Решение основных краевых задач для β-метагармонического уравнения методом потенциалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Ибрагимова, Наиля Анасовна

• Ибрагимова, Наиля Анасовна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Ибрагимова, Наиля Анасовна

Оглавление

Введение

Глава 1. Исследование краевых задач для В-метагармонического уравнения

т-го порядка, когда корни характеристического уравнения положительные 16 §1. Сведение уравнения (Рт) к В-эллиптической системе уравнений

§3. Потенциалы и их свойства

§4. Краевые задачи для уравнения (Рт)

§5. Системы интегральных уравнений задач Дирихле и Неймана

§6. Решение краевых задач для В-метагармонического уравнения т-го порядка (Рт)

Глава 2. Исследование краевых задач для В-метагармонического уравнения

т-го порядка, когда корни характеристического уравнения отрицательные 64 §1. Фундаментальная матрица решений В-эллиптической системы уравнений (Мв)

§2. Потенциалы и их свойства

§3. Краевые задачи для уравнения (Рт)

§4. Системы интегральных уравнений задач Дирихле и Неймана

§5. Решение краевых задач для В-метагармонического уравнения т-го порядка (Рт)

Глава 3. Краевые задачи для В-эллиптических систем уравнений 100 §1. Краевые задачи для В-эллиптической системы уравнений с положительно определенной матрицей

§2. Краевые задачи для В-эллиптической системы уравнений с отрицательно определенной матрицей

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение основных краевых задач для β-метагармонического уравнения методом потенциалов»

Введение

Сингулярные уравнения, содержащие оператор Бесселя

дх2 хдх'

действующий по одной или нескольким из пространственных переменных, являются актуальной областью исследований. Изучение таких уравнений вызвано и теоретическими интересами, и практической необходимостью. Отметим [53], что исследование задач гидроаэродинамики вязкой жидкости и неидеального газа, а также задачи акустики привели к изучению дифференциальных уравнений с сингулярным оператором Бесселя. Например, в середине 60-х годов при изучении влияния вязкости и теплопроводности на структуру сжимаемых течений при обтекании тел конечных размеров звуковым на бесконечности потоком неидеалыюго газа О.С. Рыжовым и Г.М. Шефтер (см. [67]) были получены стационарное и нестационарное вязкое трансзвуковые уравнения

где 7 = const ^ 0.

Отметим также, что теория эллиптических уравнений, по одной из переменных которой действует сингулярный оператор Бесселя ВХ) тесно связана с теорией вырождающихся эллиптических уравнений. А вырождающиеся эллиптические уравнения представляют собой один из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Такие уравнения имеют многочиленные приложения [71] в газовой динамике, безмомепт-ной теории оболочек, теории малых изгибаний поверхностей вращения, механике сплошной среды и др.

Кроме того, вырождающиеся эллиптические уравнения встречаются в теории фильтрации при исследовании процессов переноса массы через неоднородные пористые пласты [16], [36], а также в современной космологии при рассмотрении экзотических состояний материи [60].

Начиная с самых первых исследований дифференциальных уравнений с частными производными теория сингулярных дифференциальных уравнений с оператором Бесселя играла важную роль (Е. Beltrami, A.Weinstein и др.).

В 1881 году впервые Е. Beltrami [78] были построены фундаментальные решения уравнения

Ави = 0,

(0 1)

где Aß = А-у + BXp, Ax> —оператор Лапласа, х' = (х1.х2, ■ ■ ■ , Жр-i), ВХр — оператор Бесселя, при к = 1 и р = 2. А. Weinstein [85] этот результат распространил па любое значение к > 0. И.А. Куприяновым и В.И. Кононенко [34], [35] построены фундаментальные решения общих линейных B-эллиптических уравнений. Фундаментальной матрице решений В-параболической системы (параболической системы с оператором Бесселя) посвящена работа В.В. Крехивского и М.И. Матийчука [37].

Как и для любых уравнений в частных производных, в теории сингулярных дифференциальных уравнений с оператором Бесселя центральное положение занимает теория краевых задач.

Одной из первых работ, посвященных краевым задачам для этого класса уравнений, является статья И.Н. Векуа [8], опубликованная в 1947 году. В ней изучен вопрос о корректности постановки задачи Дирихле для уравнения (0.1) в полуплоскости > 0 при р — 2 и к < 1. Ряд результатов о краевых задачах для уравнений с оператором Бесселя в случае р > 2 были получены M.Ii. Олевским [54], А. Huber [80], С.П. Пулькииым [61], В.Ф. Волкодавым [10], [11], В.И. Евсиным [17], N.S. Iiall [79], О.И. Маричевым [44], [45] и другими.

Начало интенсивному развитию теории сингулярных дифференциальных уравнений с оператором Бесселя положила фундаментальная работа И.А. Киприянова [31], опубликованная в 1967 году. Эллиптические уравнения, по одной или нескольким переменным которых действует оператор Бссселя, впервые и были названы И.А. Киприяповым |34] В-эллиптическпми. Задачи для дифференциальных уравнений с особенностью в коэффициентах давно и хорошо известны. Методы их решения не являются стандартными и, как правило, зависят от характера особенностей уравнения. Один из подходов, развитый И.А. Киприяповым и его научной школой (JI.A. Иванов, В.В. Катрахов, М.И. Ключанцев, JI.H. Ляхов и др.), заключается в использовании интегральных преобразований, приспособленных именно к данной особенности уравнения.

И.А Киприяповым была создана теория весовых функциональных пространств. В настоящее время эти пространства известны как пространства Киприянова С помощью этих пространств им и его учениками установлен ряд важных результатов для В-эллиптических, B-параболических и B-гиперболических уравнений (подробнее см. [32]).

Другой подход к построению весовых функциональных пространств на основе операторов преобразования типа Пуассона и Сонина был предложен учеником И.А. Киприянова В.В. Катраховым [33]. Эти исследования применены им к изучению общих краевых задач для B-эллиптических уравнений с весовыми неоднородными граничными условиями на характеристической части границы [29].

Важный вклад в изучение сингулярных дифференциальных уравнений с оператором Бесселя внесли работы Л.Ii. Ляхова и его учеников (см. [32], [41], [43], [74]). Л.Ii. Ляховым введен и изучен новый класс гиперсингулярных интегралов, названный им В-гинерсингулярными интегралами. Им рассмотрены основные приложения этих конструкций к описанию весового класса функций дробной B-гладкости, представляющих собой обобщения функциональных классов И.А. Киприянова, и к построению формул обращений интегральных уравнений с В-потенциальным ядром.

