Синтез локально-оптимальных систем управления выходом для дискретных стохастических объектов с неполной информацией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Смагин, Сергей Валерьевич

• Смагин, Сергей Валерьевич
• кандидат технических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат технических наук Смагин, Сергей Валерьевич

ВВЕДЕНИЕ.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

Глава 1. ЛОКАЛЬНО-ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ВЫХОДОМ СИСТЕМЫ ПРИ АДДИТИВНЫХ

СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ.

1.1. Общая постановка задачи.

1.2. Управление выходом линейной системы при точном измерении вектора состояния.

1.3. Управление выходом линейной системы при косвенных наблюдениях за состоянием.

1.4. Управление выходом линейной системы с мультипликативными возмущениями.

1.5. Применение алгоритма локально-оптимального управления к задаче управления запасами и к задаче управления смесительной колонной.

1.6. Выводы по главе 1.

Глава 2. ЛОКАЛЬНО-ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ВЫХОДОМ СИСТЕМЫ ПРИ НЕИЗВЕСТНОЙ ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ВОЗМУЩЕНИЙ.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Синтез управления для локального критерия при неизвестном постоянном возмущении.

2.3. Синтез управления для локального критерия при неизвестном полиномиальном возмущении.

2.4. Результаты вычислительного эксперимента.

2.4.1. Применение алгоритма к задаче управления объектом 3-го порядка.

2.4.2. Применение алгоритма к задаче управления запасами.

2.5. Выводы по главе 2.

Глава 3. ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ В ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ С НЕИЗВЕСТНЫМИ

ВОЗМУЩЕНИЯМИ.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Преобразование математической модели.

3.3. Фильтрация дискретного процесса при постоянных матрицах модели.

3.4. Фильтрация дискретного процесса с переменными параметрами.

3.5. Оптимальная экстраполяция в дискретных системах с неизвестными возмущениями.

3.6. Результаты вычислительного эксперимента.

3.7. Выводы по главе 3.

Глава 4. АДАПТАЦИЯ В ЗАДАЧЕ ЛОКАЛЬНО-ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО УПРАВЛЕНИЮ.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Построение локально-оптимального управления при точном измерении возмущения.

4.3. Построение локально-оптимального управления при косвенных измерениях возмущений (модель возмущений известна полностью).

4.4. Адаптивное локально-оптимальное управление при косвенных измерениях возмущений.

4.5. Адаптивное управление запасами с учетом запаздываний.

4.6. Выводы по главе 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синтез локально-оптимальных систем управления выходом для дискретных стохастических объектов с неполной информацией»

Актуальность проблемы. Диссертационная работа посвящена проблеме синтеза дискретных локально-оптимальных систем управления, выход которых отслеживает заданные переменные в условиях неполной информации о возмущении объекта, неполной информации о векторе состояния и при наличии в модели объекта запаздываний и неизвестных параметров.

Оптимизация локального критерия для дискретных систем по своей сути является частным случаем синтеза прогнозирующего управления [77] (Model predictive control) с прогнозированием на 1 такт. Главное достоинство метода локально-оптимального управления является простота синтеза, возможность учета дополнительных ограничений, а также возможность оптимизации дополнительных критериев.

Задача слежения широко используется при управлении реальными объектами. Она возникает при переводе технологического процесса из одного режима в другой при отслеживании заданной программы работы. В технике, при управлении подвижными объектами, задача слежения может использоваться для выполнения маневрирования. В экономике следящие системы применяются при управлении запасами (поддержание заданного уровня количества товаров на складе, минимизации издержек на хранение). Применение следящих систем в задачах управления запасами рассмотрено в работах Лотоцкого В.А. [26], Потоцкого В.А., Манделя А.С. [27], Первозванско-го А.А. [41], РыжиковаЮ.И. [47], C'onte P., Pennesi Р. [79]; в задачах управления производством - Головина И.Я., Ширяева В.И. [8], Горского А.А., Колпакова Н.Г., Локшина Б.Я. [9], ПараеваЮ.И. [37, 38], Перепелкина Е.А.

42], Симона Г. А. [48], Ширяева В.И., Ширяева Е.В., Головина И.Я., Смолина В.В. [72], Ширяева В.И., Баева И.А., Ширяева Е.В. [73], Seirstad А., Sydsaeter К. [93]. Задачи управления портфелем ценных бумаг (слежение за эталонным портфелем) рассматривались в работах Герасимова Е.С., Дом-бровского В.В. [7], Домбровского В.В., Домбровского Д.В., Ляшенко Е.А. [12], Параева Ю.И., Цветницкой С.А. [40].

