Решение краевых задач для многомерных вырождающихся B-эллиптических уравнений методом потенциалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Чеботарева, Эльвира Валерьевна

• Чеботарева, Эльвира Валерьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чеботарева, Эльвира Валерьевна

Введение

Глава 1. Краевые задачи для многомерного вырождающегося

-эллиптического уравнения первого рода

§1. Формулы Грина

§2. Фундаментальное решение.

§3. Интегральное представление решения.

§4. Свойства решений уравнения.

§5. Постановка краевых задач Дирихле и Неймана.

Теоремы единственности.

§6. Потенциалы простого и двойного слоев и их свойства.

§7. Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям

§8. Исследование интегральных уравнений.

Глава 2. Краевые задачи для многомерного самосопряженного вырождающегося В—эллиптического уравнения

§1. Фундаментальное решение

§2. Формулы Грина

§3, Интегральное представление решения.

§4. Свойства решений уравнения.

§5. Постановка краевых задач Дирихле и Неймана. Теоремы единственности

§6. Потенциалы простого и двойного слоев.

§7. Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям

§8. Исследование интегральных уравнений.

Глава 3. Краевые задачи для многомерного вырождающегося

Б-эллиптического уравнения второго рода

§1. Фундаментальное решение

§2. Интегральное представление решения.

§3. Свойства решений уравнения.

§4. Постановка краевых задач DE и NE. Теоремы единственности

§5. Потенциалы и их свойства

§6. Существование решений краевых задач.

Глава 4. Краевые задачи для вырождающегося сингулярного В— эллиптического уравнения

§1. Фундаментальные решения.

§2. Интегральные представления решений

§3. Свойства решений уравнения.

§4. Постановка краевых задач. Теоремы единственности

§5. Потенциалы простого и двойного слоев.

§6. Сведение краевых задач к интегральным уравнениям.

§7. Исследование интегральных уравнений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение краевых задач для многомерных вырождающихся B-эллиптических уравнений методом потенциалов»

Вырождающиеся эллиптические уравнения представляют собой важный раздел современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Необходимость изучения таких уравнений обусловлена многочисленными их приложениями в газовой динамике, теории оболочек, теории упругости, механике сплошной среды и др. К числу первых в этой области относится работа М.В. Келдыша [19], где впервые указаны случаи, когда характеристическая часть границы области может освобождаться от граничных условий и заменяться условием ограниченности решения. Позже А.В. Бицадзе в работе [7] указал, что условие ограниченности может быть заменено граничным условием с некоторой весовой функцией.

Теория вырождающихся эллиптических уравнений дальнейшее развитие получила в работах И.А. Кароля [17], К.Б. Сабитова [38, 39], Р.С. Хай-руллина [46], P.M. Асхатова [2], JT.C. Парасюка [35], A.M. Нигмедзяновой [34]. Хисматуллин А.Ш. некоторые результаты этой теории распространил на вырождающиеся 5-эллиптические уравнения с двумя независимыми переменными.

Уравнения эллиптического типа, по одной или нескольким переменным которых действуют операторы Бесселя и их решения ищутся в классе четных по этим переменным функций, И.А. Куприяновым были названы В-эллиптическими [20, 22]. Под вырождающимся В-эллиптическим уравнением следует понимать уравнение, в котором вырождение осуществляется по переменным, свободным от оператора Бесселя. Так, например, при у ^ 0 уравнение вида утВхч + 0 = 0, (0.1) где Вх — J^j + — оператор Бесселя, к > 0, т > 0 — постоянные, есть вырождающееся £?-эллиптическое уравнение первого рода, уравнение вида

Вхи + ут= 0, т > 0 (0.2) есть вырождающееся 5-эллиптическое уравнение второго рода, а уравнение вида д / ди\

Я," + — J = 0, 0 < а < 1 (0.3) представляет собой самосопряженное вырождающееся 5-эллиптическое уравнение.

Хисматуллин А.Ш. в работе [47] исследовал основные краевые задачи для уравнений (0.1)—(0.3). Вопросы о существовании и единственности решения основных краевых задач для многомерных вырождающихся В-эллиптических уравнений до последнего времени оставались открытыми.

Целью данной работы является изучение возможности распространения результатов, полученных для двумерных вырождающихся ^-эллиптических уравнений на многомерные вырождающиеся 5-эллиптические уравнения.

Результаты настоящего исследования могут найти приложение в осе-симметрических задачах теории потенциала, применяемых при решении многих важных вопросов прикладного характера [1, 3, 4, 9, 12, 14, 29].

Перечислим некоторые часто встречающиеся обозначения.

1. х" = (х1,х2,.,Хр-2)] X = (х , Xp—i)',

X == (х , Хр—\) ^Ср) — ) Хр^.

2. — часть хр > 0, жрх > 0 р-мерного евклидова пространства точек.

