Интегральные представления и краевые задачи для некоторых линейных дифференциальных уравнений с сингулярной точкой и сингулярной линией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Зарипов, Сарвар Кахрамонович

• Зарипов, Сарвар Кахрамонович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Зарипов, Сарвар Кахрамонович

Оглавление

Введение

Глава 1

Линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с

двумя граничными сингулярными точками

§ 1.1. Модельное линейное обыкновенное дифференциальное

уравнение второго порядка с двумя граничными сингулярными

точками

§ 1.2. Немодельное линейное обыкновенное дифференциальное

уравнение второго порядка с двумя граничными сингулярными

точками

§ 1.3. Постановка задач типа Коши для модельного

обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с

двумя сингулярными точками

§ 1.4. Постановка задач типа Коши для немодельного

обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с

двумя сингулярными точками

Глава 2

О некоторых классах линейных дифференциальных уравнений в частных производных четвёртого порядка, для которых вся граница является особой

линией

§2.1. Привидение линейного дифференциального уравнения в частных производных четвёртого порядка в виде произведения двух линейных

порядка

§2.2. Нахождение решения линейного дифференциального уравнения четвёртого порядка в случае, когда корни характеристических

уравнений являются вещественными и разными

§2.3. Нахождение решения линейного дифференциального уравнения четвёртого порядка в случае, когда корни характеристических

уравнений являются вещественными и равными

§2.4. Нахождение решения линейного дифференциального уравнения четвёртого порядка в случае, когда корни характеристических

уравнений являются комплексно-сопряжёнными

§2.5. Постановка задач типа Коши для линейного дифференциального уравнения в частных производных четвёртого порядка с

четырьмя сингулярными линиями

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегральные представления и краевые задачи для некоторых линейных дифференциальных уравнений с сингулярной точкой и сингулярной линией»

- .>: ' Введение

- - t

Актуальность темы. В теории дифференциальных уравнений с частными производными решение многих задач связано с соответствующими обыкновенными дифференциальными уравнениями. Многие задачи прикладного характера, описываемые уравнениями математической физики, осесимметрической теорией поля, пространственной осесимметрической теорией упругости,j гидродинамики и других разделов математической физики приводят к* изучению дифференциальных уравнений с частыми производными с сингулярными коэффициентами или вырождающихся дифференциальных уравнений. Поэтому теория обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами, уравнений в частных производных с сингулярными коэффициентами, также вырождающихся дифференциальных уравнений являются одним из важных разделов теории-дифференциальных уравнений, которые находят широкое и многообразное применение в физике и технике. Наиболее важные и интересные применения обыкновенные дифференциальные уравнения находят в теории колебаний и в теории автоматического управления. Изучению теории дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами было посвящено большое количество работ. В работах американского математика А. Weinstein [7]-[9] изучено модельное эллиптическоеуравнение - с сингулярными линиями, найдено фундаментальное решение рассматриваемого уравнения и на этой основе исследованы некоторые краевые задачи. В книге R.W. Carroll, R.E. Showalter [93] изучено гиперболическое уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу и получены некоторые интегральные представления. Первой фундаментальной работой в этом направлении можно считать работу М.В. Келдыша [21], где впервые было доказано, что-'для вырождающегося эллиптического уравнения в некоторых случаях можно давать условия типа Дирихле в некоторых частях границы рассматриваемой области, т. е. в некоторых случаях часть границы области можно освобождать от граничных условий.

В работах R.P. Gilbert [13]-[16] были получены интегральные представления многообразия решений для эллиптических уравнений через решения уравнений с регулярными коэффициентами.

В совместной работе В.Ф. Волкодавова и II.Я. Николаева [4] изучены краевые задачи для уравнения Эйлера - Пуассона - Дарбу, а в работе В.Ф. Волкодавова [5] для этого уравнения решена задачи Коши - Гурса.

Исследованию вырождающихся уравнений или дифференциальных уравнений в частых производных с сингулярными точками или сингулярными линиями посвящено много работ.

До настоящее^ в основном изучались линейные

дифференциальные уравнения с вырождением или с сингулярными коэффициентами. Фундаментальные результаты по теории сингулярных дифференциальных уравнений и вырождающихся дифференциальных уравнений получены в работах М.В. Келдыша [21], A.B. Бицадзе [2], [3], М.М. Смирнова [94], [95], В.Ф. Волкодавова [4], [5], A.M. Нахушева [34],

А.И. Янушаускаса[100],'JT.r. Михайлова [28], [29], А.Д. Джураева [17], Н. Раджабова [59]-[90], З.Д. Усманова [96], [97], А. Weinstein [7]-[9], R.P. Gilbert [13]-[16], R.W. Carrol, R.E. Showalter [93], Т.Д. Джураева [18], [19], М.М. Салохитдипова [91], Д.С. Сафарова [92] и других авторов.

Многие задачи для гиперболического уравнения с сингулярными коэффициентами или вырождающегося гиперболического уравнения на плоскости теснейшим'образом связаны с вырождающимися обыкновенными дифференциальными уравнениями или обыкновенными дифференциальными уравнениями с сингулярными точками.

Значительные результаты по теории вырождающихся уравнений, гиперболических уравнений с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами получены в работах A.B. Бицадзе [2], [3], М.М. Смирнова [94], [95], В.Ф. Волкодавова [4], [5], A.M. Нахушева [34], R.W. Carrol, R.E. Showalter [93], Н.. Раджабова [59]-[90], Л. Раджабовой [38]-[58] и других авторов.

Исследованию линейных гиперболических уравнений второго и третьего порядков с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами посвящена большая серия работ Н. Раджабова [41], [59], [63], [88] и Л.Н. Раджабовой [38]-[46].

Некоторые результаты для дифференциального уравнения гиперболического типа 4-го порядка с одним и двумя сингулярными линиями получены в работах Н. Раджабова, С.С. Ганиева [71], [88]. В работе Н. Раджабова [63] получено представление многообразия решений через четыре произвольные функции, на основе которых выяснена постановка ряда граничных задач и найдены их решения.

Исследованию эллиптического уравнения второго порядка в окружности, когда граница окружности является сингулярной линией, посвящена работа Н. Раджабова [61]. Вопрос о решении подобной задачи для гиперболического уравнения до настоящего времени остаётся открытым.

Основной целью настоящей диссертационной работы является изучение ряда обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с граничными сингулярными точками и приложения полученных результатов в теории гиперболических .уравнений четвёртого порядка, для которых вся граница является особой линией.

В настоящей диссертационной работе исследуется модельное дифференциальное уравнение вида

А-2х л В . . f(x)

у(х) +-у(х) +-;-=--т- О)

Для модельного дифференциального уравнения (1) в зависимости от корней соответствующих характеристических уравнений, найдено явное представление многообразия решений через произвольные постоянные.

Далее, изучается общее обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с двумя граничными сингулярными точками вида

У-(Х) + у(х) +-*(*> 2 yix) =-Ях) 2 . (2)

Исследование общего случая (2) подобно методу регуляризации сводится к исследованию соответствующего модельного дифференциального уравнения и интегральному уравнению типа Вольтера со слабой особенностью. *

Далее, исследуются свойства полученных решений на границе области. Значение соответствующих констант выражается через значение неизвестной функции и его производных на границе области. На этой основе выясняется корректная постановка граничных задач и их исследование.

Вторая глава посвящена исследованию общего дифференциального уравнения четвёртого дорядка вида

ох ду Охду

+ (х - аf (b - xf {у - c\d - у)а2 (х, y)~j~ + (х - аf (b - xf ci2 (x, y)^- +

ох dy ax

+ ix~«X6-x\y- c\d -y)a4 (x, у+ (y - cf {d - yf a5 {x, +

- ч* ; - oxoy dy~

+ {x-a\b- х)аь{x,y)— + {y - c\d - + ая(х>Ур = f(x,У'),

ох ду

для которого вся граница является особой линией. Решение данного уравнения в зависимости от корней характеристического уравнения сводится к решению соответствующих интегральных уравнений типа Вольтера со слабой особенностью. Дня.этого уравнения найдено общее решение через произвольные функции одного переменного и изучены свойства полученных решений.

