Роль многочастичных эффектов в динамике релаксации и декогеренции некоторых открытых квантовых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Шакиров Алексей Михайлович

• Шакиров Алексей Михайлович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Шакиров Алексей Михайлович

Введение

Глава 1. Теоретическое описание открытых квантовых систем

1.1 Замкнутые и открытые квантовые системы

1.2 Уравнение Линдблада

1.3 Уравнение Редфилда

1.4 Обобщенное управляющее уравнение

1.5 Структура управляющего уравнения

Глава 2. Роль корреляций в релаксации открытых квантовых

систем

2.1 Влияние долгоживущих состояний на релаксацию

2.1.1 Описание модели

2.1.2 Управляющее уравнение

2.1.3 Результаты

2.2 Особенности стационарного состояния эмиссионных систем

2.2.1 Описание модели

2.2.2 Динамика переходов

2.2.3 Стационарное распределение

2.2.4 Механизм возникновения стационарного распределения

2.2.5 Термодинамический предел

2.2.6 Эффекты охлаждения и нагревания

2.3 Выводы

Стр.

Глава 3. Когерентность в динамике открытых

коррелированных квантовых систем

3.1 Теоретическое описание спин-атомных устройств

3.1.1 Модель спин-атомного устройства

3.1.2 Вывод обобщенного управляющего уравнения

3.1.3 Ток и дробовой шум

3.2 Роль когерентных эффектов в электронном транспорте

3.2.1 Одиночный атом со спином 5 =1/2

3.2.2 Одиночный атом со спином £ = 5/2

3.2.3 Цепочка спинов Б =1/2

3.3 Релаксация и декогеренция кубитов

3.3.1 Времена Т\ ж Т2 в двухуровневых системах

3.3.2 Определение обобщенных времен Т1 и Т2

3.3.3 Релаксация и декогеренция в моделях коллективного спина

3.3.4 Релаксация и декогеренция в многоспиновых моделях

3.4 Выводы

Заключение

Благодарности

Публикации автора по теме диссертации

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Роль многочастичных эффектов в динамике релаксации и декогеренции некоторых открытых квантовых систем»

Введение

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию влияния многочастичных эффектов на динамику релаксации и декогеренции открытых квантовых систем. В качестве таких систем рассмотрены несколько моделей физики конденсированного состояния, используемых для описания искусственных структур из небольшого числа атомов, которые широко изучаются в современных экспериментах [1, 2]. Интерес к подобным структурам вызван возможностью их практического применения в быстрых и компактных вычислительных устройствах нового поколения [3]. При этом важным требованием является способность осуществлять контролируемое управление внутренними состояниями таких устройств. В связи с этим приобретает актуальность задача изучения динамических процессов, возникающих в атомных структурах в результате взаимодействия с элементами внешнего окружения.

При построении теоретического описания динамики атомных структур необходимо принимать в расчет такие существенные факторы, как взаимодействие с окружением и внутренние корреляции степеней свободы атомов. В совокупности они делают невозможным точное решение квантовой задачи и ставят проблему выбора приближенных методов. Данный выбор необходимо осуществлять с оглядкой на конкретные цели исследования, поскольку предсказательная сила разных методов имеет ограниченную область применимости. Например, при описании динамики на коротких временных интервалах уместным является использование неравновесных диаграммных методов [4], а в случае слабой связи с окружением - применение управляющих уравнений [5].

В данной работе рассматриваются задачи, связанные с процессом достижения атомными структурами стационарного состояния, а также свойствами самого этого состояния. Для их решения необходим метод, хорошо работаю-

щий на больших временах и точным образом учитывающий многочастичные эффекты, и поэтому оптимальным выбором является подход, основанный на управляющих уравнениях для матрицы плотности структур. Важным условием применимости данного подхода является сохранение физичности матрицы плотности, для соблюдения которого часто используют дополнительные приближения. В частности, это может быть пренебрежение многочастичной природой состояний системы, либо приближение вращающейся волны, которое не принимает в расчет когерентности. Использование таких приближений, однако, приводит к упущению из вида ряда явлений, в том числе рассматриваемых в диссертации. В работе предложено решение данной проблемы, основанное на использовании уравнении Редфилда [6], и разобран микроскопический вывод этого уравнения для рассматриваемых систем.

Целью диссертационной работы является теоретическое исследование влияния многочастичных эффектов на динамику релаксации и декогерен-ции открытых квантовых систем и свойства их стационарного состояния, а также разработка соответствующих методов исследования.

Научная новизна результатов диссертации состоит в разработке метода численного расчета динамики искусственных атомных структур, взаимодействующих с окружением; в изучении процессов релаксации и декогеренции этих структур и свойств их равновесных состояний; в описании физических эффектов, обусловленных корреляциями, включающих в себя появление долгоживу-гцих состояний и образование неравновесной стационарной функции распределения определенного вида; в выявлении вклада недиагональных элементов матрицы плотности атомных структур в их спектры проводимости; в исследовании временных масштабов, описывающих процессы релаксации и декогеренции, и выяснении критериев их экспоненциального подавления при низких температурах.

Практическая значимость. Изложенные в диссертации результаты обладают предсказательной силой и могут быть использованы для численного моделирования систем, изучаемых в экспериментах - атомных структур на поверхности, туннельных контактов и атомов в оптических решетках.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. В многочастичных квантовых системах с корреляциями возможно возникновение долгоживугцих состояний, процесс релаксации которых характеризуется несколькими временными масштабами. Динамика распада таких состояний может быть описана с помощью управляющих уравнений, при построении которых необходимо учитывать многочастичную природу состояний таких систем.

2. Взаимодействие между степенями свободы многочастичных квантовых систем играет важную роль в формировании неравновесного стационарного состояния, в котором распределение по энергиям в каждом секторе гильбертова пространства с заданным числом частиц может быть аппроксимировано больцмановской функцией. Возникновение данного распределения может происходить при отсутствии детального равновесия и обусловлено характером зависимости скорости перехода между состояниями от энергии перехода.

3. При описании с помощью метода управляющих уравнений спектров проводимости магнитных структур, через которые пропускается поляризованный ток, в некоторых случаях оказывается важным учет недиагональных элементов матрицы плотности. В частности, ненулевой вклад данных элементов в спектры, растущий с увеличением величины связи структуры с контактами, наблюдается при наличии действующих на локализованные спины магнитных полей, неколлинеарных направлению поляризации тока.

