Синтез эффективных алгоритмов быстрого преобразования Фурье и циклической свертки и их применение в устройствах сопряжения аналоговых и цифровых систем передачи тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.02, кандидат технических наук Байкова, Аниса Талгатовна

• Байкова, Аниса Талгатовна
• кандидат технических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат технических наук Байкова, Аниса Талгатовна

ВВЕДЕНИЕ.

1. АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И ЦИКЛИЧЕСКОЙ СВЕРТКИ, ОСНОВАННЫХ НА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ

1.1. Постановка задачи

1.2. Основные определения.

1.3. Синтез алгоритмов быстрого преобразования Фурье и циклической свертки коротких последовательностей

1.3.1. Модульная арифметика полиномов

1.3.2. Синтез прямоугольных преобразований

1.3.3. Синтез алгоритмов быстрого преобразования Фурье на основе прямоугольных преобразований

1.4. "Гнездовой" алгоритм вычисления циклической свертки длинных последовательностей

1.5. Алгоритмы быстрого преобразования Фурье длинных по следоват ельно ст ей

1.5.1. Алгоритм с множителями поворота

1.5. 2.Алгоритм простых множителей.

1.5.3. "Гнездовой" алгоритм Винограда

1.6. Сопоставление алгоритмов быстрого преобразования Фурье ;

1.6.1. Объем вычислений

1.6.2. Объем памяти

1.6.3. Эффекты конечной разрядности

Выводы.

2. НОВЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

2.1. Теоретические основы предлагаемого метода

2.1.1. Свойство цикличности свертки

2.1.2. Транспозиция алгоритма.

2.1.3. Метод решения системы линейных уравнений, когда уравнений больше, чем неизвестных

2.2. Синтез прямоугольных преобразований

2.2.1. Синтез матриц А и В.

2.2.2. Вычисление матрицы С

2.2.3. Пример синтеза

2.3. Вопросы реализации предлагаемого метода на ЭВМ

2.4. Оценка мультипликативной сложности новых алгоритмов быстрого преобразования Фурье

Вы в о д ы.

3. СИНТЕЗ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ НАД АЛГЕБРАИЧЕСШМ РАСШИРЕНИЯМИ ПОЛЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

3.1. Введение алгебры над алгебраическими расширениями

3.2. Швод базового алгоритма.

3.3. Оценка вычислительной сложности

3.4. Синтез прямоугольных преобразований над полем корней

N -ой степени из единицы, где N -простое

3.5. Синтез прямоугольных преобразований над полем корней 8-ой степени из единицы. Ю

3.6. Оценка вычислительной сложности новых алгоритмов для преобразования многомерных последовательностей . Ю

3.7. Синтез прямоугольных преобразований над полем чисел Эйзенштейна.

Вы в о ды.

4. СИНТЕЗ И АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ДЛЯ ЦИФРОВЫХ УСТРОЙСТВ СОПРЯЖЕНИЯ АНАЛОГОВЫХ И ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ ПЕРЕДАЧИ

4.1. Применение дискретного преобразования Фурье в устройствах сопряжения.

4.2. Разработка теоретических вопросов

4.2.1. Модификации алгоритма простых множителей для действительных и эрмитово-симметричных последовательностей

4.2.2. Анализ вычислительных ошибок алгоритма простых множителей в системе счисления с фиксированной запятой

4.2.3. Эффективная программная реализация умножений в алгоритмах быстрого преобразования Фурье коротких последовательностей

4.3. Синтез и анализ алгоритмов быстрого преобразования Фурье для N =14, 28, 72 и

4.3.1. Синтез базовых алгоритмов

4.3.2. Объем вычислений

4.3.3. Анализ вычислительных ошибок

4.4. Разработка процессора 144-точечного быстрого преобразования Фурье для цифрового многоканального модема.

4.4.1. Шчислительный алгоритм.I?

4.4.2. Вычислительные ошибки. Выбор разрядности процессора.

4.4.3. Моделирование процессора быстрого преобразования Фурье на ЭВМ.

