Синтез многопрограммных систем управления на основе метода позиционной оптимизации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Соловьева, Инна Владимировна

• Соловьева, Инна Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Соловьева, Инна Владимировна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МЕТОД ПОЗИЦИОННОЙ ОПТИМИЗАЦИИ В ЗАДАЧЕ МНОГОПРОГРАММНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ

§ 1. Постановки задач многопрограммного управления.

1.1. Общая постановка задачи многопрограммной стабилизации.

1.2. Обзор результатов для линейных и нелинейных систем в случае полной обратной связи.

1.3. Многопрограммная стабилизация при неполной обратной связи.

§ 2. Модификация многопрограммного управления.

§ 3. Постановки задач позиционной оптимизации.

3.1. Задача позиционной оптимизации для случая линейных систем

3.2. Задача позиционной оптимизации для случая нелинейных систем.

3.3. Адаптивный метод в задаче позиционной оптимизации

§ 4. Применение метода позиционной оптимизации в задачах многопрограммного управления.

4.1. Аппроксимация нелинейных слагаемых управляемой системы по областям фазового пространства.

4.2. Позиционная оптимизация в задачах многопрограммного управления.

4.3. О точности метода

ГЛАВА 2. МНОГОПРОГРАММНОЕ ПОЗИЦИОННОЕ УПРАВЛЕ

НИЕ В РАЗЛИЧНЫХ КЛАССАХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

§ 5. Многопрограммные позиционные управления в линейных системах

5.1. Многопрограммное управление и вывод системы в отклонениях.

5.2. Аппроксимация нелинейных слагаемых правой части системы.

5.3. Применение метода позиционной оптимизации для синтеза многопрограммного позиционного управления

§ 6. Многопрограммные позиционные управления в билинейных системах.

6.1. Многопрограммное управление и вывод системы в отклонениях.

6.2. Аппроксимация нелинейных слагаемых системы в отклонениях

6.3. Применение метода позиционной оптимизации для синтеза многопрограммного позиционного управления

§ 7. Многопрограммные позиционные управления в системах типа

Лотки-Вольтерры.

7.1. Многопрограммное управление в модели взаимодействия видов.

7.2. Аппроксимация нелинейных слагаемых системы в отклонениях

7.3. Применение метода позиционной оптимизации для синтеза многопрограммного позиционного управления

§ 8. Многопрограммное позиционное управление в случае неполной обратной связи.

8.1. Линейные системы

8.2. Билинейные системы.

8.3. Системы типа Лотки - Вольтерры

ГЛАВА 3. АЛГОРИТМЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ

§ 9. Общий алгоритм многопрограммной позиционной оптимизации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синтез многопрограммных систем управления на основе метода позиционной оптимизации»

Алгоритмы и методы современной математической теории управления применяются, при моделировании, анализе и реализации движения управляемого объекта. Основными являются задачи построения управлений, обеспечивающих объекту управления заданные программные движения, задачи стабилизации программных режимов и задачи оптимизации управляемых систем. Основы теории и ее методы заложены в исследованиях Л.С. Понтрягина [32], Н.Н. Красовского [29], В.И. Зубова [24], Р. Каймана [27] и других выдающихся ученых. Наиболее распространенный подход при решении задачи стабилизации программных движений управляемых динамических систем состоит в построении управлений вида обратной связи различных типов: непрерывного, дискретного, релейного [24, 34, 35].

Сложные системы, отражающие возможность многосценарного поведения объекта, используются в технике и физике, в медицине, социологии и экономике [3, 11, 12, 30, 33, 54]. Возможность работы таких систем в зависимости от начальных условий, внешних воздействий и ограничений, в режиме реального времени представляет особый интерес. Поэтому актуальными являются задачи многопрограммного управления, учитывающие реальные условия функционирования и эксплуатации объекта управления, что в конечном итоге повышает эффективность его функционирования. Их суть состоит в поиске одного управления, которое реализует заданный набор программных движений в зависимости от начальных условий и обеспечивает их асимптотическую устойчивость.

