Синтез, исследование и применения алгоритмов цифрового дифференцирования сигналов в системах автоматического регулирования процессов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.06, кандидат технических наук Майстренко, Андрей Васильевич

• Майстренко, Андрей Васильевич
• кандидат технических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат технических наук Майстренко, Андрей Васильевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ЗАДАЧА ЦИФРОВОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ СИГНАЛОВ. ОБЗОР И КРАТКИЙ АНАЛИЗ СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ ЕЕ РЕШЕНИЯ.

1.1. Введение.

1.2. Постановка задачи цифрового дифференцирования сигнала s = s(t) и анализ ее особенностей.

1.3. Методы, основанные на использование отношения As/At при конечных значениях приращений At и As.

1.4. Методы цифрового дифференцирования сигнала s = s(t), основанные на использовании интерполяционных полиномов.

1.5. Методы цифрового дифференцирования сигнала s = s(t) с применением сплайнов.

1.6. Методы дифференцирования сигнала s = s(t) , основанные на использовании аппроксимирующих функций.

1.7. Методы дифференцирования сигнала s = s(t) , основанные на использовании интегральных уравнений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синтез, исследование и применения алгоритмов цифрового дифференцирования сигналов в системах автоматического регулирования процессов»

2.2. Синтез алгоритмов цифрового дифференцирования сигналов, основанных на использовании конечных приращений.42

2.3. Анализ алгоритмов цифрового дифференцирования сигналов, основанных на использовании конечных приращений.45

2.4. Регуляризация алгоритма (2.3.1)-(2.3.4) цифрового дифференциро-вания сигналов с применением псевдообратных матриц.50

2.5. Некоторые результаты экспериментальных исследований алгоритма (2.4.14)-(2.4.15) и предлагаемого способа его регуляризации.63

2.5.1. Условия проведения экспериментальных исследований.64

2.5.2. Некоторые результаты экспериментальных исследований алгоритма дифференцирования сигналов, основанного на применение конечных приращений.65

2.6 Заключение.68

ГЛАВА 3. ЦИФРОВОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ С ПРИМЕНЕНИЕМ СКОЛЬЗЯЩЕЙ КВАДРАТИЧНОЙ АППРОКСИМАЦИИ И ПСЕВДООБРАТНЫХ МАТРИЦ.70

3.1. Введение.70

3.2. Метод цифрового дифференцирования сигналов, основанный на применении скользящей аппроксимации дифференцируемого сигнала квадратичными полиномами и псевдообратных матриц, с регуляризацией алгоритма их вычислений.70

3.3. Решение условных систем линейных алгебраических уравнений и алгоритм вычисления псевдообратных матриц.75

3.4. Некоторые результаты исследований и сравнения двух методов вычисления производных.82

3.5. Заключение.93

ГЛАВА 4. АЛГОРИТМ ЦИФРОВОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ С ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИЕЙ СИГНАЛА, ОСНОВАННЫЙ НА СКОЛЬЗЯЩЕМ УСРЕДНЕНИИ ЕГО ЗНАЧЕНИЙ И НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ЕГО ИССЛЕДОВАНИЯ.94

4.1. Введение.94

4.2. Структурная схема алгоритма фильтрации.95

4.3. Метод арифметического усреднения измерений сигнала.100

4.3.1. Метод арифметического среднего.101

4.3.2. Вероятностно-статистические характеристики среднего значения Sj и их поведение при увеличении т.103

4.4. Некоторые результаты экспериментальных исследований алгоритма цифрового дифференцирования сигналов с предварительным усреднением значений сигнала.110

4.5. Заключение.117

ГЛАВА 5. РЕЗУЛЬТАТЫ ВНЕДРЕНИЯ СИНТЕЗИРОВАННЫХ АЛГОРИТМОВ ЦИФРОВОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ СИГНАЛОВ .118