4. Обобщение стандартных понятий времен релаксации и декогеренции позволяет изучить процесс потери информации в кубитах, реализованных с помощью многоуровневых систем, обладающих двумя выделенными квантовыми состояниями. Из анализа матричной структуры управляющих управлений следует, что при выполнении определенных условий на матричные элементы операторов взаимодействия с окружением возможно экспоненциальное подавление данного процесса при низких температурах.

Апробация работы происходила на следующих конференциях:

1. XII Конференция «Сильно коррелированные электронные системы и квантовые критические явления», Троицк, 19.06.2014 : А. М. Шакиров, Ю. Е. Щадилова, А. И. Рубцов, «Исследование динамики фазового перехода в системе с нарушенной симметрией методом проекционной техники»

2. XXII Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов», Москва, 13-17.04.2015 : А. М. Shakirov, Y. Е. Shchadilova, «Thermalization of open correlated quantum systems»

3. XIII Конференция «Сильно коррелированные электронные системы и квантовые критические явления», Троицк, 05.06.2015 : А. М. Шакиров, Ю. Е. Щадилова, А. И. Рубцов, «Статистическая физика коррелированных квантовых систем при эмиссии частиц»

4. The 3rd International Conference on Quantum Technologies, Москва, 13-17.07.2015 : A. M. Shakirov, Y. E. Shchadilova, A. N. Rubtsov, «Quantum statistical ensemble for emissive correlated systems»

5. School and Workshop on Strongly Correlated Electronic Systems - Novel Materials Meet Novel Theories, Триест, Италия, 10-21.08.15 : A. M. Shakirov, Y. E. Shchadilova, A. N. Rubtsov, «Quantum statistical ensemble for emissive correlated systems»

6. Mini-workshop on Theoretical Condensed Matter Physics, Лиссабон, Португалия, 18.12.2015 : A. M. Shakirov, Y. E. Shchadilova, A. N. Rubtsov, P. Ribeiro, «Modeling coherence effects in inelastic tunneling through open quantum systems»

7. FTPI Summer School «Advances in strongly correlated electronic systems», Миннеаполис, США, 13-18.06.16 : A. M. Shakirov, Y. E. Shchadilova, A. N. Rubtsov, P. Ribeiro, «Redfield equation for coherent dynamics of engineered atomic spin devices»

8. RQC Summer School 2016, Москва, 22-27.08.2016 : A. M. Shakirov, Y. E. Shchadilova, A. N. Rubtsov, P. Ribeiro, «Modeling coherent dynamics of engineered atomic spin devices»

9. School and Workshop on Fundamentals on Quantum Transport, Триест, Италия, 31.07-11.08.2017 : A. M. Shakirov, A. N. Rubtsov, A. I. Lichtenstein, P. Ribeiro, «Relaxation and decoherence of qubits encoded in collective states of engineered magnetic structures»

Результаты работы обсуждались на научных семинарах кафедры квантовой электроники физического факультета МГУ, отделения теоретической физики ФИАН, института теоретической физики Гамбургского университета, центра физики и техники передовых материалов Лиссабонского университета и Российского квантового центра. Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ, РНФ и фонда «Династия».

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 4 печатных работах, из них 4 статьи в рецензируемых научных журналах |А1 А4|. а также в тезисах к 4 докладам на российских и международных конференциях [А5-А8].

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводи-

лась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Достоверность результатов диссертационной работы подтверждается их согласием с расчетами, полученными в схожих системах с помощью других теоретических методов, а также с экспериментальными данными.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы. Общий объем диссертации составляет 109 страниц, включая 25 рисунков. Список цитированной литературы содержит 123 наименования.

Глава 1. Теоретическое описание открытых квантовых систем

В данной главе дан обзор основных теоретических сведений по физике открытых квантовых систем, которые были использованы в работе над диссертацией.

Замкнутой в квантовой физике называют систему динамика которой может быть описана с помощью гамильтониана Н (в общем случае зависящего от времени). Матрица плотности р замкнутой системы удовлетворяет уравнению Лиувилля - фон Неймана

Гамильтониан и матрица плотности представляют собой эрмитовы операторы, действующие в гильбертовом пространстве системы В силу своего физического смысла матрица плотности ообладает двумя свойствами: (1) имеет единичный след Ьтр = 1, (2) является положительно полуопределенной, то есть имеет неотрицательные собственные значения ^ 0. Правая часть уравнения (1.1) может быть представлена в виде £0р, где С0 - отображение множества операторов на само себя, называемое супероператором Лиувилля. Состояние замкнутой системы в момент времени £ связано с ее начальным состоянием р (0) унитарным преобразованием

1.1 Замкнутые и открытые квантовые системы

дгр = -г [Н, р] .

(1.1)

р (1) = и (1,0) р (0) и (0,1),

(1.2)

где мы использовали оператор эволюции системы

и (¿¿) = Т ехр

-г / Н (т) Ат

н

(1.3)

Преобразование матрицы плотности квантовой системы р (0) ^ р (£) называется динамическим отображением.

Под открытой мы будем понимать систему которая взаимодействует с окружением, вследствие чего ее динамика не является гамильтоновой. Мы будем предполагать, что такая система вместе со своим окружением Я образует замкнутую комбинированную систему, которая описывается гамильтонианом

Н = Н3 + Яд + Н/, (1.4)

Данный гамильтониан действует в гильбертовом пространстве Н = Нб ® Нд, где Нб и Нд соответствуют разделенным степеням свободы открытой системы (мы будем называть их локальными) и окружения. Слагаемые Я^ и Яд в (1.4) действуют только на подсистемы соответственно и описывают их свобод-

ную динамику, в то время как Я/ отвечает за взаимодействие этих подсистем друг с другом.

Выделение подсистемы Б из окружения осуществляется таким образом, чтобы все интересующие измерения производились над относящимися к ней локальными степенями свободы, число которых конечно и мало. В то же время, окружение в общем случае представляет собой систему с очень большим числом степеней свободы, так что практически невозможно точное описание динамики комбинированной системы. Поэтому основной задачей теории открытых квантовых систем является построение приближенного замкнутого описания локальных степеней свободы. Для этого вводится редуцированная матрицы плотности открытой системы

рБ = ^д р, (1.5)

г

где 1те означает операцию взятия частичного следа по гильбертову пространству окружения. Она содержит всю необходимую с практической точки зрения информацию, так как позволяет вычислять статистику измерения локальных наблюдаемых. В частности, среднее значение наблюдаемой Л, оператор которой определен в можно получить с помощью формулы

(Л) ^г^ (Ар3), (1.6)

где частичный след берется по локальным степеням свободы.