4.4.4. Описание работы процессора

4.4.5. Основные параметры процессора быстрого преобразования Фурье

4.5. Разработка эффективного алгоритма тактовой синхронизации цифрового многоканального модема

Вы в о ды.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синтез эффективных алгоритмов быстрого преобразования Фурье и циклической свертки и их применение в устройствах сопряжения аналоговых и цифровых систем передачи»

Цифровая обработка сигналов (ЦОС) находит все более широкое применение в различных областях науки и техники. Постоянное усложнение задач практики, увеличение объема передаваемой и преобразуемой информации, требование реального масштаба времени вызывают необходимость дальнейшего совершенствования методов ЦОС, синтеза новых, все более эффективных вычислительных алгоритмов.Эта задача нашла отражение в "Основных направлениях экономического и социального развития СССР на I98I-I985 годы и на период до 1990 года", принятых на ХХУ1 съезде КПСС, в которых в качестве одной из важнейших задач в области естественных и технических наук называется задача "совершенствования вычислительной техники,... математического обеспечения, средств и систем сбора, передачи и обработки информации" /I/.Актуальность проблемы повышения эффективности алгоритмов ЦОС применительно к задачам связи обусловлена предстоящим длительным переходным периодом к интегральной цифровой сети связи СССР, на протяжении которого будут использоваться как аналоговые, так и цифровые системы передачи (АСП и ЦСП соответственно) , а также внедрением на сетях электронных цифровых систем коммутации, что приводит к необходимости создания эффективных устройств сопряжения АСП и ЦСП, АСП и устройств цифровой коммутации /2/.Такими устройствами сопряжения являются трансмультиплексоры (ТМ) и устройства преобразования сигналов (УПС) , или, модемы. Цифровая реализация указанных устройств предпочтительна благодаря таким преимуществам цифровых схем как гарантированная точность и идеальная воспроизводимость характеристик, приспособленность к быстро прогрессирующей интегральной технологии, и возможна лишь на основе эффективных вычислительных алгоритмов /3,4,5/.ТМ призваны осуществлять взаимное преобразование вида уплотнения каналов (частотное разделение каналов -^ временное разделение каналов) и основное свое применение найдут в узлах автоматической коммутации, О перспективности исследований в области создания ТМ свидетельствует, в частности, У заседание совета главных конструкторов стран членов СЭВ по созданию и внедрению в производство единой системы средств цифровой передачи информации (ноябрь 1983 г., г. Познань, ПНР) , на котором была подчеркнута актуальность применения ТМ в СССР,начиная уже с 1990 г, Модемы служат для преобразования цифровой информации в сигнал, удобный для передачи по каналам АСП, и обратного преобразования принятого сигнала. В настоящее время большое внимание уделяется разработке многоканальных модемов, обладающих таким важным преимуществом перед одноканальными как малая чувствительность к линейным искажениям канала и воздействию кратковременных занижений уровня. Многоканальные модемы не требуют тщательной коррекции канала и позволяют, таким образом, упростить схему корректора, Кроме того, важно отметить, что приспособление аппарата быстрого преобразования Фурье (ВШ) для осуществления операций модуляции и демодуляции в многоканальном модеме обеспечивает более экономичную его реализацию в цифровом варианте по сравнению с одноканальным /6/.Известны отечественные разработки многоканальных модемов для каналов тональной частоты /7/ и первичных широкополосных каналов /8/. В настоящее время в связи с увеличением мощности цифровых потоков возникает актуальная задача создания высокоскоростного цифрового многоканального модема для вторичного широкополосного канала /9,10/.Построение цифровых ТМ и многоканальных модемов для вторичного широкополосного канала предполагает осуществление фильтрации, модуляции и демодуляции сигналов с высокой частотой дискретизации на основе быстрых вьгаислительных алгоритмов двух ОСНОВНБЕХ операций ЦОС - дискретного преобразования Фурье (ДШ)и циклической свертки (ЦС) . Поскольку известные вииислительные алгоритмы не обеспечивают достаточно высоких технико-экономических показателей специализированных цифровых устройств на современной и перспективной отечественной элементной базе, то актуальной становится задача синтеза более эффективных алгоритмов Б Ш и ЦС. Содержание настоящей диссертационной работы составляет синтез новых эффективных алгоритмов Б Ш и ЦС на основе прямоугольных преобразований над полем рациональных чисел и его алгебраическими расширениями, синтез и анализ алгоритмов Б Ш в приложении к задачам эффективного сопряжения АСП и ЦСП, разработка быстродействующего процессора Б Ш для цифрового многоканального модема для вторичного широкополосного канала.Следует подчеркнуть, что проблемы, решаемые в диссертационной работе, актуальны не только для задач сопряжения АСП и ЦСП, но и для существенно более широкого круга задач ЦОС, связанных со спектральным анализом, фильтрацией и высокоскоростным свертыванием как одномерных, так и многомерных сигналов самой различной физической природы.Научная новизна работы определяется постановкой и решением следующих вопросов. I.Предложен новый, легко реализуемый на ЭВМ, метод синтеза субоптимальных прямоугольных преобразований, позволяющий получить ряд новых эффективных базовых алгоритмов Б Ш и ЦС.

