Решение основных краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений методом потенциалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Нигмедзянова, Айгуль Махмутовна

• Нигмедзянова, Айгуль Махмутовна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Нигмедзянова, Айгуль Махмутовна

Введение

Глава 1.Краевые задачи для одного вырождающегося эллиптического уравнения

§1 Формулы Грина

§2 Фундаментальное решение.

§3. Интегральное представление

§4 Свойства решений уравнения

Посыновка краевых задач Дирихле и Неймана Теоремы единственности

§6 Потенциалы прос кло и двойного слоев и их свойства.

§7. Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям аеории по!енциала.

Глава 2.Краевые задачи для вырождающегося эллиптического уравнения первого рода

§1. Фундамешальное решение.

§2. Формулы Грина.

§3 Интегральное предствление.

§4 Свой( 1ва решений уравнения

§5. Постановка краевых задач Дирихле и Неймана. Теоремы един

CI венной и

Псненциалы иросюю и двойною слоев и их свойс1ва.

§7. Сведение 'задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям теории покчщиала

Глава 3. Краевые задачи для самосопряженного вырождающегося эллиптического уравнения второго рода

§1. Формулы Грина

§2. Фундамешальное решение.

§3. Ишегральное нред( явление

§4. Свойства решений уравнения

§5 Постновка краевых задач Дирихле и Неймана. Теоремы единственности

§6 Поюнциалы проиою и двойного слоев и их свойства.

§7 Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям теории потенциала.

Глава 4.Краевые задачи для вырождающегося эллиптического уравнения второго рода

§1. Фундаментальное решение.

§2 Формулы Грина

§3. Интегральное преде твление

§4. Свойс:ва решений уравнения

§5 Постановка краевых задач Дирихле и Неймана. Теоремы единственности

§6 Потенциалы иросюго и двойного слоев и их свойства.

§7 Сведение задач Дирихле и Неймана к ишегральным уравнениям теории похенциала

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение основных краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений методом потенциалов»

Вырождающиеся эллишические уравнения предпавляюг собой один из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными Краевые задачи для таких уравнений обладают той особенностью, чю иногда на границе области, где происходит вырождение, граничное условие не ставится или граничное условие ставится с некоюрой весовой функцией. Необходимость изучения таких уравнений обусловлена многочисленными их приложениями в газовой динамике, теории оболочек, теории упруюс1и, механике сплошной среды и др

Кроме того, вырождающиеся эллиптические уравнения встречаются в теории фильтрации при исследовании процессов переноса массы через неоднородные пористые пласты [7], [21], [28], а 1акже в современной космологии при рассмотрении жкнических состоянии материи [GGJ.

Число опубликованных работ по вырождающимся эллиптическим уравнениям весьма значительно. В э:их исследованиях рассматривались вырождающиеся эллиптические уравнения первою рода (см., например, М. М. Смирнов [67]-[71], А. В. Бицадзе [5], И Н Векуа [9], Л. С Шрасюк [63] и т.д.). Что касается вырождающихся эллиптических уравнений вюрого рода, то к числу первых в этом направлении относится работа М. В. Келдыша (1951) [26], где впервые указаны случаи, когда характеристическая часть границы области может освобождаться oi граничных условий и заменяться условием 01 раниченности решения Позже А В. Бицадзе в работе [5] указал, что условие ограниченности может быть заменено граничным условием с некоторой весовой функцией.

Первые работы по вырождающимся эллиптическим уравнениям относяк'я к уравнению вида d2U d2U различные краевые чадами для коюрого исследованы Ф. Трикоми [7G], Е Хольм1 реном [81], С. Геллереюд1 ом [17] [18], Ф. И. Франклем [79], П. Жер-меном, Р Бадером [22] [23] и др

Ф. Трикоми в фундаментальной рабою ]7G] paccMoipeji задачу Дирихле. С. Геллерсмедт [17]-]18] показал, чю задача Дирихле и задача N могут бып> решены при помощи функции Грина, регулярная часп> ко юрой в случае произвольной области D ищеюя в виде потенциала двойною слоя ( плошек 1ыо n(t). Для плоIносIи fi(t) получается уравнение Фрсуцольма, примем нредпола!аекя, чю концы кривой Г совпадают с дупши нормальной кривой (х — Х{))2 + (тщ2Ут+1 = к2 {у > 0)- Ф- И. Франклю в ciaibe [79] удалось избавиться от -этою ограничения Он своди! обе рассматриваемые краевые задачи к уравнениям Фредгольма, причем предполагаемся, чю кривая Г подходиI к оси абсцисс в точках А и В под прямым углом

А В. Бицадзе [5] [G] доказал сущееi вование и единсi венноеп> {решения задачи Дирихле для уравнения шд2и д2и , ,ди . ж . \тт , у w + w++ + с(х'у) = {тп >

К. И Бабенко [2] исследовал 'задачу N как для уравнения (0 1), ык и для более общем о уравнения d'2U d2U ymM + w+c{x'y)u = 0 ((,'2) при предположении, чю вокресinocin ючек А и В на кривой Г выполняемся условие

ЫХ <Су\з,), dy где С иск юянная, а т = x(s), у = y(s) парамсмримеские уравнения кривой Г

М В. Келдыш [2G] исследовал первую красмзу1ср 'задачу для уравнения d2U d2U OU 0U lJ'"W + + а(,г'+ 6(,г' + г(т'у)и = 0 (ш > 0) (() 3) в обласхи D. Он показал, чю постановка первой краевой задачи для этого уравнении зависит от показателя т и поведения коэффициент Ь(х,у) при у -> О М. В. Келдыш доказал существование и единс!веннос1Ь решения первой краевой задачи В случаях, когда для уравнения (0 3) в области D задача Дирихле не всегда разрешима, еиественно заменить условие ограниченности lim U(ж, у) условием у-» о lim ф(х,у)1/(х,у) = ip(x), у-> о где ф(х,у) - известная функция, причем lim ip(x,y) = 0, a ip(x) - заданная у->0 непрерывная функция. В 'хакой постановке краевая задача для уравнения (О 3) была впервые сформулирована А. В. Бицадзе [5]. Эха краевая задача была рассмохрена в pa6oiax С. А Терсенева [72] (при т = 1), Хоу Чунь - и [82], Ян Гуан-цзинь [84], Чень Лян-цзинь [83] (при т > 1) и др.

