Решение задач для уравнений соболевского типа методом каскадной декомпозиции тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Усков Владимир Игоревич

• Усков Владимир Игоревич
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Усков Владимир Игоревич

го оператора

2.2 Спектр матрично-дифференциального оператора

2.3 Свойства оператора ^Ас — И- с •

3 Решение задачи Коши для дескрипторного уравнения

3.1 Преобразование уравнения

3.2 Решение задачи Коши

4 Решение некоторых начально-краевых задач для уравнений в частных производных

4.1 Решение задачи Гурса для гиперболического уравнения в частных производных

4.2 Решение задачи Гурса для уравнения в частных производных третьего порядка

4.3 Решение начально-краевой задачи для уравнения в частных производных четвертого порядка

5 Решение начально-краевых задач для некоторых сингулярно возмущённых дифференциальных уравнений

5.1 Решение задачи Коши для дифференциального уравнения с малым параметром при производной

5.2 Решение задачи Коши для системы с малым параметром при производной и с параметром в правой части

5.3 Решение начально-краевой задачи для уравнения в частных производных с малым параметром при старших производных и параметром при младших производных

5.4 Решение задачи Коши для дифференциального уравнения с возмущением в правой части

5.5 Решение начально-краевой задачи для дескрипторного уравнения с возмущением в правой части

Заключение

Литература

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение задач для уравнений соболевского типа методом каскадной декомпозиции»

Актуальность темы

Объект исследования. В диссертации изучается возможность применения метода каскадной декомпозиции, состоящего в поэтапном переходе от исходной задачи к аналогичным задачам в подпространствах уменьшающихся размерностей. Метод каскадной декомпозиции (каскадный метод) направлен на решение задач, в которых получение решения другими методами или невозможно, или затруднительно. К ним относятся задачи для уравнений, неразрешенных относительно старшей производной. Впервые такие уравнения, по-видимому, изучались в опубликованной в 1885 г. работе Пуанкаре [1]. Уравнения, неразрешённые относительно производной называют ещё дескрипторными (или алгебро-дифферен-циальными, дифференциально-алгебраическими).

Одним из классов таких уравнений являются уравнения соболевского типа:

. д1 и 1 дки р ,ПП1,

+ £ -к щи = (а0Л)

к=0

где А, В1,..., В/ — линейные дифференциальные операторы по переменной х = (ж1,..., хп) [2], [3]. Работа С.Л. Соболева [4] положила начало систематическому изучению таких уравнений.

В настоящей работе рассматриваются следующие уравнения вида (0.0.1):

Нх

АНх = В (ь)х(ь) + б (ь), (0.0.2)

НЬ

д2и ди ди

= а(х, Ь) ——+ Ь(х, Ь) — + с(х, Ь)и(х, Ь) + <р(х, Ь), (0.0.3)

дхдЬ ' дх ' дЬ д3и , ч д2и чд2и ч ди ч ди

дх2дЬ = a(x, Ь) дхдЬ + ^Ь) ох2 +с(хЬ) дх + d(x, Ь) Ж + k(x, Ь)u(x, Ь) + lp(x, Ь), дх дЬ дхдЬ дх дх дЬ (0.0.4)

д4и д 2и 72 д 2и

ох20Ь2 + 2адх^ +6 ^ + си(х'Ь) = ^(х,Ь), (°.°.5)

dx

eax = Ax(t,e) + F (t), (0.0.6)

dt

du

e— = (A + c • I)u(x, t, e) + F(x, t), (0.0.7)

dt

2 d2u ^ d2u d2u ^ du ^ du , 2 2s , s ^

e W - 2едШ + axu - 2ecdt +2Cdu + (y2 + c>(x,t,e) = o, Caas)

dx

Adx = (B + eC )x(t, e) + F (t). (0.0.9)

dt

Уравнения (0.0.2), (0.0.6), (0.0.7), (0.0.9) — уравнения в банаховом пространстве; остальные уравнения — скалярные уравнения в частных производных.

Величина к = dim Ker A — dim Coker A называется индексом оператора A.

Здесь оператор A наделяется следующими свойствами вырожденности:

1. A — фредгольмов оператор с нулевым индексом (далее, Ф-оператор, Ф-свойство оператора);

2. A имеет число 0 нормальным собственным числом (далее, 0-НСЧ-оператор, 0-НСЧ-свойство оператора).

Историография и обзор литературы. Проблема исследования дескрип-торных уравнений была поставлена в 50-х годах прошлого века на семинаре проф. Л.А. Люстерника в МГУ. Позднее проф. В.А. Треногиным был разработано одно из направлений исследований — метод Пуанкаре-Шмидта.

Исследования проводились и проводятся в работах воронежской математической школы (С.Г. Крейн, А.Г. Баскаков, С.П. Зубова и др.), челябинской математической школы (Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров и их учеников), иркутской математической школы (Ю.Е. Бояринцев, Н.А. Сидоров, А.А. Щеглова, В.Ф. Чистяков, М.Ф. Фалалеев и их ученики), екатеринбургской (И.В. Мельникова и её ученики). За рубежом активные исследования ведут A. Favini, A. Yagi, S. Campbell, P. Kunkel, V. Mehrmann [5], R. März, P. Chen, K.J. Engel, R. Nagel и многие другие.

Исследование дескрипторного уравнения в конечномерном случае проводится в монографии В.Ф. Чистякова, А.А. Щегловой [6].

Поставленная задача была решена в работе С.П. Зубовой [7] в случае 0-НСЧ-оператора A, имеющего единичную размерность ядра. Полученные результаты были обобщены в работах С.П. Зубовой на случай Ф-оператора [8], позднее на случай переменного нётерова оператора [9].