2.Получен обобщенный алгоритм вычисления N -точечной ЦС над полем корней N -ой степени из единицы над полем рациональных чисел, где N= Р , Р -простое, оС^ i, целое.3.Синтезированы новые прямоугольные преобразования над алгебраическими расширениями поля рациональных чисел и дана оценка эффективности их использования для преобразования многомерных и комплексных сигналов.4.Предложены эффективные модификации алгоритма простых множителей (АПМ) для действительных и эрмитово-симметричных входных последовательностей.5.Получены вьфажения для расчета средней дисперсии, математического ожидания и среднеквадратического значения вычислительных ошибок базовых алгоритмов БПШ, а также АПМ и его модификаций для различных представлений отрицательных чисел в системе счисления с фиксированной запятой.6.Синтезированы и исследованы с точки зрения вычислительных ошибок алгоритмы БПФ для цифровых устройств сопряжения АСП и ЦСП. Предложен вариант реализации указанных алгоритмов без явного выполнения операций умножения.7.Предложен эс|)фективный алгоритм тактовой синхронизации цифровых многоканальных модемов на основе БШ, Достоверность и обоснованность полученных результатов обусловлены: - использованием математического аппарата, соответствующего задачам, поставленным в диссертационной работе, а именно: теории вычислительных алгоритмов, теории вычислительной сложности, высшей алгебры, теории групп, колец и полей, теории чисел при синтезе эффективных вычислительных алгоритмов, методов статистического анализа и моделирования на ЭВМ при оценке вычислительных ошибок алгоритмов БП^, - соответствием аналитических результатов результатам, полученным при моделировании на ЭШ. Практическая ценность результатов диссертационной работы заключается в следующем: - разработанные алгоритмы Б Ш и полученные выражения для оценки вычислительных ошибок могут быть использованы при построении специализированных процессоров Б Ш для всевозможных технических приложений, в частности, для цифровых устройств сопряжения АСП и цеп - ТМ и многоканальных модемов, - разработанный процессор Б Ш предназначен для выполнения операций модуляции и демодуляции в высокоскоростном многоканальном модеме для вторичного широкополосного канала АСП, - предложенный метод синтеза субоптимальных прямоугольных преобразований над полем рациональных чисел может быть использован при построении эффективных алгоритмов Б Ш и ЦС очень длинных последовательностей, - предложенные прямоугольные преобразования над алгебраическими расширениями поля рациональных чисел могут быть использованы для эффективного преобразования многомерных и комплексных последовательностей.Реализация в народном хозяйстве. Основные теоретические выводы, алгоритмы и практические результаты внедрены при разработке центральных узлов цифрового многоканального модема для вторичного широкополосного канала АСП в рамках НИР "Трест", № гос. регистрации Ш5485.Диссертационная работа состоит из четырех разделов, заключения, списка литературы и приложений.В первом разделе работы исследованы теоретические принципы, лежалее в основе важнейших классов алгоритмов Б Ш и ЦС - алгоритмов 1^ли-Тьюки с произвольным и смешанным основанием, АПМ, алгоритма ГУда-Винограда (АГВ) , "гнездового" алгоритма Винограда для Б Ш и "гнездового" алгоритма Агарвала-^§гли для ЦС. Дано конструктивное доказательство теоремы о существовании прямоугольных преобразований с минимальньм по Винограду числом умножений. Впервые подробно раскрыт механизм представления Д Ш через ЦС для обII щего случая N = P » где P -простое, o'^ ^ I, целое. Дано строгое доказательство свойств коэффициентов базовых алгоритмов Винограда Б Ш коротких последовательностей. Произведен сравнительный анализ алгоритмов БП^ по эффективности, требуемому объему памяти и точности. Сформулированы цели и задачи дальнейшего исследования.Второй раздел посвящен разработке нового метода синтеза субоптимальных прямоугольных преобразований, обеспечивающего близкое к оптимальному соотношение между требуемым числом умножений и сложений. Достоинством предложенного метода является хорошая формализуемость, а, следовательно, простота реализации на ЭВМ. Приводятся блок-схемы алгоритмов синтеза матриц прямоугольных преобразований, а также основные подпрограммы, написанные на языке ФОРТРАН - 1У. Рассматривается пример синтеза для входной последовательности длины N =3. Предлагается вариант синтеза прямоугольных преобразований над полем рациональных чисел для N 25. Дана оценка мультипликативной сложности новых базовых алгоритмов БПШ и ЦС, а также алгоритмов БПФ очень длинных последовательностей, построенных в соответствии с АГВ и алгоритмом Винограда.Третий раздел посвящен синтезу новых прямоугольных преобразований над алгебраическими расширениями поля рациональных чисел.Четвертый раздел посвящен синтезу (на основе прямоугольных преобразований) и анализу эффективных алгоритмов Б Ш применительно к задачам эффективного сопряжения АСП и ЦСП. Разработаны модификации структуры AIM для действительных и эрмитово-симметричных входных последовательностей. Дан синтез базовых алгоритмов Б Ш , используемых в устройствах сопряжения. Приведены соответствующие сигнальные г р а ^ с оптимально выбранными масштабирующими множителями. Цредложен эффективный метод программной реализациии умножений. На основе статистического метода произведен анализ вычислительных ошибок AIM и его модификаций в системе счисления с фиксированной запятой. Получены расчетные формулы для средней дисперсии, математического ожидания и среднеквадратичесного значения вычислительных ошибок как базовых алгоритмов Б Ш , так и АПМ для различных представлений отрицательных чисел. Разработан быстродействующий процессор Б Ш для высокоскоростного цифрового многоканального модема. Приведены результаты адекватного моделирования процессора на ЕС ЭВМ для различных методов масштабирования и представления данных и коэффициентов, с высокой точностью подтверждающие теоретические оценки. Описана функциональная схема процессора, приведены временные диаграммы работы. Предложен эффективный алгоритм тактовой синхронизации многоканальных модемов, основанный на БПФ. На защиту выносятся следующие основные положения.1. Предложенный метод синтеза субоптимальных прямоугольных преобразований позволяет получить ряд новых эффективных базовых алгоритмов ШШ и ЦС. Предложенный метод хорошо формализуем, поэтому его целесообразно реализовать на ЭВМ.