Локально-оптимальные управления синтезируются на основе минимизации критерия в текущий момент времени. Задачи синтеза управлений по локальному критерию рассматривались в работах Моисеева Н.Н. [31], Зубова В.И. [14], Казакова И.Е. [15, 16], Дегтярева Г.Л., Сиразетдинова Т.К., Ри-заеваИ.С. [10, 11], Панченко А.Н. [33], Кельманса Г.К., Позняка А.С., Чер-ницера А.В. [18], Бодянского Е.В. [3], Когана М.М., НеймаркаЮ.И. [19, 20], Рубана А.И. [46], Параева Ю.И., Смагина В.И. [49], Фурасова В.Д. [67] и др. авторов. Рассмотренные в этих работах методы синтеза локально-оптимальных систем управления недостаточно приспособлены для решения проблемы синтеза систем управления при ненаблюдаемом возмущении. Задача синтеза систем управления, инвариантных к возмущающим воздействиям, исследовалась многими авторами (Петров Б.Н., Кулебакин B.C., Кухтен-ко А.И. [62], Емельянов С.В., Коровин С.К. [13], Востриков А.С. [6], Параева Ю.И., Смагина В.И. [49], Юркевич В.Д. [74] и др.). Эта задача остается актуальной и в настоящее время. В данной работе разработаны методы синтеза локально-оптимальных систем управления при неизвестных аддитивных возмущениях полиномиального типа.

Актуальной также является разработка алгоритмов калмановской фильтрации и экстраполяции для класса систем с неизвестными аддитивными возмущениями, которые могут использоваться в качестве моделей реальных физических систем, моделей объектов с неизвестными сбоями, а также в системах управления при формировании обратных связей. Известные методы вычисления оценок вектора состояния при неизвестных возмущениях базируются на алгоритмах, использующих оценки возмущений. К числу таких методов можно отнести работы Astrom К., Eykhoff Р. [75], Chen J., Patton R. J. [78], Darouach M.5 Zasadzinski M. [80], Friedland B. [83], Gillijns S., Moor B. [84], Hsieh C.S. [87-90], Кошаева Д.А. [22]. В работах Astrom К., Eykhoff P. [75], Friedland B. [83] рассматриваются алгоритмы решения задачи на основе метода расширения пространства состояний (к основной модели объекта добавляется модель ненаблюдаемого возмущения) и алгоритм двухэтапной фильтрации, уменьшающий вычислительные затраты за счет декомпозиции задачи. В работе Кошаева Д.А. [22] рассмотрен многоальтернативный метод фильтрации на основе расширенного фильтра Калмана для кусочно-полиномиального описания возмущений, характеристики которого регулярно с некоторым периодом оцениваются. В работах Darouach ML, Zasadzinski М., Xu S. J. [81], Gillijns S., Moor B. [84], Chen J. Patton R. [78] рассмотрены алгоритмы рекуррентной оптимальной фильтрации, использующие оценки неизвестного возмущения, однако, эти алгоритмы имеют достаточно жесткие условия их разрешимости. Анализ литературы показывает, что задача определения оптимальных оценок при неизвестных возмущениях и в настоящее время остается актуальной.

Методы адаптивного управления рассматриваются в большом числе работ, в частности, в работах Александрова А.Г. [1], Бодянского Е.В., Борячка М.Д. [3], Когана М.М., Неймарка Ю.И [19, 20], Красовского А.А. [23], Ми-рошника И.В., Никифорова В.О., Фрадкова A.JT. [29], Никифорова В.О. [32], Фомина В.Н., Фрадкова АЛ, Якубовича В.А. [65], Фрадкова АЛ., [66], Цып-кина Я.З., Кельманса Г.К. [68], Цыпкина ЯЗ., Позняка А.С. [69], Цыпкина Я.З., Поляка Б.Т. [70], Рубана А.И. [46], Чуракова Е.П. [71] и др. Вместе с тем проблемы синтеза методов, допускающих учет ограничений, оптимизацию дополнительных критериев для объектов с запаздываниями и с возмущениями, модели которых содержат неизвестные параметры, остаются актуальными и в настоящее время.

Высказанные доводы позволяют считать тему диссертационной работы актуальной.