Далее в диссертации по умолчанию будет считаться, что матрица плотности рз задана в базисе собственных состояний свободного гамильтониана системы

Н8 1а) = Еа 1а) . (1.7)

При этом диагональные элементы этой матрицы плотности раа = ра будут называться населенностями, а недиагональные ра=р ~ когерентностями.

Матрица плотности открытой системы удовлетворяет кинетическому уравнению

дгр8 = -Игд [Н,р] , (1.8)

которое не может быть точно решено, так как его правая часть не является замкнутой относительно В следующих главах мы рассмотрим общие свойства данного уравнения и получим для него приближенную форму, которую можно использовать в практических вычислениях.

1.2 Уравнение Линдблада

В общем случае, эволюция матрицы плотности открытой квантовой системы не является унитарной, то есть не может быть описана уравнениями вида

(1.1) или (1.2). Предположим, что корреляции с окружением в начальном состоянии отсутствуют, так что р (0) = рб (0) 0 рд7 и рассмотрим динамическое отображение

Рз (0)^ р8 (1) = V (I) р8 (0), (1.9)

связывающее состояние системы Б в момент времени I > 0 с ее начальным состоянием. Воспользуемся унитарностью комбинированной системы и спектральным разложением матрицы плотности окружения рд = ^г ^г \г) (г\, где Хг > 0 и Хг = 1, чтобы получить

Рб (£) = Ьтд

и (¿,0) р8 (0) 0 ^ лг \г) (г\ и (0,г)

(1.10)

Из данного выражения следует, что динамическое отображение имеет вид

V (¿) рз = ^ wrq (г) Р8w}q (г), (1.И)

где операторы Wrч (£) действуют в Н з и определяются как

(*) = у/Хд (г\ и (1,0) \я). (1.12)

Нетрудно видеть, что динамическое отображение для замкнутой системы (1.2) является частным случаем (1.11). Операторы (1.12) удовлетворяют тождеству

Е К® ^ (*) = !, (Ы3)

из которого следует свойство отображения (1.11) сохранять след. Кроме того, можно показать, что динамическое отображение является полностью положительным. Эти два свойства гарантируют сохранение физичности матрицы плотности при ее эволюции.

Динамика открытой квантовой системы определяется однопараметриче-ским семейством динамических отображений {V (£) ,1 ^ 0} и является в общем случае очень сложной. На практике обычно предполагают быстрое затухание

корреляций внутри окружения и пренебрегают эффектами памяти в динамике редуцированной системы. С математической точки зрения, вместо V (^ строят приближение V от которого требуют выполнения свойства полугруппы

9(1!) У(ь) = + ь), (1.14)

где ¿1,^2 ^ 0. Соответствующее приближение называют марковским, а одпопа-раметрическое семейство динамических отображений {V (^ ^ 0} - квантовой динамической полугруппой.

По аналогии с (1.1), квантовая динамическая полугруппа может быть представлена в виде эквивалентного дифференциального уравнения для динамики редуцированной матрицы плотности

дг рБ = СрБ, (1.15)

называемого управляющим уравнением. Генератор полугруппы С является супероператором и может рассматриваться как обобщение супероператора Ли-увилля на случай открытых квантовых систем. Математически доказано, что наиболее общая форма генератора квантовой динамической полугруппы, сохраняющей физичность матрицы плотности, имеет вид

Ср3 = -г [Н'3, р8] + ^ ЬгР8Ь\ - 1 Ь\ЬгРз - 2р8Ь\Ьг] . (1.16)

%

Первое слагаемое в правой части представляет собой унитарную часть динамики с приведенным гамильтонианом а оставшиеся отвечают за диссипацию, возникающую из-за взаимодействия открытой системы с окружением. Уравнение для матрицы плотности вида (1.16) называют уравнением Линдблада, а операторы ^ - операторами Линдблада. Отметим, что Н'8 в общем случае не совпадает со свободным гамильтонианом Нв редуцированной системы, а генератор С не определяет единственным образом вид приведенного гамильтониана и операторов Линдблада.

Наличие диссииативиого слагаемого в правой части (1.16) приводит к тому, что матрица плотности рз с течением времени достигает некоторого стационарного значения. О соответствующей динамике населенностей в стандартной терминологии при этом говорят как о продольной релаксации, а о динамике когерентностей - как о поперечной релаксации. В тексте диссертации будет использованы отличные от данных термины, а именно процесс достижения стационарных значений населенностями будет называться релаксацией, а процесс достижения стационарных значений когерентностями (в случае, когда эти значения равны нулю) - декогеренцией.

Рассмотрим, каким образом управляющее уравнение (1.15), замкнутое относительно рз7 может быть получено из точного уравнения (1.8) на основании различных приближений. Прежде всего предположим, что взаимодействие между системой и окружением является малым, и будем рассматривать слагаемое Н1 в гамильтониане (1.4) как возмущение. Запишем уравнение Лиувилля - фон Неймана для полной матрицы плотности комбинированной системы в представлении взаимодействия

связь которого с представлением Шредингера определяется выражениями

1.3 Уравнение Редфилда

дь¡5(1) = — Нт (I) ,¡5(1)

(1.17)

р (I) = из (0,1) ид (0,1) р (I) ид (1,0) из (1,0), А (I) = из (0,1) ид (0,1) А ид (1,0) из (1,0).

(1.18) (1.19)

Здесь использованы операторы свободной эволюции Us/R (t',t), управляемой гамильтонианами Hg/R- Формальное решение уравнения (1.17) имеет вид

p(t) = р(0) - г Щ (Ц) ,p(t') J о L

и при его подстановке обратно в (1.17) получим

dt\

(1.20)

dtp(t) = -г Hj (t) ,р(0)

ñT (t), Hj (t') ,p(H)

dt'.

(1.21)

Как и в предыдущей главе, будем считать начальное состояние факторизован-ным, так что р (0) = рв (0) 0 рк, и рассмотрим случай равновесного окружения, для которого [Нд, рк] = 0. Гамильтониан взаимодействия наиболее общего вида запишем как

Hj = ^ Sn < Rn,

(1.22)

где операторы и Яп действуют в соответствующих пространствах Нв и Нд, и без ограничения общности будем считать, что

{Rn) =tiR (RnpR) = 0.

