Семиинвариантный анализ преобразований радиосигналов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.01, кандидат технических наук Фёдоров, Виктор Борисович

• Фёдоров, Виктор Борисович
• кандидат технических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат технических наук Фёдоров, Виктор Борисович

ВЕДЕНИЕ.

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ СЕМ ИИ НВ АР И АН ТН О ГО АНАЛИЗА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ МШОСИГНАЛОВ.

1.1 Полиномиальные преобразования радиосигналов.:.

1.2 Моментное и семиинвариантное описание комплексных процессов.

1.3 Семиинвариантный анализ комплексных полиномиальных преобразований во временной области.

1.4 Семиинвариантный анализ комплексных полиномиальных преобразований в частотной области.

1.5 Связь моментов и семиинвариантов радиосигнала с моментами и семиинвариантами комплексной огибающей.».,„».».».„„.„.т.,.,.„„„.

1.6 Билинейное и квадратичное преобразования радиосигналов.

1.7 Возведение радиосигналов в 4-ю степень.

1.8 Метод производных в комплексном случае.

1.9 Некоторые разложения двумерной плотности в комплексном представлении .,.„„.>.,.,.<

Выводы.

МОМЕНТЫ И СЕМИИНВАРИАНТЫ РАДИОСИГНАЛОВ

2.1 Достаточные условия равенства нулю моментов и семиинвариантов комплексной огибающей стационарного узкополосного процесса .,„„.,,.,.

2.2 Связь между стационарностью радиосигнала и стационарностью его комплексной огибающей.

2.3 Семиинварианты радиосигналов, модулированных импульсными процессами пуассоновского типа.!.

2.4 Изохронные однородно-импульсные процессы.

2.5 Периодические и почти-периодические процессы классов Бд*0.

2.6 Семиинварианты некоторых дискретно модулированных сигналов.

2.7 Периодические сигналы классов Д(д}.

2.8 Об упрощении формул семиинвариантного анализа в узкополосном случае.

Выводы.,.

СЕМИИНВАРИАНТНЫЙ АНАЛИЗ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПЕРИОДИЧЕСКИХ И ПОЧТИ-ЕРИОДИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ.

3.1 Вопросы эргодической теории периодических и почти-периодических пюцессов.

3.2 НЧ-фильтрация процессов классов Бд^.

3.3 Нелинейные преобразования пюцессов классов Д(д }.^.

3.4 Билинейное и квадратичное преобразования комплексных периодических процессов.

3.5 Линейные преобразования периодического (почти-периодического) процесса.

3.6 Л -Компоненты спектральных семиинвариантов периодическог о «комбинационного» нроцессаЮЗ

3.7 Селекция дискретной линии из спектра частот нестационарного периодического процесса . 105 Выводы. l ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНОГО СЕМИИНВАРИАНТНОГО АНАЛИЗА К ИССЛЕДОВАНИЮ ►АДИОТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ.

4.1 Устройства фазовой синхронизации с возведением МФМ-сигнала в М-ю степень.

4.2 Устройство формирования опорных сигналов и тактовой синхронизации для МЧМ-демодуляции.

4.3 Устройство тактовой синхронизации с перемножением принимаемого АФМ-сигнала на задержанный сигнал.

4.4 Устройство тактовой синхронизации с возведением принимаемого АФМ- сигнала в квадрат

4.5 Флуктуации мощности дискретных фазомодулированных сигналов, вызванные ограниченностью полосы канала.

Выводы.

АКЛЮЧЕНИЕ

ЛИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

РИЛОЖЕНИЯ.

1. Многомерная формула бинома Ньютона.

2. Комплексные огибающие функций многих переменных.

3. Трансформации преобразования Фурье функции многих переменных при вырожденной линейной замене переменных.

4. К семиинвариантному анализу билинейного и квадратичного преобразований радиосигналов

5. К семиинвариантному анализу преобразования 4-ой степени узкополосного процесса.

6. Формула интегрирования по частям для двумерных комплексных дифференциальных форм.

