Решение задач теории упругости с помощью полиномов Лежандра тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Кантор, Марк Михайлович

• Кантор, Марк Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кантор, Марк Михайлович

Введение

1 К параметризациям области тонкого тела с двумя малыми размерами. Представления градиента и дивергенции тензора и уравнений движения. Рекуррентные соотношения системы полиномов Лежандра

1.1 К формулам Френе и параметризациям области тонкого тела с двумя малыми размерами.

1.1.1 К классической параметризации области тонкого тела с двумя малыми размерами прямоугольного поперечного сечения.

1.1.2 К параметризации области тонкого тела с двумя малыми размерами при произвольной базовой линии.

1.2 Представления градиента и дивергенции тензора и уравнений движения при различных параметризациях области тонкого тела с двумя малыми размерами.

1.2.1 Представления градиента и дивергенции тензора и уравнений движения при классической параметризации области тонкого тела с двумя малыми параметрами.

1.2.2 Представления градиента и дивергенции тензора и уравнений движения в том случае, когда при параметризации области тонкого тела с двумя малыми размерами в качестве базовой выбрана произвольная линия.

1.3 Некоторые рекуррентные соотношения системы полиномов Лежандра на сегменте [—1,1]

1.3.1 Основные рекуррентные соотношения.

1.3.2 Дополнительные рекуррентные соотношения.

2 Элементы теории моментов и некоторые соотношения в мо ментах относительно системы полиномов Лежандра. Пред ставления граничных условий и системы уравнений движе ния в моментах

2.1 Элементы теории моментов.

2.2 Некоторые соотношения в моментах относительно системы полиномов Лежандра.

2.3 О граничных условиях и различных представлениях системы уравнений движения в моментах относительно системы полиномов Лежандра.

3 Представления закона Гука микрополярной теории упругости в моментах. Постановка задачи теории тонких тел с двумя малыми размерами в моментах

3.1 Представления закона Гука микрополярной теории упругости в моментах.

3.1.1 Метод нормированных моментов поля тензора напряжений

3.1.2 Упрощенный метод приведения бесконечной системы уравнений к конечной.

3.1.3 Постановка задачи в моментах в теории тонких тел с двумя малыми размерами.

4 Некоторые частные задачи

4.1 Постановка задачи для призматического тонкого тела с двумя малыми размерами в моментах.

4.2 Метод нормированных моментов в случае призматического тонкого тела.

4.3 Дифференциальное уравнение относительно прогиба.

4.4 Уравнения равновесия нескольких первых приближений для тонкой классической упругой прямоугольной области. Постановки задач в моментах.

4.5 Постановки задач в моментах нескольких первых приближений для классической упругой прямоугольной области.

4.5.1 Постановка задачи нулевого приближения

4.5.2 Постановка задачи первого приближения.

4.5.3 Постановка задачи второго приближения.

4.5.4 Постановка задачи третьего приближения.

4.5.5 Постановка задачи четвертого приближения.

4.5.6 Постановка задачи пятого приближения.

4.6 Уравнения равновесия нескольких первых приближений для тонкой микрополярной упругой прямоугольной области. Постановка задач в моментах.

4.7 Постановки задач в моментах нескольких первых приближений для микрополярной упругой прямоугольной области.

4.7.1 Постановка задачи нулевого приближения

4.7.2 Постановка задачи первого приближения.

4.7.3 Постановка задачи второго приближения.

4.7.4 Постановка задачи третьего приближения.

4.7.5 Постановка задачи четвертого приближения.

4.7.6 Постановка задачи пятого приближения.

4.7.7 Задача для двумерной многослойной области.

4.7.8 Численная реализация некоторых задач.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение задач теории упругости с помощью полиномов Лежандра»

В настоящее время известно несколько методов построения теорий стержней, пластин, оболочек и многослойных конструкций. Например, в случае однослойных пластин, оболочек и стержней [4,15,27,31,33,34,116,128,145,150], эти методы основаны на:

1) гипотезах о напряженном и/или деформированном состояниях;

2) разложении всех геометрических и механических величин в ряды;

3) асимптотическом интегрировании;

4) представлениях о двумерных средах.

Эти методы различаются возможностями использования в практических расчетах, уровнем математической строгости и т.д. и в то же время они приводят трехмерные системы уравнений в частных производных, которые описывают механическое поведение реальной конструкции, к двумерным или одномерным, т.е. при расчете конструкций решают систему двумерных дифференциальных уравнений в частных производных либо систему обыкновенных дифференциальных уравнений.

