Цифровой дифференциатор сигналов для корректирующих устройств систем управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.05, кандидат технических наук Старовойтов, Николай Владимирович

• Старовойтов, Николай Владимирович
• кандидат технических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат технических наук Старовойтов, Николай Владимирович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЦИФРОВОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ СИГНАЛОВ И ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ ЕЕ РЕШЕНИЯ.

1.1. Введение.

1.2. Постановка задачи цифрового дифференцирования сигнала и анализ ее особенностей.

1.3. Методы цифрового дифференцирования, основанные на замене бесконечно малых приращений дифференцируемого сигнала и времени их конечными приращениями

1.4. Методы цифрового дифференцирования сигнала, основанные на использовании интерполяционных полиномов.

1.5. Методы цифрового дифференцирования сигнала, основанные на использовании сплайнов.

1.6. Методы цифрового дифференцирования сигнала, основанные на использовании аппроксимирующих функций.

1.7. Методы цифрового дифференцирования сигнала, основанные на использовании интегральных уравнений В.Вольтерра.

1.8. Методы цифрового дифференцирования сигнала, основанные на частотных преобразованиях Фурье.

1.9. Методы цифрового дифференцирования сигнала, основанные на вейвлет преобразованиях.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Цифровой дифференциатор сигналов для корректирующих устройств систем управления»

2.2. Интегральные уравнения В. Вольтерра.38

2.3. Краткий обзор методов решения уравнений В. Вольтерра.45

2.3.1 Классификаций интегральных уравнений В. Вольтерра.45

2.3.2 Краткий обзор методов решения интегральных уравнений.46

В. Вольтерра 1-го рода.46

2.3.3 Краткий обзор методов приближенного решения интегральных уравнений

В. Вольтерра 1-го рода.48

2.3.4 Метод регуляризации решения интегрального уравнения.51

В. Вольтерра 1-го рода.51

2.3.5 Краткий обзор методов решения интегральных уравнений.52

В. Вольтерра П-го рода.52

2.3.6 Краткий обзор методов приближенного решения интегральных уравнений

В. Вольтерра Н-го рода.54

2.4. Синтез алгоритма цифрового дифференцирования сигналов, основанного на применении уравнений Вольтерра.56

2.5 Заключение.62

ГЛАВА 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА ЦИФРОВОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

СИГНАЛОВ, ОСНОВАННОГО НА ПРИМЕНЕНИИ УРАВНЕНИЙ В. ВОЛЬТЕРРА.64

3.1. Введение.64

3.2 Регуляризация алгоритма цифрового дифференцирования сигналов, основанного на применении уравнений В. Вольтерра методом Тихонова А.Н.64

3.3 Нетрадиционный подход к регуляризации алгоритма цифрового дифференцирования сигналов, основанного на применении уравнений В. Вольтерра. 66

3.3.1. Идейные основы нетрадиционного метода регуляризации СЛАУ(2.4.10).66

3.3.2. Общее решение СЛАУ (6.9) и четвёртая идея, лежащая в основе предлагаемого нетрадиционного метода регуляризации СЛАУ (2.4.10).71

3.3.3. Пятая основополагающая идея предлагаемого нетрадиционного метода регуляризации плохо обусловленной СЛАУ(2.4.10) и её реализация.79

3.4. Некоторые результаты экспериментальных исследований алгоритмов цифрового дифференцирования сигналов.84

3.5. Заключение.92

ГЛАВА 4. ПРИМЕНЕНИЕ СИНТЕЗИРОВАННОГО АЛГОРИТМА ЦИФРОВОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ СИГНАЛОВ В ВЕКТОРНОМ УПРАВЛЕНИИ.94

4.1 Введение.94

4.2 Идейные основы и история развития векторного управления асинхронным электроприводом.94

4.3 Математическое моделирование систем управления асинхронным электроприводам.96

4.3.1 Технические характеристики электропривода 4А112МВ6УЗ.96

4.3.2 Математические соотношения для расчёта параметров математической модели электропривода.97