Объект исследования. Управляемые стохастические нестационарные дискретные динамические системы с запаздыванием по управлению, функционирующие в условиях неполной информации о возмущении и состоянии.

Предмет исследования. Локально-оптимальные алгоритмы слежения выходом системы за заданной траекторией, алгоритмы фильтрации и экстраполяции.

Цель диссертационной работы состоит в разработке на основе оптимизации локального критерия систем управления выходом, отслеживающим заданную траекторию, при неполной информации о возмущении и состоянии объекта. Решение задач управления при наличии запаздываний в контуре управления. Разработка методов фильтрации и экстраполяции для объектов с неполной информацией о возмущениях.

Для достижения данной цели поставлены следующие основные задачи:

1. Построить локально-оптимальное управление выходом объекта со случайными возмущениями мультипликативного вида с контролируемой аддитивной детерминированной составляющей в условиях косвенных наблюдений за состоянием.

2. Разработать динамический локально-оптимальный закон управления выходом объекта со случайными возмущениями с неконтролируемой аддитивной детерминированной составляющей полиномиального вида.

3. Построить оценки фильтрации и экстраполяции для дискретных стохастических процессов, со случайными возмущениями с неконтролируемой аддитивной постоянной составляющей.

4. Построить локально-оптимальное управление выходом объекта с запаздыванием по управлению для систем с неполной информацией о возмущениях.

5. Выполнить апробацию алгоритмов с помощью вычислительных экспериментов.

Методы исследования.

Для достижения поставленных в диссертационной работе целей использовался аппарат теории управления, теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов, численные методы и методы имитационного моделирования. Численные расчеты и анализ результатов проводился с помощью моделирования на ЭВМ.

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем:

1. Найдены локально-оптимальные пропорциональные и динамические законы управления нестационарными объектами, обеспечивающие отслеживание выходом объекта заданной траектории в условиях неполной информации о состоянии, возмущении и с учетом запаздывания в управлении.

2. Построены дискретные нестационарные фильтры и экстраполяторы, позволяющие вычислять оптимальные несмещенные оценки при неполной информации об аддитивных возмущениях с неизвестной постоянной составляющей.

Теоретическая значимость диссертационного исследования состоит, в развитии теории локально-оптимального управления выходом нестационарных дискретных систем и развитии теории фильтрации и экстраполяции для объектов с неопределенностью в описании аддитивных возмущений.

Практическая значимость работы определяется тем, что разработанные и апробированные в рамках диссертационной работы методы и алгоритмы, могут применяться в различных областях техники и экономики, в частности, при решении задач управления запасами.

Применение методов управления и фильтрации, разработанных в диссертации, можно использовать для повышения надежности систем, так как неполнота информации о возмущениях может возникать в результате случайных отказов и сбоев.

Результаты исследований используются в учебном процессе на факультете прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета.

Достоверность полученных результатов, содержащихся в диссертации, подтверждается тем, что доказательства проведены на строгом математическом уровне, а также подтверждается результатами численных расчетов.

Личное участие автора в получении результатов, изложенных в диссертации. Все основные результаты, полученные в диссертации, выводились и доказывались лично автором.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем диссертации составляет 132 страницы, в том числе 35 рисунков и 1 таблица, библиография содержит 93 наименования.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Смагин, Сергей Валерьевич

Основные результаты диссертационной работы:

1. На основе оптимизации квадратичного локального критерия для дискретных объектов со случайными аддитивными и мультипликативными возмущениями с наблюдаемой детерминированной составляющей разработаны алгоритмы синтеза систем управления выходом объекта в условиях косвенных наблюдением за вектором состояния.

2. Разработан алгоритм синтеза систем управления выходом дискретного объекта с неизвестным возмущением полиномиального типа. Алгоритм управления имеет структуру динамической системы управления с глубиной памяти по состоянию объекта.

3. Разработаны алгоритмы синтеза дискретных оптимальных фильтров и экстраполяторов для линейных объектов, возмущения которых содержат неизвестную постоянную составляющую.

4. Разработан алгоритм синтеза локально-оптимальных управлений для объектов с запаздыванием в контуре управления при косвенных измерениях возмущений, модель которого содержит неизвестные параметры. Предложенный алгоритм не требует увеличения размерности вектора состояния, является динамическим и построен с использованием фильтров и экстраполя-тора.

