Решение краевых задач для некоторых вырождающихся В-эллиптических уравнений методом потенциалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Хисматуллин, Айрат Шамилевич

• Хисматуллин, Айрат Шамилевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хисматуллин, Айрат Шамилевич

Введение

Глава 1. Решение краевых задач для одного вырождающегося ^-эллиптического уравнения первого рода методом потенциалов

§1. Фундаментальное решение.

§2. Интегральное представление решения и вытекающие из него свойства решений

§3. Постановка краевых задач для уравнения (Тв). Теоремы единственности.

§4. Потенциалы и их свойства.

§5. Интегральные уравнения для плотностей.

Глава 2. Решение краевых задач для одного вырождающегося В-эллиптических уравнения 2-го рода методом потенциалов

§1. Фундаментальное решение.

§2. Интегральное представление решения уравнения {Ев)

§3. Свойства решений уравнения (Ев).

§4. Постановка краевых задач ПЕ и ЛТЕ. Теоремы единственности.

§5. Потенциалы и их свойства

§6. Решение задач БЕ и ЫЕ методом потенциалов.

Глава 3. Решение краевых задач для самосопряженного вырождающегося ^-эллиптического уравнения методом потенциалов

§1. Фундаментальное решение.

§2. Интегральное представление и вытекающие из них свойства решений.

§3. Постановка краевых задач Дирихле и Неймана. Теоремы единственности.

§4. Потенциал и его свойства.

§5. Решение задач Дирихле и Неймана методом потенциалов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение краевых задач для некоторых вырождающихся В-эллиптических уравнений методом потенциалов»

Краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений представляют собой один из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными (см. А. В. Бицадзе [6, 7], М. М. Смирнова [37, 38] ).

Вырождающиеся эллиптические уравнения встречаются при решении многих важных вопросов прикладного характера (теории малых изгибаний поверхностей вращения, безмоментной теории оболочек и т. д.). Особо значительную роль играют такие уравнения в газовой динамике. Число опубликованных работ по вырождающимся эллиптическим уравнениям весьма значительно. Подробный обзор работ по этой тематике дан в книге [37]. В этих исследованиях в основном рассматривались вырождающиеся эллиптические уравнения первого рода. Что касается вырождающихся эллиптических уравнений второго рода, то к числу первых в этом направлении относится работа М. В. Келдыша [20], где впервые указаны случаи, когда характеристическая часть границы области может освобождаться от граничных условий и заменены условием ограниченности решения.

Позже А. В. Бицадзе в работе [7] указал, что условие ограниченности может быть заменено граничным условием с некоторой весовой функцией. В данной работе доказывается, что условие ограниченности при у —> 0 может быть заменено условием и{х:у) = о(ут) при у —> 0.

Теория вырождающихся эллиптических уравнений дальнейшее развитие получила в работах И. А. Кароля [18], К. Б. Сабитова [39, 40], Р. С. Хайруллина [42], Р. М. Асхатова [3], Л. С. Парасюка [33], А. М.

Нигмедзяновой [30].

Вопросы же о существовании и единственности решения краевых задач для вырождающихся В - эллиптических уравнений до последнего времени оставались открытыми. Уравнения эллиптического типа, по одной или нескольким переменным которых действуют операторы Бесселя и их решения ищутся в классе четных по этим переменным функций, И. А. Куприяновым были названы В - эллиптическими.

Целью данной работы является изучение возможности распространения результатов, полученных для вырождающихся эллиптических уравнений, на вырождающиеся В - эллиптические уравнения с двумя независимыми переменными первого и второго родов.

Результаты настоящей работы могут найти приложение в теории краевых задач для многомерных вырождающихся дифференциальных уравнений и осесимметрических задачах теории потенциала, применяемых при решении многих важных вопросов прикладного характера [1, 2, 4, 8, 14, 15, 27].

Перечислим некоторые часто встречающиеся обозначения.

1. Е~2 - первый квадрант координатной плоскости Оху, - конечная область в , ограниченная кривой Г+, промежутками Г1 и Го соответственно координатных осей Ох и Оу, = \ 0+ -бесконечная область в Е£, ограниченная кривой Г+ и промежутками Г1е и Гое координатных осей Ох и Оу.