Для уравнения (0 3) О А Олейник [62] рассмохрела задачу с косой производной

- + AU = ip на Г (Л<0) (0.4)

OJ в iex случаях, когда часть границы, совпадающей с линией вырождения, освобождаехся о г граничных условий Н. Д. Введенская [8] для уравнения (0 3) при условии, что для эхого уравнения всегда разрешима задача Дирихле, и для уравнения (0.2) доказала сущесхвование и единсхвенносхь решения краевой задачи, в которой на Г поставлено условие (0 4), а на АВ заданы значения искомой функции

С Г Михлин [39] [40] применил вариационные меч оды для доказательства разрешимое!и первой краевой задачи для вырождающегося эллип-шческого уравнения г,к= 1 в ограниченной области D С (хп > 0)

М. И. Вишик [10] - [13] рассмо 1рел основные краевые задачи для уравнения к ++с{х)и=f{x)' ) иишического в точках х с хп > 0 Эхо уравнение изучаехся в области D, расположенной в хп > 0 и имеющей часть границы Го в плоскости хп = 0.

М. И. Вишик показал, что на постановку первой и второй краевой задачи в основном влияет юлько показатель, аналогичный т (в уравнении (0.3)). Им доказаны теоремы о разрешимое!и и единственное!и решения этих краевых задач. М. И. Вишик применял меюды функционального анализа.

Г Фикера [78] исследовал уравнение a,Ax)£!t+ £+с{х)и =f{x)■ (0 5) i,k=1 1 к t=l 1

Показал, что постановка краевой задачи для уравнения (0.5) зависит от ко-эффициешов уравнения и направления касательной плоскости к границе области Г. Фикера доказал единственность решения чакой задачи в классе гладких функций и существование обобщенного решения.

И. Н. Векуа [9] получил явные формулы для решения задачи Дирихле в полуплоскости у > 0 для уравнения

2kd2U d2U п п v=0 {к>~1)■

JI С. Парасюк [63] получил явные с})ормулы для решения задач Дирихле и Неймана в полупрослранслве хп > 0 (п > 3) для уравнения ad2U ^д2и п ,п

Одним и 5 представителей вырождающихся эллиптических уравнений вюрого рода является уравнение вида d2U d2U dU А , {а< 1 которое впервые было рассмотрено И J1 Каролем [25] Им были построены фундамешальные решения эюго уравнения Позже, Р С Хайруллин в работе [80] с помощью Э1их фундаментальных решений исследовал основные краевые задачи для этого же уравнения.

Далее, в работе Р М Асхаюва [1] исследованы меюдом потенциалов ос новные краевые задачи для уравнения d2U 2d2U , dU п (п , . d?+*w+kydj; = 0 {0<к<1)■

Таким обра юм, основные краевые 'задачи для мноюмерных вырождающихся эллин шческих уравнений в юрою порядка меюдом но инициалов до сих пор еще исследованы не были.

Данная диссерцщионная работ посвящена исследованию основных краевых задач для вырождающихся эллишических уравнений дай где1 а > 1, р > 3, р~1 г)211 П2Т1 где т >0, р > 3, где 0 < а < 1, р > 3, j=i ихз ихр где т > 4, > 3, меюдом потенциалов.

Среди меюдов решения краевых задач для вырождающихся эллип-юческих уравнений серьезной) внимания заслуживает метод потенциалов Суп» -ною меюда ыкова- решение 'задачи ищек'я в виде суммы 'заранее пос1роенных пененциалов с неопределенными илопюсчями. 3aieM. iребуя, чтобы она удовлелворяла краевым условиям, получают относи 1ельно них плоIнос Iей сиечему ишегральных уравнений. Мсчод пененциалов неодно-крапю применялся разными авюрами к решению краевых задач для эллиптических уравнений как в юрою порядка, зак и высших порядков и спечем В наших рабенах [42] [60] посчроены и применены пененциалы просчо-ю и двойною слоев к исследованию краевых 'задач для вышеперечисленных вырождающихся эллиптических уравнений.

Це;н>ю данной работы являехся дока за iелыч во сущееч вованпя едпн-ечвепною решения основных краевых 'задач для вышеуказанных вырожда-ющихея мноюмерных эллишических уравнений первою и в юрою родов

Диссертация сосюиг из введения, четырех глав и списка литературы В первой dAaet рассматривается вырождающееся эллиптическое уравнение где а > 1, р > 3. Строится фундаментльное решение уравнения, которое имеет такие же особенности, чш и для уравнения Лапласа С помощью этою ф р. строятся потенциалы просют и двойного слоев. Вычислякнся предельные значения этих потенциалов. Изучаю 1ся краевые задачи Дирихле и Неймана для уравнения (0 б) Доказывается единственность их решения. С помощью введенных похенциалов внуфенние и внешние краевые задачи Дирихле и Неймана сводяхся к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода Доказывается однозначная разрешимость интегральных уравнений.