В решении задачи использовался метод каскадного расщепления исходного уравнения на уравнения в подпространствах с применением на каждом этапе процедуры дифференцирования, что требовало определённой гладкости некоторых

операторов, построенных с помощью заданных операторных коэффициентов этого уравнения. Однако, в случае стационарного Ф-оператора этот метод можно модифицировать.

Уравнение (0.0.2) (а также уравнение (0.0.9) с возмущением в правой части) описывает экономические процессы межотраслевого баланса (уравнение Леонтьева), явления в электрических и гидравлических цепях, продольные колебания в молекулах ДНК [10]-[14], динамику манипуляционных роботов, гироскопических систем и др.

Актуально для решения названных задач исследование оператора

/ д \

дх д , (0.0.10)

V в дх/

действующего в банаховом пространстве. Частный случай такого оператора с а = —1, ß = 1 лишь упоминается как Ф-оператор в работе [15].

Значительные результаты были получены для уравнений в частных производных второго порядка, но в основном для классических уравнений математической физики (уравнение колебаний струны, уравнение теплопроводности).

Задача Гурса для уравнения (0.0.3) решена в работе А.Н. Тихонова и А.А. Самарского [16] методом последовательных приближений с введением функции Римана. В работе А.В. Жибера и Ю.Г. Михайловой [17] задача решается с применением каскадного метода Лапласа. Основу этого метода составляет последовательность инвариантов Лапласа и связанные с ней преобразования Лапласа. Такая задача встречается, например, в изучении процессов сорбции и десорбции газов [18], процессов сушки и др.

В работе А.Ф. Чудновского [19] подробно исследуется модифицированное уравнение диффузии почвенной влаги с третьей смешанной производной, также называемое уравнением Аллера. Решению этого уравнения при различных краевых условиях и с помощью разных методов посвящены работы [20] —[22]. В работе [22] разработана неявная сеточная схема решения задачи на ЭЦВМ в с последующим использованием метода прогонки.

В работе [23] уравнение

дои диди f 2 о ди ди д2 и д2 и д2и\

= Ь——т— + F х, t, и, и , и 1

дх2дЬ дх дЬ дх дЬ дх2 дхдЬ дЬ2

исследуется на свойство Пенлеве. При выполнении этого свойства решение можно

—1 2 г—1

записать в виде ряда и = — у 1 + и0 + и1у + и2р2 + ... + иг—1у 1 + ....

В работе М.Х. Шханукова [24] решена слабая задача Гурса для уравнения (0.0.4) методом введения функции Римана. В кандидатской диссертации Х.М.

Бештокова [25] строится решение задачи методом конечных разностей с нелокальными условиями более сложного вида, с добавлением интегрального слагаемого.

К краевым задачам для уравнения (0.0.4) приводят вопросы фильтрации жидкости в средах с двойной пористостью [26], передачи тепла в гетерогенной среде, влагопереноса в почвогрунтах [19] и др.; в частности, примером уравнения с третьей смешанной производной может быть модельное уравнение Осколкова-Бенджамена-Бона-Махони-Бюргерса для однонаправленного распространения длинных волн на мелкой воде [3] .

В монографии [27] для уравнений со смешанной четвертой производной установлены условия существования решений, как опрокидывающихся, так и ограниченных на любом конечном промежутке времени. А.И. Аристовым изучались эти уравнения в работе [28]. Им построены точные решения этого уравнения в виде: бегущей волны, квадратичных многочленов и методом дифференциальных связей.

Примерами уравнений в частных производных со смешанной четвертой производной могут быть следующие уравнения: уравнение С.Л. Соболева, описывающее малые колебания во вращающейся жидкости [4]; уравнения, описывающие взрывную неустойчивость в автоколебательной системе, в частности, на основе туннельного диода [27]. В работе [29] упоминается уравнение продольных колебаний прямых стержней

IX д?)- р5(ж) д?+рд2 IX (/р(р) ¿1)—

Мало изучены уравнения с младшими слагаемыми и особенно с переменными коэффициентами. Еще меньше работ с уравнениями в частных производных третьего и более высокого порядка, имеющими большое количество приложений. Решения строятся в основном методом Фурье, численными методами, методом дифференциальных связей, в некоторых специальных видах: бегущей волны, квадратичных многочленов и т.д. Исследование задач сведением к интегральным уравнениям сопряжено со значительными трудностями. Поэтому представляется важным построить решение в аналитическом виде.

Ввиду большого прикладного значения актуально решение задач для дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр; особенно, если при стремлении параметра к нулю меняется тип уравнения - такие задачи называются сингулярно возмущенными. Явление погранслоя возникает в задачах с быстрыми переходами; быстрое изменение решения происходит в узком промежутке изменения переменной - пограничном слое. Системами с малым параметром при старшей производной описывается движение вязкого потока (воздух, вода или кровь

в сосудах) [30], поведение тонких и гибких пластин и оболочек, процесс обтекания затупленного тела сверхзвуковым потоком вязкого газа и др. Важно исследование поведения решения при стремлении малого параметра к нулю; выявление наличия явления погранслоя в задаче; построение решения в аналитическом виде и в виде асимптотического разложения по степеням параметра.

Теорию сингулярно возмущенных уравнений создавали и развивали акад. А.Н. Тихонов, М.М.Вишик, Л.А. Люстерник, А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов, С.А. Ломов, И.С. Ломов, Н.Н. Нефедов и многие другие авторы.

В работах М.И. Вишика, Л.А. Люстерника [31], [32] в т-мерном пространстве Е исследуется уравнение

Ае?е — Н. (0.0.11)

Рассматривается асимптотика собственных значений Ае и собственных векторов у£ матрицы Ае — А0 + еА^ когда у предельной матрицы А0 собственному значению Ао отвечает одна цепочка Жордана. В общем случае предполагается, что 0 — собственное значение матрицы А0; тогда имеет место разложение пространства Е в прямую сумму Е — S 0 & где S — отвечающее нулевому собственному значению инвариантное для А0 пространство — линейная оболочка всех собственных и присоединённых векторов, отвечающих этому собственному значению; & — линейная оболочка всех собственных и присоединённых векторов, относящихся к собственным значениям, отличным от нуля. Для Ае и у£ строятся разложения по степеням еп, где п — длины цепочек Жордана у А0.