Задача многопрограммной стабилизации была впервые сформулирована В.И. Зубовым в работах [23, 25]. В них рассмотрена проблема представления правых частей систем дифференциальных уравнений, имеющих наперед заданное конечное семейство решений, а также задача синтеза управлений, которые реализуют заданную совокупность программных движений и обеспечивают их асимптотическую устойчивость по Ляпунову. В |25] особое внимание уделяется представлению таких управлений в линейных стационарных управляемых системах. При этом полученные результаты применяются в задаче управления механическими системами, описываемыми уравнениями Лагранжа второго рода, и в задаче управления движением заряженных частиц в электромагнитном поле. В дальнейшем результаты В.И. Зубова были распространены Н.В. Смирновым на класс билинейных систем [55, 41] и систем типа Лотки - Вольтерры [31].

При моделировании используются различные классы динамических систем [5, 10, 22, 32, 34]. Билинейные системы представляют интерес в том случае, когда параметры линейной модели можно использовать в качестве управляющих воздействий. В некоторых случаях это связано с объективными особенностями объекта управления. С другой стороны, билинейные системы представляют собой более гибкое средство аппроксимации нелинейных систем по сравнению с линейными [21, 50, 52, 58].

Целью настоящей работы является разработка метода и алгоритма построения модифицированных многопрограммных управлений. Основная идея состоит в том, чтобы, отказавшись от интерполяционного полинома Лагранжа - Сильвестра как инструмента синтеза управления и(х, £), заменить явную обратную связь с коэффициентами усиления С3{t) на технологию стабилизации объекта в режиме реального времени на основе метода позиционной оптимизации.

Этот метод разработан Р.Ф. Габасовым и его учениками. В работах |6, 13] он применен для линейных стационарных и нестационарных систем с неизвестными ограниченными возмущениями. Оп также применяется и к нелинейным системам [15, 17]. В его основе лежат конструктивные методы теории оптимизации. Метод позволяет получать значения управления в классе ограниченных дискретных управлений. Основная его идея состоит в поэтапном построении управления в зависимости от текущего положения системы управления. В течении процесса управления производится корректировка компонент вектора управления с учетом информации о реальных положениях, в которых оказалась система под его воздействием на предыдущих промежутках времени. Математической основой этого подхода служат адаптивные методы решения задач линейного программирования [2, 6], они применяются для решения специальных вспомогательных задач.

В данной работе предложен метод синтеза многопрограммных позиционных управлений в режиме реального времени в случаях полной и неполной обратной связи. Кроме того, найдены условия существования многопрограммного позиционного управления и разработан алгоритм его построения для линейных, билинейных управляемых систем и систем типа Лотки - Вольтерры.

Также в диссертации описан опыт численной реализации разработанного алгоритма для различных приложений, в частности, для задачи управления запасами.

Приведенные в данной работе конструктивные методы многопрограммной стабилизации в режиме реального времени могут применяться в задачах анализа и синтеза систем управления движением технических объектов, а также при моделировании экономических и социальных систем.

В работе использовались методы обыкновенных дифференциальных уравнений, математической теории управления, теории оптимального управления и оптимизации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 58 наименований. Объем составляет 94 страницы машинописного текста. Работа содержит 7 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Соловьева, Инна Владимировна

Основные результаты, которые получены в диссертации, и выносятся на защиту:

• новая постановка задачи многопрограммного управления, а именно задача многопрограммного позиционного управления; определение соответствующего понятия многопрограммного позиционного управления;

• метод синтеза многопрограммных позиционных управлений в режиме реального времени в случаях полной и неполной обратной связи;

• формулировки достаточных условий существования многопрограммного позиционного управления и доказательство его ограниченности в рассматриваемой области фазового пространства для линейных, билинейных управляемых систем и управляемых систем типа Лотки-Вол ьтерры;

• общий алгоритм синтеза многопрограммных управлений на основе метода позиционной оптимизации для линейных, билинейных управляемых систем и систем типа Лотки-Вол ьтерры.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Соловьева, Инна Владимировна, 2010 год

1. Александров А.Ю., Александрова В.М., Екимов А.В., Смирнов Н.В. Сборник задач и упражнений по теории устойчивости. СПб. 2005. 164 с.