В §1 выводятся первая и вторая формулы Грина для оператора Та. В §2 строится фундаментальное решение уравнения (0 6). В §3 дается интегральное представление решения данною уравнения В §4 изучаются некоюрые свойства решения уравнения (0.6), в частности, доказывав!ся очень важная для последующих исследований теорема о принципе максимума

Теорема 1.1 (принцип максимума) Пусть U 6 C2(D) П C(D) — ])('шение уравнения (1 1), удовлетворяющее условию U(x) = О при хр 0, тогда функция U(x) достирает своего положительного наибольшего и отрицательного наименьшего .значений на границе Г7 если она тоэ1сдественно не равна нулю.

В §5 даются постановки основных краевых задач для уравнения (0.6) и доказываем единственность их решения. Схавятся следующие краевые задачи:

Внутренняя задача Дирихле (Задача Д). Требуется найти функцию U(x), удовлетворяющую следующим условиям

0.6)

U{x)eC2{D)f]C(D),

TQ{U(x)} = 0, xeD, U{x) = О при тр О и|г = /(*), /МеВД где Са(Г) — множество функций /(ж), заданных на Г и удовлетворяющих условиям f{x) б С{Г) и f{x) = О (4"~1)(Р2)) "Ри хр ч> 0.

Внешняя задача Дирихле (Задача De). Требуется найти функцию U(x), удовлетворяющую следующим условиям:

U(x)eC2(De)nC(De),

Tn[U(x)} = 0, x6De, U(x) = О при хр -> 0,

U = 0 (р;0(р2)) при г -> 00, и /М, IH е с„(Г).

Внутренняя задача Неймана (Задача Nt). Требуется наЙ1и функцию U(x), удовлетворяющую следующим условиям:

U{x)eC2{D)r\Cl{D),

Ta[U(x)] = 0, х е D, U{x) = О при хр -> О,

Ап[и(х)}\т = р(т), f(x)eCn(Г). Здесь Аа внешняя конормаль

Внешняя задача Неймана (Задача Ne) Требуется найти функцию U(x), удовлетворяющую следующим условиям:

U(x)eC2{Dt)nCl(Dt)1

Ta[U(x)\ = 0, х G Д., U{x) = О (a*-1^) при хр О, u = o(f pJP 2) I при Г -> 00,

Aa[U(x)\ г = ч>(х), ч>(х)еса(Г).

Здесь Аа - конормаль, направленная во вне области D. Доказывается единственность решения задач Du De, Nt и Ne.

В §6 сiрояiся потенциалы пропою и двойною слоев для уравнения (0.6) и изучаю 1ся их свойства (доказываются лемма Геллереi едта и теоремы о предельном значении этих по1енциалов на границе области):

Лемма 1.2 ( Геллерстедг ) Если Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол, то

1 = Jт)] dV= <

-1, если х Е D] -j, если х Е Г; 0, если х Е Et\D = De.

Теорема 1.6. Если Г - повертиость Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол, то при и Е Са(Г) имеют место следующие предельные соотношения• где Wt{xo) и Wc(xq) означают предельные значения потенциала двойного слоя W(x) в точке xq Е Г при х —> xq соответственно изнутри и извне границы Г, a W(xq) — прямоь значение потенциала двойного слоя W(x) в точке xq Е Г

Здесь точка xq Е Г — фиксированная точка границы Г, щ = v(xq).

Теорема 1.7. Пусть Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол Тогда если плотность fi Е СЦ(Г), то попы нциал простого слоя V(x) непрерывен в Е*

Теорема 1.8. Пусть Г — повертиость Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол Тогда при ц Е Са(Г) имеют место следующие предельные соотношения■ lim AnX0[V(x)} = AaXo[V+(x0)} = ^ + Ап^У(х0)], х-)хо z

Hm AQXo{V(x)) = ^aio[V-(x0)] = ~ + AajV(x0)],

X-^Xq Z где АпХо\у+(х\))] и A»j-0[V~(a*o)] ~ предельные значения конормалъной производной потенциала простого слоя в точке Хц £ Г соответственно изнутри и извне границы Г; цо = ^(xq), а /1с»Хо— прямое значение конормалъной производной потенциала простого слоя

В §7 задачи Д, Dc, Nt и Ne сводяicm к инигральным уравнениям Фредгольма вюрою рода и доказывается их однозначная разрешимость.

Во второй главе рассматривается вырождающееся эллиптическое уравнение первого рода где га > 0, р > 3.

Строится фундаментальное решение уравнения, которое имеет такую же особенность, что и для уравнения Лапласа С помощью ф р строятся потенциалы простого и двойною слоев Вычислякмся предельные значения этих потенциалов. Изучаются краевые задачи Дирихле и Неймана для уравнения (0 7). Доказывается единственность их решения. С помощью введенных жненциалов внутренние и внешние краевые задачи Дирихле и Неймана сводятся к интегральным уравнениям Фредюльма Доказывается однозначная разрешимость ин ктральных уравнений

В §1 строится фундаментальное решение уравнения (0.7). В §2 выводятся первая и вторая формулы Грина для оператора L. В §3 дается интегральное представление решения данною уравнения В §4 изучаются некоторые свойства решения уравнения (0.7), в частности, доказывается теорема о принципе максимума

Теорема 2.1 (принцип максимума) Если U(x) € C2(D) П C(D) -решение уравнения (0 7) и удовлетворяет условию U = о(1) при хр —> 0, то функция U(x) достигает своего полоэ1сительного наибольшего и отрицательного наименьшего значений на границе Г, если она тождественно не равна пулю

В §5 даются постановки основных краевых задач для уравнения (0.7) и доказывается единственность их решения. Ставятся следующие краевые задачи: d2U d2U

0.7)

Внутренняя задача Дирихле (Задача Д) Требуется найхи функцию U(x), удовлехворяющую следующим условиям

U{x)eC\D)nC{D),

L[U(x)\ = 0, xeD, U(x) = o(l) при xp 0, U f(x), f(x) £ C(Г).

