Прямая схема построения асимптотического решения сингулярно возмущенных трехтемповых задач оптимального управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Калашникова Маргарита Александровна

• Калашникова Маргарита Александровна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Калашникова Маргарита Александровна

Введение

1 Асимптотический анализ сингулярно возмущенных задач с раз-нотемповыми быстрыми переменными

1.1 Предельный переход к решению вырожденной задачи

1.2 Асимптотика решений начальных и краевых задач

1.3 Асимптотическое решение задач оптимального управления

1.4 Приложения

2 Задачи с дешевыми управлениями разной цены

2.1 Постановка задачи

2.2 Преобразование задачи

2.3 Декомпозиция критерия качества и уравнения состояния

2.4 Приближение первого порядка

2.5 Приближения высших порядков

2.6 Оценки приближенного решения

2.7 Иллюстративный пример

3 Линейно-квадратичные задачи с трехтемповым уравнением состояния

3.1 Постановка задачи

3.2 Декомпозиция критерия качества и уравнения состояния

3.3 Приближение первого порядка

3.4 Приближения высших порядков

3.5 Оценки приближенного решения

3.6 Иллюстративный пример

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Прямая схема построения асимптотического решения сингулярно возмущенных трехтемповых задач оптимального управления»

Введение

Актуальность работы. В теории сингулярно возмущенных уравнений основное внимание уделяется системам с двухтемповыми переменными (медленными и быстрыми). Для этого типа систем классические результаты получены Тихоновым А.Н., Васильевой А.Б., Бутузовым В.Ф., Вишиком М.И., Люстерником Л.А., Ломовым С.А. и другими учеными. Такой же вид систем изучается главным образом и в теории сингулярно возмущенных задач оптимального управления (см., например, обзоры Kokotovic P.V., O'Malley R.E. Jr., Sannuti P. [41], Васильевой А.Б., Дмитриева М.Г. [10], Куриной Г.А. [28], Naidu D.S. [47], Дмитриева М.Г., Куриной Г.А. [21], Zhang Y., Naidu D.S., Cai C., Zou Y. [49]).

Однако при описании моделей механики, цепных химических реакций, электрических цепей, динамики летательных аппаратов, биомолекулярных моделей, социально-экономических моделей и в других приложениях появляются системы дифференциальных уравнений с разнотемповыми быстрыми переменными. Параметры возмущений, отвечающие скоростям движения, могут быть связаны как с постановкой задачи (малые постоянные времени, массы, сопротивления, индуктивности), так и с методами исследования задач управления (например, параметры регуляризации).

Иногда разнотемповые быстрые переменные могут быть "скрытыми" и уравнения для них появляются в результате дополнительных преобразований (например, сингулярно возмущенные уравнения в критическом случае (Бутузов В.Ф., Нефедов Н.Н. [2]), задачи с "дешевыми" управлениями (Калашникова М.А., Курина Г.А. [64])).

В линейно-квадратичных задачах с разными степенями малого параметра, стоящими перед квадратичными формами относительно управлений в крите-

рии качества, при нулевом значении параметра управление является особым. Такого типа задачи возникают при исследовании моделей многосекторной экономики, когда управляющие функции имеют разный уровень "дешевизны". Если использовать метод свертки для задачи с несколькими критериями качества, где цена одного управления мала по сравнению с другими, то получаем задачу с дешевыми управлениями.

Предельный переход решения начальной задачи при стремлении к нулю малых параметров, стоящих перед производными, изучался Градштейном И.С. [14], Тихоновым А.Н. [32]. Первая работа, посвященная асимптотике решения сингулярно возмущенных задач с несколькими зависимыми малыми параметрами при производных, принадлежит Васильевой А.Б. [5]. Отметим здесь также монографию Кузьминой Р.П., в которой изложено применение метода пограничных функций для асимптотического решения сингулярно возмущенных задач с разными степенями малого параметра при производных. Асимптотические решения в случае независимого стремления к нулю параметров при производных построены для краевой задачи Шишкиным Г.И. [33], а для начальной задачи Ильиным А.М. и Коврижных О.О. [22]. Асимптотика интегральных многообразий для системы с несколькими малыми параметрами при производных приведена в монографии Воропаевой Н.В. и Соболева В.А. [13]. В статье Dragan V. [35] на основе асимптотики решения алгебраического уравнения Риккати построена асимптотика решения линейно-квадратичной задачи с постоянными коэффициентами на бесконечном промежутке в случае малых параметров при квадратичных формах относительно управления в критерии качества.

Имеются два подхода к построению асимптотического решения задач оптимального управления с малым параметром. Наиболее используемый состоит в асимптотике решения задач, вытекающих из условий оптимальности управле-

ния. Альтернативный способ нахождения асимптотического приближения решения, называемый прямой схемой, заключается в непосредственной подстановке постулируемого асимптотического разложения решения в условие задачи и определении серии задач более простой структуры для нахождения членов асимптотики. Для задач с двухтемповыми переменными состояния второй подход был впервые применен Белокопытовым С.В. и Дмитриевым М.Г. [34].

Преимуществом метода прямой схемы является возможность использования пакетов программ решения более простых невозмущенных задач оптимального управления для определения коэффициентов асимптотического разложения решения возмущенной задачи. Также этот метод позволяет установить невозрастание значений минимизируемого функционала при использовании следующих приближений оптимального управления и доказать, что построенная последовательность асимптотических приближений оптимального управления является минимизирующей.

Метод прямой схемы для различных типов задач оптимального управления, в том числе с двухтемповыми переменными, развивался в работах Дмитриева М.Г., Куриной Г.А. и их учеников.

Связь метода прямой схемы с методом последовательных приближений И.А. Крылова, Ф.Л. Черноусько исследовалась в [50-52]. Для регулярно возмущенных задач оптимального управления доказано, что п-ые приближения решения, полученные методом последовательных приближений и методом прямой схемы, отличаются на величину порядка п-ой степени малого параметра, если в качестве начального приближения в методе последовательных приближений взять решение задачи, получающейся из исходной при нулевом значении малого параметра.

Целю работы является построение методом прямой схемы асимптотического решения двух линейно-квадратичных задач управления, а именно, задачи

с дешевыми управлениями двух порядков малости и задачи с трехтемповыми переменными состояния.

Научная новизна. В диссертационной работе впервые использован метод прямой схемы для построения асимптотики решения сингулярно возмущенных задач оптимального управления с разнотемповыми быстрыми переменными. Для построенного асимптотического решения доказаны асимптотические оценки близости приближенного решения к точному и установлено невозрастание значений минимизируемого функционала при использовании следующего приближения оптимального управления.

