Некоторые вопросы динамики и управления квантовыми системами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат наук Печень, Александр Николаевич

• Печень, Александр Николаевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Печень, Александр Николаевич

Содержание

Введение

Глава 1 Предел малой плотности и свободная статистика

1.1 Модель квантовой частицы в квантовом газе

1.2 Корреляционные функции в пределе малой плотности

1.3 Нетривиальные в пределе малой плотности диаграммы

1.4 Операторы квантового белого шума со свободной статистикой

1.5 Независимость и обобщенная пуассонова статистика в пределе малой плотности

1.6 Операторное представление предельных корреляционных функций

Глава 2 Некогерентное управление, использующее резервуар

2.1 Когерентное управление

2.2 Терминальные задачи квантового управления

2.3 Некогерентное управление

2.4 Управляемость и универсально-оптимальные управления

2.5 Управление, использующее некогерентное излучение

2.6 Управление, использующее квантовый газ

2.7 Схема создания произвольных квантовых состояний

2.8 Пример: создание смешанного состояния атома кальция

Глава 3 Некогерентное управление, использующее квантовые

измерения

3.1 Неселективные квантовые измерения в управлении

3.2 Оптимальное управление в двухуровневой системе

3.2.1 Оптимальные измерения

3.2.2 Оптимальный перенос населённости

3.2.3 Связь с динамическим эффектом Зенона

3.3 Перенос населенности в системе с динамической симметрией

3.4 Об экспериментальной реализации квантовых измерений

Глава 4 Ландшафты управления для замкнутых квантовых

систем

4.1 Основные понятия

4.2 Градиент и гессиан целевого функционала

4.3 Отсутствие ловушек для регулярных управлений

4.4 Отсутствие ловушек для двухуровневой системы Ландау-Зинера

4.5 Влияние шумов на свойства ландшафта

4.6 Ловушки второго порядка для систем с числом уровней п > 3

4.7 Ловушки второго порядка для трехуровневой А-системы

4.8 Отсутствие ловушек для задачи управления коэффициентом прохождения частицы через барьер

Глава 5 Ландшафты управления для открытых квантовых

систем

5.1 Кинематическое представление

5.1.1 Представление отображений Крауса матрицами Крауса

5.1.2 Представление отображений Крауса унитарными отображениями в расширенном пространстве

5.2 Критические точки То для двухуровневой системы

5.3 Критические точки То для n-уровневых систем

5.4 Универсальный анализ кинематических ландшафтов для классических и квантовых открытых систем

5.4.1 Ландшафты управления для классических систем

5.4.2 Ландшафты управления для квантовых систем

5.4.3 Универсальный анализ кинематических ландшафтов

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые вопросы динамики и управления квантовыми системами»

Введение

В настоящее время как самостоятельно, так и в связи с различными приложениями большой интерес привлекают такие области математической физики, как математические вопросы динамики и управления квантовыми системами. Часто возникают задачи, связанные с изучением открытых квантовых систем, то есть квантовых систем, взаимодействующих с резервуаром (окружением). Примерами открытых квантовых систем являются атом, молекула, или нано-частица, взаимодействующие с излучением либо квантовым газом, химические реагенты в растворе, электрон в квантовой точке в окружении ядерных спинов. Изучение динамики открытых квантовых систем имеет большое значение для исследования вопросов декогеренции, в том числе столкновительной декогерен-ции частицы в квантовом газе, стремления квантовых систем к равновесию, проблемы квантового измерения, проблемы необратимости (парадокса Лош-мидта), изучения поведения атомов либо молекул в лазерном поле, вычисления транспортных коэффициентов. Изучение вопросов управления важно для оптимального контроля химических реакций, в квантовой оптике, квантовой информации, квантовых вычислениях.

Важной задачей в динамике открытых квантовых систем является вывод из точных уравнений Шредингера и Гейзенберга мастер-уравнений для редуцированной, то есть усреднённой по состоянию резервуара, динамики системы. Точные мастер-уравнения включают эффекты памяти и как правило являются сложными для практического изучения. Однако в некоторых физически важных режимах решения точных уравнений аппроксимируются решениями значительно более простых марковских мастер-уравнений. Такими режимами являются режимы слабой связи и малой плотности. В первом случае взаимодействие между системой и резервуаром является слабым, во втором — мала плотность числа частиц резервуара, в то время как взаимодействие может быть сильным. В обоих случаях упрощенное описание возникает на больших временах t, соответствующих кинетическому этапу эволюции. Формально пределы слабой связи и малой плотности определяются как А —> 0, t —> +00, A2t — const

и п —у 0, t —У + со, nt = const, где Л — константа связи и п — плотность частиц резервуара.

Изучение динамики различных систем на больших временах в режимах слабой связи и малой плотности проводилось в многочисленных работах, начиная с работ H.H. Боголюбова [12], JI. ван Хова [226], И. Пригожина [50]. Редуцированная динамика системы, взаимодействующей с равновесным резервуаром в пределе слабой связи, изучалась в работах Е. Дэвиса [97], Г. Шпона, Д. Лебови-ца [211, 212] и других авторов, где было показано, что в этих режимах точная редуцированная динамика аппроксимируется марковскими мастер-уравнениями, генераторы которых являются генераторами квантовых динамических полугрупп. Общий вид генератора квантовой динамической полугруппы получен в работах В. Горини, А. Коссаковского, Е. Сударшана [117] и Г. Линдблада [147]. Редуцированная динамика системы, взаимодействующей с разреженным квантовым газом, исследовалась в пределе малой плотности в работе [107]. Была доказана сходимость редуцированной матрицы плотности к решению марковского мастер-уравнения (квантового линейного уравнения Больцмана). Исследовались стационарные решения этого уравнения и было показано, что при некоторых предположениях на гамильтониан взаимодействия стационарное состояние системы является гиббсовским с температурой, равной температуре газа. В приложениях режим слабой связи описывает динамику атомов или молекул, взаимодействующих с излучением в задачах квантовой оптики [24, 4, 58, 53]; режим малой плотности — столкновительную декогеренцию квантовой частицы в квантовом газе [225, 123, 70]. Многие результаты по теории открытых квантовых систем изложены в книгах Е. Дэвиса [98], К. Крауса [138], A.M. Чеботарева [91] Л. Аккарди, Ю. Лу и И.В. Воловича [65], A.C. Холево [61], Ю.М. Белоусова и В.И. Манько [10], С. Атталя, А. Жу и К.А. Пиле [76], В.Е. Тарасова [221], Х.П. Бройера и Ф. Петруччионе [16].

Значительно более сложной по сравнению с выводом мастер-уравнений задачей является вывод приближённых уравнений, описывающих в режимах слабой связи и малой плотности эволюцию полной системы, включающей также и резервуар. В работах Л. Аккарди, Ю. Лу, И.В. Воловича был разработан

метод стохастического предела, позволяющий выводить квантовые стохастические дифференциальные уравнения (КСДУ) для полной системы в пределе слабой связи [65] (о теории КСДУ см. [126, 59]). В работах А.Н. Печеня и И.В. Воловича был развит метод вывода уравнений, описывающих поправки по А к стохастическому пределу, учитывающие конечную величину константы связи [163, 43]. Сходимость полной динамики в пределе малой плотности к решению КСДУ с квантовым процессом Пуассона исследовалась в работах [63, 198, 112]. Метод вывода КСДУ в пределе малой плотности с использованием техники квантового белого шума был разработан в работах А.Н. Печеня, JI. Аккарди, И.В. Воловича [66, 67, 164, 165]. Исследование связи КСДУ с краевой задачей для уравнения Шредингера содержится в работе A.M. Чеботарева [91].

В диссертации установлена связь динамики открытых квантовых систем в пределе малой плотности с теорией свободной вероятности (англ.: free probability) и свободной статистикой. Теория свободной (квантовой) вероятности является разделом общей теории квантовой вероятности, предметом изучения которой являются некоммутативные случайные величины. Теория свободной вероятности получила развитие в работах Д. Войкулеску в середине 1980-х годов в контексте изучения алгебр фон Неймана свободных групп. Однако еще в 1967 году В. Марченко и JI. Пастуром была получена формула, описывающая асимптотическое поведение собственных значений случайных матриц — распределение Марченко-Пастура, имеющее тот же вид, что распределение свободного процесса Пуассона в теории свободной вероятности [39]. Впоследствии теория свободной вероятности стала развиваться как самостоятельный раздел математики с приложениями в основном в теории случайных матриц [232, 233, 120, 158]. В диссертации показано, что квантовый белый шум со свободной статистикой естественно возникает при изучении динамики открытых квантовых систем в пределе малой плотности, что дает новый пример возникновения свободной статистики и свободной вероятности в математической физике [166].