Объектом исследования диссертационной работы являются обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с двумя сингулярными точками, а также дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка с четырьмя сингулярными линиями.

Цель работы,- ; Целью настоящей работы является получение представлений многообразий решений для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с двумя граничными сингулярными точками, и для дифференциального уравнения в частных производных четвертого порядка с четырьмя сингулярными линиями, а также изучение свойств полученных решений.

Задачи работы,,В ^соответствии с целыо выделим следующие задачи:

1. Получение представлений многообразий решений для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с двумя граничными сингулярными точками и изучение свойств этих решений.

2. Подстановка граничных задач типа Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с двумя гранкчйьтш! сингулярными точками и его решение.

3. Получение . 4 представлений многообразий решений для гиперболического уравнения четвертого порядка с четырьмя сингулярными линиями.

4. Подстановка граничных задач типа Коши для гиперболического уравнения четвертого порядка с четырьмя сингулярными линиями и его решение.

Методика . исследования. В работе используются общие методы теории дифференциальных уравнений, метод получения интегральных представлений, метод решений интегральных уравнений, а также широко используются методы, разработанные в работах Н. Раджабова и Л. Н. Раджабовой.

Научная новизна работы. В диссертации получены интегральные представления многообразия решений для одного класса обыкновенных линейных дифферешща&1ьных уравнений второго порядка и для одного класса линейных дифференциального уравнений четвертого порядка, а также для данных уравнений ставятся и исследуются различные граничные задачи. Все полученные в диссертации результаты являются новыми.

Положения, выносимые на защиту:

1. Для модельного линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка; с; двумя граничными сингулярными точками, в зависимости от корней характеристического уравнения, получены представления многообразия решений с двумя произвольными постоянными.

2. Изучены поведения решений в окрестности особой точки, а также свойства полученных интегральных представлений.

3. Для немодельного линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго1 Ьорядка с двумя граничными сингулярными точками, в зависимости от корней двух характеристических уравнений, получены представления многообразия решений сведением их к решению шести интегральных уравнений Вольтера второго рода с левой и правой сингулярной точкой. Найдены условия на коэффициентов уравнения, когда эти интегральных уравнений будут интегральными уравнениями со слабой особенностью^

4. Изучены поведения решений в окрестности особой точки, а также свойства полученных интегральных представлений.

5. Для модельного и немодельного линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с двумя граничными сингулярными точками ставятся и исследуются граничные задачи типа Коши, когда условия заданы в особых точках.

6. Для линейного, дифференциального уравнения четвертого порядка с четырьмя сингулярными линиями, в зависимости от корней характеристических уравнений, получены представления многообразия решений через решение интегральных уравнений типа Вольтера со слабой особенностью.

»

7. Для линейного дифференциального уравнения четвертого порядка с четырьмя сингулярными линиями ставятся и исследуются задачи типа Коши.

Теоретическая^' и? практическая ценность работы. Исследования, содержащиеся в диссертации, носят теоретический характер. Эти результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории немодельных дифференциальных уравнений с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами, а также в различных прикладных вопросах.

Достоверность работы. Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, определяется обоснованными теоретическими выкладками и строгими доказательствами, опирающимися на методы дифференциальных уравнений и интегральных уравнений.

Апробации работы. Основные результаты диссертации обсуждались на международной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения», посвященной 60-летию образования ТГНУ и 70-летию академика АН РТ Н. Раджабова (Душанбе, 25 - 26 сентября 2008 г.), на международной'конфзредции «Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ», посвященной 80-летию академика АН РТ Л.Г. Михайлова (Душанбе, 29 - 30 мая 2008 г.), на республиканской научной конференции «Теория дифференциальных и интегральных уравнений и их приложения», посвященной 20 - й годовщине Независимости Республики Таджикистан (Душанбе, 23 - 24 июня 20011 г.), на апрельских научно-теоретических конференциях профессорского - преподавательского состава ТНУ, на общегородском семинаре кафедры математического анализа и теории функций «Комплексный анализ и его приложения» (руководитель академик АН РТ Н. Раджабов), на семинаре по аналитической теории чисел под руководством члена-корреспондента АН РТ З.Х. Рахмонова.

Личный вклад автора состоит в непосредственном его участии в получении научных результатов, подготовке основных публикаций по выполненной работу...*и -личном участии в апробации результатов исследования.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [101-110]. В совместных работах [101,102,103,104,105,107] академику Н. Раджабову принадлежит постановка задач и выбор метода доказательства.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной" литературы, состоящего из 110 наименований, занимает 121 страниц машинописного текста.

Содержание диссертации.

В первом параграфе первой главы на Г = {х: а < х < b) рассматривается модельное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

У(х) + "f-г У w = —у'(х) а , (1 -1)

где А, В - постоянные'числа, /(д:)- заданная функция на г.

Пусть х0е Г- некоторая фиксированная точка. При помощи точки .т0 отрезок Г разобьем на два отрезка Гх = {х: а < х < х0}, Г2 ={х:х0 <х<ь}, и уравнение (1.1) будем изучать в каждом из данных отрезков в отдельности. В этом параграфе в зависимости от корней характеристического уравнения Я1 -ф-а-А)Я + В = 0, (1.2)

получены три интегральных представления для уравнения (1.1). Результаты этого параграфа изложены в виде теорем 1.1.1 - 1.1.3. Ниже приведём одну из них.

Теорема 1.1. Пусть в уравнении (1.1) А и В такие, что корни характеристического уравнения (1.2) являются вещественными и разными. Кроме того, не ограничивая общности, будем предполагать, что Л1<Л2. Функция /(х)еС(Г),г 'и в случае /I, >0 требуем, чтобы /(а) = 0 с асимптотическим поведением

о —а

а в случае Л2 < 0 требуем, чтобы /ф) = 0 с асимптотическим поведением

Ь>га ' '

Тогда любое решение модельного уравнения (1.1) из класса С2(Г) представимо в виде

У{х) =

х — а Ь-х

Ь-а

с,+

х-а

х-аУ Ь-1 Ъ - х А / - а.

Ь — х)

с2 +

Lf

-1Б

х-а У Ь-( Ь-хА1-а

Ь-а

Ь-а

ЛОЛ

А.

х-а V-«

Ь-х

с3 +

х-а Ь-х

/ х- (Ь-Л

[ь- X J

Ь-а

^-а)(Ь- 0

А.

л-« 1 \

/(0 л

\г-а)ф- /)

= Е* [с|, с2, /"(х)], когда х е Г,,

х-а .Ь-х.

Ь-( / — а

л,

Ь-а

(1.3)

= £, [с3,с4,/(х)], когда хеГ2,

где

с15 с2

произвольные постоянные числа, постоянные с}, с4 находятся

через с,, с2 из алгебраической системы

Xм! =2Х (х0]с,

+

1=1

где

(1.4)

м =

х0-а

6-х,

Ь а

о У

х0-а

Ь-х,

Ь-а

О У

'Л

Ь-х,

о у

ГЬ-/ г-а

6-а

х0-д

Ь-х

О У

/-о

Л-о

ЛОЛ

(1-а){Ь- О

Утверждения, подобные теореме 1.1. получены в случаях, когда корни характеристического уравнения (1.2) являются вещественными и кратными, также комплексно-сопряжёнными. Результаты сформулированы в виде теорем 1.1.2,1.1.3.-

Далее во всех перечисленных случаях изучается поведение решения уравнения (1.1) в окрестности особых точек х = а,х = Ь. Например, установлено, что решение вида (1.3) при Я, >0, Л2>0 в точке х = а, обращается в нуль, а в точке х = Ь обращается в бесконечность и его поведение определяется из асимптотической формулы

У(х).