Внешняя задача Дирихле (Задача Д) Требуется найти функцию U(x), удовлетворяющую следующим условиям

U(x) G С2(Д)ПС(Д),

U(x) =

L[U{x)} = 0, xeDt, U(x) = о(1) при хр 0, о »ри Г -> 00, U г = f(x), f(x) е С(Г).

Внутренняя задача Неймана (Задача Ыг) Требуехся найти функцию U(x), удовлетворяющую следующим условиям:

U(x) е C2{D) П Cl(D),

L[U{x)\ = 0, х е D, U(x) = о(1) при хр —О, А[и(т)]\г = ф), f(x)eC(Г). Здесь А - внешняя конормаль

Внешняя задача Неймана (Задача Ne) Требуется найти функцию U(x), удовлетворяющую следующим условиям

U(л) е С'2(Д) ПСт1(Д),

L[U(x)] = О, хе Д,

U(x) = о(1) при хр О,

U(x) = 0({pl) (V + aT^y)^ при Г -> 00,

A[U(T)}\г = ф), Ф)еС(Г).

Здесь A - конормаль, направленная во вне облас:и D Доказывается единственность решения задач Ц, De, Nt и Ne. В §6 строятся потенциалы простого и двойного слоев для уравнения (0.7) и изучакмся их свойсхва (формула скачка, предельные значения эгих потенциалов на границе области)

Лемма 2.2 ( Геллерсгедт ). Если Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол, то

J А [£(£, г)] (IV = <

1(х) — 1, если х Е D] 1{х) — если х Е Г;

1(х), если х Е Е+\Z) = De, где

Го

Теорема 2.6. Пусть Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол Тогда при и Е С(Г) имеют место следующие предельные соотношения. где \¥г(х$) и We{xо) означают предельные значения потенциала двойного слоя W(x) в точке xq Е Г при х —> xq соответственно изнутри и извне границы Г; a W(xо) — прямое значение потенциала двойного слоя W(x) в точке жц Е Г.

Здесь xq Е Г — фиксированная точка границы Г, щ = v(xq).

Теорема 2.7. Пусть Г — повергпость Ляпунова и образует с ги-перплоскосгпыо хр = 0 прямой угол Тогда если плотность ц Е С'(Г), то потенциал простого слоя V(x) непрерывен в Е*

Теорема 2.8. Пусть Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол Тогда при р Е С(Г) имеют место (лсдующие предельны? (оотношеиия. lim Aro[V(x)] = А^М], = т + lim Л,0[К(х)] = Лхо[1/(,0)]е = + Л JV^O)], где AjJV^o)]? и Лг0[^(жо)]е — предельные значения конормальной производной потенциала простого слоя в точке xq Е Г соответственно изнутри и извне границы Г; pq = p(xq), a AXo[V(xо)] - прямое значение конормальной производной потенциала простого слоя

В §7 задачи Д, Д, Ыг и Ne сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода и доказываемся их однозначная разрешимость.

В третьей главе расчматривасчся самосопряженное вырождающееся эллиптическое уравнение а8) где 0 < а < 1, р > 3

Строится фундаментальное решение уравнения, коюрое имеет такую же особенность, что и для уравнения Лапласа. С помощью этого ф.р. строятся потенциалы upon ого и двойного слоев Вычисляются предельные значения этих потенциалов Изучаю 1ся краевые задачи Дирихле и Неймана для уравнения (0 8) Доказывался единственное п> их решения. С помощью введенных потенциалов внузренние и внешние краевые задачи Дирихле и Неймана сводятся к интегральным уравнениям Фредюльма вюрого рода. Доказывался однозначная разрешимость интегральных уравнений.

В §1 выводятся первая и вюрая формулы Грина для оператора Е. В §2 cipoMicn фундаментальное решение изучаемого уравнения. В §3 дается интегральное представление решения данного уравнения В §4 изучаются некоторые свойства решений уравнения (0 8), в чаечноечи, доказывался теорема о принципе максимума

Теорема 3.1 (принцип максимума). Если U(x) Е C2(D)f]C(D) — решение уравнения (0 8), удовлетворяющая условию U = о(1) при хр —> 0, то функция U(х) достигает своего положительного наибольшего и отрицательного наименьшего значений на границе Г; если она тождественно не равна нулю

В §5 даются пос тановки основных краевых задач для уравнения (0.8) и доказывается единственность их решения Ставятся следующие краевые задачи

Внутренняя задача Дирихле (Задача Д) Требуется найти функцию U(x), удовле1воря1ощую следующим условиям

U(x)eC2{D)nC(D),

E[U(x)] = 0, х £ D, U(x) = о(1) при хр О, U|г = f(x), f(x) € С(Г).

Внешняя задача Дирихле (Задача Д) Требуется найти функцию U(x), удовле1воряющую следующим условиям

U{x) е C2(De) П 6'(Д),

E[U(x)\ = 0, х £ Д, U(x) = о(1) при хр У О, и(х) = О ири г00, U /М, /W е С(г). г

Внутренняя задача Неймана (Задача Nt) Требуется найти функцию U(x), удовлетворяющую следующим условиям:

U{x)eC2{D)nC1{D):

E[U(x)] = О, х Е Д U(x) = о(1) при хр О, A[U{x)]\T = <p(x), f(x)eC{Г). Здесь А внешняя конормаль.

Внешняя задача Неймана (Задача Ne). Требуется найти функцию U(x), удовлетворяющую следующим условиям

U{x)eC2(De)nC1{De),

E[U(x)} = 0, тейе, U{x) = о(1) при хр О, U(x) = 0 при г -> оо,

A[U(x)]\r = tp(x), <р(х)еС(Г).

