Два сюжета из гармонического анализа: квадратичные функции и задача об изоморфизме тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Целищев Антон Сергеевич

• Целищев Антон Сергеевич
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Целищев Антон Сергеевич

1.2 Описание пространства БМО

1.3 Неравенство Литтлвуда-Пэли-Рубио де Франсиа для систем Виленкина

1.4 Неравенства для функций со значениями в банаховых пространствах

1.5 Локальная безусловная структура в пространствах гладких функций

2 Описание пространства БЫй

2.1 Введение

2.2 Неравенство ||f \\в ^ ||f ||вмо

2.3 Неравенство ||вмо ^ ||f||в

2.3.1 Оценка слагаемого Б\

2.3.2 Оценка слагаемого Б2

3 Неравенство Литтлвуда—Пэли—Рубио де Франсиа для систем Виленкина

3.1 Введение

3.2 Вспомогательные утверждения

3.3 Доказательство теоремы

3.3.1 Конструкция разбиения интервалов

3.3.2 Завершение доказательства

3.4 Случай р ^

3.5 Вопросы, которые остаются открытыми

4 Неравенства для функций со значениями в банаховых пространствах

4.1 Введение

4.2 Свойство ЬРК™ в банаховых решётках

4.2.1 Комбинаторная конструкция

4.2.2 Основное рассуждение для скалярных функций

4.2.3 Неравенство для функций со значениями в решётке

4.3 Вывод свойства ЬРЩ из ЬРЯ™ для q > р

5 Локальная безусловная структура в пространствах гладких функций

5.1 Введение

5.2 Некоторые технические упрощения

5.2.1 Вращение гиперплоскости

5.2.2 Изменение набора Т

5.2.3 Манипуляция с коэффициентами Фурье

5.3 Основное рассуждение

5.3.1 Основные идеи и план доказательства

5.3.2 Построение оператора из Ж71'72 (Тп) в гильбертово пространство

5.3.3 Построение оператора в пространство Шу2(Тп)

5.3.4 Заключительные вычисления и противоречие

Заключение

Список литературы

Глава

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Два сюжета из гармонического анализа: квадратичные функции и задача об изоморфизме»

Введение

Две темы, упомянутые в заглавии диссертации, на первый взгляд, разнородны. Однако их роднит существенное использование идей и методов современного гармонического анализа, в особенности теории сингулярных интегральных операторов и родственной теории мартингальных преобразований, неважно, используются ли они непосредственно в наших построениях или лежат в основе обсуждаемых структур и соотношений между ними.

Первая тема связана с теорией Литтлвуда-Пэли, под которой в широком смысле понимают целую серию утверждений об эквивалентности Ьр-нормы функции Ьр-норме некоторой ассоциированной с ней функции со значениями в подходящем гильбертовом пространстве (некоторые начальные аспекты теории Литтвуда-Пэли можно найти, например, в [25, глава 6] и [43, глава 8]). Мы рассмотрим две задачи, относящиеся к этой теории. Одна касается классического (тригонометрического) анализа Фурье, речь в ней идёт об описании пространства функций ограниченной средней осцилляции в терминах квадратичных выражений, связанных с мультипликаторами Фурье из классической теоремы Михлина-Хёрмандера. Другая задача касается нетригонометрического анализа Фурье, в ней речь идёт об аналогах теоремы Ру-био де Франсиа (иными словами, так называемого неравенства Литтлвуда-Пэли для произвольных интервалов) для ортогональных систем Виленкина. Отметим, что теорема Хёрмандера-Михлина и теорема Рубио де Франсиа основаны на классической теории сингулярных интегралов, а в наших обобщениях второй из этих теорем будут использованы мартингальные преобразования.

Вторая тема из заглавия относится к одному варианту общей задачи о том, какие из классических функциональных пространств одинаковы (изоморфны), а какие — различны. В недавней работе [35] был достигнут очень значительный прогресс в этом ключе для пространств гладких функций от нескольких переменных с "вир'-нормой, порождённых произвольными наборами дифференциальных выражений с постоянными коэффициентами. А именно, была доказана некая естественная гипотеза об отсутствии изоморфизма таких пространств пространствам вида С (К). Мы докажем здесь, что во всех таких случаях эти пространства гладких функций очень далеки даже от всех банаховых решёток. Соображения из гармонического анализа очень существенно использовались и в упомянутой работе [35]. Усиление, рассмотренное в диссертации, удалось получить путём введения в игру дополнительного аппарата — теории сингулярных интегральных операторов со смешанной однородностью.

По главам этот материал распределён следующим образом.

Первая часть, то есть вторая глава, посвящена описанию пространства ВМО при помощи проекторов Литтлвуда-Пэли. Отличие от классической ситуации состоит в том, что мы рассматриваем произвольный набор функций, на которые наложены некоторые естественные условия, вместо растяжений одной гладкой функции.

Третья глава посвящена доказательству неравенства Литтлвуда-Пэли-Рубио де Франсиа в контексте, отличающемся от традиционного, а именно, для систем Вилен-кина.

В четвёртой главе мы обращаемся к изучению неравенства Литтлвуда-Пэли-Рубио де Франсиа для системы Уолша для функций со значениями в банаховых пространствах. Мы доказываем неравенство для нетривиального класса банаховых решёток, а также исследуем некоторые простые свойства пространств, для которых выполняется это неравенство.

Наконец, в пятой главе мы изучаем свойства некоторых банаховых пространств гладких функций на торе. Полученные результаты обобщают несколько уже известных теорем о том, что такие пространства невозможно дополняемо вложить в пространство непрерывных функций на компакте С (К).

Актуальность. В диссертационной работе исследуются различные вопросы, связанные с теорией Литтлвуда-Пэли. Описание функциональных пространств в тер-

минах проекторов Литтлвуда-Пэли — важное направление в современном гармоническом анализе, см., например, работы [21, 28, 37], и результаты второй главы диссертации являются частью этого направления.

Кроме того, в третьей и четвёртой главе мы доказываем некоторые аналоги неравенства Литтлвуда-Пэли-Рубио де Франсиа. После того, как доказательство этого неравенства в исходном виде впервые было опубликовано в статье [50], работа в этом направлении велась многими математиками, в том числе Ж. Бургейном, С. В. Кис-ляковым, М. Лэйси, Н. Осиповым — см. работы [20, 11, 39, 44]. Также отметим, что в этих главах доказываются неравенства, связанные с разложением функции по системе Уолша и по общим системам Виленкина — ортогональным системам, играющим большую роль в нетригонометрическом анализе Фурье. Среди прочих, отметим работы [53, 52, 56, 44], посвящённые в том числе подобного рода вопросам.

В пятой главе мы обращаемся к исследованию некоторых линейно-топологических свойств банаховых пространств гладких функций на торе. Эта тема активно изучалась в последней трети XX века, однако, многие относящиеся к ней задачи не решены до сих пор. Процитируем лишь некоторые работы, посвящённые этому направлению: [27, 15, 8, 34, 38, 14, 46, 12, 9, 10, 13].

Методы. В настоящей диссертации используются различные методы современного гармонического анализа. Прежде всего, это методы теории сингулярных интегральных операторов, а также мартингальных преобразований. Кроме того, в последней главе используются также различные методы современной теории банаховых пространств — такие, как применение теоремы Гротендика.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации — новые.

Теоретическая и практическая значимость. Все полученные результаты носят теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы при решении различных задач функционального и гармонического анализа, например, в различных вопросах гармонического анализа на группах Уолша и Виленкина, при описании функциональных пространств в духе теории Литтлвуда-Пэли, а также в исследовании свойств банаховых пространств гладких функций.