Совместные исследования JI.H. Ляхова и И.А. Киприянова привели к получению преобразования Киприяпова-Радона (название предложено JI.H. Ляховым) и формулы связывающей все три классические интегральные преобразования — Фурье, Фурье-Бесселя и Радона. Позднее были получены Л.Н. Ляховым [42] формулы обращения преобразования Киприянова-Радона.

Эти результаты применены Л.Н. Ляховым и его учениками к решению сингулярных дифференциальных уравнений с оператором Бесселя. Например, в работе его ученицы Ii.В. Роговой [66] вариационным методом, используя теоремы вложения, решены задачи Дирихле и Неймана для сингулярного В-эллигггического уравнения, основная краевая задача для 13-полигармонического уравнения

Д> = 0.

Ряд результатов для уравнений с оператором Бесселя были получены А.Б. Муравпик [47]. Он изучал краевые задачи для сингулярных квазилинейных эллиптических уравнений, в которых по одной из переменных действует оператор Бесселя. А.Б. Муравпик доказал, в терминах весовых средних граничной функции, необходимое и достаточное условие стабилизации решения, т. е. существование конечного предела решения при стремлении аргумента к бесконечности по направлению, ортогональному граничной гиперплоскости.

Среди методов решения краевых задач для сингулярных дифференциальных уравнений с оператором Бесселя особое место занимает метод потенциалов, поскольку с помощью правильно подобранных потенциалов сингулярная задача может быть сведена к регулярной системе интегральных уравнений, к тому же интегральные уравнения — это весьма удобный аппарат для доказательства теорем существования. Мы знаем, доказательство существования решения часто является трудной задачей, и в ряде проблем существование решения до сих пор остается не доказанным. Известно, что очень долго (до создания общей теории интегральных уравнений) существование функции Грина, играющей, как известно, большую роль при исследовании задач математической физики, в общем случае выводилось из физической гипотезы о потенциале точечного источника и индуцируемых этим источником на границе зарядов.

Метод потенциалов применялся разными авторами к решению краевых задач как для эллиптических уравнений второго и высших порядков, систем эллиптических уравнений, так и для полигармонических, m-метагармонических уравнений, когда по переменным не действует оператор Бесселя. Обзор таких работ имеется в литературе [38], [39], [40], [55]-[59], [77], |81].

Что касается метода потенциалов в теории B-эллиптических, В-по.лигармоннческих уравнений, то можно назвать работы Ф.Г. Мухлисова, Ii.Р. Раджабова, АЛО. Сазонова и их учеников (см. [14], [15], [49]—[52], [62]—[65], [76], [68]-[70]).

Н.Р. Раджабов исследовал краевые задачи для уравнения (0.1) при условиях, когда нехарактеристическая часть границы есть поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр — 0 прямой угол. А.Ю. Сазонов распространил эти результаты на общие линейные В- эллиптические уравнения с переменными коэффициентами при тех же ограничениях па пеха-рактеристическую часть границы области.

Ф.Г. Мухлисовым методом потенциалов решена задача типа Рикье для уравнения

А"в1и = 0,

краевые условия которой задаются в виде

Ав

и

= Д. А- = 0, m — 1

г

или же в виде

дА% и

= fk, к = 0,т — 1.

г

дп

В дальнейшем ученики Ф.Г. Мухлисова М.Ю. Денисова, А.Ш. Хисматуллин и Э.В. Чеботарева развили идеи Ф.Г. Мухлисова. М.Ю. Денисова применила метод потенциалов при решении основных краевых задач для уравнений

А2ви = О, А\и = О,

с краевыми условиями

, ди и = /о, г оп

= /ь Ави

г

/2.

А.Ш. Хисматуллин распространил результаты, полученные для вырождающихся эллиптических уравнений, на вырождающиеся В-эллиптические уравнения с двумя независимыми переменными первого и второго рода.

д2и

утВхи+ — = 0, т>0, у^О,

,д2и

ду2

Вху + ут—2 =0, т> 0, у ^ 0,

д ( „ ди\

Вхи + — [уа— ) =0, 0 < а < 1, у > 0.

Э.В. Чеботарева обобщила результаты полученные А.Ш. Хисматуллиным на многомерные вырождающиеся Б-эллиптические уравнения.

Краевые задачи как для эллиптических, так и для В-эллиптических уравнений могут ставиться также в неограниченных областях. Однако в этом случае для обеспечения единственности решения, кроме условий на границе области, необходимо задавать условия на бесконечности. Впервые такие условия для уравнения Гельмгольца были найдены Зоммерфельдом [83] В работе И.Н. Векуа [7] этот результат был распространен на ?п-метагармоиические уравнения, а в статьях В.В. Грушина [13], Ф.Г. Мухлисова [48] па гипоэллиптические. В-гипоэллшггические уравнения более общего вида, а в данной диссертационной работе — на В-метагармоничсское уравнение и В-эллиптические системы.

Отметим, что несмотря на исследование дифференциальных уравнений в частных производных с оператором Бесселя разными учеными и школами, вопросы существования и единственности решения основных краевых задач для В-эллиптических систем и В-метагармонических уравнений оставались не изученными.

Изучение краевых задач для сингулярного В-метагармонического уравнения и для В-эллиптических систем является актуальным в связи с тем, что эти краевые задачи могут найти применение при решении многих важных задач прикладного характера, в их числе задачи дифракции акустических волн, задачи гидроаэродинамики вязкой жидкости и неиде-альиого газа, задачи фильтрации в пористой среде, задачи теории упругости и др. Кроме

того, они представляют и самостоятельный математический интерес, так как методы решения этих уравнений и возможности применения этих методов к другим типам неклассических сингулярных уравнений с оператором Бесселя открывают дополнительные возможности для теории сингулярных дифференциальных уравнений. Таким образом, прогресс в аналитическом исследовании подобных задач важен как с теоретической, так и с практической точек зрения.

Целью настоящей работы является решение основных краевых задач методом потенциалов В-метагармопического уравнения m-го порядка методом сведения этого уравнения к многомерной В-элпиитической системе, последующее построение и применение потенциалов к исследованию внутренних и внешних краевых задач для многомерных В-эллиптических систем второго порядка и доказательство существования единственного решения краевых задач.

