Мультипликативная структура когомологий для алгебр Лю-Шульца тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Косовская, Надежда Юрьевна

• Косовская, Надежда Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Косовская, Надежда Юрьевна

Введение.

Глава 1. Алгебры Йонеды для алгебр Лю-Шульца.

1.1. Вспомогательный результат.

1.2. Формулировка теоремы 1.2.1 — описание алгебры Йонеды

1.3. Резольвента.

1.4. Образующие и соотношения.

1.5. Окончание доказательства теоремы 1.2.1.

Глава 2. Алгебры когомологий Хохшильда для алгебр Лю-Шульца.

2.1. Формулировка теоремы 2.1.1 — описание алгебры когомологий Хохшильда

2.2. Бимодульная резольвента . У. . г

2.3. Аддитивная структура кольца когомологий.

2.4. Произведение Йонеды в ERn(Rp).

2.5. Образующие и соотношения.

2.6. Окончание доказательства теоремы 2.1.1.

2.7. Вычисление размерностей dim#-HH"(.Rp).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Мультипликативная структура когомологий для алгебр Лю-Шульца»

Когомологии алгебр играют фундаментальную роль в теории представлений конечных групп и конечномерных алгебр. В настоящий момент теория (обычных) когомологий групп — уже сложившаяся ветвь современной алгебры. Кольца когомологий групп исследовались различными авторами, и в этой области имеется множество результатов (см., например, [15]). Алгебра Йонеды является естественным аналогом кольца когомологий групп. Напомним понятие произведения Йонеды и его взаимосвязь с известным U-произведением в H*(G, К).

Пусть R — произвольная конечномерная if-алгебра. Для Д-модулей М, N любой элемент (р £ Extд(М, iV), т > 1, может быть представлен точной последовательностью

О -+N->Xm-)-----^ Xi М 0.

На последовательностях такого вида вводится отношение эквивалентности, а также согласованная с ним операция сложения (см., например, [14]). Если

0 £ -> ----Ух —> iV —> 0 точная последовательность, представляющая элемент ф G Ext^(iV, L),n>l, то произведение Йонеды фо<р определяется как элемент группы расширений Extд+п(М, L), представленный точной последовательностью

0 -> L Yn ч-----Yi ч- Хт ----уХгЧ'МчО.

Если же п = 0, то группа расширений Ext°R(N,L) = Нотr(N,L), и ф о ip определяется как элемент ф*((р) Е Extд(М, L), где ф*: Extr(M,N) ч> Ext^(M, L) — гомоморфизм, индуцированный ф\ аналогично определяется фо(р при m = 0. Очевидно, такое произведение ассоциативно.

Если М = N = L, то на множестве 6(М) = 0m^oExtд(М,М) с помощью описанного произведения Йонеды вводится структура /^-алгебры, и £(М) естественным образом превращается в градуированную /^-алгебру с единицей 1 s{M) = £ Нотд(М, М) = Ext°R(M,M). Её называют Ext-алгеброй модуля М.

Если R — базисная if-алгебра с радикалом Джекобсона J(R), то Ext-алгебра £(R/J(R)) называется алгеброй Йонеды алгебры R; ее будем обозначать через y(R)

Пусть теперь R = KG — групповая алгебра. Если М, М', N и N' — KG-модули, то хорошо известно U-произведение

U: Ext%G{M, М') х Ext^G(iV, N') -> Ext£jn(M ® N, M' ® N') и его взаимосвязь с произведением Йонеды: если ip 6 ExtxG(M,M'), ф € ExtnKG(N,N'),io р ®idN, G Ext%G(M <g> N', M' ® N'), idM®i>e Ext nKG(M ®N,M®N'), и ip U ф = {tp ® id/v) о (idjif <g> ф) e ExtксП{м N') см., например, [14, 16]). В частности, если М = М' = N = N' = К, где К — тривиальный KG-модупъ, то U-произведение в кольце когомологий H*(G, К) = 0m^oExtkG(K, К) совпадает с произведением Йонеды.

