Решение обратной задачи для электромагнитного поля, созданного электрическим или магнитным дипольным моментом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Янц, Юлия Геннадьевна

• Янц, Юлия Геннадьевна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Янц, Юлия Геннадьевна

Оглавление

Введение

1 Поле произвольно изменяющегося дипольного момента

1.1 Свойства инвариантности поля диполя

1.2 Вектор Умова-Пойнтинга дипольного электрического и дипольного магнитного моментов

1.3 Поле линейно изменяющегося дипольного момента

1.4 Поле прецессирующего дипольного момента

1.5 Выводы

2 Обратная задача для поля дипольного момента

2.1 Решение обратной задачи в общем виде

2.1.1 Пример. Численное моделирование решения обратной задачи

2.2 Альтернативный метод решения обратной задачи

2.3 Решение в случае (яхя|=0

2.3.1 Решение задачи при условии Н ^ 0, Н = 0

2.3.2 Решение задачи при условии, что векторы II и Н параллельны

2.4 Выводы

3 Спектральная формулировка обратной задачи

3.1 Обратная задача для Фурье-компонент магнитного поля

3.2 Обратная задача для производных от Фурье-компонент магнитного поля

3.3 Альтернативный метод решения

3.4 Единственность и устойчивость решения

3.5 Пример решения обратной задачи для Фурье-компонент магнитного поля

З.б Выводы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение обратной задачи для электромагнитного поля, созданного электрическим или магнитным дипольным моментом»

Введение

Актуальность темы

Обратными задачами называют задачи математической физики, в которых значения параметров модели должны быть получены из наблюдаемых данных [1-5]. Интерес к подобного рода задачам стал проявляться относительно недавно. Первые публикации, посвященные обратным задачам, появились в первой половине XX века. Данные работы возникли в связи с исследованиями ученых в разных областях знания. Например, в области физики это задачи квантовой теории рассеяния, обратная задача электродинамики и акустики, в области геофизики - обратные задачи сейсмики, электроразведки, теории потенциала. Помимо этого, имеется большое число работ посвященное обратным задачам в астрономии [6], медицине [7], компьютерной томографии, а так же во многих других областях естествознания. В последнее время, с развитием компьютерных технологий область применения обратных задач затронула большинство научных дисциплин, пользующихся математическими методами.

В электродинамике под обратной задачей понимается задача определения координат зарядов и их динамики по известному полю, которое они создают. Обратные задачи электродинамики охватывают очень широкий круг явлений [8-12]. Наиболее известная и широко изученная обратная задача — это задача определения характеристик объекта по его электромагнитному излучению, так называемая пассивная локация. Не менее распространены задачи в которых требуется восстановить параметры объекта но отраженному излучению — задачи активной локации. Данный класс задач также представляет большой интерес и изучен довольно хорошо. В простейшем случае, под локацией понимают задачу нахождения расстояния до источника и направления от него до наблюдателя. В более сложном, задача локации состоит в определении формы источника и нахождении его электрофизических свойств.

Одними из первых с необходимостью решать обратные задачи столкнулись геофизики при разведке полезных ископаемых [13-16]. Оказалось, что метод акустической разведки полезных ископаемых намного экономичнее бурения пробных скважин и позволяет получать более полную картину состояния земных недр. Обратные задачи геоакустики довольно сложны, поскольку, из-за присутствия многих типов волн, приходится иметь дело со сложным строением рассеянного волнового поля. Тем не менее, проводя анализ статистических характеристик радиосигналов, отраженных от земной поверхности, геофизики могут определить местонахождение источников различных физических полей, получать более точную информацию о структуре подземных слоев и прогнозировать их дальнейшее развитие [17-19].

Обратные задачи имеют большое значение для астрофизики. Основная причина по которой астрофизикам приходится решать обратные задачи — невозможность работать с космическими объектами напрямую. Этому вопросу посвящено множество статей. Например, в работе [20] с помощью интегральных уравнений Фредгольма первого рода решена обратная задача для звезд тииа Вольфа-Райе в тесных двойных системах. В этой задаче по наблюдаемым данным изменения светимости звезды при затмении определенно распределение яркости по диску звезды. Здесь же исследован случай затмения звезды диском Луны. По наблюдаемым следствиям затмения можно судить о распределении яркости по диску звезды, а также появляется возможность узнать ее угловой диаметр. Интересна задача в которой по известному распределению поверхностной плотности звезд найдено их радиальное распределение плотности в шаровом скоплении [21]. Кроме этого, существует много других примеров решения обратных задач в астрофизике [22.23].

В 60-х годах прошлого века астрофизиками были предприняты попытки из результатов измерений свойств излучения от внеземных источников получить информацию о характеристиках и свойствах этих источников. Например, задача излучения релятивистского электрона, находящегося в магнитном поле

космического объекта. При условии, что мы имеем дело с однородным магнитным полем, заряженная частица является ультра релятивистской, и ряде других предположений, можно решить обратную задачу синхротронного излучения [24, 25]. По известным поляризационным свойствам синхротронного излучения можно судить о направлении магнитного поля в области излучения. При условии, что измерено зеемановское расщепление спектральных линий и известен угол между силовой линией магнитного поля и лучом зрения, можно найти так же величину этого поля. Решение задачи в совокупности позволяет найтн распределение магнитного поля в нашей Галактике [26].