Степень достоверности, публикации и апробация результатов. Все полученные в этой диссертационной работе результаты являются математически досто-

верными фактами. Материалы диссертации опубликованы в статьях [ТУ1, Т1, Т2, Т3] в рецензируемых журналах, которые входят в список ВАК. Также результаты были доложены на Санкт-Петербургском семинаре по теории операторов и теории функций ПОМИ РАН, на семинаре по функциональному анализу института математики Польской академии наук и на Конференции международных математических центров мирового уровня в Сочи.

Далее мы введём некоторые основные обозначения, которыми будем пользоваться в диссертации.

1.1 Основные определения и обозначения

Мы будем широко использовать обозначение " <". Для неотрицательных величин А и В запись А < В означает, что выполняется неравенство А < С В для некоторой положительной константы С. Из контекста всегда будет понятно, от каких параметров эта константа может зависеть, а от каких — нет (или это будет явно указано). Кроме того, запись А — В означает, что А < В и В < А.

Зафиксируем следующую нормировку преобразования Фурье функции f, заданной на Е^:

Везде, где не сказано обратное, мы будем подразумевать именно такую нормировку. В том числе, для коэффициентов Фурье функции, заданной на торе, мы также будем использовать такую нормировку:

В настоящей диссертации пойдёт речь о различных функциональных пространствах, прежде всего — о пространствах Ьр. Чаще всего из контекста будет ясно, на каком множестве заданы встречающиеся функции, поэтому мы не будем указывать это явно в обозначениях (исключение составляет лишь глава 5). Однако, иногда нам понадобятся пространства функций, действующих в некоторое банахово

где п е ЪЛ.

пространство X — так называемые пространства Бохнера, которые мы будем обозначать символом ЬР(Х). Отметим, что подробная информация об этих пространствах содержится в книге [29]. В частности, например, через ЬР(£2) в главе 3 будет обозначено пространство £2-значных функций /, заданных на отрезке [0,1], таких, что

II/(-)И* р ир.

Кроме пространств Ьр, в диссертации также пойдёт речь о пространстве ВМО. Это пространство задаётся полунормой

1 Г \

х) —

/}ВМО = вир (-у \/(х) - /<\рйх^

Я 431 ^

где супремум берётся по всем кубам 3 со сторонами, параллельными осям координат, а /я — среднее функции / по кубу 3. Отметим, что это определение не зависит от выбора числа р ^ 1 — это следует из классического неравенства Джона-Ниренберга (см., например, [43, стр. 185]).

Для всякого числа р, 1 < р <8, символом р мы будем обозначать сопряжённый

/ р

показатель: р = .

1 р—1

Мы также будем использовать обозначение N0 для множества {0,1, 2,...}.

Результаты четвёртой главы диссертации касаются банаховых пространств (и решёток), обладающих свойством ИМВ. Это ключевое свойство для многих вопросов анализа в банаховых пространствах (см. книги [29, 30, 48]), поэтому приведём здесь его определение. Говорят, что банахово пространство X обладает свойством ИМВ, если для всякого конечного мартингала / = (/п со значениями в X, лежащего в Ьр(Х), и всякого набора чисел (еп), где |еп| = 1, верно неравенство

/ , ^п^/п < Ср|| / |

I ^ ЬР(Х)

п"1 п"1

ЬР{Х)

Это определение не зависит от выбора параметра р, 1 < р <8. Все необходимые нам факты, связанные с этим свойством, будут определены в соответствующих местах четвёртой главы.

Далее мы приведём формулировки основных результатов настоящей работы, а также некоторые основные определения. Все доказательства излагаются в четырёх последующих главах.

1.2 Описание пространства БЫС

Вторая глава диссертации посвящена описанию пространства ВМО при помощи разложения Литтлвуда-Пэли. Коротко опишем историю этого вопроса.

В работе С. В. Бочкарёва [1] доказывается следующее утверждение.

Теорема. Пусть {Уп} — ядра Валле-Пуссена на окружности, Qo = 1, Qn = У2п — У2п-1 при п ^ 1. Для f е Ь1 положим

\f \\в = вир ( т1 | 2 I f (№п(х — ¿х^! .

I Ч11 Л

Тогда эта норма эквивалентна величине \\f \\вмо. Напомним, что ядра Валле-Пуссена определяются формулой

Уп(х) = (1 + в2тпх + в-2тпх)Кп(х),

где Кп — ядра Фейера на окружности.

Отметим, что большая эффективность этой теоремы в различных тонких вопросах теории тригонометрических рядов была продемонстрирована С. В. Бочкарёвым в работе [2].

В связи с появлением приведённой выше теоремы, естественно возникает вопрос — нельзя ли заменить операторы свёртки с тригонометрическими полиномами Qn, определёнными выше, на некоторые более общие мультипликаторы Фурье? Ответ на этот вопрос был получен автором настоящей диссертации совместно с И. Васильевым в работе [ТУ1] — основной результат этой работы обобщает результат более ранней статьи [3]. Приведём здесь его формулировку.

Теорема 1. Пусть {фп}пех — набор равномерно ограниченных функций на Е^, имеющих все обобщённые производные в смысле Соболева порядков не выше а = [(/2] + 1. Наложим на эти функции следующие условия:

1) Ипе1 Фп(х) " 1 для всех х Ф 0;

2) виррфп с {х е Е : 2п-1 ^ |х| ^ 2п+1};

3) (2-пЛ \ |Бафп(С)|2(С)1/2 ^ К2-п|а| для 0 ^ |а| ^ а.

Здесь К — константа, которая не зависит от п. Определим оператор Ап/ := гфп/ и норму

}/Цд := вир Г V |Ап/(х)|2^х) { .

Здесь рассматривается супремум по всем кубам 3 (с гранями, параллельными координатным плоскостям), а через /(3) обозначена длина ребра 3.

Тогда для всякой интегрируемой функции / выполняются неравенства С1} /||д < II/||ВМО < С2||/1|д, где С1 и С2 — некоторые положительные константы.

Приведённая теорема сформулирована для функций на К^, однако аналогичное утверждение верно и для функций на Т^, и для д = 1 оно действительно является обобщением теоремы о ядрах Валле-Пуссена. Отметим, что накладываемые здесь условия на набор функций {фп} аналогичны условиям из теоремы Хёрмандера-Михлина о мультипликаторах (формулировку которой можно найти, например, в книге [23]), и, кроме того, теорему 1 можно рассматривать в духе различных теорем о "векторнозначных мультипликаторах" (см., например, работу [45]).

Основными методами, используемыми при доказательстве теоремы 1, являются методы теории сингулярных интегральных операторов. Как уже отмечалось, теорема 1 новая и опубликована в совместной с И. Васильевым работе [ТУ1].

1.3 Неравенство Литтлвуда—Пэли—Рубио де Франсиа для систем Виленкина

Третья глава диссертации посвящена доказательству неравенства Литтлвуда-Пэли-Рубио де Франсиа для систем Виленкина. Здесь мы приведём необходимые определения и сформулируем основную теорему, доказательство которой будет изложено в третьей главе.

Пусть {I]}зРг — набор попарно не пересекающихся отрезков в Z, а / — функция, заданная на Т. Через Р] обозначим оператор, определяемый соотношением (Р]/) = XI^/, где / — преобразование Фурье функции / (то есть попросту последовательность коэффициентов Фурье). В своей работе [50] Рубио де Франсиа доказал, что при р ^ 2

выполняется следующее неравенство:

1/2

р> f 12)'11 <"

з

р-

р

Напомним, что использованное здесь обозначение А < В означает, что левая часть неравенства не превосходит правой, умноженной на некоторую константу. Здесь эта константа не зависит от набора интервалов {/з-} и функции f.

По двойственности, несложно видеть, что такое неравенство эквивалентно следующему:

л < км

1/2 2/

р

з з

1 < р < 2, (1.1)

где функции Лз таковы, что вирр Л с /з-.