О

(х - а)ь-а

(ь -

, хе^'ЙрИ х-» я,

, х е Г2 при х -> Ь.

При А, < 0, Л2<0 решение вида (1.3) в точке х = а обращается в бесконечность, а в точке х = 6 обращается в нуль и его поведение определяется из асйм^^тотической формулы:

у(х) =

О

о

( Vм

\х-а)ь-а /

\Ь — Х)Ь-а

, хеГ, при х—>а,

, хеГ2 При х-»6.

При Я, <0, >0 поведение решения определяется из асимптотической формулы: -

У(х)

О

о

( чм (Ь-х

, Х€Г, при х —> и,

, хеГ2 при х—>Ь.

Введём обозначения:

" ->.: г {о

\х-а) ^ \х-а) ах

Ь-х V-«

х-а

х-а.

Ь-х

с1х

Ь-х V-«

х — а

У{х)

(1.5)

Замечание 1.1. Решекие-вида (1.3) имеет свойства

к ML=с> - \ри ^ > (16)

В втором параграфе первой главы на отрезке Г = {х:а<х<Ь}

изучается немодельное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка • ,

>•'(*) +- 'в,<*> 2yix) =-Т, (1 -7)

' (.x-afib-x)1 {х — а)ф — х)

где Л(х), В(х),/(х) - заданные функции на Г.

Пуст х0 е Г, тогда при помощи точки х0 отрезок Г разобьём на два отрезка Г, = {х: а < х < х0}, Г2 = {х: х0 < х < Ъ} и уравнение (1.7) будем изучать в каждом из этих - о^рзков в отдельности. Легко можно видеть, что характеристические уравнения для уравнения (1.7) на Гх, Г2 соответственно имеют вид

¿i2-(l-Ma))M + Bl(a) = 0 (1.8)

и

(О2-(А2(Ь) + \)со+В2<<Ь) = 0 (1.9)

• - г, V

Далее, в этйм'^ параграфе в зависимости от корней двух характеристических уравнений (1.8) и (1.9), получены интегральные представления многообразия решений через произвольные постоянные. В случае, когда корни характеристических уравнений (1.8) и (1.9) являются вещественно - разными, получено следующее утверждение: Теорема 1.2. Пусть в уравнении (1.7) коэффициенты и правая часть такие, что выполняются-все условия теорем 1.2.1 и 1.2.2. Тогда любое решение дифференциального уравнения (1.7) из класса С2 (Г) представимо в виде

^\V[cx,c2,f{x)l когда хеГ,, ^

[7|"[с3,с4,/(х)], когда хеГ2.

где сх,с2- произвольные постоянные числа, с3,с4 находятся через сх,с2 из алгебраической системыf

(l.ii)

<=1 r=i

i>/(* оК.=т

i=1 /=1 ах

где

Л/ 2 х

л/ 2 ;

л/А 1

х-я ¿-а

'х-аУ2

/(О

+

Ь-х

а»,

^6-хГ*

ло

1

У* т

(т-аТ (г-а)'"2 1 (б-*)^2

(г-аХ^-г)2

т

йт

л/А ! ' ^ 17А I (*-гГ (г-а)2(б-г)

с/г

Ш.

В (1.11) интегральные" операторы Г, определяются из равенств

т^[с{,с2, /{х)\= е;

'

+

С3>С4>

Л*)

(Л-х)2]

(х-а)

л/А «

х е Г,.

(х-а)2

_ -уЛ10! "

,— /Г, (х,0^м(0]^, х е Г2,

Л/' 2 л

где

с с

I ' 2? /, V (*>-*) .

Л*)

: (х - а)"1 •с1 + (х-а)Я2с2

л/А ,,

х — а

' х — а х

С3' С4'

(х-а)'

= (Ь-хУ"с,+(Ь-х)^с4

1 | Гб-х

л/а 1 и-*

\t-aj

Си „V"*

ЛО

6-х

^ -а){Ь-()2

ЛО

Ь-1

(к, л,

1 х

' ' л/А;

1 *

Е-1[с3,С4,/(Х)] = С3+Са(Ь-Х)^—=\

л/А »

1 (х — й)

л/А

ло

(*-а)* {1-аТ-1 (6-х)^2

(/-«ХМ ло

(6-0* (6-0'"

Г,+(х,0, Г,"(х,0 - соответственно резольвенты интегральных уравнений

1 Ки(*>0:

л/А; ' ' •

и

л/А X ь х

Утверждения, подобные теореме 1.2. получены в случае, когда корни характеристическшс^айнений (1.8) и (1.9) являются вещественно кратными и комплексно сопряженными. Результаты этой параграфа сформулированы в виде теорем 1.2.1 - 1.2.9.

Во всех перечисленных случаях изучены поведения решений уравнения (1.7) в окрестности сингулярных точек х = а,х=Ь. Например, установлено, что в случае, когда р2>0, решение вида (1.10) в точке х = а обращается в нуль и его поведение определяется из асимптотической формулы

у(х) = о[(х - аУ" ] : 1 - к „

В случае, когда <0/ решение вида (1.10) в точке х = а обращается в бесконечность и его поведение определяется из асимптотической формулы Я*) =<?[(•*-я)-1'"'] -

В случае, когда щ > 0, решение вида (1.10) в точке х = Ь обращается в нуль и его поведение определяется из асимптотической формулы у(х)=о[(Ь-хт]. >

В случае, когда ¿¡^сО, решение вида (1.10) в точке х = Ь обращается в бесконечность и его поведение определяется из асимптотической формулы

Введём следующие обозначения

dx

(х-я) 1

Jb^xf

У(х)

У(х)

(1.12)

(1.13)

тогда справедливо следующее замечание Замечание 1.2. Решение вида (1.10) обладает свойствами

[р; [y«L=Ц=fe

Полученные в первом и втором параграфах первой главы интегральные представления дают возможность ставить и исследовать различные граничные задачи типа Коши.

В третьем четвертом параграфе первой главы на основе полученных интеграНьйых "представлений для модельного и немодельного дифференциального уравнения (1.1) и (1.7) ставятся и исследуются граничные задачи типа Коши. Например, исследованы следующие задачи типа Коши:

Задача Л4. Пусть корни характеристического уравнения (1.8) являются вещественными и разными. Требуется найти решение уравнения (1.7) из класса С2 (Г) по следу^рцщм условиям

где

В* (j = 1,2) - заданные постоянные числа, Р^ [у(х)], [>''(*)] функции определенные в (1.12).

О разрешимости задачи А4 имеет место следующее утверждение:

Теорема 1.3. Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (1.7) удовлетворяют всем условиям теорем 1.2. Тогда задача А4 имеет единственное рёшёнщ, -%оторое выражается формулой

}'{х) =

т;

, когда хеГ,,

И 2-^1 ] ^Г," [с3,с4,/(дс)], когда хеГ2,

где Су, с4 находятся через Я,4, й2 113 алгебраической системы

в

Мг "А

2

Хм,4 (х0)с2+, = Л',4 (х0К+Л^24 (*„)-

в:

/=1

■ +

где

м: ={ь-х0у> Л

К- :

ЛГ,4 =(*0 -а)" Л,

Л/-А "

пш—,=/

х-а

«а

л/А ¡[у-*.

' х-а

т

-Л +

+

+

л/А

6-х

,Ь-1

/(О

I

Л +

Л*0

л/А ! а 1л/А I

\ 1АГ^-г)- (6-гГ (г-я)2(б-г)

йг-

и Д = ёй

М4</,(х0)

(1.14)

(1.15)

* О, у =0,1.