Уравнение вида (0.0.6) с возмущением справа рассматривалось в работе проф. С.Г. Крейна и Нго Зуй Кана [33], где для построения асимптотического разложения решения задачи о колебаниях сильно вязкой жидкости использовался метод Боголюбова-Крылова. Недостатки работы: 1) рассматривается довольно узкий случай, когда алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения 0 равны; 2) решение строится в виде формального ряда по степеням малого параметра и 3) без исследования эффекта погранслоя.

В работе В.А. Треногина [34] строится асимптотическое разложение по степеням малого параметра в случае Ф-оператора. Есть ограничение в размерности ядра: ^шКег А — 1.

В работе Г.С. Жуковой [35] для уравнения в конечномерном пространстве

ен^ — А(£, е)х,

где матричная функция А(£,е) обладает на ] равномерным асимптотическим представлением А(£,е) ~ А0(£) — ^ еМД^), е ^ 0+, для поиска асимптоти-

ческой последовательности (еГя} строится аналог диаграммы Ньютона. Однако, решения строятся лишь в виде формальных рядов.

В работе С.П. Зубовой [36] рассматривается задача Коши для уравнения

(IV

енС(е) — = (А - В(е))х(г,е), г ^ 0, Н е О,

ы>Ь

ТО то

где В(е) = екВк, С(е) = ^ екСи, с Ф-оператором А. Исследуется структура к=1 к=0

решения; строится само решение в виде, позволяющем легко найти его разложение в сумму рядов по дробным степеням е; находится порядок роста решения при е ^ 0; изучается возможность наблюдения явления погранслоя. Но рассматривается лишь случай единичной размерности ядра А.

В монографии С.А. Ломова и И.С. Ломова [30] для задачи Коши для уравнения (0.0.6) решение строится в виде асимптотического разложения решения методом регуляризации сингулярных возмущений. Общность задачи ограничивается условиями: 1) самосопряженности оператора; 2) действием его в гильбертовом пространстве; 3) привязки к структуре оператора и его спектру.

Уравнение вида (0.0.8) встречается в задачах математической физики, связанных с потенциальными барьерами квантовой физики, в теории дифракции, в теории тонких упругих оболочек, в задачах на собственные функции типа волн Релея и т.д. [31].

В работе М.И. Вишика, Л.А. Люстерника [31] рассматривается задача

ди

ди = Ь£ и (0.0.12)

дг v 7

с пространственным оператором Ь£, е = е(г), вырождающимся при г ^ то в оператор более низкого порядка. Строится асимптотическое представление решения и.

Упоминается, как пример уравнения (0.0.12), уравнение, решенное в дипломной работе С.М. Никольского,

2 д 2и ди д 2и , /^-оч

е2 агй + д - дх = Н (00.13)

с условиями

и(х, 0, е) = 0, —

дг

= 0. (0.0.14)

¿=0

В работе А.Б. Васильевой [37] рассматривается задача 2 /д2и ди\ ^ ( ди \

е т;—т —— = е е—,и,х,г , 0 < х < 1, -то <г < V дх2 дг \ дх /

?(0, £, е) — ?(1, £, е), ?(х, £, е) — ?(х, £ + 2п, е).

Методом дифференциальных неравенств доказывается существование чисто по-гранслойного решения. Это решение строится в виде асимптотического разложения по степеням малого параметра е, содержащего погранслойные добавки в окрестности точек х — 0 и х — 1.

В немалой степени интересным представляется рассмотреть уравнение (0.0.6) с оператором А вида (0.0.10) с добавкой с • I (то есть, уравнение (0.0.7)): найти решение уравнения и изучить влияние этой добавки на качественные свойства решения уравнения. Как приложение, решается в настоящей диссертации начально-краевая задача для уравнения в частных производных второго порядка (0.0.8) с малым параметром при старшей производной и некоторым параметром при младших слагаемых. Любопытно, что влияние параметра с на качественные свойства решения далеко не очевидно, поскольку он находится при младших слагаемых уравнения.

Весьма важно решение задач для уравнения (0.0.9). Оказывается, несмотря на то, что уравнение регулярно по е, тип уравнения, полученного формальным приравнивании в исходном (допредельном) уравнении параметра к нулю (предельное уравнение), не меняется, тем не менее в случае вырожденности оператора А могут возникать особенности при стремлении параметра к нулю.

Задача Коши для уравнения (0.0.9) была исследована в работах С.П. Зубовой [38] —[40]. В работе [40] строятся фазовые пространства уравнения (0.0.9), предельного уравнения, и выявляются необходимые и достаточные свойства коэффициентов В и С в случае равномерной сходимости решения исходного (допредельного) уравнения к решению предельного уравнения или для наличия явления погранс-лоя. В терминах жордановых цепочек устанавливаются условия существования и единственности поставленной задачи. Но не решалась задача о построении асимптотического разложения решения.

В основу исследований поставленных выше задач в настоящей работе положен метод каскадной декомпозиции, основанный на

• расщеплении уравнения типа А- — и на уравнения в подпространствах;

• получении в одном из подпространств уравнения, аналогичного исходному уравнению;

• получении для новой неизвестной функции условий, аналогичных заданным условиям;

• повторении перечисленных действий с новыми уравнением и условиями.