Кх = {(ж, у) е Е£ : х2 + у1 < В,2, х > 0, у > 0}- четверть круга, Сд = {(ж, у) € Е£ : х2 + у2 = Я2, х > 0,у > 0} - четверть окружности.

2. - множество четных по х функций из класса

3. Ст(1)+) -множество функций и(х,у) из С(£)+), удовлетворяющих условию и(х, у) = о(ут) при у —> 0.

4. Ст(Г+) -множество функций /(£, ту) из С(Г+), удовлетворяющих условию /(£, 7?) = о(77т) при Г] —0.

Другие обозначения будут ясны из текста.

Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на 16 параграфов, и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хисматуллин, Айрат Шамилевич, 2008 год

1. Абрамян В. А. Осиметтрические задачи теории упругости /В. А. Абрамян, А. Я. Александрова // Труды 2-го Всес. съезда по теории и прикладной механике. М., 1966. Вып. 3. с. 7-37.

2. Арутюнян Н. X. Некоторые осисимметрические контактные задачи для полупространства и упругого слоя с вертикальным цилиндрическим отверстием / Н. X. Арутюнян, Б. Л. Абрамян // Известия АН Арм. ССР. Механика. 1969. т. 22. N0 3. с. 3-10.

3. Асхатов Р. М. Решение основных краевых задач для некоторых сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений методом потенциалов. Дисс. канд. физ-мат. наук / Р. М. Асхатов — Казань 2000 с. 123

4. Баблоян А. А. Осесимметрическая задача полного бесконечного цилиндра с периодически насаженными на него дисками /А. А. Баблоян, А. П. Мелконян // Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1968. т. 21., N0 3, с. 12-20.

5. Вере А. Уравнения с частными производными / А. Берс, Ф. Джон, М Шехтер М.: НЛ, 1966. 351 с.

6. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. / А. В. Бицадзе — М.: Наука, 1976. 295 с.

7. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. / А. В. Бицадзе — М.: Наука, 1981- 448 с.

8. Бородачев H. M. Динамическая константная задача для толстой плиты в случае осевой симметрии / Бородачев H. М. // Труды Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин. Ереван, 1964.с. 125-130.

9. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. Ч. 1 / Г. Н. Ватсон — М.: Издательство иностранной литературы, 1949. 798 с.

10. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. / В. С. Владимиров 4-е изд. - М.: Наука, 1981. - 512 с.

11. Weinstein A. Discontinuous integrals and generalized potentials teory / A. Weinstein // Trans. Amer. Math. Soc. 1948 v. 63., No 2 p. 342 354.

12. Weinstein A. On a class of partial differential equations of even order / A. Weinstein // Ann. mat. pura ed appl. Ser. 4. 1955 v. 39. p. 245 254.

13. Weinstein A. Generalized axially Symmetric potential teory / A. Weinstein // Bull. Amer. Math. Soc. 1953 v. 59., No 1 p. 20 38.

14. Грилицкий Д. В. Осесимметрическая контактная задача для трансверсально изотропного слоя, покоящегося на упругом основании / Д. В. Грилицкий, Я. М. Кизыма. // Изв. АН СССР ОТН. Мех. и машиностр. 1962. No 3. с. 134 - 140.

15. Губенко В. С. Давление осесимметрического кольцевого штампа на упругое полупространство / В. С. Губенко, В. И. Моссаковский // Прикл. мат. и мех. 1960. т. 24., No 2. с. 334 343.

16. Геллерстедт С. (Gellerstedt S.) Sur un problème aus limites pour lequa-tion y2Szxx + zyy = 0 / С. Геллерстедт // Arkiv Mat., Ast. och Fisyk, 1953 25A, No 10.

17. Гюнтер H. M. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики / H. М. Гюнтер.М.: Государственное издательство технико теоретической литературы, 1953. - 416 с.

18. Кароль И. Л. К теории краевых задач для уравнения смешанного эллиптико гиперболического типа / И. Л. Кароль // Матем. сб. -1956, т. 38, N0 3. - с. 261 - 282.

19. Катрахов В. В. Общие краевые задачи для одного класса сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений /B. В. Катрахов // Матем. сбор. 1980. т. 112, N0 3. с. 354 379.

20. Келдыш М. В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области / М. В. Келдыш // Докл. АН СССР, 1951, т. 77, N0 2, с. 181 183.