5.1. Введение.118

5.2. Описание объекта внедрения.118

5.3. Общие сведения.119

5.4. Технические характеристики.119

5.5. Устройство и принцип работы ШР.120

5.6. Рабочий режим.123

5.7. Необходимость модернизации СУ.124

5.8. Новая система управления ШР.124

5.9. Результаты практического применения в компании «ЭлеСи».127

5.10. Заключение.128

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.128

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ.131

ПРИЛОЖЕНИЯ.138

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Задача дифференцирования сигналов (функций времени) или, что то же самое, вычисления их производных является одной из тех задач, с которыми приходится сталкиваться в самых разнообразных отраслях науки и техники. Наглядными примерами таких отраслей являются отрасли науки и техники, связанные с математическим моделированием различных динамических процессов и объектов, описываемых дифференциальными уравнениями, и с автоматизацией управления и регулирования данными процессами. Совершенно очевидно, что без умения достаточно эффективно решать данную задачу невозможно вести речь о создании автоматических регуляторов, обеспечивающих реализацию технологических процессов в теплоэнергетике, металлургии, нефтехимии и т.п. в соответствии с заданными режимами и с достаточно высокой точностью. Последнее обусловливается тем, что без использования первой и более высокого порядка производных регулируемых переменных и знания достаточно точных оценок их значений невозможно создать и, тем более, реализовать автоматический регулятор, удовлетворяющий отмеченным выше требованиям.

Как известно из электро- и радиотехники [1,2], а также теории автоматического управления, основываясь на традиционных аналоговых дифференцирующих цепочках и усилителях, оказывается, невозможно создать идеальный или достаточно близкий к нему дифференциатор (аппаратное устройство, реализующее алгоритм дифференцирования), позволяющий дифференцировать преобразуемый сигнал и получать достаточно точную оценку его производной. Основным препятствием, возникающем при создании таких дифференциаторов, является их физическая нереализуемость или неосуществимость. Известно также [3], что данное препятствие можно обойти, если при создании дифференциаторов основываться на современных средствах микропроцессорной техники и методах цифрового (или, как их еще нередко, называют численного [3]) дифференцирования сигналов. Высокие точностные характеристики и быстродействие современных микропроцессоров и существующие тенденции их устойчивого роста позволяют видеть, что создание на их основе дифференциаторов сигналов, пригодных для использования в реальном масштабе времени, является вполне разрешимой задачей и возможности её успешного решения с каждым годом всё более расширяются.

Как известно [4], задача цифрового дифференцирования наблюдаемого сигнала, значения которого заданы с ошибками, и получения достаточно точных оценок его производных является далеко не тривиальной и зачастую трудно реализуема из-за того, что она является некорректной (более подробно анализ причин некорректности задачи цифрового дифференцирования сигналов будет рассмотрен в главе 1). Но данное препятствие, как уже было сказано ранее, можно обойти, используя современные средства микропроцессорной техники и методы цифрового дифференцирования сигналов.

Отмеченное выше делает вполне очевидной актуальность проведения исследований существующих и создания новых методов цифрового дифференцирования сигналов и выбора такого или таких из них, которые наиболее пригодны для реализации с применением средств современной микропроцессорной техники и позволяющие достичь требуемых характеристик.

Для решения сформулированной выше задачи можно воспользоваться многими известными в настоящее время алгоритмами, основанными на использовании различных интерполяционных полиномов [5], аппроксимирующих функций [6], сплайнов [7] и т.п. [8]. Анализ литературных источников [9, 10], посвящённых различным проблемам и методам цифрового дифференцирования сигналов, позволяет видеть, что в настоящее время имеется значительное число подобных методов, базирующихся на различных идеях и подходах к их разработке. Основными требованиями, предъявляемыми к алгоритмам дифференцирования сигналов в реальном масштабе времени являются их быстродействие, точность вычисляемых оценок производных и, наконец, устойчивость вычисляемой производной к ошибкам задания дифференцируемого сигнала. В связи с противоречивостью отмеченных выше требований, очень часто бывает достаточно сложно воспользоваться тем или иным известным алгоритмом. Это, в свою очередь, приводит к тому, что возникает потребность в алгоритмах способных удовлетворить тем требованиям, которые необходимо выполнить при решении той или иной конкретной задачи.

Цель диссертационной работы. Изложенные выше проблемы и особенности задачи цифрового дифференцирования сигналов явились стимулом для проведения дальнейших исследований с целью создания таких методов и алгоритмов, которые бы в наиболее полной мере удовлетворяли описанным выше требованиям. Создание подобного рода алгоритмов цифрового дифференцирования сигналов, их исследование и практическая реализация и является целью данной диссертации.

Для достижения поставленной цели были синтезированы три новых алгоритма цифрового дифференцирования сигналов, базирующихся на различных идеях и подходах.