4.3.3 Теоретические основы ПИД - регулирования.102

4.3.4 Математическое моделирование САУ трех фазным электроприводом.105

4.3.5 Математическое моделирование САУ однофазным электроприводом.109

4.4 Преобразователей частоты Е8В-ТСЬ.111

4.5 Дифференциатор на базе ПЛК ЭЛСИ-ТМ.112

4.6 Дифференциатор на базе сигнального микроконтроллера ТМ8320Г2812.114

4.7 Заключение.116

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.117

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ.119

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Бурные темпы развития современной микропроцессорной техники, повышение её надёжности и снижение её стоимости, позволяют разрабатывать новые и совершенствовать уже существующие алгоритмы решения прикладных задач в реальном масштабе времени, эффективное решение которых в недалеком прошлом было не возможным. Ярчайшим примером подобной задачи является, задача дифференцирования сигналов (функций времени) или, что, то же самое, вычисления их производных. С данной задачей приходится сталкиваться в самых разнообразных отраслях науки и техники. К ним прежде всего стоит отнести отрасли науки и техники, связанные с математическим моделированием различных динамических процессов и объектов, описываемых дифференциальными уравнениями, и с автоматизацией управления и регулирования данными процессами. Совершенно очевидно, что без умения достаточно эффективно решать данную задачу невозможно вести речь о создании как математических моделей, описывающих с высокой точностью реальные объекты автоматизации, так и автоматических, регуляторов, обеспечивающих реализацию технологических процессов в соответствии с заданными режимами и с достаточно высокой точностью. Это обусловливается тем, что без использования первой и более высокого порядка производных регулируемых переменных и знания достаточно точных оценок их значений невозможно создавать, моделировать и, тем более, реализовывать автоматические регуляторы, удовлетворяющие отмеченным выше требованиям.

Как показал анализ литературных источников [1, 2], основываясь на традиционных аналоговых дифференцирующих цепочках и усилителях, оказывается невозможно создать идеальный или достаточно близкий к нему дифференциатор (аппаратное устройство, реализующее алгоритм 4 дифференцирования), позволяющий дифференцировать преобразуемый сигнал и получать достаточно точную оценку его производной. Основным препятствием, возникающем при создании таких дифференциаторов, является их физическая нереализуемость или неосуществимость. Проведений анализ [3] также показал, что данное препятствие можно обойти, если при создании дифференциаторов использовать современные методы цифрового (или, как их еще нередко, называют численного [3]) дифференцирования сигналов. Высокие точностные характеристики и быстродействие современных микропроцессоров и существующие тенденции их устойчивого роста позволяют видеть, что создание на их основе дифференциаторов сигналов, пригодных для использования в реальном масштабе времени, является вполне разрешимой задачей и возможности её успешного решения с каждым годом всё более расширяются.

Хорошо известной особенностью [4] задачи цифрового дифференцирования наблюдаемого сигнала, значения которого заданы с ошибками, и получения достаточно точных оценок его производных является её некорректность (более подробно анализ причин некорректности задачи цифрового дифференцирования сигналов будет рассмотрен в главе 1). Отмеченная особенность данной задачи делает её решение далеко не тривиальным и зачастую трудно реализуемым. Но данное препятствие, как уже было сказано ранее, можно обойти, используя современные средства микропроцессорной техники и методы цифрового дифференцирования сигналов.

Отмеченные выше особенности задачи цифрового дифференцирования сигналов и её актуальность во многих отраслях науки и техники стимулируют проведение дальнейших исследований с целью создания таких методов и алгоритмов её решения, которые бы позволяли получать достаточно точные и устойчивые к ошибкам задания измеряемых сигналов оценки их производных по времени и были доступными для программной и аппаратной реализаций современными средствами микропроцессорной техники.