Восстановить свойства объекта, генерирующего излучение, довольно сложно. Например, в результате прохождения через звездную плазму происходит изменение спектра и поляризации излучения, иногда нет возможности узнать распределение по энергиям излучающих частиц, а так же многое другое. Точность решения обратных задач во многом зависит от качества полученной в ходе эксперимента информации. В работе [27] показано, что точность решения таких задач достигает 80 процентов.

Особый интерес для физики атмосферы представляет обратная задача о квазистатических источниках электрического ноля, таких как, например, грозовые облака. По зарегистрированным параметрам сигналов, отраженных от молний, или непосредственно генерируемых молниями, ученые оценивают среднее время их существования, мощность разряда, зависимость тока разряда от времени, а так же другие характеристики [28]. Эти знания позволяют в дальнейшем воздействовать на электрическое состояние кучевых облаков с целью регулирования последующих грозовых стадий развития, используя, к примеру, лазеры [29-33]. Однако отметим, что все перечисленные рапсе классы обратных задач есть, в значительной степени, итог наблюдений и анализа полученных данных и носят эмпирический характер.

В теории распространения радиоволн приоритетной является обратная задача, в которой требуется восстановить диэлектрические свойства среды, с ко-

торой эти волны взаимодействуют. Например, в статье [34], рассмотрена задача отражения плоских гармонических радиоволн, падающих нормально относительно границы плоско-слоистой среды. Здесь в аналитическом виде решена одномерная задача отражения радиоволн от поглощающего слоя, лежащего на однородном полупространстве, при нормальном падении радиоволн.

Особую роль играют обратные задачи в навигации. К примеру, получить информацию о том или ином типе волнения на море можно с помощью анализа свойств доплеровского спектра радиолокационного СВЧ сигнала, отраженного от морской поверхности. Так же появляется возможность определить направление распространения волны, ее высоту и доминантную длину. Для ветрового волнения можно определить такие характеристики как скорость и направление ветра [35,36].

Частным случаем обратной задачи электродинамики в сформулированной выше форме является обратная задача излучения. Обратная задача излучения состоит в том, что по известному полю излучения определяется динамика распределения зарядов, создающих это излучение. В частности, если излучение генерируется отдельным зарядом, то требуется определить закон движения заряда. Задачи такого тина решались в работах [37-44]. В работах [37,38,45] дано общее теоретическое решение обратной задачи в случае излучения одной частицы. В этих статьях показано, что при условии известного излучения движущегося заряда, можно восстановить закон движения этого заряда. Решение задачи найдено с точностью до произвольной скалярной функции. Если скорость заряда есть постоянная величина, то обратная задача излучения имеет однозначное решение. Произвол в решении можно исключить если поле излучения задать в двух различных направлениях [43].

Поля, созданные электрическими дииольными моментами и представляющие интерес с точки зрения обратной задачи, возникают при образовании трещин в кристаллах. В работах [46-48] исследованы электромагнитные явления, сопровождающие процесс образования трещин в твердых телах. Предложены

методы регистрации возникающего электромагнитного поля и использования результатов измерения для локализации трещин в исследуемом образце. В качестве основного механизма генерации электромагнитного поля рассматривается образование зарядов противоположного знака при образовании трещин. В середине 70-х годов прошлого века физики заинтересовались другим аспектом обратной задачи излучения — возможностью создать источник излучения, генерирующий излучение с наперед заданными спектральными и поляризационными свойствами. Например, при исследовании ондуляторного излучения и конструировании ондуляторов и лазеров на свободных электронах возник вопрос о создании приборов, генерирующих излучение с заданными свойствами. В работах [45,49,50] было предложено несколько способов формирования параметров излучения в системах типа ондулятора. В статьях [51,52] для системы типа «короткого» магнита фактически решена задача о создании излучения с наперед заданной формой спектра для ограниченного интервала частот путем подбора эффективного поля на траектории заряда.

В работе [53] представлено решение обратной задачи, в которой найдено такое движение заряда, при котором электрический вектор поля излучения в точке наблюдения является наперед заданной функцией времени. Решения, полученные в этих работах, позволяют вычислить траекторию точечного заряда, если известно поле его излучения в волновой зоне.

Большой интерес представляет собой механизм генерации изгибного излучения. По-другому, такой вид излучения называется магнитодрейфовым (англ. curvature radiation). Данный вид излучения возникает вследствие движения заряженной частицы по спирали с осью, направленной почти вдоль искривленных силовых линий магнитного поля. При этом у частицы кроме скорости направленной вдоль магнитного поля обнаруживается дрейфовый компонент, который перпендикулярен этому полю. Этот компонент скорости и обеспечивает появление силы Лоренца, искривляющей траекторию частицы в соответствии с формой силовой линии [24.54]. Чем больше напряженность магнитного поля и чем

меньше энергия частицы, тем точнее траектория частицы совпадает с формой силовой линии. Возникающее при этом изгибное излучение обладает, в основном, теми же характерными особенностями, что и сиихротронное излучение, но роль радиуса ларморовской окружности играет радиус кривизны силовой линии магнитного поля [55-57].