7. Семиинварианты вполне нестационарных однородно-импульсных процессов изохронного типа

8. Связь между Л -компонентами спектральных моментов и семиинвариантов J-ro порядка периодического или почти-периодического процесса.'.

9. Одномерное распределение мгновенной фазы нестационарного периодического узкополосного гауссовского процесса с ненулевым математическим ожиданием.

10. К анализу устройства тактовой синхронизации.

11. Семиинварианты М-ФМ-сигналов.

12. Библиотека функций на языке MATLAB 5.2, предназначенная для исследования флуктуаций квадрата огибающей дискретного сигнала на выходе частотно ограниченного канала по теоретическим формулам.

13. Результаты исследования флуктуаций квадрата огибающей ФМ- и СФМ-сигналов на выходе найквистовского канала, полученные имитационным моделированием.

14. Копии документов, подтверждающих практическую реализацию результатов диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Семиинвариантный анализ преобразований радиосигналов»

Диссертация посвящена семиинвариантному методу анализа нелинейных преобразо-;аний радиосигналов. Как известно, радиосигналы далеко не всегда являются гауссовскими фоцессами и, кроме того, они часто не могут рассматриваться и как стационарные процес-:ы. Данные обстоятельства обычно весьма существенно усложняют проведение требуемого .нализа. Несмотря на это, принципиальная важность и эффективность семиинвариантного метода для большого числа задач статистической радиотехники общепризнана, что отраже-ю, например, в таких известных монографиях, как [8], [15], [19], [20].

Однако развитие математического аппарата этой области теоретической радиотехники до настоящего времени по существу было ограничено результатами фундаментального сарактера, в основном не учитывающими специфики радиотехнических сигналов (т.е. моду-шрованных высокочастотных колебаний). Справедливости ради необходимо отметить, что ¡десь некоторое исключение представляет монография [20], но, к сожалению, в ней рассматриваются только преобразования стационарных гауссовских случайных радиосигналов, что, сонечно, лишь в малой мере удовлетворяет современным потребностям. Все это весьма одерживало широкое применение семиинвариантного анализа в радиотехнике.

Другим сдерживающим фактором было, и в определенной мере сохраняется, извест-1ая громоздкость выкладок и выражений, возникающих при проведении семиинвариантного шализа нелинейных преобразований. Причем сложность анализа, как известно, сильно воз-эастает с увеличением степени нелинейности исследуемого преобразования. Однако в на-лчэящее время это препятствие имеет уже не столь непреодолимый характер, как, может Зыть, 5-10 и более лет назад. Дело в том, что теперь в распоряжении исследователей имеются мощные системы компьютерной алгебры (системы аналитических вычислений) способные манипулировать с громадными выражениями и автоматически выполнять рутинную ра-5оту аналитического характера (работу, на которую при выполнении ее обычным способом у'шли бы многие месяцы и даже годы, причем без достаточной гарантии от совершения элементарных ошибок). Среди таких систем в первую очередь хочется назвать пакет МАРЬЕ V [83], [84-85], имеется также пакет МАТНЕМАТ1СА 3 и некоторые другие. В связи с этим следует заметить, что, по всей видимости, вообще пришло время пересмотра роли аналитических методов решения задач, ранее находивших ограниченное применение из-за их чрезмерной громоздкости, или даже просто из-за физической невозможности проведения тре-5уемых выкладок "вручную".

При всем этом значение аналитического подхода к решению теоретических задач грудно переоценить. Как правило, в физико-технических науках новое аналитическое решение принято считать научным результатом, поскольку обычно такое решение, если оно получено, позволяет глубже понимать истинную причину исследуемых явлений, а в ряде случаев получать и более точные количественные результаты. Кроме этого, точные решения задач часто становятся эталонными при тестировании численных алгоритмов решения родственных задач, для которых аналитические решения не найдены.