Мы докажем аналогичное неравенство для систем Виленкина. Опишем построение функций Виленкина на отрезке [0,1].

Пусть {,рг}88"1 — последовательность натуральных чисел, каждое из которых не меньше, чем 2. Обозначим произведение р1 р2 ...рг через тг (и будем считать, что т0 = 1). Разделим отрезок [0,1] на р1 равных отрезков и через г1 обозначим функцию, равную е2жгк/р1 на к-ом отрезке (мы считаем, что нумерация отрезков начинается с нуля). Далее, с каждым из полученных отрезков проделаем аналогичную операцию: разделим его на р2 частей и через г2 обозначим функцию, равную е2пгк/р2 на к-ой части. Повторяя эти операции, получаем последовательность функций тг, являющихся аналогами классических функций Радемахера. Все функции из системы Виленкина являются произведениями построенных обобщённых функций Радемахера. А именно, всякое число п е N0 (этот символ обозначает множество целых неотрицательных чисел) запишем в " (т)-ичной системе счисления", то есть представим в виде п = а1 + а2т1 + ... актк-1, где 0 < аг < рг — 1. Отметим сразу, что для такой (т) -ичной записи нам будет удобно использовать следующее обозначение:

/ тк-1 ...

п „

У ак ...

В таком случае, функция Виленкина /шп равна т^1 т22 ... т^. Описанное представление и нумерация систем Виленкина содержится, например, в работе [53].

р

Приступим теперь к формулировке основного результата. Мы будем считать, что последовательность р^ ограничена: pi < М для некоторого М > 2. Такие системы Ви-ленкина называются ограниченными. Это существенное предположение для наших рассуждений, как будет видно из дальнейшего. Символом / обозначим последовательность коэффициентов разложения / по системе Виленкина: /(п) = (/, ип) = \/и}п. Ясно, что тогда / = /(п)»п (в случае, если / е и2).

Теорема 2. Пусть {} — набор попарно не пересекающихся конечных интервалов в М0, а функции / таковы, что вирр / с 13 (таким образом, каждая функция / — полином Виленкина). Тогда при 1 < р < 2 справедливо следующее неравенство:

\ 1/2 |2Х

V 4 5 ||(2|/.|2)

Теорема 2 новая и опубликована в работе [Т1]. Отметим, что соответствующее утверждение для функций Уолша (которые являются частным случаем функций Виленкина — когда все р,1 равны 2) было доказано в работе [44]. Однако, оказалось, что основное комбинаторное построение из статьи [44] напрямую на случай систем Виленкина не обобщается, поэтому несколько лет теорема 2 оставалась открытым вопросом.

Кроме того, классическое неравенство Рубио де Франсиа (1.1) было позднее доказано и для р = 1 Бургейном в работе [20], а также для всех р е (0, 2] Кисляковым и Париловым в работе [11]. Некоторые замечания на этот счёт в контексте систем Виленкина также можно найти в третьей главе настоящей диссертации (и в работе

[Т1]).

Основными методами доказательства теоремы 2 являются как стандартные "мар-тингальные" инструменты (такие как оценки квадратичной функции), так и специфические методы, связанные с функциями Виленкина, которые, в частности, разрабатывались в статьях [52, 53]. Кроме того, важную роль в доказательстве играет правильное обобщение комбинаторной конструкции из работы [44].

р

1.4 Неравенства для функций со значениями в банаховых пространствах

В четвёртой главе диссертации исследуется обобщение неравенства Литтлвуда-Пэли-Рубио де Франсиа для функций Уолша, доказанное в работе [44], на случай функций, принимающих значения в некоторых банаховых пространствах. Коротко опишем историю вопроса и приведём формулировки утверждений, доказательству которых будет посвящена глава 4.

Как мы уже упоминали выше, аналог неравенства Литтлвуда-Пэли-Рубио де Франсиа для функций Уолша (напомним, что функции Уолша являются частным случаем функций Виленкина, которые были определены в предыдущем параграфе — достаточно подставить все рг = 2) был доказан в работе [44]. Сформулируем его ещё раз, теперь для р ^ 2: если {13} — набор попарно не пересекающихся отрезков в М0, то для всякой функции Л е Ьр[0,1] выполняется неравенство:

(21 р. Л l2)

1/2 2/

< \\Л\\ьр. (1.2)

ьр

Наша цель — обобщить это неравенство на функции Л, принимающие значения в некотором банаховом пространстве X.

Обозначим через последовательность функций Радемахера (их не стоит путать с функциями Тк, использующимися при определении функций Уолша; это другая "копия" последовательности функций Радемахера, и можно считать, что они определены на некотором другом вероятностном пространстве П). Если X — банахово пространство, а Л — X-значная функция, то аналог неравенства (1.2) имеет следующий вид:

12Л Шн»«, <Л I"" >• (1-3>

Символом ИлЛХ обозначено замыкание в Ьр(П; X) множества X-значных функций вида

к

2 £з (и)хз, хз е X.

з=1

Несложно видеть, что из неравенства Хинчина-Кахана (см., например, [29, стр. 191]) следует, что определение пространства RadX не зависит от р, если 1 < р <8. Кроме

того, из неравенства Хинчина следует, что для X = К неравенства (1.2) и (1.3) равносильны.

Приведём теперь следующее определение (из работы [Т2]).

Определение. Будем говорить, что банахово пространство X обладает свойством ЬРИ^, если неравенство (1.3) выполняется для всякой функции / е ЬР(Х).

Это естественный аналог свойства ЬРИ^, которое было аксиоматизировано в работе [17], для контекста функций Уолша. Свойство ЬРИ^ (которое естественно обобщает неравенство для стандартного преобразования Фурье из работы [50] на случай ба-наховозначных функций) изучалось в том числе в работах [31], [49]. В настоящей диссертации мы докажем аналоги результатов из работы [49] для функций Уолша. Перейдём теперь к конкретным формулировкам результатов.

Теорема 3. Если X — такая банахова решётка, что ассоциированная с ней 2-вогнутая решётка Х(2) является банаховой решёткой со свойством ПИБ, то X обладает свойством ЬРИ^ для 2 < р <8.

Напомним, что решётка X(2) задаётся следующей нормой:

!х! Хр2) || х | ! *

Она действительно будет являться банаховой решёткой, если решётка X 2-выпукла. Более подробную информацию о банаховых решётках можно найти в книге [40], а все необходимые определения будут приведены в главе 4.

Теорема 4. Если X — банахово пространство, обладающее свойством ЬРИ^ для некоторого р ^ 2, то X также обладает свойством ЬРИ^ для всякого д > р.

Обе теоремы 3 и 4 новые и опубликованы в работе [Т2]. Основными методами, используемыми при их доказательстве, являются как стандартные методы оценок для мартингалов со значениями в банаховых пространствах, так и специфическая комбинаторная конструкция, связанная с функциями Уолша и приведённая в работе

[44].

Отметим также, что, по всей видимости, аналогичные результаты можно получить и для более общих систем Виленкина вместо системы Уолша (используя более

громоздкую комбинаторную конструкцию из работы [T1]). Однако, мы оставляем этот вопрос за рамками настоящей диссертации — отчасти для того, чтобы сделать изложение более ясным, отчасти чтобы более явно продемонстрировать методы, позволяющие обобщать неравенства нетригонометрического гармонического анализа на функции со значениями в банаховых пространствах.

1.5 Локальная безусловная структура в пространствах гладких функций

В пятой главе диссертации исследуются некоторые свойства банаховых пространств гладких функций на многомерном торе. Опишем историю этого вопроса и приведём основные формулировки.