Методы решения обратной задачи для изгибного излучения практически совпадают с методами, применяемыми для обратных задач синхротронного излучения.

Большой интерес представляет решение обратной задачи для электромагнитного поля, созданного точечным зарядом. Такая задача рассматривалась в работах [58-62]. В этих статьях по известным выражениям для полей найдено решение обратной задачи для поля точечного заряда, а также для дипольного электрического и магнитного моментов.

Не менее интересно решение обратной задачи но известным компонентам тензора энергии-импульса. В рамках работ [63-65] получено решение обратной задачи с использованием заданных компонент тензора энергии-импульса взаимодействующих частиц и тензора энергии-импульса электромагнитного поля без зарядов и токов. Также в этой статье показано, что решение обратной задачи для тензора энергии-импульса электромагнитного поля не однозначно, оно может быть представлено только с точностью до дуальных поворотов векторов нанряженностей электрического и магнитного полей.

Решение обратной задачи для поля дипольного момента уже рассматривалось ранее [66,67], но только для случая статического электромагнитного поля. Однако, в последнее время возникают задачи, в которых требуется найти источник электромагнитного поля, создаваемого изменяющимся со временем дипольным моментом, если само поле известно. Плотность потока энергии поля произвольно изменяющегося диполя была подробно изучена в работе [68], а. обратная задача для диполя была решена в статье [69]. Это решение обладает некоторыми ограничениями, поэтому в работе [70] получено альтернативное

решение, не обладающее такими особенностями.

В статьях [69] и [70] в качестве известных величин берутся напряженности электрического и магнитного поля диполя как функций времени в некоторой точке пространства. Неизвестными величинами являются координаты диполя и его динамика. Но с практической точки зрения удобнее измерить амплитуду и фазы колебаний электромагнитного поля на некоторой частоте. В таком случае в качестве исходных данных используют Фурье-составляющую магнитного поля и ее фазу в некоторой точке пространства или производные этих величин по координатам. Решение обратной задачи при такой постановке описано в работе [71].

Степень разработанности темы

Поле произвольного, в целом нейтрального, распределения заряда можно в первом приближении мультипольного разложения представить как поле диполя. Такое представление является хорошим приближением, если размеры области, в которой распределен заряд, много меньше расстояния между наблюдателем и данной областью. Поэтому решение обратной задачи для поля точечного диполя применимо к довольно широкому кругу явлений.

В работе решена обратная задача для поля электрического диполя. В силу дуальной симметрии уравнений Максвелла полученные решения справедливы и для поля магнитного диполя если сделать замену р —> га, Е Н, Н —» —Е, где р.т - векторы дипольного электрического и дипольного магнитного моментов соответственно, Е и Н - напряженности электрического и магнитного полей.

В диссертационной работе исследовано поле диполя в ближней и дальней зонах. Получены формулы для плотности потока энергии поля, создаваемого произвольно изменяющимся дипольным моментом. Построены и проанализированы картины силовых линий вектора Умова-Пойнтинга для поля линейно изменяющегося дипольного момента. Изучено поле создаваемое прецесспрую-

щим дипольиым моментом.

Решена обратная задача для поля дипольного момента, т.е. найдены уравнения определяющие величину дипольного момента и его положение относительно наблюдателя. Исследованы частные случаи решения, и проведена проверка полученных формул на примере конкретной задачи. Найдено альтернативное решение обратной задачи. Кроме того, проведена проверка полученных уравнений на устойчивость и единственность.

Развит спектральный подход к решению обратной задачи для поля диполя. Найдены выражения, определяющие координаты и величину амплитуды Фурье-компоненты дипольного момента. Предложен альтернативный метод решения задачи и исследованы единственность и устойчивость найденного решения. Полученные формулы апробированы на примере решения частной задачи.

Цели и задачи работы

Основной целыо данной работы является решение обратной задачи для электромагнитного поля точечного электрического диполя. Модель точечного диполя применима к достаточно компактному распределению иерелятивистских зарядов, удовлетворяющему известным условиям.

Целью работы, так же. является исследование поля дипольного момента в ближней и дальней зоне, в том числе, изучение процессов иереиоса энергии в этих областях, а также изучение поля дипольного момента, изменяющегося в соответствии с конкретными, частными законами движения.

Другой, не менее значимой, целью работы является построение метода решения обратной задачи для случая, когда известна Фурье-составляющая электрического или магнитного ноля в некоторой точке пространства. Такая формулировка обратной задачи имеет большое значение для практических приложений, поскольку измерение электромагнитных полей происходит на практике на определенной частоте или в некотором диапазоне частот.

Для достижения целей были поставлены следующие задачи:

1. Исследовать иоле диполя в ближней и дальней зоне, в том числе, изучить процессы переноса энергии в этих областях, а также изучить поле линейно изменяющегося и прецессирующего дипольного момента.