Тесно связанными с вопросами динамики являются задачи управления квантовыми системами. Теория оптимального управления классическими система-

ми возникла в конце 1950-х - начале 1960-х годов, когда был разработан принцип максимума Понтрягина в работах JI.C. Понтрягина, В.Г. Болтянского, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко [49] и метод динамического программирования Беллмана [9]. Подробное изложение обоих методов содержится в [2]. Некоторые проблемы управления квантовыми системами, такие как задача оптимальной фильтрации квантовых переменных, рассматривались в начале 1970-х (Б.А. Гришанин, P.JI. Стратонович [23]). Активное внимание вопросы управления системами атомных и молекулярных размеров, подчиняющимися законам квантовой механики, начали привлекать в конце 1970-х-1980-х годах в работах А.Г. Бутковского и А.Ю. Самойленко [17, 18, 52], М. Рубина [197], В.П. Бе-лавкина [8], Д. Хуанга, Т. Тарна и Дж. Кларка [125], Д. Тэннора и С. Рай-са [216], П. Брюмера и М. Шапиро [88], А. Пирса, М. Далеха, X. Рабица [182] и других авторов. Полученные в то время результаты изложены в статье H.JI. Лепе [36], книгах Б.Н. Петрова, И.И. Гольденблата, Г.М. Уланова, C.B. Ульянова [42], А.Г. Бутковского и Ю.И. Самойленко [19]. В настоящее время группы по данному направлению работают во многих ведущих научных центрах мира. Согласно Web of Science, ежегодно публикуется около 1300 статей, в том числе в журналах Science и Nature [113, 186, 236, 183, 223, 228, 152, 80, 82]. Изучается лазерное управление химическими реакциями [216, 88, 86, 199, 96, 85], лазерное охлаждение [218, 209, 200], управление обменным и сверхобменным взаимодействием для ультрахолодных атомов [223, 106], управление диссоциацией [146] и ориентацией [213, 110, 249] молекул. Многие результаты изложены в книгах [192, 206, 56, 94, 219, 146]. Нобелевская премия по физике 2012 года присуждена Сержу Арошу и Дэвиду Вайнленду за создание экспериментальных методов, позволяющих манипулировать и производить измерения над отдельными квантовыми системами.

Большое внимание уделяется изучению когерентного управления изолированными от окружения, то есть замкнутыми, n-уровневыми системами. Широкий класс задач управления для таких систем ставится как задача максимизации функционалов вида = где Uj, есть унитарный оператор, описывающий эволюцию системы от момента временив = 0 до финального момента

времени Т > 0 под действием управления f(t) и Т : U(n) —> M. — некоторая функция на унитарной группе. Для замкнутых систем исследовались вопросы управляемости [125, 191, 224, 201, 202, 73], восходящие к работе [131], различные алгоритмы поиска оптимальных управлений [217, 132, 135, 3, 32, 108, 149] и многие другие проблемы. Изучается управление бесконечномерными системами [230]. Важной актуальной темой является исследование ландшафтов управления, то есть графиков целевых функционалов, описывающих задачи управления квантовыми системами, в том числе изучение ловушек (локальных экстремумов, не являющихся глобальными). Различают динамические и кинематические ландшафты — графики функционалов и функций F(U), соответственно. Исследование кинематических ландшафтов формально можно связать с работой фон Неймана [234], посвященной изучению экстремумов следовых функций на унитарных группах, и с работой Брокетта, посвященной изучению экстремумов следовых функций на ортогональных группах [87] (однако в обоих случаях в другом контексте). Исследование динамических ландшафтов задач квантового управления получило развитие благодаря работе X. Рабица, М. Хсиеха и К. Розенталя [187], в которой высказано предположение об отсутствии ловушек в динамическом ландшафте задачи переноса населенности. Впоследствии ландшафты управления изучались в многочисленных работах, включая [188, 189, 190, 90, 124, 99, 155, 244, 245, 156, 246] и другие. Несмотря на большие усилия научного сообщества, доказать гипотезу об отсутствии ловушек в динамическом ландшафте без привлечения дополнительных предположений удалось только для задачи управления коэффициентом прохождения частицы через барьер (задача управления системой с бесконечным числом уровней) и двухуровневой квантовой системы Ландау-Зинера [179], в то время как для широкого класса замкнутых систем с числом уровней более двух доказано существование ловушек второго порядка — критических точек в которых гессиан ¿^"(/) отрицательно полуопределен и которые не являются точками глобального максимума [178, 175].

Предположение об изолированности управляемой системы от окружения нередко является слишком сильным — во многих приложениях взаимодействием

квантовых систем с окружением нельзя пренебречь, что определяет практическую важность изучения задач управления открытыми квантовыми системами. Задачи управления открытыми квантовыми системами возникают в различных разделах физики и химии, от задач лазерного управления химическими реакциями в растворах и управления электроном в квантовой точке в окружении ядерных спинов до индуцирования зацепленных состояний и квантовых вычислений со смешанными состояниями и неунитарными квантовыми вентилями. Для открытых квантовых систем сформулирован принцип максимума Понтрягина (Н. Jirari и W. Pötz) [130], выведены уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана (J. Goiigh, В.П. Белавкин, О.Г. Смолянов) [118], исследовались вопросы управляемости (С. Altafini) [74, 75], управление с обратной связью (Н.М. Wiseman, G.J. Milburn, Н. Mabuchi) [237, 238,102, 239], управление с помощью последовательности коротких импульсов [215], с помощью квантовых измерений (А.Б. Климов, В.И. Манько, L. Roa, К. Jacobs) [229,115,151,193,194,129]. Развита теория оптимального управления для задачи уменьшения декогерен-ции в кубите [116]. При этом обычно предполагалось, что управляющее воздействие — когерентное, влияющее только на гамильтонову часть динамики.

В настоящее время экспериментально и теоретически активно исследуются задачи, связанные управлением с помощью резервуара, когда параметры резервуара (его температура, плотность, и более обще, функция распределения либо взаимодействие с системой) оптимизируются для достижения заданной цели управления. Применение управления с использованием резервуара может быть полезно для экспериментальной реализации квантовых вычислений со смешанными состояниями и неунитарными логическими элементами [71, 220]. Обнаружены неклассические свойства излучения в ансамбле трехуровневых атомов, взаимодействующих посредством некогерентного резервуара [150]. Показана возможность создания перепутанных состояний системы двух атомов, взаимодействующих с тепловым двухмодовым полем [81, 7]. Получены необходимые и достаточные условия для управляемости при непрямом некогерентном управлении двухуровневой системой путем воздействия на дополнительную систему, взаимодействующую с исходной [195]. Показана возможность создания неко-

торых смешанных состояний системы, взаимодействующей с окружением [69]. Реализован эксперимент по управлению возбуждением атомов криптона с использованием некогерентного излучения [101]. Изучено управление диссипатив-ным туннелированием в системах взаимодействующих молекул [25]. Построен метод создания двукубитного квантового вентиля контролируемой фазы путем манипулирования резервуаром [247]. Предложен способ создания различных гамильтонианов взаимодействия двухуровневой системы со спиновым резервуаром [196]. Показана возможность создания различных состояний системы охлажденных атомов с помощью индуцированной резервуаром диссипации путем подбора взаимодействия системы с резервуаром [100]. Предложено использование диссипативных эффектов для приготовления квантовых состояний в задачах квантовых вычислений [228]. Показана возможность применения специально приготовленного резервуара с использованием когерентного управления и обратной связи для создания квантовых состояний [203]. Предложен метод создания зацепленных состояний электромагнитного поля в резонаторе путем использования резервуара, состоящего из пучка атомов, пересекающего резонатор [184]. Показана возможность управления временем жизни состояний Шредингеровского кота путем подбора спектральной функции резервуара [161]. Экспериментально реализовано приготовление зацепленных состояний с использованием индуцированной резервуаром декогеренции [80], в том числе для макроскопичеких объектов [139]. Предложен способ защиты кубитов от ошибок, основанный на использовании диссипации, индуцированной резервуаром с специально приготовленным взаимодействием с системой [162]. Предложен новый подход к созданию атомных сжатых спиновых состояний с использованием диссипативного окружения [95].

Тесно связанным с некогерентным управлением с помощью резервуара является управление квантовыми системами, использующее квантовые измерения в качестве управляющего воздействия. Как предельный случай управления с использованием неселективных квантовых измерений можно рассматривать динамический квантовый эффект Зенона, который заключается в том, что состояние непрерывно измеряемой системы следует за измеряемой величи-

ной [133, 78, 137]. Изучается и применение дискретных измерений. В работе Р. Вилелы Мендес и В.И. Манько [229] показано, что использование проективных измерений вместе с унитарным управлением позволяет ослабить условия для управляемости системы в пространстве состояний. Метод этой работы применен в работе А. Мандилары и Дж. Кларка к решению задачи непрямого переноса населенности в двухуровневой системе [151]. В работе Дж. Гонга и С. Рай-са [115] на примере пятиуровневой квантовой системы показано, что квантовые измерения могут способствовать когерентному управлению в задаче переноса населенности между вырожденными состояниями. Показано, что применение последовательных селективных измерений двух некоммутирующих наблюдаемых позволяет реализовать перенос населенности неизвестного начального состояния в известное конечное [193]. Та же проблема при наличии декогеренции изучалась в работе [194].