Здесь А - конормаль, направленная во вне области D. Доказывается единственность решения задач Д, Д, Nt и /Vc В §6 строятся потенциалы простою и двойного слоев для уравнения (О 8) и изучаются их свойства (доказывается лемма Геллерстедта и теоремы о предельном значении этих потенциалов на границе области):

Лемма 3.2 ( Геллере юдт ). Если Г поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол, то

I =I Л[£(£, ж)] dr = <

1, если х G Д если а; 6 Г;

О, если х G Е|\£> = Д.

Теорема 3.6. Пусть Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол Тогда при и 6 С(Г) имеют место следующие предельные соотношения■ и^оН-у + й^Ы где W^xq) и We(xo) означают предельные значения потенциала двойного слоя W(x) в точке хц G Г при х —> соответственно изнутри и извне границы Г, a W(xq) — прямое значение потенциала двойного слоя W{x) в точке хо G Г

Здесь хо G Г — фиксированная точка границы Г; щ = u(xq).

Теорема 3.7. Пусть Г повс ртость Ляпунова и обрспует с ги-п(рплоскостью хр = 0 прямой угол Тогда с сли плотность ц € С(Г), то потенциал простого слоя V(.c) непрерывен в Е*.

Теорема 3.8. Пусть Г — повсрпшсгпь Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол. Тогда при ц Е С(Г) имеют место следующие предельные соотношсния' lim А^Щх)] = Д^Ы]. = % + Axjvfx0)], х->хо L lim А^Щх)] = AXq\V(xq)]< = + ArjVfro)], х—>хо А sd( Лг0[У(ло)]г и предельной значения конормальной производной потенциала простого слоя в точке Х{) £ Г соответственно изнутри и извне границы Г; цц = ц{хо), а ЛХо[К(хо)] прямое значение конормальной производной потенциала простого слоя

В §7 задачи Ц, Д», Ыг и Ne сводя1ся к интральным уравнениям Фредгольма второго рода и доказывается их однозначная разрешимость.

В четвертой главе рассмафивасчся вырождающееся эллиптическое уравнение второго рода

P1 ftljj A2TJ = (0.9) где гп > 4, р > 3

СIроится фундаменыльное решение уравнения, коюрое имеет такую же особенность, что и для уравнения Лапласа С помощью ф.р схрояхся поюнциалы простого и двойного слоев Вычисляются предельные значения этих похенциалов. Изучаюхся краевые задачи Дирихле и Неймана для уравнения (0.9). Доказывается единственность их решения. С помощью введенных похенциалов внухренние и внешние краевые задачи Дирихле и Неймана сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода. Доказыва-ехся однозначная разрешимое п> ишегральных уравнений

В §1 строится фундаменыльное решение уравнения (0 9) В §2 выводятся первая и вторая формулы Грина для оператора Ет В §3 дается интегральное предсхавление решения данного уравнения. В §4 изучаются некоторые свойства решения уравнения (0 9), в часхности, доказывается теорема о принципе максимума

Теорема 4.1. Если U{x) G C2{D) П C(D) — решение уравнения (О 9) и удовлетворяет условию U = О ^ + 2 ^ при хр —> 0, то функция U(x) достигает своего полоэюигпельного наибольшего и отрицательного наименьшего значений на границе Г, если она тождественно не равна нулю.

В §5 даются постановки основных краевых задач для уравнения (0 9) и доказываем единственность их решения. Ставятся следующие краевые задачи:

Внутренняя задача Дирихле (Задача Д). Требуется найти функцию U(x), удовлетворяющую следующим условиям

U{x) 6C2(D)nC(D),

Em[U(x)\ — 0, х G Д U(x) = О (x{r2)4l+f) при хр -> О,

U|г = f{x), f(x) G Ст(Г), где Ст(Г) — множество функций f(x) класса С(Г), удовлетворяющих усло \ гл( П вию j[x) = и \хр 2 1 I при хр О

Внешняя задача Дирихле (Задача Д.). Требуется найти функцию U(x), удовлетворяющую следующим условиям

U(x)GC2(Dc)r\C(Dc),

Em[U(x)} = 0, х G Д, U{x) = О (4m2)Ef2+?) при Хр О,

U(x) = О ((роУ^^'^Ч при г ->оо, U lip), /М е ст(Г). г

Внутренняя задача Неймана (Задача Nt). Требуемся найти функцию U(x), удовлетворяющую следующим условиям

U{x)eC2(D)nCl{D),

Em\U(x)} = 0, х G Д

U(x) = 0 (4m при хр О,

Am[U(x)} =ф), f(x)eCm(Г).

Здесь - внешняя конормаль

Внешняя задача Неймана (Задача N(). Требуется найти функцию U(x), удовле1воряющую следующим условиям

U(x)eC2(Dc)nCl(Dt),

Ern[U{x)} = о, xeDe, U{x) = О (х[;г2)^) при хр О,

Г —^ 00, t/(a;) = o((p§) при

ЛП1[£/(я;)]г = ^), (р(х) 6 Ст(Г).

Здесь Лт - конормаль, направленная во вне области D. Доказывается единственность решения задач Д, Dei Nt и Ne. В §G строятся по1енциалы простою и двойного слоев для уравнения (О 9) и изучакнся их своиива, в частости, доказываются лемма Геллерстед-ia и теоремы о предельном значении эшх потенциалов на границе области: Лемма 4.2 ( Геллере:едг ) Если Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол, то

J Лт[£(£, х)} (1Г = <

-1, если х £ D, — если х £ Г; О, если х 6 ЕJ\jD = Д

Теорема 4.6. Пусть Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол Тогда если v £ Ст(Г), то имеют место следующие предельные соотношения

И^(з-о) = у + Щ?о), где Wi(x{)) и Wp(:eo) означают предельные значения потенциала двойного (лоя W(x) в точке яо Е Г при х —> xq соответственно изнутри и извне границы Г; a W(xо) - прямое значение потенциала двойного слоя W(x) в точке xq Е Г.