Хорошо известно, что при n ^ 2 пространство Ck(Tn), то есть пространство k раз непрерывно дифференцируемых функций на торе Tn, не изоморфно пространству C(Tn). Этот факт был впервые анонсирован в работе [27], а позднее появилось множество его обобщений (см. работы [15, 8, 34, 38, 14, 46, 12, 9, 10, 13]). Однако наиболее общий и естественный контекст был рассмотрен только в довольно недавней работе [35] (см. также препринт [36] для двумерного случая).

Для мультииндекса a = (ai,... ,an) е Z™ символом Da обозначим дифференциальный моном ^ ... (отметим, что dzl = 2nilzl, z е T). Зафиксируем набор дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами T = {Ti, T2,... ,Tj }, то есть каждый из этих операторов является линейной комбинацией различных дифференциальных мономов Da. Число ai + ... + an называется порядком монома Da, а порядком оператора Tj называется наибольший из порядков мономов, входящих в его состав.

Рассмотрим следующую полунорму на тригонометрических полиномах /:

II/IIt = max \\Tjf lie(Tn). i^k J

Пространство, порождаемое этой полунормой (то есть при помощи факторизации по ядру и пополнения) будем обозначать через CT(Tn). Например, если T — это

множество всех дифференциальных мономов порядка не более к, то определённое нами пространство совпадает с Ск (Тп).

Пространства Ст(Тп) изучались уже в работах [9, 10]. В частности, там было доказано следующее утверждение. Предположим, что порядок каждого оператора Т} не превосходит к. Исключим из каждого из операторов Т} мономы, порядок которых строго меньше к. Если среди оставшихся старших частей операторов 7 есть хотя бы две линейно независимые, то пространство Ст(Тп) не изоморфно дополняемому подпространству пространства С(Б). (Здесь Б — произвольное несчётное компактное метрическое пространство. По теореме Милютина, все такие пространства С (Б) изоморфны друг другу.) Однако, в случае, если все старшие части отличаются друг от друга умножением на константу, ситуация оставалась неясной.

После этого, в статье [35] было доказано обобщение сформулированного выше утверждения об отсутствии изоморфизма. Чтобы привести его здесь, нам понадобится понятие смешанной однородности.

Зафиксируем некоторый шаблон смешанной однородности, то есть гиперплоскость Л в Кп, пересекающую положительные координатные полуоси. Уравнение такой гиперплоскости имеет вид (х,р) = 1 для некоторого вектора р с положительными координатами. Будем называть такую гиперплоскость допустимой, если всякий муль-тииндекс а, такой что моном Оа участвует в одном из операторов Т}, лежит под Л или на ней. Это равносильно тому, что выполняется следующее неравенство:

N

2] р з а < 1*

3 = 1

Теперь определим старшую часть оператора Т} как линейную комбинацию всех дифференциальных мономов, участвующих в Т}, чьи мультииндексы лежат на Л, а младшую часть — как линейную комбинацию всех оставшихся мономов, входящих в состав Т}. Старшую часть обозначим через , а младшую — через т}. В статье [35] доказывается, что если среди старших частей есть хотя бы две линейно независимые, то пространство Ст(Тп) не изоморфно дополняемому подпространству пространства С (Б).

Отметим, что в случае, когда все операторы, входящие в набор Т — мономы, тео-

рема о неизоморфности дополняемому подпространству пространства C(S) — не самое общее известное утверждение. Приведём здесь некоторые определения из теории банаховых пространств. Говорят, что банахово пространство X имеет локальную безусловную структуру, если существует такая константа C > 0, что для всякого конечномерного подпространства F с X найдутся банахово пространство E с 1-безусловным базисом и два линейных оператора R : F ^ E и S : E ^ X, такие что SRx = x для всякого x p F и ||S|| • ||R|| < C. Напомним также, что базис {en} называется 1-безусловным, если для любых чисел en, таких что |en| < 1, и всякой финитной последовательности (an) выполняется неравенство || < || anxn||. Отметим, что, вообще говоря, существование локальной безусловной структуры не сохраняется при переходе к замкнутым подпространствам (однако, оно сохраняется, если подпространство дополняемо). Известно, что пространство X обладает локальной безусловной структурой тогда и только тогда, когда его второе сопряжённое вкладывается дополняемо в банахову решётку (см., например, [33]).

В работе [12], в случае, когда все операторы Tj — дифференциальные мономы, были доказаны следующие утверждения. Если, опять же, среди старших частей Tj найдутся хотя бы две линейно независимые (поскольку все Tj — это мономы, старшая часть каждого их операторов Tj равна либо нулю, либо самому оператору Tj), то пространство CT (Tn) не имеет локальной безусловной структуры. Кроме того, если пространство CT(Tn)* изоморфно подпространству пространству Y с локальной безусловной структурой, то Y равномерно содержит пространства ¿8. Это означают, что существуют подпространства Yk в Y, такие что dim Yk = k, и обратимые операторы Tk : Yk ^ ¿8, обладающие свойством ||Tk|| • 11Tk~11 < C. Ввиду того, что пространство C(S)* имеет локальную безусловную структуру, но не содержит пространства ¿8 равномерно, из этих утверждений следует, что CT(Tn) не изоморфно факторпространству пространства C (S).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Целищев Антон Сергеевич, 2022 год

- - - ^

т"1

Поскольку д больше, чем ¿/(2а — ¿), стоящая здесь сумма — это некоторая конечная константа, и таким образом нам нужно оценивать выражение

I/ 11 д • max 11 Д? ¿п(£) | | • 2~па/2 • 2па • 2~па/29•

Для того, чтобы оценить величину | | ¿п(^) 11 29/(9+1), заметим, что выполняется соотношение $п(£) = (£)(в2пгж'? — 1), и потому

8ирр Я С12-1 ^|£|< 2n+1}•

Легко видеть, что для всякого числа 7 ^ а, и х е 0, £ е 8ирр $п верно неравенство

|Д7 [е2пгЖ.? — < / (0)2п(1 •

В самом деле, для 7 = 0 это так, поскольку |е2пгж'? — 1| < |х • £| < 2п/(0), а для 7 > 0 это следствие неравенства [е2пгж'£] < |х|7 < /(0)(2~п)7~1.

Используя полученную выше оценку и правило Лейбница, мы получаем следующее неравенство.

а

К. зд! < /(0) 2 ^п(е)| • 2-(-г-1) •

Г"0

Это позволяет нам заключить, что

||Я? б"(0!^ < l(Q) • тах 2-п(а-г-1)|^?)||^

3 9+1 3

Стоящую здесь норму оценим при помощи неравенства Гёльдера:

к•ыои# = Г ^пО& (е

9+1 /2п-1^|£|<2п+1

.9/(9+1)

< |{2п-1 < |е | < 2п+1}|1/(9+1^] ^ ^п(е)|2(е)

Первый сомножитель здесь не превосходит (с точностью до константы) величины 2^/(9+1), а второй — величины (2"^-2пг)9/(9+1), благодаря третьему условию доказываемой теоремы. Поэтому мы получаем неравенство

А ~п<1 -пг

^п(е)|^ < 2^ • 2-г

3 9+1

Наконец, собирая вместе полученные оценки, мы видим, что правая часть неравенства (2.14) оценивается сверху величиной 2п1 /||п.

Чтобы завершить оценку выражения (2.13), остаётся вывести аналогичное неравенство для выражения

I/ * Рп(—и)||Бп(и — х) — Бп(и)|(и.

С°

Заметим, что С0 состоит из фиксированного количества кубов: это количество зависит только от размерности (. Поэтому нам достаточно получить оценку для интеграла по 8, где 8 е С0, то есть для выражения

|/ * Рп(—и)||Бп(и — х) — Бп(и)|(и.

6

Используя основные свойства преобразования Фурье, а также неравенство Гёльдера, мы видим, что

|Бп(и — х) — Бп(и)| < ¿^ЦУБпЦ« < l(Q)Ш^n(£)||l

< l(Q)2n||^п|1 < ¿^^"^Ц^Ь < 2ndl(Q)2n.