При исследовании поставленных задач используются методы классической теории потенциала, теории функции действительной переменной, дифференциальных и интегральных уравнений.

В диссертации получены следующие новые результаты, которые выносятся на защиту

• Методом потенциалов решены основные краевые задачи для В-метагармонического уравнения -пг-го порядка.

• Построены фундаментальные матрицы решений многомерных В-эллиптических систем уравнений, доказана единственность решения основных краевых задач для многомерных В-эллиптических систем уравнений и изучены основные свойства этих решений, в частности, поведение их на бесконечности.

• Построены потенциалы, изучены их свойства. Исследована разрешимость основных краевых задач для многомерных В-эллиптических систем уравнений методом потенциалов.

Данная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории неклассических уравнений с сингулярным оператором Бесселя, краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений и осесиммет-рических задач теории потенциала, применяемых при решении задач прикладного характера [1], [2], [4], [16], [30], [36], [46], [60], [75], [82]. Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе, спецкурсах и монографиях, в научных исследованиях, проводимых в Воронежской государственной технологической академии (научная школа Л.Н. Ляхова), Тамбовском государственном университете им. Г.Р. Державина (научная школа А.Ю. Сазонова), Черновицком национальном университете Украины (научная школа В.В. Городецкого). Институте математики и механики Национальной Академии наук Азербайджана (научная школа B.C. Гулпева).

Остановимся более подробно на содержании диссертации. Диссертация сосюит из введения, трех глав, разбитых на 13 параграфов, заключения и списка литературы, содержащего 85 наименований. Работа набрана в системе ЮТцХ и изложена на 135 страницах.

Во введении обосновывается актуальность темы, исследованной в диссертации, формулируется цель исследования, приводится краткий обзор работ по теме диссертации и вопросам, примыкающим к ней, а также приводятся основные результаты исследования.

Первая глава, состоящая из шести параграфов, посвящена краевым задачам для В- мета-гармонического уравнения т-го порядка

Рт{Ав)и = О,

(Ргг

где Рт(Ад) — полином т-й степени от Ав, к > 0, когда корни А^, ] = 1, т характеристического уравнения Рт(—А) = 0 различные вещественные положительные.

Пусть Е+ — полупространство хр > 0 р-мерного евклидова пространства точек х = (г'. хр), х' — (х\.х2, ■ ■ ■ ,хр^ 1), Б — конечная область в Е+, ограниченная частью Г0 плоскости хр — О и поверхностью Г, £>е = Е+ \ О.

В первом параграфе уравнение (Рт) сводится к В-эллиптической системе уравнений

= А вй + Ш = О,

Ш

где

{\г -1 О О А2 -1

п =

ООО у О О О

О

о

о\ о

\тг-1 -1

о А™

v, =

/Ч\

и2 \UrnJ

Во втором параграфе строится фундаментальная матрица решений Е(х,Хо) В- эллипти-

ческой системы (А^с) при \3 > 0, = 1,7/1. Исследуется ее поведение на бесконечности и при х —> .то. В третьем параграфе с помощью фундаментальной матрицы решений вводятся в рассмотрение потенциалы простого и двойного слоя

\/(х)

г^.х) 1-1(0^ ПР.

и изучаются их свойства, в частности, доказываются теоремы о предельном значении потенциала двойного слоя и нормальной производной потенциала простого слоя на границе области.

~ / 1 1 1

Далее через Е будем обозначать матрицу порядка т: Е = 0 1 1

\ о о 1

Теорема 1.1. Пусть Г — поверхность Ляпунова и в точках пересечения поверхности Р с Ро углы между касательными плоскостями с плоскостью Го, таковы, что в1 — ж,

7Г

7 = 1,р — 2, 0Р-1 — — и — непрерывная функция. Тогда имеют место следующие пре-

2

дельные соотношения

И/ (х0) = -Еи0 + \<У(х0). 1-

И/е(.т0) = --Е1/0 + И/(.т0):

где точка ха Е Г — фиксированная точка, \¥г(хо) и И^Жо) означают предельные значения для потенциала двойного слоя, когда точка х стремится к точке ж о £ Г соответственно изнутри и извне границы Г, а IV(жо) ~~ прямое значение потенциала двойного слоя в точке Жо Е Г, уо = ^(хо) — вектор-столбец.

Теорема 1.2. Пусть Г — поверхность Ляпунова и в точках пересечения поверхности Г с Г0 углы между касательными плоскостями с плоскостью Г0, таковы, что 91 = тт.

__7Г

3 = 1 ,р — 2, 0Р-1 = — и — непрерывная функция. Тогда потенциал, простого слоя непрерывен в Е+.

теорема 1.3. Пусть Г — поверхность Ляпунова и в точках пересечения поверхности Г с /о углы между касательными плоскостями с плоскостью Г0, таковы, что 03 = -к,

__7Г

3 = 1 ,р — 2, вр_\ — — и ь>(£) — непрерывная функция. Тогда имеют, место следующие предельные соотношения

дУ(х0) дпхи

дУ(х о) дпХп

, дУ(х0)

= --Еро + —-,

2 дпх„

_i g dv{x0) ~~ 2 ~dnZ~

, дУЫ „ , „

где —г- — прямое значение нормальной произвоонои потенциала, простого слоя, а

дпХп

pi/(.T0)l ГсЖ(.г-0)1

Оп,0 г дп,и

означают предельные значения для нормальной производной потенциала простого слоя, когда точка х стремится к точке х0 G Г соответственно изнутри, и извне грагшцы Г, ро — р(хо) — вектор-столбец. Индекс у нормали означает, что она, проведена в точке xq.

В четвертом параграфе изучаются краевые задачи для уравнения (Рт) в конечной и бесконечной областях.