В связи со сказанным, необходимо отметить, что в диссертации разрабатывается метод анализа, в котором учитывается специфика радиосигналов, как особого рода случайных процессов. Это обстоятельство, наряду с отмеченными достижениями компьютерной алгебры, дает основание надеяться, что семиинвариантный метод будет эффективно применяться для анализа многих радиотехнических устройств, ранее аналитическое исследование которых вызывало затруднения. Интересно, например, что некоторые окончательные формулы, появляющиеся при анализе нелинейных преобразований радиосигналов оказываются даже более простыми, чем аналогичные формулы для случайных процессов общего вида (причем несмотря на то, что приходится оперировать комплексными семиинвариантами). Это объясняется тем, что обычно весьма многие семиинварианты комплексных огибающих узкополосных процессов оказываются равными нулю.

В этой связи так же важно отметить, что в диссертации детально проработаны алгоритмы, к которым сводится семиинвариантный анализ, допускающие непосредственную программную реализацию (например, в системе МАРЬЕ V). В том числе разработаны специальные алгоритмы для случая нестационарных периодических процессов, каковыми являются, например, комплексные огибающие радиосигналов, используемых в современной технике передачи цифровых данных. Также существенным достижением на этом пути, является найденные общие выражения семиинвариантов (семиинвариантных функций) комплексных огибающих для основных на сегодняшний день видов дискретных радиосигналов, а также семиинварианты комплексных огибающих некоторых моделей негауссовских радиопомех. При этом обнаружены и исследованы весьма общие свойства семиинвариантов комплексных огибающих различных радиосигналов.

Таким образом, главный результат диссертации - это разработанный в ней математический аппарат, позволяющий эффективно применять семиинвариантный метод для решения многих задач анализа статистической радиотехники; этому аппарату посвящены первые три главы. В общих чертах данный материал опубликован автором в ряде работ, однако при работе над текстом многие из ранее опубликованных результатов подверглись большему обобщению. Кроме этого, в диссертацию включены также некоторые новые, еще не опубликованные результаты. Вопросам использования разработанного аппарата для решения конкретных радиотехнических задач по необходимости уделено меньше внимания. Этому посвящена только одна четвертая глава (последняя).

Постановка проблемы и обзор литературы. Семиинвариантному (кумулянтному) анализу преобразований случайных процессов к настоящему времени посвящено уже довольно много литературы, и монографической [8,15,19,20], и журнальной [44-49,63-69], изданной в разные годы, начиная с 50-х годов и кончая настоящим временем. Первые публикации [47-49] по этой теме связаны с именами таких крупных специалистов по статистической радиотехнике, как Стратонович Р.Л., Тихонов В.И, Кузнецов П.И. Дальнейшее математическое развитие этих идей дано в ряде работ математиков Ширяева А.Н., Леонова В.П. [44,45]. Этой же теме посвящена монография Малахова А.Н. [19], подводящая итог целому циклу исследований ее автора. Практическому применению семиинвариантного анализа и исследованию некоторых радиотехнических устройств посвящен ряд работ Лезина Ю.С. [6062]. Вопросы, рассматриваемые в работах названных авторов, наиболее близки к теме настоящей диссертации. Известна также работа (в сборнике [38]), где семиинвариантные методы применяются для исследования стохастической динамики ФАГТЧ. Имеются и другие, указанные выше, математические и прикладные исследования, посвященные семиинвариантным методам. Основные результаты этих исследований нашли отражение в монографии Пугачева B.C. и Синицина И.Н. [15].

В большинстве названных работ в разное время были получены фундаментальные результаты, касающиеся анализа преобразований случайных процессов в нелинейных системах семиинвариантными методами. Однако попытки непосредственного применения этих результатов в радиотехнике, за редкими исключениями, оказываются малоэффективными. Дело в том, что радиотехнические сигналы представляют собой модулированные высокочастотные колебания, и, следовательно, преобразования таких сигналов (линейные и нелинейные, безынерционные и инерционные, стационарные и нестационарные) сводятся к соответствующим преобразованиям их комплексных огибающих. Таким образом, для эффективного применения семиинвариантный метод должен быть обобщен на комплексный случай. Это первая из задач, не имевшая до настоящего времени удовлетворительного решения и решенная в диссертации.