Первый метод, который еще называют гипотетическим методом, ближе всего к инженерным представлениям. Исходная задача упрощается после принятия определенных допущений (гипотез). Такие гипотезы связаны прежде всего с именами Кирхгофа Г. [138], Рейснера Е. [148], Генки X. [136],

Тимошенко С.П. [17,19], Амбарцумяна С.А. [4], Левинсона М. [142], Пеле-ха Б.Л. [99], Хорошуна Л.П. [123], Черных К.Ф. [125], Твалчрелидзе А.К., Твалтвадзе Д. , Никабадзе М.У. [119], Никабадзе М.У. [53-55,57-74,79] и ДР

Второй метод связан с разложением в ряды по степеням поперечной координаты, разложением в полиномы Лежандра [117,121], [9,10,12,18,49,50], [98,100], [1,16,30,36-41,86], [75,77, 78,80-85,87,94], разложением в ряды по системе заданных функций [7,8], разложением в многочлены Чебышева [88,89] и др.

Третий метод — асимптотическое интегрирование предлагается, например, в работах Гольденвейзера А.Л. и Саркисяна С.О. [20-22,114,115]. Этот метод приводит к равномерному приближению решения по всем элементам теории (кинематическим, силовым).

Четвертый метод, основанный на представлении о двухмерных средах и называемый еще прямым методом [33,122], находит достаточно редкое применение, т.к. противоречит традиционным взглядам о представлении результатов расчетов в виде полей напряжений. Такое представление для двухмерных теорий - весьма трудоемкий, а иногда и невыполнимый процесс. О возможностях этого метода можно судить, например, по работе [145].

Теории многослойных пластин и стержней [26,122] молено строить аналогично теориям однослойных пластин. Однако при этом существует два принципиально различающихся метода [24,26,29,147]: а) теории, основанные на гипотезе ломаной нормали; б) теории, основанные на гипотезе эквивалентного слоя.

Основное различие между этими теориями заключается в представлении о пакете слоев как о совокупности независимых слоев (гипотеза ломаной линии) или как о целостном эквиваленте (гипотеза эквивалентного слоя). Число разрешающих уравнений в теориях, основанных на гипотезе «ломаной нормали», непосредственно зависит от числа слоев пакета и не зависит для теорий, основанных на гипотезе «эквивалентного слоя». Кроме того, определение некоторых эффективных характеристик многослойного пакета существенно затруднено в теориях «эквивалентного слоя», особенно тогда, когда свойства и толщины слоев сильно различаются, поскольку классические представления о деформациях поперечных сечений здесь не выполняются. Это в свою очередь приводит к сложным кинематическим представлениям, в соответствии с которыми определение эффективных характеристик приходится связывать, как правило, с введением поправочных коэффициентов. Многочисленные дискуссии по поводу правомочности введения поправочных коэффициентов и их механической адекватности свидетельствуют о незавершенности теорий «эквивалентного слоя» и необходимости дальнейших теоретических разработок в этом направлении. При использовании гипотезы «ломаной нормали» возникает другая проблема - ошибка, получаемая при неточном описании деформации поперечного сечения каждого слоя. Однако она существенно меньше ошибки, возникшей при построении кинематической модели эквивалентного слоя. Методы построения теорий многослойных пластин обсуждаются в работах [26,29,123,129,147].

В настоящее время при расчетах конструкций на прочность в подавляющем большинстве случаев используется классическая теория упругости. Однако, существуют материалы, такие как кости животных, графит, некоторые полимеры, полиуретановые пленки, пористые материалы (пемза), различные синтетические материалы, материалы с включениями, которые при определенных условиях проявляют микрополярные свойства. Существуют эффекты, которые не предсказываются классической теорией. Если рассматривать статику, то отличное от классики поведение наблюдается при изгибе тонких пластин, балок, при кручении тонких и тонкостенных стержней, при исследовании концентрации напряжений возле отверстий, угловых точек, трещин и включений. Например, тонкие образцы жестче при изгибе и кручении, чем предсказывает классическая теория [133-135]. Концентрация напряжений около отверстий оказывается меньше, а коэффициент концентрации зависит от радиуса [144]. Концентрация напряжений возле трещин также оказывается ниже, напротив, напряжения возле включений выше чем предсказано классикой [137,139,146]. Если материал не обладает центром симметрии упругих свойств, то микрополярная теория предсказывает закручивание образца при растяжении [141]. Если рассматривать динамические задачи, то ряд явлений также отличается от классических представлений. Например, волны сдвига распространяются с дисперсией, появляются волны микровращений, собственные формы колебаний отличаются от классических [32,43-45,130,131]. Все эти явления используются для определения материальных констант микрополярной теории упругости. Существует множество методик, позволяющих получить эти константы, многие из которых описываются в работах [131,140].

В заключение следует отметить, что к настоящему времени развито множество различных вариантов теорий тонких тел (теорий стержней, пластин, оболочек и многослойных конструкций). Анализ опубликованных работ свидетельствует, что создание уточненных теорий оболочек и многослойных конструкций продолжает активно развиваться. При этом нелинейные теории тонких тел находят все более широкое освещение в литературе. Существенно расширился используемый математический аппарат как для реализации уже поставленной проблемы, так и с целью обеспечения новых постановок. Параллельно с теоретическим используется также и экспериментальный путь исследования.