Цель диссертационной работы - заключается в разработке и исследовании методов и алгоритмов ЦДС, устойчивых к ошибкам в задании сигнала и доступных для реализации в автоматических системах контроля и управления, функционирующих в режимах реального времени. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) сформулировать математическую постановку задачи ЦДС в рамках автоматических и автоматизированных систем (устройств), функционирующих в реальном масштабе времени, и основные требования, которым должны удовлетворять методы и алгоритмы ЦДС, функционирующие в реальном масштабе времени;

2) синтезировать алгоритм ЦДС, с использованием интегральных уравнений Вольтерра I рода и реализовать их программно для современных микроконтроллеров и других средств вычислительно техники;

3) синтезировать новый алгоритм регуляризации ЦДС сигналов, основанный на использовании недоопределенных систем линейных алгебраических уравнений и их псевдорешений:

4) сравнить синтезированные методы и алгоритмы ЦДС и их регуляризации с методами и алгоритмами подобного назначения, предложенными академиком АН СССР Тихоновым А.Н.;

5) внедрить синтезированные способы и алгоритмы ЦДС в ПИД-регулятор, используемый в автоматической системе управления асинхронным электродвигателем.

Методы исследований. Для решения поставленных задач использовались методы теории вероятностей, математической статистики, методы линейной алгебры, методы оптимизации и методы численного моделирования. При создании программного обеспечения для исследований синтезированных алгоритмов использовался пакет программ МАТЬАВ [5,6], а также написанные специально для него модули, позволяющие в полной 6 мере исследовать все основные характеристики и свойства предлагаемых алгоритмов.

Защищаемые положения. На основе проведенного анализа актуальности данной задачи и существующих методов цифрового дифференцирования сигналов и актуальности данной задачи:

1) Реализована постановка задачи и сформулированы требования к алгоритму цифрового дифференцирования сигналов в реальном масштабе времени.

2) Разработан метод цифрового дифференцирования сигналов, основанный на применении интегральных уравнений Вольтерра 1-рода и его программная реализация на языке программирования Ма11аЬ.

3) Способ регуляризации алгоритма цифрового дифференцирования основанного на применении интегральных уравнений Вольтерра 1-рода.

4) Алгоритмическая и программная реализация на языке программирования, алгоритма цифрового дифференцирования, использована при создании ПИД-регулятора, интегрированного в систему управления скоростью вращения ротора асинхронного электропривода (подтверждено актом внедрения).

Достоверность результатов обеспечивается применение строгих математических методов решения задач, обоснованным использованием современных технологий разработки программного обеспечения, тестированием всех программных модулей, экспериментальным исследованием предложенных алгоритмов, а также результатами их внедрения и эксплуатации.

Научную новизну полученных в работе результатов определяют:

1. Алгоритм ЦДС, полученный применением уравнения Вольтерра I рода и численного интегрирования функций методом прямоугольников, доступный для реализации в системах реального времени.

2. Оригинальный способ регуляризации НДС, основанный на сведении его к решению недоопределенной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и использовании псевдообратных матриц и псевдорешений.

3. Новый способ локальной и глобальной регуляризации плохообусловленных СЛАУ, основанный на введении в матрицу коэффициентов решаемой СЛАУ диагональной матрицы - матрицы регуляризации, позволяющей в широких пределах регуляризировать решаемую СЛАУ.

4. Новый способ выбора параметров регуляризации СЛАУ, основанный на использовании относительных ошибок задания дифференцируемого сигнала и паспортных данных измерительного устройства о его точностных характеристиках.

5. Модифицированная структура ПИД - регулятора, в котором в качестве алгоритма дифференцирования использован синтезированный алгоритм, основанный на применении интегральных уравнений Вольтерра и псевдообратных матриц.

Синтезированный алгоритм наряду с теоретической ценностью, подтвержденной экспериментальным путем с помощью моделирования, имеют так же вполне реальную практическую ценность.

Практическая ценность. Данные алгоритмы могут быть использованы при создании многих других автоматических регуляторов и корректирующих устройств, в которых используются производные по времени регулируемых величин. Например, в системах управления температурой, давлением, скоростью движения и д.р. Разработанные алгоритмы цифрового дифференцирования сигналов применялись компанией «ЭлеСи» при разработке регуляторов систем управления асинхронными электроприводами. Использование разработанного устройства позволило уменьшить погрешность регулирования скорости вращения ротора безредукторного электропривода лифтовой лебедки на 10-12%, что позволяет 8 обеспечить большую плавность хода, снизить вредные перегрузки и в целом повысить эксплуатационные характеристики.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях, симпозиумах, семинарах:

1. Международной научно-практическая конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «СОВРЕМЕННЫЕ ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИИ». - Томск, 2008.