(1.23)

Последнего условия можно всегда добиться с помощью преобразований Яп ^ Яп — (Яп) и Нв ^ Нв + (Яп) оставляющими инвариантным полный гамильтониан (1.4).

Чтобы получить уравнение для редуцированной матрицы плотности, возьмем частичный след по степеням свободы окружения в уравнении (1.21). С учетом введенных предположений, для первого слагаемого в его правой части получим

R

Hj (t), р (0)1 = ^ {Rn) \Sn (t), ps (0)

= 0,

(1.24)

так что

dtps (t) = - trR Hj (t), Hj (t - t) ,p(t - t) о

dr,

(1.25)

где мы ввели переменную т = t — t'. Данное уравнение точно описывает динамику открытой квантовой системы, но не является замкнутым относительноps (t) и не может быть использовано в практических вычислениях. Поэтому мы далее сделаем несколько приближений. Во-первых, мы используем приближение Бор-на, основанное на предположении о малом влиянии системы на окружение. В рамках этого приближения корреляциями между состояниями системы и окружения пренебрегают и аппроксимируют полную матрицу плотности в любой момент времени t' как

p(t') « ps (t') 0 pR. (1.26)

Подставляя такую факторизованную форму в уравнение (1.25) и расписывая гамильтониан взаимодействия с помощью (1.22), получим

dtps (t) = —J dr £ {trR (.Rn (t) Rn' (t — т) pr) x (1.27)

0 nn'

x Sn (t), Sn' (t — T) Ps (t — T)] + H.c.j (1.28)

Второе приближение, называемое приближением Маркова, связано с предположением, что корреляционные функции окружения

Cnn' (t,T) =tTR (Rn (t) Rn' (t — T) PR) = (1.29)

= trR (RvUr (t,t — t) Ru'Ur (t — T,t) pr)

можно использовать аппроксимацию

Cnn (t,T) Ss (t — t) « Cnn (t,T) Ss (t), (1.30)

сделав тем самым его правую часть локальной по времени. В результате мы получим уравнение

dtPs (t) = — i drY, [Cnn (t,r) [Sn (t), Sn' (t — t) ps (*)] + H.c.) , (1.31)

'0

n n'

которое в представлении Шредингера имеет вид

dtps = Cps = — [Hs, ps] + E ([Qnn' (t) ps, Sn] + H.C.), (1.32)

n n'

где введены операторы

Qnn' (t)= f Cnn' (t,т)Us (t,t — T) Sn'Us (t — T,t)dr. (1.33)

0

Правая часть уравнения (1.32) явным образом зависит от времени через операторы (1.33). В случае стационарного окружения, когда корреляционные функ-

интегрирования в (1.33) до бесконечности. В таком случае уравнение (1.32) называют уравнением Редфилда [5,6].

Первоначально использованное для моделирования ядерного магнитного резонанса [7-9], уравнение Редфилда получило применение в различных областях, включая квантовую оптику [5,10,11], химическую динамику [12] и электронный транспорт [13]. Оно сохраняет след матрицы плотности открытой квантовой системы и дает правильное равновесное состояние при/: ^ ж. А именно, если состояние окружения описывается распределением Больцмана pr ж е—13Нн с обратной температурой Р = (квТ)—\ то уравнение Редфилда даст для открытой системы равновесное состояние ps ж e—l3Hs. Однако это уравнение не может быть приведено к линдбладовскому виду (1.16), что означает немарковость генерируемой им эволюции [14-18] и возможное нарушение положительности матрицы плотности [19]. Для предотвращения этого очень часто вводят дополнительное приближение вращающейся волны, которое расцепляет между собой динамику населенностей и динамику когерентностей. Такое приближение применимо, если скорости релаксации и декогеренции открытой системы гораздо меньше боровских частот соответствующей изолированной системы, и эквивалентно использованию кинетических уравнений для населенностей. Однако пренебрежение когерентностями, когда они имеют тот же порядок величины, что и населенности, может привести к неверным предсказаниям [20,21].

Кроме того, описание эволюции с помощью уравнения Редфилда приводит к нарушению физичности состояния лишь вдали от равновесия, а в стационарном режиме такая проблема в большинстве случае отсутствует [22]. Следуя этим аргументам, мы отказываемся от приближения вращающейся волны и везде в работе используем уравнение (1.32), контролируя при этом в вычислениях сохранение положительности матрицы плотности.

1.4 Обобщенное управляющее уравнение

Взаимодействие открытой квантовой системы с окружением осуществляется путем обмена энергией и частицами, причем состояние системы оказывается связанным со свойствами потока энергии и частиц в силу принципа детального равновесия. Для управления открытой системой с помощью потока частиц используют окружение, состоящее из нескольких подсистем (контактов), обладающих разными химическими потенциалами, так что между ними возникает ток. При этом стационарное состояние системы при наличии тока будет отличаться от распределения Больцмана. В свою очередь, статистические свойства тока, проходящего через систему и испытывающего неупругое рассеяние, будут отличаться от случая прямого протекания между контактами. Поскольку ток не является локальной наблюдаемой, для его исследования редуцированной матрицы плотности оказывается недостаточно. В данной главе мы рассмотрим обобщение описанной ранее теории, основанное на идее полной статистики отсчетов [23], которое позволяет решить данную проблему.