В принципе, любую задачу теории оболочек или стержней можно решать в трехмерной постановке, которая является более точной в сравнении с двумерной постановкой. Однако реализовать на практике эту возможность в требуемом объеме не удается вследствие сложности решения трехмерных задач и большого разнообразия практически необходимых постановок задач. Известны оценки трудоемкости решения одно-, двух- и трехмерных краевых задач, согласно которым повышение размерности задач на единицу повышает трудоемкость решения в 1000 раз [51]. Применительно к задачам механики деформируемого твердого тела эти оценки являются заниженными, поскольку даже в простейшей ее ветви - в теории упругости, многие задачи в точной постановке оказываются очень сложными [97].

Поведение тонких тел, подчиняясь общим законам механики деформируемого твердого тела, зависит также от специфических присущих им закономерностей [101]. Вследствие относительной малости толщины сопротивление оболочки в поперечном направлении существенно слабее сопротивления в тангенциальных направлениях. Уравнения состояния механики трехмерного тела, в том числе и закон Гука, не учитывают этого обстоятельства. Поэтому их непосредственное использование в теории оболочек приводит к существенной ошибке [12]. Специфические закономерности деформирования тонких тел являются физической предпосылкой к построению новых теорий тонких тел.

Следует заметить, что материалы, из которых изготовлены слои многослойных конструкций, могут быть как однородными, так и неоднородными, а также композитными. Например, в трехслойных конструкциях в качестве внешних слоев используются однородные материалы, внутренний же слой состоит либо из мягкого, относительно слоистого материала (различные пены) [23], либо из жесткого [25], а также либо из конструктивно сложного, неоднородного, композитного материала (сотовые заполнители, гофры). В многослойных композитных конструкциях каждый слой сам по себе является композитным материалом. В современных конструкциях зачастую используется сочетание обоих типов слоистых конструкций. Например, трехслойная пластина, имеющая в качестве внешних слоев многослойные пластины, а также элементы, состоящие как из одного, двух и трех, так и существенно большего количества слоев из композитных материалов и волокнистой структуры. В такие многослойные элементы могут быть включены специальные слои, которые, например, демпфируют конструкцию или защищают ее от температурных или коррозионных воздействий. В настоящее время трехслойные и многослойные конструкции, особенно пластины широко применяются в различных областях техники.

Появление и широкое внедрение в различные отрасли техники композитных материалов слоистой и волокнистой структуры вызвало необходимость в разработке новых методов расчета и проектирования тонких тел, изготовляемых из этих материалов.

Применение многослойных конструкций при их рациональном проектировании позволяет обеспечить достижение высокой удельной жесткости и прочности, требуемых звуко- и теплоизоляционных свойств, демпфирующих вибропоглащающих характеристик. В ряде случаев необходимость применения многослойных тонких тел вызывается конструктивными и эксплуатационными соображениями. Это очень важно при повышенных требованиях к безопасности конструкций, особенно в самолето- и ракетостроении, тем более, что прогресс вычислительной техники обеспечивает возможность проведения все более и более сложных численных расчетов.

В связи с широким использованием тонких тел (одно-, двух-, трех- и многослойных конструкций) возникает потребность создания новых уточненных теорий и усовершенствованных методов их расчета. Поэтому построение уточненных теорий тонких тел и развитие эффективных методов их расчета являются важной и актуальной задачей.Целью предлагаемой работы является построение новых теорий тонких микрополярных тел с двумя малыми размерами и решение некоторых задач теории упругости с помощью полиномов Лежандра.

В первой главе рассмотрены классическая параметризация и параметризация при произвольной базовой линии области тонкого тела трехмерного евклидова пространства К3. Дано векторное параметрическое уравнение области тонкого тела. Введены в рассмотрение свойственные предложенным семействам параметризаций геометрические характеристики. В частности, рассмотрены различные семейства базисов (реперов) и порожденные ими соответствующие семейства параметризаций. Получены выражения для компонент единичного тензора второго ранга (ЕТВР). Получены представления градиента, дивергенции тензора и уравнений движения при рассматриваемых параметризациях. Выписаны основные рекуррентные формулы и получены некоторые дополнительные рекуррентные соотношения, играющие важную роль при построении различных вариантов тонких тел.

Во второй главе даны определения момента (т,п)-го порядка некоторой величины относительно произвольной системы ортогональных полиномов и системы полиномов Лежандра. Получены выражения для моментов частных производных и некоторых выражений относительно системы полиномов Лежандра. Получены граничные условия и различные представления системы уравнений движения в моментах.

В третьей главе приведены представления определяющих соотношений в моментах. Изложен метод нормированных моментов полей тензоров напряжений и моментных напряжений. Получена система уравнений для определения нормирующих поля тензоров напряжений и моментных напряжений. Излагается упрощенный метод редукции.