Задача В4 . Пусть корни характеристического уравнения (1.9) являются вещественными и разными. Требуется найти решение уравнения (1.7) из класса С2 (Г) по условиям

кшь-^&Ш-^

где О = 1,2) - заданные постоянные числа, Р^\у{х)\ Р^\у'(х)] - функции определенные в (1.12). -

О разрешимости задачи В4 имеет место следующее утверждение: Теорема 1.4. Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (1.7) удовлетворяют < всеЩу^твиям теоремы 1.2. Тогда задача В4 имеет единственное решение, которое даётся формулой

у(х) =

Т*[сх,сг,/(х)\ когда хеГ,,

в;,

4 Вл

СОг-(Ол

, когда хеГ,.

(1.16)

где с,,с2 находятся через заданные постоянные В*, В* из алгебраической

■ ■ ■'■ ^и^ ...

системы %:

в:

(=1 2

0)2 -Щ

пш

IX к К =< (х0К+М24 (х0)

Я

1=1 где

¿у2 - (У,

—а:4 КО]

(1.17)

- у ■'•ЖЛТ-^--

Ь '

м?=(ь-хоу- +2-£о|1|г \ 2 *

n

х - а4 VI х - а

"ч '" ■' ■

. г-ап ^ \ / — а

у

ДО

•л+

л/а !

Ь-х

\Й>, /

6-хУ"! 6-/1

/(О

л/д 1 ш!

Ж +

(Ь-х)

«1 ь

-|гг(х,/

А-

(б-г)"' (Ь-г)'^ (г -а)2 (Ь -г)

Л,

И Л = ск*

Л?О)(*0)|

* О, у = 0,1.

Глава 2 посвящена получению интегральных представлений многообразия.рещен^^рез цроизвольные функции для некоторых классов дифференциальных уравнений четвертого порядка с четырьмя сингулярными линиями.

В первом параграфе второй главы в прямоугольнике 0 = {а<х<Ь,с<у<с1}, ограниченном отрезками прямых Г, = {а < х < Ь,у = с), Г2 ^{х-а,с< у<с1}, Г3 ={а < х < Ь,у = Г4 = {х = Ь,с < у < И], рассматривается уравнение вида: ..,

(1.18)

... ^дхду дхду

+ (х - а)2 {Ь - х)2 (у - с\с1 - у]а2 (х, + (х-а)2(Ь- х)2 а3 (х, у)-^- +

ох сгу ох

+ {х-а\Ь- х\у - с\(1 - у)а4 (дг, у)^- + {у-с)2(с1- у)2 а5 (х, +

дхду ду

+ (х-аХЬ-х)а6(х3у)Щ^г{уг-сХ^-у)а7(х,у)^- + а$(х,ур = /(х,у),

• Ш 5 ду

ь * * ■

где ау(*,д>)(1 < ] < н),/(х,у) - заданные функции в области О.

Пусть коэффициенты уравнения (1.18) в данной области между собой связаны условиями

Л4 (х, у) = а4 (х, у\ Аь (х, у) = ав (х, у\ А1 (х, у) = а7 (х, ^ А% (х, у) = ан(х,у), (1-19)

где . - „•--, >

■Л ч

А4(х,у)=2(х-а1Ь-х)^Щ + а](х,у)а2М

ох

А (■т. у) = 2(х - «X6 - + ах (х, у)а3 (х, у\

дх

^7(х>>^(х-а)2(б-х)2а2а2(^) + (х-аХб-х)а,(х^)^Ф^ + а2(х^)аДх,^

. - дх ох

дх дх

тогда на основе представления главной части дифференциального оператора четвертого порядка, находящегося в левой части уравнения (1.18) в виде произведения двух линейных дифференциальных операторов второго порядка, задача о. .нахождении многообразия решений уравнения (1.18) сводится к задаче о нахождении решений двух уравнений второго порядка по переменным х и у, т. е.

д2Ц { а2(х,у) дУ ( а3{х,у) ц = ^^

ду2 [у-с\(1-у)ду {у-с)2{с1-у)2 ' ^

д2У , _ф,у) дУ | а5(х,у) у __ /Хх,у)

дх2 (х-а)(Ь-х) дх,{^а)2{Ь-х)2 (х-а)2(Ь-х)2'

Сначала решая второе уравнение системы (1.20), после подставляя полученное значение к(х,>>) в первое уравнение, найдём неизвестную функцию и(х,у).

Пусть (х0,у0) - некоторая фиксированная точка из области О. Тогда область о при помощи точки (х0,^0) разобьём на четыре области О1 = {а<х<х0,с<у<уа};;^^.<х^ха,у0<у<(1}, Д = {х0<х<6,}'0<у<ё},йА={с0<х<Ь,с<у<у0}. Систему уравнений (1.20) исследуем в каждой из данных областей в отдельности. Легко можно видеть, что характеристические уравнения для

дифференциальных уравнений системы (1.20) соответственно на D,, d2, D3, D4 имеют вид:

о2 -(l-al2(a,c)]u+al(a,c) = 0 (1.21)

Л2 —(l— а\ (а, с))я + а\ (я? с) = 0 (1.22)

r2-(\ + a22{a,d))y^al0fib " (1.23)

a2 -(l-a;(a,</))cr + a5(a,c/)=0 (1.24)

ф2 -(l + a2(b,¿ф + a2(b,d) = 0 (1.25)

<р2-(1 + a] (b, d)}p + а] (М) = 0 (1.26)

(1-27)

//2 - (l + a; {b, с))// + аЦь,с) = 0 (1.28)

Во втором параграфе второй главы в случае, когда корни характеристических уравнений (1.21) - (1.28) являются вещественными и разными, для уравнения (1.18) получено интегральное представление многообразия решений через произвольные функции. Результаты этого параграфа сформулщ>о|шнь1 в виде теорем 2.2.1 - 2.2.5. Приведем окончательный результа!* этого параграфа:

Теорема 1.5. Пусть в уравнении (1.18) коэффициенты и правая часть удовлетворяют условиям:

1) аДх,3')еф), У = а3{х,у)еС1(Ъ), а2(х,у)еС!х(Ъ), а}(х,у)еС[(о);

2) Функции а4(х,у), а6(х,у), а7(х,у), ая{х,у) связанны с другими коэффициентами.пр^п&мощи формулы (1.19);.

3) Корни характеристических уравнений (1.21)-(1.28) являются вещественными и разными, а также

< о2, Л, <Л2,у{ <Л2, а, <сг2,ф, <ф2,(рх <(рг,9х <02, //, < р2;

4) Функции

t

А\{х,у) = а2{х,у)-а\{а,с), Al(x,y)= а\(х,у)- al(a,c)~ а\ (xtyfo-c) А\(х,у) = а\(х,у)-bffi,6^-Al (х,у) = а\{х,у)~ (а,с) - а,1 (х,yjx - а)

Г

Ф л2 (х,y) = al(a,d)-al(х,у), А](х,>>) = a] [a,d)- а\(х,у) + а\ (х,y%d - у)

Аи (х> У) = а1 (*> У) ~ а\ (a>d)> As.\ (х> У)= а\{х у У) ~а\{а а\ (■*» УХх ~ а)

t

1 Ai\ (х>y)=a;{b,d)- а\ (х,у), А32, (х,у) = а2г (б, d)- а2 (х,у) + а2 (х, y\d - у) aj t * t

f

А21 (х, у) = а\ (х, у) - а\ (b, с), А\х (х, у) = а\ (х, у) - а\ [b, с)- а\ (х, yfy - с)

А1\ (х>у) = ах ihiс)- а](х,у), А;х (х, у) = a2(b,с)- а;(х, у) + а2 (х,y\b - х) при х->а, x-^-b, у->с, y->d соответственно обращаются в нуль с асимптоти чесШлтУфйе^ениями

а)

б)

г)

А\(х,у) = о

I

А}(х,у) = о

Aj(x,y) = o

I

А{(х,у) = о Ali(x,y) = o

\

А12(х,у) = о

Ал (*>У) = о

\

4 J (х,у) = 0

»г

\d-yf (х-арл

(d-yf (b-xf

; А\{х,у) = о ; А2(х,у) = о

•••у?

iy-cf

\x-af

(d-yf

{d-yf

; Ah(x,y) = o ; Л\(x,у)-о (b-xf

(b-xf

х,у) = о

; А2,(х,у) = о

iy-c)6 '(b-xf

; <$i >v2>

; 82 > Л2.