Первый алгоритм представляет собой регуляризированный алгоритм дифференцирования сигналов, основанный на использовании конечных приращений дифференцируемого сигнала и времени или, как еще его часто называют [11], простейший алгоритм дифференцирования. Основное внимание при его исследовании уделяется результатам анализа причин некорректности задачи цифрового дифференцирования сигналов и его регуляризации.

Второй алгоритм основан на использовании скользящей аппроксимации дифференцируемого сигнала алгебраическими полиномами второго порядка и сведении задачи его дифференцирования к аналитическому дифференцированию аппроксимирующих полиномов. При этом в качестве меры точности аппроксимации сигналов используется, евклидова или, что то же самое, квадратичная метрика, а вычисление коэффициентов аппроксимирующих полиномов осуществляется с применением псевдообратных матриц и рекуррентного алгоритма их вычисления.

В данной работе были исследованы важнейшие свойства синтезированных алгоритмов, методы их регуляризации и вероятностно-статистические характеристики [12] их решений. Разработан и применен алгоритм предварительной фильтрации дифференцируемого сигнала основанный на скользящем усреднении его значений, с целью повышения помехоустойчивости синтезированных алгоритмов. Приводятся некоторые результаты численного моделирования предлагаемых методов, иллюстрирующие их преимущества, работоспособность и возможность дальнейшего их использования при создании автоматических регуляторов и автоматизированных систем управления различного типа и назначения. Практическое применение алгоритма цифрового дифференцирования сигналов, основанного на применении скользящей квадратичной аппроксимации и псевдообратных матриц, было реализовано в виде ПИД-регулятора функционирующего в реальной системе управления шкафами расстойки на Пищекомбинате «Лама» в г. Томске.

Методы исследований. Для решения поставленных задач использовались методы математического анализа, теории вероятностей и математической статистики, линейной алгебры, а также методы оптимизации и численного моделирования. При создании программного обеспечения для исследований синтезированных алгоритмов использовался пакет программ MATLAB [13,14], а также написанные специально для него модули, позволяющие в полной мере исследовать все основные характеристики и свойства предлагаемых алгоритмов.

Защищаемые положения. На основе проведенного анализа существующих методов цифрового дифференцирования сигналов и актуальности данной задачи, получены следующие оригинальные результаты.

1) Способ регуляризации простейшего алгоритма цифрового дифференцирования сигналов, основанного на использовании конечных приращений дифференцируемого сигнала и времени и его регуляризированная модификация.

2) Алгоритм цифрового дифференцирования сигналов, основанный на использовании скользящей аппроксимации дифференцируемого сигнала алгебраическими полиномами второго порядка, и псевдообратных матриц с регуляризацией их вычислений.

3) Алгоритм предварительной фильтрации дифференцируемого сигнала, основанный на скользящем усреднении его значений.

4) Синтезированные алгоритмы нашли практическое применение при проектировании различных устройств автоматического и автоматизированного управления в компании «ЭлеСи» (подтверждено актом внедрения).

5) Алгоритм цифрового дифференцирования сигналов, основанный на использовании скользящей квадратичной аппроксимации использован при изготовлении ПИД-регулятора, интегрированного в систему управления расстоечным шкафом на пищекомбинате «Лама» (подтверждено актом внедрения).

Достоверность результатов обеспечивается применение строгих математических методов решения задач, обоснованным использованием современных технологий разработки программного обеспечения, тестированием всех программных модулей, экспериментальным исследованием предложенных алгоритмов, а также результатами внедрения и эксплуатации.

Научную новизну полученных в работе результатов определяют.

1. Способ регуляризации простейшего алгоритма цифрового дифференцирования сигналов, основанного на использовании конечных приращений дифференцируемого сигнала и времени и его регуляризированная модификация. Приведены результаты экспериментальных исследований данного алгоритма иллюстрирующие его преимущества перед алгоритмом дифференцирования, который реализован в пакете программ Matlab. Следует отметить, что в большинстве программных продуктов данного назначения алгоритм дифференцирования реализован таким же образом. Синтезированный алгоритм обладает более высокой помехоустойчивостью.

2. Синтезирован новый алгоритм, основанный на использовании скользящей аппроксимации дифференцируемого сигнала алгебраическими полиномами второго порядка и сведении задачи его дифференцирования к аналитическому дифференцированию аппроксимирующих полиномов, и псевдообратных матриц с регуляризацией их вычислений. Приведены результаты экспериментальных исследований данного алгоритма, иллюстрирующие его способность с высокой точностью вычислять оценки производной первого, второго и более высоких порядков.