Представленный краткий обзор литературы не претендует на полноту охвата данной широкой области. Работы, имеющие отношение к различным вопросам диссертационной работы, обсуждаются далее в соответствующих главах. Цель диссертационной работы:

(а) изучение статистики, описывающей квантовый газ, взаимодействующий с квантовой частицей в пределе малой плотности;

(б) анализ экстремумов целевых функционалов в динамическом описании для замкнутых квантовых систем;

(в) анализ экстремумов целевых функционалов в кинематическом описании для открытых квантовых систем;

(г) исследование управляемости открытых квантовых систем с использованием когерентного и некогерентного управлений;

(д) анализ управления квантовыми системами с использованием в качестве управляющего воздействия неселективных квантовых измерений. Основные результаты диссертационной работы:

1. Доказано возникновение свободной статистики в пределе малой плотности в модели, описывающей взаимодействие квантовой частицы с Возе газом. Вычислены предельные разновременные корреляционные функции операторов резер-

вуара.

2. Доказано наличие ловушек второго порядка (критических точек с отрицательно полуопределенным гессианом целевого функционала) в динамических ландшафтах широкого класса задач управления замкнутыми квантовыми системами с числом уровней п > 3.

3. Доказано, что комбинация когерентного управления и некогерентного управления с использованием состояния резервуара в качестве управляющего воздействия в модели с мастер-уравнением, соответствующим пределу слабой связи, при широких предположениях позволяет приближенно создавать любые матрицы плотности п-уровневой квантовой системы.

4. Доказано отсутствие ловушек (локальных экстремумов, не являющихся глобальными) в кинематическом и динамическом ландшафтах задачи управления коэффициентом прохождения частицы через потенциальный барьер. Доказано отсутствие ловушек в кинематическом ландшафте задачи максимизации наблюдаемой для двухуровневых открытых квантовых систем.

5. Решена задача максимизации вероятности перехода в трехуровневой системе с динамической симметрией с использованием когерентного управления совместно с неселективным квантовым измерением.

Научная новизна. В диссертационной работе впервые получены следующие результаты. Доказано возникновение свободной статистики в пределе малой плотности для модели, описывающей квантовую систему, взаимодействующую с Бозе-газом, чем получен новый пример возникновения свободной статистики и свободной вероятности в математической физике. Доказано существование ловушек второго порядка для широкого класса задач управления квантовыми системами, что является крупным вкладом в решение фундаментальной задачи поиска всех экстремумов целевых функционалов для задач квантового управления. Доказана возможность приближенного создания произвольных матриц плотности для открытых квантовых систем, находящихся под воздействием когерентного и некогерентного управлений, что показывает возможность детерминистской реализации наиболее сильной степени управляемости в пространстве состояний квантовых систем. Найдено точное значение мак-

симальной величины переноса населенности в трехуровневой системе с динамической симметрией при использовании когерентного управления и одного неселективного квантового измерения. Доказано отсутствие ловушек в кинематическом и динамическом ландшафтах задачи управления коэффициентом прохождения частицы через потенциальный барьер. Найдены все критические точки кинематического ландшафта задачи максимизации среднего значения квантово-механической наблюдаемой для двухуровневых открытых квантовых систем. Все основные результаты получены лично автором. Для полноты изложения также приведены некоторые результаты, не вошедшие в число основных результатов, в том числе некоторые результаты, полученные в соавторстве, что отмечено соответствующими ссылками.

Структура диссертационной работы.

В работе изучаются вопросы динамики и управления квантовыми системами. Используются операторные и алгебраические методы квантовой теории [13, 62, 15], теория обобщенных функций [21], методы математической физики [51], методы квантовой механики [54,11, 33], теория открытых квантовых систем [98, 138, 10, 76, 221, 16], методы управления квантовыми системами [192, 206, 56, 94, 219, 146], теория квантовой вероятности и квантовых случайных процессов [59, 91, 65], функциональный и бесконечномерный анализ [30, 121], асимптотические методы [38, 55], геометрические методы [5,1,14], теория управления, выпуклый анализ [2], модели квантовой оптики [24, 4, 58, 53].

Значительная часть работы посвящена открытым квантовым системам. Открытой квантовой системой называется квантовая система (электрон, атом, молекула, наночастица), также называемая "система", "пробная частица", которая взаимодействует с резервуаром (излучение, квантовый газ, измерительный прибор). Если система имеет п уровней энергии, то есть является п-уровневой, то ее состояние в момент времени £ описывается матрицей плотности являющейся положительной п х п матрицей (в общем случае с комплексными элементами) с единичным следом. Множество всех матриц плотности п-уровневой системы обозначим как Т>п = {р е Л4п := Спхп \ р > 0, Тгр =1} (где Тг обозначает след матрицы).

Чтобы описать динамику открытой системы из первых принципов, нужно задать гильбертово пространство полной системы % = Т/б 0 Ил, где и — гильбертовы пространства системы и резервуара, и гамильтониан полной системы Н = Щ + Щ^, где Но = Дд ® I + I ® Нл — свободный гамильтониан, Щ и Нв. — свободные гамильтонианы системы и резервуара, Н-1Х& — гамильтониан взаимодействия системы с резервуаром. Далее если не оговорено иначе, рассматриваются п-уровневые системы. Гильбертово пространство для таких систем есть 'Нз = Гильбертовым пространством резервуара является пространство Фока = Гзут(/Н1) над некоторым одночастичным пространством (далее рассматривается бозонный резервуар и, соответственно, симметричное пространство Фока) [13]. Свободный гамильтониан резервуара есть вторичное квантование гамильтониана Н\ одной частицы резервуара (например, оператора Н\ = —А в £2(М3)), Н-& = йТ{Н\) [13]. Свободная эволюция одной частицы резервуара описывается однопараметрической унитарной группой St = е1Шх. Для резервуара, состоящего из частиц в К3, одночастич-ное гильбертово пространство и свободный гамильтониан есть Их — Ь2(№?) и Нц — / дкш (к) а+ (к) а (к), где а+( к) и а (к) есть операторы рождения и уничтожения частицы с импульсом к 6 К3, ^(к) — энергия частицы с импульсом к.

Динамика полной системы определяется оператором эволюции, имеющим в представлении взаимодействия вид и(£) = е1Ш°е~1Ш. Если начальное состояние полной системы имеет вид ро<Э(ро, где ро и (ро есть начальные состояния системы и резервуара, то состояние интересующей нас подсистемы в момент времени £ описывается редуцированной матрицей плотности р1 = Тгл[и(1)(ро ® сро)и^(£)], где Тгй обозначает частичный след по подпространству Как правило, уравнения для полной и редуцированной динамики не поддаются точному решению. Однако существуют физические режимы, в которых точная динамика аппроксимируется относительно легко решаемыми уравнениями. Такими режимами являются режим слабой связи и режим малой плотности. В обоих режимах динамика полной системы сходится к решению некоторого квантового стохастического дифференциального уравнения, в то время как редуцированная ди-

намика сходится к решению марковского мастер-уравнения. Квантовые стохастические дифференциальные уравнения в пределе малой связи выведены в книге Л.Аккарди, Ю. Лу и И.В. Воловича [65] и в пределе малой плотности — в работах Л. Аккарди, Ю. Лу, А.Н Печеня и И.В. Воловича [66, 67, 164, 165]. Конкретный вид предельных уравнений зависит от типа предела и от структуры гамильтониана полной системы.

В главе 1 изучается предельная статистика резервуара, возникающая при описании из первых принципов динамики открытых квантовых систем, взаимодействующих с Бозе газом в режиме малой плотности. Изложение следует работам [166, 165]. Взаимодействие квантовой системы с Бозе-газом описывается гамильтонианом взаимодействия вида

ны = ® ЩТд + я(т})] (о.1)

I

Здесь фI € Т1 £ Т{% 1), — множество ограниченных операторов

в ГШ — множество операторов в Нх с конечным следом и АГ(Т)) = £/Г(Т]) — вторичное квантование оператора 7} в симметричном пространстве Фока ГеушШ [13]. Например, для Т = \/}(д\ имеем АГ(Т) = А+(/)А(д), где Л+(/) и А(д) обозначают бозонные операторы рождения и уничтожения. Полный гамильтониан системы есть Н = Но + Н^.

Оператор эволюции II(¿) = е1Шое~Ано+Щпг) удовлетворяет уравнению

^г = (*) ® ^ ОВД5?) + (ЭМ ®

Здесь

Ят = = ]Г д^е"1*"

и О, есть множество частот перехода в системе, то есть спектр — 1[Н$, •}.

Резервуар предполагается в произвольном гауссовом [62, 15], не обязательно гиббсовском, квази-свободном состоянии (р£п с двухточечной корреляционной функцией 1Реп(А+(ЛА(д)) = е(д,п/), где п — ограниченный положительный оператор в "Нь такой что : [е1Ш1,гг] = 0, и £ > 0 — малый параметр. В типичном случае, когда Иг = Ь2(М.3) и одночастичный гамильтониан Н\ есть оператор умножения на функцию о;(к) = |к|2/2га, где кит есть импульс

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Печень, Александр Николаевич, 2013 год

Литература

[1] Аграчев, А. А., Сачков, Ю. Л. Геометрическая теория управления. — М.: Физматлит, 2005.

