Сильная факторизация и интерполяция для пространств аналитических функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Анисимов, Денис Сергеевич

• Анисимов, Денис Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Анисимов, Денис Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Вариант теоремы Гротендика и сильная факторизация операторов на подпространствах аналитических функций в решетках

§1.1 Определения и уточнение рассматриваемых вопросов

§1.2 Вариант неравенства Гротендика для оператора, действующего из подпространства аналитических функций в решетку

§1.3 Оператор, действующий из подпространства аналитических функций пространства L°°(dtdfi) в пространство, удовлетворяющее условию ограниченной аппроксимации

§ 1.4 Вариант неравенства Гротендика для оператора, действующего из подпространства аналитических функций в факторпрострапст

§ 1.5 Вариант теоремы В для оператора, заданного на подпространтве в решетке

§1.6 Следствия из теоремы 3 и теорема о котипе для факторпространства Х/Ха

§1.7 Сильная факторизация

Глава 2. Интерполяция в пространствах, связанных с двойными сингулярными интегралами

§2.1 Определения и известные результаты

§ 2.2 Формулировки теорем

§ 2.3 Доказательство теоремы 1 для левой части шкалы

§ 2.4 Доказательство теоремы 1 для правой части шкалы

§ 2.5 Доказательство теоремы

§ 2.6 Набор результатов о встречавшихся в доказательствах операторах

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сильная факторизация и интерполяция для пространств аналитических функций»

Актуальность темы

Найденное Ж. Бургейном в 1981 г. доказательство аналога теоремы Гротендика для диск-алгебры дало толчок целой серии исследований пространств аналитических функций и операторов в них. Методы, разработанные для этих исследований, оказались применимы и к другим задачам. В частности, с их помощью удалось хорошо понять интерполяционные свойства пространств типа Харди. * Несмотря на 25-летнюю историю, в этой тематике имеются нерешенные актуальные задачи.

Цель работы

1) Перенос на пространства типа Харди варианта теоремы Гротендика, гласящего, что всякий линейный непрерывный оператор из банаховой решетки X в банахову решетку Y естественным образом индуцирует оператор, действующий из Х(£2) в Y{£2).

2) Доказательство варианта теоремы о сильной факторизации щ операторов для пространств типа Харди.

3) Выяснение наличия котипа 2 у факторпространства Х/Хд, где X решетка измеримых функций на окружности (подчиненная минимальным условиям), а Хд - соответствующее пространство типа Харди.

4) Исследование интерполяционных свойств функциональных пространств, связанных с некоторыми классическими операторами ь одномерного анализа Фурье, интерпретируемыми как двойные сингулярные интегралы (в частности, пространств, имеющих отношение к квадратичной функциии Литлвуда-Пэли).

Методы исследования

В работе применялись методы комплексного и гармонического анализа и теории сингулярных интегральных опеаторов. Важную роль сыграли также общие результаты функционального анализа.

Научная новизна

В диссертации впервые доказан вариант теоремы Гротендика о непрерывности оператора на пространстве вида Z(£2) в случае, когда Z - аналитическое подпространство в решетке измеримых функций на окружности. Впервые установлены аналоги теоремы о сильной факторизации для подпространств аналитических функций 2-выпуклой решетки измеримых функций. Доказано, что если X - 2-вогнутая решетка измеримых функций на окружности, то при минимальных условиях (нужных лишь для того, чтобы гарантировать невырожденность пространства Хд) факторпространство Х/Ха имеет котип 2. В такой общности этот результат получен впервые. Впервые доказана if-замкнутость в шкале пространств на окружности с интегральными метриками, состоящих из функций с большими лакунами в спектре, а также аналогичный результат в шкале пространств векторно-значных функций, связанной с квадратичным оператором Литлвуда-Пэли.

Практическая и теоретическая ценность работы

Работа носит теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть применены в смежных задачах гармонического анализа, теории функциональных пространств и теории сингулярных интегралов.

Аппробация работы

Результаты диссертации неоднократно докладывались на совместном семинаре ПОМИ-СПбГУ по линейному и комплексному анализу, а также в Институте им. Шредингера (Австрия, Вена) в рамках программы по анализу под руководством П. Джонса и П. Мюллера весной 2005 г.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в трех статьях [26,27, 28].