2. Новые прямоугольные преобразования, синтезированные на базе обобщенного алгоритма N =• Р (Р -простое, o^^I ) -точечной ЦС над полем корней N -ой степени из единицы над полем рациональных чисел, позволяют существенно повысить эффективность "гнездовых" алгоритмов Б Ш и ЦС глногомерных и комплексных последовательностей.3. Новые прямоугольные преобразования, синтезированные над полем рациональных чисел Эйзенштейна, позволяют существенно уменьшить мультипликативную сложность "гнездовых" алгоритмов ЦС комплексных последовательностей.4. Предложенные модификации АПМ позволяют существенно повысить эффективность Б Ш действительных и эрмитово-симметричных последовательностей. Другим важным достоинством предложенных модификаций является отсутствие дополнительных умножений на большое число поворачивающих множителей, неизбежно появляющихся в традиционном алгоритме безызбыточного вычисления ДП^ указанных последовательностей.5. АПМ и его модификации могут быть реализованы "безумножительным" способом с использованием предложенного метода программной реализации умножений на сравнительно небольшое число различных постоянных коэффициентов.6. Синтезированные алгоритмы 14, 28, 72 и 144 -точечных БПФ целесообразно использовать в многоканальных цифровых устройствах сопряжения АСП и ЦСП.