[2] Алексеев, В. М., Тихомиров, В. М., Фомин, С. В. Оптимальное управление.

— М.: Физматлит, 2005.

[3] Ананьевский, М. С., Фрадков, А. Л. Управление наблюдаемыми в конеч-ноуровневых квантовых системах // Автомат, и телемех. — 2005. — № 5.

- С. 63-75.

[4] Андреев, А. В. Кооперативные эффекты в оптике: сверхизлучение, биста-бильность, фазовые переходы. — М.: Наука, 1988.

[5] Арнольд, В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: РХД, 2000.

[6] Батурина, О. В., Моржин, О. В. Оптимизация управления квантовой системой на модели Ландау-Зинера // Программные системы: теория и приложения. - 2011. - Т. 2. - № 1. - С. 51-61.

[7] Башкиров, Е. К., Мастюгин, М. С. Перепутывание двух дипольно-связанных атомов, взаимодействующих с двухмодовым тепловым полем в резонаторе с высокой температурой // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. — 2012. — № 9. — С. 151-158.

[8] Белавкин, В. П. К теории управления квантовыми наблюдаемыми системами // Автоматика и телемеханика. — 1983. — № 2. — С. 50-63.

[9] Беллман, Р. Динамическое программирование. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1960.

[10] Белоусов, Ю. М., Манько, В. И., Матрица плотности. Представления и применения в статистической физике. — М.: МФТИ, 2004.

[11] Березин, Ф. А., Шубин, М. А. Уравнение Шредингера. — М.: Изд-во Московского университета, 1983.

[12] Боголюбов, Н. Н. Элементарный пример установления статистического равновесия в системе, связанной с термостатом. О некоторых статистических методах в математической физике. — Киев: Изд-во АН УССР, 1946. - С. 115-137.

[13] Боголюбов, Н. Н., Логунов, А. А., Оксак, А. И., Тодоров, И. Т. Общие принципы квантовой теории поля. — М.: Наука, 1987. _

[14] Борисович, Ю. Г., Близняков, Н. М., Израилевич, Я. А., Фоменко, Т. Н. Введение в топологию. — М.: Наука, Физматлит, 1995.

[15] Браттели, У., Робинсон, Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. — М., Мир, 1982.

[16] Бройер, Х.-П., Петруччионе, Ф. Теория открытых квантовых систем. — М.: РХД, 2010.

[17] Бутковский, А. Г., Самойленко, Ю. И. Управление квантовыми объектами // Автоматика и телемеханика. — 1979. — № 4. — С. 5-25.

[18] Бутковский, А. Г., Самойленко, Ю. И. Управляемость квантовых объектов // Доклады АН СССР. - 1980. - Т. 250. - С. 51-55.

[19] Бутковский, А. Г., Самойленко, Ю. А. Управление квантовомеханически-ми процессами. — М.: Наука, 1984.

[20] Валиев, К. А., Кокин, А. А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. — Ижевск: РХД, 2004.

[21] Владимиров, В. С. Обобщенные функции в математической физике. — М.: Наука, Физматлит, 1979.

[22] Волович, И. В. Уравнения Боголюбова и функциональная механика // Теоретическая и математическая физика. — 2010. — Т. 164. — № 3. — С. 354-362.

[23] Гришанин, Б. А., Стратонович, Р. Л. Оптимальная фильтрация квантовых переменных при квадратичном критерии качества // Проблемы передачи информации. — 1970. — Т. 6. — Вып. 3. — С. 15-23.

[24] Делоне, Н. Б., Крайнов, В. П. Атом в сильном световом поле. — М.: Атом-издат, 1979.

[25] Жуковский, В. Ч., Дахновский Ю. И., Кревчик В. Д., Семенов М. Б., Майоров В. Г., Кудряшов Е. П., Щербакова Е. В., Ямамото К. Изучение управляемости диссипативного туннелирования в системах взаимодействующих квантовых молекул // Вестник Московского университета. Сер. 3. Физика. Астрономия. - 2007. — К0-2. — С. 10-14.

[26] Иванов, М. Г. Как понимать квантовую механику. — Москва, Ижевск: РХД, 2012.

[27] Китаев, А., Шень, А., Вялый, М. Классические и квантовые вычисления.

- М.: МЦНМО, 1999.

[28] Климонтович, Ю. Л. Статистическая теория открытых систем. Том 1. — М.: Янус-К, 1995.

[29] Колмогоров, А. И. Основные понятия теории вероятностей. — 2-е изд. — М.: Наука, 1974.

[30] Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976.

[31] Кротов, В. Ф., Фельдман, Н. Н. Итерационный метод решения задач оптимального управления // Известия АН СССР. Техническая кибернетика.

- 1983. - № 2. - С. 160-168.

[32] Кротов, В. Ф. Управление квантовыми системами и некоторые идеи теории оптимального управления // Автоматика и телемеханика. — 2009. — № 3. - С. 15-23.

[33] Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теоретическая физика. Т. III. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. — 5-е изд. — М.: Физматлит, 2004.

[34] Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теоретическая физика Т. IV / Берестецкий, В. В., Лифшиц, Е. М., Питаевский, Л. П. Квантовая электродинамика. — 3-е изд. — М.: Наука, Физматлит, 1989.

[35] Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теоретическая физика. Т. V. Статистическая физика. Ч. I. — 5-е изд. — М.: Физматлит, 2002.

[36] Лепе, Н. Л. Некоторые задачи управляемости квантовых объектов / Проблемы управления в технике, экономике, биологии. — М.: Наука, 1981, С. 12-17.

[37] Малкин, И. А., Манько, В. И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. — М.: Наука, 1979.

[38] Маслов, В. П. Асимптотические методы и теория возмущений. — М.: Наука, 1988.

[39] Марченко, В. А., Пастур, Л. А. Распределение собственных значений в некоторых ансамблях случайных матриц // Математический сборник. — 1967. - Т. 72(114). - № 4. - С. 507-536.

[40] Менский, М. Б. Квантовые измерения и декогеренция. — М.: Физматлит, 2001.

[41] Нильсен, М., Чанг, И. Квантовые вычисления и квантовая информация. - М.: Мир, 2006.

[42] Петров, Б. Н., Гольденблат, И. И., Уланов, Г. М., Ульянов, С. В. Проблемы управления релятивистскими и квантовомеханическими динамическими системами. Физические и информационные аспекты. — М.: Наука, 1982.

[43] Печень, А. Н. Об одном асимптотическом разложении в квантовой теории // Математические заметки. — 2004. — Т. 75. — Вып. 3. — С 459-462.

[44] Печень, А. Н., Рабиц, X. Некогерентное управление открытыми квантовыми системами // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная секция. — 2008. — Т. 8. — № 1. — С. 641-658.

[45] Печень, А. Н., Рабнц, X. Некогерентное управление открытыми квантовыми системами // Современная математика. Фундаментальные направления. - 2011. - Т. 42. - С. 179-185.

[46] Печень, А. Н. Некоторые вопросы динамики и управления открытыми квантовыми системами // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия "Физико-математические науки". — 2011. — Т. 2. - № 23. - С. 151-157.

[47] Печень, А. Н. Критические точки целевых функционалов для задач управления квантовыми системами // Вестник Тамбовского государственного университета. - 2011. - Т. 16. - Вып. 4. - С. 1146-1148.

[48] Покровский, В. Л. Ландау и современная физика // Успехи физических наук. - 2009. - Т. 179(11). - С. 1237-1244.

[49] Понтрягин, Л. С., Болтянский, В. Г., Гамкрелидзе, Р. В., Мищенко, Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. — 4-е изд. — М.: Наука, 1983.

[50] Пригожин, И. Неравновесная статистическая механика. — Череповец: Меркурий-ПРЕСС, 2000.

[51] Рид, М., Саймон, Б. Методы современной математической физики. — Т. 3. - М.: Мир, 1977.

[52] Самойленко, Ю. И. Оптимальное управление квантовым статистическим ансамблем // Автоматика и телемеханика. — 1982. — Т. 12. — С. 56-64.

[53] Скалли, М. О., Зубайри, М. С. Квантовая оптика. Пер. с англ. под ред. Самарцева В. В. — М.: Физматлит, 2003.

[54] Фаддеев, Л. Д., Якубовский, О. А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков. — Ленинград: Изд-во Ленинградского университета, 1980.

[55] Федорюк, М. В. Асимптотика. Интегралы и ряды. — М.: Наука, 1987.

[56] Фрадков, JI. А., Якубовский, О. А. (ред.). Управление молекулярными и квантовыми системами. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

[57] Халфин, Л. А. К теории распада квазистационарного состояния // ЖЭТФ. - 1957. - Т. 33. - С. 1371-1382.

[58] Ханин, Я. И. Основы динамики лазеров. — М.: Наука, Физматлит, 1999.

[59] Холево, А. С. (ред.) — Математика. Вып. 42. Квантовые случайные процессы и открытые системы: Сб. статей 1982—1984 г.г. Пер. с англ.