Рассмотрим окружение открытой квантовой системы, состоящее из нескольких контактов и описываемое гамильтонианом

Нд = ^ ЯУ, (1.34)

где V нумерует контакты. Для каждого из контактов можно ввести в рассмотрение гейзенберговский оператор вытекающего тока

I» (?) = -ядм (г), (1.35)

где (Ь) - оператор числа частиц в контакте V, а д - заряд частиц. Статистические свойства тока можно связать с функцией распределения числа частиц т, перешедших па контакт и за промежуток времени которая определяется выражением

Рт (г) = ^Г (5^(})-п,т'РпР (0) Тп) , (1.36)

п

где Тп - оператор проекции па подпространство состояний, для которых= п. Используя интегральное представление для символа Кронекера, получим

1 Г

Рт (^ = 2;к] О Ш) (1.37)

где была введена производящая функция

С (Х1) = к- и (Щ е-гхК»р (0) и (0,*)] , (1.38)

зависящая от времени и от переменной счета х (а также от контакта V, индекс которого мы для краткости опустили). Через кумулянты производящей функции

д п

кп ® = ^-пс Ш

(1.39)

х=о

можно выразить любые наблюдаемые, связанные с током. В частности, для среднего значения тока и дробового шума получим

1и (1) = 1ддгКг (I), (1.40)

^ (1) = 2д2дг [К* (I) - К2 (*)] , (1.41)

а полная функция распределения тока определяется выражением

1 Г

Ри = О Ш) е-*ТЧХ. (1.42)

Для вычисления производящей функции удобно ввести обобщенную редуцированную матрицу плотности

рх (I) = Ьтк [е*м»и (I0) е-1Х^р (0) и (0,1)] ,

(1.43)

которая зависит от переменной счета и совпадает с обычной матрицей плотности при % = 0. Дифференциальное уравнение, которому она удовлетворяет, называют обобщенным управляющим уравнением. По аналогии с обычным управляющим уравнением, используя приближения Борна и Маркова, для него можно получить замкнутую и локальную по времени аппроксимацию

дгРх = схр* = - [н3,РХ8] + ^ {0*пп, (г) Ррп+

пп'

+рШ^ а) - БпЯпп' (ь) рх8 - р*3яПп> м 51},

где операторы (1) определяются выражениями

<£п> (*) = Г ,-г) и8 (г ,г - Т) Бппиз (г - т,г) йт,

(1.44)

схпп> (I^) = (^иЕ {г 1 - т) е-гхМ»ин (г - т,г) Рк)

(1.45)

(1.46)

Данные выражения совпадают с (1.33) и (1.29) при % = 0, так что супероператор С* в (1.44) переходит в супер оператор С из (1.32). Решая обобщенное управляющее уравнение (1.44) с начальным условием р* (0) = рб (0), можно получить производящую функцию С ) = ЬтбР* (^ и тем самым определить полную статистику тока (1.35).

Используя явный вид обобщенного управляющего уравнения (1.44), получим выражения для среднего значения тока и дробового шума. Подстановка определения кумулянта К (Ь) в (1.40) дает

г ■ д д *

= г д^в

х=о

= г д^в

С— ох СдХ Рв

Х=0

+ д^в

I)

г-д- С*

дХ

х=о

х=о.

(1.47)

РБ

В этом выражение первое слагаемое обнуляется, поскольку ^ (СО) = 0 для любого оператора О, так что

1и = дЪтв (^РБ),

(1-

где мы ввели супероператор среднего тока

аРб = г - Сх

дх

Рб =

х=0

пп' \

г —Ох дхЧт

рБ Яп + Н

х=0

4

(1.49)

Из выражения (1.48) видно, что среднее значение тока выражается через обычную матрицу плотности редуцированной системы, взятую в тот же момент времени.

Аналогичным образом, для нахождения дробового шума подставим в (1.41) явный вид кумулянтов К1 (р) и К2 (Ъ). После несложных преобразований получим

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шакиров Алексей Михайлович, 2018 год

Список литературы

[1] Gauyacq J.-P., Lorente N., Novaes F.D. Excitation of local magnetic moments by tunneling electrons. // Progress in Surface Science. - 2012. - T. 87, № 5. -C. 63-107.

[2] Blume D. Few-body physics with ultracold atomic and molecular systems in traps. // Reports on Progress in Physics. - 2012. - T. 75, № 4. - C. 046401(37).

[3] Ladd T.D. h ^p. Quantum computers. // Nature. - 2010. - T. 464. - C. 45-53.

[4] Kamenev A. Field theory of non-equilibrium systems. - Cambridge University Press, 2011. - 356 c.

[5] Breuer H.-P., Petruccione F. The theory of open quantum systems. - Oxford University Press, 2002. - 648 c.

[6] Pollard W.T., Felts A.K., Friesner R.A. The Redfield equation in condensedphase quantum dynamics. // Advances in chemical physics: New methods in computational quantum mechanics. Vol. 93 / ed. by Prigogine I., Rice S.A. -John Wiley & Sons, Inc., 1996. - C. 77-134.

[7] Wangsness R.K., Bloch, F. The dynamical theory of nuclear induction. // Physical Review. - 1953. - T. 89, № 4. - C. 728-739.

[8] Bloch F. Generalized theory of relaxation. // Physical Review. - 1957. - T. 105, № 4. - C. 1206-1222.

[9] Redfield A.G. On the theory of relaxation processes. // IBM Journal of Research and Development. - 1957. - T. 1, № 1. - C. 19-31.

[10] Scully M.O., Zubairy M.S. Quantum optics. - Cambridge University Press, 1997. - 630 c.

[11] Gardiner C., Zoller P. Quantum noise. - Springer, 2004. - 450 c.

[12] Nitzan A. Chemical dynamics in condensed phases. - Oxford University Press, 2006. - 752 c.

[13] Esposito M., Harbola U., Mukamel S. Nonequilibrium fluctuations, fluctuation theorems, and counting statistics in quantum systems. // Reviews of Modern Physics. - 2009. - T. 81, № 4. - C. 1665-1702.

[14] Wolf M.M. h Assessing non-Markovian quantum dynamics. // Physical Review Letters. - 2008. - T. 101, № 15. - C. 150402(4).

[15] Breuer H.-P., Laine E.-M., Piilo J. Measure for the degree of non-Markovian behavior of quantum processes in open systems. // Physical Review Letters. - 2009. - T. 103, № 21. - C. 210401(4).

[16] Rivas A., Huelga S.F., Plenio M.B. Entanglement and non-Markovianity of quantum evolutions. // Physical Review Letters. - 2010. - T. 105, № 5. - C. 050403(4).

[17] Hall M.J.W. h Canonical form of master equations and characterization of non-Markovianity. // Physical Review A. - 2014. - T. 89, № 4. - C. 042120(11).

[18] Ribeiro P., Vieira V.R. Non-Markovian effects in electronic and spin transport. // Physical Review B. - 2015. - T. 92, № 10. - C. 100302(5).

[19] Alicki R., Lendi K. Quantum dynamical semigroups and applications. -Springer, 1987. - 198 c.

[20] Kaiser F.J. h ^p. Coherent charge transport through molecular wires: Influence of strong Coulomb repulsion. // Chemical Physics. - 2006. - T. 322, № 1. -C. 193-199.

