Многопрограммные управления в квазилинейных динамических системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Шахов, Яков Александрович

• Шахов, Яков Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шахов, Яков Александрович

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МНОГОПРОГРАММНЫЕ УПРАВЛЕНИЯ В КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ С ПОЛНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗБЮ

§ 1. Задача многопрограммной стабилизации и различные формы

представления ее решения

1.1. Программное и стабилизирующее управление

1.2. Общая постановка задачи многопрограммной стабилизации

1.3. Интерполяционный полином Эрмита в задаче многопрограммного управления

1.4. Модифицированная форма представления многопрограммного управления

§ 2. Непрерывные многопрограммные управления в квазилинейных системах

2.1. Вспомогательные сведения

2.2. Многопрограммные управления в квазилинейных системах первого типа

§ 3. Программные управления в квазилинейных системах второго

типа

3.1. Постановка задачи

3.2. Построение программных управлений

3.3. Непрерывная зависимость по параметру

3.4. Пример

§ 4. Синтез многопрограммных управлений для квазилинейных

систем

4.1. Постановка задачи

4.2. Реализация многопрограммного управления

4.3. Пример

§ 5. Анализ переходного процесса

5.1. Выбор матрицы линейной обратной связи

5.2. Многомерный случай

5.3. Стабилизация квазилинейных систем по линейному приближению

ГЛАВА 2. МНОГОПРОГРАММНЫЕ УПРАВЛЕНИЯ В КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ С НЕПОЛНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

§ 6. Применение нестационарных идентификаторов в задаче стабилизации квазилинейных систем

6.1. Постановка задачи

6.2. Идентификаторы полного порядка

6.3. Идентификаторы Люенбергера

6.4. Стационарный случай

§ 7. Многопрограммные управления в квазилинейных системах,

построенные на основе идентификаторов состояния полного

порядка

7.1. Постановка задачи

7.2. Построение идентификаторов полного порядка

§ 8. Многопрограммные управления в квазилинейных системах,

построенные на основе идентификаторов Люенбергера

8.1. Постановка задачи

8.2. Синтез идентификаторов Люенбергера

ГЛАВА 3. МНОГОПРОГРАММНЫЕ УПРАВЛЕНИЯ В КВАЗИЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМАХ 76 § 9. Построение программного управления в квазилинейной разностной системе

§ 10. Многопрограммная стабилизация квазилинейных разностных

систем в случае полной обратной связи

10.1. Постановка задачи

10.2. Построение многопрограммных управлений в квазилинейной разностной системе

§ 11. Многопрограммная стабилизация квазилинейных разностных

систем в случае неполной обратной связи

11.1. Идентификаторы полного порядка в квазилинейных разностных системах

11.2. Идентификаторы Люенбергера в квазилинейных разностных системах

ПРИЛОЖЕНИЕ

§ ^.Многопрограммная стабилизация положений равновесия квазилинейных систем

12.1. Положения равновесия в квазилинейных системах и их стабилизация

12.2. Пример 1. Математический маятник

12.3. Пример 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Многопрограммные управления в квазилинейных динамических системах»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. В условиях быстро развивающихся технологий все ощутимее становится значимость подходов математического моделирования и автоматического управления. Данные подходы позволяют, абстрагируясь от деталей, выявить суть процесса, понять его структуру и направленность на этапе анализа и скорректировать ход процесса при необходимости на этапе синтеза. Вопросы применимости данных подходов для управления широким классом динамических систем всесторонне исследованы в трудах Понтрягина Л. С. [42], Калмана Р. [31], Зубова В. И. [26-28],Якубовича В. А. [39], Габасова Р. Ф. [16].