2. Межрегиональной научно-технической конференции "Научная сессия ТУ СУР". - Томск, 2008.

3. Международной научно-практическая конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «СОВРЕМЕННЫЕ ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИИ». - Томск, 2009.

4. Четвертая научно-техническая конференция с международным участием «ЭЛЕКТРОТЕХНИКА, ЭЛЕКТРОМЕХАНИКА И ЭЛЕКТРОТЕХНОЛОГИИ». Новосибирск - 2009.

Публикации. Основные результаты исследований по теме диссертации отражены в 15 публикациях, цитируемых по ходу изложения материала. Из них 3 (две) опубликованы в журналах, входящих в перечень периодических научных изданий, рекомендуемых ВАК.

Личный вклад автора. Диссертация написана с использованием результатов, полученных лично автором или при его участии на всех этапах решения поставленной задачи.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка использованных источников из 62 наименований. Объем основного текста диссертации составляет 124 страниц машинописного текста, иллюстрированного 19 рисунком и 6 таблицами.

Заключение диссертации по теме «Элементы и устройства вычислительной техники и систем управления», Старовойтов, Николай Владимирович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе проведен анализ существующих методов решения задачи цифрового дифференцирования сигналов, обсуждаются их особенности, достоинства и недостатки. В связи с тем, что существующие методы решения рассматриваемой задачи не отвечают в полной мере предъявляемым к ним требованиям, был синтезирован новый алгоритм цифрового дифференцирования сигналов, предназначенный для решения большого круга задачи, обладающий при этом более высокой устойчивостью к ошибкам в задании исходного сигнала.

При выполнении диссертационной работы получены следующие основные результаты:

1 Сформулирована задача ЦДС и рассмотрены её особенности, а также проведён краткий обзор наиболее распространенных методов её решения.

2. Синтезирован оригинальный способ регуляризации алгоритма ЦДС, основанный на сведении его к решению недоопределенной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и использовании псевдообратных матриц и псевдорешений.

3. Разаработан новый способ локальной и глобальной регуляризации пло-хообусловленных СЛАУ, основанный на введении в матрицу коэффициентов решаемой СЛАУ диагональной матрицы - матрицы регуляризации, позволяющей регуляризировать решаемую СЛАУ.

4. Синтезирован новый способ выбора параметров регуляризации СЛАУ, основанный на использовании относительных ошибок задания дифференцируемого сигнала и паспортных данных измерительного устройства о его точностных характеристиках.

5 Разработан и внедрён модифицированный ПИД - регулятор, входящий в состав САУ асинхронного электродвигателя, в котором в

117 качестве алгоритма дифференцирования использован синтезированный алгоритм ЦДС. Использование разработанного устройства позволило снизить ошибку регулирования скорости вращения ротора безредукторного электропривода лифтовой лебедки на 10-12%, что позволяет обеспечить большую плавность хода, снизить вредные перегрузки и в целом повысить эксплуатационные характеристики.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Старовойтов, Николай Владимирович, 2012 год

1. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа: Учебник для вузов. — М.: Наука, 1989. — 735 с.

2. Смирнов В.И Курс Вышей математики. Том I — М.: Наука, 1974. — 479 с.

3. Макаров И.П. Дополнительные главы математического анализа. — М.: Просвещение, 1968. — 311 с.

4. Гулин А. В. Самарский А. А. Численные методы: Учеб. пособие для вузов.

5. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. — 432 с.

6. Лазарев Ю. Моделирование процессов и систем в MATLAB Учебный курс.

7. СПб.: Питер; Киев: Издательская группа BHV, 2005. — 512 с.

8. Черных И.В. Моделирование электротехнических устройств в MATLAB, SimPowerSystems и Simulink. — СПб.: Питер, 2008. — 288 с.