[21] Harbola U., Esposito M., Mukamel S. Quantum master equation for electron transport through quantum dots and single molecules. // Physical Review B.

- 2006. - T. 74, № 23. - C. 235309(13).

[22] Pechukas P. Reduced dynamics need not be completely positive. // Physical Review Letters. - 1994. - T. 73, № 8. - C. 1060-1062.

[23] Quantum noise in mesoscopic physics. / ed. by Nazarov Y.V. - Springer, 2003.

- 524 c.

[24] Бражкин В.В. Метастабильные фазы, фазовые превращения и фазовые диаграммы в физике и химии. // Успехи физических наук. - 2006. - Т. 176. - С. 745-750.

[25] Fukui К. Role of frontier orbitals in chemical reactions. // Science. - 1982. -T. 218, № 4574. - C. 747-754.

[26] Alexandrov A.S., Bratkovsky A.M. Memory effect in a molecular quantum dot with strong electron-vibron interaction. // Physical Review B. - 2003. - T. 67, № 23. - C. 235312(8).

[27] Galperin M., Ratner M.A., Nitzan A. Hysteresis, switching, and negative differential resistance in molecular junctions: A polaron model. // Nano Letters. - 2005. - T. 5, № 1. - C. 125-130.

[28] Casadio R., Nicolini P. The decay-time of non-commutative micro-black holes. // Journal of High Energy Physics. - 2008. - T. 2008, № 11. - C. 072(9).

[29] Arseyev P.I., Maslova N.S., Mantsevich V.N. Coulomb correlations effects on localized charge relaxation in the coupled quantum dots. // European Physical Journal B. - 2012. - T. 85, № 7. - C. 249(9).

[30] Mitchell A.K., Logan D.E. Two-channel Kondo phases and frustration-induced transitions in triple quantum dots. // Physical Review B. - 2010. - T. 81, №

7. - C. 075126(19).

[31] Mitchell A.K. h ^p. Local moment formation and Kondo screening in impurity trimers. // Journal of Physical Chemistry B. - 2013. - T. 117, № 42. - C. 12777-12786.

[32] Li G. h Competing phases of the Hubbard model on a triangular lattice: Insights from the entropy. // Physical Review B. - 2014. - T. 89, № 16. - C. 161118(5).

[33] Hofferberth S. h ^p. Non-equilibrium coherence dynamics in one-dimensional Bose gases. // Nature. - 2007. - T. 449. - C. 324-327.

[34] Polkovnikov A. h ^p. Colloquium: Nonequilibrium dynamics of closed interacting quantum systems. // Reviews of Modern Physics. - 2011. - T. 83, № 3. - C. 863(21).

[35] Trotzky S. h Probing the relaxation towards equilibrium in an isolated strongly correlated one-dimensional Bose gas. // Nature Physics. - 2012. - T.

8. - C. 325-330.

[36] Gring M. h Relaxation and prethermalization in an isolated quantum system. // Science. - 2012. - T. 337, № 6100. - C. 1318-1322.

[37] Langen T. h ^p. Local emergence of thermal correlations in an isolated quantum many-body system. // Nature Physics. - 2013. - T. 9. - C. 640-643.

[38] Eisert J., Friesdorf M., Gogolin C. Quantum many-body systems out of equilibrium. // Nature Physics. - 2015. - T. 11. - C. 124-130.

[39] Deutsch J.M. Quantum statistical mechanics in a closed system. // Physical Review A. - 1991. - T. 43, № 4. - C. 2046-2049.

[40] Srednicki M. Chaos and quantum thermalization. // Physical Review E. -1994. - T. 50, № 2. - C. 888-901.

[41] Rigol M., Dunjko V., Olshanii M. Thermalization and its mechanism for generic isolated quantum systems. // Nature. - 2008. - T. 452. - C. 854-858.

[42] Goldstein S. Canonical typicality. // Physical Review Letters. - 2006. - T. 96, № 5. - C. 050403(3).

[43] Eckstein M., Kollar, M. Nonthermal steady states after an interaction quench in the Falicov-Kimball model. // Physical Review Letters. - 2008. - T. 100, № 12. - C. 120404(4).

[44] Znidaric M. h ^p. Thermalization and ergodicity in one-dimensional many-body open quantum systems. // Physical Review E. - 2010. - T. 81, № 5. -C. 051135(5).

[45] Riera A., Gogolin C., Eisert J. Thermalization in nature and on a quantum computer. // Physical Review Letters. - 2012. - T. 108, № 8. - C. 080402(5).

[46] Cooks R.G. h Ambient mass spectrometry. // Science. - 2006. - T. 311, № 5767. - C. 1566-1570.

[47] Somorjai G.A., Li Y. Introduction to surface chemistry and catalysis. - John Wiley & Sons, Inc., 2010 - 800 c.

[48] Walls D.F, Milburn G.J. Quantum optics. - Springer, 2008. - 425 c.

[49] Taleyarkhan R.P. h ^p. Evidence for nuclear emissions during acoustic cavitation. // Science. - 2002. - T. 295, № 5561. - C. 1868-1873.

[50] Spitzer L.S. Dynamical evolution of globular clusters. - Princeton University Press, 2014. - 182 c.

[51] Hess H.F. Evaporative cooling of magnetically trapped and compressed spin-polarized hydrogen. // Physical Review B. - 1986. - T. 34, № 5. - C. 3476-3479.

[52] Davis K.B. h ^p. Evaporative cooling of sodium atoms. // Physical Review Letters. - 1995. - T. 74, № 26. - C. 5202-5205.

[53] Ketterle W., van Druten N.J. Evaporative cooling of trapped atoms. // Advances in Atomic, Molecular and Optical Physics. - 1996. - T. 37. - C. 181-236.

[54] McKay D. C., DeMarco B. Cooling in strongly correlated optical lattices: prospects and challenges. // Reports on Progress in Physics. - 2011. - T. 74, № 5. - C. 054401(29).

[55] Bakr W.S. h ^p. A quantum gas microscope for detecting single atoms in a Hubbard-regime optical lattice. // Nature. - 2009. - T. 462. - C. 74-77.

[56] Serwane F. h ^p. Deterministic preparation of a tunable few-fermion system. // Science. - 2011. - T. 332, № 6027. - C. 336-338.