Другой проблемой, решаемой в диссертации, и решение которой всегда требуется для проведения семиинвариантного анализа, является необходимость располагать выражениями для семиинвариантных функций высоких порядков преобразуемых процессов. Радиотехнические сигналы и помехи, как уже отмечалось, обычно не являются гауссовскими процессами, однако в литературе всюду, как правило, рассматриваются только корреляционные функции (т.е. семиинвариантные функции 2-го порядка) сигналов, и сведения о высших семиинвариантах негауссовских радиосигналов до настоящего времени практически отсутствовали.

Третьей решенной в диссертации общетеоретической проблемой явилось то, что современные дискретные радиотехнические сигналы во многих задачах необходимо рассматривать не как стационарные процессы, а как периодические (или даже почти-периодические), что вызвано наличием фиксированных тактовых интервалов у таких сигналов. Развитию общей теории периодических процессов посвящен ряд работ [9,54-58]. Однако рассмотрение в этих работах ограничено либо рамками корреляционной теории, либо гаус-совскими процессами. Вопросы же семиинвариантного анализа нелинейных преобразований периодических процессов в указанных работах не затрагиваются вовсе. Однако специфичность структуры спектральных семиинвариантов периодических процессов требует специального рассмотрения этих вопросов.

Наконец, следует сказать о применениях семиинвариантного метода к решению радиотехнических задач. Многие задачи, которые могли бы быть решены данным методом, до сих пор остаются нерешенными. Причем некоторыми авторами [92, 93] прежде предпринимались попытки решать некоторые из таких задач другими способами. Однако предлагаемые способы требуют существенных дополнительных ограничений и предположений, причем далеко не во всех случаях удовлетворительных [2, 90]. Поэтому еще одной задачей диссертации является определение круга задач (хотя бы очень приблизительно), решаемых разработанным методом, и демонстрация его эффективности на конкретных примерах.

Цель диссертации состоит в разработке математического аппарата, необходимого для эффективного применения семиинвариантного метода для решения широкого класса нелинейных задач радиотехники.

Актуальность, научная новизна и практическая значимость диссертации. Из обзора литературы по теме диссертации ясно, что семиинвариантный анализ нелинейных преобразований негауссовских радиосигналов представляет собой важный инструмент для теоретической радиотехники, и, вместе с тем, во многих случаях его практическая реализация упирается в целый комплекс до сих пор нерешенных проблем. С другой стороны, несмотря на присущую семиинвариантному методу сложность, перспективы применения этого метода многократно возрастают, благодаря современным достижениям компьютерной алгебры. Так что поставленная в диссертации цель вполне актуальна и в научном отношении обоснована. Если говорить о практической значимости диссертации, то она заключается в том, что с помощью полученных в ней результатов стало возможным аналитическое исследование большого числа разнообразных радиотехнических устройств. Причем работа такого рода устройств может изучаться независимо от того, являются ли входные сигналы и шумы гауссов-скими процессами или нет.

Методы исследования. В диссертации используются понятия и результаты теории вероятностей и случайных процессов, алгебры, многомерной геометрии, математического анализа, включая комплексный и функциональный анализ, теории комплексных дифференциальных форм, теории графов и других разделов дискретной математики. Кроме этого, используются основные положения теории сигналов и статистической радиотехники.

Следует отметить, что в диссертации некоторые формулы получены с помощью пакета МАРЬЕ V. При этом практическое использование ряда положений диссертации также предполагает использование методов компьютерной алгебры. Численные вычисления выполнены с помощью пакета МАТЬАВ 5.2.

Краткое содержание диссертации. Диссертация содержит введение, 4 основных раздела (главы), заключение, 14 приложений и список литературы.