Здесь xq Е Г — фиксированная точка границы Г, щ = ^(^о) Теорема 4.7. Пусть Г — поверiность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол Тогда если плотность р Е Ст(Г), то потенциал простого слоя V{x) непрерывен в Е+

Теорема 4.8. Пусть Г — поверi ность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол Тогда если р Е Ст(Г), то имеют место следующие предельные соотношения•

Hm Amto[V(x)] = Am,o[V(x0)]t = ^ + AmjV(xQ)l

Ит А„JV(s)] = ^[«e = ~ + AnJV^o)], где Am \V{xо)]г uAm\V{xo)]P - предельные значения конормальноа ироиз-водной потенциала простого слоя в точке хц Е Г соответственно изнутри и извне границы Г, ро = p(xq), а Ат [V(xq)] - прямое значение ненормальной производной потенциала простого слоя

В §7 задачи Дирихле и Неймана для уравнения (0.9) сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма вюрого рода и доказываем их однозначная разрешимое п>

Таково крахкое содержание диссертации. Подводя итоги, сформулируем основные положения, выносимые на защиту.

1. Построение фундаментальных решений для вышеуказанных вырождающихся многомерных эллиптических уравнений

2 Изучение основных свойств решении указанных вырождающихся многомерных эллиптических уравнений второго порядка, в частности, доказательство принципа максимума

3. Доказательство единственности решения основных краевых задач д 1я указанных вырождающихся мноюмерных эллиптических уравнений вюрого порядка.

4 Построение потенциалов для вырождающихся многомерных эллиптических уравнений второго порядка и исследование их основных свойств, в частости, доказательство теорем о предельных значениях потенциалов на границе области.

5 Исследование разрешимости основных краевых задач для указанных вырождающихся многомерных эллиптических уравнений второго порядка мемодом потенциалов

Основные результаты докладывались на двенадцатой научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2002),

Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара, архитектурно-строительная академия, 2002); тринадцатой научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2003), шестой Казанской международной летней научной школе-конференции (Казань: "УНИПРЕСС", 2003); третьей всероссийской научной школе-конференции "Лобачевские чтения - 2003" (Казань "УНИПРЕСС", 2003),

Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2004);

Международной молодежной научной конференции (Казань "УНИПРЕСС", 2004), второй Всероссийской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2005), четвертой молодежной научной конференции (Казань "УНИПРЕСС",

2005), третьей Всероссийской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2006); втором Международном форуме молодых ученых "Актуальные проблемы современной науки" (Самара, 2006), пятой молодежной научной конференции (Казань- "УНИПРЕСС",

200С), научных семинарах при кафедре магматическою анализа ТГГПУ; научно-практических итоговых конференциях при кафедре дифференциальных уравнений КРУ

Основные резулыаш опубликованы в работах авюра [42] — [60] В заключение выражаю 1лубокую блатдарнос ib моему научному руководителю заслуженному деятелю науки РТ, профессору Ф.Г.Мухлисову за помощь и совеш, коюрые он оказывал мне в период написания этой работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Нигмедзянова, Айгуль Махмутовна, 2007 год

1. AcxaiOB Р М Решение краевых задач для одного вырождающегосяэллиптического уравнения меюдом ногенциалов. / Р. М. Асхатов. //Казанский гос. пед. университет. - Казань, 2000. — Ден. в ВИНИТИ23.06.00, Л"»1774-В00.

2. Бабенко К И К 1еории у])авнений сменланною шна / К И. Бабенко. // Докт. дисс (библио1ека Машм ин-та АН СССР). — 1952.

3. Берс А. Уравнения с частными производными. / А. Берс, Ф. Джон, М. Шех1ер - М :Мир, 1966 351с

4. Бицадзе А В Уравнения математической физики / А. Б Бицадзе. — М.: Наука, 1976.- 295с

5. Бицадзе А. Б. Уравнения смешанного тина. / А. Б. Бицадзе. — М.: Изд- во АН СССР, 1959 - 164 с

6. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных ироизводных. / А. Б. Бицадзе. - М.: Наука, 1981 448 с

7. Васин С И Теория (})илырации растворов неэлектролитов через бипо- ристую мембрану с учетом кинетики забивки нор. / И. Васин, А. Н.Филиннов. // Коллоид ж - 2004. - 66, М, с.299-304.

8. Введенская Н Д Об одной краевой задаче для уравнений эллинхичес- KOIO типа, вырождаюш,ихся на 1ранице области. / Н. Д. Введенская. //ДАН СССР. - 1953. - т91, М, с 711-714

9. Вишик М. И Краевые задачи для эллиптических дифферепциальпых уравпепий, Бырождаюп1,ихся па грапице области. / М. И. Вишик. //УМН. - 1954. - Т.9, 1 (59), с 138-143.

10. Випшк М. И. Краевые задачи для эллиптических уравпепий, вырожда- ющихся па грапице области. / М И . Вишик. // Матем. сб. — 1954. —т35(77), 3, с.513-568

11. Владимиров В С Уравпепия математической физики. / В. Влади- миров - 4-е изд - М . Наука, 1981 - 512 с

12. Владимиров В С Уравпепия махематической физики. Учебпик для ву- зов. / В. Владимиров, В. В. Жарипов. -2-е изд., С1ереотип. - М.:Физматлит, 2004 400 с

13. Гахов Ф. Д Краевые задачи. / Ф Д Гахов - 3-е изд. - М.: Наука, 1977. - 640 с.