Практическая и теоретическая значимость. Диссертационное исследование носит теоретический характер и является дополнением теории асимптотических методов решения сингулярно возмущенных задач оптимального управления. Приведенные в диссертации результаты позволяют построить приближение произвольного порядка асимптотического решения сингулярно возмущенных задач оптимального управления с трехтемповыми переменными. Результаты работы могут быть использованы при решении конкретных прикладных задач оптимального управления.

Методы исследования. Для построения асимптотического решения линейно-квадратичных задач оптимального управления с трехтемповыми переменными впервые используется метод прямой схемы, основанный на методе пограничных функций Вишика-Люстерника-Васильевой для асимптотического решения сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений. Также применяется теория оптимального управления, классические методы дифференциального исчисления функций многих переменных и теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы были представлены на семинарах под руководством Г.А. Куриной (Воронеж, ВГЛТА, ВГУ,

2009-2018), на Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейна (Воронеж, 2010), международной летней математической школе памяти В.А. Плотникова (Украина, Одесса, 2012), Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2013), XV международной научной конференции по дифференциальным уравнениям "Еругинские чтения" (Беларусь, Гродно, 2013), XII всероссийском совещании по проблемам управления (Москва, 2014), International Congress of Women Mathematicians (Корея, Сеул, 2014), Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения"(Воронеж, 2011, 2013, 2014, 2015), XXIV международной конференции "Математика. Экономика. Образование" (Ростов-на-Дону, 2016), 21st International Conference on System Theory, Control and Computing (ICSTCC) (Румыния, Синая, 2017), 14th International Conference "Dynamical Systems. Theory and Applications" (Польша, Лодзь, 2017), 8th International Conference on Differential and Functional Differential Equations (Москва, 2017), международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С.Г. Крейна (Воронеж, 2017), семинаре Белгородского государственного национального исследовательского университета (Белгород, 2019).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 22 работы [50-71], пять из которых [62,64,65,70,71] изданы в журналах, рекомендованных ВАК РФ. Работы [50,52-56,61,62,68] написаны автором самостоятельно. Численные эксперименты во всех публикациях проделаны соискателем. В совместных работах все выкладки проделаны диссертантом с научным руководителем.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав. Объем диссертации 134 страницы. Графиков функций, выполненных при помощи Maple, - 8; таблиц, иллюстрирующих эффективность метода, - 2. Перечень литературы включает 71 наименование.

Содержание диссертации

Далее будем использовать обозначения: £ > 0 - малый параметр, T > 0

- заданное число, Ь £ [0,Т], (•, •) - скалярное произведение в соответствующих пространствах, штрих означает транспонирование, 1п. - единичные операторы, действующие в пространствах Кп, Е(е) = (гад(1п1 ,е1п2,е21пз), Е1 = (Над(1Щ, 0,0), Е2 = (Иад(0,1п2,0), Е3 = (Иад(0,0,1пз). Символ А > 0 (< 0) будет означать, что оператор А положительно (отрицательно) определен.

Разложение произвольной функции и = и(е) в ряд по степеням е будем представлять в виде

и(е) = ^2 еи3 = {и}п-1 + еп[и]п + а(еп+1),

з>0

где {и}п-1 = е^Uj, [и]п = ип, а а(еп+г) - сумма членов разложения по-

рядка еп+1 и выше.

Первая глава диссертации содержит обзор работ, посвященных асимптотическому анализу сингулярно возмущенных задач с разнотемповыми быстрыми переменными.

Во второй главе рассматривается линейно-квадратичная задача с дешевыми управлениями различных порядков малости вида

Т 2

J$) = 1[((г^(Ь,е)г) + ^е2кЯ(г,е)у])) (Ь ^ шт, (0.1)

о к=

^ = А(Ь,е)г + С(Ь,е)у, Ь £ [0,Т], г(0,е) = г°, (0.2)

где %\г,е) £ Кпк, у(Ь,е) = ((1\ь,е)', %\ь,е)')', г(Ь,е) £ Яп, матрицы W(Ь,е),

(к)

Я(Ь,е), А(Ь,е), С(Ь,е) предполагаются достаточно гладкими по своим аргумен-

(к) (к) там, причем W(Ь,е), Я(Ь,е) симметричны, W(Ь, 0) > 0, Я(Ь, 0) > 0, к = 1, 2,

п = п1 + п2, а матрица С(Ь, 0) обратима при всех Ь £ [0,Т]. При достаточно малых е > 0 задача (0.1)-(0.2) однозначно разрешима, а при е = 0 управление не выражается однозначно из принципа максимума Л.С. Понтрягина через переменную состояния и сопряженную переменную, т. е. оно является особым.

(к)/ к (кЬ (кЬ \ Г г (к)/

Путем замены переменных и(Ь,е) = гк V (Ь,е), у(Ь,е) = ^ V ($,£) ds,

к = 1, 2, у(Ь,е) = (у(Ь,е)', у^е)')', х(Ь,е) = г(Ь,е) — С(Ь,е)у(Ь,е), w(t,е) = (х(Ь,е)', у(Ь,е)')', и(Ь,е) = (11 (Ь,е)', ^и(Ь,е)')' исходная задача сводится к сингулярно возмущенной задаче оптимального управления с трехтемповыми переменными состояния

т

^(и) = 1!№(Ь, е^) + (и, П(г, е)и}) йЬ — шт, (0.3)

0

(к)

| = Л«,е)х + В(^ек^ = = 1, 2, (М

х(0,е) = г0, у(0,е) = 0, (0.5)

где № (Ь,е) = , ЩЬ,е) =

С(Ь, е)^(Ь, е) С(Ь, е)^(Ь, е)С(Ь, е)

(1) (2)

(Над(Я(Ь,е),Я(Ь,е)), В(Ь,е) = Л(Ь,е)С(Ь,е) — йС(Ь,е)/йЬ. Из условий задачи следует, что матрица №(Ь, е) - неотрицательно определена при всех Ь £ [0,Т] и достаточно малых е > 0.

Заметим, что алгебраические уравнения, вытекающие из (0.4) при е = 0 не являются однозначно разрешимыми относительно быстрых переменных у^Ь), к = 1, 2. Здесь мы имеем дело с так называемым критическим случаем в теории сингулярных возмущений.

Асимптотическое решение задачи (0.3)-(0.5) строится методом прямой схемы в виде

у(Ь, е) = у(Ь, е) + ^(Пгу(тг, е) + Ягу(аг,е)), (0.6)

¿=0

где у(Ь,е) = Ы(Ь,е)', и(Ь,е)')', у(Ь,е) = Е?>о е?^(Ь), тг = Ь/ег+1, < = (Ь — Т)/ег+1, Пгу(тг,е) = Е?>ое?Пг?у(п), Я,у(аг,е) = Е?>ое?Яг?ч(<п), I = 0,1, V? (Ь) - регулярные функции, П?у(гг) - пограничные функции экспоненциального типа в окрестности Ь = 0, Я?у(<г) - пограничные функции экспоненци-

ального типа в окрестности Ь = Т, т. е. справедливы неравенства

|| Щу(гг) ||< сехр(-жтг), тг > 0, У Qijу(аг) ||< сехр(жаг), аг < 0.