Заключение диссертации по теме «Теоретические основы радиотехники», Фёдоров, Виктор Борисович

Выход

Рис. 4

• Разработанный метод может быть использован также и для анализа квазиоптимальной нелинейной фильтрации, основанной на применении частичной суммы ряда Вольтерры

28 В таком случае модулирующая сигнал последовательность символов будет нестационарным процессом.

154

79], поскольку такая фильтрация есть ни что иное, как инерционное нелинейное преобразование полиномиального типа некоторого конечного порядка. • С помощью разработанного метода также может исследоваться прохождение радиосигналов через нелинейные каналы.

Следует отметить, однако, что применение данного метода в случае нелинейности высокого порядка и/или в случае, когда требуется вычисление семиинвариантов высоких порядков, может оказаться невозможным без привлечения методов компьютерной алгебры. В таких случаях потребуется разработка специальных программ (специальной библиотеки программ), выполняющих вычисления в символьном виде, и реализующих разработанные в диссертации алгоритмы семиинвариантного анализа. Для этого, например, может быть использована система символьной математики МАРЬЕ V.

Хотя в диссертации найдены явные выражения семиинвариантных функций многих сигналов, используемых в современной технике передачи дискретных данных, понятно, что отыскание семиинвариантного описания других видов радиотехнических сигналов приведет к еще большему расширению области применения разработанного метода.

Таким образом, разработанный в диссертации метод может иметь достаточно широкую и разнообразную сферу применений в теоретической радиотехнике.

Все сказанное свидетельствует о том, что поставленная в диссертации цель достигнута.

Заключение

Подводя итог, можно утверждать, что в диссертации разработан общий метод анализа преобразований полиномиального типа негауссовских, вообще говоря, радиосигналов и шумов с помощью семиинвариантов. Такие преобразования, которые могут быть инерционными и безынерционными, рекурсивными и нерекурсивными, стационарными и нестационарными, часто встречаются в различного рода радиотехнических устройствах. В частности, к полиномиальным преобразованиям относятся частотная фильтрация (стационарное инерционное преобразование 1-ой степени), квадратичное детектирование и перемножение сигналов (стационарные безынерционные преобразования 2-ой степени). При этом основу разработанного метода составляют следующие результаты.

• Метод комплексных огибающих, применяемый не только к анализу линейных преобразований, но и к анализу нелинейных преобразований, включая и инерционные, и нестационарные преобразования. Метод позволяет во всех перечисленных случаях сводить нелинейные преобразования высокочастотных процессов (радиосигналов) к преобразованиям их комплексных огибающих.

• Семиинвариантное описание комплексных процессов и семиинвариантный анализ преобразований комплексных процессов, что является естественным обобщением фактов, известных в вещественном случае. Эти обобщения основываются на использовании таких понятий комплексного анализа, как комплексные координаты, формальные производные по комплексным координатам, интегрирование комплексных дифференциальных форм.

• Установление связей между семиинвариантным описанием собственно радиосигналов и семиинвариантным описанием их комплексных огибающих. Установление такой связи фактически сводится к обобщению понятия комплексной огибающей функции одной переменной (которая обычно является временем) на случай функций многих переменных, каковыми являются семиинвариантные функции.

• Отыскание явных формул для комплексных семиинвариантов начальных порядков процесса, являющегося результатом или квадратичного или билинейного или 4-ой степени преобразования комплексных процессов (наиболее распространенных преобразований в радиотехнических устройствах). Эти формулы получены с использованием обобщаемых в диссертации на комплексный случай теоремы Леонова и Ширяева, а также метода производных Малахова.

• Исследование свойств семиинвариантных функций комплексных огибающих стационарных и периодических (почти-периодических) узкополосных процессов, в том числе спектральных семиинвариантов таких процессов.

• Отыскание явных выражений как самих семиинвариантных функций, так и их спектральных компонент для различных используемых в радиотехнике сигналов, а также для некоторых негауссовских радиопомех. Исследование свойств этих функций.