Отсюда вытекает следующая оценка:

|/* Рп(—и)||£п(и — х) — ЗД^и < 2па/(0)2п |/* Рп(—и)^

г J¿

1/2

( и) \ опа|£1///0\оп|

г

^ 2па/(0)2п|^|1/^^ |/* Рп(—и)^ / < 2па|^|/(0)2п|/||д < ||/||д/(0)2п^

Отметим, что здесь мы в очередной раз воспользовались леммой 2.1.

Наконец, мы готовы закончить оценку слагаемого В2, а значит и доказательство теоремы:

В2 < 2 |/||д • 1(0) • 2п <||/||д•

2-(п-10)>г(д)

Глава 3

Неравенство Литтлвуда-Пэли-Рубио де Франсиа для систем Виленкина

3.1 Введение

Основная цель настоящей главы — доказать теорему 2. Напомним, что построение функций Виленкина описано в первой главе. Приведём для полноты их альтернативное построение.

Пусть {рг}8"1 — последовательность натуральных чисел, каждое из которых не меньше, чем 2. В таком случае, система Виленкина, соответствующая этой последовательности, — это множество характеров (то есть непрерывных гомоморфизмов в единичную окружность {г е С : |г| = 1}) на группе

С = П ^. ¿"1

Такие системы были впервые введены и изучены Н. Я. Виленкиным в его работе [4].

Обозначим произведение р1р2 .. .р1 через т1 (и будем считать, что т0 = 1). Нам будет удобно считать функции из систем Виленкина заданными на отрезке [0,1] (иногда их считают заданными на полуинтервале, см., например, определения в книгах [5, 54], но в контексте настоящей работы это несущественно) — множество С (с мерой Хаара на С) можно отождествить с отрезком [0,1] (за исключением счётного числа

точек) с помощью отображения

С э (аьа2,...) ^ 2

г= 1

а, ш,-

Здесь мы считаем, что 0 < а, < р, — 1. Нетрудно видеть, что такое отображение сохраняет меру.

Всякая функция Виленкина (отныне мы будем считать их заданными на отрезке [0,1]) представляется в виде произведения обобщённых функций Радемахера: если число п записывается в ш-ичной системе счисления в виде п = а1 + а2ш1 +... ,

где 0 < а, < р, — 1, то функция Виленкина равна г^1 г^2 ... г^. Напомним, что для того, чтобы обозначить тот факт, что число п имеет вышеуказанное разложение в ш-ичной системе счисления, мы используем следующее обозначение:

п

ак

Итак, наша цель — для всякого 1 < р < 2 доказать неравенство

2 4«1(2 |/'|2)

1{2

Здесь функции / таковы, что вирр / с /8, где {/8} — какой-то набор попарно не пересекающихся отрезков в N0. Разумеется, в этой главе под / мы подразумеваем последовательность коэффициентов Виленкина функции /, то есть /(п) =

р

3.2 Вспомогательные утверждения

Пусть к, I е М0 — числа, записывающиеся в (ш)-ичной системе счисления следующим образом:

к = а1 + а2ш1 + ... + а3 ш3_1, I = в1 + в2ш1 + ... + в/

Тогда нетрудно видеть, что произведение функций Wk и w^ — это функция Виленкина Wfc+г, где k + I — число, имеющее следующую (т)-ичную запись:

mj_i ... m1 m0

(aj + в) mod pj ... (a2 + в2) mod p2 (a1 + в1) mod p1;

Через (—k) будем обозначать число, обратное k относительно операции +.

Символом Fk обозначим а-алгебру, порождённую интервалами [jm^1, (j + 1)mfc 1), 0 ^ j ^ mk — 1. В таком случае оператор Ek,

mfc-1

Ek/ =2 (/,wra)wra,

является оператором условного матожидания относительно Fk. Соответствующие мартингальные разности тогда имеют вид

mfc-1

Ak/ = Ek/ — Ek-1/ = J] (f,wra)wra.

Под A0f мы понимаем функцию (/, w0)w0 (то есть попросту функцию, равную / на отрезке [0,1]) Отметим, что ограниченность последовательности {p^} равносильна тому, что фильтрация {Fk} регулярна (то есть для всякого множества e е Fk найдётся множество e1 е Fk-1, содержащее e, меры не более, чем в M раз большей).

Мартингальная квадратичная функция S/ задаётся следующим образом:

S/ =

\

8

2 IAj/12.

j"0

Хорошо известно, что для р > 1 выполняется соотношение ||£/||р — ||/||р (см., например, [54, §2.2]).

Однако, при работе с системами Виленкина, часто оказывается более удобна другая квадратичная функция. Определим операторы Д^г по формуле:

(г+1)т*;_1-1

Дк,г/ = 2 (/'№»)№п, 1 ^ / ^ Рк — 1

п"1тк-1

Квадратичная функция, которой мы будем пользоваться, имеет следующий вид:

8 Рк_1

Г/ = (|Ао/12 + 2 2 Ам/12)

1{2

1-1

Такая квадратичная функция рассматривалась ещё в работе [53]. Там же было доказано, что её ¿р-норма оценивается через ¿р-норму самой функции /. Однако, мы приведём здесь несложное доказательство этого факта для полноты изложения (к тому же, это доказательство дословно работает и для £2-значных функций /).

Лемма 3.1. Для 1 < р <8 и / е Ьр выполняется соотношение ||г/||р — ||/ ||р.

Доказательство. Во-первых, очевидно, выполняется поточечная оценка < г/, поэтому достаточно доказать неравенство ||г/||р < ||р. Для этого для всякого к зафиксируем , 1 < < р^ — 1, и докажем оценку

1{2

(21дк,1к/12) | ^и/|р.

Из этого неравенства следует требуемое, так как г/ представляется в виде корня из суммы квадратов нескольких (не более, чем М) квадратичных функций, стоящих в левой части неравенства.

Рассмотрим набор функций (А1/, Д2/,...) = (/1, /2,...). Заметим, что верно следующее соотношение:

/ = ^т^ Ей_1[и_тк1 Д].

Это соотношение вытекает из того, что = и>т^га и

[/кшк_1, (/к + 1)шк_1 — 1] - /кшк_1 = [0,шк_1 — 1]. Таким образом, мы можем написать:

(2 |Ак,1к /12)1/2| = |(21 Ек_1[и_тк_1 /к] I 2)

1{2

<

(21 д 1 2)

1{2

= 1|

р

р

Р

Мы воспользовались здесь тем, что для произвольных натуральных чисел Пк выполняется неравенство

||{Еп*~ ||{£к

Оно следует из того, что квадратичная функция (мартингальная) от £2-значной функции {Еп*$к} не больше, чем квадратичная функция от }. В самом деле, имеет место неравенство:

8 1/2 п* 1/2

з({^к}) = (22 ДI2) ^ (22 ДI2) = s({Еп*9к}). к .7=0 к ."0

□

Как уже было сказано, эта лемма верна и для скалярных, и для £2-значных функций /. Отметим также, что здесь существенно используется ограниченность системы Виленкина — без этого предположения лемма не верна, что также было показано в работе [53].

Нам потребуется ещё одно несложное свойство операторов Дк,г. Заметим, что, если носитель функции / лежит в множестве вк е ^к-1, то и носитель функции Дк будет содержаться в вк (так как Дк/ = Ек/ — Ек-1/, а операторы Ек и Ек-1 усредняют функцию / по отрезкам из ^к и 1, соответственно). Докажем такое же свойство и для Дк,г.

Лемма 3.2. Пусть вирр / с вк е Тк-1. Тогда вирр Дк,г/ с вк, 1 < I < рк — 1.