Это следующие задачи:

Первая внутренняя краевая задача. Найти функцию и(х), являющуюся решением уравнения (Р,„) в области D, когда корни характеристического уравнения Рт( — Х) = 0 различные положительные, и удовлетворяющую условиям

и(х) £C2m{D)nC2r"-2(D),

и

= Ч>\(О. Лви = ¥>2(0, ■ ■ • , А

771—1

U

= ¥>т(0,

(0.2)

^(ОеС(Г), J =

Первая внешняя краевая задача. Найти функцию и(х), являющуюся решением уравнения (Рт) в области De и удовлетворяющую условиям

и(х) eC2m(Dc) П С2т~2(Щ,

и

= Ьви =<р2(0, ... , Д'

771—1

U

= <Рш(0,

Ч>А0 С С(Г), J = 1,777,,

причем при Я. —> оо

и\2 хр dSn — 0(1),

5+

Е

i=i

дь',L_ дг

iy/Xt

и

xt dSn = о(1),

(0.3)

где и = и1, At — корни характеристического уравнения Рт( — А) = О, X, — различные поло-

¿=i _

жительные, /, = 1 ,т.

Вторая внутренняя краевая задача. Найти функцию и(х), являющуюся решением уравнения (Рт) в области Б, когда корни характеристического уравнения Р,п{—\) = 0 различные положительные, и удовлетворяющую условиям

ди дп

и(х) еСЪп{Б)Г\СЪп~1{Б),

дА ви

дп

= М0, ■■■

дА^~1и

дп

(0.4)

Ш)^С(Г), .7 = 1, т.

Вторая внешняя краевая задача. Найти функцию и(х), являющуюся решением уравнения (Рт) в области Пе и удовлетворяющую условиям

ди дп

причем при И. —» оо

ад

В и

дп

дА

т — 1 В 1

дп

= 'Фп,( О.

^(0 еС(Р), 7 = 1 ,т,

/ М2.гр^5я = 0(1), / £

н- + 1=1

6'я 5 я

<Эг

-

и

(0.5)

= о(1),

где и — и', Л1 — корни характеристического уравнения Рт(—А) = О, А{ — различные поло-

¿=1 _

жительные, 4 = 1,т.

Эти задачи сводятся к краевым задачам для системы (Агв)- Доказывается единственность решения краевых задач. В пятом параграфе задачи Дирихле и Неймана для В-эллиптической системы (АТв), а вместе с тем и краевые задачи для В-метагармонического уравнения т-го порядка (Р,п) сводятся к системам интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Доказывается однозначная разрешимость этих систем. В шестом параграфе строятся решения систем интегральных уравнений соответствующих внутренним и внешним краевым задачам Дирихле и Неймана для В-эллиптической системы уравнений. С помощью этих решений дается явное представление решения краевых задач для уравнения (Рт).

Во второй главе исследуются краевые задачи для В-метагармонического уравнения т-го

порядка (Рт), когда корни А,, ? = 1,т характеристического уравнения Рт(—А) = 0 различные вещественные отрицательные.

В первом параграфе строится и исследуется фундаментальная матрица решений П(.г-,.г0)

В-эллиптической системы уравнений (А^в), при А_, < 0, ] = 1 ,т. Во втором параграфе с помощью фундаментальной матрицы решений П(х,хо) вводятся в рассмотрение потенциалы простого и двойного слоя

= | п({, х) /40(1; лг.

Изучаются свойства этих потенциалов и, в частности, доказываются теоремы о предельном значении потенциала двойного слоя и нормальной производной потенциала простого слоя на границе области.

Теорема 2.1. Пусть Г — поверхность Ляпунова и в точках :пересечения поверхности, Г с Го углы между касательными плоскостями с плоскостью Го, таковы, что 01 — п,

__7Г

Э = 1,р —2, 1 = — и 1/(0 — непрерывная функция. Тогда имеют место следующие предельные соотношения

1

]¥1(хо) = -Ещ + \¥(хо)) 1:

\¥е(хо) = — ~Еи0 + И/(.г0),

где точка Хо £ Г — фиксированная точка, \¥г(хо) и \¥е(хо) означают предельные знамения для потенциала двойного слоя, когда точка х стремится к точке хо € Г соответственно

изнутри и извне границы Г, а, Ж (.го) — прямое значение потенциала, двойного слоя, в то-чке х0 € Г, 1/0 — 1у(хо) — вектор-столбец.

теорема 2.2. Пусть Г — поверхность Ляпунова и, в точках пересечения поверхности Г с Го углы м,ежду касательными плоскостями, с плоскостью Го, таковы, что - тт,

7Г 2

] = 1,р — 2, = — и 1/(0 — непрерывная функция. Тогда потенциал простого слоя непре-

рывен в Ер .

теорема 2.3. Пусть Г — поверхность Ляпунова и в точках пересечения поверхности, Г с Го углы между касательными плоскостями с плоскостью Го, таковы, что = тг,

7Г

'] = 1 .р — 2, = — и г/(0 — непрерывная функция. Тогда имеют место следующие предельные соотношения _

~дУ(хо)

дпхп

дУ(х о) дпХ11

_ 1- дУ(хр)

= 7\ № ^--о-

г 2 дпх„

е

- , дУ(хр)

= -Ь/./о + -тт-

2 дпХп

дУЫ „ .

где —- — прямое значение нормальной произвоонои потенциала простого слоя, а

оп,,и

дУ( т0)1 \дУ(х0)] , , ..

означают предельные значения оля нормальной произвоонои, потен-

дпхо

и

дпХ0

циала простого слоя, когда точка х стремится к точке хо £ Г соответственно изнутри и извне границы Г, /л0 = Р-(хо) ~ вектор-столбец. Индекс у нормали означает, что она проведена в точке Хо-

В третьем параграфе изучаются следующие краевые задачи для уравнения (Рт):

Первая внутренняя краевая задача. Найти функцию и(х), являющуюся решением уравнения (Рт) в области Б, когда корни характеристического уравнения Рт(—А) = 0 различные отрицательные, и удовлетворяющую условиям (0.2).

Первая внешняя краевая задача. Найти функцию и(х), являющуюся решением уравнения (Рт) в области Д;, когда корни характеристического уравнения Рт(—А) = 0 различные отрицательные, и удовлетворяющую условиям (0.3), причем на бесконечности

и{х) = 0(е~я).

Вторая внутренняя краевая задача. Найти функцию и(х), являющуюся решением уравнения (Рт) в области D, когда корпи характеристического уравнения Рт( — Х) = 0 различные отрицательные, и удовлетворяющую условиям (0.4).

Вторая внешняя краевая задача. Найти, функцию и(х), являющуюся решением уравнения (Р7п) в области De, когда корни характеристического уравнения Рт(—Х) = 0 различные отрицательные, и удовлетворяющую условиям (0.5), причем па бесконечности

и (ж) = 0(е~п).