• Разработка общего метода семиинвариантного анализа в частотной области применительно к периодическим и почти-периодическим процессам классов Д(д1 (каковыми являются дискретно-модулированные радиосигналы). Получение явных формул для спектральных компонент семиинвариантов комплексной огибающей выходного процесса при квадратичном и билинейном преобразованиях.

Данные результаты дают теоретическую и алгоритмическую (на уровне общих формул) проработку семиинвариантного метода анализа применительно к нелинейным преобразованиям радиосигналов.

В частности с помощью разработанного метода удалось получить общие формулы, позволяющие анализировать работу целого ряда устройств синхронизации (фазовой и тактовой), обычно используемых в демодуляторах дискретных сигналов. Причем как для гауссов-ских, так и для некоторых негауссовских каналов. Удалось также получить общие формулы, позволяющие исследовать интенсивность флуктуаций квадрата огибающей дискретных сигналов, возникающие в результате прохождения сигналов через частотно ограниченный канал.

Однако только перечисленными задачами не ограничивается область применения разработанного метода. Для примера (и в качестве заявки на возможные дальнейшие исследования) можно указать следующие задачи, которые тоже могут быть решены данным методом. • Анализ устройства фазовой синхронизации с рекурсивным снятием фазовой манипуляции (схема Травина [95]). Схема этого устройства изображена на рис. 1. Если на вход этого устройства подается 2-ФМ-сигнал, то на выходе, как нетрудно понять, будет получено опорное колебание на "несущей" частоте. При этом с выхода НЧФ можно получать демо-дулированный сигнал (огибающую 2-ФМ-сигнала). т/, = Яе у,

Рис.

С точки зрения анализа, схема этого устройства интересна тем, что содержит петлю обратной связи, т.е. является рекурсивной. Общий подход к семиинвариантному анализу рекурсивных схем был изложен в разделе 1.1, согласно которому анализ данной схемы сводится к итерационной процедуре, на каждом шаге которой будет анализироваться схема с разорванной обратной связью (причем фактически по уже полученным в диссертации явным формулам для билинейного преобразования).

• С помощью разработанного метода можно исследовать также влияние и мультипликативной помехи на работу различных устройств, поскольку действие такой помехи сводится к безынерционному билинейному преобразованию.

• В диссертации устройства синхронизации исследовались в установившемся режиме, однако нетрудно видеть, что предложенный метод легко позволяет проводить теоретические исследования и переходных процессов в таких устройствах.

• Разработанный метод позволяет также теоретически исследовать межсимвольные помехи в корреляционных и автокорреляционных демодуляторах дискретных сигналов, которая возникает в частотно ограниченных каналах (подобно тому, как в разделе 4.4 исследовались флуктуации квадрата огибающей). Нетрудно увидеть, что такое исследование можно свести к семиинвариантному анализу довольно простых схем, показанных на рис. 2-4. Следует только отметить, что особенность исследования межсимвольной помехи, по отношению к решенным в диссертации задачам, состоит в том, что рассматривать придется сигнал, модулированный последовательностью информационных символов, в которой значение передаваемого символа (или двух последовательных символов, при относительном методе кодирования) в фиксированный "данный" момент времени априорно известно28. Семиинвариантное описание таких сигналов получено в приложении 7, и, таким образом, все необходимые предварительные результаты для анализа межсимвольной помехи в диссертации уже получены.

Вход

Фильтр

1< о

О Шум

Приемный (согласованный) пи пи пи пи пи пи

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Фёдоров, Виктор Борисович, 2000 год

1. Федоров В.Б. Анализ нелинейных преобразований узкополосных случайных процессов с помощью комплексных семиинвариантов// Радиотехника и электроника. 1991. Т. 36, № 7. С. 1416.

2. Федоров В.Б. Анализ устройства Пистолькорса в случае произвольной частотной характеристики канала// Радиотехника и электроника. 1993. Т.3$№ 2. С. 356-360.

3. Федоров В.Б. Достаточные условия равенства нулю высших моментов комплексных огибающих стационарных узкополосных случайных процессов// Радиотехника и электроника. 1997. Т.42, № 7. С.818-822.