В работах Генералова А.И. были вычислены алгебры Йонеды для некоторых серий алгебр диэдрального или полудиэдрального типа из классификации К.Эрдманн [29]. В некоторых из этих работ (см. [4, 1, 2, 33]) используется диаграммный метод Бенсона-Карлсона [18] вместе с его техническими усовершенствованиями, развитыми в [4, 1]. В этом случае существенно используется возможность описания сизигий простых модулей с помощью так называемых диаграмм. Такая возможность имеется не всегда, и в связи с этим в [5] был предложен иной подход. Его существо составляет то, что на основе некоторых эмпирических наблюдений выдвигается гипотеза о строении минимальных проективных резольвент простых модулей, и после их обоснования "когомологическая информация" считывается с найденных резольвент, что приводит к описанию алгебр Йонеды рассматриваемых алгебр.

Теперь определим когомологии Хохшильда. Для Х-алгебры R рассмотрим обертывающую алгебру А = Re = R®kR°p- Тогда n-ая группа когомоло-гий Хохшильда алгебры R с коэффициентами в Д-бимодуле М определяется следующим образом: ННП(Я, М) = ЕхЩЯ, М). Если М = R, то мы используем обозначение HH"(i2) = HHn(i2, R). На линейном пространстве

НН*(Я) = ®„>0 НН"(Д) = ©n,o в*Ч№ Л) можно ввести U-произведение, относительно которого оно становится ассоциативной if-алгеброй [27, §5], [12, Гл. XI], [35]; эту алгебру называют алгеброй когомологий Хохшильда.

Известно, что U-произведение на ER*(R) совпадает с произведением Йонеды на Ext-алгебре 0n^oExtJ(i2, R) А-модуля R (см., например, [36, стр. 120]). Кроме того, как доказано в [35], НН*(Я) — градуированно коммутативная алгебра.

Хотя когомологии Хохшильда теоретически вычислимы для конкретной алгебры через производные функторы, но реально вычисления для какого-либо класса алгебр по-прежнему актуальны и очень сложны. К настоящему моменту группы когомологий Хохшильда (по крайней мере для малых степеней) были вычислены для нескольких серий алгебр, например, для некоторых наследственных алгебр и алгебр с узким колчаном (with narrow quivers) [40, 21], внешних алгебр [38], алгебр с нулевым квадратом радикала (radical square zero algebras) [22], мономиальных алгебр [24], усеченных алгебр колчанов (truncated quiver algebras) [25, 54, 47, 45] и специальных бирядных алгебр [53, 39].

До последнего времени во многих работах изучалась только "аддитивная структура" когомологий алгебр или же вообще только первая или вторая группа когомологий Хохшильда (как имеющие конкретную интерпретацию с помощью дифференцирований и расширений). Лишь в последние годы ожиt вился интерес к изучению мультипликативной структуры когомологий Хохшильда.

Для коммутативной конечной группы G в работах [42], [26] доказано, что HH*(if[G]) ~ H*(G) ®к В [51] была предложена некоторая формула, позволяющая редуцировать вычисление произведения в HH*(/^[G]) к вычислениям с обычными когомологиями групп, и с помощью этой техники было получено описание алгебры когомологий Хохшильда для симметрической группы 5з над полем F3, а также для знакопеременной группы А4 и для диэдральных 2-групп над полем F2. Кроме того, в [43] вычислена подалгебра когомологий четных степеней HHev(B) = 0п^оНН2п(Б) для групповых блоков, имеющих конечный тип представления. Отметим также, что для групповых блоков ручного типа представления, имеющих один или три простых модуля, в [44] описана аддитивная структура алгебры НН*(£). Имеются вычисления НН*(#) для алгебр других классов. В [30] алгебра НН*(Я) описана для случая, когда R — полуцепная Q-F-алгебра, а в [31] для так называемых алгебр Мёбиуса вычислена подалгебра ННГ*(Л), порожденная однородными элементами алгебры HH*(.R), степени которых кратны г (г — некоторый параметр, связанный с алгеброй Мёбиуса). В [23] вычислена мультипликативная структура для алгебр R с нулевым квадратом радикала (оказалось, что все произведения элементов из НН-^Я) нулевые). В [19] вычислены когомологии Хохшильда для серии алгебр из [49], при этом получено, что алгебра НН*(R) конечно порождена. Также в недавнем препринте [20] (с помощью техники отличной от используемой в данной работе) исследуется мультипликативная структура когомологий Хохшильда для алгебр, близких к алгебрам Лю-Шульца.