2. Решить обратную задачу для ноля электрического диполя. Из известных выражений напряженностей электрического и магнитного полей найти величину дипольного момента и его положение в пространстве. С помощью решения практической задачи проверить полученные результаты, а также исследовать возможные частные случаи. Поиск альтернативного метода решения обратной задачи для случая, когда найденное решение имеет особенности.

3. Решить обратную задачу в случае, когда известна Фурье-составляющая магнитного поля в некоторой точке пространства. Исследовать возможность получения однозначного решения при такой постановке задачи. Решить и исследовать полученное решение если известен еще и градиент Фурье-компоненты. Доказать справедливость выведенных уравнений с помощью решения частной задачи. Найти возможные альтернативные методы решения для Фурье-компонент магнитного поля. Полученные решения проверить на единственность и устойчивость.

Научная новизна

1. Показано, что плотность потока энергии электромагнитного ноля в ближней зоне можно разбить на две компоненты - поток, связанный с обменом энергии между полем и изменяющимся диполем, и радиально направленный поток энергии излучения.

2. Решена обратная задача поля дипольного момента для случая, когда исходными данными являются напряженности электрического и магнитного полей как функций времени в некоторой точке пространства. Найдены ко-

ординаты диполыюго момента и закон его изменения.

3. Получено решение обратной задачи поля дипольного момента для случая, когда исходными данными являются амплитуда и фаза Фурье-компоненты магнитного тюля. Показано, что этих данных недостаточно для получения однозначного решения. Решена обратная задача при условии, что известны производные по координатам от Фурье-амплитуд и фаз магнитного поля в некоторой точке пространства. Полученные решения апробированы на конкретном примере методом численного моделирования.

4. Доказано, что полученные решения являются устойчивыми и однозначными. Получены формулы для зависимости погрешности решения от погрешности исходных данных.

Теоретическая и практическая значимость

1. Исследование поля дипольного момента в ближней и дальней зонах позволяет попять процессы переноса энергии в этих областях.

2. При решении обратной задачи для поля диполя были найдены уравнение для дипольного момента и выражения, позволяющие определить положение диполя в пространстве. Полученный результат может быть использован для восстановления динамики диполя по создаваемым им полям.

3. Результаты решения обратной задачи для Фурье-компонент магнитного поля могут быть использованы для исследования процессов, сопровождаемых возникновением и изменением локализованного распределения электрического заряда.

Методология и методы исследования

В расчетах, проведенных в диссертационной работе были использованы стандартные методы математического анализа и классической электродинамики.

Положения выносимые на защиту

1. Расчет вектора плотности потока энергии электромагнитного поля диполь-ного момента в ближней и дальней зонах. Анализ процессов переноса энергии в этих областях. Построение и исследование картины силовых линий вектора Умова-Пойнтинга для частных случаев динамики диполыюго момента.

2. Решение обратной задачи для произвольно изменяющегося диполыюго момента. По известным выражениям для нанряженностей электрического и магнитного поля найдены величина дипольного момента и его радиус-вектор Проверка полученных формул методом численного моделирования.

3. Альтернативный метод решения обратной задачи для случаев, когда общее решение имеет особенности.

4. Спектральная формулировка обратной задачи. Решение обратной задачи для Фурье-компонент магнитного поля диполя. Найдены выражения, определяющие радиус-вектор диполя и Фурье-компоненты вектора диполыюго момента. Проверка нолучениых формул методом численного моделирования.

5. Исследование полученных решений на единственность и устойчивость. Доказана устойчивость полученных решений и показано, в каких случаях решение является единственным. В случаях, когда решение не является единственным, указано в чем проявляется неоднозначность полученного решения.

Степень достоверности

Поиск решения осуществлялся с применением стандартах методов теоретической физики и математического анализа. В предельных случаях полученные формулы дают известные результаты. Исследования, проведенные в диссертационной работе, опубликованы в российских и международных рецензируемых журналах. •

Публикации

1. Яиц Ю.Г. Поле дипольного момента в ближней зоне / Ю. Г. Янц // Наука и образование (15 - 19 мая 2006 г.): материалы X Всерос. конф. студ., асп. и молодых ученых. Томск. 2006. - Т. 1. Ч. 2.: Естественные и точные науки. - С. 250 - 254.

2. Янц Ю. Г. Обратная задача для поля дипольного момента / Ю. Г. Янц /'/ Наука и образование: материалы XII Всерос. конф. студ., асп. и молодых ученых (21 - 25 апреля 2008 г.). - Томск. 2009. - Т. 1. Естественные и точные науки. Ч. 1. Физика и математика. - С. 276 - 280.

3. Epp V., Janz J. The inverse problem for the dipole field // Nucl. Instrum. Methods. B. 2008. V. 266. P. 3700 - 3702.

4. Янц Ю. Г. Частный случай решения обратной задачи для дипольного момента / Ю. Г. Янц /7 Наука и образование: материалы XIII Всерос. коиф. студ., асп. и молодых ученых (20 - 24 апреля 2009 г.). - Томск, 2009. - Т. 1. Естественные и точные науки. - С. 169 - 172.