[57] Zimmermann B. h ^p. High-resolution imaging of ultracold fermions in microscopically tailored optical potentials. // New Journal of Physics. - 2011. - T. 13, № 4. - C. 043007(13).

[58] Bourgain R. H^p. Evaporative cooling of a small number of atoms in a single-beam microscopic dipole trap. // Physical Review A. - 2013. - T. 88, № 2. -C. 023428(6).

[59] Rigol M. h Relaxation in a completely integrable many-body quantum system: An ab initio study of the dynamics of the highly excited states of ID lattice hard-core bosons. // Physical Review Letters. - 2007. - T. 98, № 5. -C. 050405(4).

[60] Cassidy A.C., Clark C.W., Rigol M. Generalized thermalization in an integrable lattice system. // Physical Review Letters. - 2011. - T. 106, № 14. - C. 140405(4).

[61] Elstner N., Monien H. Dynamics and thermodynamics of the Bose-Hubbard model. // Physical Review B. - 1999. - T. 59, № 19. - C. 12184-12187.

[62] Rigol M. Quantum quenches and thermalization in one-dimensional fermionic systems. // Physical Review A. - 2009. - T. 80, № 5. - C. 053607(12).

[63] Beugeling W., Moessner R., Haque M. Off-diagonal matrix elements of local operators in many-body quantum systems. // Physical Review E. - 2015. -T. 91, № 1. - C. 012144(10).

[64] Steinigeweg R., Herbrych J., Prelovsek P. Eigenstate thermalization within isolated spin-chain systems. // Physical Review E. - 2013. - T. 87, № 1. - C. 012118(5).

[65] Ikeda T.N., Watanabe Y., Ueda M. Finite-size scaling analysis of the eigenstate thermalization hypothesis in a one-dimensional interacting Bose gas. // Physical Review E. - 2013. - T. 87, № 1. - C. 012125(5).

[66] Beugeling W., Moessner R., Haque M. Finite-size scaling of eigenstate thermalization. // Physical Review E. - 2014. - T. 89, № 4. - C. 042112(9).

[67] Stipe B.C., Rezaei M.A., Ho W. Single-molecule vibrational spectroscopy and microscopy. // Science. - 1998. - T. 280, № 5370. - C. 1732-1735.

[68] Meier F. h ßp. Revealing magnetic interactions from single-atom magnetization curves. // Science. - 2008. - T. 320, № 5872. - C. 82-86.

[69] Wiesendanger R. Spin mapping at the nanoscale and atomic scale. // Reviews of Modern Physics. - 2009. - T. 81, № 4. - C. 1495-1550.

[70] Loth S. h pp. Controlling the state of quantum spins with electric currents. // Nature Physics. - 2010. T. 0. C. 340-344.

[71] Baumann S. h ^p. Electron paramagnetic resonance of individual atoms on a surface. // Science. - 2015. - T. 350, № 6259. - C. 417-420.

[72] Krause S. h ^p. High-frequency magnetization dynamics of individual atomic-scale magnets. // Physical Review B. - 2016. - T. 93, № 6. - C. 064407(7).

[73] Paul W. h Control of the millisecond spin lifetime of an electrically probed atom. // Nature Physics. - 2016. - T. 13. - C. 403-407.

[74] Lado J.L., Ferron A., Fernandez-Rossier J. Exchange mechanism for electron paramagnetic resonance of individual adatoms. // Physical Review B. - 2017.

- T. 96, № 20. - C. 205420(6).

[75] Yan S. h ^p. Nonlocally sensing the magnetic states of nanoscale antiferromagnets with an atomic spin sensor. // Science Advances. - 2017.

- T. 3, № 5. - C. el603137(10).

[76] Heinrich A.J. h ^p. Single-atom spin-flip spectroscopy. // Science. - 2004. -T. 306, № 5695. - C. 466-469.

[77] Hirjibehedin C.F., Lutz C.P., Heinrich A.J. Spin coupling in engineered atomic structures. // Science. - 2006. - T. 312, № 5776. - C. 1021-1024.

[78] Hirjibehedin C.F. h ^p. Large magnetic anisotropy of a single atomic spin embedded in a surface molecular network. // Science. - 2007. - T. 317, № 5842. - C. 1199-1203.

[79] Tsukahara N. h ^p. Adsorption-induced switching of magnetic anisotropy in a single iron(II) phthalocyanine molecule on an oxidized Cu(110) surface. // Physical Review Letters. - 2009. - T. 102, № 16. - C. 167203(4).

[80] Otte A.F. h pp. Spin excitations of a Kondo-screened atom coupled to a second magnetic atom. // Physical Review Letters. - 2009. - T. 103, № 10. - C. 107203(4).

[81] Spinelli A. h ^p. Imaging of spin waves in atomically designed nanomagnets. // Nature Materials. - 2014. - T. 13. - C. 782-785.

[82] Choi D.-J. h ^p. Structural and magnetic properties of FeMnx chains (x=l-6) supported on Cu2N/Cu (100). // Physical Review B. - 2016. - T. 94, № 8. -C. 085406(9).

[83] Girovsky J. h ^p. Emergence of quasiparticle Bloch states in artificial crystals crafted atom-by-atom. // SciPost Physics. - 2017. - T. 2, № 3. - C. 020(12).

[84] Imre A. h ^p. Majority logic gate for magnetic quantum-dot cellular automata. // Science. - 2006. - T. 311, № 5758. - C. 205-208.

[85] Khajetoorians A.A. h ^p. Realizing all-spin-based logic operations atom by atom. // Science. - 2011. - T. 332, № 6033. - C. 1062-1064.

[86] Leuenberger M.N., Loss D. Quantum computing in molecular magnets. // Nature. - 2001. - T. 410. - C. 789-793.

[87] Troiani F. h ^p. Molecular engineering of antiferromagnetic rings for quantum computation. // Physical Review Letters. - 2005. - T. 94, № 20. - C. 207208(4).

[88] Bogani L., Wernsdorfer W. Molecular spintronics using single-molecule magnets. // Nature Materials. - 2008. - T. 7. - C. 179-186.

[89] Anderson P.W. Localized magnetic states and Fermi-surface anomalies in tunneling. // Physical Review Letters. - 1966. - T. 17, № 2. - C. 95-97.

[90] Schrieffer J.R., Wolff P.A. Relation between the Anderson and Kondo Hamiltonians. // Physical Review. - 1966. - T. 149, № 2. - C. 491-492.