Расщепления исходных пространств применялись и ранее: М.В. Вишик и Л.А. Люстерник, М.М. Вайнберг и В.А. Треногин при построении собственных значений и векторов возмущённой матрицы; Ю.Е. Бояринцев, S. Campbell для исследования дескрипторного уравнения в конечномерных пространствах. При этом одни авторы ограничивались одним этапом расщепления пространств (М.И. Вишик и Л.А. Люстерник, М.М. Вайнберг и В.А. Треногин, С.Г. Крейн, V. Lovass-Nagy), а в работах других авторов (A. Ailon, В.А. Ильин, A. Ilchmann и V. Mehrmann и др.) исходная система после преобразования матричных коэффициентов обретает гораздо большие размеры.

Метод каскадной декомпозиции разработан в публикациях [7]-[9] , [38]-[41]. Предлагается модификация этого метода для дескрипторного уравнения со стационарным оператором A, при которой на первом шаге не осуществляется процесс дифференцирования, за счет чего понижаются требования на гладкость операторных коэффициентов.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы алгебраические методы, методы функционального анализа, спектральная теория линейных операторов, теория полуобращения линейных операторов, теория полугрупп операторов с ядрами, методы теории и асимптотической теории линейных дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Модифицируется метод каскадной декомпозиции. Этот метод впервые применяется для решения задач для уравнений соболевского типа. Результаты диссертации являются новыми.

Цель диссертационной работы. Основная цель диссертации —

• исследование возможности применения метода каскадной декомпозиции уравнения для решения поставленных задач;

• исследование задачи Коши и начально-краевых задач для рассматриваемых уравнений: определение условий существования и единственности этих решений; исследование асимптотических свойств при £ ^ 0 решений сингулярно возмущённых уравнений;

• исследование свойств некоторого матрично-дифференциального оператора; применение этих свойств для решения поставленных задач.

Научные положения, выносимые на защиту:

1. Модифицикация метода каскадной декомпозиции.

2. Исследование начально-краевой задачи для уравнения в частных производных третьего порядка. Поставленная задача решается сведением к равносильной задаче для дескрипторного уравнения. Результаты решения задачи

для дескрипторного уравнения применяются к решению рассматриваемой задачи: устанавливаются условия существования и единственности решения; находится это решение в аналитическом виде.

3. Исследование некоторого матрично-дифференциального оператора; доказывается наличие у него свойств вырожденности — 0-НСЧ- и Ф-свойства. Строятся соответствующие подпространства и проекторы на эти подпространства. Находится спектр оператора.

4. Решение задачи Коши для дескрипторного дифференциального уравнения, возмущенного операторной добавкой в правой части, содержащей малый параметр. Определяются условия поведения решения при стремлении параметра к нулю. Находится асимптотическое разложение решения по степеням малого параметра. Доказывается асимптотичность этого разложения.

Теоретическая и практическая значимость. Данная диссертация носит теоретический характер. Результаты работы могут применяться при решении задач для уравнений в частных производных и сингулярно возмущённых дифференциальных уравнений. Свойства матрично-дифференциального оператора могут применяться при решении некоторых задач для определенного класса задач для уравнений в частных производных.

Отдельные результаты диссертации использовались при чтении спецкурсов «Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения» и «Дифференциальные уравнения, неразрешенные относительно производной» для магистрантов 2-го года обучения в Воронежском государственном университете.

Достоверность полученных результатов. Полученные в диссертации результаты являются достоверными, что подтверждается научными публикациями и выступлениями на конференциях. Также достоверность подтверждается корректным использованием существующих научных положений.

Область исследований. Область исследования и содержание диссертации соответствует формуле специальности 01.01.02 — Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление (физико-математические науки), область исследования соответствует

п. 1 «Общая теория дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений»,

п. 2 «Начально-краевые и спектральные задачи для дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений»,

п. 3 «Качественная теория дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений»,

п. 8 «Теория дифференциально-операторных уравнений», п. 9 «Теория дифференциально-функциональных уравнений», п. 10 «Асимптотическая теория дифференциальных уравнений и систем». Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях и симпозиумах.

• Международные конференции: «Современные проблемы анализа динамических систем. Приложения в технике и технологиях» (Воронеж, 2014,

2017); «Естественные и математические науки: научные приоритеты ученых» (Пермь, 2016); конференция, посвященная 100-летию со дня рождения С.Г. Крейна (Воронеж, 2017); «Понтрягинские чтения-ХХ1Х», посвященная 90-летию В.А. Ильина (Москва, 2018); «Еругинские чтения-2018» (Беларусь,

2018); «Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам 2018» (Суздаль, 2018); «Общие проблемы управления и их приложения. Колмогоровские чтения-УШ» (Тамбов, 2018).

• Международные симпозиумы: молодежные симпозиумы «Современные проблемы анализа динамических систем. Методы, модели, приложения» (Воронеж, 2014, 2015); XII симпозиум «Фундаментальные и прикладные проблемы науки» (Челябинск, 2017).

• Весенние математические школы: «Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения - XXIV, XXVII, XXVIII» (Воронеж, 2013, 2016, 2017).

• Зимние математические школы: «Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2014, 2016, 2018» (Воронеж, 2014, 2016, 2018); «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2017).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 23 печатных работах: [56]-[78], из них 5 в рецензируемых журналах [56]-[60], входящих в перечень ВАК Минобрнауки РФ, и как глава в монографии [62].

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Результаты, опубликованные в совместных работах и включенные в диссертацию, получены автором самостоятельно или при его непосредственном участии. Автор благодарен научному руководителю С.П. Зубовой за предложенную постановку задач и помощь в работе над диссертацией.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, включающего обзор литературы, списка используемых обозначений, пяти глав, заключения и списка литературы. Текст диссертации изложен на 137 страницах,

включая 1 рисунок. Главы разбиты на разделы. Нумерация формул по главам и разделам. Список цитируемой литературы состоит из 78 наименований на 10 страницах.