3. Синтезирован модифицированный алгоритм цифрового дифференцирования сигналов основанный на применение скользящей квадратичной аппроксимации и псевдообратных матриц с предварительной фильтрацией сигнала, реализующей скользящее усреднение его значений. Синтезированный алгоритм обладает более высокой помехоустойчивостью по сравнению с исходным.

Синтезированные алгоритмы наряду с теоретической ценностью, подтвержденной экспериментальным путем с помощью моделирования, имеют так же вполне реальную практическую ценность.

Практическая ценность. Разработанные алгоритмы цифрового дифференцирования сигналов используются компанией «ЭлеСи» при разработке регуляторов различного типа. Был разработан и изготовлен регулятор по заказу «Пищекомбината Лама» для управления расстойными шкафами «Климат - Агро», предназначенными для вызревания теста. При разработке данного регулятора был применен алгоритм, основанный на использовании скользящей аппроксимации дифференцируемого сигнала алгебраическими полиномами второго порядка.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях, симпозиумах, семинарах:

1. XXXIX научно-техническая конференция студентов, молодых ученых и аспирантов. - Уфа, 1988.

2. II Всесоюзная научно-техническая конференция «Микропроцессорные системы автоматики». - Новосибирск, 1991.

3. Международной научно-практическая конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «СОВРЕМЕННЫЕ ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИИ». - Томск, 2006.

4. Межрегиональной научно-технической конференции "Научная сессия ТУ СУР". - Томск, 2006.

5. Четвертой научно-практической конференции «Современные средства и системы автоматизации» - Томск 2003.

Публикации. Основные результаты исследований по теме диссертации отражены в 13 публикациях, цитируемых по ходу изложения материала. Из них 3 (три) в журналах, входящих в перечень периодических научных изданий, рекомендуемых ВАК.

Личный вклад автора. Диссертация написана с использованием результатов, полученных лично автором или при его участии на всех этапах решения поставленной задачи.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованных источников из 62 наименований и 2

Заключение диссертации по теме «Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)», Майстренко, Андрей Васильевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе проведен анализ существующих методов решения задачи цифрового дифференцирования сигналов, широко используемых в настоящее время. Рассмотрены их особенности, достоинства и недостатки. В связи с тем, что существующие методы решения рассматриваемой задачи не отвечают в полной мере, предъявляемым к ним требованиям, были синтезированные новые алгоритмы цифрового дифференцирования сигналов, предназначенные для решения большого круга задач, обладающие при этом более высокими точностными характеристиками, помехоустойчивостью и экономичностью.

При выполнении диссертационной работы получены следующие основные результаты:

1. Синтезирован новый способ регуляризации простейшего алгоритма цифрового дифференцирования сигналов в реальном масштабе времени, основанный на использовании псевдообратных матриц и псевдорешений систем линейных алгебраических уравнений. Применение данных матриц и вариации вычисляемых оценок производной дифференцируемого сигнала позволило синтезировать алгоритм вычисления оптимальных значений параметра регуляризации, обеспечивающих наиболее высокую точность вычисления производной. Экспериментальные исследования наглядно иллюстрируют и подтверждают, увеличение точности вычисления оценок производной, по крайней мере, на 20%.

2. Синтезирован новый алгоритм цифрового дифференцирования сигналов, основанный на применении скользящей квадратичной аппроксимации и псевдообратных матриц, позволяющий не пользуясь стандартными процедурами дифференцирования с достаточно высокой точностью вычислять, как значение самого сигнала, так и значения его первой и второй производных. Предложенный алгоритм, как это показали экспериментальные исследования, имеет значительно более высокую помехоустойчивость, чем алгоритмы, основанные на использовании стандартных процедур дифференцирования, реализованные во многих современных языках программирования и пакетах прикладных программ, в частности в используемом нами Matlab. Это его свойство оказывается особенно полезным при вычислении второй производной.

3. Синтезирован новый алгоритм цифрового дифференцирования с предварительной фильтрации входного сигнала, основанный на скользящем усреднении его значений. Приведены результаты экспериментальных исследований, иллюстрирующие увеличение помехоустойчивости и точности вычисления оценок производных. Следует отметить, что при вычислении оценок первой производной СКО данных оценок от их истинных значений составляет тысячные доли процента, при уровне шумов в 5%. Все изложенное выше позволяет заключить, что синтезирован новый алгоритм, обладающий высокой помехоустойчивостью и точностью вычисления оценок производной.

