системы характеризуются высокой металло-энергоемкостью и наличием множества источников и стоков тепловой энергии. Вследствие этого, для решения задач оптимального синтеза вновь создаваемых и реконструкции существующих химико-технологических систем актуальной является разработка подходов, направленных на снижение металлоемкости и потребления внешних источников тепловой энергии систем за счет внутренней тепловой интеграции материально-тепловых потоков.

2. Среди множества разработанных к настоящему времени подходов к тепловой интеграции перспективным для дальнейшего развития является алгоритмический метод, основанный на задаче о назначениях.

3. Показаны преимущества и недостатки предложенной модификации метода теплоинтеграции, основанного на задаче о назначениях, по сравнению с эвристическими, термодинамическими, стохастическими методами и методами дискретно-нелинейного математического программирования.

3.1. К преимуществам рассматриваемого метода следует отнести следующие аспекты: метод является строго алгоритмическим и позволяет полностью автоматизировать процесс проектирования; метод учитывает фазовые превращения при испарении и конденсации обменивающихся теплом потоков; способ задания логических двоичных переменных для формирования матрицы назначений охватывает все возможные способы организации теплообмена; каноническая форма суперструктуры элементарного блока системы теплообмена (ЭБСТ) позволяет учесть в матрице оценок все варианты теплообмена как с рекуперацией, так и без рекуперации тепла, выбрать оптимальную структуру ЭБСТ; для случаев неравного числа холодных и горячих потоков в ХТС использовать способ получения экономических оценок задачи о назначениях с учетом дополнительных конкурирующих оценок на нагревание и охлаждение потоков посредством внешних горячих и холодных теплоносителей.

3.2. Таким образом, теплоинтеграция, как задача смешанного математического дискретно-непрерывного программирования, сведена к двухуровневой задаче. Нижний уровень решает задачи нелинейного программирования получения оптимальных экономических оценок возможного теплообмена между двумя потоками, верхний уровень представляет собой задачу линейного программирования о назначениях. Это позволяет: устранить проблемы дискретности задачи и, как следствие, частично обойти проблемы, связанные с многоэкстремальностью; решать задачи первого уровня для получения оптимальных оценок с использованием строгих математических моделей теплообменного оборудования, как задачи нелинейного программирования с размерностью поисковых переменных не более трех; решать задачу второго уровня о назначениях как частную задачу линейного программирования, не имеющую ограничения по размерности.

4. К числу недостатков рассматриваемого метода одностадийной интеграции следует отнести отсутствие возможности многократного обмена теплом материально-тепловых потоков, деление и рециркуляцию обменивающихся теплом материально-тепловых потоков. Очевидно, что реализация этих возможностей существенно расширит область поиска оптимальной структуры системы теплоинтеграции по критерию суммарных приведенных капитальных и операционных затрат.

5. Вследствие сказанного, разработка декомпозиционно-интегрального подхода к синтезу оптимальных многостадийных систем теплоинтеграции ХТС на основе задачи о назначениях является актуальной.

Постановка задачи исследования. Цель и задачи

С целью дальнейшего развития научного направления, связанного с решением проблем теплоинтеграции химико-технологических систем, обеспечивающих повышение их энергоэффективности на основе задачи о

назначениях, предлагается развитие интегрально-декомпозиционного подхода для синтеза оптимальных многостадийных систем теплообмена.

Цель исследования. Разработка и оценка эффективности алгоритмического декомпозиционно-интегрального метода синтеза оптимальных многостадийных систем теплообмена.

Задачи исследования:

• Провести анализ современного состояния проблемы синтеза оптимальных систем теплообмена химико-технологических установок;

• Разработать метод, алгоритм и программный комплекс решения задачи синтеза оптимальных многостадийных систем теплообмена;

• Провести анализ работоспособности и оценку эффективности разработанных метода, алгоритма и программного комплекса на модельных примерах в сравнении с результатами синтеза оптимальных одностадийных систем и интегрального метода синтеза оптимальных систем теплообмена, реализованного в получившем широкое распространение программном комплексе SYNHEAT;

• На построенной компьютерной модели установки ректификации производства этилового спирта провести термодинамический анализ материально-тепловых потоков установки с целью определения предельных возможностей энергосбережения;

• Решить задачу синтеза оптимальной многостадийной системы теплообмена установки ректификации производства этилового спирта с использованием разработанного метода и провести сравнительный анализ полученного результата с результатами синтеза одностадийной системы теплообмена.