Эти задачи сводятся к краевым задачам для системы (NB). Доказывается единственность решения краевых задач. В четвертом параграфе задачи Дирихле и Неймана для В-эллиптической системы (NB), а вместе с тем и краевые задачи для В-метагармонического уравнения m-го порядка (Рт) сводятся к системам интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Доказывается однозначная разрешимость этих систем, а тем самым существование решения краевых задач. В пятом параграфе дается явное представление решения краевых задач для уравнения (Ргп)-

В третьей главе диссертационной работы исследуются краевые задачи для В- эллиптических систем уравнений более общего вида. Она состоит из дв)х параграфов, каждый из которых разбит па четыре пункта.

В первом параграфе этой главы рассматривается В-эллиптическая система уравнений

Ьв[и] = Ави +Аи = 0, (0 G)

где и, = I • — искомая вектор-функция, к > 0, когда А = (asi) — вещественная симметрическая положительно определенная матрица порядка т.

В первом пункте §1 строится фундаментальная матрица решений системы (0.6) и изучаются ее свойства. Во втором пункте с помощью фундаментальной матрицы решений вводятся в рассмотрение потенциалы простого и двойного слоя для системы (0.6) и изучаются пх свойства, в частности, исследуются предельные значения этих потенциалов на границе области.

В третьем пункте даются постановки основных краевых задач для системы (0 6) и доказывается единственность их решения. Рассмотрены следующие краевые задачи:

Внутренняя краевая задача Дирихле. Найти вектор-функцию и(х), являющуюся решением системы (0.6) в области D и удовлетворяющую следующим условиям:

и(х) е C\D) П C(D) nCl(DU Г0),

(0.7)

= /(0, №еС{Г),

г

и

JAO \

где ДО

\ /,»(€) }

Внешняя краевая задача Дирихле. Найти вектор-функцию у(х), являющуюся решением системы (0.6) в области De, удовлетворяющую следующим условиям:

и{х) е С2(Ое) П С(Ое) Г) С] {Оеи Го).

(0.8)

и =/(0. ЛОеС(Г), 12

при Н. —> со

/ |и,|2 Хр ¿вв = 0(1), [

. г- 4

- IV^ и,

= о(1),

где (¿4 = ^ ~ 1-'//¿) — собственные значения матрицы Л, 6 = 1.//).

(=1

Внутренняя краевая задача Неймана. Найти вектор-функцию и(х), являющуюся решением системы (0.6) в области О и удовлетворяющую следующим условиям:

п(х) £ С2(Д)ПС1(Л),

дп

= 9(0, 9(0£С(Г),

(0.9)

где </(£) =

91(0

Внешняя краевая задача Неймана. Найти вектор-функцию и(х), являющуюся решением системы (0.6) в области Д= и удовлетворяющую следующим условиям:

и(х) ес2(пе) ПС1 (Пе),

ди(0

при Я —> со

дп

= 9(0, 9(И)еС(Г),

(0.10)

гЦ2хкр сг5я = 0(1),

Е

¿=1

= о(1),

где и3 = ^ ?4, Л£ (Ь = 1,г?г) — собственные значения матрицы А, .5 — 1 .т. 1=1

В четвертом пункте краевые задачи сводятся к системам интегральных уравнений Фред-гольма второго рода и доказывается их однозначная разрешимость.

Во втором параграфе исследуется В-эллиитическая система уравнений

Рв[и] = Д ви + Си = 0.

(0.11)

и 1

и2

где и = I . 1 — искомая вектор-функция, к > 0, когда С = (с31) — вещественная симметри-

\ v т /

ческая отрицательно определенная матрица порядка т.

В первом пункте §2 строится фундаментальная матрица решений системы (0.11) и исследи ются ее свойства. Во втором пункте §2 с помощью фундаментальной матрицы построенной в первом пункте этого параграфа вводятся потенциалы простого и двойного слоев для системы (0.11). Изучаются свойства этих потенциалов и, в частности, исследуется их поведение на границе области.

В третьем пункте даются постановки основных краевых задач:

Внутренняя краевая задача Дирихле. Найти в области О решение системы (0.11), удовлетворяющее условиям (0.7).

Внешняя краевая задача Дирихле. Найти в области Ое решение системы (0.11), удовлетворяющее условиям (0.8), причем на бесконечности

и(х) = О (е"й) .

Внутренняя краевая задача Неймана. Найти в области В решение системы (0.11), удовлетворяющее условиям (0.9).

Внешняя краевая задача Неймана. Найти в области Ое решение системы (0.11), удовлетворяющее условиям (0.10), причем на бесконечности

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ибрагимова, Наиля Анасовна, 2015 год

Литература

[1] Абрамян Б. Л. Осесимметричные задачи теории упругости/ Б. Л. Абрамян. А. Я. Александрова// Труды 2-го Всес. съезда по теор. и прикладной механ. - М : 1966. - Вып.З -С.7-37.

[2] Абрамян Б. Л. Некоторые осесимметричные контактные задачи для полупространства и упругого слоя с вертикальным цилиндрическим отверстием/ Б. Л. Абрамян. Н. X. Ар-утюпян// Изв. АН АрмССР. Механика. - 1969,- Т.22. - №3. - С.3-10.

[3] Апатенок Р. Ф. Элементы линейной алгебры/ Р. Ф. Апатенок - Минск: Высш. школа, 1977. - 256с.

[4] Балоян А. А. Осесимметричная задача полного бесконечного цилиндра с периодически насаженными на пего дисками/ А. А. Балоян, А. П. Мелкопяп// Изв. АН АрмССР. Механика. - 1968.- Т.21. - №3. - С.12-20.

[5| Бсллман Р. Введение в теорию матриц/ Р. Бсллман - М.: Наука, 1976. - 367с.

[6] Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций/ Р. Н. Ватсон - М.: Ии. литература, 1949. -Ч.1.- 798с.

[7] Вскуа И. Н. О метагармонических функциях/ И. Н. Векуа// Трл'ды Тбилисского матем. ип-та. - 1943,- Т.12,- С.105-174.

[8| Вскуа И. Н. Об одном обобщении интеграла Пуассона для полуплоскости/ И. Н. Векуа// Докл. АН СССР. - 1947,- Т.56,- №3 - С.229-231.