Здесь и далее с > 0, ж > 0 - постоянные, не зависящие от аргументов рассматриваемых функций.

Для достаточно гладкой функции С(у, Ь, е) будем использовать следующее асимптотическое представление:

1

С(у, Ь, е) = С(Ь, е) + е) + QiG(аi,е)), (0.7)

г=о

где С(Ь,е) = G(v(Ь,е),Ь,е) = Е->ое-7Gj(Ь), ПоG(то,е) = G(v(ето,е) + Поу(то,е),ето,е) - G(v(ето,е),ето,е) = Е7>0е-По-G(то), ,е) =

G(:v(е2т1,е)+П0v(ет1, е) + П1у(т1,е),е2т1,е) — G(v(е2т1, е) + Поу(ет1,е),е2т1,е) = Е->о е-П-G(тl), QоG(aо,е) = G(v(T + еао,е) + Qоv(ао,е),T + еао,е) — G(v(T + еао,е),Т + еао, е) = Е->о е-QоjG(ао), QlG(аl, е) = G(v(T + е2^, е) + Qоv(еal,е) + Qlv(аl,е),T + е2аъе) — G(v(T + е2аъе) + Qоv(еаl,е),T + е2аъе) = Е- >о е ^ G(аl)-

Подставляя (0.6) в (0.3), представим подынтегральное выражение в виде асимптотической суммы слагаемых по степеням малого параметра с учетом (0.7), отдельно зависящих от Ь, тг, аг, г = 0,1. Переходя в интегралах от выражений, зависящих от тг и аг, г = 0,1, к интегрированию по бесконечным промежуткам [0, и (—то,0], получаем

3(и) = £ е- 3-. (0.8)

- >о

Подставляя (0.6) в (0.4), представляя правые части уравнений в виде (0.7), а затем приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, отдельно зависящие от Ь, тг, аг, г = 0,1, получаем уравнения для функций ж-(Ь), Пг-ж(тг), Qгjж(аг), г = 0,1. Подобным образом из (0.5), учитывая экспоненциальный характер функций погранслоя Qгjж(аг) получаем соотношения для начальных условий ж-(0), Пг-ж(0), г = 0,1.

Приведем задачи Po, ^oP, Qi0P, i = 0,1, для определения приближения нулевого порядка в (0.6). При этом критерий качества в задаче Pо является коэффициентом J0 в разложении (0.8), критерии качества в задачах П00Р и Q00P находятся из преобразованного выражения для коэффициента Ji в (0.8), а критерии качества в задачах ni0P и Qi0P находятся из преобразованного выражения для коэффициента J2 в (0.8). Итак, имеем задачи

- - 1 fT - - - -Pо : Jо ((wo, Wo(t)wo) + (uo, Ro(t)uo)) dt ^ min,

2 J о

d0 = Л(t)xo + Bo(t)yo, xxo(0) = z°,

(k)

0 = uo, k = 1, 2,

1 i-

nooP : Поо J = 1 ((now, Wo(0)noow) + (Поои, По(0)Пои)) dro ^ min, 2 J о

(i)

dnoox dnoo y Ш (2)

—-= 0, —-= Поо u , 0 = Поо u , то > 0,

dro dTo

Поох(+^) = 0, Пооу (0) = —У1с)(0),

1о

QooP : QooJ =2 ((Qoow, Wo(T)Qoow) + (Qoou, Ro(T)Qoou)) dao ^ mm,

2 J —ж>

dQoox n dQoo(y) ~ (1) n ~ (2) . n

—-= 0^ —-= Qoo u , 0 = Qoo u , ao < 0,

dao dao

Qoox(—rn) = 0, Qoo(y(—w) = 0.

1 r+<X>

nwP : Пю J = 1 / ((niow, Wo(0)niow) + (nwu, Ro(0)nwu)) dri ^ min, 2о

Жтх io(y) n dПlo(;y) „ (2) . n

-= 0,—-= 0,—-= Пю u , ri > 0,

dri dri dri

(i) (2) (2) (2) Пюх(+^) = 0, Пюу(+ж) = 0, Пюy (0) = —(yo(0) + Пооy (0)),

ЯюР : ЯюЗ — 2

({Яю^, №о{Т+ {Я10П По(Т)Яюи)) ^ шт,

—оо

(1)

(2)

¿Яюх ¿Я10 у ¿Я10 у (2)

— 0, —;-— 0, —;-— Я10 и , а1 < 0,

Я10 ж(-ж) — 0.

Из принципа максимума Л.С. Понтрягина следует, что оптимальное управление и(Ь, е) задачи (0.3)-(0.5) должно удовлетворять соотношению

Б'£ - ЩЬ,е)и — 0,

(0.9)

где сопряженная переменная £(Ь,е) — (( (Ь,е)',ц(Ь,е)')', п(Ь,е) — (П(Ь, е)', ^(Ь, е)')', - решение задачи

8(£)§ — ™£)ж - Л(Ь, £)'£, £Т е) — 0,

Л(Ь,е) —

( (1) (2) \ А(Ь,е) В (Ь,е) В (Ь,е)

\

0 0

0 0

0 0

/

—

00

П 0

V

0 I

(0.10)

, В (Ь,е) —

П2 )

(1) (2) В (Ь,е) В (Ь,е)

Аналогично (0.6) представим сопряженную переменную £(Ь,е) в виде

£(Ь, е) — £(Ь, е) + ¿№£(п) + Я£(а))

(0.11)

¡=0

с пограничными функциями П^£(т¡), Яг£(аг), ъ — 0,1, экспоненциального типа, где каждое слагаемое допускает асимптотическое разложение по целым неотрицательным степеням е. Подставляя (0.6), (0.11) в (0.9), (0.10) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, отдельно зависящие от Ь, т^, а^, ъ — 0,1, получаем соотношения для Пу(Ь), П^и(т^), Я%зи(а^) и членов разложе-

ния (0.11) ^ (Ь), Щ £ (т) Ягз £ (а), ъ — 0, 1, 3 — 0,п.

Основываясь на следующих двух теоремах, можно сформулировать в явном виде задачи Ру, П¡у Р, Я%з Р, ъ — 0,1, 3 > 0, для нахождения приближений высшего порядка асимптотики (0.6).