Содержание работы

В главе 1 приводятся известные результаты, необходимые для выполнения настоящей диссертации:

• определения следующих вырожденных линейных операторов, действующих в банаховом пространстве: Ф-оператора и 0-НСЧ-оператора;

• формулировка утверждения о решении линейного уравнения с Ф-оператором;

• понятие об интеграле Ф. Рисса;

• решение задачи Коши для дифференциального уравнения, разрешенного относительно производной в банаховом пространстве;

• решение задачи Коши для дескрипторного уравнения с Ф-оператором, имеющим одномерное ядро в банаховом пространстве;

• сведения из теории тригонометрических рядов Фурье;

• сведения о сингулярно возмущенных уравнениях и явлении погранслоя, наблюдаемом в таких задачах.

В главе 2 исследуется матрично-дифференциальный оператор

—

/ д \

— а

д

в дх/

(0.0.15)

с областью определения

^т А —

Ш(хЛ .

. У2(х) .

: уг(х) е С2

\

о, -

. 7 .

/2п

, ^(0) — —у г — 1, ^ ,

действующий в банаховом пространстве

Е —

Ш(х) У2(х)

: Уг (х) е С

о, 2п'

. 7 .

г — 1, 2

7 > 0, 72 — —ав > °.

В п. 2.1 доказывается, что оператор обладает 0-НСЧ-свойствами и Ф-свойствами. Строятся подпространства Кег А, Со1т А, Сокег А, 1т А; корневое

подпространство и прямое дополнение к нему, проекторы на эти подпространства и полуобратный оператор.

В п. 2.2 находится спектр оператора (0.0.15). В п. 2.3 изучаются свойства оператора Ас = А + с • I. В главе 3 исследуется задача Коши для уравнения

Нх

А^ = в (ь)х(ь) + г (ь), (0.0.16)

аЬ

с условием

х(0) = х0 е Е\ П аош А, (0.0.17)

где А - стационарный замкнутый линейный Ф-оператор, вообще говоря неограниченный, действующий из банахова пространства Е1 в банахово пространство Е2; В (Ь): Е1 ^ Е2 - линейный оператор с ^ш А = doш В = Е1; Г(Ь) - заданная непрерывная функция со значениями в Е2; Ь е [0,Ь&].

Предлагается модифицированный метод каскадной декомпозиции уравнения. Построено решение этой задачи, найдены условия при которых оно существует в случае единственности решения и неединственности решения.

В главе 4 исследуются начально-краевые задачи для линейных дифференциальных уравнений в частных производных.

В п. 4.1 рассматривается задача Гурса для уравнения

д2 и ди ди

= а(т, Ь) ——+ Ь(х, Ь) — + с(т, Ь)и(х, Ь) + <р(т, Ь), (0.0.18)

дтдЬ дт дЬ

с условиями

ди

u(т, 0) = д1(х) —

= 02(т), и(0,Ь) = Н(Ь), (0.0.19)

¿=0

где а(х,Ь), Ь(х,Ь), с(х,Ь), <р(х,Ь), д1(х), д2(х), Н(Ь) - заданные достаточно гладкие

функции; (т,Ь) е пхк,гк.

Задача решается сведением равносильными заменами к задаче для дескрип-торного уравнения. Получены условия, при которых решение существует, единственно, и найдено это решение в аналитическом виде через эволюционный оператор.

В п. 4.2 изучается задача Гурса для уравнения третьего порядка

д3и , Л д2и 1 , ,д2и , .ди и .ди 7/ Л , Л , Л = а(т, Ь) + Ь(х, Ь)^— + с(т, Ь) — + а(х, Ь) — + к(х, Ь)и(х, Ь) + <р(т, Ь)

дт2дЬ дтдЬ дт2 дт дЬ

(0.0.20)

с условиями

ди ди

= Н'2 (Ь), (0.0.21)

u(x, 0) = д!(хХ

ди

= д2(х), и(0,Ь) = ^(Ь), — ¿=0 дх

х=0

где а(х, £), Ь(х, 6), с(х, 6), ¿(х, 6), к(х, £), ^>(х, 6), ^(х), д2(х), /4(6), /2(б) — заданные достаточно гладкие функции; (х,£) е ПХк¿к.

Задача решается с помощью равносильных замен, приводящих к задаче для дескрипторного уравнения. Получены условия, при которых решение существует, единственно, и найдено это решение в аналитическом виде через эволюционный оператор.

В п. 4.3 изучается задача нахождения функции и(х,£), удовлетворяющей уравнению

д4и д2 и ,2 д 2и , ,

+ 2^—— + Ь2—у + си(х, 6) — <^(х,£) (0.0.22)

дх2д62 дхдб д62

и условиям

ди

и(х, 0) — / (х), —

— /¿2 (х), и(0, 6) — и( х^Ь (0.0.23)

¿=о V Ь /

где а,Ь,с — постоянные, а — 0, Ь > 0, с е С; ^(х,£), /1(х), /2(х) — заданные достаточно гладкие функции; (х,£) е П.

Задача решается сведением к равносильными заменами к задаче для дескрип-торного уравнения. Получены условия, при которых решение существует, единственно, и найдено это решение в аналитическом виде через эволюционный оператор. При решении задачи используются свойства оператора (0.0.15).