7. Полученные выражения для расчета средней дисперсии, математического ожидания и среднеквадратического значения ошибок делают возможным с достаточно высокой степенью точности анализ вычислительных ошибок базовых алгоритмов Б Ш , а также А Ш и его модификаций при различных представлениях отрицательных чисел в системе счисления с фиксированной запятой.8. Э|)фективный алгоритм тактовой синхронизации (по принципу минш^ша переходных помех в свободных каналах) многоканальных модемов может быть построен на основе алгоритмов БПФ. Б заключении приводятся основные результаты, полученные в диссертационной работе , подтверждающие сформулированные выше положения.

Заключение диссертации по теме «Системы и устройства передачи информации по каналам связи», Байкова, Аниса Талгатовна

Основные результаты диссертационной работы обсуждались и были одобрены на У и У1 межотраслевых НТК, проводимых НТОРЭС им. А.С.Попова СУфа, 1979, 1983 г.г.) , на семинаре научного совета АН УССР по комплексной проблеме "Теоретическая электротехника, электроника и моделирование" (Одесса, 1981 г. ") , на НТК профессорско-преподавательского состава ЛШС Cl982,I983 г.г.) и ОЖ (1982 г. ) , на республиканской НТК "Методы и микроэлектронные средства цифрового преобразования и обработки сигналов", организованной институтом электроники и вычислительной техники АН Латв ССР (Рига, 1983 г.) и опубликованы в следующих девяти работах.

1.Байкова А.Т. Эффективные алгоритмы дискретного преобразования Фурье для многоканальных устройств с цифровой обработкой сигналов. - Техника средств связи, серия ТПС, 1983, вып. 3, с. 128 - 137.

2.Байкова А.Т. Об использовании эффективных методов поворота вектора при реализации дискретного преобразования Фурье. - Обработка информации в системах связи: Сборник научных трудов учебных институтов связи. Л. : изд. ЛЖ, 1983, с. 72 - 78.

3.Байкова А.Т. О вычислении дискретного преобразования Фурье. - Рукопись представлена Ленинградским электротехническим институтом связи. Деп. в ВИНИТИ 04.07.83, № 3652 - 83 Деп.-23 с.

4.Байкова А.Т. Об одном методе эффективного вычисления циклической свертки и дискретного преобразования Фурье. - Техника средств связи, серия ТПС, 1983, вып. 9, с. 108 - 117.

5.Байкова А.Т. Новые алгоритмы свертки и дискретного преобразования Фурье на основе прямоугольных преобразований над полем корней из единицы. - Рукопись представлена редакцией журнала "Радиотехника". Деп. в ЦНТИ "Информсвязь" 06.02.84, № 328 св.

Д 84. - 25 с.

6.Байкова А.Т., Ряхин Е.М. Быстродействующий безумножитель-ный процессор дискретного преобразования Фурье. - Техника средств связи, серия ТПС, 1984, вып. 3.

7.Байкова А.Т. О вычислении круговой свертки коротких последовательностей. - Обработка информации в системах связи: Сборник научных трудов учебных институтов связи. Л.: изд. ЛШС, 1984, с. 36 - 43.