Особый интерес представляют многосценарные подходы в управлении, когда заранее планируется не один возможный путь развития ситуации, а их некая совокупность. Выбор конкретного варианта движения осуществляется при этом в некоторый ключевой момент (момент принятия решений) автоматически, в зависимости от текущих обстоятельств и положения системы. В математической теории управления данный подход называется синтезом многопрограммных управлений. Впервые задачу синтеза многопрограммных управлений сформулировал В. И. Зубов в работах [29, 30]. В этих работах рассмотрены: проблема представления правых частей системы дифференциальных уравнений, имеющих априорно заданное конечное семейство решений, и задача синтеза управлений, реализующих некоторую совокупность программных движений и обеспечивающих их асимптотическую устойчивость по Ляпунову. Особое внимание уделяется представлению таких управлений в линейных стационарных системах. Полученные результаты применяются в задаче управления механическими системами, описываемыми уравнениями Лагранжа второго рода, и в задаче управления движением заряженных частиц в электромагнитном поле [30].

Дальнейшее развитие результаты В. И. Зубова получили в работах Н. В. Смирнова и его учеников для линейных нестационарных систем [50], билинейных систем [46-49, 51, 53] и систем типа Лотки-Вольтерры [57].

В настоящей рукописи предлагаются некоторые результаты по развитию подходов к синтезу многопрограммных управлений. При этом основным предметом исследования является класс квазилинейных динамических систем.

Квазилинейные системы имеют широкое применение при моделировании динамических процессов в технике, судостроении, навигации, астрономии [6, 21, 26, 27, 32, 37], чем подтверждается актуальность выбранной темы. Стоить отметить, что под понятием «квазилинейная система» (от англ. quasi-linear - почти линейная) в математических теориях устойчивости и управления понимаются два различных класса систем.

В монографиях [22, 27] рассматриваются системы

х = А(£)х + B(t)u + G(t, х, u), (1)

где х = (х\,... ,хп)т - n-мерный вектор фазового состояния, и = (г/4,... ,иг)т - r-мерный вектор управлений; элементы матриц A(i), В(£) заданы при t > 0, вещественны и непрерывны; G(£, х, и) - вектор-функция, заданная при t > 0, вещественная, непрерывно дифференцируемая по компонентам х, и, для которой справедлива оценка

||G(i,x,u)||<^)(||x||-f||u||r, (2)

где m > 1, ijj{t) - непрерывная положительная функция при t > 0, характеристический показатель Ляпунова которой равен нулю.

В работах [27, 32] квазилинейными системами называются системы с малым параметром

х = A(i)x + B(i)u -f f(t) + /¿G(i, x, u, fi), (3)

где векторы x, u имеют тот же смысл, а элементы матриц A(t), В(t) и компоненты вектора f(t) заданы при t > 0, вещественны и непрерывны; /j, > 0 - малый параметр, a G(t, х, и, ц) - вещественная функция, непрерывно дифференцируемая по компонентам х, и и параметру ¡1.

В настоящей рукописи системы вида (1) с условиями на нелинейность (2) будем называть квазилинейными системами первого типа, а системы вида (3) квазилинейными системами второго типа.

Стоит отметить, что методов построения программных управлений для систем первого типа в общем случае не существует. Программное управление и программное движение для второго типа систем строятся как предел равномерно сходящейся последовательности итеративных приближений [27]. Данный факт на практике означает необходимость использования вместо точных программного управления и программного движения их приближений. Кроме того требуется строить оценки отклонения этих приближений от предельных функций. При реализации многопрограммных управлений в квазилинейных системах, в связи с вышеизложенными особенностями, возникают дополнительные сложности с сохранением устойчивости реализуемых движений. Таким образом, целью настоящего диссертационного исследования является изучение вопроса синтеза многопрограммных стабилизирующих управлений в квазилинейных системах.

Отметим также, что в качестве квазилинейных систем первого типа можно рассматривать линеаризованные формы нелинейных систем в отклонениях (см. далее п. 1.1).

Методы исследования. В работе используются методы теории дифференциальных и разностных уравнений, теории устойчивости, математической теории управления и стабилизации. Основным аппаратом исследования являются методы Ляпунова.

Структура и основное содержание работы. Рукопись состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка используемой литературы, включающего 79 наименований. Объем составляет 118 страниц машинописного текста. Работа содержит 5 рисунков.