[60] Холево, А. С. О принципе квантовых неразрушающих измерений // Теоретическая и математическая физика. — 1985. — Т. 65. — С. 415-422.

[61] Холево, А. С. Статистическая структура квантовой теории. — Москва, Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

[62] Эмх, Ж. Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля. — М.: Мир, 1976.

[63] Accardi, L., Lu, Y. G. The low-density limit of quantum systems //J. Phys. A: Math. Gen. - 1991. - T. 24. - C. 3483-3512.

[64] Accardi, L., Kozyrev, S. V., Volovich, I. V. Dynamics of dissipative two-level systems in the stochastic approximation // Phys. Rev. A. — 1997. — T. 56. — C. 2557-2562.

[65] Accardi, L., Lu, Y. G., Volovich, I. V. Quantum theory and its stochastic limit. — Berlin: Springer, 2002.

[66] Accardi, L., Pechen, A. N., Volovich, I. V. Quantum stochastic equation for the low density limit // J. Phys. A: Math. Gen. - 2002. - T. 35. - C. 4889-4902.

[67] Accardi, L., Pechen, A. N., Volovich, I. V. A stochastic golden rule and quantum Langevin equation for the low density limit // Infinite Dimen. Anal., Quantum Probab., Relat. Top. - 2003. - T. 6. - C. 431-453.

[68] Accardi, L., Kozyrev, S. V., Pechen, A. N. Coherent quantum control of Aatoms through the stochastic limit / QP-PQ: Quantum Probability and White Noise Analysis (ред. L. Accardi, M. Ohya, N. Watanabe). — Singapore: World Scientific, 2006. - Т. XIX. - C. 1-17.

[69] Accardi, L., Imafuku, K. Control of quantum states by decoherence / QP-PQ: Quantum Probability and White Noise Analysis (ред. L. Accardi, M. Ohya, N. Watanabe). - Singapore: World Scientific, 2006. - Т. XIX. - C. 28.

[70] Adler, S. L. Normalization. of collisional decoherence: squaring the delta function, and an independent cross-check //J. Phys. A: Math. Gen. — 2006.

- T. 39. - C. 14067-14074.

[71] Aharonov, D., Kitaev, A., Nisan, N. Quantum circuits with mixed states // Proceedings of 13th Annual ACM Symposium on Theory of Computation. — 1997. - C. 20-30.

[72] Albeverio, S., Kolokol'tsov, V. N., Smolyanov, O. G. Continuous quantum measurement: local and global approaches // Reviews in Math. Phys. — 1997.

- T. 9. - C. 907-920.

[73] Altafini, C. Controllability of quantum mechanical systems by root space decomposition of su(N) // J. Math. Phys. - 2002. - T. 43. - C. 2051-2062.

[74] Altafini, C. Controllability properties for finite dimensional quantum Markovian master equations //J. Math. Phys. — 2003. — T. 44. — C. 23572372.

[75] Altafini, C. Coherent control of open quantum dynamical systems // Phys. Rev. A. - 2004. - T. 70. - C. 062321.

[76] Attal, S., Joye, A., Pillet, C.-A. Open quantum systems: the Markovian approach. — Springer, 2006.

[77] Avron, J. E., Fraas, M., Graf, G. M., Grech, P. Landau-Zener tunneling for dephasing Lindblad evolutions // Comm. Math. Phys. — 2011. — T. 305. — C. 633-639.

[78] Balachandran, A. P., Roy, S. M. Quantum anti-Zeno paradox // Phys. Rev. Lett. - 2000. - T. 84. - C. 4019-4022.

[79] Barndorff-Nielsen, O. E., Loubenets, E. R. General framework for the behaviour of continuously observed open quantum systems //J- Phys. A: Math. Gen. - 2002. - T. 35. - C. 565-588.

[80] Barreiro, J. T., Schindler, P., Giihne, O., Monz, T., Chwalla, M., Roos, C. F., Hennrich, M., Blatt, R. Experimental multiparticle entanglement dynamics induced by decoherence // Nature Physics. - 2010. — T. 6. — C. 943-946.

[81] Bashkirov, E. K. Entanglement induced by the two-mode thermal noise // Laser Physics Letters. - 2006. - T. 3. - № 3. - C. 145-150.

[82] Bason, M. G., Viteau, M., Malossi, N., Huillery, P., Arimondo, E., Ciampini, D., Fazio, R., Giovannetti, V., Mannella, R., Morsch, O. High-fidelity quantum driving // Nature Physics. - 2012. - T. 8. - C. 147-152.

[83] Belavkin, V. P. A new wave equation for a continuous nondemolition measurement // Phys. Lett. A. - 1989. - T. 140. - C. 119-130.

[84] Bernu, J., Deleglise, S., Sayrin, C., Kuhr, S., Dotsenko, I., Brune, M., Raimond, J. M., Haroche, S. Freezing coherent field growth in a cavity by the quantum Zeno effect // Phys. Rev. Lett. - 2008. - T. 101. - C. 180402.

[85] Brif, C., Chakrabarti, R., Rabitz, H. Control of quantum phenomena: past, present and future // New J. Phys. - 2010. - T. 12. - C. 075008.

[86] Brixner, T., Damrauer, N. H., Niklaus, P., Gerber, G. Photoselective adaptive femtosecond quantum control in the liquid phase // Nature. — 2001. — T. 414. - C. 57-60.

[87] Brockett, R. Least squares matching problems // Linear Algebra and its Applications. - 1989. - T. 122/123/124. - C. 761-777.

[88] Brumer, P., Shapiro, M. Control of unimolecular reactions using coherent light // Chem. Phys. Lett. - 1986. - T. 126. - C. 541-546.

[89] Caneva, T., Murphy, M., Calarco, T., Fazio, R., Montangero, S., Giovannetti, V., Santoro, G. E. Optimal control at the quantum speed limit // Phys. Rev. Lett. - 2009. - T. 103. - C. 240501.

[90] Chakrabarti, R., Rabitz, H. Quantum control landscapes // International reviews in physical chemistry. — 2007. — T. 26. — C. 671-735.

[91] Chebotarev, A. M. Lectures on quantum probability. — Mexico: Sociedad Matematica Mexicana, Aportaciones Matematicas, 2000. — T. 14.

[92] Chen, Z., Shapiro, M., Brumer P. Interference control of photodissociation branching ratios. Two-color frequency tuning of intense laser fields // Chem. Phys. Lett. - 1994. - T. 228. - C. 289-294.

[93] Choi, M.-D. Completely positive linear maps on complex matrices // Linear Algebra and its Applications. - 1975. — T. 10. — C. 285-290.

[94] D'Alessandro, D. Introduction to quantum control and dynamics. — Boca Raton: Chapman and Hall, 2007.

[95] Dalla Torre, E., Otterbach, J., Demler, E., Vuletic, V., Lukin, M. Dissipative preparation of spin squeezed atomic ensembles in a steady state // Phys. Rev. Lett. - 2013. - T. 110. - C. 120402.

[96] Dantus, M., Lozovoy, V. V. Experimental coherent laser control of physicochemical processes // Chem. Rev. - 2004. — T. 104. — C. 1813-1860.

[97] Davies, E. B. Markovian master equations // Commun. Math. Phys. — 1974. - T. 39. - C. 91-110.

[98] Davies, E. B. Quantum theory of open systems. — London, New York: Academic Press, 1976.

[99] de Fouquieres, P., Schirmer, S. G., Quantum control landscapes: a closer look // Infin. Dimens. Analysis, Quantum Probab. and Rel. Topics. — 2013. — T. 16. - № 3. - C. 1350021.

[100] Diehl, S., Micheli, A., Kantian, A., Kraus, В., Buchler, H. P., Zoller, P. Quantum states and phases in driven open quantum systems with cold atoms // Nature Physics. - 2008. - T. 4. - C. 878-883.

[101] Ding, Y., Hu, S.-M., Bailey, K., Davis, A. M., Dunford, R. W., Lu, Z.-T., O'Connor, T. P., Young, L. Thermal beam of metastable krypton atoms produced by optical excitation // Rev. Sci. Instruments. — 2007. — T. 78. - C. 023103.

[102] Doherty, A. C., Habib, S., Jacobs, K., Mabuchi, H., Tan, S. M. Quantum feedback control and classical control theory // Phys. Rev. A. — 2000. — T. 62. - C. 012105.

[103] Dominy, J., Ho, T.-S., Rabitz, H. Characterization of the critical sets of quantum unitary control landscapes [Электронный ресурс] // Режим доступа: http://arxiv.org/abs/1102.3502

[104] Dong, D.-Y., Chen, C.-L., Tarn, T.-J., Pechen, A., Rabitz, H. Incoherent control of quantum systems with wavefunction controllable subspaces via quantum reinforcement learning // IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics B. - 2008. - T. 38. - C. 957-962.

[105] Dong, D.-Y., Zhang, C.-B., Rabitz, H., Pechen, A., Tarn, T.-J. Incoherent control of locally controllable quantum systems //J. Chem. Phys. — 2008. — T. 129. - C. 154103.