ГЛАВА 2. Разработка интегрально-декомпозиционного подхода для синтеза оптимальной многостадийной теплоинтеграции

Как показано в обзорной главе 1, сложный комбинаторный характер проблемы синтеза оптимальных СТО привел к разработке большого числа методов ее решения и их модификаций. Среди них особое значение приобретают алгоритмические методы, позволяющие получить лучшее решение вследствие использования строгих математических моделей аппаратов ХТС и подходов системного анализа. К сожалению, ввиду своей сложности, они имеют ограниченное применение. Проблемы дискретности при конструкторском расчете аппаратов и построении оптимальной топологии, а также нелинейность зависимостей в математических моделях оборудования приводят к введению ряда допущений и, как следствие, сужению области поиска оптимальной СТО. Помимо этого, в результате решения задачи часто получаются довольно сложные структуры систем теплообмена, не гарантирующие их устойчивого функционирования. С другой стороны, алгоритмический подход дает значительный экономический выигрыш в сравнении с термодинамическим и эвристическим подходами. Поэтому, использование и совершенствование методов математического программирования играет ключевую роль в решении проблемы оптимального проектирования СТО. В главе 1 показано, что перспективным является разработка алгоритмического интегрально-декомпозиционного метода многостадийного синтеза оптимальных СТО, основанного на задаче о назначениях. В настоящей главе приводится описание разработанного нами подхода к построению прямоточных и противоточных суперструктур многостадийного теплообмена и метода синтеза системы теплообмена [17, 18, 21, 22, 28, 29, 30, 60, 156]. Описанные выше проблемы для предложенной суперструктуры многостадийной системы теплообмена нами предлагается решать на нескольких уровнях организации системы. На первом уровне для каждой стадии суперструктуры искать совокупное структурное решение для двух обменивающихся теплом потоков системы, на втором уровне

решать задачу поиска оптимальной структуры СТО каждой стадии и, наконец, на третьем уровне проводить оптимизацию полученной структуры всей СТО в пространстве непрерывных переменных (площадей и режимов работы теплообменного оборудования) по критерию суммарных приведенных капитальных и эксплуатационных затрат. Это позволит нам устранить полностью или частично многие из недостатков современных подходов и снять большинство допущений. Помимо этого, разработанный подход будет универсален как для задач проектирования, так и реконструкции, и позволит решать задачи оптимальной теплоинтеграции для материально-тепловых потоков любых узлов в составе ХТС. В целях минимизации технологических отходов особое внимание будет уделяться выходным энергоемким потокам ХТС, которые предлагается обеднять за счет их рециркуляции в системе.

2.1 Постановка задачи синтеза многостадийных систем теплообмена

Для формализации метода решения задачи напомним ряд понятий, подробно рассмотренных в главе 1, при рассмотрении метода синтеза СТО как задачи о назначениях. Элементарным блоком системы теплообмена (ЭБСТ) называется такая структурная единица, которая позволяет осуществить передачу некоторого заданного количества теплоты Д^ у-му холодному потоку

(у = 1,...,М2) и отбор некоторого заданного количества теплоты Дот г-го горячего потока 5гА (г = 1,...,Мх). Под одностадийной системой теплообмена (ОСТО) понимается такая система, в которой для каждого г-го горячего потока существует единственный у-й холодный поток, с которым может быть организован рекуперативный теплообмен.

Многостадийной СТО будем называть систему, в которой каждый г-й горячий поток 5гА (г = 1,...,Мх) может передавать тепловую энергию нескольким холодным потокам, а каждый у-й холодный поток может принимать тепловую энергию от нескольких горячих потоков последовательно.