[9] Владимиров В. С. Уравнения математической физики/ В. С. Владимиров - М.: Наука, 1976. - 528с.

[10] Волкодавов В. Ф. Решение задачи Дирихле для одного эллиптического уравнения/ В. Ф. Волкодавов// Волж. матем. сб. - Куйбышев: Пед. ин-т.- 1971.- Вып.З - С.51-57.

|11] Волкодавов В. Ф. Об одной краевой задаче для уравнения Эйлера-Дарбу с положительными параметрами/ В. Ф. Волкодавов, О. А. Репин// Дифференц. уравнения - 1982.-Т.18 - №7 - С. 1275-1277.

[Г2| Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений/ И. С. Градштейн, И. М. Рыжик - М.: Гос. изд-во физ.-.матем. литературы, 1963. - 1100с.

[13] Грушин В. В. Об условиях типа Зоммерфельда для некоторого класса дифференциальных уравнений в частных производных/ В. В. Грушин// Матем. сб. - 1963.- Т.61 - №2 - С.147-174.

[14] Денисова М. 10. Решение основной краевой задачи для В-бигармоиического уравнения методом потенциалов./ М. 10. Денисова// Известия вузов. Математика. - 2001.- №8(471)

- С.79-81.

[15] Денисова М. 10. Потенциалы для уравнения Алви = 0/ М. 10. Денисова// Труды мате-матич. центра им. Н.И. Лобачевского (материалы научной конференции) - Казань: Изд. «УНИПРЕСС» - 2001,- Т.П.- С.79-81.

[16] Дмитриев М. Н. Двухфазная фильтрация в трапсверс&льно-изотропной пористой среде: эксперимент и теория/ М. Н. Дмитриев, Н. М. Дмитриев, В. В. Кадет, М. Н. Кравченко, С. Г. Гассохин// Механика жидкости и газа (МЖГ) - 2004 - №4 - С.92-97.

[17] Евсии В. И. О разрешимости задачи Хольмгреиа для одного эллиптического вырождающегося уравнения/ В. И. Евсии// Дифференц. уравнения - 1975.- Т.П.- №1 - С.38-46.

[18[ Ибрагимова Н. А. О фундаментальной матрице решений одной В-эллиптической системы уравнений/ П. А. Ибрагимова// Материалы Второй Всероссийской научно-практической конференции посвященной памяти доктора физ.-мат. паук, профессора В.Ф. Волкодавова.

- Самара: Изд. ПГСГА - 2009,- С.21-26.

[19] Ибрагимова Н. А. Интегральное представление решения системы уравнении В- эллиптического типа/ Н. А. Ибрагимова// Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского (материалы 9-й молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтеиия-2010»).

- Казань: Изд. Казанского математического общества - 2010.- Т.40.- С. 143-148.

|20] Ибрагимова П. А. Об интегральном представлении решения В-эллиптической системы уравнений/ Н. А. Ибрагимова// Труды XVIII Международной конференции «Математика. Экономика. Образование». - Ростов-на-Дону: Изд. ЮФУ - 2010.- С.13-17.

[21] Ибрагимова Н. А. Фундаментальная матрица решений с особенностью в произвольной точке В-эллиптической системы уравнений/ Н. А. Ибрагимова// Материалы Всероссийской заочной интернет-конференции, посвященной 100-летию Поволжской государственной социально-гуманитарной академии, «Естественно-научное образование. Прошлое, па-стоящее, будущее». - Самара: Изд. ПГСГА - 2011,- С.33-44.

[22] Ибрагимова П. А. Решение основных краевых задач для В-эллиптической системы уравнений методом потенциалов/ П. А. Ибрагимова//' Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского (материалы 10-й Международной Казанской летней научной школы-конференции) - Казань: Изд Казанского математического общества - 2011.- Т.43.- С.153-

[23] Ибрагимова Н. А. Исследование краевых задач для одной В- эллиптической системы уравнений методом потенциалов/ Н. А. Ибрагимова, Ф. Г. Мухлисов/7 Известия Тульского государственного университета. Естественные пауки. - Тула: Изд. ТулГУ- 2011.-Вып.З - С.31-41.

[24] Ибрагимова Н. А. Фундаментальная матрица решений В-эллиптической системы уравнений с отрицательно определенной матрицей/ Н. А. Ибрагимова// Тезисы докладов XX Международной конференции «Математика. Экономика. Образование». - Ростов-па-Допу. Изд. СКНЦ ВШ ЮФУ - 2012,- С.56.

[25] Ибрагимова И. А Решение первой краевой задачи для В-полпгармоппческого уравнения методом потенциалов/ И. А. Ибрагимова// Материалы Второго Международного Российско-Узбекского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». - Нальчик: Изд. КБНЦ РАН. - 2012 - С.116-118.

[26] Ибрагимова Н. А. Решение второй краевой задачи для В-полигармонического уравнения методом потенциалов/ Н. А. Ибрагимова// Тезисы докладов Международной конференции, посвященной 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева «Обратные и некорректные задачи математической физики». - Новосибирск: Сибирское научное изд. - 2012,- С.372-373.

[27] Ибрагимова Н. А. Решение краевых задач для В-полигармонического уравнения методом потенциалов/ Н. А. Ибрагимова/'/ Известия Тульского государственного университета Естественные пауки. - Тула: Изд. ТулГУ - 2012,- Вып.2 - С.51-63.

[28] Ибрагимова Н. А. Краевые задачи для В-эллиптической системы уравнений с отрицательно определенной симметрической матрицей/ Н. А. Ибрагимова, Ф. Г. Мухлисов// Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского (материалы Международной научной конференции «Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций — 2014», посвященной 80-летию В.И. Жегалова) - Казань: Изд. Казанского математического общества - 2014.- Т.49.- С.172-175.

[29] Катрахов В. В. Общие краевые задачи для одного класса сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений/ В. В. Катрахов// Матем. сб. - 1980.- Т.113 - .№3 - С.354-379.

[30] Кизыма Я. М. Осесимметричные контактные задачи теории упругости и термоупругости: автореф. дис. ... д-ра. физ.-мат. наук: 01.01.02/ Я. М. Кизыма - Львов, 1973. - 27с.