В [6] Генералов А.И. дал описание алгебры когомологий Хохшильда для алгебр диэдрального типа из серии D(3JC) над алгебраически замкнутым пол ем характеристики 2. При этом была использована техника, аналогичная использованной для вычисления алгебр Йонеды алгебр диэдрального и по-лудиэдрального типов. Таким образом, уже первый опыт такого вычисления дал результат для гораздо более широкого класса алгебр, включающий в себя результат для А*. Аналогичной техникой в [7] получено описание алгебры когомологий Хохшильда для одной из серии локальных алгебр кватер-нионного типа. Отметим также что в [8] описана минимальная проективная бимодульная резольвента для алгебры Мёбиуса, как первый этап для вычисления структуры всего кольца когомологий Хохшильда для алгебры Мёбиуса.

Заметим, что за пределами класса групповых алгебр конечных групп в большинстве изученных случаев рассматривались алгебры, имеющие либо конечный, либо ручной тип представления. В данной работе с помощью техники, аналогичной [5], дается описание алгебры Йонеды и алгебры когомологий Хохшильда для некоторой серии симметрических локальных алгебр, открытых Лю и Шульцем, которые имеют дикий тип представлений.

Пусть К — произвольное поле. Для ненулевого р G К определим алгебру

Rp = К(Хо, Xh X2)/({Xf, Xi+1Xi + рХ{Хм}щ0,1я). (0.0.1)

Мы всюду отождествляем Х$ = Хо, более того, всюду индексы, пробегающие множество {0,1,2}, мы считаем определенными в Z3 и допускаем для них соответствующую операцию сложения. Через Х{ обозначим классы вычетов Х{. Как легко видеть, Rp - 8-мерная локальная /С-алгебра:

Яр = к( 1, Х2, X0Xh Х1Х2, Х2Х0, XQX1X2).

Алгебры Rp симметричны [46] и имеют дикий тип представления (см. например [29, 1.10.10(a)]). Отметим, что Rp можно рассматривать как своеобразную "квантификацию" групповой алгебры элементарной абелевой группы С2 х С2 х С2 над полем характеристики 2.

Алгебры Rp для случая, когда р G К* = К \ {0} не является корнем из 1, были впервые введены в работе Лю и Шульца [46] в форме, отличной от (0.0.1), и были использованы для построения примера неразложимого Rp-модуля М, чья DTr-орбита состоит из бесконечного числа модулей с размерностями, ограничеными в совокупности. В частности, модули сизигий Qn(M) (п > 0) такого модуля М 4-мерные и попарно не изоморфны. Такое поведение невозможно для некоторых других классов алгебр, например, для групповых алгебр конечных групп. Точнее, если М — неразложимый непроективный модуль над групповой алгеброй KG конечной группы G, то из ограниченности размерностей модулей 0,п(М) следует периодичность модуля М, то есть для некоторого t G N верно Q\M) а М [28]. Отметим, что ранее в [50] Шульц рассмотрел более простую серию алгебр как пример подобного "патологического" поведения модулей, и эти алгебры активно изучаются в последние годы [49, 19, 20, 52]. В работе [48] алгебры Лю-Шульца Rp были уже приведены к виду (0.0.1) и были обнаружены некоторые новые свойства алгебры Rp и ее модулей. ,

Основной результат диссертации — теоремы 1.2.1 и 2.1.1, которые описывают для алгебр Лю-Шульца Rp алгебру Йонеды y{Rp) и алгебру когомологий Хохшильда HH*(^) в терминах образующих и определяющих соотношений. При этом для вычисления тех или иных групп когомологий предварительно строятся минимальные проективные резольвенты соответствующих модулей. В силу известной теоремы Голода-Венкова-Ивенса кольцо когомологий H*(G, К) конечной группы G является конечно порожденной if-алгеброй [11, 3, 32]; мы доказываем, что алгебра Йонеды y(Rp) конечно порождена и, таким образом, не ведет себя "патологически". Однако в более сложной когомологической структуре — алгебре когомологий Хохшильда, уже прослеживается интересные особенности. Оказывается, что если р имеет конечный порядок в К*, то HH*(i?/?) конечно порождена; в случае же, когда р не является корнем из единицы, алгебра НН*(Л^,) бесконечно порождена, и для нее указано счетное множество образующих. Еще одна интересная особенность состоит в том, что даже когда HH*(i?/)) бесконечно порождена, размерности dim^HHn(i?p) в совокупности ограничены (б, если char .К" ф 2, и 9, если char К = 2).

Результаты, выносимые на защиту диссертации:

1. Для простого Rp-модуля К вычислена минимальная проективная резольвента и с помощью нее дано описание алгебр Йонеды для серии алгебр

Rp

2. Вычислена бимодульная минимальная проективная резольвента модуля Rp.