5. Энн В. Я., Янц Ю. Г. Восстановление динамики дипольного момента по его полю // Международная научно-практическая конференция: Развитие научно-технического сотрудничества российских научных и научно-образова

центров с учеными-соотечественниками, работающими за рубежом (2 - 4 апреля 2010 г.). - Томск, 2010.

G. Эпп В. Я. Восстановление динамики дипольного момента по его электромагнитному полю / В. Я. Эпп, Ю. Г. Янц // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2010. - No 3. - С. 49 - 52.

7. Янц Ю. Г. Восстановление динамики диполыюго излучателя по создаваемому им электромагнитному полю / Ю. Г. Янц // Наука и образование: материалы XIV Всерос. с междунар. участием конф. студентов, аспирантов и молодых ученых (Томск, 19 - 23 апреля 2010 г.). - Томск, 2010. - Т. 1. Естественные и точные науки. Ч. 1. - С. 55 - 59.

8. Яиц Ю. Г. Обратная задача для Фурье-компонент поля диполя // Наука и образование: материалы XV Всерос. конференция студ., асп. и молодых ученых (19 - 23 апреля 2010 г.). -- Томск, 2009. - Т. 1. ч. 1: Естественные и точные науки. - с. 154 - 158.

9. Мастерова М.А. Вектор Умова-Пойтинга диполыюго электрического и диполыюго магнитного моментов / М. А. Мастерова, К). Г. Янц / / Вестник Адыгейского государственного университета. - 2011. - JY-4. - С. 33 - 42.

10. Epp V., Janz J.G. Spectral approach to the inverse problem for the field of arbitrary changing electric dipole. Inverse Problems in Science and Engineering. Published online: 14 Aug 2013, D01:10.1080/17415977.2013.829465

Апробация работы

Результаты, положенные в основу диссертации, докладывались на следующих конференциях:

1. Наука и образование: "X Всерос. конференция студ., асп. и молодых ученых", 15 - 19 мая 200G. - Томск.

2. VII International Symposium "Radiation from Relativistie Electrons in Periodic Structures". Prague, the Czecli Republic, Septcmber 24 - 28, 2007.

3. Наука и образование: "XII Всерос. конференция студ., асп. и молодых ученых", 21 - 25 апреля 2008. - Томск.

4. Наука и образование: "XIII Всерос. конференция студ., асп. и молодых ученых", 20 - 24 апреля. 2009. - Томск.

5. Международная научно-практическая конференция "Развитие научно-техничесь сотрудничества российских научных и научно-образовательных центров с учеными-соотечественниками, работающими за рубежом". 2-4 апреля, 2010.

— Томск.

6. IV международная конференция "Квантовая теория поля и гравитация QFTG'lû 5-9 июля, 2010. - Томск.

7. IX Сибирское совещание по климатоэкологическому мониторингу Институт мониторинга климатических и экологических систем СО РАН, 3 - G октября 2011. - Томск.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 102 наименований. Общий объем диссертации составляет 108 страниц.

Основное содержание работы

Во введении представлен обзор литературы по теме диссертации, обоснована актуальность исследуемой работы, приведены полученные в диссертации новые результаты, указана их практическая ценность, и дано описание структуры диссертации.

Первая глава диссертации содержит оригинальные результаты, полученные соискателем и посвящена исследованию поля дииольного магнитного момента в ближней и дальней зонах. Глава состоит из пяти разделов. В разделе 1.1 рассмотрены свойства поля дипольного момента, сязанные с его инвариантностью относительно определенных преобразований дипольного момента. В разделе 1.2 рассмотрено электромагнитное поле дипольного момента, описаны процессы переноса энергии из одной точки пространства в другую в ближней и дальней зонах. Раздел 1.3 посвящен детальному анализу поля линейно изменяющегося дипольного момента, рассматриваются свойства электромагнитного поля дипольного момента, построены картины силовых линий вектора плотности потока энергии для ближней и дальней зоны, дан анализ полученных диаграмм. В разделе 1.4 подробно исследовано поле прецессиру-ющсго дипольного момента, рассмотрены процессы переноса энергии в ближней и дальней зоне. Построены и проанализированы картины силовых линий вектора Умова-Пойтинга. В последнем разделе 1.5 подведены итоги первой главы и приведены основные выводы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Янц, Юлия Геннадьевна, 2014 год

Литература

1. Вайтулян, А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела / А. О. Вайтулян. - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 224 с.

2. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов. В. Я. Арсенин. - изд. 2-е. - Москва: Наука,1979. - 284 с.

3. Кабанихин, С. И. Обратные и некорректные задачи: учеб. / С. И. Кабани-хин. - Новосибирск: Сибирское научное изд-во, 2009. - 457 с.

4. Терсбиж. В. Ю. Введение в статистическую теорию обратных задач / В. Ю. Теребиж. - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 376 с.

5. Денисов, А. М. Введение в теорию обратных задач: учеб. пособие / А. М. Денисов. - Москва: Изд - во МГУ, 1994. - 208 с.