9. Морозов В.А. О задаче дифференцирования и некоторых алгоритмах приближения экспериментальной информации // Вычислительные методы и программировани. — 1970. — с. 46-62

10. Бахвалов Н.С. Численные методы. — М.: Наука, 1975. — 632 с.

11. Самарский A.A. Введение в численные методы: Учебн. пособие для вузов.; 2-е изд. перераб. и доп — М.: Наука, 1987. — 288 с.

12. Ерофеев A.A. Теория автоматического управления: Учебник для вузов. — СПб.: Политехника, 1998. — 245 с.

13. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. — М.: Наука, 1963. — 432 с.

14. Воеводин В.В. Линейная алгебра. — М.: Наука, 1974. — 336 с.

15. Светлаков A.A., Старовойтов Н.В. Майстренко A.B. Регуляризация простейшего алгоритма цифрового дифференцирования сигналов // Научный вестник Новосибирского государственного технического университета. — №4., Выпуск 25. — 2006. — с. 53-67

16. Светлаков A.A., Старовойтов Н.В. МайстренкоА.В. Регуляризация алгоритма цифрового дифференцирования сигналов, основанного на использовании приращений дифференцируемого сигнала и времени; 08.06.2006., №778-В2006. — М.: Деп. в ВИНИТИ, 2006. — 37 с.

17. Светлаков A.A., Старовойтов Н.В. Майстренко A.B. Цифровое дифференцирование сигналов с применением многоточечных методов в системах автоматического регулирования процессов. // Доклады ТУСУРа. — №2., Выпуск 22. — 2009. — с. 86-89

18. Воеводин В.В. Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы. — М.: Наука, 1966. —248 с.

19. Жидков Н. П., Березин И.С. Методы вычислений. Том первый. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962. — 464 с.

20. Субботин Ю.Н., Стечкин С.Б. Сплайны в вычислительной математике. — М.: Наука, 1975. —264 с.

21. Нильсон Э., Уолш Дж., Алберг Дж. Теория сплайнов и ее приложения. — М.: Мир, 1972. —316 с.

22. Фаддеева В.Н., Фаддеев Д.К. Вычислительные методы линейной алгебры.; 2-е издание — М.: Наука, 1963. — 656 с.

23. Светлаков A.A., Старовойтов Н.В., Майстренко A.B. Цифровое дифференцирование сигналов в реальном масштабе времени с применением скользящей квадратичной аппроксимации. // Омский научный вестник. — №7(43), — 2006. — с. 106-108.

24. Светлаков А.А Обобщённые обратные матрицы: некоторые вопросы теории и применения в задачах автоматизации управления процессами. — Томск: Изд-во НТЛ, 2003. — 388 с.

25. Снеддон И. Преобразование Фурье. — М.: Издательство иностранной литературы, 1955. — 668 с.

26. Степанов P.A., Фрик П.Г., Патрикеев И.А. Вейвлет регуляризация операции дифференцирования сигналов с шумом. // Вычислительные методы и программирование. — №6, — 2005. — с. 35-4.

27. Тихонов Н. А., Васильева А. Б. Интегральные уравнения.; 2-издание — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 160 с.

28. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. — М.: Наука, 1976. —286 с.

29. Лифшиц Е. М., Ландау Л. Д. Механика; 4.е изд., испр. — М.: Наука, 1988. — 216с.

30. Вольман В. И. Техническая электродинамика: Учебник для вузов. — М.: Связь, 1971, —486 с.

31. Владимиров B.C. Уравнения математической физики; 5-е издание — М.: Наука, 1988. —512 с.

32. Полянин А. Д., Манжиров А. В. Методы решения интегральных уравнений: Справочник. — М.: Факториал, 1999. — 272 с.

33. Кристалинский Р. Е. Преобразования Фурье и Лапласа в системах компьютерной математики : Учебное пособие для вузов. — М.: Горячая линия-Телеком, 2006. — 216 с.

34. Лере Ж. Обобщенное преобразование Лапласа. — М.: Мир, 1969. — 167 с.