[31] Кпприянов И. А. Преобразование Фурье-Бесселя и теорема вложения для весовых классов/ И. А. Киприянов// Тр. матем. ин-та АН СССР. - 1967,- Т 89,- С.130-213

[32] Киприянов И. А. Сингулярные эллиптические краевые задачи/ И. А. Киприянов - М.: Наука, 1997. - 208с.

[33] Киприянов И. А. Об одном классе одномерных сингулярных псевдодиффсренциальных операторов/ И. А. Киприянов, В. В. Катрахов// Матем. сб. - 1977 - Т.104,- №1 - С 49-68.

[34] Киприяиов И. А. Фундаментальные решения В-эллиптических уравнений/ И. А. Куприянов, В. И. Кононенко// Дифференц. уравнения. - 1967.- Т.З.- №1 - С.114-129.

[35] Киприяиов И. А. О фундаментальных решениях некоторых сингулярных уравнений в частных производных/ И. А. Киприяиов, В. И. Кононенко// Дифференц. уравнения. -1969,- Т.5 - №8 - С.1470-1483.

[36] Кочина П. Я. Избранные труды. Гидродинамика и теория фильтрации/ П Я. Кочппа -М.: Наука, 1991. - 353с.

[37] Крехивский В. В. Фундаментальные решения и задача Коши для линейных параболических систем с оператором Бесселя/ В. В. Крехивский, М И. Матийчук// Докл АН СССР. - 1968,- Т. 181,- № - С. 1320-1323.

[38] Лободзинская И. Г. О краевых задачах для уравнения Атпи = 0/ И. Г. Лободзипская// Дифференц. уравнения - 1967,- Т.З - №8 - С. 1355-1363.

[39] Лободзинская И. Г. Краевые задачи для метагармонических уравнений высших порядков/ И. Г. Лободзинская// Дифференц. уравнения - 1968,- Т.4 - №11 - С.2103-2110.

[40] Лопатинский Я. Б. Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям/ Я. Б. Лопатинский// Укр. матем. журнал. - 1953 - Т.5.- №2 - С.123-151

[41] Ляхов Л Н О свертывателях и мультипликаторах классов функций, связанных с преобразованием Фурьс-Бссселя/ Л. Н. Ляхов// Докл. АН. - 1998 - Т.360 - .А'П - С 16-19.

[42] Ляхов Л. Н. Преобразование Киприянова-Радона/ Л. Н. Ляхов// Тр МИАН. - 2005.-Т.248 - С.153-163.

[43] Ляхов Л. Н. Общие В-гиперсингулярные интегралы с однородной характеристикой/ Л. Н. Ляхов, Э. Л. Шишкина// Докл. АН. - 2007,- Т.412 - Ш - С.306-400.

[44] Маричев О И. Сингулярные краевые задачи для обобщенного двуосесиммстрического уравнения Гельмгольца/ О. И. Маричев// Докл. АН СССР. - 1976,- Т.230.- №3 - С 523526.

[45] Маричев О. И. Весовые задачи Неймана и Дирихле в полуплоскости для обобщенного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу/ О. И. Маричев// Изв. АН БССР. Сер физ.-матем. наук - 1976,- №4 - С.128-131.

|46| Мелконян А. П. Осеснмметричная задача полого бесконечного цилиндра с двумя насаженными дисками/ А. П. Мелконян// Изв. АН АрмССР. Механика. - 1972.- Т.25. - №5. - С.3-13.

[47] Муравник А. Б. О стабилизации решений сингулярных эллиптических уравнений/ А. Б. Муравник// Фундаментальная и прикладная математика. Центр новых информационых технологий МГУ. - 2006.- Т.12. - ЛЧ. - С.169-186.

[48] Мухлисов Ф. Г. О существовании и единственности решения некоторых уравнений в частных производных с дифференциальным оператором Бесселя/ Ф. Г. Мухлисов/'/' Изв. вузов Матем. - 1984,- №11. - С.63-66.

[49] Мухлисов Ф. Г. Теория В-гармонических функций/ Ф. Г. Мухлисов - Германия: Lambert Academic Publishing, 2012. - 200с.

[50] Мухлисов Ф. Г. Интегральное представление решения одного вырождающегося В- эллиптического уравнения с отрицательным параметром/ Ф. Г. Мухлисов, Л. Ф. Галяугдино-ва// Известия Тульского государственного университета. Естественные пауки. - Тула: Изд. ТулГУ- 2011.- Вып.1 - С.6-24.

[51( Мухлисов Ф. Г. Исследование краевых задач для одного вырождающегося В- эллиптического уравнения методом потенциалов/ Ф. Г. Мухлисов, А. Ш. Хисматуллин// Труды 5-й международной конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки». - Части 1,2. - Самара: Изд. СамГТУ, 2004.- С.87-90.

[52] Мухлисов Ф. Г. Решение краевых задач для многомерного вырождающегося В- эллиптического уравнения методом потенциалов/ Ф. Г. Мухлисов, Э. В. Чеботарева// Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Математическая». -Самара: Изд. СамГТУ - 2008,- №2(8) С.89-107.

[53] Назарова М. X. Корректность краевых задач для псевдодифференциальных уравнений, порожденных сингулярным оператором Бесселя: дис. ... канд. физ.-мат. паук: 01.01.02/ Махмуда Хуспуддиновна Назарова - Ташкент, 1998. - 91с.

[54] Олевский М. Н. Решение задачи Дирихле, относящейся к уравнению Au + = 0/ М. Н. Олевский// Докл. АН СССР. - 1949,- Т.64,- №6 - С.767-770.

[55] Панич О. И. О потенциалах для полигармонического уравнения четвертого порядка/ О. И. Панич// Матем. сб. - I960.- Т.50.- №3 - С.335-368.

[56] Панич О. И. Решение основной краевой задачи для полигармонического уравнения четвертого порядка на плоскости методом потенциалов, I—IV/ О. И. Панич// Изв. вузов. Матем. - 1961.- ЖЗ.С.80-90; - ЛМ.С.66-77; - №6.С.89-96; - 1962. - Ж.С.118-119.

[57] Панич О. И. Решение системы уравнений Озейна для установившегося обтекания плоского контура потоком вязкой несжимаемой жидкости методом потенциалов, 1-Ш/ О. И. Панич// Изв. вузов. Матем. - 1962,- .№З.С.96-110; - Л'М.С.118-129; - .№6.С.73-84.