5. Решены практические задачи управления запасами с учетом дополнительных ограничений и дополнительных критериев.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Смагин, Сергей Валерьевич, 2010 год

1. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы. Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1989. - 264 с.

2. Амосов А.А., Колпаков В.В. Скалярно-матричное дифференцирование и его применение к конструктивным задачам теории связи // Проблемы передачи информации. 1972. -№ 1. С. 3-15.

3. Бодянский Е.В., Борячок М.Д. Локально-оптимальное псевдодуальное управление объектами с неизвестными параметрами // Автоматика и телемеханика. 1992. № 2. - С.90-97.

4. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана-Бьюси. -М.: Наука, 1972. 200 с.

5. Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом // -М.: Наука, 1987.-232 с.

6. Востриков А.С. Синтез нелинейных систем методом локализации. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1990. - 120 с.

7. Герасимов Е.С., Домбровский. В.В. Динамическая сетевая модель управления инвестициями при квадратической функции риска //Автоматика и телемеханика. 2002. -№ 2. С. 119-128.

8. Головин И .Я., Ширяев В.И. Оптимальное управление фирмой при изменении спроса на ее продукцию // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2001. -№4.-С.95-101.

9. Горский А.А., Колпакова Н.Г., Локшин Б.Я. Динамическая модель производства, хранения и сбыта товара повседневного спроса // Изв. РАН Теория и системы управления. 1998. № 1. — С. 144-149.

10. Ю.Дегтярев Г.Л., Сиразетдинов Т.К. Теоретические основы оптимального управления космическими аппаратами. -М.: Машиностроение, 1986.-216 с.

11. П.Дегтярев Г.Л., Ризаев И.С. Синтез локально-оптимальных алгоритмов управления летательными аппаратами. -М.: Машиностроение, 1991.- 304 с.

12. З.Емельянов С.В., Коровин С.К. Новые типы обратной связи. Управление при неопределенности. М.: Наука, 1997. -352 с.14.3убов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. -495 с.

13. Казаков И.Е. Оптимальное управление при вероятностном локальном критерии и ограничениях // Автоматика и телемеханика. 1973. — № 2.-С. 44-51.

14. Казаков И.Е. Оптимизация управления в нелинейной стохастической системе по локальному критерию // Изв. РАН Теория и системы управления. 1996.-№ 6.-С. 102-109.

15. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.:1. Мир, 1977.-650 с.

16. Кельманс Г.К., Позняк А.С., Черницер А.В. Локально-оптимальное управление объектами с неизвестными параметрами // Автоматика и телемеханика. 1982. №10. - С. 80-95.

17. Коган М.М., Неймарк Ю.И. Адаптивное локально-оптимальное управление // Автоматика и телемеханика. 1987. — №8. — С. 126-136.

18. Коган М.М., Неймарк Ю.И. Функциональные возможности адаптивного локально-оптимального управления // Автоматика и телемеханика. 1994. —№6. С. 94-105.

19. Кориков A.M. Основы теории управления. Учебное пособие. Изд-во НТЛ. Томск, 2002. 392 с.

20. Кошаев Д.А. Многоальтернативный метод обнаружения и оценки нарушений на основе расширенного фильтра Калмана // Автоматика и телемеханика. 2010. №5. - С. 70-83.

21. Красовский А.А. Неклассическая оптимизация и адаптивное управление // Изв. РАН Техническая кибернетика. 1992. №6. - С 3-17.

22. Ли Р. Отимальные оценки, определение характеристик и управление.-М.: Наука, 1966.- 176 с.

23. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1974. —696 с.

24. Лотоцкий В.А. Управление запасами при частично наблюдаемом спросе//Статистические методы теории управления. -М.: Наука, 1978.- С. 222-224.

25. Лотоцкий В.А., Мандель А.С. Модели и методы управления запасами. -М.: Наука, 1991.- 189 с.

26. Методы робастного, нейро-нечеткого и адаптивного управления: Учебник / Под ред. Н.Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.-744 с.

27. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков A.JI. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000. - 549 с.

28. Модели и методы логистики / под Ред. В.С.Лукинского. СПб.: Питер, 2007. - 448 с.

29. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971.-424 с.

30. Никифоров В.О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. СПб.: Наука, 2003. - 282 с.

31. Панченко А.Н. Экстремальные задачи управления движением с локальными функционалами // Проблемы устойчивости движения, аналитической механики и управления. Новосибирск: Наука, 1979. - С. 190-202.