14. Геллерс1едт (Gellerstedt S ) Sur un ргоЫёше aux limites pour une eqnatioii lineaire aux denveeb partielles du second orde de tipe mixte /С Геллерстедт (Gellerstedt S ) // These, Uppsala, 1935.

15. Геллерстедт С (Gellerstedt S ) Sur un probleme aus limites pour l'equation 'iP'^Zxx -^ Zyy = Q 1С Геллерсхедт (Gelleistedt S ). // Arkiv Mat.,Ast.ochFysik, 1953. - 25A, .f^ lO.

16. Градштейп И. С Таблицы иптегра;юв, сумм, рядов и произведепий. / И. Градппейп, Н. М. Рыжик - М.: Фпзматгиз, 1963 - 1100 с , илл.М5

17. Гюигер Н. М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам магематичегкой (|)изики ' Н М Г ю т с р М Г()(_уд<1р( пичтос изда-хельство технико-1еорегичегкой литературы, 1953. - 41бс.

18. Дми1риев М.Н. Двухфазная фильтрация в трансверсальпо-изотроппой порисюй среде: эксперимент и теория / М Н. Дмитриев, Н. М. Дмитри-ев, В В Кадет, М Н Кравченко, С Г Рассохин // Механика жидкостии газа (МЖГ). - 2004 Я"4, с 92 97

20. Жермен, Вадер (Geriiiam P., Bader R ) РгоЫетеь elli])tiqueb et hyperboliques singuliers pour iiiie equation du type mixte. / Жермен, Вадер(Germain P , Bader R.). // Publ, ONERA. - 1953. - №G0.

21. Кампе де Ферье Ж . Функции математической физики. / Ж . Кампе де Ферье, Р. Кемпбелл, Г. Пехьо, Т. Фогель. // GnpaBO4Hoe руководство.Пер с ф.) Н Я Виленкина - М , 1963 - 102с.

22. Кароль И Л К теории краевых задач для уравнения смешанного эллинтико-гинерболическою типа / И. Л. Кароль.// Матем. сб. - 1956.- т 38(80).-Jf»3.-G.261-282.

23. Келдьпи М. В. О некоюрых случаях вырождения уравнений эллипти- ческого типа на границе области / M B . Келдыш. // ДАН GGGP. —1951. - Т.77,Л*»2 - G.181-183.

24. Корн Г., Корн Т. GHpaB04HHK но матемашке для научных работников и инженеров./Г Корн, Т KOI)H / ' ' И З Д 6-ое - Санк1-Петербур1, Москва,Краснодар "Лань" -2003. - 832 (

25. Кочина П. Я. Избранные труды. Гидродинамика и теория фильтрации. / П. Я. Кочина // М. "Наука" 1991 - 353с

26. Кон1ляков Н. G. ОсновнЕ>1е дифференциальные уравнения магматиче- ской физики. / Н. Ко1нляков, Э. В. Глинер, М. М. Gмиpнoв. — М.:НЛ., 1962. - 767 с.146

27. Крикунов Ю М. Лекции по уравнениям магемашческой физики и инте- гральным уравнениям / Ю. М. Крикунов — Казань: Изд-во Казанскогоуниверситета, 1970. - 248 с.

28. Кузнецов Д Снециальные функции. / Д С Кузнецов М Государ- ственное издахельство "Высн1ая школа", 1962 - 250 с.

29. Ладыженская О А Краевые задачи матемашческой физики. / О. А. Ладыженская. — М.: Наука, 1973.— 480с

30. Миранда К. Уравнения с частными нроизводными эллиптического тина. / К Миранда. - М • ИЛ, 1961 - 256 с36[ Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных./ В. П. Михайлов. - М.: Наука, 1976. - 392 с.

31. Михлин С Г Курс математической физики / Г. Михлин. — М.: На- ука, 1968 576 с , илл

32. Михлин С Г. Линейные уравнения в частных производных. / Р. Мих- лин - М 1977. - 432с.39[ Михлин Р. К теории вырождающихся эллинтических уравнений. / Р. Михлин // ДАН СССР. 1954.- т 94, 2 - с.183-186.

33. Михлин С Р. Вырождаюш,иеся эллин 1ические уравнения. / Р. Мих- лин. // Вестник Ленингр ун-та - 1954. - т.З, №8. - с 19-48.

34. Мухлисов Ф. Р. По1енциалы, порожденные оператором обобш,енного сдвига, и краевые задачи для одного класса сингулярных элли1гтичес'-ких уравнений. Дисс док физ -мат. наук / Ф. Р. Мухлисов. — Казань,1993. - 324 с.147

35. Нигмедзянова А М О Т суиергармонических функциях. / А. М. Ниг- медзянова // Труды 13-и науч межвуз конф. "Математическое моде-лирование и краевые задачи Ч.З. - СамГТУ, ИАР. - Самара, 2003. -С.134-136

36. Нигмедзянова А. М. Похенциалы, норожденные онератором логариф- мическою сдвига / А М. Нигмедзянова // Вес1ник Казанскою Госу-дарственного Педагогического Университет. Математика. - 2004, Л*"2. -С.15-24.

37. Нигмедзянова А. М Критерий регулярности граничной точки для одно- го эллиигического уравнения. / A M Нигмедзянова // Труды Всерос-сийской научной конференции "Мсиемахическое моделирование и крае-вые задачи - 4 3 СамГТУ, И АР Самара, 2004 - С 168 170

38. Нигмедзянова А М Фундаментальное решение для одного эллинтичес- кого уравнения . / А. М Нигмедзянова. // Труды математич. центраим Н. А Лобачевского (макфиалы междунар науч конф ) - Т25Казань: "УНННРЕСС", 2004. - С 201-202.

39. Нигмедзянова А М. Исследование основных краевых задач для одного вырождающегося эллиншческою уравнения методом ногенциалов. / А.М. Нигмедзянова // Вестник Казанского Государственного Педагогиче-ского Универси1е1а Математика 2005, Я"4 - С 146 160.