[106] Duan, L.-M., Demler, E., Lukin, M. D. Controlling spin exchange interactions of ultracold atoms in optical lattices // Phys. Rev. Lett. — 2003. — T. 91. — C. 090402.

[107] Dumcke, R. The low density limit for an iV-level system interacting with a free Bose or Fermi gas // Commun. Math. Phys. - 1985. - T. 97. - C. 331-359.

[108] Eitan, R., Mundt, M., Tannor, D. J. Optimal control with accelerated convergence: combining the Krotov and quasi-Newton methods // Phys. Rev. A. - 2011. - T. 83. - C. 053426.

[109] Feng, X.-J., Pechen, A., Jha, A., Wu, R., Rabitz, H. Global optimality of fitness landscapes in evolution // Chemical Science. — 2012. — T. 3. — C. 900-906.

[110] Fleischer, S., Averbukh, I. Sh., Prior, Y. Isotope-selective laser molecular alignment // Phys. Rev. A. - 2006. - T. 74. - C. 041403(R).

[111] Fonseca Romero, K. M., Talkner, P., Hanggi, P. Is the dynamics of open quantum systems always linear? // Phys. Rev. A. — 2004. — T. 69. — C. 052109.

[112] Frigerio, A., Maassen, H. Quantum Poisson processes and dilations of dynamical semigroups // Prob. Th. Rel. Fields. — 1989. — T. 83. - C. 489-508.

[113] Glaser, S. J., Schulte-Herbriiggen, T., Sieveking, M., Schedletzky, O., Nielsen, N. C., S0rensen, O. W., Griesinger C. Unitary control in quantum ensembles: maximizing signal intensity in coherent spectroscopy // Science. — 1998. — T. 280. - C. 421-424.

[114] Goldberg, D. E., Genetic algorithms in search, optimization and machine learning. — Reading, MA: Addison-Wesley, 1989.

[115] Gong, J., Rice, S. A. Measurement-assisted coherent control //J. Chem. Phys. - 2004. - T. 120. - C. 9984-9988.

[116] Gordon, G., Kurizki, G., Lidar, D. A. Optimal dynamical decoherence control of a qubit // Phys. Rev. Lett. - 2008. - T. 101. - C. 010403.

[117] Gorini, V., Kossakowski, A., Sudarshan, E. C. G. Completely positive dynamical semigroups of n-level systems //J. Math. Phys. — 1976. — T. 17. - C. 821-825.

[118] Gough, J., Belavkin, V. P., Smolyanov, O. G. Hamilton-Jacobi-Bellman equations for quantum optimal feedback control // Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. — 2005. — T. 7. — C. S237-S244.

[119] Helgason, S. Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces. — Providence: American Mathematical Society, 2001.

120] Hiai, F., Petz, D. The semicircle law, free random variables, and entropy. — AMS, 2000.

121] Hida, T., Kuo, H. H., Potthoff, J., Streit, L. White noise. An infinite dimensional calculus. — Springer, 1993.

122] Hilborn, R. C. Einstein coefficients, cross sections, f values, dipole moments, and all that // American Journal of Physics. - 1982. - T. 50. - C. 982-986.

123] Hornberger, K. Master equation for a quantum particle in a gas // Phys. Rev. Lett. - 2006. - T. 97. - C. 060601.

124] Hsieh, M., Wu, R., Rabitz, H., Lidar, D. Optimal control landscape for the generation of unitary transformations with constrained dynamics // Phys. Rev. A. - 2010. - T. 81. - C. 062352.

125] Huang, G., Tarn, T., Clark, J. On the controllability of quantum-mechanical systems //J. Math. Phys. - 1983. - T. 24. - C. 2608.

126] Hudson, R., Parthasarathy, K. R. Quantum Ito's formula and stochastic evolutions // Commun. Math. Phys. - 1984. - T. 93. - C. 301-323.

127] Ingarden, R. S., Kossakowski, A., Ohya, M. Information dynamics and open systems: classical and quantum approach. — New York: Springer Verlag, 1997.

128] Itano, W. W., Heinzen, D. J., Bollinger, J. J., Wineland, D. J. Quantum Zeno effect // Phys. Rev. A. - 1990. - T. 41. - C. 2295-2300.

129] Jacobs, K. Feedback control using only quantum back-action // New Journal of Physics. - 2010. - T. 12. - C. 043005.

130] Jirari, H., Potz, W. Optimal coherent control of dissipative N-level systems // Phys. Rev. A. - 2005. - T. 72. - C. 013409.

131] Jurdjevic, V., Sussmann, H. J. Control systems on Lie groups // Journal of Differential Equations. - 1972. - T. 12. - № 2. - C. 313-329.

132] Judson, R. S., Rabitz, H. Teaching lasers to control molecules // Phys. Rev. Lett. - 1992. - T. 68. - C. 1500-1503.

[133] Kaulakys, B., Gontis, V. Quantum anti-Zeno effect // Phys. Rev. A. — 1997. - T. 56. - C. 1131-1137.

[134] Khaneja, N., Brockett, R., Glaser, S. J. Time optimal control in spin systems // Phys. Rev. A. - 2001. - T. 63. - C. 032308.

[135] Khaneja, N., Reiss, T., Kehlet, C., Schulte-Herbrüggen, T., Glaser, S. Optimal control of coupled spin dynamics: design of NMR pulse sequences by gradient ascent algorithms // Journal of Magnetic Resonance. — 2005. — T. 172. — C. 296-305.

[136] Khodjasteh, K., Lidar, D., Viola, L., Arbitrarily accurate dynamical control in open quantum systems // Phys. Rev. Lett. — 2010. — T. 104. - C. 090501.

[137] Kofman, A. G., Kurizki, G. Acceleration of quantum decay processes by frequent observations // Nature. - 2000. - T. 405. - C. 546-550.

[138] Kraus, K. States, effects, and operations. — Berlin, New York: Springer, 1983.

[139] Krauter, H., Muschik, C. A., Jensen, K., Wasilewski, W., Petersen, J. M., Cirac, J. I., Polzik, E. S. Entanglement generated by dissipation and steady state entanglement of two macroscopic objects // Phys. Rev. Lett. — 2011. — T. 107. - C. 080503.

[140] Krotov, V. F. Global methods in optimal control theory. — New York: Marcel Dekker, 1996.

[141] Landau, L. On the theory of transfer of energy at collisions II // Phys. Z. Sowjetunion. - 1932. - T. 2. - C. 46.

[142] Lapert, M., Zhang, Y., Braun, M., Glaser, S. J., Sugny, D. Singular extremals for the time-optimal control of dissipative spin 1/2 particles // Phys. Rev. Lett. - 2010. - T. 104. - C. 083001.

[143] Lapert, M., Assemat, E., Zhang, Y., Glaser, S. J., Sugny, D. Time-optimal control of a spin 1/2 particle with relaxation and radiation damping effects // Phys. Rev. A. - 2013. - T. 87. - C. 043417.

[144] Law, C. K., Eberly, J. H., Kneer, B. Preparation of an arbitrary density matrix of a harmonic oscillator // Journal of Modern Optics. — 1997. — T. 44. — C. 2149.

[145] Legett, A. J., Chakravarty, S., Dorsey, A. T., Fisher, M. P. A., Garg, A., Zwerger, W. Dynamics of the dissipative two-state system // Reviews of Modern Physics. - 1987. - T. 59. - C. 1-85.

[146] Letokhov, V. S., Laser control of atoms and molecules. — Oxford University Press, 2007.

[147] Lindblad, G. On the generators of quantum dynamical semigroups // Commun. Math. Phys. - 1976. - T. 48. - C. 119-130.

[148] Lloyd, S., Viola, L. Engineering quantum dynamics // Phys. Rev. A. — 2001. -T. 65.-C. 010101.

[149] Machnes, S., Sander, U., Glaser, S. J., de Fouquieres, P., Gruslys, A., Schirmer, S., Schulte-Herbriiggen, T. Comparing, optimizing, and benchmarking quantum-control algorithms in a unifying programming framework // Phys. Rev. A. - 2011. - T. 84. - C. 022305.

[150] Macovei, M., Evers, J., Keitel, C. H. Quantum correlations of an atomic ensemble via an incoherent bath // Phys. Rev. A. — 2005. — T. 72. — C. 063809.

[151] Mandilara, A., Clark, J. W. Probabilistic quantum control via indirect measurement // Phys. Rev. A. - 2005. - T. 71. - C. 013406.

[152] Milburn, G. J. Quantum measurement and control of single spins in diamond // Science. - 2010. - T. 330. - C. 1188-1189.

[153] Moore, K. W., Pechen, A., Feng, X.-X., Dominy, J., Beltrani, V., Rabitz, H. Universal characteristics of chemical synthesis and property optimization // Chemical Science. - 2011. - T. 2. - C. 417-424.

[154] Moore, K. W., Pechen, A., Feng, X.-X., Dominy, J., Beltrani, V., Rabitz, H. Why is chemical synthesis and property optimization easier than expected? // Physical Chemistry Chemical Physics. - 2011. - T. 13. - C. 10048-10070.