32. Параев Ю.И. Введение в статистическую динамику процессов управления и фильтрации. М.: Сов.радио, 1976. - 184 с.

33. Параев Ю.И. Алгебраические методы в теории линейных систем управления. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1980. - 140с.

34. Параев Ю.И. Уравнения Ляпунова и Риккати. Томск: Изд-во Томск, унта, 1989. - 168 с.

35. Параев Ю.И. Решение задачи об оптимальном производстве, хранении и сбыте товара // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2000. № 2.- С.103-107.

36. Параев Ю.И. Двухкритериальная задача оптимального производства и сбыта товара // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2003. — № 1.- С.138-141.

37. Параев Ю.И., Перепелкин Е.А. Линейные матричные уравнения в задачах анализа и синтеза многосвязных динамических систем. — Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2000. 120 с.

38. Параев Ю.И., Цветницкая С.А. Управление инвестиционным портфелем в задаче слежения // Вестник Томского государственного университета. 2006. №290. - С. 187-189.

39. Первозванский А. А. Математические модели в управлении производством. М.: Наука, 1975. - 616 с.

40. Перепелкин Е.А. Прогнозирующее управление экономической системой производства, хранения и поставок товара потребителям // Экономика и математические методы. 2004. Т.40. - №1. - С 125-128.

41. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1961. - 384 с.

42. Пугачев B.C., Синицин И.Н. Стохастические дифференциальные уравнения М.: Наука, 1990. - 630 с.

43. Растригин Л.А. Системы экстремального управления. — М.: Наука,1974.- 632 с.

44. Рубан А.И. Идентификация и чувствительность сложных систем. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1982. — 302с.

45. Рыжиков Ю.И. Теория очередей и управление запасами. СПб.: Питер, 2001.-376 с.

46. Смагин В.И., Параев Ю.И. Синтез следящих систем управления по квадратичным критериям. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1996. - 171 с.

47. Смагин В.И., Смагин С.В. Управление запасами по двум критериям с учетом ограничений // Вестник Томского государственного университета. Математика, кибернетика, информатика. 2006. № 290. - С. 244-246.

48. Смагин С.В. Управление выходом линейной дискретной системы с мультипликативными возмущениями // Вестник Томского государственного университета. Математика, кибернетика, информатика. 2006. -№293.-С. 126-128.

49. Смагин С.В. Управление выходом дискретной динамической системы // Материалы X Всерос. научно-практической конф. "Научное творчество молодежи". 4.1. Томск: Изд-во ТГУ, 2006. - С. 178-179.

50. Смагин С.В. Управление выходом дискретной системы с мультипликативными возмущениями // Материалы II Всерос. научно-практической конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. "Инноватика-2006".- Томск: Изд-во ТГУ, 2006. С. 114-115.

51. Смагин С.В. Динамические следящие системы управления выходом объекта при неизвестных возмущениях // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2008. -№ 1(2).-С. 25-31.

52. Смагин С.В. Дискретная фильтрация для объекта с неизвестными возмущениями // Материалы XII Всерос. научно-практической конф. "Научное творчество молодежи". 4.1. Томск: Изд-во ТГУ, 2008. - С. 39-40.

53. Смагин В.И., Смагин С.В. Адаптивное управление запасами с учетом ограничений и транспортных запаздываний // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2008. № 3(4). - С. 19-26.

54. Смагин С.В. Динамические следящие системы управления при неизвестных полиномиальных возмущениях // Тез. докл. VII Российской конф. с междунар. участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных систем». Томск: Изд-во HTJI, 2008. - С. 103.

55. Смагин С.В. Фильтрация в линейных дискретных системах с неизвестными возмущениями // Автометрия. 2009. Т.45. - № 6. С. 29-37.

56. Смагин С.В. Экстраполяция в линейных дискретных системах с неизвестными возмущениями // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. -№2(11). С. 90-95.

57. Современные методы проектирования систем автоматического управления / Под ред. Б.Н. Петрова, В.В. Солодовникова, Ю.И. Топчеева. М.: Машиностроение, 1967. - 703 с.

58. Справочник по теории автоматического управления / Под редакцией А.А. Крассовского. -М.: Наука, 1987. 712 с.

59. Фомин В.Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.- 288 с.

60. Фомин В.Н., Фрадков AJL, Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1980. — 408 с.

61. Фрадков А.Л. Адаптивное управление в сложных системах. М: Наука,, 1990.-296 с.