В первой главе решается задача синтеза многопрограммных стабилизирующих управлений в случае, когда информация о текущем векторе состояния системы полностью доступна для измерений, так называемый случай полной обратной связи.

В § 1 формулируется задача синтеза многопрограммного стабилизирующего управления для нелинейной системы. В первом пункте параграфа описан классический подход в представлении управления для любой управляемой динамической системы в виде совокупности программной части и блока стабилизации. Далее предлагается строить и многопрограммное управление в аналогичной форме. Многопрограммное управление представляет собой полином Эрмита [10] - решение задачи кратного интерполирования, где в качестве узловых точек выступают программные режимы, а в качестве значений функции в узлах - соответствующие программные управления. В последнем пункте параграфа предложена модифицированная форма представления многопрограммного управления, более соответствующая искомому виду - программная часть плюс блок стабилизации, однако имеющей большую степень полинома нежели классическая форма.

В § 2 рассматривается задача синтеза многопрограммных управлений для квазилинейных нестационарных систем первого типа. Сформулированы и доказаны две теоремы о достаточных условиях существования этих управлений.

§ 3 посвящен вопросу построения программных управлений в квазилинейных системах второго типа. Как'уже отмечалось ранее, это управление строится как предел равномерно сходящейся последовательности итеративных приближений. В параграфе получены оценки этих приближений, позволяющие при практической реализации управлений априорно вычислить по заданной точности необходимое количество итераций в процессе построения приближений. Полученные результаты иллюстрируются на примере.

В § 4 показано, как объединить результаты двух предыдущих параграфов для реализации многопрограммных управлений для систем второго типа на практике. Вводится понятие к-го приближения многопрограммного управления, показывается, что эта функция может быть использована при реализации многопрограммного управления с заранее вычисляемой точностью программных движений. Параграф заканчивается иллюстративным примером.

В § 5 описывается проблема неоднозначного выбора матрицы коэффициентов усиления в блоке стабилизации многопрограммного управления. На примере показывается, что в качестве критерия при выборе данной матрицы может быть использована величина времени переходного процесса. Далее, изложена известная теорема о стабилизации по линейному приближению, переформулированная для случая квазилинейной системы.

Вторая глава посвящена задаче синтеза многопрограммных стабилизирующих управлений для квазилинейных систем в случае неполной обратной связи.

В § 6 исследуется вопрос синтеза для квазилинейных систем нестационарных асимптотических идентификаторов (наблюдателей) двух типов: полного порядка п и идентификатора меньшей размерности, так называемого идентификатора Люенбергера. Доказательства соответствующих теорем о достаточных условиях существования указанных идентификаторов носят конструктивный характер.

§ 7 и § 8 описывают подход к синтезу многопрограммных стабилизирующих управлений в квазилинейных системах в случае неполной обратной связи. В них строятся нелинейные асимптотические наблюдатели двух указанных типов для идентификации текущего вектора состояния системы. Сформулированы и доказаны теоремы о достаточных условиях существования идентификаторов, обеспечивающих работу многопрограммного регулятора.

В третьей главе исследуется проблема построения многопрограммных управлений в квазилинейных разностных системах. В § 9 предлагается подход к построению программных управлений в квазилинейных разностных системах. В § 10 сформулирована задача многопрограммной стабилизации в квазилинейной разностной системе. Доказана теорема об условиях существования ее решения.

В § 11 речь идет о синтезе многопрограммных стабилизирующих управлений в квазилинейных разностных системах в случае неполной обратной связи. Как и прежде, для синтеза управлений используются идентифика-

торы двух типов: полного порядка и идентификатор Люенбергера.

§ 12 оформлен в разделе Приложение. В нем решается частная задача - задача многопрограммной стабилизации положений равновесия квазилинейных систем. Эта задача имеет естественный практический интерес, так как реализуемые программные движения (положения равновесия) выводятся из самой модели динамической системы. Данная задача, к тому же, имеет одно выгодное отличие от общего случая: в ней нет необходимости решать трудоемкую задачу построения программных управлений. В первом пункте § 12 проблема рассмотрена в общем случае. В пункте 12.2 рассмотрена задача многопрограммной стабилизации наперед заданных положений равновесия математического маятника, приведена реализация многопрограммного управления в среда МАТЬАВ. В пункте 12.3 рассмотрен пример многопрограммной стабилизации собственных положений равновесия для некоторого модельного примера.