[155] Moore, K. W., Rabitz, H. Exploring quantum control landscapes: topology, features, and optimization scaling // Phys. Rev. A. — 2011. — T. 84. — C. 012109.

[156] Moore Tibbetts, K. W., Brif, C., Grace, M. D., Donovan, A., Hocker, D. L., Ho, T.-S., Wu, R., Rabitz, H. Exploring the tradeoff between fidelity and time optimal control of quantum unitary transformations // Phys. Rev. A. — 2012. - T. 86. - C. 062309.

[157] Nagels, B., Hermans, L. J. F., Chapovsky, P. L. Quantum Zeno effect induced by collisions // Phys. Rev. Lett. - 1997. - T. 79. - C. 3097-3100.

[158] Nica, A., Speicher, R. Lectures on the combinatorics of free probability. — Cambridge University Press, 2006.

[159] Ohya, M., Petz, D. Quantum entropy and its use. — Berlin: Springer, 1993.

[160] Oza, A., Pechen, A., Dominy, J., Beltrani, V., Moore, K., Rabitz, H. Optimization search effort over the control landscapes for open quantum systems with Kraus-map evolution //J. Phys. A: Math. Theor. — 2009. — T. 42. - C. 205305.

[161] Paavola, J., Maniscalco, S. Decoherence control in different environments // Phys. Rev. A. - 2010. - T. 82. - C. 012114.

[162] Pastawski, F., Clemente, L., Cirac, J. I. Quantum memories based on engineered dissipation // Phys. Rev. A. - 2011. — T. 83. - C. 012304.

[163] Pechen, A. N., Volovich, I. V. Quantum multipole noise and generalized quantum stochastic equations // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. - 2002. - T. 5. - C. 441-464.

[164] Pechen, A. N. Quantum stochastic equation for a test particle interacting with a dilute Bose gas // J. Math. Phys. - 2004. - T. 45. - C. 400-417.

[165] Pechen, A. White noise approach to the low density limit. / QP-PQ: Quantum Probability and White Noise (ред. M. Schtirmann, U. Franz). — Singapore, World Scientific, 2005. - Т. XVIII. - C. 428-447.

[166] Pechen, A. The multi-time correlation functions, free white noise, and the generalized Poisson statistics in the low density limit //J. Math. Phys. — 2006. - T. 47. - C. 033507.

[167] Pechen, A., Rabitz, H. Teaching the environment to control quantum systems // Phys. Rev. A. - 2006. - T. 73. - C. 062102.

[168] Pechen, A., Il'in, N., Shuang, F., Rabitz, H. Quantum control by von Neumann measurements // Phys. Rev. A. - 2006. — T. 74. - C. 052102.

[169] Pechen, A., Prokhorenko, D., Wu, R., Rabitz, H. Control landscapes for two-level open quantum systems // J. Phys. A: Math. Theor. — 2008. — T. 41. — C. 045205.

[170] Pechen, A., Rabitz, H. Incoherent quantum control / QP-PQ: Quantum Probability and White Noise Analysis (ред. J. Garcia, R. Quezada, S. Sontz).

- Singapore, World Scientific, 2008. - Т. XXIII. - C. 197-211.

[171] Pechen, A., Brif, C., Wu, R., Chakrabarti, R., Rabitz, H. General unifying features of controlled quantum phenomena // Phys. Rev. A. — 2010. — T. 82.

- C. 030101(R).

[172] Pechen, A., Rabitz, H. Unified analysis of terminal-time control in classical and quantum systems // Europhysics Letters. — 2010. — T. 91. — C. 60005.

[173] Pechen, A. N., Tannor, D. J. Are there traps in quantum control landscapes? // Phys. Rev. Lett. - 2011. - T. 106. - C. 120402.

[174] Pechen, A. Engineering arbitrary pure and mixed quantum states // Phys. Rev. A. - 2011. - T. 84. - C. 042106.

[175] Pechen, A. N., Tannor, D. J. Quantum control landscape for aA-atom in the vicinity of second order traps // Israel Journal of Chemistry. — 2012. — T. 52.

- C. 467-472.

[176] Pechen, A. N. Incoherent light as a control resource [Электронный ресурс] / Research in Optical Sciences. OS A Technical Digest. — Washington, DC: Optical Society of America, 2012. — C. JT2A.23. — Режим доступа: http://dx.doi.org/10.1364/HILAS.2012.JT2A.23

[177] Pechen, A. N. Quantum measurements as a control resource [Электронный ресурс] / Research in Optical Sciences. OSA Technical Digest. — Washington, DC: Optical Society of America, 2012. — C. QW2A.8. — Режим доступа: http://dx.doi.Org/10.1364/QIM.2012.QW2A.8

[178] Pechen, A. N., Tannor, D. J. Pechen and Tannor Reply // Phys. Rev. Lett. — 2012. - T. 108. - C. 198902.

[179] Pechen, A. N., Il'in, N. B. Trap-free manipulation in the Landau-Zener system // Phys. Rev. A. - 2012. - T. 86. - C. 052117.

[180] Pechen, A. N., Tannor, D. J. Control of quantum transmission is trap-free [Электронный ресурс] // Canadian Journal of Chemistry. — 2013. Режим доступа: http://dx.doi.org/10.1139/cjc-2013-0301

[181] Pechukas, P. Reduced dynamics need not be completely positive // Phys. Rev. Lett. - 1994. - T. 73. - C. 1060-1062.

[182] Peirce, A. P., Dahleh, M. A., Rabitz, H. Optimal control of quantum-mechanical systems: existence, numerical approximation, and applications // Phys. Rev. A. - 1988. - T. 37. - C. 4950-4964.

[183] Petta, J. R., Johnson, A. C., Taylor, J. M., Laird, E. A., Yacoby, A., Lukin, M. D., Marcus, С. M., Hanson, M. P., Gossard, A. C. Coherent manipulation of coupled electron spins in semiconductor quantum dots // Science. — 2005. - T. 309. - C. 2180-2184.

[184] Pielawa, S., Davidovich, L., Vitali, D., Morigi, G. Engineering atomic quantum reservoirs for photons // Phys. Rev. A. - 2010. - T. 81. - C. 043802.

[185] Polack, Т., Suchowski, H., Tannor, D. Uncontrollable quantum systems: a

classification scheme based on Lie subalgebras // Phys. Rev. A. — 2009. — T. 79. - C. 053403.

[186] Rabitz, H., de Vivie-Riedle, R., Motzkus, M., Kompa, K. Whither the future of controlling quantum phenomena? // Science. — 2000. — T. 288. — C. 824-828.

[187] Rabitz, H., Hsieh, M., Rosenthal, C. Quantum optimally controlled transition landscapes // Science. - 2004. - T. 303. - C. 1998-2001.

[188] Rabitz, H., Hsieh, M., Rosenthal, C. Landscape for optimal control of quantum-mechanical unitary transformations // Phys. Rev. A. — 2005. — T. 72. - C. 052337.

[189] Rabitz, H., Hsieh, M., Rosenthal, C. Optimal control landscapes for quantum observables // Journal of Chemical Physics. - 2006. - T. 124. - C. 204107.

[190] Ho, T.-S., Rabitz, H. Why do effective quantum controls appear easy to find? // Journal of photochemistry and photobiology A. — 2006. — T. 180. — C. 226-240.

[191] Ramakrishna, V., Salapaka, M. V., Dahleh, M., Rabitz, H., Pierce, A. Controllability of molecular systems // Phys. Rev. A. — 1995. — T. 51. — C. 960-966.

[192] Rice, S. A., Zhao, M. Optical control of molecular dynamics. — New York: Wiley, 2000.

[193] Roa, L., Delgado, A., Ladrón de Guevara, M. L., Klimov, A. B. Measurement-driven quantum evolution // Phys. Rev. A. - 2006. - T. 73. — C. 012322.

[194] Roa, L., Olivares-Rentería, G. A. Decoherence assisting a measurement-driven quantum evolution process // Phys. Rev. A. - 2006. - T. 73. - C. 062327.

[195] Romano, R., D'Alessandro, D. Incoherent control and entanglement for two-dimensional coupled systems // Phys. Rev. A. — 2006. - T. 73. - C. 022323.

[196] Rossini, D., Calarco, T., Giovannetti, V., Montangero, S., Fazio, R. Decoherence by engineered quantum baths //J. Phys. A: Math. Theor. — 2007. - T. 40. - C. 8033-8040.

[197] Rubin, M. H. On the control of quantum statistical systems // Journal of Statistical Physics. - 1982. - T. 28. - № 1. - C. 177-188.

[198] Rudnicki, S., Alicki, R., Sadowski, S., The low-density limit in terms of collective squezeed vectors // J. Math. Phys. - 1992. - T. 33. - C. 2607-2617.

[199] Sarkisov, O. M., Petrukhin, A. N., Gostev, F. E., Titov, A. A. Control of elementary chemical reactions by femtosecond light pulses // Quantum Electronics. - 2001. - T. 31. - № 6. - C. 483-488.

[200] Schirmer, S. G. Laser cooling of internal molecular degrees of freedom for vibrational^ hot molecules // Phys. Rev. A. - 2000. - T. 63. - C. 013407.

