Резольвенты и когомологические свойства самоинъективных алгебр тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Иванов, Сергей Олегович

• Иванов, Сергей Олегович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Иванов, Сергей Олегович

Содержание

Введение

1 Основные определения и конструкции

1.1 Предварительные замечания

1.2 Бимодульная резольвента и

когомологии Хохшильда

1.2.1 Бимодульная резольвента

1.2.2 Бимодульная резольвента групповой алгебры

1.2.3 Алгебра когомологий Хохшильда

1.3 Самоинъективные алгебры путей колчана с соотношениями

1.3.1 Алгебры путей колчана с соотношениями

1.3.2 Самоинъективные алгебры

1.3.3 Функторы двойственности относительно алгебр

1.3.4 Функторы Накаямы

1.3.5 Дополнительные структуры на фробениусовых алгебрах

1.3.6 Дополнительные структуры на фробениусовых алгебрах путей колчанов с соотношениями

1.4 Стабильная Калаби-Яу размерность

1.4.1 Стабильная категория модулей

1.4.2 Стабильная Калаби-Яу размерность самоинъектив-

ной алгебры

2 Функторы Накаямы и теоремы

Эйленберга-Уотса

2.1 Вспомогательные технические утверждения

2.2 Теорема Эйленберга-Уотса

2.3 Приложение к функторам Накаямы

3 Алгебры стабильной Калаби-Яу размерности три и семей-

ство ОТТ-соотношений

3.1 Начальные члены минимальной проективной бимодульной резольвенты алгебры

3.2 ОТ1-семейство соотношений

3.3 Стабильная Калаби-Яу размерность алгебр с ЭИ-семей-ством соотношений

3.4 Алгебры Накаямы при п\т+1

3.5 Алгебры кватернионного типа

3.6 Еще один пример алгебры, допускающей ВТ1-семейство соотношений

3.7 Бимодульная резольвента самоинъективной алгебры с семейством соотношений

4 Когомологии Хохшильда алгебр серии над полем

характеристики два

4.1 Описание алгебры когомологий

4.2 Бимодульная резольвента

4.3 Аддитивная структура

4.3.1 Дифференциал с!)1

4.3.2 Дифференциал 82

4.3.3 Дифференциал ё3

4.4 Мультипликативная структура

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Резольвенты и когомологические свойства самоинъективных алгебр»

Введение

Хорошо известно, что одним из эффективных способов исследования математического объекта, является изучение различных его (ко)гомологических инвариантов. В настоящей работе объектами исследования являются некоторые типы самоинъективных алгебр. Оказывается, что большая часть всей (ко) гомологической информации об алгебре А содержится в ее бимодульной резольвенте (проективной резольвенте бимо-дуля А). Причем, если бимодульная резольвента минимальна, то эта информация содержится в ней в наиболее компактном и "выпуклом" виде. В бар-резольвенте эта информация содержится, напротив, в наименее четкой форме. Этого принципа — смотреть в первую очередь за поведением бимодульной резольвенты при изучении гомологических инвариантов алгебры — мы будем придерживаться на протяжении всей работы.

Теперь скажем несколько слов про каждую главу в отдельности.

В первой главе вводятся необходимые определения и конструкции, которые нам понадобятся в дальнейшем. Кроме того, там есть несколько результатов полученных автором, но которые уместно было предъявить именно в этой главе. К результатам автора относится теорема 1.5 пункта 1.2.2, который посвящен тому, чтобы научиться явным образом предъявлять свободную бимодульную резольвенту групповой алгебры ЯС (над произвольным коммутативным кольцом -К), имея в наличии свободную резольвенту тривиального модуля Я. Этот факт напоминает лемму Хаппеля для конечномерных алгебр над полем, но он гораздо лучше, так как позволяет предъявить не только бимодули бимодульной резольвенты, но и дифференциалы. Кроме того, к результатам автора относятся результаты подпунктов 1.3.3 и 1.3.6, в первом из которых обсуждается контравариантный функтор двойственности относительно алгебры на категории бимодулей, а

во втором — дополнительные структуры на фробениусовых алгебрах путей колчана с соотношениями и то, какими дополнительными свойствами они обладают в том случае, когда фробениусова форма выбрана удачно.