В Заключении сформулированы основные результаты исследования, выносимые на защиту.

Научная новизна. Новыми результатами, представленными в работе, являются: достаточные условия существования многопрограммных стабилизирующих управлений для квазилинейных систем для случаев полной и неполной обратной связи, конструктивные методы реализации данных многопрограммных управлений, формулировка и решение задачи многопрограммной стабилизации нескольких положений равновесия, имеющей естественный практический интерес.

Теоретическая и практическая ценность работы. Основным теоретическим результатом является распространение идеи синтеза многопрограммных стабилизирующих управлений на класс квазилинейных дифференциальных и разностных систем. Сформулированная и решенная задача многопрограммной стабилизации нескольких положений равновесия актуальна для конкретных моделей динамических процессов. Предложенные в работе методы реализации многопрограммных управлений (синтез к-ого приближения) позволяют применять их на практике.

Аппробация работы. По теме диссертации опубликовано 9 работ, две из которых - в изданиях, рекомендуемых Высшей аттестационной комиссией (ВАК) для публикации основных научных результатов [56, 62]. Результаты исследования докладывались и обсуждались на всероссийских и международных конференциях «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2009-2010 гг.), «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2009-2010 гг.), «Неравновесные процессы в природе» (Елец, 2009 г.), "Beam Dynamics and Optimization" (BDO'lO, Saint-Petersburg, 2010), «Устойчивость и процессы управления» (SCP'10 в честь 80-летия со дня рождения В. И. Зубова, Санкт-Петербург, 2010 г.), на ежегодном научно-методическом семинаре кафедры моделирования экономических систем СПбГУ «Сентябрьские чтения» (2009-2010 гг.).

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Шахов, Яков Александрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В итоге, основными результатами, полученными в ходе диссертационного исследования и выносимыми на защиту, являются следующие:

• достаточные условия существования многопрограммных управлений в квазилинейных нестационарных системах;

• обоснование алгоритма построения приближенного многопрограммного управления для квазилинейных систем, обеспечивающего наперед заданную точность реализации программных движений;

• методы синтеза квазилинейных асимптотических идентификаторов (наблюдателей) полного порядка и идентификаторов Люенбергера, а также основанные на них алгоритмы построения многопрограммных управлений для квазилинейных систем в случае неполной обратной связи;

• конструктивное решение задачи синтеза многопрограммных стабилизирующих управлений в квазилинейных разностных системах, основанное на доказательстве теоремы о достаточных условиях существования таких управлений;

• методы синтеза многопрограммных управлений в квазилинейных разностных системах с неполной обратной связью;

• решение задачи многопрограммной стабилизации нескольких положений равновесия квазилинейных систем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шахов, Яков Александрович, 2011 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Абгарян К. А. Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем. М.: Физматлит, 1994. 544 с.

2. Александров А. Ю., Александрова В. М., Екимов А. В., Смирнов Н. В. Сборник задач и упражнений по теории устойчивости: учеб. пособие. 2-е изд. Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2008. 162 с.

3. Александров А. Ю., Жабко А. П. Устойчивость разностных систем. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2003. 112 с.

4. Андреев Ю. Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976. 424 с.

5. Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Избранные главы теории автоматического управления. СПб.: Наука, 1999. 468 с.

6. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. 2-е изд., М.: Физматгиз, 1959, 915 с.

7. Антончик В. С. Методы теории дифференциальных уравнений (для приложения к задачам управления техническими объектами). Деп. в ВИНИТИ 14.02.83, №624-83, Л. 1983. 252 с.

8. Балашевич Н. М., Габасов Р. Ф., Кириллова Ф. М. Численные методы программной и позиционной оптимизации куочно-линейных систем // Журн. вычисл. математики и мат. физики, 2001. Т. 41. 11. С. 1658-1674.

9. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.

10. Бахвалов Н. С. Численные методы. М.: Наука, 1973. 631 с.

11. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1991. 303 с.

12. Биркгоф Д. Динамические системы. Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999. 408 с.

13. Ван Дань - Чжи, Степанов С. Я. Стабилизация управляемых движений на конечном интервале времени // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1975. Т. 15, № 1. С. 908-922.

14. Веремей Е. И., Корчанов В. М., Коровкин М. В., Погожев С. В. Компьютерное моделирование систем управления движением морских подвижных объектов. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002. 370 с.

15. Веремей Е. И., Корчанов В. М. Многоцелевая стабилизация динамических систем одного класса // Автоматика и телемеханика. 1988. №9. С. 126-137.

16. Габасов Р. Ф., Кириллова Ф. М. Конструктивные методы оптимизации. Ч. 2. Задачи управления. Минск: Университетское, 1984. 204 с.

17. Габасов Р. Ф., Кириллова Ф. М. Методы линейного программирования. Ч. 1. Общие задачи. Минск: Изд-во БГУ, 1977. 327 с.

18. Габасов Р. Ф., Ружицкая Е. А. Демпфирование и стабилизиация маятника при больших начальных возмущениях // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. № 6. С. 29-38.

19. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 552 с.

20. Демидова А. М. Решение граничной задачи для квазилинейных управляемых нестационарных систем в классе дискретных управленй. // Процессы управления и устойчивость: Труды 38-й междуной научной конференции аспирантов и студентов. Россия, СПб., 9-12 апреля 2007 г. / Под ред. A.B. Платонова, Н.В. Смирнова. - СПб. : Изд-во С. -Петерб. ун-та, 2007. - С. 22-27.

21. Демидова А. М., Квитко А.Н. Решение граничной задачи для квазили-неных управляемых систем // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2006. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. Вып. 1. С. 140-147.

22. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

23. Екимов А. В., Смирнов Н. В. Методические указания к курсу «Линейная алгебра». Часть 2. Алгебраическая теория нормальных форм матрицы. Функции от матрицы. СПб. : Изд-во С. -Петерб. ун-та, 1995. 68 с.

24. Жабко А. П., Прасолов А. В., Харитонов В. Л. Сборник задач и упражнений по теории управления: стабилизация программных движений: Учеб. пособие. М.: Высшая школа, 2003. - 286 с.

25. Зубер И. Е. Синтез экспоненциально устойчивого наблюдателя для наблюдаемых нелинейных систем. // Автоматика и телемеханима. 1995. № 5. С. 42-49.

26. Зубов В. И. Аналитическая динамика гироскопических система. Л.: Судостроение, 1970. 317 с.

27. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 496 с.

28. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1974. 336 с.

29. Зубов В. И. Интерполяция систем дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1991. Т. 318, № 1. С. 28-31.

30. Зубов В. И. Синтез многопрограммных устойчивых управлений // Докл. АН СССР. 1991. Т. 318, № 2. С. 274-277.

31. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971, 400 с.

- 32. Карелин В. В., Харитонов В. Л., Чижова О. Н. Лекции по теории стабилизации программных движений: Учеб. пособие / Под общ. ред. В.И. Зубова. - СПб., 2003. - 80 с.

33. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 476 с.

34. Кунцевич В. М., Лычак М. М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. М.: Наука, 1977. 400 с.

35. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964. 168 с.

36. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л.: ОНТИ, 1935. 386 с.

37. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1956. 491 с.

38. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высш. шк., 1967. 564 с.

39. Матвеев А. С., Якубович В. А. Оптимальные системы управления: Обыкновенные дифференциальные уравнения. Специальные задачи. СПб.: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 2003. 539 с.

40. Новоселов В. С., Королев В. С. Аналитическая механика управляемой системы. Учеб. пособие. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2005. 298 с.

41. Петросян Л. А., Захаров В. В. Математические модели в экологии. СПб.: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 1997. 253 с.