0

Теорема 1. Краевые задачи, полученные из условий оптимальности управления для задач Pj, П^ Р, Р, г = 0,1, совпадают соответственно с задачами для функций (Vj (Ь)(Ь)), (По v(ro),^lПo(j+l)^ (то) + (Е2 + С (то)), (Цо3 Цо^) С М +

(Е2 + Ез^СЫ), (Пуv(тl),ElПl(j+2)^(Т1) + Е2Пl(j^¿(п) + ЕзПljС(п)), (Qljv(^l),ElQl(j+2)С(01) + Е2Ф1^-+1)£(^) + ЕзЦ^С(01)) из асимптотики решения задачи (0.4)-(0.5), (0.9) —(0.10), вытекающей из условия оптимальности управления для задачи (0.3)-(0.5).

Теорема 2. Сумма критериев качества Jj + -1)3 + в задачах

Pj, П1(j-1)Р, Q1(j-1)Р получается в результате преобразования коэффициента J2j из разложения (0.8), а сумма критериев качества По^ J + Q0j J для задач П0jР и Р получается в результате преобразования коэффициента J2j+1 из разложения (0.8).

Предполагая, что решения задач Pj, П^Р, Р, г = 0,1, ] = 0,п, уже найдены, приведем оценки близости построенного асимптотического решения исходной задачи (0.1), (0.2) ^ п—к(Ь,е) = ^п(Ь, е)/ек, гп(Ь,е) = хп(Ь,£) +

/ <■>, \

Ет=0[С(Ь,е)]3[(Уп(Ь,е)]п-3, к = 1, 2, к точному решению.

. ВХ2 I (г)

Введем обозначения | | = С^С, Вг =

Р 2 В*

0 Я

-1

, г = 0,1,

\вгг 0 )

(1) / 0 0 I (2) I 0 0

В2 = I I, В1 = I | и предположим, что выполнено условие:

V Р12 0 ) \ 2 0

(2) (1)

(г) для всех Ь Е [0,Т] собственные значения матриц В2(Ь, 0) и В 1(Ь, 0) — (1) (2) (2) В2(Ь, 0)В2(Ь, 0)—1В1 (Ь, 0) различны.

Теорема 3. При условии (г) и достаточно малых е > 0 для решения

(к)

задачи (0.1), (0.2) V *(;,е), к = 1, 2 справедливы следующие оценки

(v^t.e) - {Vn-k (t,£)\\ < G£n+1-k, \\z*(t,£) - zn(t,£)\\ < G£n+\ t G [0,T],

Д1) (2)

n

(1) (2) 2n 2 J( v n-1, v n-2) - J( v v *) < C£ .

Теорема 4. При условии (¡) и достаточно малых £ > 0 имеют место

неравенства

Д1) (2)

(1) (2)

J( v j-1, v j-2) < J( v j-2, v j-3), j = 1, П

В третьей главе рассматривается линейно-квадратичная задача T

J(u) = 1 I ((w(t, £), W(t, £)w(t, £)} + (u(t, £), R(t, £)u(t, £)}) dt ^ min, (0.12)

2

E(£)dwd '£ = A(t, £)w(t, £) + B(t, £)u(t, £), dt

(0.13) (0.14)

w(0,£) = w°.

Здесь w(t,£) = (x(t£f}y(t,£)>}z(t} £)')', w0 = ((x0), (y°)', (z°)/)/; ê(t,£) = (w(t,£)',u(t,£)')', x(t,£) G Rni, y(t,£) G Rn2, z(t,£) G Rn3, u(t,£) G Rm; при t G [0,T] матрицы W(t,£), R(t,£), A(t,£), B(t,£) являются достаточно гладкими по своим аргументам, причем W(t,£), R(t,£) симметричны и W(t, 0) > 0, R(t, 0) > 0.

Используем блочные представления, соответствующие размерам ком понент x, y, z, переменной состояния w, A(t,s) =

( ¿11 ¿12 ¿13 ^

¿21 ¿22 ¿23

¿31 ¿32 ¿33

,£)R(t,£)-1B(t,£y = S(t,£) =

( С с с \

511 S12 S13

ri/ С С

512 s22 s23

Г1/ сч с

\ S13 S23 S33 /

, С3 =

¿33 S33 W33 -¿33

¿22 S22

¿23 S23

^2 = | , ^2 = I , ^3 =

W22 -¿22 ) \W23 -¿32

положим, что для всех t G [0,T] выполнены условия:

¿32 s2 3 W23 -¿23

и пред-

(ii) матрицы A33(t, 0) и Ä22(t, 0)-Ä23(t, 0)A-3i (t, 0)Ä32(t, 0) являются устойчивыми, т. е. действительные части их собственных значений отрицательны,

(iii) собственные значения матриц C3(t, 0) и B2(t, 0)-C2(t, 0)C-1(t, 0)B3(t, 0) различны.

Следуя алгоритму метода прямой схемы, после подстановки асимптотического разложения типа (0.6) для функции $(t,s) в условие задачи (0.12)-(0.14), получаем уравнения состояния для членов разложения Wj(t), nijw(Ti), Qjw(ai), i = 0,1, и соотношения для начальных условий, а критерий качества запишем в виде (0.8).

Приведем задачи Po, ni0P, Qi0P, i = 0,1, для определения приближения нулевого порядка асимптотики решения задачи (0.12)-(0.14) вида (0.6). Критерии качества в этих задачах находятся из коэффициентов J0, J1, J2 в разложении минимизируемого функционала вида (0.8). Обозначая сопряженные переменные в задачах P0 и Q00P соответственно через ф0(Ь) и Qoo0(o"o), в результате имеем задачи

- - 1 fT

P0 : 30(щ) = - ((Wo(t), Wo(t)Wo(t)) + (Uo(t), Ro(t)Uo(t))) dt ^ min, 2 J 0

EidWdtt) = Ac(t)W0(t) + Bo(t)Uo(t), EiW0(0) = Eiw°,

1 i-

n00p : п00 j(П00и) = - ((n00w(t0), w0(0)noow (to)) +

2 J 0

+ (П00М(Т0), Ш0(0)П00и(т0))) dT0 ^ min, (Ei + E2)dH°0WM = (E2 + E:i)(A0(0)n00w(T0) + B0(0)noou(To)), T0 > 0,