; h >a2. ; 8-j > ф2, ; S8 ><p2. ; Sm >62, ; ¿u>Mi-

5) Функция f{x,y) e c(d) и если

a) o2>0, 12 > О, тогда требуем, чтобы f(a, с) = 0 с асимптотическим поведением -. -V,- ..,

/7) = ^[(х - а)* (у - cf J *, S2 > Я2, J, > t>2 при x —» а, у -» с /

6) /2 >0, СГ2 >0, тогда требуем, чтобы f(a,d) = 0 с асимптотическим поведением

f{x, у) = о[(х-о)'?,((;/-_у)л< ] , > <т2, £4 > ирм х а, у d ;

в) ф2 > 0, (р2 > 0, то^да требуем, чтобы f(b,d) = О с асимптотическим поведением '

/(х,у) = о[(б - (d - ] , <58 > (р2, 61>ф2 при х Ь, у d;

г) #2>0, р2 > 0, тогда требуем, чтобы /(Ь,с) = 0 с асимптотическим поведением

fix,у) = о[(й - x)'v" (rf - j)5'" ] , > 02, ¿>10 > //2 при х->Ь, у -> с;

б; Произвольные' ЩтцхЫ с3(у), с4(у),с3(у),с4(у) при у ^ с и y-+d обращаются в нуль с асимптотическими поведениями

сз 00 = - с)"' ] , с4(у) = о[(у -с)3' ], S3 > v2 - 2, при у -> с; сз 00 = °\d - уУ" ] . с4 (у) = o\d - уУ Sb> у 2-2 , при у ?зОО = °bd~уТ J > ^(уХт <%d ~уТ ], Sg ><Р2-2, при y^d\ (у) = °\у-СУ"' ] > (у) = ф;-cf ], s{2>02 -2 , при у > с\ Тогда любое решение уравнения (1.18) из класса C4(D) представимо в виде

Щх,у) =

^Си [С1 (Х)>С2 (*)> ^2Д [С3(>0>С4(У)'/ (•*>■>')]] 4 е А

(х), С2 (х), Г2; [с3 (>0, С4 / (х, , когда Т^{х\с2{х\Т1^3(у),сл{у\/{х,у)% когда (х,>>)е Д, V/,[С1 (х)>с2Й0;Х/(*,7)]], гагда (х,у)е £>4 где Г,;, т;., Г,", , Г",, , , - интегральные определяемые соответственно из следующих равенств

К: [С1 (4 С2 (4 };)] = (у -с)"' С, (х)+ (>> - с)" с2 (х) +

, 5-е

у-с

,5-С

операторы,

(у-сГ

^ с-

__

(7-с)"' (7-с)1"

(г/-с)у(х,г})с1г]

ж,

т;АсЫсМ/(х>у)]=(*- 41 Ф)+{х~ 4' сА{у)-

х-а 1-а

{ \А-' х-а

\t-aj

АиМ

ч' ЧV 2 "

[ 1 МУЯ /(г,у>/г

(г-а)4' (г-а)Л:

Кг [г, (4 ?2 (4 у))=(</-Уу г, (4+{<1 - уУ' с2 (х)+-^_|

л/Л3 V

V'

v, й

л/д7 !■

С1(Х) + (|/-5)^С1(*) + -7=}

¿-у

<1-5.

__1__

V*

.. ,^ г.

КЫу\Ф\А*Л = (х-аУ'4у)+ {х - а)"ф)+

1 г

х-а х-а

ла--

¡-а I I?-а

\tl-s;

{¿-пУ(х,пУп

>й5У,

Л/Л4 «

4 »

(Г-44 {г-а\Ь-г)2{у-с)2{с1-у)2

[г, (*), г2 (4 к(х, >•)] - И+(<* - # (4+1

V

+

л/а7 ;

С,(х)+(^-5),'Л' С2(х)+-= |

V 5 5

1

т

(</-*)" {¿-цУ2

\d-sj (¿/-/7 У(х,т]У?1

Ж,

={ь-хУ ФУ(ь - ху фу

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Зарипов, Сарвар Кахрамонович, 2015 год

Список литературы

1. Анкудинов A.JL Достаточные условия корректности задачи Коши для квазилинейного вырождающегося гиперболического уравнения первого рода / A.JL Анкудинов, Н.П. Куликов //Краснодарский политехнический институт. - Краснодар, 1987, Рук. деп. в ВИНИТИ 27.10.87, №7494 - В - 87. - 29с.

2. Бицадзе А.6. Некоторые классы уравнений в частных производных / А.В. Бицадзе. - М.: Наука, 1966. - 448с.

3. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики / А.В. Бицадзе. -М.: Наука, 1976.-236с.

4. Волкодавов В.Ф. Краевые задачи для уравнения Эйлера - Пуассона -Дарбу / В.Ф. Волкодавов, Н.Я. Николаев // Учебное пособие по спецкурсу-«УравнейИя математической физики». - Куйбышев, 1984. -80с.

5. Волкодавов В.Ф. Решение задачи Коши - Гурса для уравнения общего вида типа Трикоми / В.Ф. Волкодавов // Тр. Второй науч. конф. матем. каф. пед. ин -тов Поволжья I, 1962. - с. 25 - 27.

6. Вирченко Н.А. О некоторых краевых задачах для простейших эллиптических . урдвнений с двумя линиями вырождения / Н.А. Вирченко// Док: АН УССР. Сер. А. - 1974. №7. с. 582 - 585.

7. Weinstein A. Singular partial differential équations and their application / A Weinstein // Proc. Sump. Fluid Dyn. Appl. Math., Gordon-Breach, New York, 1962, p. 29-49.

8. Weinstein A. Discontinuous intégrais and generalized potential theory / A Weinstein // Transactions of the American Mathematical Society, v.63, n.2, March, 1948.-: ; : ;

9. Weinstein A. Класс дифференциальных уравнений в частных производных чёткого порядка / A Weinstein // Anali di mathematica pure ed applicata, serie IV, 39(1955).

10. Галиева Л.И. О задаче типа Трикоми для нелинейного уравнения высшего порядка с оператором Лаврентьева - Бицадзе / Л.И. Галиева // Казанский гос. пед. ин - т Казань, 1987. Рук. Деп. в ВИНИТИ 08. 05. 87., №3331-В87. : ' :

11. Ганиев С.С. Интегральное представление для одного класса дифференциальных уравнений 6-го порядка с двумя сингулярными линиями. / С.С. Ганиев // Тез. док. респ. научно-теор. конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения», - Куляб, 1991, с. 43-44.

12. Ганиев "G.C.; /Интегральное представление для одного класса дифференциальных уравнений 4-го порядка с двумя сингулярными линиями. / С.С. Ганиев // Матер, межд. конф. «Дифференциальные и интегральные уравнения», поев. 60 - летию образ. ТГНУ и 70 - летию академика АН РТ, профессора Раджабова Н., Душанбе, 2008, с. 21 -22.

13. Gilbert R.P. Integral operator methods for generalized axially symmetric potentials in n +1 variables / R.P. Gilbert // J. Austrial Math. Soc. 5, 1905, p. 331-348.

14. Gilbert R.P. JPoissQi^ equation and generalized axially symmetric potential theory / R.P. 'Gilbert // Annali di Mathematica Рига Appe [IV], s.LXI, 1963, p. 337-348.

15. Gilbert R.P. Some inequalities for generalized axially symmetric potentials with entire and meromorfic associates / R.P. Gilbert // Duke Math. Journal, 1965, v32.