4. Федоров В.Б. Многомерные семиинварианты дискретно модулированных сигналов// Радиотехника и электроника. 1998. Т. 43, № 6. С. 696-702.

5. Федоров В.Б. О нелинейных преобразованиях комплексных случайных процессов// Проблемы теории и техники помехоустойчивого приема радиотехнических сигналов/ Сборник научных трудов межвузовский. МИРЭА 1992. С. 148-157.

6. Федоров В.Б. Спектральный анализ нелинейных преобразований узкополосных случайных процессов// Методы представления и обработки информации в радиотехнических системах/ Сборник научных трудов межвузовский. МИРЭА 1993. С. 48-57.

7. Федоров В.Б. Многомерные семиинварианты ФМ-, АФМ-, СФМ- и МЧМ-сигналов // Теория и методы приема и обработки радиотехнических сигналов/ Сборник научных трудов межвузовский. МИРЭА 1998. С. 55-63.

8. Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. М.: Сов. радио, 1961.

9. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. М.: Наука, 1976.

10. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Радио и связь, 1989.

11. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982.

12. Тихонов В.И., Харисов В.И. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. М.: Радио и связь, 1991.

13. Тихонов В.И. Нелинейные преобразования случайных процессов. М.: Радио и связь, 1986.

14. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Физматгиз, 1962.

15. Пугачев B.C., Синицин И.Н. Стохастические дифференциальные системы. М.: Наука, 1990.

16. Деч Р. Нелинейные преобразования случайных процессов. М.: Радио и связь, 1965.

17. Давенпорт В.Б., Рут B.J1. Введение в теорию случайных сигналов и шумов./ Пер. с англ. М.: Иностранная литература, 1960.

18. Мидлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. Т. 1, 2/ Пер. с англ. М.: Сов. радио, 1961,1962.

19. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовских процессов и их преобразований. М.: Сов. радио, 1978.

20. Евсиков Ю.А., Чапурский В В. Преобразования случайных процессов в радиотехнических устройствах. М.: Высшая школа, 1977.

21. Прикладные математические методы анализа в радиотехнике/ Под. ред. Обрезкова Г.В. -М: Высшая школа, 1985.

22. Кашкин В.Б. Функциональные полиномы в задачах статистической радиотехники. -Новосибирск: Наука, 1981.

23. Марченко Б.Г. Метод стохастических интегральных представлений и его приложения в радиотехнике. Киев: Наукова думка, 1973.

24. Пупков К.А., Капалин В.И., Ющенко A.C. Функциональные ряды в теории нелинейных систем. М.: Наука, 1976.

25. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Т. 3 М.: Сов. радио, 1977.

26. Френке Л. Теория сигналов. М.: Сов. Радио, 1974

27. Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы. В двух частях /Пер. с англ. М.: Мир, 1988.

28. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы./ Пер. с англ. М.: Мир, 1969.

29. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1987.

30. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1989.

31. Королюк B.C., Портенко Н И., Скороход A.B., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. М.: Наука, 1985.

32. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1985.

33. Булдырев B.C., Павлов Б.С. Линейная алгебра и функции многих переменных. Л.: Издательство Ленинградского университета, 1985.

34. Журбенко И.Г. Анализ стационарных и однородных случайных систем. M.: Издательство Московского университета. 1987.

35. Гутер P.C., Кудрявцев Л.Д., Левитан Б.М. Элементы теории функций. М.: Физмат-гиз. 1963.

36. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. -М : Наука, 1981.

37. Математическая энциклопедия. Т. 1-5. М.: Советская энциклопедия, 1982.

38. Системы фазовой синхронизации/ Под ред. Шахгильдяна В.В. и Белюстиной Л.Н. -М.: Сов. радио, 1982.

39. Зюко А.Г., Фалько А.И. и др. Помехоустойчивость и эффективность систем передачи информации. М.: Радио и связь, 1985.

40. Спилкер Дж. Цифровая спутниковая связь/ Пер. с англ. М.: Связь, 1979.