В главе 5 решаются дифференциальные уравнения в банаховых пространствах и уравнение в частных производных, содержащее малый параметр г. В п. 5.1 рассматривается задача:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Усков Владимир Игоревич, 2019 год

Литература

Список использованных источников

[1] Poincaré H. Sur l'equilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation // Acta Math. 1885. Vol. 7. P. 259-380. 4

[2] Демиденко Г.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г.В. Демиденко, С.В. Успенский. — Новосибирск : Научная книга, 1998. — 438 с. 4

[3] Альшин А.Б. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А.Б. Альшин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер, А.Г. Свешников. — М. : Физматлит, 2007. — 735 с. 4 7

[4] Соболев С.Л. Об одной новой задаче математической физики / С.Л. Соболев // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1954. — Т. 18, № 1. — С. 3-50. 4

[5] Kunkel P. Differential-Algebraic Equations: analysis and Numerical Solution / P. Kunkel, V. Mehrmann. — Zurich. Switzerland : EMA Publishing House, 2006. — 377 p. 5

[6] Чистяков В.Ф. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем / В.Ф. Чистяков, А.А. Щеглова. — Новосибирск : Наука, 2003. — 319 с. 5

[7] Зубова С.П. Сингулярное возмущение линейных дифференциальных уравнений, неразрешенных относительно производной: Автореф. дисс. ... канд. физ.-мат. наук / С.П. Зубова. — Воронеж. — 1973. — 11 с. 5 11 22

[8] Зубова С.П. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовским оператором при производной / С.П. Зубова, К.И. Чернышов // Дифференциальные уравнения и их применение. — Вильнюс. : Институт физики и математики АН Литовской ССР. — 1976. — Вып. 14. — С. 21-39. 5 11

[9] Зубова С.П. О разрешимости задачи Коши для дескрипторного псевдорегулярного уравнения в банаховом пространстве / С.П. Зубова // Вестник

Воронежского госуниверситета. Серия: Физика. Математика. — 2013. — № 2. — С. 192-198. 5 11

[10] Christiansen P.L. On a Toda lattice model with a transversal degree of freedom

I P.L. Christiansen, V. Muto, P.S. Lomdahl. - Nonlinearity, 1990. - No. 4. -p. 477-501. 6

[11] Sviridyuk G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators I G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - USP, Utrecht, etc., 2003. - 220 p. 6

[12] Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов I Г.А. Свиридюк Ц Успехи математических наук. — 1994. — Т. 49, № 4. - С. 47-74.

[13] Баскаков А.Г. Теория представлений банаховых алгебр, абелевых групп и полугрупп в спектральном анализе линейных операторов. I А.Г. Свиридюк

II Современные математика и фундаментальные направления. — 2004. — Т. 9. - С. 3-151.

[14] Чистяков В.Ф. О моделировании с использованием дифференциально-алгебраических уравнений в частных производных I Х.Д. Нгуен, В.Ф. Чистяков II Вестник ЮУрГУ. Серия Математическое моделирование программ. - 2013. - Т. 6, № 1. - С. 98-109. 6

[15] Чернышов К.И. Об операторных дифференциальных уравнениях, неразрешённых относительно производной: Автореф. дисс. ... канд. физ.-мат. наук

I К.И. Чернышов. - Киев. - 1979. - 17 с. 6

[16] Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М. : Наука, 1977. - 742 с. 6

[17] Жибер А.В. О задаче Гурса для гиперболической системы уравнений с нулевыми обобщёнными инвариантами Лапласа I А.В. Жибер, Ю.Г. Михайлова

II Вестник УГАТУ. - 2007. - Т. 9, № 3 (21). - С. 136-144. 6

[18] Тихонов А.Н. Поглощение газа из тока воздуха слоем зернистого материала I А.Н. Тихонов, А.А. Жуховицкий, Я.Л. Забежинский Ц Журнал физической химии. - 1946. - Т. 20, вып. 10. - С. 1113-1126. 6

[19] Чудновский А.Ф. Теплофизика почв I А.Ф. Чудновский. — М. : Наука, 1976.

352 с. 6

[20] Нерпин С.В. Физика почвы / С.В. Нерпин, А.Ф. Чудновский. — Гидроме-теоиздат, 1967. — 584 с. 6

[21] Чудновский А.Ф. Некоторые коррективы в постановке и решении задач тепло- и влагопереноса в почве / А.Ф. Чудновский // Сборник трудов по агрофизике. — Гидрометеоиздат, 1969. — Вып. 23. — С. 41-54. 6

[22] Чудновский А.Ф. Влияние обработки почвы на её тепловой режим / А.Ф. Чудновский // Сборник трудов по агрофизике. — Гидрометеоиздат, 1969. — вып. 23. — С. 55-63. 6

[23] Берёзкина Н.С. Об одном дифференциальном уравнении в частных производных третьего порядка / Н.С. Берёзкина, Е.Е. Кулеш, И.П. Мартынов,

B.А. Пронько // Дифференциальные уравнения. — 2005. — Т. 41, № 10. —

C. 1363-1368. 6

[24] Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах / М.Х. Шхануков // Диффер. ур-ия. — 1982. — Т. 18, № 4. — С. 689-699. 6

[25] Бештоков Х.М. Разностные методы решения нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка: Автореф. дисс. ... канд. физ.-мат. наук / Х.М. Бештоков. — Нальчик, 2009. — 19 с. 7

[26] Баренблатт Г.И. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах / Г.И. Баренблатт, Ю.П. Желтов, И.Н. Кочина // Прикладная математика и механика — 1960. — Т. 24, вып. 5 — С. 852-864. 7

[27] Корпусов М.О. Разрушение в неклассических нелокальных уравнениях / М.О. Корпусов. — М. : Либроком, 2011. — 378 с. 7

[28] Аристов А.И. О точных решениях одного неклассического уравнения в частных производных / А.И. Аристов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2015. — Т. 55, № 11. — С. 1870-1875. 7

[29] Мясников А.А. Модели продольных колебаний прямых стержней / А.А. Мясников // Фундаментальные и прикладные проблемы науки: Материалы XII Международного симпозиума. — М. : РАН, 2017. — С. 108-119. 7