16. Gilbert R.P. Function Theoretic Methods in Partial Differential Equations / R.P. Gilbert? ^AdiderfiicPress, New York, London, 1969, 247p.

17. Джураев А.Д. Об одном случае вырождения эллиптической системы первого порядка на плоскости / А.Д. Джураев // Доклады АН Тадж. ССР, т. 15, №1, 1972, с.3-5.

18. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов / Т.Д. Джураев. - Ташкент, 1979, 238с.

19. Джураев Т.Д^Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов' / Т.Д. Джураев // Современные проблемы математики и её преподавания. Специальный выпуск Учёные записки Худжанского госуниверситета им. академика Б. Гафурова, №2, ч. 1, Худжанд, 2014, с. 147-150.

20. Дадоджонова М.Я. Интегральные представления решений и задача Коши-Рикье для уравнения, полученного итерированием обыкновеннЬг6{ дифференциального оператора первого порядка с внутренней сингулярной точкой / М.Я. Дадоджонова, А.Г. Олимов // Современные проблемы математики и её преподавания. Специальный выпуск Учёные записки Худжанского госуниверситета им. академика Б. Гафурова, №2, ч. 1, Худжанд, 2014, с. 147-150.

21. Келдыш М.Б. О некоторых случаях вырождения уравнения эллипти^с1фгатирачна.границе области / М.Б. Келдыш // ДАН СССР, т.77, №2, 1951! *

22. Кодиров Г.М. Об одном обыкновенном дифференциальном уравнении четвертого порядка, вырождающегося в левой граничной точке / Г.М. Кодиров, II. Раджабов // Современные проблемы математики и её преподавания. Специальный выпуск Учёные записки Худжанского госуниверситета им. академика Б. Гафурова, №2, ч. 1, Худжанд, 2014, с. 172-175. *

23. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / Н.М. Матвеев. - М.: Высшая школа, 1967.

24. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е.И. Моисеев. - М.: Из-во МГУ, 1988, 49с.

25. Михлин,„ QF, - Л^цейные уравнения в частных производных / С.Г. Михлин. - Mi: Высшая школа, 1977.

26. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям / С.Г. Михлин. - М.: ФИЗМАТГИЗ, 1959.

27. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами / Л.Г. Михайлов. - Душанбе, 1963, 183с.

28. Михайлов.ЛХ- Р.б рдцом способе исследования систем обыкновенных дифферепцйа}т£ных; уравнений с сингулярными точками // ДАН России, 1994, т. 336, №1, с. 21-23.

29. Михайлов Л.Г. Интегральное представление решений одного эллиптического уравнения с сингулярным коэффициентом / Л.Г. Михайлов, А. Мухсинов // Матер, межд. конф. «Дифференциальные уравнения у их приложения», поев. 50 - летию образ. ТГНУ и 60 -летию* членаНфрр/АН РТ, профессора Раджабова Н., Душанбе, 1998, с. 58.

30. Мухамадиев Э.М. Об ограниченных решениях обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами / Э.М. Мухамадиев // Матер, межд. конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения», поев. 50 - летию образ. ТГНУ и 60 -летию.членН-КОрр. АЦ РТ, профессора Раджабова Н., Душанбе, 1998, с. 63. " : - •

31. Мухсинов А. О некоторых формулах представления решений многомерных эллиптических уравнений в частных производных с сингулярной линией / А. Мухсинов // Вестник ТГНУ 2009, №1(49), с. 54-58.

32. Мухсинов .А.. О некоторых формулах представления решений многомерны^.элЛ№Йт1ческих уравнений с сингулярными точками / А. Мухсинов // Доклады АН РТ, т. 52, №5, 2009, с. 344-353.

33. Мухсинов А. Многомерное дифференциальное уравнения с сингулярной точкой / А. Мухсинов // Современные проблемы математики и её преподавания. Специальный выпуск Учёные записки Худжанского госуниверситета им. академика Б. Гафурова, №2, ч. I, Худжанд,.2Д14^а Ш5Т198.

34. Нахушев А;М! Задачи со смещением для уравнений в частных производных / А.М. Нахушев. - М.: Наука, 2006, 287с.

35. Олимов А.Г. Общее линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с сингулярной точкой / А.Г. Олимов // Матер, респ. конф. «Теория дифференциальных и интегральных уравнений и их приложения», поев. 20-й годовщине независимости Республики 1%дяЬпсйс!ган, Душанбе, 2011, с. 65-69.

36. Олимов А.Г. Интегральные представления и граничные задачи для одной переопределённой системы, полученной итерированием дифференциальных операторов в частных производных первого порядка / А.Г. Олимов // Современные проблемы математики и её преподавания. Специальный выпуск Учёные записки Худжанского

^ • щ

* V* » * V ' '

госуниверситета им. академика Б. Гафурова, №2, ч. 1, Худжанд, 2014, с. 220.

37. Олимов * А.Г{ .Общее линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с сингулярной точкой / А.Г. Олимов, Н. Охунов // Матер, межд. конф. «Дифференциальные и интегральные уравнения», поев. 60 - летию образ. ТГНУ и 70 - летия академика АН РТ, профессора Раджабова Н., Душанбе, 2008, с. 57-59.

38. Раджабова JI.H. Интегральные представления для одного случая диффере1щиальног9, уравнения третьего порядка со сверхсингулярной точкой / Л!Н:-Раджабова // Материалы межд. науч. конф., поев. 60-летию Т. Сабирова « Дифференциальные уравнения и их приложения», Душанбе, 2000, с. 73-74.

39. Раджабова Л.Н. К теории дифференциального уравнения третьего порядка со сверхсингулярной точкой / Л.Н. Раджабова // Научная конференция «Некорректные и неклассические задачи математической5физики и анализа. » тезисы, Самарканд, 2000, с.72.

40. Раджабова Л.Н. Об одном классе гиперболического уравнения с сингулярными линиями / Л.Н. Раджабова // Вестник национального университета, 2002, №5 (31 ), с. 44 - 51.

41. Раджабова Л.Н. Об одном классе линейных дифференциальных уравнений третьего порядка со сверхсингулярной точкой / Н. Раджабов,/ЛД.,. Раджабова // Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции. Межд. науч. конф., тез. докл., 24-31 мая 1992г, Самара, 1992, с. 207 - 208.

42. Раджабова Л.Н. К теории одного уравнения третьего порядка со сверхсингулярной точкой / Л.Н. Раджабова // Тез. докл. межд. научн. конф. «Вырождающиеся уравнения и уравнения смешенного типа», 23 — 25 ноября. 1993г., Ташкент, с. 145.

43. Раджабова ■ "JJ.Hí ;0 ! некоторых случаях для одного линейного дифференциального уравнения третьего порядка с сингулярной точкой / Л.Н. Раджабова // Международная конференция по математическому моделированию, 15-19 сентябрь 1994, тез. докл., Якутск, с. 53 - 54.

44. Раджабова Л.Н. Некоторые случаи для одного класса линейных уравнений треть^щлррядка с сингулярной точкой / Л.Н. Раджабова // ДАН Республики Таджикистан, Душанбе, 1999, т. 17, №4, с. 41 - 49.

45. Раджабова Л.Н. Интегральные представления для одного класса линейных уравнений со сверхсингулярной точкой / Л.Н. Раджабова // Труды Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физике» (МДОЗ МФ - 2000). Орел, 2000,.28 май - 2 июня, с. 370 - 373.

46. Rajabova foNí Thb Explicit Representation of Manifold solution for a third order equation with singular point / L.N. Rajabova // Boundary Value Problems, Integral Equations and Related Problems, World Scientific, New Jersey, London, Hong Gong, 2000, P. 150 - 154.

47. Раджабова J1.H. Исследование одного класса двумерного интегрального уравнения с фиксированными сингулярными ядрами, связанное с гиперболическими уравнением / Н. Раджабов, JI.II. Раджабова // ДАН России, 2003, т.391, №1. с.20 - 22.