4. Разработано и изготовлено устройство управления (регулирования) шкафами расстойки «Климат - Агро». В качестве алгоритма, реализующего работу данного устройства лежит синтезированный алгоритм, основанный на применении скользящей квадратичной аппроксимации и псевдообратных матриц. Использование разработанного устройства позволило увеличить точность регулирования температуры и влажности приблизительно на 2225%, что позволило существенно оптимизировать работу шкафов расстройки «Климат - Агро» в целом. Это в свою очередь, повысило качественные характеристики конечного продукта, снизило количество брака и облегчило работу оператора.

5. Синтезированные алгоритмы цифрового дифференцирования сигналов используются в компании «ЭлеСи» при проектировании и исследовании систем управления электроприводами различного назначения. Данные алгоритмы используются также при проектировании и изготовлении регуляторов, функционирующих в системах управления нефтепроводами и нефтепродуктопроводами.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Майстренко, Андрей Васильевич, 2007 год

1. Юревич, Е.И. Теория автоматического управления Текст.: Учебник для втузов / Л.: Энергия, 1969.- 375 е.: 2-е изд., перераб. И доп. - Л.: Энергия, 1975.-714 с.

2. Кориков, A.M. Основы теории управления Текст. / 2-е изд.- Томск: Изд-во НТЛ, 2002. -392 с.

3. Бахвалов, Н.С. Вычислительные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Текст. / Ин-т кибернетики АН УССР, -Киев, 1970.

4. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач Текст. / А.Н.Тихонов, В.Я. Арсенин.-М.: Наука, 1979. Изд. 2-е.

5. Самарский, А.А. Введение в численные методы Текст.: Учебн. пособие для вузов / 2-е изд. перераб. и доп. - М.: Наука, 1987. -288 с.

6. Самарский, А.А. Численные методы Текст.: Учебн. пособие для вузов./

7. A.А.Самарский, А.В.Гулин. -М.: Наука, 1989. -432 с.

8. Дж. Алберг. Теория сплайнов и ее приложения Текст. / Дж. Алберг, Э. Нильсон, Дж. Уолш. -М.: Мир, 1972. -316 с.

9. Лоран, П.Ж. Аппроксимация и оптимизация Текст. / -М.: Мир, 1975. -496 с.

10. Крылов, В.И. Вычислительные методы высшей математики Текст. /

11. B.И.Крылов, В.В.Бобков, П.И.Монастырский. -Минск, Высшая школа, 1972.-584 с.

12. Ю.Бабушка, И. Численные процессы решения дифференциальныхуравнений Текст. / И.Бабушка, Э.Витасек, М.Прагер, «Мир», 1969. П.Милн, В.Э. Численное решение дифференциальных уравнений [Текст] / ИЛ, 1955.

13. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей Текст.: Учебник для студ. Вузов / 10-е изд., стер. М.: Издательский центр «Академия», 2005. - 576 с.

14. Сергиенко, А.Б. Цифровая обработка сигналов Текст.: Учебник для вузов / СПб.: Питер Ком, 2002. - 604 с.

15. Герман-Галкин, С.Г. Компьютерное моделирование полупроводниковых систем в MATLAB 6.0 Текст.: Учебное пособие для ВУЗов / СПб.: КОРОНА принт, 2001. - 320 с.

16. Грешилов, А. А. Вычисление пределов функций. Техника дифференцирования. Исследования функций и построение графиков Текст. / А.А.Грешилов, И.В.Дубограй. СПб, Изд-во Логос, 2004. - 176 с.

17. Терехов, С. А. Вейвлеты и нейронные сети Текст. Лекция для школы-семинара "Современные проблемы нейроинформатики" / МИФИ, Москва, 24-26 января 2001 г.

18. Ерофеев, А.А. Теория автоматического управления Текст.: Учебник для вузов / СПб.: Политехника, -1998. - 245 с.

19. Морозов, В.А. О задаче дифференцирования и некоторых алгоритмах приближения экспериментальной информации Текст. / Сб. «Вычислительные методы и программирование», вып. 14, Изд-во МГУ, 1970,46-62.

20. Курош, А.Г. Курс высшей алгебры Текст. / М.: Наука, 1963. - 432 с.

21. Воеводин, В.В. Линейная алгебра Текст. /- М.: Наука, 1974. 336 с.