[30] Ломов С.А. Основы математической теории пограничного слоя / С.А. Ломов, И.С. Ломов. _ М. : Изд-во Московского госуниверситета, 2011. _ 456 с. 8 9

[31] Вишик М.И. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром / М.И. Вишик, Л.А. Люстерник // Успехи математических наук. _ 1957. _ Т. 12, вып. 5 (77). _ С. 3-122. 8 9 30 31

[32] Вишик М.И. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряжённых и несамосопряжённых дифференциальных уравнений / М.И. Вишик, Л.А. Люстерник // Успехи маематических наук. _ 1960. _ Т. 15, вып. 3 (93). _ С. 3-80. 8

[33] Крейн С.Г. Асимптотический метод в задаче о колебаниях сильно вязкой жидкости / С.Г. Крейн, Нго Зуй Кан // Прикладная математика и механика. _ 1969. _ Т. 33, № 3. _ С. 456-464. 8

[34] Треногин В.А. Развитие и приложения асимтотического метода Люстерника-Вишика / В.А. Треногин // Успехи математических наук. _ 1970, июль-август. _ Т. 25, вып. 4 (154). _ С. 123-156. 8

[35] Жукова Г.С. Аналог метода диаграммы Ньютона для одного класса сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений /Г.С. Жукова // Дифференциальные уравнения. _ 1990. _ Т. 26, № 9. _ С. 1500-1509. 8

[36] Зубова С.П. Исследование решения задачи Коши для одного сингулярно возмущённого дифференциального уравнения / С.П. Зубова // Известия вузов. Математика. _ 2000. _ № 8 (459). _ С. 76-80. 9

[37] Васильева А.Б. О периодических решениях параболической задачи с малым параметром при производных / А.Б. Васильева // Журнал вычислительной математики и математической физики _ 2003. _ Т. 43, № 7. _ С. 975-986. 9

[38] Зубова С.П. Метод каскадной декомпозиции решения задач для псевдорегулярных уравнений: _ Автореф. дисс. ... док. физ.-мат. наук / С.П. Зубова. _ Воронеж. _ 2013. _ 32 с. 10 11

[39] Зубова С.П. О роли возмущений в задаче Коши для уравнения с фредголь-мовым оператором при производной / С.П. Зубова // Доклады РАН. _ 2014. _ Т. 454, № 4. _ С. 383-386. 10 11 30

[40] Зубова С.П. Исследование жёсткости дескрипторной динамической системы в банаховом пространстве / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая // Проблемы математического анализа. — 2015. — Вып. 79. — С. 127-132. 10 11 109 111

[41] Зубова С.П. Свойства возмущённого фредгольмовского оператора. Решение дифференциального уравнения с фредгольмовским оператором при производной / С.П. Зубова // Воронежский госунивеситет. — Воронеж. — 1991.

— Деп. в ВИНИТИ 17.06.91. — № 2516-В91. — 17 с. 11 27

[42] Дифференциальные уравнения, неразрешенные относительно производной: пособие для студентов / сост. С.П. Зубова. — Воронеж: ЛОП ВГУ, 2003. — 30 с. 23

[43] Зорич В. Б. Математический анализ. Часть I. 4-е, исправленное изд. / В.Б. Зорич. — М. : МЦНМО, 2002. — 664 с. — С. 1-37. 19

[44] Гохберг И.Ц. Введение в теорию линейных несамосопряжённых операторов / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн // М. : Наука. — 1965. — 448 с. 21

[45] Никольский С.М. Линейные уравнения в линейных нормированных пространствах / С.М. Никольский // Известия АН СССР. Серия математическая — 1943. — Т. 7, вып. 3. — с. 147-166. 22

[46] Аткинсон Ф.В. Нормальная разрешимость линейных уравнений в нормированных пространствах / Ф.В. Аткинсон // Математический сборник. — 1951.

— Т. 28 (70), № 1. — С. 3-14. 22

[47] Зубова С.П. Решение однородной задачи Коши для уравнения с нётеровым оператором при производной / С.П. Зубова // Доклады РАН. — 2009. — Т. 428, № 4. — С. 444-446. 22 27

[48] Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М.М. Вайнберг, В.А. Треногин. — М. : Наука, 1969. — 528 с. 23 23

[49] Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. — М. : Наука, 1970. — 536 с. 24

[50] Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн. — М. : Наука, 1967. — 464 с. 24

[51] Харди Г.Х. Ряды Фурье / Г.Х. Харди, В.В. Рогозинский. — М. : Физматгиз, 1959. 156 с. 28

[52] Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. / А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов. — М. : Наука, 1973. — 272 с. 30 31

[53] Раецкая Е.В. Об исследовании поведения решения одного сингулярно возмущённого уравнения / Е.В. Раецкая // Воронежский госунивеситет. — Деп. в ВИНИТИ. — 2002. — № 1039-В2002. — 12 с. 111

[54] Чеботарёв Н.Г. Теория алгебраических функций / Н.Г. Чеботарёв. — М. : Либроком, 2009. — 400 с. 112

[55] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. — М. : Физматлит, 2004.

560 с.

Публикации автора по теме диссертации Статьи в журналах, рекомендованных ВАК

[56] Зубова С.П. Асимптотическое решение задачи Коши для уравнения первого порядка с малым параметром в банаховом пространстве. Регулярный случай / С.П. Зубова, В.И. Усков // Математические заметки. — 2018. — Т. 103, вып. 3. — С. 393-404.

[57] Баев А.Д. Решение задач для дескрипторных уравнений методом декомпозиции / А.Д. Баев, С.П. Зубова, В.И. Усков // Вестник Воронежского госуниверситета. Серия: Физика. Математика. — 2013. — № 2. — С. 134-140. 13

[58] Зубова С.П. Асимптотическое решение сингулярно возмущённой задачи Ко-ши для уравнения первого порядка в банаховом пространстве / С.П. Зубова, В.И. Усков // Вестник Воронежского госуниверситета. Серия: Физика. Математика, 2016. — № 3. — С. 147-155.