Доказательство. Не умаляя общности, можно считать, что вк — один из отрезков длины тк-1, порождающий а-алгебру ^к-1, то есть отрезок вида [?т--11, + 1)т--11). Рассмотрим любой другой такой отрезок в и докажем, что Дк,г/ " 0 на в. Как было сказано выше, функция

р*-1

Дк/ =2 Дк/

г=1

равна нулю на в. Поэтому для доказательства леммы достаточно показать, что функции Дк,г/, 1 ^ I ^ Рк — 1, попарно ортогональны в пространстве Ь2(в).

Для этого в свою очередь достаточно проверить ортогональность в Ь2(в) функций и ип, если п1 е [/1тк-1, (/1 + 1)тк-1 — 1], а п2 е [/2так-1, (/2 + 1)тк-1 — 1]. Такие

функции и>П1 и и>га2 имеют следующий вид:

Г«1 „«2 "к-1 гк _ _ „А „02 „А-1 „¿2 г 1 '2 ... ' к_1 'к , " ' 1 '2 ... ' к_1 'к ,

где а1,..., и в1,..., — какие-то целые неотрицательные числа. По построению, функции г1,..., г^_1 постоянны на е а ортогональность функций „к1 и

¿2

ГдТ на е следует из того, что

Г Г Рк_1 2жг(11-12)з

„к1 гк2 = гк1_12 = е рк " 0.

Л ¿е з=0

□

Нам потребуется аналог теоремы Ганди для систем Виленкина. Благодаря лемме 3.2, мы можем переформулировать теорему Ганди в удобном виде. Доказательство теоремы Ганди для векторнозначных мартингалов приведено в статье [6].

Предложение 3.1. Пусть Т — линейный оператор, переводящий I2-значные функции, заданные на отрезке [0,1], в скалярные. Пусть также область определения Т содержит все "полиномы Виленкина", то есть такие функции /, что Еп/ = / для всех достаточно больших п. Предположим ещё, что выполняются следующие условия.

1. ||Т/1|2 £ ||/1| 2 .

2. Если функция / такова, что А0/ = 0 и вирр Ак/ с ек, где ек е Тк_1, то {Т/ ф 0} с и^ед;.

Тогда оператор Т — слабого типа (1,1) и, следовательно, действует из Ьр(€2) в Ьр при 1 < р < 2.

Из леммы 3.2 следует, что во втором условии этой теоремы операторы Ад можно заменить на А^.

Лемма 3.3. В предыдущем предложении условие 2 можно заменить на следующее: 2'. Если функция / такова, что А0/ = 0 и вирр Ак,г / с ек е для всех 1 < / < рк — 1, то {Т/ ф 0} с и^^.

В самом деле, из леммы 3.2 следует, что, если Ад/ с , то и А^г/ с .

Применяя лемму 3.3, можно получить ограниченность в Тр операторов специального вида, которые понадобятся нам в дальнейшем. Символом $к,г обозначим интервал [/Шк-1, (/ + 1)Шк-1 — 1].

Следствие. Пусть А с N0, Н = {Н7-,к}(.,к)ем2 е Рр(£2). Для всякого элемента е А зафиксируем множество Лд с [1,рк — 1]. Пусть также {а.,к}(.,к)ед — такой набор целых неотрицательных чисел, что {а.,к + ^к,1}(.,к)ел — набор непересекающихся подмножеств М0. Зададим оператор С формулой

СН =2 Дк,гН.,к.

(¿к)еД

Тогда ||СН||р < ЦНЦ^^) при 1 < р < 2.

Доказательство. Так как множества а.,к+^к,г не пересекаются, функции иц * Дк,г(Н.,к) попарно ортогональны. Поэтому мы можем написать:

||СН|2 = 2 Дк,1 Н.,к||2 = 2 ||Дк,1 Н.,к||2 ^ ||Н|2. 0',к)еД (7,к)еЛ

Кроме того, очевидно, для С выполняется условие 2' из леммы 3.3, а значит С — оператор слабого типа (1,1) и действует из Тр(£2) в Ьр при 1 < р < 2. □

Теперь мы готовы перейти к доказательству теоремы 2.

3.3 Доказательство теоремы 2

Нам даны непересекающиеся интервалы = [а8,68) с N0. Доказательство теоремы 2 будет состоять из двух частей: разбиения каждого из интервалов на более мелкие (обобщающее конструкцию из работы [44]) и применения этого разбиения к оценке Ьр-нормы функции 8 /8.

3.3.1 Конструкция разбиения интервалов

Опустим здесь индекс в и опишем разбиение интервала I = [а, Ь). Пусть Ь имеет следующую (т)-ичную запись:

Разобьём сначала интервал [0, Ь) следующим образом: к+1

[0, Ь) = У ^, где ^ = [втт + ... + , вк+1 т + ... + в/т,_1 — 1].

В частности, — это интервал [0,вк+1тк — 1]. Если в/ = 0 при некотором ], то интервал ^ мы считаем пустым. Отметим, что ^ состоит из всех чисел, имеющих следующее (т)-ичное представление:

Эта запись означает, что числа из интервала ^ в (т)-ичной системе счисления представляются в виде вк+1 + ... +в/+1т3 + т3_1 +е3_1т3_2 +... + е1, где е [0, в/ — 1], а £г — любое число в промежутке [0, р^ — 1], 1 ^ г ^ ] — 1. Мы будем пользоваться подобной записью в дальнейшем без дополнительных пояснений.

Число а попадает в один из интервалов ^ — пусть а е 1 ^ £ ^ к + 1.В таком случае, а в (т)-ичной системе счисления записывается следующим образом:

причём а < в*. Для удобства положим ак+1 = вк+1..., = в*+ь Разобьём теперь отрезок [а, вк+1тк + ... + втт + — 1] = [а, +да) х ^ следующим образом:

Ь = в/тт + вк + ... + в1.

(3.1)

а = + ... + втт + а4т4_1 + а4_1 т4_2 + ... + аь

где при 1 < ] < Ь — 1

Л = + ... + ш.,- + (а.,- + + ... + а^ш.,- + р^ш.,-_1 — 1],

а отрезок имеет вид

Л = [ак+1Шк + ... + ат + (а + 1)ш4_1, ак+1Шк + ... + атш4 + в*ш4_1 — 1].

Если а3- = р3- — 1, 1 ^ ] ^ Ь — 1, то отрезок мы считаем пустым. Аналогично, если а4 = в* — 1, то = 0. Опять же, отметим, что отрезок при 1 ^ ^ ^ Ь — 1 состоит из чисел, имеющих следующее (ш)-ичное представление:

- I шк ... ш3 ш,-_ 1 ш,-_2 ... ш0

Л „ I к 3 3 1 3 2 0 |. (3.2)

уак+1 ... аз+1 [аз + 1,рз — 1] * ... >

Отрезок Л в таком виде можно записать следующим образом:

Г | Шк ... ш4_ 1 ш4_2 ... шо , (33)

^¿+1 ... ат [а4 + 1, в* — 1] Итак, мы построили разбиение отрезка I = [а, Ь):

* _ 1

I = {а} и У Л ^ У 3

3.3.2 Завершение доказательства

Будем теперь писать индекс в у интервалов, получающихся при разбиении интер-

вала 15:

1

18 = {а5} и У 3 и У 3

Положим также {а5} =: Ло,«. Каждую функцию / также разобьём в соответствующую сумму:

1

/- " 2 + 2 /з>

*

*

где функции и определяются следующим образом:

Л> = 2 / 0 ^ ^ /¿в = 2 (/<1шп)шп, 1 ^ .7 ^ — 1.

Введём обозначение:

Ям = Ш^Л^ 0 ^ ^ = ЦТ/Л'^ 1 ^ ^ ¿в — 1.