dT0

Ein00w(+m) = 0, E2n00w(0) = Ei(w0 - Wo(0)),

Q00P : Q00J(Q00U) = (E2фo(T),Q00W(0)) +

1 f0

+2 ((Qoow(ao), Wo(T)Qoow(ao)) + (Qoou(ao), Ro(T)Qoou(ao))) dao ^ min, 2

E + E2)dQmW(ao) = (E2 + E3)(A0(T)Q00w(a0) + B0(T)Q0ou(a0)), a0 < 0, dao

(Ei + E2)Qoow(-ж) = 0,

П10Р : П10J(nwu) = - / «niow, Wo(0)nww) +

* J o

+ (niou, Ro(0)niou)) dr1 ^ min, dniow(Tl) = E3(Ao(0)niow(ri) + Mo(0)niou(ri)),

dTi

Eaniow(0) = E:i(w° - wo(0) - noow(0)),

QioP : QioJ(Qiou) = (Qiow(0),E3(^o(T) + QooФ(0))) + 1 fo

+* ((Qiow, Wo(0)Qiow) + (Qiou, Ro(T)Qiou)) dai ^ min,

* J-ж

dQiow(ai) = Ea(Ao(T)Qiow(ai)+ Bo(T)Qwu(ai)), Qww-ж) = 0. da i

Построены задачи Pj, ПjP, QjP, i = 0,1, j > 0, для отыскания членов высшего порядка асимптотического решения задачи (0.12)-(0.14). Доказан аналог Теоремы 1 о соответствии условий оптимальности управления для построенных задач и соотношений для членов асимптотического разложения решения двухточечной краевой задачи, вытекающей из принципа максимума Л.С. Понтрягина для рассматриваемой задачи. Также установлено подобное Теореме 2 утверждение о связи преобразованных коэффициентов из разложения минимизируемого функционала J(u) по целым неотрицательным степеням £ c критериями качества в построенных задачах Pj, П^P, QjP.

Предполагая, что решения задач Pj, П^Р, Р, % = 0,1, ] = 0,п, уже найдены, доказываются асимптотические оценки близости полученного асимптотического и точного решений сингулярно возмущенной задачи (0.12)-(0.14). Теорема 5. При условии (%%%) и достаточно малых £ > 0 для решения

и*(Ь,е), задачи (0.12) —(0.14) справедливы следующие оценки

\\щ(г,е) - йп(г,£)\\ < оеп+\ \^(г,е) - иип(г,£)\\ < оеп+\ г е [0,т],

3£(ип) - 3£(щ) < ее2п+2.

Следующая теорема показывает, что значения минимизируемого функционала не возрастают при использовании следующего приближения оптимального управления.

Теорема 6. При условиях (п), (Ш) для достаточно малых е > 0 имеют место неравенства

3(й3) < 3(й3-х), з = 1, ..,п.

При и^ = 0 последнее неравенство строгое.

Для иллюстрации эффективности метода прямой схемы во второй и третьей главах приведены численные примеры.

Автор выражает искреннюю признательность научному руководителю Галине Алексеевне Куриной за постановку задач, полезные замечания и поддержку при работе над диссертацией.

1 Асимптотический анализ сингулярно возмущенных задач с разнотемповыми быстрыми переменными

В этой главе приведен обзор некоторых работ, касающихся асимптотических методов решения задач, в постановке и в процессе решения которых присутствуют разнотемповые быстрые переменные.

1.1 Предельный переход к решению вырожденной задачи

Построение приближенного решения сингулярно возмущенной задачи обычно начинается с решения вырожденной задачи. В связи с этим естественно возникает вопрос об условиях, обеспечивающих стремление решения возмущенной задачи к решению вырожденной при стремлении к нулю малых параметров. Работы, касающиеся предельного перехода, обсуждались в [4]. Приведем некоторые сведения для систем с разнотемповыми быстрыми переменными.

Обоснование предельного перехода при стремлении малых параметров к нулю решения начальной задачи для нелинейной многотемповой системы вида

¿х/Зг = ! (х,г(1),..,г (т),г), е3¿г^)/¿г = Р^ (х,г(1)г(т) ,г), з =

х(0) = х0, г(з\0) = г(0') (1.2)

изучался в [5,15,16,32]. При этом предполагалось, что е^+1/е^ ^ 0. Отметим, что поведение производных решения по параметрам при стремлении малых параметров к нулю изучалось в [4].

В [32] с помощью присоединенных систем разных порядков сформулирована теорема об условиях, обеспечивающих стремление решения исходной возмущенной задачи к некоторому решению вырожденной задачи при стремлении малых параметров к нулю. Под присоединенной системой первого порядка по-

нимается система

сСг (т)/Ст = Е (т)(х,г(1),...,г(т),£), (1.3)

в которой х,г(1),...,г(т являются параметрами. Предполагается, что система Е(т) = 0 имеет единственный изолированный корень г(т) =

, £). Подставляя его в предыдущие уравнения системы, можно выписать присоединенную систему второго порядка. Аналогичным образом получаем присоединенную систему т-го порядка. Областью влияния изолированного корня г(т) при заданных значениях хо, г^, 0 < ] < т — 1,

(т)

называется совокупность таких точек {¿0 }, что траектории присоединенной системы (1.3) с начальными условиями (1.2) стремятся при т ^ ж к г(т) = ^(т)(х,г(01),..,г(0т—1),£).

В [32] доказано, что при стремлении к нулю малых параметров решение задачи (1.1), (1.2) при £ Е (0,Т] стремится к решению вырожденной системы с начальным условием х0 для медленной переменной, если корни г(з) = ^), при помощи которых определяется вырожденная система, являются устойчивыми корнями присоединенных систем ]-го порядка, 1 < ] < т, а начальные значения ) входят в область влияния корня г(з) при начальных значениях х0, г(1) Аз—1)

¿о ,..., г0 .

Для трехтемповой сингулярно возмущенной системы в [7] приводится детальное описание всех необходимых условий, обеспечивающих справедливость теоремы о предельном переходе.

Для решения нелинейной краевой задачи с двумя быстрыми переменными условно устойчивого типа вида

^ = }'(£,х,у,г), £1 = д(1,х)у)х)) £2^ = Н(1,х)у)х)) х(0) = х0, х(Т) = хт, у(0) = у0, у(Т) = ут, г(0) = ¿0, г(Т) = гт,

где £2/£1 ^ 0, теорема о предельном переходе сформулирована в [24]. Тер-

мин условная устойчивость означает, что матрицы Нг = дН(Ь,х,у,~г)/дг и 9у — ~9г)-1Ьу имеют собственные значения как с отрицательными, так и с положительными действительными частями. Чертой сверху здесь обозначено значение функции на решении вырожденной задачи. Приведены оценки близости решения возмущенной задачи к вырожденной.

На основе специального выбора начальных условий в [14] установлен предельный переход решения линейного уравнения с малыми параметрами при производных вида

— (¿к п ((( т + к

ак (г, е) (Г + ^ ек—1ат+к (г, е) = а — 1(г, е)

к=0 к=1

т (к Г ^>к (г, 0) = а—1(г, 0).

к решению вырожденного уравнения

I

(гк

к=0

При помощи специальной замены уравнения такого типа сводятся к разнотем-повым системам.

1.2 Асимптотика решений начальных и краевых задач

По-видимому, работы А.Б. Васильевой [5], [6], [7] являются первыми, где были построены асимптотические решения сингулярно возмущенных задач с несколькими малыми параметрами при производных.