21. Киприянов И. А. Об одном классе сингулярных эллиптических операторов / И. А. Киприянов // Дифференц. уравнения. — 1971. -т.7 N0 11. с. 2066-2077.

22. Киприянов И. А.Фундаментальные решения В эллиптических уравнений / И. А. Киприянов, В. И. Кононенко // Дифференц. уравнения. - 1967. - т.З - N0 1- С. 114 - 129.

23. Кузнецов Д. С. Специальные функции. / Д. С. Кузнецов —М.: Государственное издательство "Высшая школа", 1962.- 250 с.

24. Левитан Б. М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье / Б. М. Левитан // Успехи матем. наук. 1951.т. 6., N0 2. с. 102-143.

25. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных /C. Г. Михлин. М.: "Высшая школа", 1977. - 432 с.

26. Михлин С. Г. Вырождающие эллиптические уравнения /С. Г. Михлин. // Вестник Ленингр. ун-та. — 1954. т. 3, N0 8. -с. 19-48

27. Мелконян А. П. Осесимметрическая задача полого бесконечного цилиндра с двумя насаженными дисками / А. П. Мелконян. // Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1972. т. 25, N0 5. с. 3 13.

28. Мухлисов Ф. Г. Потенциалы, порожденные оператором обобщенного сдвига, и краевые задачи для одного класса сингулярных эллиптических уравнений. Дисс. док. физ.-мат. наук. / Ф. Г. Мухлисов — Казань. 1993. 324 с.

29. Мухлисов Ф. Г. Исследование основных краевых задач для одного вырождающегося эллиптического уравнения методом интегральных уравнений // Ф. Г. Мухлисов, А. М. Нигмедзянова // Известия вузов Математика. 2008.

30. Нигмедзянова А. М. Решение основных краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений методом потенциалов. Дисс. канд. физ.-мат. наук. // А. М. Нигмедзянова — Казань. 2007. 152 с.

31. Никифоров А. Ф. Специальные функции математической физики / А. Ф. Никифоров, В. Б. Уваров // М.: "Наука", 1978.

32. Олейник О. А. Об уравнениях эллиптического типа, вырождающихся па границе области. / О. А. Олейник // ДАН СССР 1952. т. 87, N0 6. - с. 885 - 888.

33. Парасюк Л. С. Краевые задачи для двух эллиптических дифференциальных уравнений 2-го порядка, вырождающихся на границе области / Л. С. Парасюк // Укр. матем. журнал, 1962. т. 14, N0 2, с. 215 - 217.

34. Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений / И. Г. Петровский — М.: "Наука", 1965. 128 с.

35. Раджабов Н. Построение потенциалов и исследование внутренних и внешних граничных задач типа Дирихле и Неймана для некоторыхсингулярных уравнений эллиптического типа в многомерном случае / Н. Раджабов // Докл. АН СССР. 1976. т. 228, No 4. с. 801 804.

36. Смирнов В. И. Курс высшей математики, т. 3, ч. 2, гл. 5. М.: 1957.

37. Смирнов M. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / M. М. Смирнов — М.: "Наука", 1966. 292 с.

38. Смирнов M. М. Об одной краевой задаче для эллиптического уравнения, вырождающегося на границе области / M. М. Смирнов // Вестник Ленинградского университета, 1961. — т. 3. No 3. с. 73 78.

39. Сабитов К. Б. О постановке краевых задач, для уравнения смешанного типа с вырождением второго рода на границе бесконечной области / К. Б. Сабитов // Сиб. мат. журнал, 1980. т. 21 No 4.

40. Сабитов К. Б. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с сильным характеристическим вырождением / К. Б. Сабитов // Дифференциальные уравнения. 1984. т. 20. No 1.

41. Франкль Ф. И. К теории уравнения yzxx + zyy = 0 / Ф. И. Франкль // Изв. АН СССР, серия матем. 1946. т. 10. No 2. с. 135 - 166.

42. Хайруллин Р. С. Теория потенциала для модельного уравнения второго рода / Р. С. Хайруллин // Известия вузов. Математика. 1992. No 3. - с. 64 - 73.

43. Хисматуллин А. Ш. Решение краевых задач для одного вырождающегося -эллиптического уравнения с 2-го рода методом потенциалов / А. Ш. Хисматуллин // Известия вузов. Математика. — 2007. -N0 1. с.63-75.