3. Вычислены образующие n-ой группы когомологий Хохшильда для Rp.

4. Дано описание (в терминах образующих и соотношений) алгебр когомологий Хохшильда для алгебр Rp.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [10,13, 9] и в тезисах международной конференции [34]. В совместных работах диссертанту принадлежат доказательства теорем и вычисления, а соавтору — постановка задач и выбор методов решения.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Косовская, Надежда Юрьевна, 2006 год

1. Балашов О. И., Генералов А. И. Алгебры Йонеды для одного класса диэдральных алгебр // Вестник С.-Петерб. ун-та. — 1999. — Сер. 1, Вып. 3, №15. - С. 3-10.

2. Балашов О. И., Генералов А. И. Когомологии алгебр диэдралъного типа, II // Алгебра и анализ. 2001. - Т. 13, №1. - С. 3-25.

3. Венков Б.Б. Об алгебрах когомологий некоторых классифицирующих пространств // Доклады Акад.'наук СССР. — 1959. — Т. 127, №5. — С. 943-944.

4. Генералов А.И. Когомологии алгебр диэдралъного типа, I // Зап. науч. семин. ПОМИ. 1999. - Т. 265. - С. 139-162.

5. Генералов А.И. Когомологии алгебр полудиэдралъного типа, I // Алгебра и анализ. 2001. - Т.13, №4. - С. 54-85.

6. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр диэдралъного типа, I: серия D(3)C) в характеристике 2 // Алгебра и анализ. — 2004. — Т. 16, №6. С. 53-122.

7. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа, I: обобщенные группы кватернионов I j Алгебра и анализ. — 2006. — Т. 18, №1. С. 55-107.

8. Генералов А. И., Качалова М. А. Бимодулъная резольвента алгебры Мёбиуса // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2005. - Т. 321. - С. 36-66.

9. Генералов А. И., Косовская Н. Ю. Когомологии Хохшильда для алгебры Лю-Шулъца // Алгебра и анализ. 2006. - Т. 18, №4. - С. 39-82.

10. Генералов А. И., Фёдорова Н. Ю. Алгебра Йонеды для "примера Лю-Шульца"// Алгебра и анализ. 2002. - Т. 14, М. - С. 19-35.И. Голод Б.С. О кольце когомологий конечной р-группы // Доклады Акад. наук СССР. 1959. - Т. 125, №4. - С. 703-706.

11. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. — М.: ИЛ, 1960. — 510 с.

12. Косовская Н. Ю. Бимодульная резольвента для алгебр Лю-Шульца // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2005. - Т. 321. - С. 213-223.

13. Маклейн С. Гомология. — М.: Мир, 1966. — 543 с.

14. Adem A., Milgram R. J. Cohomology of Finite Groups. — Springer-Verlag Grundlehren 309, 1st edition 1994, 2nd edition 2004.

15. Benson D.J. Representations and cohomology, I. — Cambridge Univ. Press, 1991.-224 p.

16. Benson D.J., Carlson J.F. Complexity and multiple complexes // Math. Zeit.- 1987. Vol. 195. - P. 221-238.

17. Benson D.J., Carlson J.F. Diagrammatic methods for modular representations and cohomology // Comm. in Algebra. — 1987. — Vol. 15, №1/2.- P. 53-121.

18. Buchweitz R.-O., Green E. L., Madsen D., Solberg 0. Finite Hochschild cohomology without finite global dimension // Mathematical Research Letters- 2005. Vol. 12. - P. 805-816.

19. Buchweitz R.-O., Green E. L., Snashall N., Solberg 0. Multiplicative structures for Koszul algebras. arXiv:math.RA/0508177.

20. Cibils C. On the Hochschild cohomology of finite-dimensional algebras // Comm. Algebra. 1988. - Vol. 16. - P. 645-649.

21. Cibils С. 2-nilpotent and rigid finite-dimensional algebras // J. London Math.Soc. 1987. - Vol. 36. - P. 211-218.

22. Cibils C. Hochschild cohomology algebra of radical square zero algebras // Algebras and modules II (Geiranger, 1996), 93-101, CMS Conf. Proc., 24, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998.