42. Понтрягин Л. С. Принцип максимума. М.: Фонд математического образования и просвещения, 1998. 72 с.

43. Смирнов Е. Я. Некоторые задачи математической теории управления. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981. 200 с.

44. Смирнов Е. Я. Стабилизация программных движений. СПб.: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 1997. 307 с.

45. Смирнов Н. В. Синтез идентификаторов состояния в задаче многопрограммной стабилизации билинейных систем // Мат. заметки. 2002. Т. 72. Вып. 4. С. 535-546.

46. Смирнов Н. В. Стабилизация билинейной нестационарной системы в случае неполной обратной связи // Вестник С.-Петербург, ун-та. Серия 1. 2000. Вып. 4 (№ 25). С. 28-34.

47. Смирнов Н.В. Многопрограммные управления в разностных системах // Методы возмущений в гомологической алгебре. Межвуз. сб. научн. трудов. Саранск: Изд-во Мордовского ун-та, 2004. С. 96-101.

48. Смирнов Н.В. Многопрограммные управления в билинейных нестационарных разностных системах // Устойчивость и процессы управления: Труды междун. конф., посвященной 75-летию со дня рождения В.И. Зубова. Россия, СПб, 29 июня - 1 июля 2005 г. / Под ред. Д.А. Овсянникова, Л.А. Петросяна. - СПб.: СПбГУ, НИИ ВМ и ПУ, ООО ВВМ, 2005. Т. 3. С. 1465-1474.

49. Смирнов Н. В., Смирнова Т. Е. Синтез многопрограммных управлений в билинейных системах // Прикл. математика и механика. 2000. Т. 64, № 6. С. 929-932.

50. Смирнов Н. В., Смирнова Т. Е. Стабилизация линейной нестационарной системы в случае неполной обратной связи. // Вопросы механики и процессов управления. Вып. 21. "Управляемы динамические системы". СПб: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 2004. С. 83-86.

51. Смирнов Н.В., Смирнова Т.Е. Стабилизация семейства программных движений билинейной нестационарной системы // Вестник С.Петербург. ун-та. Серия 1.1998. Вып. 2 (№8). С. 70-75.

52. Смирнов Н. В., Смирнова Т. Е., Тамасян Г. Ш. Стабилизация программных движений в пространстве состояний: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во «СОЛО», 2010. 97 с.

53. Смирнов Н. В., Соловьева И. В. Применение метода позиционной оптимизации для многопрограммной стабилизации билинейных систем // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2009. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. Вып. 3. С. 253-261.

54. Смирнов Н. В., Шахов Я. А. Многопрограммные управления в одном классе квазилинейных систем // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды VI Всероссийской конференции с международным участием. 4.2: Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами. - Самара: СамГТУ, 2009. -С.178-181.

55. Смирнов Н. В., Шахов Я. А. Многопрограммная стабилизация квазилинейной системы в случае неполной обратной связи // Устойчивость и процессы управления. Всероссийская конференция, посвящцнная 80-летию со дня рождения В. И. Зубова, Санкт-Петербург, 1-2 июля 2010 г. - СПб.: ВВМ, 2010. - С.79-80.

56. Смирнов Н. В., Шахов Я. А. Многопрограммная стабилизация квазилинейных систем // Вестн. С.-Петерб. ун-та, 2010. Сер. 10. Прикладная математика, информатика, процессы управления. Вып. 4. С. 128-138.

57. Соловьева И. В. О позиционной оптимизации в задаче многопрограммной стабилизации системы Лотки-Вольтерры // Процессы управления и устойчивость. Труды ХЬ междунар. науч. конфер. асп. и студ. СПб, 2009. С. 67-72.

58. Сотникова М. В. Идентификация линейной модели магнитной левитации в среде МАТЬАВ // Труды IV конф. «Проектирование инженерных и научных приложений в среде МАТЬАВ», 2009. С. 507-522.

59. Тамасян Г. Ш. Программные управления и наблюдаемость: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во «СОЛО», 2008. 74 с.

60. Фомин В. Н. Методы управления линейными дискретными объектами. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. 336 с.