О, — конечная область в ограниченная гиперповерхностью Г и частями Го и Гх гиперплоскостей хр-\ = 0 и хр = 0 соответственно. Пе = Е++\ (ПиГ). {х G Ер : |ar| < R, жрх > 0, хр > 0}. s++ = {х Е Ер : \х\ = R, Хр-1 > 0, хр > 0}.

3. С7д() — множество функций из класса Ск(), удовлетворяющих условию ди

--= о(1) при Xp-i -»• 0.

ОХр— х

4. Db{) — множество всех финитных в Е++ функций из класса ). Ст7() — множество функций из класса С(), удовлетворяющих условию г \ г\ ( ^("^Нт\ п и(х) = О 1хр* } ПРИ хр ~>

Другие обозначения будут ясны из текста.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на 29 параграфов, и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чеботарева, Эльвира Валерьевна, 2010 год

1. Абрамян В.А. Осесимметрические задачи теориии упругости. / В.А. Абрамян, А. Я. Александрова // Труды 2-го Всес. съезда по теории и прикладной механике. — М., 1966. Вып. 3. — С. 7-37.

2. Асхатов P.M. Решение основных краевых задач для некоторых сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений методом потенциалов. Дисс. канд. физ.-мат. наук / P.M. Асхатов — Казань 2000. — 123 с.

3. Арутюнян Н.Х. Некоторые осесимметрические контактные задачи для полупространства и упругого слоя с вертикальным цилиндрическим отверстием / Н.Х. Арутюнян, B.J1. Абрамян // Известия АН Арм. ССР. Механика. 1969. Т. 22. №3. С. 3-10.

4. Баблоян А.А. Осесимметричная задача полого бесконечного цилиндра с периодически насаженными на него дисками / А.А. Баблоян, А.П. Мел-конян // Известия АН Арм. ССР. Механика. 1968. - Т. 21.№3. С. 12-20.

5. Берс А. Уравнения с частными производными / А. Берс, Ф. Джон, М. Шехтер — М.:Мир, 1966. 351 с.

6. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики / А. В. Бицадзе — М.: Наука, 1976 296 с.

7. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа / А. В. Бицадзе — М.: Наука, 1979. 295 с.

8. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных / А. В. Бицадзе М.: Наука, 1981. — 448 с.

9. Бородачев Н.М. Динамическая контактная задача для толстой плиты в случае осевой симметрии / Бородачев Н.М. // Труды Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. — Ереван, 1964. — С. 125-130.

10. Владимиров В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров М.: Наука, 1981. — 512 с.

11. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик — М.: Физматгиз, 1963. — 1100 с.

12. Грилицкий Д.В. Осесимметрическая контактная задача для трансверсально-изоторопоного слоя, покоящегося на упругом основании / Д.В. Грилицкий, Я.М. Кизыма // Известия АН СССР ОТН. Мех. и машиностр. 1962. №3. - С. 134-140.

13. Грилицкий Д.В. Осесимметричные контактные задачи теории упругости и термоупругости / Д.В. Грилицкий, Я.М. Кизыма. — Львов: Вища школа, 1981. — 136 с.

14. Губенко B.C. Давление осесимметричного кольцевого штампа на упругое полупространство / B.C. Губенко, В.И. Моссаковский // Прикл. математика и механика. 1960. Т. 24. №. - С. 334-343.

15. Катрахов В.В. Общие краевые задачи для одного класса сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений /В.В. Катрахов // Матем. сб. 1980. Т. 112(154) №3(7) - С.354Ц-379

16. Карлесон Л. Избранные проблемы теории исключительных множеств / Л. Карлесон — М.: Мир, 1971. — 125 с.

17. Кароль И.Л. К теории краевых задач для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа / И.Л. Кароль // Матем. сб. — 1956. Т. 38. №3. С. 261-282.

18. Келдыш М.В. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле / М.В. Келдыш // Успехи мат. наук. — 1941, Вып.8. — С. 171-231.

19. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области / М.В. Келдыш // Докл. АН СССР — 1951. Т. 77. Ш. С. 181-183.

20. Киприянов И.А. Об одном классе сингулярных эллиптических операторов / И.А. Киприянов // Дифференциальные уравнения. — 1971. — Т. 7. №11. С. 2066-2077.

21. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи / И.А. Киприянов — М.: Наука, Физматлит, 1997. — 208 с.

22. Киприянов И.А. Фундаментальные решения В-эллиптических уравнений / И.А. Киприянов, В.И. Кононенко // Дифференциальные уравнения. 1967. - Т. 3. №. - С. 114-129.

23. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн — Санкт-Петербург, Москва, Краснодар: "Лань", 2003. 832 с.

24. Кошляков Н.С. Основные дифференциальные уравнения математической физики / Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов — М.: 1962.767 с.

25. Крикунов Ю.М. Лекции по уравнениям математической физики и интегральным уравнениям /Ю.М. Крикунов — Казань: Изд-во Казанского университета, 1970. — 209 с.

26. Курант Р. Уравнения с частными производными / Р. Курант — М.: Мир, 1964. 832 с.

27. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала /Н.С. ЛандкофМ.: Наука, 1966. — 513 с.

28. Левитан Б. М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье / Б. М. Левитан // Успехи матем. наук. — 1951. Т.6. №2. — С. 102-143.

29. Мелконян А.П. Осесимметричная задача полого бесконечнго цилиндра с двумя насаженными дисками / А.П. Мелконян // Известия АН Арм. ССР. Механика. 1972. Т.25. №5. - С. 3-13.

30. Михлин С. Г. Курс математической физики / С.Г. Михлин — М.: Наука, 1968.- 576 с.

31. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных / С.Г. МихлинМ.: Высшая школа, 1977.— 432 с.

32. Мухлисов Ф. Г. Потенциалы, порожденные оператором обобщенного сдвига, и краевые задачи для одного класса сингулярных эллиптических уравнений. Дисс. док. физ.-мат. наук. / Ф. Г.Мухлисов — Казань, 1993. 324 с.

33. Мухлисов Ф. Г. Решение краевых задач для вырождающегося эллиптического уравнения второго рода методом потенциалов. / Ф.Г.Мухлисов,A.M. Нигмедзянова //Известия вузов. Математика. — Казань, 2009. т.- С. 57-70.

34. Нигмедзянова A.M. Решение основных краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений методом потенциалов. Дисс. канд. физ.-мат. наук. / A.M. Нигмедзянова — Казань. 2007. — 152 с.

35. Парасюк JT.C. Краевые задачи для двух эллиптических дифференциальных уравнений 2-го порядка, вырождающихся на границе области. /Л.С. Парасюк // Укр. матем. журнал. 1962. Т. 14. №2. — С. 215-217.

36. Сазонов А.Ю. О свойствах весовых потенциалов для одного класса В-эллиптических операторов / А.Ю. Сазонов, Ю. Г. Фомичева// Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки Ижевск, 2008. №2. - С. 126-128

37. Сабитов К.Б. О постановке краевых задач для уравнения смешанного типа с вырождением второго рода на границе бесконечной области / К.Б. Сабитов // Сиб. мат. журнал. 1980. Т. 21. №4.

38. Сабитов К.Б. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с сильным вырождением / К.Б. Сабитов // Дифференциальные уравнения. — 1984. Т. 20. №1.

39. Смирнов В.И. Курс высшей математики / В.И. Смирнов — М.: Наука, 1974. Т. 3. Ч. 2. - 671 с.

40. Смирнов М. М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка / В.И. Смирнов — М.: Наука, 1964. — 206 с.

41. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / В.И. Смирнов — М.: Наука, 1966. — 292 с.

42. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / Тихонов А.Н.,Самарский А.А. — М.: Наука, 1972. — 735 с.

43. Тиман А.Ф. Введение в теорию гармонических функций / А.Ф. Тиман М.: Наука, 1968. - 207 с.

44. Уэрмер Дж. Теория потенциала / Дж. Уэрмер — М.:Мир, 1980. — 133 с.

45. Хайруллин Р.С. Теория потенциала для модельного уравнения второго рода / Р.С. Хайруллин // Известия вухов. Математика. 1992. №3. — С. 64-73.

46. Хисматуллин А.Ш. Решение краевых задач для некоторых вырождающихся В-эллиптических уравнений методом потенциалов. Дисс. канд. физ.-мат. наук. / А.Ш. Хисматуллин — Казань. 2008. — 107 с.

47. Хисматуллин А.Ш. Решение краевых задач для одного вырождающегося В-эллиптического уравнения 2-го рода методом потенциалов / А.Ш. Хисматуллин // Известия вузов. Математика. — Казань, 2007. №1.— С. 63-75.

48. Чеботарева Э.В. Решение краевых задач для многомерного вырождающегося В-эллиптического уравнения. / Э.В. Чеботарева // Вестник Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета. Казань, 2007. №2-3. - С. 9-14.

49. Чеботарева Э.В. О краевых задачах для вырождающегося В-эллиптического уравнения. / Э.В. Чеботарева // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского (материалы международной научной конференции). — Казань, 2007. Т. 35. С. 265-267.

50. Чеботарева Э.В. Интегральное представление и свойства решений одного сингулярного 5-эллиптического уравнения. / Э.В. Чеботарева // Материалы Второй Всероссийской конференции, посвященной памяти В.Ф. Волкодавова. Самара: ПГСГА, 2009. С. 79-82.

51. Чеботарева Э.В. Исследование краевых задач для сингулярного В-эллиптического уравнения методом потенциалов. / Э.В. Чеботарева // Известия вузов. Математика. — Казань, 2010. №5.— С. 88-90.

52. Чеботарева Э.В. Решение задачи N для одного сингулярного В-эллиптического уравнения методом потенциалов. / Э.В. Чеботарева j j Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. Тула: Издательство ТулГУ, 2010. Вып. 1. - С. 54-63.