Для трехтемповой начальной задачи

(х/(г = /(г,у,х,г), е2(у/(г = д(г,у,х,г), е1е2(г/(г = Н(г,у,х,г), х(0) = х0, у(0) = у0, г(0) = г0, г е [0,Т], в [7] построено асимптотическое разложение решения по степеням е1ек, содержащее пограничные функции от аргументов г1 = г/е1е2 и т2 = г/е2. В [7] также рассмотрен более общий случай сингулярно возмущенной начальной задачи с т малыми параметрами при производных. При этом увеличивается число по-

граничных функций от аргументов т = г/е1...е¡, г = 2,т.

Применение метода пограничных функций для построения асимптотического решения начальной задачи для сингулярно возмущенной разнотемповой системы изложено в монографии [26].

Для построенных в [7], [26] асимптотических решений приведены оценки близости к точному.

В [33] строится асимптотическое разложение решения задачи

£ia(t)y" + £2b(t)y' - y = f (t), 0 <t< 1,

y(0) = A, y(1) = B,

где a(t) > 0, b(t), f (t) - достаточно гладкие функции, при условии, что £i, £2 независимо стремятся к нулю.

Асимптотическое разложение решения начальной задачи с двумя независимыми малыми параметрами вида

dx dy

£1— = a(t)x + b(t)y + f (t), £2^7 = c(t)x + d(t)y + g(t),

dt dt (1 4)

x(0) = x0, y(0) = y0,

где a(t), b(t), c(t), d(t), f (t), g(t) достаточно гладкие функции при всех t G [0, T], удовлетворяющие условиям

a(t) < 0, d(t) < 0, b(t)c(t) - a(t)d(t) < 0, b(t)c(t) > 0, (1.5)

построено в [22]. При этом асимптотическое разложение содержит пограничные функции, аргумент которых зависит от произведения малых параметров, а именно,

Z(t,£i,£2) = z(t,£i,£2) + П.Х(t,£i,£2), T = t/£i£2, (X,y')' = Z.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Калашникова Маргарита Александровна, 2019 год

Список литературы

[1] Афанасьев, В.Н. Математическая теория конструирования систем управления/ В.Н. Афанасьев, В.Б. Колмановский, В.Р. Носов. — М.: Высшая школа, 2003.- 615 с.

[2] Бутузов, В.Ф. Об одной задаче теории сингулярных возмущений / В.Ф. Бутузов, Н.Н. Нефедов // Дифференциальные уравнения. — 1976. — Т. 12, № 10. — С. 1736-1747.

[3] Бутузов, В.Ф. О сингулярно возмущенной системе уравнений в частных производных первого порядка с разными степенями малого параметра / В.Ф. Бутузов, Е.А. Деркунова // Дифференциальные уравнения. — 2006. — Т. 42, № 6. — С. 775-789.

[4] Васильева, А.Б. О дифференциальных уравнениях, содержащих малые параметры / А.Б. Васильева // Математический сборник. — 1952. — Т. 31(73), № 3. — С. 587-644.

[5] Васильева, А.Б. Асимптотические формулы для решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих при производных параметры различных порядков малости / А.Б. Васильева // Доклады АН СССР. — 1959. — Т. 128, № 6. — С. 1110-1113.

[6] Васильева, А.Б. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных:

дисс. докт. физ.-матем. наук./ Васильева Аделаида Борисовна — Москва, МГУ, 1963.

[7] Васильева, А.Б. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных /

A.Б. Васильева // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1963. — Т. 3, № 4. — С. 611-642.

[8] Васильева, А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений / А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов. — М.: Наука, 1973. — 272 с.

[9] Васильева, А.Б. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях / А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов. — М.: Изд-во МГУ, 1978.

[10] Васильева, А.Б. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления / А.Б. Васильева, М.Г. Дмитриев // Итоги науки и техники. Серия: Математический анализ. — 1982. — Т. 20. — С. 3-77.

[11] Влахова, А.В. О заносе колесного экипажа при "блокировке"и "пробуксов-ке"одного из колес / А.В. Влахова, И.В. Новожилов // Фундаментальная и прикладная математика. — 2005. — Т. 11, № 7. — С. 11-20.

[12] Воропаева, Н.В. Декомпозиция многотемповых систем / Н.В. Воропаева,

B.А. Соболев. — Российская академия естественных наук. Самара, 2000. —

C. 290.

[13] Воропаева, Н.В. Геометрическая декомпозиция сингулярно возмущенных систем / Н.В. Воропаева, В.А. Соболев. — М.: Физматлит, 2009. — 256 с.

[14] Градштейн, И.С. Линейные уравнения с переменными коэффициентами и малыми параметрами при старших производных /И.С. Градштейн // Математический сборник. — 1950. — Т. 27(69), № 1. — С. 47-68.

[15] Градштейн, И.С. Дифференциальные уравнения, в которых множителем при производных входят различные степени малого параметра /И.С. Градштейн // Доклады АН СССР. - 1952. - Т. 82, № 1. - С. 5-8.

[16] Градштейн, И.С. Применения теории устойчивости А.М. Ляпунова к теории дифференциальных уравнений с малыми множителями при производных / И.С. Градштейн // Математический сборник. — 1953. — Т. 32(74), № 2. — С. 263-286.

[17] Грибковская, И.В. Асимптотическая оптимизация линейной сингулярно возмущенной системы, содержащей при производных параметры различных порядков малости / И.В. Грибковская, А.И. Калинин // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1995. — Т. 35, № 9. — С. 1299-1312.

[18] Грибковская, И.В. Управляемость в больших социально-экономических системах с позиции разделения движений /И.В. Грибковская, М.Г. Дмитриев // Теория активных систем. Труды международной научно-практической конференции "Управление большими системами-2011". — Том II. ИПУ РАН Москва, Россия, 2011. — P. 93-96.

[19] Данилин, А.Р. Об асимптотике решения системы линейных уравнений с двумя малыми параметрами / А.Р. Данилин, О.О. Коврижных // Дифференциальные уравнения. — 2008. — Т. 44, № 6. — С. 738-747.

[20] Дмитриев, М.Г. Использование прямой схемы для решения линейно-квадратичной задачи оптимального управления с сингулярным возмущением / М.Г. Дмитриев, Г.А. Курина, Х.О. Овезов // Известия РАН. Теория и системы управления. — 1996. — № 4. — С. 62-68.

[21] Дмитриев, М.Г. Сингулярные возмущения в задачах управления / М.Г. Дмитриев, Г.А. Курина // Автоматика и телемеханика. — 2006. — № 1. — С. 3-51.

[22] Ильин, А.М. Асимптотика решения системы линейных уравнений с двумя малыми параметрами / А.М. Ильин, О.О. Коврижных // Доклады АН РАН. — 2004. — Т. 396, № 1. — С. 23-24.