[91] Gatteschi D., Sessoli R., Villain J. Molecular nanomagnets. - Oxford University Press, 2006. - 408 c.

[92] Otte A.F. h ^p. The role of magnetic anisotropy in the Kondo effect. // Nature Physics. - 2008. - T. 4. - C. 847-850.

[93] Fernández-Rossier J. Theory of single-spin inelastic tunneling spectroscopy. // Physical Review Letters. - 2009. - T. 102, № 5. - C. 256802(4).

[94] Delgado F., Fernández-Rossier J. Spin dynamics of current-driven single magnetic adatoms and molecules. // Physical Review B. - 2010. - T. 82, № 13. - C. 134414(15).

[95] Fransson J. Spin inelastic electron tunneling spectroscopy on local spin adsorbed on surface. // Nano Letters. - 2009. - T. 9, № 6. - C. 2414-2417.

[96] Ternes M. Spin excitations and correlations in scanning tunneling spectroscopy. // New Journal of Physics. - 2015. - T. 17, № 6. - C. 063016(27).

[97] Persson M. Theory of inelastic electron tunneling from a localized spin in the impulsive approximation. // Physical Review Letters. - 2009. - T. 103, № 5.

- C. 050801(4).

[98] Lorente N., Gauyacq J.-P. Efficient spin transitions in inelastic electron tunneling spectroscopy. // Physical Review Letters. - 2009. - T. 103, № 17. -C. 176601(4).

[99] Delgado F., Palacios J.J., Fernández-Rossier J. Spin-transfer torque on a single magnetic adatom. // Physical Review Letters. - 2010. - T. 104, № 2. - C. 026601(4).

[100] Gauyacq J.-P., Lorente N. Decoherence-governed magnetic-moment dynamics of supported atomic objects. // Journal of Physics: Condensed Matter. - 2015.

- T. 27, № 45. - C. 455301(7).

[101] Delgado F., Fernändez-Rossier J. Spin decoherence of magnetic atoms on surfaces. // Progress in Surface Science. - 2017. - T. 92, № 1. - C. 40-82.

[102] Rosch A. h Nonequilibrium transport through a Kondo dot in a magnetic field: Perturbation theory and poor man's scaling. // Physical Review Letters. - 2003. - T. 90, № 7. - C. 076804(4).

[103] Slonczewski J.C. Current-driven excitation of magnetic multilayers. // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. - 1996. - T. 159, № 1. - C. L1-L7.

[104] König J., Martinek J. Interaction-driven spin precession in quantum-dot spin valves. // Physical Review Letters. - 2003. - T. 90, № 16. - C. 166602(4).

[105] Braun M., König J., Martinek J. Theory of transport through quantum-dot spin valves in the weak-coupling regime. // Physical Review B. - 2004. - T. 70, № 19. - C. 195345(12).

[106] Rudzinski W. h ßp. Spin effects in electron tunneling through a quantum dot coupled to noncollinearly polarized ferromagnetic leads. // Physical Review B. - 2005. - T. 71, № 20. - C. 205307(10).

[107] Weymann I., Barnas J. Cotunneling through quantum dots coupled to magnetic leads: Zero-bias anomaly for noncollinear magnetic configurations. // Physical Review B. - 2007. - T. 75, № 15. - C. 155308(12).

[108] Miyamachi T. h ßp. Stabilizing the magnetic moment of single holmium atoms by symmetry. // Nature. - 2013. - T. 503. - C. 242-246.

[109] Timm C., Eiste F. Spin amplification, reading, and writing in transport through anisotropic magnetic molecules. // Physical Review B. - 2006. - T. 73, № 23. - C. 235304(6).

[110] Eiste F., Timm C. Transport through anisotropic magnetic molecules with partially ferromagnetic leads: Spin-charge conversion and negative differential conductance. // Physical Review B. - 2006. - T. 73, № 23. - C. 235305(7).

[111] Eiste F., Timm C. Cotunneling and nonequilibrium magnetization in magnetic molecular monolayers. // Physical Review B. - 2007. - T. 75, № 19. - C. 195341(8).

[112] Misiorny M., Barnas J. Spin polarized transport through a single-molecule magnet: Current-induced magnetic switching. // Physical Review B. - 2007.

- T. 76, № 5. - C. 054448(5).

[113] Misiorny M., Weymann I., Barnas J. Spin effects in transport through single-molecule magnets in the sequential and cotunneling regimes. // Physical Review B. - 2009. - T. 79, № 22. - C. 224420(14).

[114] Loth S. h ^p. Bistability in atomic-scale antiferromagnets. // Science. - 2012.

- T. 335, № 6065. - C. 196-199.

[115] Heinrich B.W. h ^p. Protection of excited spin states by a superconducting energy gap. // Nature Physics. - 2013. T. 9. C. 765-768.

[116] Bacon D., Brown K.R., Whaley K.B. Coherence-preserving quantum bits. // Physical Review Letters. - 2001. - T. 87, № 24. - C. 247902(4).

[117] Lidar D.A., Whaley K.B. Decoherence-free subspaces and subsystems. // Irreversible Quantum Dynamics / ed. by Benatti F., Floreanini R. - Springer, 2003. - C. 83-120.

[118] Lidar D.A. Review of decoherence-free subspaces, noiseless subsystems, and dynamical decoupling. // Quantum information and computation for chemistry: Advances in chemical physics. Vol. 154 / ed. by Kais S. - John Wiley & Sons, Inc., 2014. - C. 295-354.

[119] Kimura G. Restriction on relaxation times derived from the Lindblad-type master equations for two-level systems. // Physical Review A. - 2002. - T. 66, № 6. - C. 062113(4).

[120] Sudarshan E.C.G. Evolution and decoherence in finite level systems. // Chaos, Solitons and Fractals. - 2003. - T. 16, № 3. - C. 369-379.

[121] Khajetoorians A.A. и др. Current-driven spin dynamics of artificially constructed quantum magnets. // Science. - 2013. - T. 339, № 6115. - C. 55-59.

[122] Kitaev A.Y. Unpaired Majorana fermions in quantum wires. // Успехи физических наук. - 2001. - Т. 171, дополнение к № 10. - С. 131-136.

[123] Toskovic R. и др. Atomic spin-chain realization of a model for quantum criticality. // Nature Physics. - 2016. - T. 12. - C. 656-660.