G. Гончарский, А. В. Численные методы решения обратных задач астрофизики / А. В. Гончарский, А. М. Черепащук, А. Г. Ягола. Москва: Наука, 1978. - 335 с.

7. Денисов, А. М. Численные методы решения некоторых обратных задач электрофизиологии сердца / А. М. Денисов [и др] // Дифференциальные уравнения. - 2009. - Т. 45. - №. - С. 1014 - 1022.

8. Ola, P. Inverse problems for time harmonic electrodynamics, Inverse Problems / P. Ola , E. Somersalo // MSRI Publications. - 47 (2003). - P. 169 - 191.

9. Ola, P. An inverse boundary value problem in electrodynamics / P. Ola, L. Paivarinta, E. Somersalo // Duke Math. J. - 1993. - A. 70. - P. 617 - 653.

10. Somersalo E.The Inverse Problem of Magnetoencephalography: Source Localization and theShape of a Ball [Electronic resource] // SI AM. Society for Industrial and Applied Mathematics. - 2007. - Vol. 40,

97

№2. - The electronic version of the printing publication. - URL: http://www.siain.org/pdf/news/1097.pdf (access date: 15.10.2013).

11. Mosher, J. C. EEG and MEG: forward solutions for inverse methods / J.C. Mosher, R. M. Leahy, R S. Lewis // IEEE Transactions on biomedical engineering. - 1999. - A. 46. - P. 245 - 259.

12. Наймарк, Б. M. Обратная задача гравитационной неустойчивости / Б. М. Наймарк // Доклад РАН. - 1999. - №4. - С. 364.

13. Тихонов, А, Н. Математические методы в разведке полезных ископаемых / А. Н. Тихонов, В. И. Дмитриев, В. Б. Гласко. - Москва: Знание, 1983. -64 с.

14. Яновская, Т. Б. Обратные задачи геофизики / Т. Б. Яновская, Jl. Н. Поро-хова. - Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1983. - 210 с.

15. Кочнев, В. А. Путь осознания возможностей математических моделей и алгебраических уравнений в геофизике / В. А. Кочнев // Геофизика. - 2001.

- №5. - С. 15 - 20.

16. Кочнев, В. А. Итерационный (адаптивный) подход к решению обратных геофизических задач. Математическое обеспечение и структура ЭВМ: сб. научн. работ / В. А. Кочнев. - Красноярск: ИПЦ КГТУ, 1997. - 623 с.

17. Черняк, Г. Я. Радиоволновые методы исследования в гидрологии и инженерной геологии / Г. Я. Черняк. О. М. Мясковский. - Москва: Недра, 1973.

- 175 с.

18. Кирейтов, В. Р. О задаче определения оптической поверхности по ее изображениям / В. Р. Кирейтов // Функциональный анализ и его приложение.

- 1976. - Т. 10. - Ш. С. 45 - 54.

19. Зубкович, С. Г. Статистические характеристики радиосигналов, отраженных от земной поверхности / С. Г. Зубкович. - Москва: Сов. радио, 1970. -224 с.

20. Черепащук, А. М. Обратные задачи в астрофизике / А. М. Черепащук //' Сорос, образовав журн. - 1997. - .№12. - С. 84 - 91.

21. lliotelis, N. Nonparametric methods in density profile estimation of stellar systems / N. lliotelis, I. V. Bamias // Astrophys. and Space Sei. - 1995. -V. 229. - Ж1. - P. 129-138.

22. Nicholson, D. Inverse problems in gravitational wave astronomy / D. Nicholson // Inverse Probl. - 1995. - V.U. - №A- P. 677 686.

23. Железняков, В. В. Излучение в астрофизической плазме / В. В. Железняков. - Москва: «Янус-К», 1997. - 528 с.

24. Гинзбург, В. Л. Теоретическая физика и астрофизика / В. Л. Гиизург. -Москва: Наука, 1981. - 504 с.

25. Теория излучения релятивистских частиц / под ред. В. А. Бордовицына. -Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 575 е.: ил.

26. Векслер, Г. Л. Магнитное поле Галактики / Г. Л. Векслер // Галактическая и внегалактическая радиоастрономия / под ред. Г.Л. Векслер, К.И. Келлермана. - Москва: Мир, 1976. - 620 е.: ил.

27. Петровский, А. Д. Радиоволновые методы в подземной геофизике / А. Д. Петровский. - 2-е изд. доп. - Москва: ЦНИТРИ, 2001. - 290 с.

28. Volland, Н. Handbook of Atmospheric Electrodynamics / H. Volland / /' CRC Press. - 1995. - V. II. - P. 520.

29. Радиолокационные методы исследования Земли / под ред. Ю. Л. Мельник. - Москва: Сов. радио, 1980. - 262 е.: ил.

30. Гальперин, С. М. Радиолокационное обнаружение молний / С. М. Гальперин, В. Д. Степаненко, А. С. Осетров // Труды ГГО. - 1974. - Вып.301. -С. 81 - 87.

31. Мучник, В. М. Электризация грубодиснерсных аэрозолей в атмосфере / В. М. Мучник, Б. Е. Фишман. - Ленинград: Гидрометеоиздат, 1982. - 208 е.: ил.