[23] Коврижных, О.О. Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенной системы линейных уравнений / О.О. Коврижных // Дифференциальные уравнения. — 2005. — Т. 41, № 10. — С. 1322-1331.

[24] Козловская, Т.Д. Краевая задача для систем условно устойчивого типа с различными малыми параметрами при старших производных / Т.Д. Козловская // Дифференциальные уравнения. — 1973. — Т. IX, № 5. — С. 832-845.

[25] Крейн, С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве/ С.Г. Крейн — М.: Наука, 1967.

[26] Кузьмина, Р.П. Асимптотические методы для обыкновенных дифференциальных уравнений/ Р.П. Кузьмина — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 333 с.

[27] Курина, Г.А. Об одной вырожденной задаче оптимального управления и сингулярных возмущениях/ Г.А. Курина // Доклады АН СССР. — 1977. — Т. 237, № 3. — С. 517-520.

[28] Курина, Г.А. Сингулярные возмущения задач управления с уравнением состояния, не разрешенным относительно производной. Обзор / Г.А. Курина // Известия РАН. Техническая кибернетика. — 1992. — № 4. — С. 20-48.

[29] Нгуен, Т.Х. Асимптотическое решение сингулярно возмущённых линейно-квадратичных задач оптимального управления с разрывными коэффициен-

тами: дисс. канд. физ.-матем. наук: 01.01.02 / Нгуен Тхи Хоай. — Воронеж, ВГЛТА, 2010. — 125 с.

[30] Понтрягин, Л.С. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко — М.: Наука

— 1983. — 392 с.

[31] Саясов, Ю.С. Обоснование и условия применимости метода квазистационарных концентраций Семенова-Боденштейна / Ю.С. Саясов, А.Б. Васильева // Журнал физической химии. — 1955. — Т. 29, № 5. — С. 802-808.

[32] Тихонов, А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных / А.Н. Тихонов // Математический сборник.

— 1952. — Т. 31(73), № 3. — С. 575-586.

[33] Шишкин, Г.И. Первая краевая задача для уравнения второго порядка с малыми параметрами при производных / Г.И. Шишкин // Дифференциальные уравнения. — 1977. — Т. 13, № 2. — С. 376-378.

[34] Belokopytov, S.V. Direct scheme in optimal control problems with fast and slow motions / S.V. Belokopytov, M.G. Dmitriev // Systems and Control Letters. — 1986. — Vol. 8, Iss.2. — P. 129-135.

[35] Dragan, V. Cheap control with several scales / V. Dragan // Rev. Roumaine Math. Pures Appl. — 1988. — Vol. 33, No. 8. — P. 663-677.

[36] Esteban, S. Three-Time-Scale Nonlinear Control of an Autonomous Helicopter on a Platform. PhD Thesis / S. Esteban. — Sevilla: Universidad de Sevilla, 2011.

— 436 p.

[37] Esteban, S. Singular perturbation stability analysis for a three-time-scale autonomous helicopter / S. Esteban, F. Gordillo, J. Aracil, R. Vazquez //

Proceedings of the 2nd International Conference on Advances in Control and Opimization of Dynamic Systems. Bangalore, India. — 2012. — P. 1-10.

[38] Esteban, S. Three-time scale singular perturbation control and stability analysis for an autonomous helicopter on a platform / S. Esteban, F. Gordillo, J. Aracil // International Journal of Robust and Nonlinear Control. — 2013. — V. 23, Iss. 12. — P. 1360-1392.

[39] Jayanthi, S. Retroactivity attenuation in bio-molecular systems based on timescale separation / S. Jayanthi, D. Del Vecchio // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2011. — Vol. 56, no. 4. — P. 748-761.

[40] Khalil, H.K. Control of Linear Systems with Multiparameter Singular Perturbations / H.K. Khalil, P.V. Kokotovic // Automatica. — 1979. — Vol. 15, Iss. 2. — P. 197-207.

[41] Kokotovic, P.V. Singular perturbations and order reduction in control theory

— An overview / P.V. Kokotovic, R.E. O'Malley Jr., P. Sannuti // Automatica.

— 1976. — Vol. 12, Iss. 2. — P. 123-132.

[42] Kurina, G.A. On linear-quadratic optimal control problem for time-varying descriptor systems / G.A. Kurina, R. Marz // SIAM Journal on Control and Optimization. — 2004. — Vol. 42, no. 6. — P. 2062-2077.

[43] Mukaidani, H. New results for near-optimal control of linear multiparameter singularly perturbed systems/ H. Mukaidani, H. Xu, K. Mizukami // Automatica. — 2003. — Vol. 39. — P. 2157-2167.

[44] Mukaidani, H. Control of Deterministic and Stochastic Systems with Several Small Parameters - a Survey / H. Mukaidani, V. Dragan // Annals of the Academy of Romanian Scientists: Series on Mathematics and its Applications.

— 2009. — Vol. 1, No 1. — P. 112-158.

[45] Naidu, D.S. Singular Perturbation Methodology in Control Systems / D.S. Naidu. — London, United Kingdom: Peter Peregrinus Ltd, 1988. — 287 p.

[46] Naidu, D.S. Singular perturbations and time scales in guidance and control of aerospace systems: a survey / D.S. Naidu, A.J. Calise // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. — 2001. — Vol. 24, No. 6. — P. 1057-1078.

[47] Naidu, D.S. Singular perturbations and time scales in control theory and applications: an overview / D.S. Naidu // Dynamics of continuous, discrete and impulsive systems. Ser. B: Applications and algorithms. — 2002. Vol. 9, Iss. 2.

— P. 233-278.

[48] Wang, Y.Y. Near-optimal control of nonstandard singularly perturbed systems / Y.Y. Wang, P.M. Frank, Wu N. Eva // Automatica. — 1994. — Vol. 30, Iss. 2.

— P. 277-292.

[49] Zhang, Y. Singular Perturbation and Time Scales in Control Theories and Applications: an Overview 2002-2012 / Y. Zhang, D.S. Naidu, C. Cai, Y. Zou // International Journal of Systems Science. — 2014. — Vol. 9, No. 1. — P. 1-36.

Публикации автора по теме диссертации

[50] Калашникова, М.А. Сравнение метода прямой схемы асимптотического решения задач оптимального управления с методом последовательных приближений И.А. Крылова, Ф.Л. Черноусько при решении регулярно возмущенных задач / М.А. Калашникова // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тез. докл. — Воронеж: ВорГУ. — 2010. — С. 70.

[51] Курина, Г.А. Сравнение метода прямой схемы асимптотического решения задач оптимального управления с методом последовательных приближений И.А. Крылова, Ф.Л. Черноусько при решении регулярно возмущенных задач

/ Г.А. Курина, М.А. Калашникова // Международная летняя математическая школа памяти В.А. Плотникова, 9-14 августа 2010 г., Одесса, Украина. — Одесса: Астропринт. — 2010. — С. 70-71.