2. Альсевич В.В., Габасов Р.Ф., Глушенков B.C. Оптимизация линейных экономических моделей: Статические задачи: Учеб. пособие. Минск: БГУ, 2000. 210 с.

3. Ананьевский И.М. Два подхода к управлению механической системой с неизвестными параметрами // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. № 2. С. 39-47.

4. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976. 424 с.

5. Андриевский Б.Р., Фрадков A.JI. Избранные главы теории автоматического управления. СПб.: Наука, 1999. 468 с.

6. Балашевич Н.В., Габасов Р., Кириллова Ф.М. Численные методы программной и позиционной оптимизации линейных систем управления // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2000. Т. 40, № 6. С. 838-859.

7. Балашевич Н.В., Р.Ф. Габасов, Кириллова Ф.М. Оптимальный регулятор для нестационарной системы // Доклады РАН. 2001. Т. 381, №4. С. 457-462.

8. Бахвалов Н.С. Численные методы, 2 изд. М.: Наука, 1975. 631 с.

9. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, 3 изд., Т. 1. М.: Наука, 1966. 632 с.

10. Биркгоф Д. Динамические системы. Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999. 408 с.

11. Бутковский А.Г. Дифференциально-геометрический метод конструктивного решения задач управления и финитного управления // Автоматика и телемеханика. 1982. № 1. С. 5-18.

12. Веремей Е.И., Корченов В.М. Многоцелевая стабилизация динамических систем одного класса // Автоматика и телемеханика. 1988. № 9. С. 126-137.

13. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971. 508 с.

14. Габасов Р., Кириллова Ф.М. К проблеме синтеза оптимальных систем // Известия ВУЗ. Математика. 2001. № 12. С. 10-20.

15. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Стабилизация нелинейных динамических систем при больших начальных возмущениях // Доклады НАН Беларуси. 2001. Т. 45, № 1. С. 25-28.

16. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Стабилизация систем с запаздываниями методами оптимального управления // Известия ВУЗ. Математика. 2002. № 12. С. 44-54.

17. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Ружицкая Е.А. Демпфирование и стабилизация маятника при больших начальных возмущениях // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. № 6. С. 29-38.

18. Габасов Р., Ружицкая Е.А. Стабилизация динамических систем с обеспечением дополнительных свойств переходных процессов // Кибернетика и системный анализ. 2001. № 3. С. 139-151.

19. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, диффференциальные и интегральные уравнения. М.: Наука, 1967. 368 с.

20. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

21. Емельянов С.В., Коровин С.К., Никитин С.В. Классификация особенностей и критерии управляемости билинейных систем на плоскости // Докл. АН СССР. 1987. Т. 295. № 1. С. 42-46.

22. Зубов В. И. Динамика управляемых систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004. 380 с.

23. Зубов В.И. Интерполяция систем дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1991. Т. 318. № 1. С. 28-31.

24. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 496 с.

25. Зубов В.И. Синтез многопрограммных устойчивых управлений // Докл. АН СССР. 1991. Т. 318. № 2. С. 274-277.

26. Калинина Е.А., Утешев А.Ю. Теория исключения. Учебное пособие. СПб.: НИИ Химии СПбГУ 2002. 72с.

27. Калмап Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971, 400 с.

28. Кирии Н.Е., Нелепин Р.А., Байдаев В.Н. Построение области притяжения по методу Зубова // Диффсрепц. уравнения. 1981. Т. 17, № 8. С. 1347-1361.

29. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 476 с.

30. Милованов В.П. Об одном подходе к моделированию механизмов ценообразования // Экономика и математические методы. 1994. Т. 30. Вып. 1. С. 137-147.