32. Матвеев, Л. Т. Основы общей метеорологии. Физика атмосферы / Л. Т. Матвеев. - Ленинград: Гидрометеоиздат, 1965. - 876 е.: ил.

33. Флигль, Р. Д. Введение в физику атмосферы / Р. Д. Флигль, Д. А. Бузингер.

- Москва: Мир, 1965. - 467 с.

34. Каневский, М. Б. Спектральные характеристики радиолокационного СВЧ сигнала, отраженного морской поверхностью при малых углах падения / М. Б. Каневский, В. Ю. Караев // Радиофизика. - 1996. - №5. - С. 517 - 525.

35. Долин, Л. С. О возможности восстановления анизотропного спектра ветрового волнения методом двухнозицнонной локации / Л. С. Долин, М. PI. Кондратьев // Радиофизика. - 1995. №1-2. - С. 139 - 145.

36. Никитин, М. М. Влияние параметров электронного пучка на свойства онду-ляторного излучения / М. М. Никитин, В. Я. Энн // Журнал технической физики. - 1979. - Т. 46. - С. 2386.

37. Медведев, А. Ф. Влияние параметров электронного пучка на спектр опдуля-торного излучения / А. Ф. Медведев, М. М. Никитин, В. Я. Эпп // Известия вузов. Физика. - 1980. - №9. - С. 113 - 115.

38. Никитин, М. М. Генерация электромагнитного излучения заданной формы спектра / М. М. Никитин, Н. И. Федосов // Журнал технической физики.

- 1977. - Т. 47. - С. 2478 - 2481.

39. Соколов, А. А. Излучение электронов, движущихся повинтовым траекториям с релятивистской продольной скоростью / А. А. Соколов, Д. В. Гальцов,

B. Ч. Жуковский // Журнал технической физики. - 1973. - Т. 43, вып.З. -

C. 682 - 687.

40. Соколов, А. А. О поляризационных эффектах в излучении «светящегося» электрона / А. А. Соколов, И. М. Тернов // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1956. - Т. 31. - С. 473.

41. Излучение электронов, движущихся в «коротком» магните / В. Г. Багров [и др.] // Изв. вузов. Радиофизика. - 1983. - Т. 26, №2. - С. 253 - 256.

42. Излучение релятивистских электронов в ондуляторе конечной длины / В. Г. Багров [и др.] /'/ Журнал технической физики. - 1975. - Т. 45, вып. 9. -С. 1948 - 1953.

43. Génération of a given linear polarized radiation in plane undulator / V.G. Bagrov, V.F. Zal'mezh, M.M. Nikitin, V.Ya. Epp // Nucl. Instr. and Meth. - 1987. - A. 26. - P. 51 - 55.

44. Моисеев, M. Б. Обратная задача теории электромагнитного излучения / M.Б. Моисеев, Б. К. Неворотов /7 Омский научный вестник. - 2013. - 2(120). -С. 12-15.

45. Бессонов, Е. Г. О формировании спектра электромагнитного излучения заданной формы, испускаемого при пролете релятивистских заряженных частиц во внешних магнитных полях / Е. Г. Бессонов, JI. В. Серов. - Москва. 1982. - 36 с. - (Препринт / ФИАН СССР; Ш2).

46. Ласуков, В. В. Зависимость амплитуды электрического сигнала от пространственного расположения наполнителя при механическом возбуждение бетона / В. В. Ласуков, Т. В. Фурса // Письма в Журнал технической физики. - 2000. - Т. 26, вып. 6. С. 36.

47. Lasukov, V. V. The amplitude of electric response as a function of the spatial arrangement of filler particles in mechanically excited concrete / V. V. Lasukov, Т. V Fursa // Technical Physics Letters. - 2000. - V. 26. - P. 241.

48. Мастов, Ш. P. Теоретическая модель генерации электромагнитного сигнала в процессе хрупкого разрушения / Ш. Р. Мастов, В. В. Ласуков // Физика земли. - 1989. - Ш. - С. 38 - 48.

49. Никитин, М. М. Влияние параметров электронного пучка на свойства онду-ляторного излучения / М. М. Никитин, В. Я. Эпп // Журнал технической физики. - 1979. - Т. 46. - С. 2386 - 2391.

50. Nikitin, М. М. Effect of beam parameters on undulator radiation / M. M. Nikitin, V. Ya. Epp // Sov. Phys. - Techn. Phys. 1976. V. 21. - P. 1404 - 1407.

51. Radiation from an electron moving in a «short» magnet / V. G. Bagrov, M. M. Nikitin, I. M. Ternov, N. I. Fedisov // Nucl. Instr. and Metli. - 1983. - V. 208. - P. 167 - 169.

52. Bagrov, V. G. Radiation of Relativistic Electrons Moving in an Arc of a Circle. / V. G. Bagrov, I. M. Ternov. N. I. Fedisov /7 Physical Review D. - 1983. - V. 28, N 10. - P. 2464 - 2472.

53. Inversion of the theory for electromagnetic radiation from charged particles / V. G. Bagrov, M. M. Nikitin, V. F. Zalmezh, N. I. Fedisov, V. Ya. Epp // Nucl. Instrum. Methods. - 1985. - A. 239. - P. 579.