Следует заметить, что с помощью рассматриваемого метода построения теории тонких тел с двумя малыми размерами получается бесконечная система уравнений, которая имеет то преимущество, что она содержит величины, зависящие от одного переменного — параметра хъ базовой линии. Итак, уменьшение числа независимых переменных на два достигается ценой увеличения количества уравнений до бесконечности, что разумеется, имеет свои очевидные практические неудобства. В этой связи сделан необходимый шаг для упрощения проблемы. Производится редукция бесконечной системы к конечной системе. Дана постановка задачи в моментах.

В четвертой главе, исходя из общей постановки задачи, сформулирована постановка задачи для призматического тонкого тела с двумя малыми размерами, изложен метод нормированных моментов, и для изотропного тела получено дифференциальное уравнение четвертого порядка относительно прогиба, которое совпадает с точностью до коэффициентов с уравнением колебаний балки Тимошенко. Даны постановки задач, начиная с нулевого до пятого приближения включительно для двумерной области, как в классическом, так и в микрополярном случае. Сформулирована постановка задачи пятого приближения для многослойной двумерной области. Приводятся результаты апробирования предлагаемой теории на примере следующих задач:

1. задача для равномерно нагруженной микрополярной двумерной области,

2. задача для квадратной двумерной области,

3. задача для равномерно нагруженной с двух сторон области,

4. задача для области, находящейся под действием уравновешенной системы трех сосредоточенных сил,

5. задача для двуслойной двумерной области.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Кантор, Марк Михайлович

Заключение

В работе получены следующие результаты:

1. Построены новые теории тонких тел с двумя малыми размерами с применением системы полиномов Лежандра.

2. Построена теория моментов, позволяющая нахождение момента порядка (т, п) любого выражения.

3. Получены различные приближенные постановки задач от нулевого до пятого приближения включительно как для классической, так и для микрополярной теорий.

4. Написаны программы, с помощью которых предлагаемая теория апробирована на следующих задачах: a) задача для равномерно нагруженной микрополярной двумерной области, b) задача для квадратной двумерной области, c) задача для равномерно нагруженной с двух сторон области, с1) задача для области, находящейся под действием уравновешенной системы трех сосредоточенных сил, е) задача для двуслойной двумерной области.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кантор, Марк Михайлович, 2011 год

1. Алексеев А.Е. Построение уравнений слоя переменной толгц^-за-гьд носнове разложений по полиномам Лежандра// ПМТФ. 19Э4оо.4. С. 137-147.

2. Алфутов H.A., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многосхтто^^^ пластин и оболочек из композиционных материалов. М.: ^^Х^ыцино строение, 1984. 263 с.

3. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М.: Физзугеьтгиз 1961. 384 с.

4. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М.: Науках 1987 360 с.

5. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравненния теории упруго сти сред с вращательным взаимодействием частиц// Физа^ дого тела. Т. 2. 1960. №7. С. 1399-1409.

6. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Континуальная теория аси:м1и;е-Гриче ской упру гости.Равновесие изотропного тела// Физика тве;рдОГо те ла. Т. 6. 1964. №9. С. 2689-2699.

7. Васильев В.В., Лурье С.А. К проблеме построения Некла^си;нески теорий пластин// Изв. АН СССР. МТТ. 1990. №2. С. 158-167

8. Васильев В.В., Лурье С. А. К проблеме уточнения теории пологих оболочек// Изв. АН СССР. МТТ. 1990. №6. с. 139-146.

9. Веку а И.Н. Вариационные принципы построения теории оболочек. Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1970. 15 с.

10. Векуа И.Н. Об одном направлении построения теории оболочек// В кн. Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1972. Т. 3. С. 267-290.

11. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. М.: Наука, 1978. 296 с.

12. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М.: Наука, 1982. 286 с.

13. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции/ Под ред. O.A. Олейник и Б.В. Шабата. 2-е изд., перераб. М.: Наука, 1988. 512 с.

14. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория предсталения групп. М.: Наука, 1991. 576 с.

15. Власов В.З. Избранные труды. Том 2. Тонкостенные упругие стержни. Принципы построения общей технической теории оболочек. М.: АН СССР, 1963.

16. Волчков Ю.М., Дергилева Л.А. Сведение трехмерной задачи теории упругости к двумерной на основе аппроксимации напряжений и смещений полиномами Лежандра// ПМТФ. 2007. Т. 48. №3. С. 179-190.

17. Галимов К.З. Общая теория упругих оболочек при конечных перемещениях. Изв. Казанск. фил. АН СССР, сер. физ.-мат. и техн. н. 1950. Вып. 2.

18. Галимов H.K. О применении полиномов Лежандра к построению уточненной теории трехслойных пластин и оболочек// Исслед. по теории пластин и оболочек. Вып. 10. Казань. Изд-во Казанск. ун-та. 1973. С. 371-385.

19. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань: Изд-во КГУ, 1975. 325 с.

20. Гольденвейзер А.Л. Построение приближенной теории изгиба пластинки методом асимптотического интегрирования уравнения теории упругости// ПММ. Отд. техн. наук АН СССР. 1962. Т. 26. № 4. С. 668-686.