31. Петросян Л.А., Захаров В.В. Математические модели в экологии. СПб.: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 1997. 253 с.

32. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. 384 с.

33. Пятницкий Е.С. Принцип декомпозиции в управлении механическими системами //Докл. АН СССР. 1988. Т. 300. № 2. С. 300-303.

34. Смирнов Е.Я. Некоторые задачи математической теории управления. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981. 200 с.

35. Смирнов Е.Я. Стабилизация программных движений. СПб.: Изд-во С.Петербург. ун-та, 1997. 307 с.

36. Смирнов Н.В. Задачи многопрограммного управления и стабилизации в различных классах динамических систем // Труды Средневолжского мат. общ. 2005. Т. 7. № 1. С. 192-201.

37. Смирнов Н.В. Многопрограммная стабилизация линейных и билинейных систем в случае неполной обратной связи // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. № 3. С. 40-44.

38. Смирнов Н.В., Смирнова Т.Е. Многопрограммные управления в одном классе социально-экономических моделей. Труды тринадцатой межвуз. конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Россия, Самара. 29-31 мая 2003 г. Часть 3. С. 152-155.

39. Смирнов Н.В. Синтез гибридного идентификатора полного порядка в задаче многопрограммной стабилизации // Автоматика и телемеханика. 2006. № 7. С. 41-52.

40. Смирнов Н.В. Синтез идентификаторов состояния в задаче многопрограммной стабилизации билинейных систем // Математические заметки. 2002. Т 72. Вып. 4. С. 535-546.

41. Смирнов Н. В., Смирнова Т. Е. Синтез многопрограммных управлений в билинейных системах // Прикл. математика и механика. 2000. Т. 64, № 6. С. 929-932.

42. Смирнов Н.В. Стабилизация семейства программных движений билинейной нестационарной системы // Вестник СПбГУ. Сер. 1. Математика, механика, астрономия. 1998. Вып. 2, № 8. С. 70-75.

43. Смирнов Н.В., Соловьева И.В. Применение метода позиционной оптимизации для многопрограммной стабилизации билинейных систем // Вестник С.-Петербург, ун-та. Серия 10. Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2009. Вып. 3. С. 253-261.

44. Соловьева И.В., Смирнов Н.В. Применение MATLAB для оценки области притяжения положений равновесия в одной задаче многопрограммного управления // Тр. IV конф. "Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB". 2009. - С. 501-506.

45. Bruni С., Dipillo G., Koch G. Bilinear systems: ап appealing class of "nearly linear "systems in theory and applications // IEEE Trans, on Automatic Control. 1974. AC-19. № 4. P. 334-348.

46. Gabasov R., Kirillova F.M., Ruzhitskaya E.A. Realization of a bounded feedback in a nonlinear control problem // Cybernetics and Systems Analysis. 2009. Vol. 45, № 1, P. 96-104.

47. Krener A.J. Bilinear and nonlinear realizations of input-output maps // SIAM J. Control. 1975. № 13. P. 827-834.

48. Luenberger D.G. Observers for multivariable systems // IEEE Trans, on Automatic Control. 1966. AC-11. № 2. P. 190-197.

49. Slotine J.-J.E., Li W. Applied nonlinear control. New Jersey: Prentice-Hall, 1991. 461 p.

50. Smirnov N.V. Synthesis of multiprogrammed stable controls using the Luenberger observer. Preprints of the eleventh IFAC International Workshop: "Control Applications of Optimization". St. Petersburg, Russia. July 3-6, 2000. V. 1. P. 317-320.

51. Solovyeva I. Positional optimization in a certain problem of multiprogrammed control // Proceedings of the 11-th international conference on humans and computers. Japan, November 2008, Nagaoka University of technology. P. 359-363.

52. Svoronos S., Stephanopolos G., Aris R. Bilinear approximation of general non-linear dynamic systems with linear inputs // Int. J. Control. 1980. V. 31. № 1. P. 109-126.