48. Раджабова JI.H. К теории одного класса двумерного немоделыюго интегрального ,,; «уравнения Вольтерровского типа со сверхсингулярйыми граничными линиями в ядрах / Н. Раджабов, Л.Н. Раджабова // Дан России, 2005, том 400, №5, с. 602-605.

49. Раджабова Л.Н. Об одном общем интегральном уравнении типа Вольтерра с одной сингулярной и одной сверхсингулярной линиями / Л.Н. Раджабова // Труды XII Международного симпозиума "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» ( МДОЭМФ-f'20.05 ^Харьков-Херсон, 2005, с. 303 - 306.

50. Раджабова Л.Н. . Об одном общем интегральном уравнении типа Вольтерра со сверхсингулярными линиями / Л.Н. Раджабова // Вестник национального университета, Душанбе, 2005, №2, с. 116-123.

51. Раджабова Л.Н.. К теории одного класса гиперболического уравнения с сингулярными линиями / Л.Н. Раджабова // ДАН РТ, 2006, т. 49.,

52. Раджабова ' Л.Н. Об" одном классе модельного гиперболического уравнения с двумя граничными особенными линиями / Л.Н. Раджабова // Материалы научной конференции «Математика и информационные технологии», посвященной 15-летию независимости Республики Таджикистан. Душанбе, 27 октября 2006, с. 66-68.

53. Раджабова . Л.Н. . Об одном общем двумерном интегральном уравненигНгипа'ТЗ^ьткфра с особенностями на границе области / Л.Н. Раджабова // Вестник ТГНУ. Серия естественных наук. Душанбе, 2007, №3, (35), с. 30-38.

54. Раджабова Л.Н. К теории одного класса двумерных интегральных уравнений Вольтерра с внутренними особыми линиями / Л.Н. Раджабова // Вестник ТНУ. Серия естественных наук. Душанбе, 2010, №3, (59), £,/48-53.. ,

55. Раджабова JI-." Н! 'О некоторых случаях одного двумерного интегрального уравнения типа Вольтерра с сильными особенностями на границе области / Л.Н. Раджабова // Международная научная конференция « Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений и информатики », посвященной 70 -летию акад. АН 3. Д. Усманова. Материалы Душанбе, 24-25 августа 2007, сг9497:_; •:

56. Rajabova L. Investigation one class of two - dimensional conjugation integral equation with fixed singular kernels in connection with hyperbolic equation / L. Rajabova // Abstracts of the International Conference «Inverse Problems: modeling an Simulation » held on may 26-30, 2008 at Oludeniz, Fethiye, Turkey, p. 158-159.

57. Lutfya Rajabova. A study about one kind of two dimensional Integral Equation of Volterra type with two interior singular lines / L. Rajabova // Proceedings-of the Л th International ISAAC Congress « Progress in Analysis and its applications ». World Scientific. 2010, P. 96 - 104.

58. Lutfya Rajabova. Theory of a class of two - dimensional Volterra type integral equation with two super - singular lines / L. Rajabova // 6-th International ISAAC Congress, Middle East Technical University. Ankara, Turkey. Abstracts. 13-18 August 2007. pp. 35-36.

59. Раджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых^ дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями / Н. Раджабов. - Душанбе, ч. 4. 1985.

157 с.

60. Rajabov N. Integral representations and boundary value problems for some linear elliptic system of second order with regular and singular coefficients // Presiding International Conference "Complex Analysis and Applicatioos'v Varna,'- May 10-18, p. 431 -441.

61. Раджабов H. "К теории линейных эллиптических систем второго порядка, для которых вся граница является сингулярной линией// Математический вестник (Third international symposium-complex analysis and applications), Herceg-Novi, Yugoslavia, May 23-29, 40(1988), 301-307.

62. Раджабов^Н. К теории обыкновенных дифференциальных уравнений со сверхсишгулярной • точкой / Н. Раджабов, В.В. Шевчук // ДАН ТаджССР, 1989, т. 32, №8, с. 506 - 510.

63. Раджабов Н. Об одном классе линеных гиперболических уравнений четвертого порядка с двумя сингулярными линиями / Н. Раджабов // Вестник Таджикского госуниверситета, 1990, №5, с. 3-9.

64. Rajabov N. Linear conjugate boundary value problems for the first order linear .ordmary ;-system differential equation with singular and supersingular coefficients / N. Rajabov // Abstract of Plenary and invited Lectures Delivered at the second ISSAC Congress, Fukuoka, Japan, August 16-21.

65. Rajabov N.R. Introduction to ordinary differential equations with singular and super-singular coefficients / N. R. Rajabov // Dushanbe, TSUN, 1998,

158 p.

Г < * » t* ч

66. Раджабов ЧН. :Иитегральные представления и задачи типа Коши для сверх сингулярного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с комплексно-сопряженными характеристическими корнями / Н. Раджабов // ДАН РТ, 1998, т. 10, № 41.

67. Раджабов Н. Обобщенные задачи типа линейного сопряжения для общей линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений-ггервога^порядка с одной сингулярной и сверхсингулярной точкой / Н. Раджабов // Труды 9-го международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (МДОЗ МФ-2000), Орел, 29- мая-2-июня, с.367-369.

68. Раджабов Н. Задачи типов линейного сопряжения для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с одной сингулярной и супер сингулярной точкой / II. Раджабов // ДАН РТ, 1999, т. XLII, № 4, с. 31 - 34.

69. Раджабов Н. Интегральные представления для обыкновенных линейных, дифференциальных уравнений второго порядка с сингулярной и- супер 'сингулярной точкой / Н. Раджабов // ДАН РТ, 2000, т. XLIII, №3, с. 33-39.

70. Раджабов Н. Интегральные уравнения типа Вольтера с фиксированными граничными и внутренними сингулярными ядрами и их приложения / Н. Раджабов. -Душанбе, 2007, 222 с.

71. Раджабов Н. Об одном методе представления многообразия решений общего* лйнсйнопУуравнения четвертого порядка гиперболического типа с сингулярными коэффициентами / Н. Раджабов, С.С. Ганиев // Тадж. гос. Ун-т им. В. И. Ленина. Душанбе, 1988, т.34, №11(559), 15 с.

72. Раджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи для общего линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с сингулярной точкой / Н. Раджабов // В межд. Сб. статей.«Дифференциальные и интегральные уравнения» вып. 3, изд-во

f. kj- «i» * - <L V • • '

ТГУ, с. 43-55S- ■

73. Раджабов Н. Об одном классе линейного дифференциального уравнения третьего порядка с супер сингулярной точкой / Н. Раджабов, Л. Раджабова // В трудах международной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики и специальные функции» Самара, 1992, с.207-208.

74. Раджабов^Н* :ОбыЦйоренные дифференциальные уравнения высших порядков со сверхсингулярной точкой / Н. Раджабов // Изв. АИ Республики Таджикистан, №1-2(81), 1994, с. 4-9.

75. Раджабов Н. Системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с п сингулярной точкой / Н. Раджабов // Международная конференция «Дифференциальные уравнения с сингулярным^ коэффициентами» Душанбе, 1996, с.69.

76. Раджабов Н. 'К теории одного класса системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с одной сингулярной точкой / Н. Раджабов, С.С. Ходжаев // Международная конференция «Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами» Душанбе, 1996, с.74.

77. Раджабов ,Н. Свойство решения одного класса нелинейной сингулярной ^сйотеМы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка на особой точке / Н. Раджабов // Материалы научно-теоретической конференции профессорско-преподавательского состава Таджикского Коммерческого Института, Душанбе, 1996, с. 770-773.

78. Раджабов Н. Свойство решения одного класса нелинейного обыкновеццрщч дифференциального уравнения второго порядка с

сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами на особых точках / Н. Раджабов // Тезисы международной конференции по дифф^}С1щиашлцл^[-.уравнением, Киев, 1997.