Глава 2 посвящена различным вариантам теоремы Эйленберга-Уотса и выведению из них некоторого представления обратного функтора Накаямы для самоинъективных алгебр. Теорема Эйленберга-Уотса [25, 43] говорит о том, что точный справа функтор ^ : Мос1-А МосГБ, сохраняющий прямые суммы, представляется в виде Г = - X, где X — некоторый (А, В)-бимодуль, а точный слева функтор, сохраняющий пределы, представляется в виде ^ = НогпДУ, -), где У — некоторый (В, Л)-бимодуль. Причем в первом случае бимодуль X задается явно: X = Р{А) с естественной структурой (А. Л)-бимодуля. Имеются также аналогичные формулировки для контравариантных точных слева функторов. В главе 2 доказывается, что для категорий конечно порожденных модулей над конечномерными алгебрами все эти теоремы остаются верны, причем бимодуль У в этом случае можно задать явно У = здесь Б = (см. теоремы

2.6, 2.9, 2.12). Далее эти варианты теорем Эйленберга-Уотса позволяют достаточно просто доказать некоторые утверждения в теории представлений конечномерных алгебр (уже известные и новые). В частности, доказывается используемое в дальнейшем утверждение о том, что если конечномерная алгебра А самоинъективна, то обратный функтор Накаямы получает следующее представление и'1 = - ®А Аь\ где А^ = Нот^Д А® А) (теорема 2.17).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Иванов, Сергей Олегович, 2012 год

Список литературы

[1] Бондал А. И., Капранов М. М., Представимые функторы, функтюры Серра и перестройки, Изв. АН СССР. Сер. матем., т. 53: 6 (1989), 1183-1205.

[2] Генералов А. И., Когомологии Хохшильда алгебр диэдрального типа, I: серия 1>(3К) в характеристике 2, Алгебра и анализ, т. 16 (2004), вып. 6, 53-122.

[3] Генералов А. И., Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа, I: обобщенные группы кватернионов, Алгебра и анализ, т. 18 (2006), вып. 1, 55-107.

[4] Генералов А. И., Когомологии Хохшилъда целочисленного группового кольца диэдральной группы. I. Четный случай, Алгебра и анализ, т. 19 (2007), вып. 5, 70-123.

[5] Генералов А. И., Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа. III. Алгебры с малым параметром, Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 356 (2008), 46-84.

[6] Генералов А. И., Когомологии Хохшильда алгебр полудиэдрального типа. I. Групповые алгебры полудиэдральных групп, Алгебра и анализ, т. 21, вып. 2 (2009), 1-51.

[7] Генералов А. И., Когомологии Хохшилъда алгебр диэдрального типа. II. Локальные алгебры, Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 375 (2010), 92-129.

[8] Генералов А. П., Когомологии Хохшильда алгебр полудиэдрального типа, II. Локальные алгебры, Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 386 (2011), 144-202.

[9] Генералов А. И., Иванов С. О. Бимодульная резольвента групповой алгебры, Зап. научи, семин. ПОМИ т. 365 (2009), 143-151.

[10] Генералов А. И., Иванов А. А., Иванов С. О., Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа. II. Серия С^(2В)1 в характеристике 2, Зап. науч. семин. ПОМИ, т. 349 (2007), 53-134.

[11] Генералов А. И., Качалова М. А., Бимодульная резольвента алгебры Мебиуса, Зап. науч. семин. ПОМИ, т. 321 (2005), 36-66.

[12] Дрозд Ю. А., Кириченко В.В. Конечномерные алгебры. Киев: Вища школа, 1980.

[13] Иванов А. А., Когомологии Хохшилъда алгебр кватерпионного типа: серия Q(2B)i(k,s,a,c) над полем характеристики не 2, Вестник СПбГУ, Серия 1, Вып. 1 (2010), 63-72.

[14] Иванов А. А., Когомологии Хохшилъда алгебр кватерпионного типа: серия Q(2B)i в характеристике 3; Зап. научи, семин. ПОМИ, т. 388 (2011), 152-178.

[15] Иванов С. О., Функторы Накаямы и теоремы Эйленберга-Уотса. Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 388(2011), 179-188

[16] Иванов С. О., Самоинъективные алгебры стабильной Калаби~Яу размерности три, Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 394 (2011), 226-261.