21. Гольденвейзер А.Л. Построение приближенной теории оболочек при помощи асимптотического интегрирования уравнений теории упругости// ПММ. 1963. Т. 27. Вып. 4. С. 593-608.

22. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих оболочек, М.: Наука, 1976, 512 с.

23. Григолюк Э.И. Уравнения трехслойных оболочек с легким заполнителем// Изв. АН СССР. ОТН. 1957. №1. С. 77-84.

24. Григолюк Э.И., Чулков П. П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек 1Д М.: Машиностроение, 1973. Ц 170 с.

25. Григолюк Э.И. Конечные прогибы трехслойных оболочек с жестким заполнителем// Изв. АН СССР. ОТН. 1958. №1. С. 26-34.

26. Григолюк Э.И., Коган Ф.А. Современное состояние теории многослойных оболочек// Прикладная механика. 1972. Т. 8. №6. С. 3-17.

27. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний: стержней, пластин и оболочек. Итоги науки и техники// Механика твердых деформируемых тел. М.: ВИНИТИ, 1973. 272 с.

28. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки. Расчет пневматических шин. М.: Машиностроение, 1988. 288 е.

29. Григолюк Э.И., Коган Е.А. Анализ основных направлений развития и расчетных моделей анизотропных слоистых оболочек/Механщса оболочек и пластин в XXI веке// Межвуз. науч. сб. Саратов, гос техн. ун-т. Саратов: Изд-во СГТУ. 1999. С. 3-30.

30. Дергилева Л.А. Метод решения плоской контактной задачи упругого слоя// Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр./ А^и СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1976. Вып. 25. С. 24—32

31. Доннел Л.Г. Балки, пластины и оболочки. Пер. с англ. Л.Г. 336 с -т. 2, 1998. 280 с.

32. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. М.: Изд-во Московского университета, 1999

33. Еремеев В.А., Зубов Л.М. Механика упругих оболочек. М.: Наука 2008

34. Жилин П. А. Прикладная механика. Теория тонких упругих стер^с ней : учеб. пособие / П. А. Жилин ; СПбГПУ. Ч СПб. : Изд-во Политехи. ун-та, 2007. Ч 100 с. Ч Библиогр.: с. 99.

35. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: МирД975

36. Иванов Г. В. Решение плоской смешанной задачи теории упругости в виде рядов по полиномам Лежандра// ПМТФ. 1976. №6. С. 126-137

37. Иванов Г. В. Решения в виде рядов по полиномам Леэкандра плоской смешанной задачи для уравнения Пуассона// Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр./ АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1977. Вып. 28. С. 43-54.

38. Иванов Г. В. Сведение трехмерной задачи для неоднородной упругой оболочки к двумерной задаче/Динамические задачи механики сплошных сред (Динамика сплошной среды XXXIX)//Сб. научных трудов. Новосибирск. 1979. Вып. 39. 170 с.

39. Иванов Г.В. Теория пластин и оболочек: Учеб. пособие.// Новосиб. гос. ун-т 1980. 85 с.

40. Кантор М.М. О первом приближении третьей краевой задачи для полосы с применением полиномов Лежандра// Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика. Механика.2011.еЗ. С. 66-68.

41. Кувшинский Е.В., Аэро Э.Л. Континуальная теория асимметрической упругости. Учет "внутреннего вращения"// Физика твердого тела. Т. 5. 1963. №9. С. 2591-2598.

42. Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Дисперсц^ поляриза-ция поверхностных волн Рэлея для среды Коссера / / j>j3 вестия РАН, Механика твердого тела. 2007, е 4. С. 100Ц113

43. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Вашелейшвили М.О., Бурчуладзе Т ß Трехмерные задачи математической теории упругости и термоуцру гости. М.: Наука, 1976. 664 с.

44. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения. M.,JI.: фИз матгиз, 1963. 360 с.

45. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 5 1 2 с

46. Меунаргия Т.В. Развитие метода И.Н.Векуа для задач трехмерной моментной упругости. Изд. Тбил. ун-та. 1987. 79 с.

47. Меунаргия Т.В. Краткий обзор основных результатов И.Н.Векуа по теории оболочек. Изд. Тбил. ун-та. 1989. 61 с.

48. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М • Наука, 1970. 512 с.

49. Никабадзе М.У. Деформирование слоистых вязкоупругих оболочек// Тезисы докл-ов Всесоюз. конф. "Актуальные проблемы прочности в машиностроении". Севастороль: СВВМИУ, 28-29 августа1989. 1 с.

50. Никабадзе М. У. К теории оболочек на основе двух базовых поверхностей// Деп. в ВИНИТИ АН СССР. 16.05.1990. №2676-В90. 12 с.

51. Никабадзе М. У. Плоские кроволинейные стержни// Деп. в ВИНИТИ АН СССР. 07.08.1990. №4509-В90. 52 с.

52. Никабадзе М. У. Моделирование нелинейного деформирования упругих оболочек// Диссертация на сойскание ученной степени кандидата физико-математических наук. М: МГУ им. М.В.Ломоносова.1990.