79. Раджабов Н." "Задачи типа Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с одной сверхсингулярной точкой / Н. Раджабов // Научная конференция дифференциальное уравнения с частными производными и их приложения, Курган-Тюбе Таджикистан, 1997, с. 46-47.

80. Rajabov N. Higher ordinary differential equation with super-singular points / N. Rajabov; /?4\6$tract ISAAC Congress, New York, University of Delaware USA, 1997.

81. Rajabov N. Higher order ordinary differential equation with singular and super singular coefficients / N. Rajabov // Seventh International Scientific Kravchuk Conference, Kyiv, 1998, p. 425.

82. Rajabov N. Linear conjugate boundary value problems for the second order linear дгсЦдагу differential equation with super-singular coefficients / N. Rajabov// International congress of Mathematicians, Berlin, 1988, p. 186.

83. Rajabov N. Higher ordinary differential equation with super-singular points // Partial differential and Integral equations / N. Rajabov // Kluwer Academic Publishers, 1999.

84. Rajabov N. Linear conjugate boundary value problems for the first order linear ordinary system differential equation with singular and super-singuliF (ftefiicieiit^'// Partial differential and Integral equations / N. Rajabov // Abstract of Plenary and invited Lectures Delivered at the second ISAAC Congress, Fukuoka Japan, 1999, p. 16-21.

85. Rajabov N. Linear conjugate boundary value problems for the general first order linear ordinary system differential equation with singular and supersingular points // Partial differential and Integral equations / N. Rajabov // Abstract (fJbird^Eujropean Congress of Mathematics», Barcelona, 2000, 8/7. .....

86. Раджабов H. Свойство решения одного класса нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами на особых точках / Н. Раджабов // Conference Materials «VIII International Scientific Kravchuk Conference», Kyiv, 2000, p. 178.

87. Rajabov NT Linear bonjugate boundary value problems for the first order ordinary system of linear differential equation with singular and supersingular coefficients // Partial differential and Integral equations / N. Rajabov // Proceeding of the Second ISAAC Congress, Kluwer Academic Publishing, 2000, p. 175-183.

88. Раджабов H. Об одном методе решения немодельного гиперболического ^уравнения четвертого порядка с сингулярными линией / Н. Раджабов,' С.С. Ганиев // ДАН РТ, 1991, т. 34, № 1-6, с. 1013.

89. Раджабов Н. Задача типа линейного сопряжения для линейной системы первого порядка с одной супер сингулярной точкой / Н. Раджабов, Г.М. Кодиров // Матер, межд. конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения», поев. 50 - летию образ. ТГНУ и 60 -летию чл.-корр. АН РТ, профессора Раджабова II., Душанбе, 1998, с. 46-47. . _

90. РаджаВов^И.' К'теории одного класса модельного обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка с левой граничной сверхсингулярной точкой / Н. Раджабов, Г.М. Кодиров // Матер, респ. науч. конф. «Дифференциальные и интегральные уравнения», поев. 60 - летию образ. ТТНУ и 70 - летию академика АН РТ Раджабова Н., Душанбе, 2008, с. 64-66.

91. Салахихданов M^Gr-Нелокальные задачи для уравнений смешанного типа с сингулярными коэффициентами / М.С. Салахитдинов М. Мирсабуров. - Ташкент, 2005, 223с.

92. Сафаров Д.С. Двояко периодические обобщённые аналитические функции и их приложения / Д.С. Сафаров. - Душанбе, 2012,190с.

93. Carroll R.W. Singular and Degenerate Cauchy Problems / R.W. Carroll, R.E. Showalter. - Academic Press, New York, San Francisco London 1976,333fr-iy :

94. Смирнов M.M. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / M.M. Смирнов. - М.: Наука, 1966.

95. Смирнов М.М. Вырождающиеся гиперболические уравнения / М.М. Смирнов. - Минск: Высшая школа, 1977.

96. Усманов З.Д. К задаче сопряжения обобщенных аналитических функций ^неподвижной особой точкой / З.Д. Усманов // ДАН Тадж. ССР, 1972, т. XV, №6," с. 13-17.

97. Усманов З.Д. Обобщённые системы Коши-Римана с сингулярной точкой / З.Д. Усманов // Математический институт с ВЦ АН Тадж. ССР Душанбе, 1993,224с.

98. Шамсудинов Ф.М. Об одной переопределённой системе уравнений второго, порядка с. сильной особенностью / Ф.М. Шамсудинов // Современные? проблемы математики и её преподавания. Специальный выпуск Учёные записки Худжандского госуниверситета им. академика Б. Гафурова, №2, ч. 1, Худжанд, 2014, с. 269-271.

99. Шевчук В.В. Об одном способе представления решений линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с сингулярной точкой / В.В. Шевчук // Матер, респ. науч. конф. молод, учен. Лбнйнабад/1990, с. 123 - 124.

1 ОО.Янушаускас А.Й. Многомерные эллиптические системы с переменными коэффициентами / А.И. Янушаускас. - Вильнюс, 1990, 178с.

Работы автора по теме диссертации

101.Раджабов Н., Зарипов С.К. Об одном классе модельного обыкновенного дифферйнщалыюро^уравнения второго порядка с двумя граничными сингулярными точками / Н. Раджабов, С.К. Зарипов //Материалы научно-теор. конф., посвященной «800-летию поэта и великого мыслителя Мавлоно Джалолуддина Балхи» и «16-й годов. Независимости РТ». 4.1. -Душанбе, 2007, с. 24-25.

102.Раджабов Н., Зарипов С.К. Линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с двумя граничными сингулярными точками" Л-М , -Раджабов, С.К. Зарипов //Вестник Таджикского государственного национального университета. 2008, №1 (42), с. 37-46.

103. Раджабов Н., Зарипов С.К. Решение немодельного линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с двумя граничными сингулярными точками / Н. Раджабов, С.К. Зарипов //Вестник Таджикского национального университета. 2009, №1 (49), с. 3-14. „•.; о'..'ч

104.Раджабов Н., Зарипов С.К. К теории одного класса немодельного линейного обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка с двумя граничными сингулярными точками / II. Раджабов, С.К. Зарипов // Известия АН РТ. 2009, №1 (134), с. 7-16.

105.Раджабов Н., Зарипов С.К. К теории одного класса немодельного линейного обыкновенного дифференциального уравнения п - го порядка "с йвуМя Граничными сингулярными точками / Н. Раджабов, С.К. Зарипов // Известия АН РТ. 2010, №2 (139), с. 7-17.

106. Зарипов С.К. К теории одного класса немодельного линейного обыкновенного дифференциального уравнения п-го порядка с двумя граничными сингулярными точками / С.К. Зарипов //Вестник Таджикского национального университета. 2010, №3 (59), с. 103-109.

107.Раджабсш:л-Н.}^ Зарипов С.К. Об одном классе линейного гиперболического ' уравнения четвёртого порядка с четырьмя сингулярными линиями / Н. Раджабов, С.К. Зарипов //Вестник Таджикского национального университета. 2011, №7 (71), с. 3-9.

108.Зарипов С.К. Об одном классе линейного гиперболического уравнения четвёртого порядка с четырьмя сингулярными линиями / С.К. Зарипов // Материалы республ. науч. конф. «Теория дифференциальных и интефалГьных ^равнений и их приложения». Душанбе, 2011, с. 35-40.

109. Зарипов С.К. Постановка задач типа Коши для линейного дифференциального уравнения в частых производных четвёртого порядка с четырьмя сингулярными линиями / С.К. Зарипов //Вестник Таджикского национального университета. 2013, №1/3(110), с. 3-7.

ПО.Зарипов С.К. Об одном классе линейного обыкновенного дифференциального^"уравнения второго порядка с п сингулярными точками / С.К. 'Зарипов // Материалы республ. конф. «Современные проблемы прикладной математики и информатики». Душанбе, 2014, с.