При помощи этого обозначения, перепишем формулу, определяющую функции /в:

1

Л = ^а^ + ^2 (3.4)

Отметим, что ненулевые коэффициенты Виленкина у функций и д.,-^ содержатся в отрезках — ав и — Ьв, соответственно. Используя формулы (3.1), (3.2), (3.3), можно заключить, что эти множества имеют следующий вид (в формулах, приведённых ниже, предполагается, что 1 < ] < — 1):

.„„ т/_1 Ш/_2 ... ш0

</¿3 — ав „ | " I; (3.5)

0 [1,р/ — 1 — а/,в] * ... *

^ — ав „ | "" Ш_2 ... т0 I; (3.6)

0 [1,^ — 1 — а^в]

/ — Ьв „ | - ....../ т/_1 т/_2 ... Ш0|. (3.7)

I п П Гр. — в/,в,р/ —

Отсюда и из формулы (3.4) вытекает соотношение

Pj _1_aj,s в(3,з_1_а43,з

ткз . .. т

0. .. 0

шкв . .. ш^

0. .. 0

шк3 . ..

0. .. 0

Д = Ша^ А070,в + 2 2 + 2 ^Д.,*)

/"1 1=1 1"1

^ ¿в_1 Pj _1

+^ (2 2 А/,г■

/=1 l"pj _вj,s

Воспользовавшись следствием из леммы 3.3, мы можем заключить, что справедливо

неравенство:

- _1 V

2л| *|(221 /- I2+221®- I2)

1/2

1 1 ¿и 1 Уз 8 ¿"0 8 ¿"1

Это выражение можно оценить величиной

8 3"0

(2 21 а,. I 2)'/21, +1(2 2ы2Г

8 ¿"1

= : А + В.

Оценим отдельно величины А и В. Введём обозначение

_ 1

/. = = 2 /3,. + Ша/ ^ У:

3-0 ¿=1

(3.8)

Из формул (3.5), (3.6), (3.1) соответственно, можно заключить, что выполняются соотношения

= Д3^ 0 ^ 3 < — 1;

вЬа,3 _1 _

1"1

_1

ад,

/¿,8" А

¿,8 ^¿3,Аз,3 _ats,s

¿"1

Отсюда следует, что

А

8 Р1 _1 1/2 (I Ао/8 |2 + 2 21 дз,1 / IО I =11§({ш

¿"1 г-1

/8}8)||Р >

где под записью ^/Т({}8) мы понимаем оператор £, применённый к £2-значной функции {}8. Остаётся применить лемму 3.1, заметить, что ||{д8" ||{/Л«11ьр(-£2) и завершить таким образом оценку выражения А.

Выражение В оценивается аналогично. Положим

¿3 _1

¿"0 ¿"1

р

р

Из формул (3.2), (3.3) и (3.7) можно сделать вывод, что выполняются соотношения

¿"0

,¿,8 = Д.,-1 < 3 < — 1.

Отсюда следует, что

В й ||5 ({,«}«)}р й = ||{/.}||£Р(.£2) ,

и теорема 2 доказана.

3.4 Случай р < 1

В этом параграфе мы покажем, что на самом деле из приведённого выше доказательства теоремы 2 можно вывести также некоторое неравенство для р < 1. Чтобы это сделать, нам понадобится понятие мартингальных классов Харди Нр. Вся необходимая информация о них содержится в книге [54]. Отметим, что нужные нам утверждения верны и для скалярных, и для £2-значных классов Харди.

Функция / принадлежит классу Харди Нр, если $/ е Ьр, 0 < р < 2. В случае р > 1, как известно, Нр = Ьр, а для р < 1 классы Харди не совпадают с Ьр. Полагают ||/}нр = ||5/||р (отметим, что для р < 1 выражение || • ||р является только квазинормой, а не нормой).

Сформулируем следующую теорему, которая доказывается аналогично теореме 2.

Теорема 6. В условиях теоремы 1 для интервалов I. = [а.,Ь.) при 0 < р < 2 выполняется неравенство

2 Л ^ й Н^а/ЛЫн^2) + Н^/ЛЫн^2). 8

1 Ь„ Js}s|

р °

Доказательство. Прежде всего, отметим, что для р > 1 эта теорема равносильна теореме 1 — достаточно заменить стоящие в правой части неравенства нормы в классе Харди на нормы в Ьр(£2) и заметить, что !!{'&_/.Ь|ьр(^2) " /Л.^^) "

Покажем теперь, как изменить доказательство теоремы 2, чтобы получить данное неравенство для 0 < р < 1.

Во-первых, отметим, что оператор Т, для которого выполняются условия леммы 3.3, действует из Нр(£2) в ¿р. Это очевидно следует из атомного разложения для классов Харди (опять же, см. книгу [54], в которой содержится соответствующая теория для скалярных классов Нр; для пространств Нр(£2) все соответствующие утверждения, такие как атомное разложение, остаются справедливыми).

Это наблюдение позволяет заключить, что неравенство (3.8) справедливо и в случае 0 < р < 1 (ввиду того, что А/= 7/,в и А/= см. формулы (3.5), (3.6),

(3.7)).

Далее, выражения А и В мы оценили величинами ||7({7Л«)ЦР и ||7({^«}в)|р. Для завершения доказательства теоремы 6 остаётся заметить, что ||7/||р — ||7/||р при 0 < р < 1 (то есть классы Харди для систем Виленкина можно определять также и при помощи квадратичной функции 7). Этот факт известен — учитывая, что верно неравенство 7/ < 7/, он является переформулировкой утверждения о том, что оператор 7 действует из Нр в Ьр. В свою очередь, это верно, поскольку 7 — сублинейный оператор, удовлетворяющий условиям леммы 3.3. Это последнее утверждение проверяется, например, в работе [52] (и, кроме того, там доказывается, что ||7/||р — ||7/||р при р = 1). □

3.5 Вопросы, которые остаются открытыми

Результаты настоящей главы доказываются в предположении ограниченности системы Виленкина. Это естественное предположение во многих вопросах анализа на группах Виленкина — см., например, работы [52] и [53]. Как уже было сказано ранее, ограниченность системы Виленкина необходима для ограниченности оператора 7 в Ьр. Кроме того, из этого предположения вытекает регулярность рассматриваемой нами фильтрации. Тем не менее, в некоторых вопросах от предположения ограниченности удаётся отказаться (см., например, работу [56]). Мы не знаем, верны ли доказанные нами теоремы в случае неограниченных систем Виленкина, однако приведённый в настоящей работе "комбинаторный" подход существенно использует

ограниченность.

Кроме того, мы не знаем, верно ли само неравенство из теоремы 1 при 0 < р < 1. Однако тот факт, что неравенство (1.1) справедливо и для р < 1, позволяет надеяться, что соответствующая теорема верна и для систем Виленкина. Тем не менее, этот вопрос остаётся открытым даже в частном случае — для функций Уолша.

Глава 4

Неравенства для функций со значениями в банаховых пространствах

4.1 Введение

В настоящей главе мы докажем теоремы 3 и 4, сформулированные в четвёртом параграфе первой главы. Напомним, что в обеих этих теоремах речь идёт о свойстве ЬРИ^ для банаховых пространств X, которое заключается в том, что для всякой X-значной функции выполняется неравенство (1.3):

II У! / , ч й ||/).

II ^ ЬР(ЯааХ) ( )

Здесь предполагается, что р ^ 2 — поскольку в противном случае такое неравенство не верно даже для X = К.

Ключевым инструментом для доказательства теорем 3 и 4 будет являться конструкция из работы [44]. Однако, мы будем использовать её не так, как в указанной работе — мы не будем переходить к двойственности, и, таким образом, сможем обобщить доказательство скалярного неравенства на случай функций, принимающих значения в некоторых банаховых пространствах.