35. Никольский С. М. Квадратурные формулы.; 4-е изд.,доп — М.: Наука, 1988. —256 с.

36. Сизиков B.C., Верлань. А.Ф. Интегральные уравнения методы алгоритмы программы. — Киев: Наукова думка, 1986. — 544 с.

37. Арсенин В.Я., Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач.; 2-е издание — М.: Наука, 1979. — 286 с.

38. Дёч Г. уководство к практическому применению преобразования Лапласа. С приложением таблиц, составленных Р. Гершелем — М.: Наука, 1965. —287 с.

39. Тихонов А.Н. О нормальных решениях приближенных систем линейных алгебраических уравнений. // Доклады АН СССР. — №254, — Выпуск 3. — 1980. —с. 549-554.

40. Тихонов А.Н. О приближенных системах алгебраических уравнений. // Вычислительная математика и математическая физика. — №20, — Выпуск 6.1980, —с. 1373-1383.

41. Светлаков A.A. Обобщённые обратные матрицы: некоторые вопросы теории и применения в задачах автоматизации управления процессами. — Томск: Изд-во НТЛ, 2003. — 388 с.

42. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967. — 575 с.

43. Ильин В.А. Основы математического анализа. В 2 ч. 4.1: Уч. для вузов.

44. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 648 с.

45. Чеботарев Н.Г. Теория алгебраических функций. — М.: Изд-во ЛКИ, 2007, —400 с.

46. Старовойтов Н.В. Труды XI Международной научно-практическаяконференции студентов, аспирантов и молодых ученых «СОВРЕМЕННЫЕ122

47. ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИИ» // Регуляризация алгоритма псевдо обращения матриц по алгоритму Гревилля. — Томск, 29 марта 2 апреля, 2005. — с. 9395.

48. Голубь Б.И., Аныферов С.С. Общая теория измерений: учебное пособие. — СПб.: Гор. Линия-Телеком, 2006. — 176 с.

49. Новиков В. А., Соколовский Г. Г. Башарин А. В. Управление электроприводами: Учебное пособие для вузов. — Л.: Энергоиздат, 1982. — 392 с.

50. Чернышев А.Ю., Чернышев И.А., Дементьев Ю.Н. Автоматизированный электропривод: Учебное пособие. — Томск: Изд-во ТПУ, 2009. — 224 с.

51. Ерошкин Е. А., Горячев О. В. Векторное управление асинхронными трехфазными двигателями // Электроника. — №4. — 1999. — с. 14-18

52. Виноградов А.Б. Векторное управление электроприводами переменного тока. — Иваново: Ивановский государственный энергетический университетимени В.И. Ленина, 2008. — 298 с.

53. Усольцев A.A. Частотное управление асинхронными двигателями. Учебное пособие. — СПб: ИТМО, 2006. — 94 с.

54. Кацман М.М. Справочник по электрическим машинам: Учебное пособие для студентов — М.: Издательский центр «Академия», 2005. — 480 с.

55. Старовойтов Н.В. Майстренко A.B. Материалы докладов межрегиональной научно-технической конференции "Научная сессия ТУСУР" // Применеие алгоритма чувствительности для построения разгонной характеристики асинхронного двигателя. — Томск, 2009. — с. 98101.

56. Старовойтов Н.В. Майстренко A.B. Электротехника, электроника и электротехнологии ЭЭЭ-2009 // Математическая модель электропривода переменного тока. — Новосибирск, 2009. — с. 147-153.

57. Хмельницка С.П., Гольдберг О.Д. Электромеханика: Учебник для студентов высших учебных заведений, под ред. Гольдберг О.Д. — М.: Издательский центр «Академия», 2007. — 512 с.

58. Ротач В.Я. Теория автоматического управления. Учебник для вузов. — М.: МЭИ, 2004,—400 с.

59. Зайцев Г. Ф. Теория автоматического управления и регулирования — М.: Выща школа, 1988. — 432 с.

60. Попов Е. П. Бесекерский В. А. Теория систем автоматическог оуправления — Спб: Профессия, 2003. — 750 с.