[201] Schirmer, S. G., Fu, H., Solomon, A. I. Complete controllability of quantum systems // Phys. Rev. A. - 2001. - T. 63. - C. 063410.

[202] Schirmer, S. G., Solomon, A. I., Leahy, J. V. Degrees of controllability for quantum systems and application to atomic systems //J. Phys. A: Math. Gen. - 2002. - T. 35. - C. 4125-4141.

[203] Schirmer, S. G., Wang, X. Stabilizing open quantum systems by Markovian reservoir engineering // Phys. Rev. A. - 2010. - T. 81. — C. 062306.

[204] Schmidt, R., Negretti, A., Ankerhold, J., Calarco, T., Stockburger, J. T. Optimal control of open quantum systems: cooperative effects of driving and dissipation // Phys. Rev. Lett. - 2011. - T. 107. - C. 130404.

[205] Shaji, A., Sudarshan, E. C. G. Who's afraid of not completely positive maps? // Phys. Lett. A. - 2005. - T. 341. - C. 48-54.

[206] Shapiro, M., Brumer, P. Principles of the quantum control of molecular processes. — Hoboken, NJ: Wiley-Interscience, 2003.

[207] Shuang, F., Pechen, A., Ho, T.-S., Rabitz, H. Observation-assisted optimal control of quantum dynamics //J. Chem. Phys. — 2007. — T. 126. — C. 134303.

[208] Shuang, F., Zhou, M., Pechen, A., Wu, R., Shir, О. M., Rabitz, H. Control of quantum dynamics by optimized measurements // Phys. Rev. A. — 2008. — T. 78. - C. 063422.

[209] Sklarz, S. E., Tannor, D. J., Khaneja, N. Optimal control of quantum dissipative dynamics: analytic solution for cooling the three-level A-system // Phys. Rev. A. - 2004. - T. 69. - C. 053408.

[210] Smirnov, В. M. Physics of atoms and ions. — New York: Springer, 2003.

[211] Spohn, H., Lebowitz, J. L. Irreversible thermodynamics for quantum systems weakly coupled to thermal reservoirs // Advances in Chemical Physics. — 1978. - T. 38. - C. 109-142.

[212] Spohn, H. Kinetic equations from Hamiltonian dynamics: Markovian limits // Reviews of Modern Physics. - 1980. - T. 53. - C. 569.

[213] Stapelfeldt, H., Seideman, T. Colloquium: aligning molecules with strong laser pulses // Reviews of Modern Physics. - 2003. - T. 75. - C. 543-557.

[214] Sudarshan, E. C. G., Misra, B. The Zeno's paradox in quantum theory //J. Math. Phys. - 1977. - T. 18. - C. 756.

[215] Sugny, D., Keller, A., Atabek, O., Daems, D., Dion, С. M., Guerin, S., Jauslin, H. R. Control of mixed-state quantum systems by a train of short pulses // Phys. Rev. A. - 2005. - T. 72. - C. 032704.

[216] Tannor, D., Rice, S. A. Control of selectivity of chemical reaction via control of wave packet evolution // J. Chem. Phys. - 1985. - T. 83. - C. 5013-5018.

[217] Tannor, D. J., Kazakov, V., Orlov, V. Control of photochemical branching: novel procedures for finding optimal pulses and global upper bounds / Time-dependent quantum mechanics (ред.: Broeckhove J., Lathouwers L.). — New York: Plenum Press, 1992. - C. 347-360.

[218] Tannor, D. J., Kosloff, R., Bartana, A. Laser cooling of internal degrees of freedom of molecules by dynamically trapped states // Faraday Discussions. - 1999. - T. 113. - C. 365-383.

[219] Tannor, D. J. Introduction to quantum mechanics: a time dependent perspective. — Sausalito: University Science Press, 2007.

[220] Tarasov, V. E. Quantum computer with mixed states and four-valued logic // J. Phys. A: Math. Gen. - 2002. - T. 35. - C. 5207-5235.

[221] Tarasov, V. E. Quantum mechanics of non-Hamiltonian and dissipative systems. — Amsterdam, Boston, London, New York: Elsevier Science, 2008.

[222] Touchette, H. Simple spin models with non-concave entropies // American Journal of Physics. - 2008. - T. 76. - C. 26.

[223] Trotzky, S., Cheinet, P., Foiling, S., Feld, M., Schnorrberger, U., Rey, A. M., Polkovnikov, A., Demler, E. A., Lukin, M. D., Bloch, I. Time-resolved observation and control of superexchange interactions with ultracold atoms in optical lattices // Science. - 2008. - T. 319. - C. 295-299.

[224] Turinici, G., Rabitz, H. Quantum wavefunction controllability // Chemical Physics. - 2001. - T. 267. - C. 1-9.

[225] Vacchini, B. Theory of decoherence due to scattering events and Levy processes // Phys. Rev. Lett. - 2005. - T. 95. - C. 230402.

[226] van Hove, L. Quantum mechanical perturbations giving rise to a transport equation // Physica. - 1955. - T. 21. - C. 517-540.

[227] Vatan, F., Williams, C. Optimal quantum circuits for general two-qubit gates // Phys. Rev. A. - 2004. - T. 69. - C. 032315.

[228] Verstraete, F., Wolf, M. M., Cirac, J. I. Quantum computation and quantumstate engineering driven by dissipation // Nature Physics. — 2009. — T. 5. — C. 633-636.

[229] Vilela Mendes, R., Man'ko, V. I. Quantum control and the Strocchi map // Phys. Rev. A. - 2003. - T. 67. - C. 053404.

[230] Vilela Mendes, R., Man'ko, V. I. On the problem of quantum control in infinite dimensions // Journal of Physics A: Math. Theor. — 2011. — T. 44. — C. 135302.

[231] Viola, L., Lloyd, S. Dynamical suppression of decoherence in two-state quantum systems // Phys. Rev. A. - 1998. - T. 58. - C. 2733-2744.

[232] Voiculescu, D. V., Dykema, K. J., Nica, A. Free random variables / CRM monograph series, American Mathematical Society, 1992. — Т. 1.

[233] Voiculescu, D. Lectures on free probability theory / Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer. - 2000. — T. 1738. — C. 279-349.

[234] von Neumann, J. Some matrix-inequalities and metrization of matric-space // Труды Томского университета. — 1937. — Т. 1. — С. 286.

[235] von Neumann, J. Mathematical foundations of quantum mechanics. — Princeton: Princeton University Press, 1955.

[236] Walmsley, I. A., Rabitz, H. Quantum physics under control // Physics Today. - 2003. - T. 56. - C. 43.

[237] Wiseman, H. M., Milburn, G. J. Quantum theory of optical feedback via homodyne detection // Phys. Rev. Lett. - 1993. - T. 70. - C. 548-551.

[238] Wiseman, H. M. Quantum theory of continuous feedback // Phys. Rev. A. — 1994. - T. 49. - C. 2133-2150.

[239] Wiseman, H. M., Milburn, G. J. Quantum measurement and control. — Cambridge: Cambridge University Press, 2010.

[240] Wu, L., Bharioke, A., Brumer, P. Quantum conditions on dynamics and control in open systems //J. Chem. Phys. - 2008. - T. 129. - C. 041105.

[241] Wu, R., Pechen, A., Brif, C., Rabitz, H. Controllability of open quantum systems with Kraus-map dynamics //J. Phys. A: Math. Theor. — 2007. — T. 40. - C. 5681-5693.

[242] Wu, R., Pechen, A., Rabitz, H., Hsieh, M., Tsou, B. Control landscapes for observable preparation with open quantum systems //J. Math. Phys. — 2008. - T. 49. - C. 022108.

[243] Wu, R., Hsieh, M., Rabitz, H. Characterization of the critical submanifolds in quantum ensemble control landscapes //J. Phys. A: Math. Theor. — 2008. — T. 41. - C. 015006.

[244] Wu, R., Hsieh, M., Rabitz, H. Role of controllability in optimizing quantum dynamics // Phys. Rev. A. - 2011. - T. 83. - C. 062306.

[245] Wu, R., Dominy, J., Ho, T.-S., Rabitz H. Singularities of quantum control landscapes // Phys. Rev. A. - 2012. - T. 86. - C. 013405.

[246] Yang, F., Cong, S., Long, R., Ho, T.-S., Wu, R., Rabitz, H. Exploring the transition-probability-control landscape of open quantum systems: application to a two-level case // Phys. Rev. A. - 2013. - T. 88. - C. 033420.

[247] Yin, Z., Li, F., Peng, P. Implementation of holonomic quantum computation through engineering and manipulating the environment // Phys. Rev. A. — 2007. - T. 76. - C. 062311.

[248] Zener, C. Non-adiabatic crossing of energy levels // Proceedings of the Royal Society A. - 1932. - T. 137. - C. 696-702.

[249] Zhdanov, D. V., Zadkov, V. N. Laser-assisted control of molecular orientation at high temperatures // Phys. Rev. A. - 2008. - T. 77. - C. 011401(R).