[17] Каш Ф., Модули и кольца. М.: Мир, 1981

[18] Маклейн С., Гомология. М., Наука, 1966.

[19] Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. (Т. 1) М.: Мир, 1977.

[20] Assem I., Simson D., Skowronski A., Elements of Representation Theory of Associative Algebras I: Techniques of Representation Theory, London Math. Soc. Student Texts, v. 65, Cambridge Univ. Press, 2005.

[21] Auslander M., Reiten I., Smal0 S. O., Representation Theory of Artin Algebras. Cambridge Stud. Adv. Math., v. 36, Cambridge Univ. Press, 1995.

[22] Benson D. J., Representations and Cohomology I: Basic representation theory of finite groups and associative algebras. Cambridge studies in advanced mathematics v. 30, Cambridge University Press, 1991.

[23] Butler M. C. R., King A. D., Minimal resolutions of algebras. J. Algebra, v. 212 (1999), 323-362.

[24] Cohn P. M., Algebra: Vol. 3 (Second Edition), Wiley (1991).

[25] Eilenberg S., Abstract description of some basic functors, J. Indian Math. Soc., v. 24 (1960) 231-234.

[26] Eilenberg S., Mac Lane S., Cohomology theory in abstract groups I, Ann. Math., v. 48 (1947), 51-78.

[27] Erdmann K., Blocks of Tame Representation Type and Related Algebras, Lecture Notes in Math., v. 1428, Springer, 1990.

[28] Erdmann K., Skowroriski A., The stable Calabi-Yau dimension of tame symmetric algebras, J. Math. Soc. Japan, v. 58 (2006), 97-123.

[29] Gerstenhaber M., Schack S. D., Algebraic cohomology and deformation theory, In. Deformation theory of algebras and strictures and applications. M. Hazewinkel, M. Gerstenhaber (eds.), Kluwer Acad. Publ., NATO ASI Ser., Ser. C: Math, and Phys. Sci., v. 247 (1988), pp. 11-264.

[30] Handel D., On products in the cohomology of the dihedral groups, Tohoku Math. J., v. 45 (1993), No. 1, 13-42.

[31] Happel D., On the derived category of a finite-dimensional algebra, Comment. Math. Helv., v. 62, No. 3 (1987), 339-389.

[32] Happel D., Triangulated Categories in the Representation Theory of Finite Dimensional Algebras, London Math. Soc. Lecture Note Series, 119, Cambridge Univ. Press, (1988).

[33] Happel D., Hochschild cohomology of finite-dimensional algebras, Lect. Notes Math.,v. 1404 (1989), 108-126.

[34] Heller A., The loop-space functor in homological algebra, Trans. Amer. Math. Soc., v. 96 (1960), 382-394.

[35] Holm Th., Derived equivalence classification of algebras of dihedral, semidihedral, and quaternion type, J. Algebra, v. 211 (1999), 159-205.

[36] Keller B., Calabi-Yau triangulated categories, Trends in representation theory of algebras and related topics, A. Skowronski, editor, E.M.S., Zurich, 2008, 467-489.

[37] Kock J., Frobenius algebras and 2D topological quantum, field theories, London Mathematical Society Student Texts, v. 59, Cambridge University Press: Cambridge, 2004.

[38] Kontsevich M., Triangulated categories and geometry, Course at the Ecole Normale Supérieure, Paris, Notes taken by J. Bellaiche, J.-F. Dat, I. Marin, G. Racinet and H. Randriambololona, 1998.

[39] Linckelmann M., Varieties in block theory, J. Algebra, v. 215 (1999), №2, 460-480.

[40] Reiten I., M. van den Bergh, Noetherian hereditary abelian categories satisfying Serre duality. J. Amer. Math. Soc., v. 15 (2002), 295-366.

[41] Siegel S. F., Witherspoon S. J., The Hochschild Cohomology Ring of a Cyclic Block, Proc. Amer. Math. Soc., v. 128, No. 5 (2000), 1263-1268.

[42] Wall C. T. C., Resolutions for extensions of groups, Proc. Cambridge Phil. Soc, v. 57 (1961), No. 2, 251-255.

[43] Watts C. E., Intrinsic characterizations of some additive functors, Proc. Amer. Math. Soc., v. 11 (1960) 5-8.

[44] Weibel C. A., An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, New York, 1994