62. Фурасов В.Д. Устойчивость и стабилизация дискретных процессов. М: Наука, 1982. - 192 с.

63. Цыпкин Я.З., Кельманс Г.К. Дискретные адаптивные системы управления // Итоги науки и техники. Сер. Техническая кибернетика. М.: ВИНИТИ, 1984.-Т. 17.-С. 3-73.

64. Цыпкин Я.З., Позняк А.С. Рекуррентные алгоритмы оптимизации в условиях неопределенности // Итоги науки и техники. Сер. Техническая кибернетика. -М.: ВИНИТИ, 1983. Т. 16. - С. 3-70.

65. Цыпкин Я.З., Поляк Б.Т. Псевдоградиентные алгоритмы адаптации и обучения // Автоматика и телемеханика. 1973. № 3. - С. 45-68.

66. Чураков Е.П. Оптимальные и адаптивные системы. Учебное пособие для вузов. М.: Энергоатомиздат, 1987. - 255 с.

67. Ширяев В.И., Ширяев Е.В., Головин И.Я., Смолин В.В. Теория и алгоритмы для идентификации, адаптации и управления фирмой в условиях изменения ситуации на рынке // Информационные технологии. Приложение. 2002.-№4.-С. 1-24.

68. Ширяев В.И., Баев И.А., Ширяев Е.В. Экономико-математическое моделирование управления фирмой. М.: КомКнига, 2006. - 224 с.

69. Юркевич В.Д. Синтез дискретных систем управления методом динамического сжатия // Изв. РАН Техническая кибернетика. 1994. — № 6.- С. 223-233.

70. Astrom К., Eykhoff P. System identification -A survey // Automatica. 1971.- V.7. -Р.123-162.

71. Athans M. The matrix minimum principle // Inform, and Contr. 1968. — V.l 1. P. 592-606.

72. Camacho E.F., Bordons C. Model predictive control. Springer-Verlag. London. 2004. 405 p.

73. Chen J., Patton R. J. Optimal filtering and robust fault diagnosis of stochastic systems with unknown disturbances // IEE Proc. Control Theory Appl. 1996.-V. 143.-P.31-36.

74. Conte P., Pennesi P. Inventory control by model predictive control methods // Proc. 16th IFAC World Congress. Prague. 2005. P. 1-6.

75. Darouach M., Zasadzinski M. Unbiased minimum variance estimation for systems with unknown exogenous inputs // Automatica. 1997. V.33. - P. 717719.

76. Darouach M., Zasadzinski M., Xu S. J. Full-order observers for linear systems with unknown inputs // IEEE Trans, on Automat. Contr. 1999. V.AC-39.-P. 606.

77. Darouach M., Zasadzinski M., Boutayeb M. Extension of minimum variance estimation for systems with unknown inputs // Automatica. 2003.-V.39.-P. 867-876.

78. Friedland B. Treatment of bias in recursive filtering // IEEE Trans, on Automat. Contr. 1969. -V.AC-14. P. 359-367.

79. Gillijns S., Moor B. Unbiased minimum-variance input and state estimation for linear discrete-time systems // Automatica. 2007. — V.43. P. 111-116.

80. Hopp Т. H., Schmitendorf W. E. Design of linear controller for robust tracking and model following // Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control. 1990.-V.l 12, P. 552-558.

81. Hou M., Patton R. Optimal filtering for systems with unknown inputs // IEEE

82. Trans, on Automat. Contr. 1998. V.AC-43. - P. 445-449.

83. Hsieh C.-S. A unified solution to unbiased minimum-variance estimation for systems with unknown inputs // Proc.l7th World Congress The International Federation of Automatic Control. Seoul. Korea. July 6-11, 2008. P. 1450214509.

84. Hsieh C.-S. Robust two-stage Kalman filters for systems with unknown inputs // IEEE Trans, on Automat. Contr. 2000. V. AC-45. - P. 2374-2378.

85. Hsieh C.-S. Extension of the optimal unbiased minimum-variance filter for systems with unknown inputs // Proc. 15th IEEE International Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems. Tokushima. Japan. 2007. P. 217220.

86. Hsieh C.-S. Robust parameterized minimum variance filtering for uncertain systems with unknown inputs // Proc. American control conference. New York. 2007.-P. 5118-5123.

87. Seirstad A., Sydsaeter K. Optimal control theory with economic applications. Elsevier. Amsterdam, 2002. 445 p.