61. Фурасов В. Д. Устойчивость и стабилизация дискретных процессов. М.: Наука, 1982. 192 с.

62. Шахов Я. А. Идентификаторы в квазилинейных системах // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2010. - № 5 (21). - С. 258262.

63. Шахов Я. А. Построение программного управления в одной квазилинейной динамической системе // Процессы управления и устойчивость: Труды ХЬ международной научной конференции аспирантов и студентов. Россия, СПб., 6-9 апреля 2009 г. / Под ред. Н.В. Смирнова, Г.Ш. Тамасяна. - СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2009. - С. 85-90.

64. Шахов Я. А. О синтезе многопрограммных управлений в квазилинейных динамических системах // Неравновесные процессы в природе: Материалы всероссийской научно-практической конференции (30 ноября 2009 г.). - Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2010. С. 121-126.

65. Шахов Я. А. Применение идентификатора Люенбергера для стабилизации программного движения квазилинейной автономной системы //

Процессы управления и устойчивость: Труды XLI международной научной конференции аспирантов и студентов. Россия, СПб., 5-8 апреля 2010 г. / Под ред. Н.В. Смирнова, Г.Ш. Тамасяна. - СПб.: Изд-во С-Петерб. ун-та, 2010. С. 80-85.

66. Шахов Я. А. Стабилизация квазилинейной системы в случае неполной обратной связи // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды VII Всероссийской конференции с международным участием. 4.2: Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами. Самара: СамГТУ, 2010. С. 295- 298.

67. Gabasov R., Kirillova F.M., Ruzhitskaya Е. A. Realization of a bounded feedback in a nonlinear control problem // Cybernetics and Systems Analysis. 2009. Vol. 45, № 1, P. 96-104.

68. Hara S., Furuta K. Minimal order state observers for bilinear systems // Int. J. Control. 1976. V. 24. P. 705-718.

69. Isidori A. Nonlinear control systems. Bin.: Springer-Verlag, 3rd edition. 1995. 549 p.

70. Luenberger D. C. Observers for multivariable systems. // IEEE Trans, on Automatic Control. 1966. AC-11. № 2. P. 190-197.

71. Luenberger D. C. An introduction to observers. // IEEE Trans, on Automatic Control. 1971. AC-16. № 6. P. 596-602.

72. Kokotovic V. P. Control theory in the 80's: Trends in feedback design // Automatica. 1985. V. 21. № 3. P. 225-236.

73. Shakhov Ya. A. Multiprogram controls for the quasi-linear time invariant system // Abstracts of the XVI Intern. Workshop "Beam Dynamics and Optimization (BDO'lO)". St. Petersburg, Russia, 28-30 June, 2010. St. Petersburg: VVM.co.Ltd., 2010. P. 61-62.

74. Slotine J.-J. E., Li W. Applied nonlinear control. New Jersey: Prentice-Hall, 1991. 461 p.

75. Smirnov N. V., Smirnova Т. E. Stabilization of programmed motions family of the bilinear system in the case of r-dimensional control // Proc. of

the fifth Intern, workshop "Beam Dynamics and Optimization (BDO'98)". St. Petersburg, Russia, June 29 - July 3, 1998. St. Petersburg, 2002. P. 131134.

76. Solis-Daun J., Suqrez R., Alvarez-Ramirez J. Global stabilization of nonlinear systems with inputs subject to magnitude and rate bounds: a parametric optimization apploach // SIAM J. Control Optim. 2000. Vol. 39. № 3. P. 682 - 706.

77. Solovyeva I. Positional optimization in a certain problem of multiprogrammed control // Proc. of 11-th international conference on humans and computers. Japan, November 2008, Nagaoka University of Technology. P. 359-363.

78. Williamson D. Observation of bilinear systems with application to biological control // Automatica. 1977. V. 13. № 3. P. 243-254.

79. Zgonnikov A. The optimum feedback synthesis for a certain nonlinear mechanical system // Proc. of 12-th international conference on humans and computers. Aizu, Japan, 2009. P. 235-239.