53. Никабадзе М. У. Математическое моделирование упругих тонких тел с двумя малыми размерами с применением систем ортогональных полиномов// Деп. в ВИНИТИ РАН. 21.08.08. №722 В2008. 107 с.

54. Никабадзе М. У. Новая кинематическая гипотеза и новые уравнения движения и равновесия теорий оболочек и плоских криволинейных стержней// Вестн. МГУ. Сер. Матем. Механ. 1991. №6. С. 54-61.

55. Никабадзе М.У. Пространственные реперы, связанные с линией и порожденные ими параметризации области трехмерного евклидова пространства// Деп. в ВИНИТИ РАН. 12.05.1999. №1518-В99. 25 с.

56. Никабадзе М.У. Новая параметрзация пространства стержня// Деп. в ВИНИТИ РАН. 27.05.1999. №1663-В99. 32 с.

57. Никабадзе М.У. Определяющие соотношения новой линейной теории термоупругих оболочек класса TS// Сб. науч. тр. "Математическое моделирование систем и процессов". Пермь: Пер. гос. техн. ун-т. 1999. №7. С. 52-56.

58. Никабадзе М.У. Различные формы записи уравнений движения и граничных условий новой теории оболочек// Сб. науч. тр. "Математическое моделирование систем и процессов". Пермь: Пер. гос. техн. ун-т. 1999. т. С. 49-51.

59. Никабадзе М.У Новая теория стержней// Тезисы док-ов 16-ой меж-респуб. конф. по численным методам решения задач теории упругости и пластичности. Новосибирск, вторая половина июня 1999. 1 с.

60. Никабадзе М. У. Некоторые геометрические соотношения теории оболочек с двумя базовыми поверхностями// Изв. РАН. МТТ. 2000. №4. С. 129-139.

61. Никабадзе М. У. К параметризации многослойной оболочечной области трехмерного пространства// Сб. науч. тр. "Математическое моделирование систем и процессов". Пермь: Пер. гос. техн. ун-т. 2000. №8. С. 63-68.

62. Никабадзе М. У. Уравнения движения и граничные условия теории стержней с несколькими базовыми кривыми// Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем. Механ. 2001. №3. С. 35-39.

63. Никабадзе М.У. К варианту теории многослойных конструкций// Изв. РАН. МТТ. 2001. №1. С. 143-158.

64. Никабадзе М. У. Динамические уравнения теории многослойных обо-лочечных конструкций при новой кинематической гипотезе// Сб. науч. тр. Упругость и неупругость. Из-во МГУ. 2001. №1. С. 389-395.

65. Никабадзе М. У. К градиентам мест в теории оболочек с двумя базовыми поверхностями// Изв. РАН. МТТ. 2001. №4. С. 80-90.

66. Никабадзе М. У. Уравнения движения и граничные условия варианта теории многослойных плоских криволинейных стержней// Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем. Механ. 2002. №6. С. 41-46.

67. Никабадзе М. У. Современное состояние многослойных оболочечных конструкций// Деп. в ВИНИТИ РАН. 30.12.2002. №2289-В2002. 81 с.

68. Никабадзе М. У. Вариант теории пологих оболочек// Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. 17-27 апреля 2003, Москва, МГУ им. М.В.Ломоносова М.:Изд-во Моск. ун-та, 2003. 1 с.

69. Никабадзе М. У. Варианты теории оболочек с применением разложений по полиномам Лежандра// Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. 19-28 апреля 2004, Москва, МГУ им. М.В.Ломоносова М.:Изд-во Моск. ун-та, 2004. 1 с.

70. Никабадзе М. У. Обобщение теоремы Гюйгенса-Штейнера и формулы Вура и некоторые их применения// Извест. РАН. МТТ. 2004. №3. С. 64-73.

71. Никабадзе М.У., Улуханян А.Р. Постановки задач для оболочечной области по трехмерным теориям// Деп. в ВИНИТИ РАН. 21.01.2005. №83-В2005. 7 с.

72. Никабадзе М.У., Улуханян А.Р. Постановки задач для тонкого деформируемого трехмерного тела// Вестник Моск. у-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2005. №5. С. 43-49.

73. Никабадзе М.У. К варианту теории многослойных криволинейных стержней// Изв. РАН. МТТ. 2005. №6. С. 145-156.

74. Никабадзе М.У. Вариант системы уравнений теории тонких тел// Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 2006. №1. С. 30-35.

75. Никабадзе М.У. К определяющим соотношениям и граничным условиям в теории тонких тел// Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. М.: Изд-во Московского университета. Апрель 2006. 1 с.

76. Никабадзе М.У. Постановки задач моментной термомнханики деформируемого твердого тонкого тела/Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. М.: Изд-во Моск. у-та. Апрель 2007. 1 с.

77. Никабадзе М.У., Кантор М.М. Уравнения нулевого, первого и второго приближений в моментах моментной теории упругого стержня//

78. Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. М.: Изд-во Московского университета. Апрель 2007. 1 с.