Таким образом, многостадийную СТО можно представить как N последовательно соединенных одностадийных систем теплообмена. Мы могли бы решить задачи синтеза каждой из некоторого заданного N ОСТО, но нам не известно, какое количество теплоты должно быть отобрано от /-го горячего потока и передано у-му холодному потоку на д-ой стадии теплообмена. Очевидно, что для решения поставленной проблемы необходимо использовать декомпозиционные методы оптимизации. В главе 1 проведен анализ наиболее известных декомпозиционных методов: метода модифицированных множителей Лагранжа и метода закрепления промежуточных переменных. Показано, что для решения поставленной проблемы предпочтение следует отдать методу закрепления промежуточных переменных [53]. Рассмотрим некоторую произвольную ХТС, состоящую из последовательности N стадий, включающих аппараты или группы аппаратов (Рисунок 2.1). Каждая стадия имеет свой локальный критерий оптимальности (хд, и9,8Ч, уд). Также наряду с непрерывными поисковыми переменными каждая стадия включает вектор дискретных структурных переменных который характеризует наличие аппаратов и топологию д-й стадии. При заданных векторах входных х*, выходных у* переменных математических моделей стадий, результат оптимизации всей ХТС будет эквивалентен сумме оптимальных значений критериев

N

Ф* = £ Fq*( хд, и9*,^*, У), полученных при оптимизации каждой стадии в

д=1

отдельности в пространстве векторов управляющих и структурных переменных ид каждой стадии:

= т ш^* (х*, и* ,дк, /) (2.1)

и*

при ограничениях на каждую стадию:

Уд = /д (хд, ид ,8*, уд) (2.2)

¥ * (х*, и* ,8к, у*) < 0 (2.3)

хд - уд-1 = 0

(2.4)

где q =1,2,...,N - номер стадии; uq, S - векторы управлений и дискретных переменных q-ой стадии, суммарной размерности rq; xq, yq - вектор заданных входных и выходных переменных q-ой стадии; F- локальный критерий оптимальности q-ой стадии; N - число стадий; (2.2) - уравнения математических моделей q-ой стадии; (2.3) - ограничения типа неравенства на условия физической реализуемости k-ой стадии; (2.4) - уравнения связей стадий. Однако переменные xq (q=2,...,N) и yq (q=1,...,N-1) нам не известны. Поэтому вторым этапом необходимо решить задачу оптимизации всей ХТС по глобальному критерию Ф при фиксированных значениях структурных параметров S* по управляющим переменным uq (q=1,... ,N):

mqn 0*(xq, ,Sq*, yq), (2.5)

Mq

xq - -1 = о , (2.6)

где q=1,2...N; - структурные параметры, найденные при решении задачи (2.1). Найденные оптимальные значения xq,yq используются в качестве нового приближения для решения задачи (2.1) и т.д.

Важно иметь в виду, что данный метод применим для систем, для каждой

стадии которых выполняется условие rq > lq , где lq - размерность вектора выходных переменных стадии yq. Отметим, что описанный подход может сократить вычислительные затраты в тех случаях, когда задача имеет большую размерность, что, в сущности, усложняет поиск глобального минимума критерия в процессе оптимизации всей структуры. Значительный эффект метод может дать и в случае, когда некоторые группы переменных по-разному влияют на изменение критерия Ф, что приводит к его овражности.

Рисунок 2.1 - Последовательность N стадий

Таким образом, задача синтеза оптимальной СТО может быть сведена к задаче определения для каждой стадии теплообмена оптимальных структуры и режимов работы теплообменников и их площадей и задаче определения оптимальных значений вектора входных переменных хд (д = 2..N) каждой стадии.

С использованием метода закрепления промежуточных переменных проведем декомпозицию задачи на подзадачу определения оптимальной структуры многостадийной СТО при фиксированных тепловых нагрузках каждой стадии, и подзадачу поиска на заданной структуре новых значений Д*/, Д* .

Для решения первой подзадачи представим многостадийную СТО в виде некоторой суперструктуры, состоящей из последовательности СТО.

Поиск оптимальной структуры СТО на заданной суперструктуре будем строить на основе итерационной процедуры, где в качестве поисковых переменных используется количество теплоты, отбираемое от /-го горячего потока и передаваемое у-му холодному потоку на каждой стадии. Это потребует задания начальных приближений для Д*г/г'(0), Д*Сд0), с учетом требования:

N N

ЕдоТ=ДО; , Едат=ДО/11- (2.7)