8.Байкова А.Т. Вычислительные ошибки цифровых устройств, реализующих дискретное преобразование Фурье в системе счисления с фиксированной запятой. - Рукопись депонирована в ВИМИ 27.04.84, Д05885. - 48 с.

Э.Байкова А.Т. Синтез новых алгоритмов быстрого преобразования Фурье и свертки на основе прямоугольных преобразований. -Методы и микроэлектронные средства цифрового преобразования и обработки сигналов. Тезисы докладов республиканской конференции. - Рига, 1983, т.2, с. 59 - 62.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1.Предложен новый метод синтеза субоптимальных прямоугольных преобразований, позволяющий получить ряд новых базовых алгоритмов циклической свертки и быстрого преобразования Фурье. Предложена программная реализация метода на ЭВМ. Показана эффективность использования новых базовых алгоритмов для дискретного преобразования Фурье очень длинных последовательностей.

2. Получен обобщенный алгоритм вычисления N -точечной циклической свертки над полем корней К -ой степени из единицы над полем рациональных чисел, где [Ч=рС>ч, р -простое,оС^- I, целое, на базе которого синтезированы новые прямоугольные преобразования для =3,5,7 и 8. Показана эффективность их применения для преобразования многомерных последовательностей.

3.С помощью предложенного метода синтезированы новые прямоугольные преобразования над полем рациональных чисел Эйзенштейна и показана эффективность их использования для циклической свертки комплексных последовательностей.

4.Получены эффективные модификации алгоритма простых множителей преобразования Фурье действительных и эрмитово-симметрич-ных входных последовательностей.

5.Произведен анализ вычислительных ошибок базовых алгоритмов, а также алгоритма простых множителей преобразования Фурье и его модификаций для различных представлений чисел в системе счисления с фиксированной запятой. Получены выражения для вычисления характеристик ошибок.

6. Произведен синтез и анализ алгоритмов быстрого преобразования Фурье для цифровых устройств сопряжения аналоговых и цифровых систем передачи.

7.Разработан быстродействующий "безумножительный" процессор быстрого преобразования Фурье для высокоскоростного цифрового многоканального модема.

8.Получены результаты адекватного моделирования процессора быстрого преобразования Фурье на ЕС ЭВМ, с высокой точностью подтвердившие теоретические выводы.

9.Обосновано использование аппарата быстрого преобразования Фурье для построения эффективных вычислительных алгоритмов тактовой синхронизации цифровых многоканальных модемов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Байкова, Аниса Талгатовна, 1984 год

1.Материалы ХХУ1 съезда КПСС. - М.: Политиздат, 1981. - 223 с.

2. Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровые устройства сопряжения (трансмультиплексоры) в системах связи. Электросвязь, 1980, № I, с. 28 - 33.

3. Применение цифровой обработки сигналов./Под редакцией Оппен-гейма Э. М.: Шр, 1980. - 552 с.4.0ппенгейм A.B., Шафер Р.В. Цифровая обработка сигналов. М.: Связь, 1979. - 416 с.

4. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978. - 848 с.

5. HLtosa&i Б. an. Ottfio^onaBEij mattipitocid Qüm Sutern llüricj the DLsc/iete ioime* (Puuisfotm.- IEEE Tians. Common., ¡981, v.29, №7, p. 982-989.7.3аездный A.M. и др. Аппаратура передачи дискретной информации MC-5. М.: Связь, 1970.

6. Азарова Л.Г. и др. Высокоскоростной многоканальный модем. -Электросвязь, 1978, № 6, с. 61 64.

7. Изыскание принципов построения модема для передачи цифровой информации со скоростью 480 кбит/с по вторичным групповым трактам аппаратуры с частотным разделением каналов. Отчет, № гос. per. 78014560.: Одесса, 1980.