Напомним коротко основные факты о функциях Уолша, которыми мы будем поль-

зоваться. Поскольку в предыдущей главе шла речь о более общих функциях Вилен-кина, эти факты (в даже более общем виде) уже были упомянуты, однако, для того, чтобы пользоваться ими в дальнейшем, будет удобно собрать их в одном месте.

Функции Радемахера (стандартные), заданные на отрезке [0,1], определяются следующим образом: rk(ж) = sign sin 2kпж. Для числа n, такого, что n = 2kl + 2k2 + ... + 2km, где fci > k2 > ... > km ^ 0, функция Уолша с номером n определяется как произведение = rkl+1rk2+1... rkm+1. Как известно, функции Уолша образуют ор-тонормированный базис в L2 [0,1]. Для всякой функции f, определённой на отрезке [0,1], символом f будем обозначать последовательность её коэффициентов разложения по этому базису, то есть /(n) = (f, wn) =

Предположим, что числа n1 и n2 имеют следующее двоичное представление:

m m

ni = 2 a2k и n2 = 2 в2j. fc-0 j"0

Мы будем использовать следующее обозначение:

m

ni + n2 = 2((afc + вк )mod 2)2k. fc-0

Легко видеть, что в таком случае выполняется следующее соотношение:

wni w«,2 wni +П2 .

Функции Уолша тесно связаны с двоичными мартингалами. Символом Тк обозначим а-алгебру подмножеств отрезка [0,1], порождённую диадическими интервалами длины 2_к. Нетрудно видеть, что математическое ожидание функции / относительно Тк можно записать в следующем виде:

2k-1

E(f )= 2(f,w>ra.

n"0

Для краткости мы будем использовать обозначение Е/ вместо Е(/|Тк). Обозначим через отрезок [2к_1, 2к — 1] в М0. Мартингальные разности для функции / в таком

случае имеют следующий вид:

Дк/ = Ек/ — Ек _ 1/ = 2 (/,ад„К, к > 1.

Положим также = {0} и Д0/ = (/, и>0)и>0.

На всякий случай, ещё раз упомянем, что мы используем обозначение

рА/ = = (ха/р)_.

гаеА

Здесь А с М0 — произвольное множество целых неотрицательных чисел.

Приступим теперь к доказательству теоремы 3, то есть неравенства (1.3) для некоторого класса банаховых решёток.

4.2 Свойство ЬРД^ в банаховых решётках

р

Отметим прежде всего, что для банаховых решёток X, обладающих свойством иМЮ, неравенство (1.3) можно записать в том же виде, что и неравенство для скалярных функций:

1/2

!(№• л2) ||„,)«»/и«*)•

Этот факт следует из неравенства Хинчина-Море (см., например, [30, стр. 86]; для неравенства Хинчина-Море необходимо некоторое геометрическое условие на решётку, а именно, её конечный котип — отметим, что из свойства ИМВ следует конечный котип, этот факт можно найти, например, в книге [48, стр. 409]).

Для того, чтобы доказать неравенство для банаховых решёток, мы сначала приведём доказательство для скалярных функций /, отличное от доказательства из работы [44], а потом обобщим его на случай X-значных функций /.

4.2.1 Комбинаторная конструкция

Пусть интервалы имеют вид = [а8,Ь8). Нам потребуется разбиение этих интервалов, построенное в работе [44]:

= К} и У 7 и У где вв, вв с N. (4.1)

¿е© в

Интервалы и 7 таковы, что выполняются следующие соотношения:

О, + 7 = ¿7 и Ь8 + 7 = ¿¿. (4.2)

Мы коротко опишем конструкцию этого разбиения (а все детали читатель может найти в статье [44]; кроме того, отметим, что эта конструкция — частный случай построенного нами в предыдущей главе разбиения интервалов).

Опустим индекс в и построим разбиение интервала I = [а,Ь). Рассмотрим двоичную запись чисел а и Ь:

N N

а = ^ а2к, Ь = ^ вк2к.

Для начала, построим разбиение интервала [0, Ь). Пронумеруем все цифры, равные 1, в двоичной записи числа Ь:

вк1 = вк2 = ... = вк = 1, > > ... > кг. После этого возьмём следующие интервалы:

г — 1 г

4+1 = [2 2кг, ^ 2кЛ , г = 1, 2,...,/.

Нетрудно видеть, что Ь + «7й4+1 = 4;+1.

Один из этих отрезков содержит число а. Предположим, что а е Т^+ь Это означает, что а = в7' для 3 > кт и = 0. Теперь наша задача — построить разбиение интервала

т

(а. 2 2")-

Это можно сделать похожим образом. Пронумеруем все цифры в двоичном пред-

ставлении числа а, равные нулю:

«fcm = «Kh = ... = = 0, km > Kh > ... > Ki.

После этого, возьмём следующие интервалы:

JK¿ + 1 —

i—1 i

а + 2 2Kj + 1, а + 2 2K9

i-i

g-0

г = 1, 2,..., h.

Нетрудно видеть, что а + = +1, и таким образом мы построили требуемое

разбиение.

4.2.2 Основное рассуждение для скалярных функций

Для доказательства неравенства (1.2) нам теперь достаточно доказать следующие три неравенства:

(zip->/12 П «i/

IILp ,

212 р

s je©s

2 ) 1/2

<

Lp

f }Lp ,

2|2 J/2 )1/2|lp «I/

II Lp .

ie© s

Первое неравенство легко следует из соображений ортогональности (поскольку, очевидно, s |P{«s}/12 ^ I/ IL )• Таким образом, нам достаточно доказать второе (а третье доказывается аналогично). Введём следующее обозначение:

Js У Jjs.

je©s

Заметим, что из формул (4.2) вытекает соотношение

Pjs / = Was 2 Ai (Was /).

je©s

Пользуясь этой формулой, мы можем переписать наше неравенство:

s je©

К- /)Г)Т <»/

|Lp.

Обозначим через G следующий оператор, действующий из Lp в пространство значных функций:

Aj (w„s/)). (4.3)

je©s

Наша задача свелась к тому, чтобы доказать, что О — ограниченный оператор из Ьр в Тр(£2). Для £2-значной функции д рассмотрим подходящую максимальную функцию:

1 л 1 {2 1 л

д#(ж) = вир(— ] ||д(^- д/Ц^ , где д/ = щ] д(в) е ^

Здесь супремум берётся по всем двоичным интервалам, содержащим точку ж.

Кроме того, нам потребуется стандартная диадическая максимальная функция (на этот раз мы определяем её для скалярных функций f):

1 Г ч 1/2

1 I , „,2\ '

M2f (x)" S>( ЦТ i|/|2)

Здесь супремум также берётся по всем двоичным интервалам, содержащим точку ж. Наша цель — доказать следующую поточечную оценку:

(G/)#(x) < M2/(x).

(4.4)

Это неравенство влечёт доказываемую нами теорему для скалярных функций f, поскольку мы можем написать:

G/||lp(^2) < ||(G/)#»lp < IIM2/»LP < II/»LP.

Здесь первое неравенство вытекает из того известного факта, что неравенство

I II ^ II #11

||g»LP(^2) < »g^»lp

выполняется для всякой £2-значной функции д, такой, что $0 д = 0. По поводу дока-

s

зательства этого факта см., например, теорему 1.2.5 в книге [42] — для скалярных функций д; в случае £2-значных функций доказательство проходит без изменений. Отметим, что ^ С/ = 0 е £2, поскольку ^ Д^-(к) = 0 для любой функции к и любого числа ] > 0.

Для того чтобы доказать неравенство (4.4), достаточно проверить, что имеет место оценка

(щ ¿212 Д->(-/)-ЧТ * (щ ¿|/|2Г- (45)

где