22. Бахвалов, Н.С. Численные методы Текст. /- М.: Наука, 1975. 632 с.

23. Воеводин, В.В. Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы Текст. /-М.: Наука, 1971.

24. Гончаров, В.Л. Теория интерполирования и приближения функций Текст. / Гостехиздат, 1954.

25. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами Текст. /- М.: Наука, 1979. -832 с.

26. Демидович, Б.П. Основы вычислительной математики Текст. / Б.П.Демидович, И.А.Марон. М.: Наука, 1963. - 660 с.

27. Фаддеев, Д.К. Вычислительные методы линейной алгебры Текст. / Д.К.Фаддеев, В.Н.Фадцеева. Физматгиз, 1960.

28. Субботин, Ю.Н. Порядок наилучших сплайн приближений некоторых классов функций Текст./ Ю.Н.Субботин, Н.И.Черных // Матем. Заметки, 7 №1 (1970), 31-42.

29. Кудрявцев, Л.Д. Краткий курс математического анализа Текст.: Учеб. Для вузов / М.: Наука, 1989. - 735с.

30. Гмурман, В.Е. Элементы приближенных вычислений Текст. / М., Высшая школа, 2005.

31. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач Текст. / А.Н.Тихонов, В.Я.Арсенин -М.: Наука, 1979. Изд. 2-е.

32. Латтес, Р. Метод квазиобращения и его приложения Текст. / Латтес Р., Лиенс Ж. Л. -М.: Мир, 1970.

33. Cruceanu S. Regularisation pour les problemes a operateurs monotones et la methode de Galerkine Текст. / Comment Math. Univ. Carol. 1971,12, N1.

34. Тихонов, А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач Текст. /-ДАН. СССР, 1963,151,№3.

35. Светланов, А.А. Обобщенные обратные матрицы: некоторые вопросы теории и применения в задачах автоматизации управления процессами Текст. / Томск: Изд-во НТЛ, 2003. - 388 с.

36. Аныферов, С.С. Общая теория измерений: учебное пособие Текст. / С.С.Аныферов, Б.И.Голубь. СПб, Изд-во Гор. Линия-Телеком, 2006. -176 с.

37. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения Т 2 Текст. / -М.: Мир, 1967. -752 с.

38. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц Текст. /- М.: Наука, 1967. 575 с.

39. Зельдович, Я.Б. Высшая математика для начинающих физиков и техников Текст./Я.Б.Зельдович, И.М.Яглом. М.:Наука. 1982.-512 с.

40. Ильин, В.А. Основы математического анализа Текст. В 2 ч. 4.1: Уч. для вузов / -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.-648 с.

41. Чеботарев, Н.Г. Теория алгебраических функций Текст. / М., Изд-во ЖИ, 2007.-400 с.

42. Майстренко, А.В. Синтез и исследование рекуррентного алгоритма подстройки модели объекта управления со скользящим усреднением его переменных Текст. / А.В.Майстренко, А.А.Светлаков. -М., 1989. 33с. -Библиогр. Деп. в ВИНИТИ, 24.05.1989 №3433-В89.

43. Майстренко, А.В. Рекуррентный алгоритм подстройки модели объекта управления со скользящим усреднением его переменных Текст. /

44. А.В.Майстренко, А.А.Светлаков // Сборник корреляционно экстремальные системы управления/ Томск, -1990. Изд-во ТГУ. -Библиогр.

45. Гнеденко, Б.В. Элементарное введение в теорию вероятностей Текст. / -М., Изд-во Едиториал урсс. 2003.

46. Рабинер, JI. Теория и применение цифровой обработки сигналов Текст.-[пер. с англ.] / М.: Мир, 1978. - 848 с.

47. Антонью, А. Цифровые фильтры: анализ и проектирование Текст. [пер. с англ.] / - М.: Радио и связь, 1983. - 320 с.

48. Гольденберг, JI.M. Цифровая обработка сигналов Текст.: Учебное пособие для ВУЗов / М.: Радио и связь, 1990. - 256 с.

49. Коллатц, JI. Численные методы решения дифференциальных уравнений Текст., ИЛ, 1953

50. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления Текст. / Т 1. М.: Наука, 1972. - 607 с.

51. Носач, В.В. Решение задач аппроксимации с помощью персональных компьютеров Текст. /- М.: МИКАП, 1994. 382 с.