23. Cibils C. Rigid monomial algebras // Math. Ann. — 1991. — Vol. 289. — P. 95-109.

24. Cibils C. Rigidity of truncated quiver algebras // Adv. Math. — 1990. — Vol. 79. P. 18-42.

25. Cibils C., Solotar A. Hochschild cohomology algebra of abelian groups j j Arch. Math. 1997. - Vol. 68. - P. 17-21.

26. Eilenberg S., MacLane S. Cohomology theory in abstract groups, I // Ann. Math. 1947. - Vol. 48. - P. 51-78.

27. Eisenbud D. Homological algebra on a complete intersection, with an application to group representations j j Trans. Amer. Math. Soc. — 1980. — Vol. 260. P. 35-64.

28. Erdmann K. Blocks of tame representation type and related algebras. — Lect. Notes Math. Vol. 1428. Berlin et al., Springer Verlag, 1990.

29. Erdmann K., Holm Th. Twisted bimodules and Hochschild cohomology for self-injective algebras of class An // Forum Math. 1999. - Vol. 11. -P. 177-201.

30. Erdmann K., Holm Th., Snashall N. Twisted bimodules and Hochschild cohomology for self-injective algebras of class An, II // Algebras and Repr.Theory. 2002. - Vol. 5. - P. 457-482.

31. Evens L. The cohomology ring of a finite group// Trans. Amer. Math. Soc. 1961. - Vol. 101. - P. 224-239.

32. Generalov A. I., Kosmatov N. V. Computation of the Yoneda algebras of dihedral type // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2003. - Т. 305. - С. 101120.

33. Generalov A. I., Kossovskaya N. Yu. Yoneda algebra of the Liu-Schulz example // тезисы докладов Международной алгебраической конференции, посвященной памяти 3. И. Боревича. — СПб, 2002. — С. 95-96.

34. Gerstenhaber М. The cohomology structure of an associative ring // Ann. Math. 1963. - Vol. 78. - P. 267-288.

35. Han Y. Hochschild (co)homology dimension. arXiv:math.RA/0408402.

36. Han Y., Xu Y. Hochschild (co)homology of exterior algebras // Preprint.

37. Han Y., Xu Y. Hochschild cohomology of special biserial algebras // Preprint.

38. Happel D. Hochschild cohomology of finite-dimensional algebras // Springer Lecture Notes in Math. 1989. - Vol. 1404. - P. 108-126.

39. Holm Th. Hochschild cohomology rings of algebras kX]/(f) // Beitrage Algebra Geom. 2000. - Vol. 41, M. - P. 291-301.

40. Holm Th. The Hochschild cohomology ring of a modular group algebra : the commutative case / j Commun. Algebra. — 1996. — Vol. 24. — P. 1957-1969.

41. Holm Th. The even Hochschild cohomology ring of a block with cyclic defect group // J. Algebra. 1995. - Vol. 178. - P. 317-341.

42. Holm Th. Hochschild cohomology of tame blocks // J. Algebra. — 2004. — Vol. 271. P. 798-826.

43. Jiang W., Han Y., Xu Y. Hochschild cohomology of truncated quiver algebras // Preprint.

44. Liu Sh., Schulz R., The existence of bounded infinite DTr-orbits // Proc. Amer. Math. Soc. 1994. - Vol. 122, №4. - P. 1003-1005.

45. Locateli C.M. Hochschild cohomology of truncated quiver algebras j j Comm. Algebra 1999. - Vol. 27. - P. 645-664.

46. Ringel C.M., The Liu-Schulz example j j in: Representation theory of algebras, CMS Conf. Proc., AMS. 1996. - Vol. 18. - P. 587-600.

47. Schulz R. A nonprojective module without self-extensions // Arch. Math., Basel 1994. - Vol. 62, M. - P. 497-500.

48. Schulz R. Boundedness and periodicity of modules over QF rings // J. Algebra. 1986. - Vol. 101, №2. - P. 450-469.

49. Siegel S. F., Witherspoon S. J. The Hochschild cohomology ring of a group algebra // Proc. London Math. Soc. 1999. - Vol. 79. - P. 131-157.

50. Smal0 S.O. Local limitations of the Ext functor do not exist // Bull. London Math. Soc. 2006. - №1. - P. 97-98.

51. Xu Y. On the first Hochschild cohomology of trivial extensions of special biserial algebras // Sci. China (Ser. A). 2004. - Vol. 47. - P. 578-592.

52. Zhang P. Hochschild cohomology of truncated basic cycle // Sci. China (Ser. A). 1997. - Vol. 40. - P. 1272-1278.