д=1 д=1

Для синтеза отдельной стадии СТО нами будет использован подход, изложенный в работе [19, 25]. На нижнем уровне проводится поиск и оптимизация структурно связанных аппаратов, осуществляющих охлаждение горячего и нагревание холодного потоков до заданных температур. Для этого структура синтезируемой СТО, как правило, представляется в виде некоторой глобальной схемы, состоящей из внутренней подсистемы рекуперативных теплообменников Еу и внешней подсистемы концевых нагревателей Ву и холодильников С/. Нами предлагается для каждой совокупности /-го горячего и у-го холодного потоков из этой схемы выделять суперструктуру элементарных блоков системы теплообмена (СЭБСТ), содержащую все возможные варианты организации их теплообмена (Рисунок 2.2). Эти варианты определяются в

результате решения задачи оптимизации СЭБСТ как задачи нелинейного математического программирования или из ряда условий, и носят название элементарных блоков системы теплообмена (ЭБСТ) [25]. Иначе говоря, под ЭБСТ нами понимается такая структурная единица, которая позволяет осуществить нагреву-го холодного потока £уС, (/'=1,., Мс) и охлаждение /-го горячего потока

0Ь, (/=1,..., МЬ) до заданных температур.

0с

°2 У

о с

01

т Ь,.п Ь

о.

Ь

о,

^С ос АбС

т-тЬДп Ь

0] т* 0

0 : >

оь= /

Ьдп

Ь,оШ:

Ь,оШ:

Аб/1

Т С

е.

Т С

Фв,

т-»С,оШ: т-»С,оШ: т-»С,оШ: т-»С,оШ:

Т2 Ту

тС,ои:

Ь,ои:

Рисунок 2.2 -Суперструктура одностадийной системы теплообмена и суперструктура элементарного блока теплообмена

Математические модели теплообменных аппаратов, входящих в состав ЭБСТ, основаны на среднелогарифмической разности температур. Принятые допущения и описание моделей приведены в главе 1, уравнения (1.1) - (1.7).

Как было отмечено в главе 1, в случаях, когда концевые разности температур входящих в состав СЭБСТ теплообменников совпадают (dt1 = dt2), расчет среднелогарифмической разности температур будем рассчитывать с использованием аппроксимации Чена (1.9).

Для удобства дальнейшего изложения предлагаемого подхода математические модели будем записывать в формализованной форме. Математическую модель рекуперативного теплообменника представим в виде:

T1h,out jihe/T->h,in T->c,in 77c 77h с „h\

p p (2.8)

Tc,out _^he (th,in tc,in Fc Fh С" UhS)

Математическая модель холодильника будет иметь вид (2.9), только в данном случае F , T , T будут представлять расход, температуры охлаждающей воды на выходе и входе холодильника:

T^h-out jtcol /T->h,in T->w,in 77W 77h „w „h \

1 p p (2.9)

Tw,out _0°ol(Th-in T w-in Fw Fh C^1 U^)

Рассмотрим теперь математическую модель нагревателя. Будем считать, что выходная температура холодного потока определяется уравнением (2.8), а уравнение (2.10) определяет необходимое количество пара при такой выходной температуре холодного потока. Эта величина будет использоваться для вычисления критерия оптимизации. Математическую модель нагревателя будем записывать в виде

Tc,out _ 0reb(Tc,in TS ArSb USb Fc C^)

Fs _0I^e'3(Tc,out Tc,in Fc £p)

Задача оптимизации ЭБСТ решается на моделях нелинейного математического программирования с ограничениями на допустимую движущую силу процесса теплопередачи

• / yhe he col w cor reb s .reb -.-.ч

_ fWfsiv.col^ (a/ ) + (f , ) + f (f , 4 )), (2Л1)

, 4,- , 4/ , 4/

b ■ (210)

s reb c,out c,in c c

Th _0 (T Tc,in Fc Fh Cc Ch)

/ П V г ' j ' г ' рр' рг/'

Tc' _0he(Th,in Tc,in Fc Fh Cc Ch Ahe Uhe)

г/ Y2 V г ' / ' / ' г ' р/' рг' г/ ' j /'

Th,out _0CO'(Th' Tw,in Fw Fh Cw Ch )

г П V г/ ' ' г/ ' г ' р ' рг /'

(2.12)

(2.13)

(2.14)

Ts - Tc>ATi, Ts - T >AT^, (2.15)

г/ min' г/ min' V /

У ' г/ ' г ' р ' рг-

T^w,out _ /^col/'T'h' T^w,in tt1 w 77h w h jcol rrcoK

T 02 (T ,T ,,F ,Ср ,Срг, 4/ ),