41. Банкет В.Л., Дорофеев В.М. Цифровые методы в спутниковой связи. М.: Радио и связь, 1988.

42. Макаров С.Б., Цикин И.А. Передача дискретных сообщений по радиоканалам с ограниченной полосой пропускания. М.: Радио и связь, 1988.

43. Банкет В.Л., Мельник A.M. Системы восстановления несущей при когерентном приеме дискретных сигналов// Зарубежная радиоэлектроника. 1983. №12. С.28-43.

44. Леонов В.П., Ширяев А.Н. К технике вычисления семиинвариантов// Теория вероятностей и её применения. 1959. Т.4, № 3. С. 342-355.

45. Ширяев А.Н. Некоторые применения спектральной теории старших моментов// Теория вероятностей и её применения. 1960. Т.5, № 3. С. 293-313.

46. Леонов В.П. Некоторые применения старших семиинвариантов к теории стационарных случайных процессов. М.: Наука, 1964.

47. Кузнецов П.И., Стратонович Р.Л., Тихонов В.И. Прохождение некоторых случайных функций через линейные системы// Автоматика и телемеханика. 1953. Т. 14, № 2. С. 144-163.

48. Кузнецов П.И., Стратонович Р.Л., Тихонов В.И. Прохождение случайных функций через нелинейные системы//Автоматика и телемеханика. 1953. Т. 14, № 4. С. 357-391.

49. Кузнецов П.И., Стратонович Р.Л., Тихонов В.И. Квазимоментные функции в теории случайных процессов// Теория вероятностей и её применения. 1960. Т.5, № 1. С. 84102.

50. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: «Наука», 1977.

51. Ширяев А.Н. Об условиях эргодичности стационарных процессов в терминах моментов старших порядков// Теория вероятностей и её применения. 1963. Т.8, № 4. С. 470-473.

52. Леонов В.П. Применение характеристического функционала и семиинвариантов к эр-годической теории стационарных процессов// ДАН СССР. 1960. Т. 133, № 3. С. 523-526.

53. Синай Я.Г. О спектральных мерах высших порядков эргодических стационарных процессов// Теория вероятностей и её применения. 1963. Т.8, № 4. С. 463-470.

54. Гладышев Е.Г. Периодически и почти-периодически коррелированные случайные процессы с непрерывным временем// Теория вероятностей и её применения. 1963. Т.8, № 4. С. 184-189.

55. Гладышев Е.Г. О периодически коррелированных случайных последовательностях// ДАН СССР. 1961. Т.137. С. 2236-2239.

56. Гудзенко Л.И. О периодически нестационарных процессах// Радиотехника и электроника. 1959. Т. 4., № 6. С. 1062-1064.

57. Михайлишин В.Ю., Яворский И.Н. Узкополосные нестационарные случайные процессы// Радиотехника и электроника. 1997. Т.42. № 5. С. 596-605.

58. Дьяков Ю.Е. Некоторые характеристики огибающей и фазы нестационарного гауссов-ского процесса//Радиотехника и электроника. 1963. Т.8, №11. С. 1812-1821.

59. Вакман Д.Е., Вайнштейн Л.А. Амплитуда, фаза, частота основные понятия теории колебаний// УФН, 1977, Т. 123, № 4. С. 657-682.

60. Лезин Ю.С. О связи между кумулянтами случайных напряжений на входе и выходе квадратичного устройства// Изв. вузов СССР. Радиотехника. 1965. Т. 8, № 3. С.346-348.

61. Лезин Ю.С. О распределении шума на выходе автокорреляционного устройства// Радиотехника. 1965. Т. 20, № з. С.60-65.

62. Лезин Ю.С. Оптимальные фильтры и накопители импульсных сигналов. М.: Сов. радио, 1969.

63. Дашевский М.Л., Липцер Р.Ш. Применение условных семиинвариантов в задачах нелинейной фильтрации марковских процессов// Автоматика и телемеханика, 1967. № 6. С. 63-74.64