8. Отчет о НИР "Трест". Подготовительная стадия . № гос. per. Я35485.: Уфа, 1983. 306 с.1.. CooEetj 1 W. and IW. OLn Cityoüthm -the machine

9. Calculation of Comp^x Joints Teiles. fflath. of Compat., 1965, ч. {9, Opxi£, p. £97-301.

10. Slajtetoa R.C. ün. -j-ог Computing the miatd Radix 9dst Jouxiei Ttansj-oxm. IEEE Txans. CLudio and tEecfetoacoast., 1969, vJ7, N2 2, p. 95405.

11. ЬегаСапо! G-.D. Q fast Jouxiet <3Ws-fotm aEj-OtltKm IXsino Base 8 Metatlons.-(Tlath.oj Comput, v. 22, № 402, p. 275 £79.

12. Капорин И.Е. Новый алгоритм быстрого преобразования Фурье. -Журнал вычислительной математики и математической физики, 1980, т. 20, № 4, с. 1054 1058.

13. Макклеллан Дж.Х., Рейдер Ч.М. Применение теории чисел в цифровой обработке сигналов. М.: Радио и связь, 1983. - 264 с.16. dolama <Г., mano Т. et at. <2.0-Channel ítansmu&l-phxii Dfcsion and íetjtftmanee. -IEEE Ttans. Commnn1980, v. 28, № 9, p. 4Т09-Ш7.

14. Cloy.ama <Г., ГПало Т., \NaMalaij(isliL К. Ctn txpeximen-ta£ fDm-íDm (ПапзтиШр^еойег Using Cmos ASI

15. Cltcaits. ReuLtur o-J the £Eechúca£ Communication Lafcoxato'üe.s, <980, v. 28, NM-2, p. 4-Z7.

16. Borineaot (fíat ГЛ., Sena P., maltu X. 60-Cfian.net fransmufctlpEexex with *>8£5 Нг signafcfcincj . - Commimi-cation üxansrnUsion, 19£0, N4, p. 81-9 2.

17. Peltoni D. Plmensiorúttaa^ »on digitada ^m-cFDm Taansmuttlpíexein nach dex mijpKastametHodt. Ph.D. cUssextatLon, ЕТИ ¿aiích, Swit^ntand, № 628 3, <979.

18. Wafeafcajaski K. ri at. TDm- fDm iaaasmultiptereilUina a DiaiM Signal (PxocewtyL .-IEEE Ttaas. Corn-man, 1982, y.30, M*7. p.1552- 1559.

19. Ros^itet ÇT J. /7?. et at a tTiodaHaz fTjcunirruLttiphxii

20. Шойерманн X., Геклер X. Систематизированный обзор цифровых методов преобразования вида уплотнения каналов. ТИИЗР, 198I, т. 69, № II, с. 52 - 84.

21. Webb. P. T>. Q Jicced Point 3ast 3outU/i (PuLnijozm butov CUtafo^is. - IEEE (Ггапл. OumdLo and E&cttoatou.s'f.,1969, v. 47, г, p. 451- 157.

22. Reddty V.U.,Suncictaa.mu/L-tfiy т. oj СогоАра&огг fettureen (Piancatüon Etiois ok Tlxed iolrit Tcut iomiti TiaruWm fcxaoi Clnafysi.* .-IEEE foarvb. Circaits arid litems, 4980, v. 11, N* 8, р.74г-Т4С.

23. Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. М.: Мир, 1979. - 536 с.

24. Байкова А.Т. О вычислении дискретного преобразования Фурье. -Рукопись представлена Ленинградским электротехническим институтом связи. Деп. в ВИНИЩ 04.07.83, № 3652 83 Деп. - 23 с.

25. Байкова А.Т. 0 вычислении круговой свертки коротких последо вательностей. Обработка информации в системах связи: Сборник научных трудов учебных институтов связи. JI.: изд. ЛЗДС, 1984, с. 36 - 43.

26. Ван дер Варден В.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976. - 648 с.

27. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975. - 432 с.

28. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982. - 288 с.

29. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1981. -176 с.