79. Никабадзе М. У. Некоторые вопросы варианта теории тонких тел с применением разложения по системе многочленов Чебышева второго рода// Изв. РАН. МТТ. 2007. №5. С. 73-106.

80. Никабадзе М. У. Применение системы полиномов Чебышева к теории тонких тел// Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 2007. №5. С. 56-63.

81. Никабадзе М. У. Варианты теорий тонких тел с применением ражло-жения по полиномам Чебышева// Деп. в ВИНИТИ РАН. 17.09.2007. №229-В2007. 450 с.

82. Никабадзе М.У. Некоторые вопросы тензорного исчисления. Часть

83. М.: ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ. 2007. 86 с.

84. Никабадзе М.У. Некоторые вопросы тензорного исчисления. Часть1.. М.: ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ. 2007. 93 с.

85. Никабадзе М.У. К теориям тонких тел. Труды международной конференции "Неклассические задачи механики". Том I. Кутаиси. 2527.10.2007. С.225-242.

86. Никабадзе М.У., Кантор М.М., Улуханян А.Р. К математическому моделированию упругих тонких тел и численная реализация некоторых задач о полосе. Деп. в ВИНИТИ РАН 29.04.11 №204-В2011 207 стр.

87. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

88. Палъмов В. А. Основные уравнения теории несимметричной упругости// ПММ. 1964. Т. 28. Вып. 3. С. 401-408.

89. Партой В.З., Перлин П. И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981. 688 с.

90. Пелех В. Л., Сухоролъский М. А. К построению обобщенной теории трансверсально-изотропных оболочек применительно к контактным задачам// В кн.: Композиционные материалы и новые конструкции. Киев: Наук, думка, 1977. С. 27-39.

91. Пелех Б. Л. Обобщенная теория оболочек. Львов: Вища школа, 1978. 156 с.

92. Пелех В. Л., Максимук A.B., Коровайчук И.М. Контактные задачи для слоистых элементов конструкций и тел с покрытиями. Киев: Наук, думка, 1988. 280 с.

93. Пикуль В. В. К проблеме построения физически корректной теории оболочек// Изв. РАН. МТТ. 1992. №3. С. 18-25.

94. Победря В.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984. 336 с.

95. Победря В.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1986. 264 с.

96. Победря Б.Е., Шешенин C.B., Холматов Т. Задача в напряжениях. Ташкент: Фан, 1988. 200 с.

97. Победря В.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности: Учеб. пособие. 2-ое изд. М.: Изд-во МГУ, 1995. 366 с.

98. Победря В.Е. Модели механики сплошной среды// Фундаментальная и прикладная математика. 1997. Т.З. Вып.1. С. 93-128.

99. Победря В.Е. О теории определяющих соотношений в механике деформируемого твердого тела// Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А.Ю.Ишлинского/Под ред. Д.М.Климова. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. С. 635-657.

100. Победря В.Е. Варианты моделирования в механике деформируемого тела. Фундаментальные и прикладные вопросы механики. Международная научная конференция. Сб. докладов. Хабаровск. Изд-во

101. ХГТУ. 2003. T. 1. С. 20-29. t ■ , .•-Д. ''It г' г ! .

102. Победря В.Е., Никабадзе М.У., Улуханян А.Р. Задача в моментах тензора напряжений/Ломоносовские чтения// Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. М.: Изд-во Московского университета. Апрель 2005. 1 с.

103. Победря Б.Е. Теория термомеханических процессов// Сб. науч. тр.: Упругость и неупругость. Изд-во МГУ, 2006. С. 70-85.

104. Победря Б.Е., Никабадзе М.У., Улуханян А.Р. К теории упругих пластин/ Ломоносовские чтения// Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. М.: Изд-во Московского университета. Апрель 2006. 1 с.

105. ИЗ. Погорелое A.B. Геометрия. М.: Наука, 1983. 288 с.

106. Саркисян С. О. Микрополярная теория тонких стержней, пластин и оболочекV// Известия HAH Армении. Механика. 2005.T.58.N2. С.84-95

107. Саркисян С.О., Варданян С.А. УАсимптотпческий анализ уравнений и граничных условий термоупругости микрополярных тонкихопластин^// Известия HAH РА. Механика. Т.60, N3, 2007. С. 64-76

108. Светлицкий В.А. Механика стержней. М.: Высшая школа, ч. 1, 1987. 320 е.; ч. 2, 1987. 304 с.

109. Солер А. Теория высшего порядка анализа конструкций, основанная на разложении по полиномам Лежандра. Тр. Амер. о-ва инж.-мех. Прикл. механика. Сер. Е. 1969. Т. 36. №4. С. 107-112.

110. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1976. 328 с.

111. Твалчрелидзе А.К., Твалтвадзе Д.В., Никабадзе М.У. К расчету больших осесимметричных деформаций оболочек вращения из эластомеров// Тезисы док-ов XXII научно-технич. конф. проф.-препод. состава ВТУЗ-ов Закавказья, Тбилиси, 25-27 октября 1984. 1 с.

112. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1999. 798 с.

113. Феллерс Дж., Солер А. Приближенное решение задачи о цилиндре конечной длины с помощью полиномов Лежандра// Ракет, техника и космонавтика. 1970. Т. 8. №11. С. 145-151.

114. Филин А.П. Элементы теории оболочек. Л.: Стройиздат. Ленинград, отд-ние, 1987. 384 с.

115. Хорошун Л. П. О построении уравнений слоистых пластин и оболочек// Прикл. механика. 1978. №10. С. 3-21.124.' Чепига В.Е. Применение полиномов Лежандра для построения теории многослойных оболочек// Изв. АН СССР. МТТ. 1982. №5. С. 190.

116. Черных К. Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, Ленинград, отд-ние. 1986. 336 с.

117. Шешенин С. В. Численное решение некоторых пространственных задач теории упругости// Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. М.: МГУ им. М.В.Ломоносова. 1980.

118. Шешенин С. В. Численный анализ квазистатических краевых задач МДТТ// Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. М.: МГУ им. М.В.Ломоносова. 1990.

119. Altenbach Н Modelling of viscoelastic behaviour of plates// Creep in Structures/Ed. by M. Zyczcowski. Berlin et/ al.: Springer, 1990. P. 531537.

120. Burton W.3., Noor A.K. Assessment of computational models for sandwich planels and shells// Comput. Meth. Appl. Mech. Engng. 1995. Vol. 124. P. 125-151.

121. Eringen A.C. Theory of micropolar elasticity. In Fracture Vol. 1, 621-729 (edited by H. Liebowitz), Academic Press, 1968.

122. Eringen A.C. Microcontinuum field theories. 1. Foundation and solids. N.Y.: Springer-Verlag, 1999.

123. Green A.E., Zerna W. Theoretical Elasticity. Oxford, 1954, 442 p.

124. Gauthier B. D.; Jahsman W. E. A quest for micropolar elastic constants. J. Applied Mechanics, 42, 369-374, 1975.

125. Gauthier R. D., Jahsman W. E. Bending of a curved bar of micropolar elastic material, J. Applied Mech., 43, 502-503, 1976.

126. Gauthier R. D. Experimental investigations of micropolar media, In Mechanics of micropolar media, ed. ). Brulin, R. K. T. Hsieh, World Scientific, Singapore, 1982.

127. Hencky H. Uber die Berücksichtigung der Shubverzerrung in ebenen Platten// Ingenieur-Archiv. 1947. Bd 16. S. 72-76.

128. Rou S. The effect of couple-stresses on the stress concentration around an elliptic hole, Acta Mechanica, 16, 289-296, 1973.

129. Kirchhoff G. Uber das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastichen Scheibe// J. Reine Angew. Math. 1850. Bd 40. S. 51-88.

130. Kim B. S., Eringen A. C. Stress distribution around an elliptic hole in an infinite micropolar elastic plate, Letters in Applied and Engineering Sciences, 1, 381-390, 1973.

131. Lakes, R.S. Experimental methods for study of Cosscrat elastic solids and other generalized continua// Continuum models for materials with micro-structure, ed. H. Muhlhaus, J. Wiley, N. Y. Ch. 1, p. 1-22, 1995.

132. Lakes BS. and Benedict R. L. Noncentrosymmetry in micropolar elasticity. International Journal of Engineering Science, 29, 1161-1167, 1982.

133. Levinson M. An accurate simple theory of the statics and dynamics of elastic plates// Mech. Res. Comm. 1980. Vol. 7. №6. P.343-350.

134. Mindlin R.D., Medick M.A. Extensional Vibrations of Elastic Plates// Journal of Applied Mechanics. Vol. 26. №4/TVans. ASME. Vol. 81. Series E. Dec. 1959. P. 561-569.

135. Mindlin R.D. Effect of couple stresses on stress concentrations, Experimental Mechanics, 3, 1-7, 1963.

136. Naghdi P. The theory of shells and plates// Handbuch der Physik. Berlin: Springer. 1972. Bd. VI a/2. S. 425-640.

137. Nakamura S., Benedict R., Lakes R. S. Finite element method for orthotropic micropolar elasticity, Int. J. Engng. Sci., 22, 319-330, 1984

138. Reddy J.N. On the generalization of displacement-based laminate theories// Appl. Mech. Rev. 1993. Vol. 42. № 11. Pt. 2. P. S213-S222.

139. Reissner E. On the theory of bending of elastic plates// J. Math, and Phys. Vol. 23. 1944, p. 184-191.

140. Reissner E. Finite deflection of sandwich plates// J. Aeronaut. Sci., 1948, vol. 15, №7. P. 435-440.

141. R.eissner E. Reflections of the theory of elastic plates// Appl. Mech. Rev. 1985. vol. 38. Ml. P. 1453-1464.