Структура и обьем работы

Диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых в общей сложности на 13 парагафов и занимает 83 страницы. Библиография содержит 28 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Анисимов, Денис Сергеевич, 2006 год

1. Акилов Г. П., Канторович J1. В., Функциональный анализ. Наука, М. (1977).

2. Дынькин Е. М., Методы теории сингулярных интегралов II. Теория Литлвуда-Пэли и ее приложения, Коммутативный гармонический анализ 4, Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления, т. 42, ВИНИТИ, М., 1989, с. 105-198.

3. Кисляков С. В., Абсолютно суммирующие операторы на диск алгебре. — Алгебра и анализ 3, No. 4 (1991), 1-77.

4. Кисляков С. В., Шу Кванхуа, Вещественная интерполяция и сингулярные интегралы, Алгебра и анализ 8 (1996), No. 4, 75109.

5. Кисляков С. В., Еще несколько пространств, для которых верен аналог теорема Гротендика, Алгебра и анализ 7 (1995), No.l, 62 91.

6. Кисляков С. В., О ВМО-регулярных решетках измеримых функций, Алгебра и анализ, 14, No. 2 (2002).

7. Никишин Е. М., Теоремы о резонансе для суперлинейных операторов, Успехи математ. наук 25 (1970), No. 6, 129-191.

8. Пич А., Операторные идеалы. Мир, М. (1982).

9. Привалов И. И., Граничные свойства аналитических функций, Гостехиздат, M.-J1., 1950.

10. Стеин И., Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций, Мир, М., 1973.

11. Bourgain J., New Banach space properties of the disc algebra and H°°. Acta Math. 152 (1984), 1-48.

12. Bourgain J., Bilinear forms on H00 and bounded bianalytic functions. Trans. Amer. Math. Soc. 286 (1984), 313-337.

13. Bourgain J., Some remarks of Pisier's approach to interpolation, Israel J. Math. 77 (1992), No. 1-2, 165-185.

14. Coifman R. R., Weiss G., Extensions of Hardy spaces and their use in analysis, Bull. Amer. Math. Soc. 83 (1977), no. 4, 569 645.

15. Gamelin T. W. and Kislyakov S. V., Uniform algebras as Banach spaces. In: Handbook of the geometry of Banach spaces, Vol. 1. Elsevier Science В. V., 2001. Math. Nachr. 94 (1980), 303-340.

16. Kalton N. J., Complex interpolation of Hardy-type sub spaces. -Math. Nachr. 171 (1995), 227-258.

17. Kislyakov S. V., Xu Quan Hua, Interpolation of weighted and vector-valued Hardy spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 343 (1994), no. 1, 1-34.

18. Kislyakov S. V., Interpolation of Hp-spaces: some recent developments, Function Spaces, Interpolation Spaces, and Related Topics (Haifa, 1995), Israel Math. Conf. Proc., vol. 13, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1999, pp. 102-140.

19. Kislyakov S. V., On BMO-regular couples of lattices of measurable functions, Studia Math. 159 (2003), 277-290.

20. Joram Lindenstrauss and Lior Tzafriri, Classical Banach Spaces II. Function Spaces, Spinger-Verlag (1979).

21. Maurey В., Theoremes de factorization pour les operateurs lineaires a valeurs dans un espace If, Asterisque, vol. 11, Soc. Math. France, Paris, 1974

22. Pisier G., Interpolation between Hp-spaces and noncommutative generalizations. I, Pacific J. Math. 155 (1992), 341 368.

23. Pisier G., A simple proof of a theorem of J. Bourgain, Michigan Math. J., 39 (1992), No. 3, 475-484.

24. Wojtaszczyk P., Banach Spaces For Analysts, Cambridge University Press (1991).

25. Xu Quan Hua, Some properties of the quotient space L1(Tn)/H1(Dn), Illinois J. Math. 37 (1993), no. 3, 437-454.Публикации автора по теме диссертации

26. Анисимов Д. С., Кисляков С. В., Двойные сингулярные интегралы: интерполяция и исправление, Алгебра и анализ, Том 16 (2004), Вып. 5, 1 33.

27. Анисимов Д. С. Вариант теоремы Гротендика для подпространств аналитических функций в решетках. — Зан. научи. семин. ПОМИ 327 (2005).

28. Анисимов Д. С., Кисляков С. В., Сильная факторизация операторов на подпространствах аналитических функций в решетках. Зап. научн. семин. ПОМИ 333 (2006).