30. C.S. bdex malinas jot Wi^tíc(¿men<>iona£

31. FoimuBatCon of the T> FT anol Cont otation . IEEE ftans. Ctcoust., Speech, Stqn.^ioc., №17, v. 25 Me Ъ

32. Бовбель Е.И., Зайцева E.M., Микулович В.И. Ошибки цифровых систем, основанных на вычислении дискретного преобразования Фурье. Зарубежная радиоэлектроника, 1981, № 5, с. 3 - 25.

33. Байкова А.Т. Вычислительные ошибки цифровых устройств, реализующих дискретное преобразование Фурье в системе счисленияс фиксированной запятой. Рукопись депонирована в ВИМИ 27.04. 84, № Д05885. - 48 с.

34. Wiaojmd s. Some В&пеаг Fotms Whose mufctipticatibe Complexity Depends on the Tudd o( Constants. (Tlath. Syst. iTKeoxy , 1977, №{0, p. 469-480.

35. Кпаербоут Д.Ф. Теоретические основы обработки геофизической информации. М. : Недра, 1981. 304 с.

36. Байкова А.Т. Об одном методе эффективного вычисления циклической свертки и дискретного преобразования Фурье. Техника средств связи, серия ТПС, 1983, вып. 9, с. 108 - 117.

37. Rçddy П.S., Redctu i/.U. Complex ReetcinauCat (Гшпф*гщ fat DLaiiat Convocation . IE £ E ÍPianv toast., Sptedi, SCjn. Hoz., 19 80, v. 28, p. 592.-596.58. 9еге№ P.m., Ray пег Pg. w. Cl TXûLtat ßfcock рюсмьог ^ог modulation and demodulation . -I EE E

38. Tians. Commun1975, \j. 25, 2, p. 282-286.59. тага!а Тото^сшгск а . (Хп Хтро»гео( те(Ьос( ^0г ска^аб 5$В-?Т>т тосЫаиоп <хг\с1 ¿егтЫЛайоп 1Е ЕЕ Тясми. Согшпап., 4978, v. 26, р. 720-725,

39. ЗакаКаЙ (кюЬ V. ^ а£ . Эел^ортел* а 11>т/ ТРт ^агктиШрСеосег. X Е Е Е (Ггапз. Соттст., <978, р.728-7ЪЪ.

40. ВйЬапаег/П., 1>айие± 1 .Ь ¿ГТ>177-?3)т 1гаг^гпиЖ-рЕехег: бфщйае °МирКа$е. ап<4 ? 1ЕЕЕ 5гапл. Соттип., <974, V 22, №9, р. ^99 4204.

41. Байкова А.Т. Эффективные алгоритмы дискретного преобразования Фурье для многоканальных устройств с цифровой обработкой сигналов. Техника средств связи, серия ТПС, 1983, вып. 3, с. 128 -137.

42. Dtspain Cl. m. l/ety 7<ut Touut(лъ T-xans-foim Qfaoïitfim* 4-ог ÎmpEemervtation. TE ЕЕ ftans. Comput., \ 919, V.E8, M*5, р.ЪЪ4-ЪА4.

43. Байкова A.T. Об использовании эффективных методов поворота вектора при реализации дискретного преобразования Фурье. Обработка информации в системах связи: Сборник научных трудов учебных институтов связи. Л.: изд. ЛЖ, 1983, с. 72 - 78.

44. Байкова А.Т., Ряхин Е.М. Быстродействующий безумножительный процессор дискретного преобразования Фурье г Техника средств связи, серия ТПС, 1984, вып. 3.

45. СШ. t. m. a ffîah-^peed ^ÎT ?гош>ШIE Е Е fians. Commun., <978, v. ¿6, №5, p. 690-696,73.3аездный A.M., Окунев Ю.Б., Рахович Л.М. Фаз о-разностная модуляция. М.: Связь, 1967. - 304 с.

46. Гинзбург В.В., Каяцкас A.A. Теория синхронизации демодуляторов. М.: Связь, 1974. - 216 с.