[58] Панич О. И. Эквивалентная регуляризация краевых задач с помощью потенциалов/ О. И. Панич// Докл. АН СССР. - 1969,- Т.184- .№3 - С.554-557.

[59] Панич О. И. О потенциальных представлениях решений краевых задач, приводящих к сопряженным псевдодифференциальным уравнениям на границе области/ О. И. Панич// Краевые задачи для уравнений в частных производных. Киев. - 1979.- С.88-92.

[60] Попов А. А. Сферически симметричные возмущения в пространственно плоской Вселенной/ А. А. Попов, Р. К. Мухарлямов// Учен. зап. Казан, гос. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2006.- Т.148- книга 3. - С.109-115.

[61] Пулькин С. П. Некоторые краевые задачи для уравнения д2и/дх2±д2и/ду2+кди/хдх = 0/ С. П. Пулькин// Уч. зап. Куйб. пед. ин-та. - 1958.- Вып.21,- С.3-55.

[62] Раджабов Н. Р. Построение потенциалов и исследование внутренних и внешних граничных задач типа Дирихле и Неймана для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу на плоскости/ Н. Р. Раджабов// Докл. АН Тадж. ССР. - 1974,- Т. 17,- №8 - С.7-10.

[63] Раджабов Н. Р. Построение потенциалов и исследование внутренних и внешних граничных задач типа Дирихле и Неймана для некоторых сингулярных уравнений эллиптического типа в многомерном случае/ Н. Р. Раджабов// Докл. АН СССР. - 1976 - Т.228.-№4 - С.801-804.

[64] Раджабов Н. Р. Потенциалы и аналоги формулы Пуассона для одного уравнения второго порядка с п сингулярной гиперплоскостью/ Н. Р. Раджабов// Докл. АН СССР. - 1977.-Т.233 - №4 - С.555-558.

|65] Раджабов Н. Р. Исследование внешних граничных задач типа Дирихле и Неймана для основного уравнения осесимметрической теории поля методом потенциала/ Н. Р. Раджабов, А. С. Саттаров// Докл. АН Тадж. ССР. - 1974,- Т.П.- № - С.7-11.

[66] Рогова Н. В. Принцип Дирихле для В-гармонического и В-полигармонического уравнений и для задачи о собственных значениях сингулярного дифференциального оператора: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02/ Наталия Владимировна Рогова - Воронеж, 2004. - 95с.

[67] Рыжов О. С. О влиянии вязкости и теплопроводности па структуру сжимаемых течений/' О. С. Рыжов, Г. М. Шефтер// Прикл. матем. и механ. - 1964,- Т.28 - №6 - С.996-1007.

[68] Сазонов А. 10. О единственности классического решения задачи Дирихле для В-эллиитичсского уравнения с постоянными коэффициентами/ А. 10. Сазонов, Л. Н. Суркова/'/ Вестник Тамбовсого гос. университета. Естеств. и техн. науки. - 2007,- Т.12.- Вып.4 - С.523-524.

[69] Сазонов А. 10. Об одной сингулярной эллиптической краевой задаче в неограниченной области/ А. 10. Сазонов, 10. Г. Фомичева// Вестник Тамбовсого гос. университета. Естеств. и техн. науки. - 2011,- Т.16 - Вып.4 - С.1177-1178.

[70] Сазонов А. 10. О задаче Дирихле в неограниченной области для В-эллиптического оператора с особенностями по нескольким переменным/ А. 10. Сазонов, 10. Г. Фомичева// Вестник Тамбовсого гос. университета. Естеств. и техн. науки. - 2012.- Т. 17.- Вып.1 -С.72-73.

[71] Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения/ М.М. Смирнов - М.: Наука, 1966, -292с.

|72| Тиман А. Ф. Введение в теорию гармонических функций/ А. Ф. Тимап, В. И. Трофимов - М.: Наука, 1968. - 208с.

[73] Тихонов А. Н. Уравнения математической физики/ А. Ii. Тихонов, А. А. Самарский -М.: Наука, 1977. - 742с.

[74] Феоктистова А. А. В-лиувиллевские операции и приближение функций из весовых классов: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.01/ Александра Александровна Феоктистова -Воронеж, 2012. - 130с.

[75] Хепл X. Теория дифракции/ X. Хенл, Ф. Мауэ, К. Вестпфаль - М: Мир, 1964.

[76] Чеботарева Э. В. Исследование краевых задач для сингулярного B-эллиптического уравнения методом потенциалов/ Э. В. Чеботарева// Изв. вузов. Матем. - Казань. - 2010.-.№5 - С.88-90.

[77] Япушаускас А. И. Методы потенциала в теории эллиптических уравнений/ А. И. Япуша-ускас - Вильнюс: Мокслас, 1990. - 264с.

[78] Beltrami Е. Sulla teoria delle funzioni potenziali symmetriche/ E. Beltrami// Rend. Accad. sei. di Bologna. - 1881,- V2.- P.461-505.

[79] Hall H. S. Poissonintegral formulas in generalized bi-axially simmetric potential theory/ H. S. Hall, D. W. Quinn, R. J. Weinacht// SIAM J. Math. Anal. - 1974,- V.5 - N1,- P.lll-118.

[80] Huber A. On the uniqueness of generalized axially symmetric potentials/ A. Huber// Ann. Math.- 1954,- V.60., N2,- P.351-358.

[81| Lanzara F. On BVPS for strongly elliptic systems with higher order boundary conditions/ F. Lanzara// Georq. Math. J. - 2007. - V.14., N1. - P.145-167.

[82] Skubachevskii A. L. Elliptic functional differential equations and applications Birkhäuser/ A. L. Skubachevskii - Basel-Boston-Berlin, 1997.

[83] Sommerfeld A. Die Greensche Funktion der Schwingungsgleichung. Jahresbericht./ A. Sommerfeld// Deutsch. Mathem. Vereinigung. - 1912,- 21,- P.309-353.

[84] Weinstein A. Discontinuous integrals and generalized potential theory/ A. Weinstein// Trans, of the Amer. Math. Soc. - 1948.- V.63., N2,- P.342-354.

[85] Weinstein A. On a class of partial differential equations of even order/ A. Weinstein// Ann. mat. pure ed appl. - 1955 - V.39., Ser.4 - P.245-254.