[59] Усков В.И. Решение задачи Коши для дескрипторного уравнения первого порядка / В.И. Усков // Вестник Воронежского госуниверситета. Серия: Физика. Математика. — 2019. — № 1. — С. 150-157.

[60] Усков В.И. Асимптотическое решение уравнения первого порядка с малым параметром при производной с возмущенным оператором / В.И. Усков // Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки. — 2018. — Т. 23, № 124. — С. 784-796.

Прочие публикации

[61] Зубова С.П. Решение задачи Коши для дескрипторного уравнения в случае двухшаговой декомпозиции / С.П. Зубова, В.И. Усков // Вестник Ижевского госуниверситета им. М.Т. Калашникова. Серия: Математика. — 2015. — № 1 (65). — С. 120-122.

[62] Зубова С.П. Приложения матрично-дифференциального оператора к решению задач для уравнений в частных производных / С.П. Зубова, В.И. Усков // Итоги науки: Избранные труды Международного симпозиума по фундаментальным и прикладным проблемам науки. — Москва, 2017. — Выпуск 31.

С. 3-24.

[63] Зубова С.П. Решение задачи для уравнения третьего порядка соболевского типа методом каскадной декомпозиции / С.П. Зубова, В.И. Усков // Вестник факультета прикладной математики, информатики и механики. — 2015. — Вып. 11. — С. 70-83.

[64] Усков В.И. Решение одной задачи для уравнения в частных производных третьего порядка методом каскадной декомпозиции /В.И. Усков // Материалы международной конференции «Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2014». — Воронеж, 2014. — С. 352-355.

[65] Зубова С.П. Решение гиперболического уравнения методом декомпозиции / С.П. Зубова, В.И. Усков // Актуальные направления научных исследований XXI века: сборник научных трудов по материалам международной научно-практической конференции «Современные проблемы анализа динамических систем. Приложения в технике и технологиях». — Воронеж, 2014. — № 4, ч. 1 (9-1). — С. 83-85.

[66] Зубова С.П. Асимптотическое решение сингулярно возмущённой задачи Ко-ши для уравнения первого порядка в банаховом пространстве / С.П. Зубова,

B.И. Усков // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика: сборник научных трудов по материалам международной научно-практической конференции. — Воронеж, 2015. — № 5, ч. 1 (16-1). —

C. 36-38.

[67] Зубова С.П. Асимптотическое решение задачи Коши для дескрипторного уравнения с малым параметром в банаховом пространстве / С.П. Зубова, В.И. Усков // Материалы международной конференции «Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна — 2016». — Воронеж, 2016. — С. 175-177.

[68] Усков В.И. Приложения одного фредгольмовского дифференциального оператора / В.И. Усков // Современные методы теории краевых задач: материалы воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения-XXVII». — Воронеж, 2016. — С. 240-241.

[69] Зубова С.П. О свойствах вырожденности некоторого матричного дифференциального оператора / С.П. Зубова, В.И. Усков // Естественные и математические науки: научные приоритеты учёных: сборник научных трудов по итогам международной научно-практической конференции. — Пермь, 2016. - Вып. 1. - С. 9-12.

[70] Усков В.И. Асимптотическое решение системы А.Н. Тихонова / В.И. Усков // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика : сборник научных трудов по материалам международной научно-практической конференции «Современные проблемы математики. Методы, модели, приложения». — Воронеж, 2017. — № 7, ч. 1 (33-1). — С. 47-48.

[71] Усков В.И. О погранслое для дескрипторного уравнения с малым параметром / В.И. Усков // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика : сборник научных трудов по материалам международной научно-практической конференции «Прикладная математика. Математическое моделирование систем и механизмов». — : Воронеж, 2017. — № 10, ч. 5 (36). — С. 541-543.

[72] Усков В.И. Решение уравнения в частных производных четвертого четвертого порядка / В.И. Усков // Материалы Международной конференции, посвященной 100-летию С.Г. Крейна. — Воронеж, 2017. — С. 181-183.

[73] Зубова С.П. Исследование эллиптического уравнения в частных производных второго порядка с малым параметром / С.П. Зубова, В.И. Усков // Фундаментальные и прикладные проблемы науки: Материалы XII Международного симпозиума. — Москва, 2017. — С. 27-30.

[74] Усков В.И. Асимптотическое решение задачи Коши для уравнения первого порядка с малым параметром и некоторым параметром в правой части /

B.И. Усков // Материалы международной конференции «Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна — 2018». — Воронеж, 2018. — С. 333-336.

[75] Зубова С.П. Решение уравнения в частных производных второго порядка с малым параметром / С.П. Зубова, В.И. Усков // Современные методы теории краевых задач: материалы международной конференции «Понтрягин-ские чтения-XXIX», посвященной 90-летию В.А. Ильина. — Москва, 2018. —

C. 104.

[76] Усков В.И. Асимптотическое решение уравнения в частных производных второго порядка с малым параметром / В.И. Усков // Современные методы теории краевых задач: материалы международной конференции «Понт-рягинские чтения-XXIX», посвященной 90-летию В.А. Ильина. — Москва, 2018. — С. 222-223.

[77] Усков В.И. Уравнение ветвления для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения в банаховом пространстве /В.И. Усков // Материалы

XVIII Международной научной конференции по дифференциальным уравнениям «Еругинские чтения-2018». — Минск, 2018. — С. 73-74.

[78] Усков В.И. Задача Гурса для дескрипторного уравнения в частных производных // Материалы научной конференции «Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам». — Владимир, 2018. — С. 206-208.