[52] Калашникова, М.А. Сравнение метода прямой схемы асимптотического решения задач оптимального управления с методом последовательных приближений И.А. Крылова, Ф.Л. Черноусько для слабоуправляемых оптимальных систем / М.А. Калашникова // Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения-ХХ11". — Воронеж: Изд.-полиграф. центр ВГУ. — 2011. — С. 78-79.

[53] Калашникова, М.А. Асимптотика решения трехтемповой задачи оптимального управления / М.А. Калашникова // XV Международная научная конференция по дифференциальным уравнениям Еругинские чтения-2013. 1316 мая 2013 г., Гродно, Беларусь. Тез. докл., часть 1. — Минск: Институт математики НАН Беларуси. — 2013. — С. 77-78.

[54] Калашникова, М.А. Нулевое приближение асимптотики решения трехтемповой линейно-квадратичной задачи оптимального управления / М.А. Калашникова, М.Х. Гим // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы Воронежской зимней математической школы. — Воронеж: Изд.-полиграф. центр ВГУ. — 2013. — С. 109-110.

[55] Калашникова, М.А. Асимптотика решения трехтемповой задачи оптимального управления / М.А. Калашникова // Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения-ХХ^". — Воронеж: Изд.-полиграф. центр ВГУ. — 2013. — С. 93-94.

[56] Калашникова, М. А. Линейно-квадратичная задача с "дешевыми" управлениями различных порядков малости / М.А. Калашникова // Современные

методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения-XXV". — Воронеж: Изд.-полиграф. центр "Научная книга". — 2014. — С. 80.

[57] Калашникова, М. А. Асимптотика решения трехтемповой задачи оптимального управления / М.А. Калашникова, Г.А. Курина // Труды XII Всероссийского совещания по проблемам управления. ВСПУ 2014. Москва, 16-19 июня 2014 г. — Москва: ИПУ РАН. — 2014. — C. 1560-1570.

[58] Kurina, G. Direct scheme for asymptotic solving optimal control problems with two-time scale fast variables. Presentation book / G. Kurina, M. Kalashnikova // International Congress of Women Mathematicians. ICWM 2014. - Ewha Womans University. COEX Convention Center. Seoul, Korea, August 12, 14, 2014. — 2014. — Poster abstract number 20140021.

[59] Kurina, G. Direct scheme for asymptotic solving optimal control problems with two-time scale fast variables. Program book / G. Kurina, M. Kalashnikova // International Congress of Women Mathematicians. ICWM 2014. August 12. Ewhа Womans University. COEX Convention Center. Seoul, Korea, August 12, 14, 2014. — 2014. — P. 104.

[60] Kurina, G. Direct scheme for asymptotic solving optimal control problems with two-time scale fast variables. Poster presentation / G. Kurina, M. Kalashnikova // International Congress of Women Mathematicians. ICWM 2014. Ewha Womans University. COEX Convention Center. Seoul, Korea, August 12,14, 2014. — 2014. — Poster presentation number 20140021.

[61] Калашникова, М.А. Прямая схема построения асимптотического решения трехтемповой линейно-квадратичной задачи оптимального управления / М.А. Калашникова // Современные методы теории краевых задач. Материалы международной конференции. Воронежская весенняя математическая

школа "Понтрягинские чтения-XXVI". Воронеж, 3-9 мая 2015 г. — Воронеж: Изд. дом ВГУ. — 2015. — C. 99.

[62] Калашникова, М.А. Асимптотика приближения нулевого порядка решения трехтемповой линейно-квадратичной задачи оптимального управления / М.А. Калашникова // Моделирование и анализ информационных систем.

— 2015. — Т. 22, № 1. — C. 85—104.

[63] Калашникова, М.А. Асимптотика решения линейно-квадратичных задач с дешевыми управлениями разной цены / М.А. Калашникова, Г.А. Курина // XXIV Международная конференция. Математика. Экономика. Образование. IX Международный симпозиум. Ряды Фурье и их приложения. Международная конференция по стохастическим методам. Материалы. Ростов-на-Дону, 27 мая-3 июня, 2016 г. — Ростов-на-Дону: ЮФУ. — 2016. — C. 157.

[64] Калашникова, М.А. Асимптотическое решение линейно-квадратичных задач с дешевыми управлениями разной цены / М.А. Калашникова, Г.А. Курина // Труды Института математики и механики УрО РАН. — 2016. — Т. 22, № 1. — C. 124—139.

[65] Kurina, G.A. High Order Asymptotic Solution of Linear-Quadratic Optimal Control Problems under Cheap Control with Two Different Costs / GA. Kurina, М.А. Kalashnikova // 21st International Conference on System Theory, Control and Computing. ICSTCC 2017, Romania, Sinaia, October 19-21. — 2017. — P. 499-504.

[66] Kurina, G.A. Estimates of asymptotic solution of linear-quadratic optimal control problems with cheap controls of two different orders of smallness / GA. Kurina, M. А. Kalashnikova // Mathematical and Numerical Aspects of Dynamical System Analysis. DSTA 2017, Poland, Lodz, December 11-14, 2017.

— 2017. — P. 253-264.

[67] Kalashnikova, M.A. Direct Scheme Method of Constructing Asymptotic Solutions for Three-Tempo Optimal Control Problems / MA. Kalashnikova, GA. Kurina // The 8th International Conference on Differential and Functional Differential Equations. International Workshop "Differential Equations and Interdisciplinary Investigations". Moskow, Russia, August 13-20, 2017. — 2017. — P. 85-86.

[68] Калашникова, М.А. Многотемповые сингулярно возмущенные задачи (обзор) / М.А. Калашникова // Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения С.Г. Крейна. Воронеж, 13-19 ноября 2017 г. Сб. тез. — Воронеж: Изд. дом ВГУ. — 2017. — C. 105-106.

[69] Калашникова, М.А. Приближения любого порядка асимптотического решения трехтемповой линейно-квадратичной задачи оптимального управления методом прямой схемы / М.А. Калашникова, Г.А. Курина // Вестник ВГУ. Серия: Системный анализ и информационные технологии. 2018. — № 3. — С. 33-43.

[70] Калашникова, М.А. Прямая схема асимптотического решения линейно-квадратичных задач с дешевыми управлениями разной цены / М.А. Калашникова, Г.А. Курина // Дифференциальные уравнения. — 2019. — Т. 55, № 1. — С. 83-102.

[71] Kalashnikova, M.A. Direct Scheme for the Asymptotic Solution of Linear-Quadratic Problems with Cheap Controls of Different Costs / MA. Kalashnikova, GA. Kurina // Differential Equations. — 2019. — V. 55, No. 1. — P. 84-104.