40. Нигмедзянова А М Основные свойс1ва решений одного вырождающего- ся эллиптического уравнения. / A M Нигмедзянова. // Труды ТретьейВсероссийской науч. конф. "Магема1ическое моделирование и краевыезадачи.- Ч.З. - СамГТУ. - Самара, 2006. - 174-176.149

41. Нигмедзянова А. М О погенциалах для одною многомерного вырожда- ющегося эллиптическою уравнения нервого рода. / А. М. Нигмедзянова.// Труды 2-го Международного форума молодых ученых "Актуальныепроблемы современной науки". — Самара, 2006. - С 79-83.

42. Нигмедзянова А. М. Исследование^ основных краевых задач для одпого вырождаюп1,еюся эллиншческою уравнершя мешдом потенциалов. / А.М. Нигмедзянова // Известия вузов. Математика. - 2007. - JV^1 (536). -С 34 44.

43. Никифоров А. Ф Специальные функции математической физики. / А. Ф. Никифоров, В Б Уваров // М • "Наука",- 1978.

44. Олейник О А. Об уравнениях эллип'шческого типа, вырождаюнщхся на границе области / О А Олейник. // ДАН СССР. 1952. - т.87, М. -с.885-888.

45. Парасюк Л Краевые задачи для двух эллинтических дифференци- альных уравнений 2-го норядка, вырождаюьцихся на границе области. /Л. Нарасюк //Укр MaieM журнал, 1962 т 14, 2, с 215-217.150

46. Петровский И. Г Лекции об уравиениях с час1иыми производными. / И. Г Петровекий. - М/ Физматгиз, 1961 400 с.

47. Пецзовский И Г Лекции ио теории интегральных уравнений / И. Г. Петровский. - М.. Паука, 1965. 128 с.

48. Понов А. А. (Popov А. А ) Local spheiically symmetric perturbations of spatially flat Friedinann models. / к к Понов, P. К Мухарлямов (А. А.Popov, R К. Muharlyamov) // aiXivgr-{ic/0610137, vl, 27 oct.2006. (впеча'1и).

49. Смирнов М. М Вырождающиеся эллинтические и гинерболические уравнения / М М Смирнов М Наука, 1966 292 с

50. Смирнов М. М. Дифференциальные уравнения в частных нроизводных второго норядка / М. М.Смирнов. — М.: Паука, 1964. - 206 с.

51. Смирнов М М Курс высшей ма1ема1ики Т З , ч 2 / М М Смирнов — М., 1957

52. Смирнов М. М. Уравнения смененного '1ина. / М. М. Смирнов. — М.: Паука, 1970. - 296 с.

53. Смирнов М. М Об одной краевой задаче для эллиптического уравне- ния, вырождающегося на части границы области. / М М Смирнов //ВесI ник Ленинградского универси1е1а, 1961 — т.З, JV^ З, с 73-78.

54. Терсенев С А. Об одном уравнении эллингического типа, вырождаю- щемся на границе области / С к Терсенев // ДАП СССР. - 1957. -Г.115, ^^4, с.670-673

55. Тихонов А П. Уравнения матема'шческой физики. / А. П. Тихонов, А. A. Самарский - М : Паука, 1966 724 с.

56. Тихонов А. П., Васильева А. В., Свеншиков А. Г. Дифференциальные уравнения Учебник 4-е изд , С1ереогии / А П Тихонов, А В Васи-льева, А Г Свешников — М Физмаглит, 2002.- 256 с

57. Тиман А. Ф. Введение в 1еорию гармонических функций. / А. Ф. Тиман, B. П. Трофимов. - М : Паука, 1966 - 207с.151

58. Трикоми O.(Tnc"omi F.) О линейных уравнениях в частных производных вюрого порядка смешанного тина / Ф. Трикоми. // Гостехиздат, 1947.77| Фодорюк М. В Обыкновенные дифференциальные уравнения. / М. В.Федорюк - М.: Наука, 1985. - 448 г

59. Фпкера Г (Ficheia G ) К единой хеории краевых задач для эллептико- нараболических уравнений вюрого порядка. / Г. Фикера (Fichera G.). //Сб. Математика (русский перевод), 1963. - 7:6. - с.99-120.

60. Франкль Ф. И К аеории уравнения yzj;^ + Zyy = 0. / Ф. И. Фрапкль. // Изв АН СССР, серия магем 1946 г 10. №2 - с.135-166

61. Хайруллин Р. С Теория поаепциала для модельпого уравпения второго рода / P C . Хайруллин. // Нзвес шя вузов Математика. - 1992. №3.- с 64-73

62. Хольмгрен Е (Hellmgreii Е ) Sur un probleme aux limates pour I'equation y^^Zxx -\-Zyy = O./ Е.Хольмгреп (Hellmgien E.). // Arkiv Mat., Astr., ochFysik, 1926 - 19B, №14

63. Xoy Чунь-и. Задача Дирихле для одною класса линейных эллиптичес- ких уравнений второго норядка с нараболическим вырождением на гра-нице облас1И. / Хоу Чунь-и. // Sc. Rec. new ser., 1958. - т.2, J\'"8. —c.244-249.

64. Чень Лян-цзипь (Chen Liang-jnig) A boundary value problem for the degenerate elliptic equation. / Чень Лян-цзинь (Chen Liang-jing). // ActaMath. Sinica,1963. - 13, J(»3. - с 332-342.

65. Ян Гуан-цзинь (Yang Quang jing) Dirichlet problem for a class of equations of degenerated elliptic type / Ян Гуан-цзинь (Yang Quang jing). // ActaMath Smica, 1962 - 12, Jf»l. - с 40-46.152