54. Булах. E. Г. Прямая и обратная задачи гравиметрии в классе трехмерных звездных тел / Е. Г. Булах, М. Н. Маркова, Н. А. Якимчук // Геофиз. журнал. - 1997. - Т. 9, Ж. - С. 11 - 17.

55. Ленерт, Б. Динамика заряженных частиц / Б. Ленерт. - Москва: Атомиздат, 1967. - 351 с.

5G. Сивухин, Д. В. Дрейфовая теория движения заряженной частицы в электромагнитных полях / Д. В. Сивухин //' Вопросы теории плазмы - 1963. -Т.1. -- С. 7.

57. Соболев, Я. М. Дрейфовая траектория и синхротронное излучение ультрарелятивистского электрона, движущегося в магнитном поле с искривленными силовыми линиями / Я. М. Соболев // Вопросы атомной науки и техники. - 2000. - №1. - С. 27 - 30.

58. Митрофанова, Т. Г. Излучение зарядов при движении вдоль искривленной силовой линии магнитного поля / Т. Г. Митрофанова, В. Я. Эгш // Тез. докладов Всерос. астроном, конф., авг. 2001 г. - Санкт-Петербург, 2001. -С. 201.

59. Митрофанова, Т. Г. К обратной задаче электростатики дшюльного момента / Т. Г. Митрофанова, В. Я. Эпп // Квантовая теория поля и гравитация QFTG - 97: тр. II междунар. конференции. Томск, 1996 - Томск: Изд-во ТГПУ, 1997. - С. 286 - 290.

60. Epp, V. Ya. Solution of inverse problem for a charge combined with a point-lake dipole / V. Ya. Epp, T. G. Mitrofanova // Proceedings of Inter. Conf. of Math. Methods in Electromagnetic Theory «ММЕТ - 98» / Kharkov. Ukraine. - 1998. - P. 167 - 168.

61. Митрофанова, Т. Г. Обратная задача для поля заряда и точечного диполь-ного момента / Т. Г. Митрофанова, В. Я. Эпп // Известия вузов. Физика. -1999. - №. - С. 3 - 8.

62. Epp, V. Ya. Inverse problem for the retarded field of an arbitrary moving charge / V. Ya. Epp, T. G. Mitrofanova // Phys. Lett. - 2004. - V. 330. - P. 7 - 9.

G3. Митрофанова, Т. Г. Нахождение электромагнитного ноля но тензору энергии-импульса / Т. Г. Митрофанова, В. Я. Энн // Известия вузов. Физика. - 2002. - т. - С. 5G - 59.

G4. Mitrofanova, Т. G. Calculation of matter density and electromagnetic fields from energy-momentum tensor / T. G. Mitrofanova // Abstracts of the Intern. Conf. "Theoretical and Experimental Problems of General Relativity and Gravitation". - Томск: Изд-во ТГПУ, 2002. - C.84 - 85.

65. Вержбицкая, О. В. Нахождение электромагнитного поля по тензору энергии-импульса / О. В. Вержбицкая, Т. Г. Митрофанова // Наука и образование: материалы V обтцерос. межвуз. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. Томск, 26 - 27 окт. 2003 г. - Томск: Изд-во ТГПУ, 2003. -С.51 - 56.

66. Mitrofanova, Т. G. Inverse problem for static electromagnetic field / T. G. Mitrofanova, V. Ya Epp // Russian Physics J. 1999. A. 42. - P. 87 - 91.

67. Epp, V.Ya. Inverse Problem for Static Electromagnetic Field in a Dipole Approximation / V. Ya. Epp, G. F. Kopytov, T. G. Mitrofanova // Russian Physics J. - 1999. - V. 42. - P. 587 - 591.

68. Мастерова, M. А. Вектор Умова-Понтинга дипольного электрического и ди-польного магнитного моментов / М. А. Мастерова, Ю. Г. Янц // Вестник Адыгейского государственного университета. - 2011. - №4. - С. 33 - 42.

69. Epp, V. Ya. The inverse problem for the dipole field / V. Ya. Epp, J. Janz // Nucl.Instrum. Methods. B. - 2008. - V. 266. - P. 3700 - 3702.

70. Эпп, В. Я. Восстановление динамики дипольного момента по его электромагнитному полю / В. Я. Эпп, Ю. Г. Янц // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2010. - №3. - С. 49 - 52.

71. Epp V., Janz J.G. Spcctral approach to the inverse problem for the field of arbitrary changing electric dipole. Inverse Problems in Science and Engineering. Published online: 14 Aug 2013, D01:10.1080/17415977.2013.829465

72. Джексон, Д. Классическая электродинамика / Д. Джексон. - Москва: Мир, 1965. - 702 е.: ил.

73. Новожилов, В. В. Электродинамика / В. В. Новожилов, Ю. А. Яппа. -Москва: Наука, 1987. - 357 с.

74. Пановский, В. Классическая электродинамика / В. Пановский, М. Филипс.

- Москва: Физматгиз, 1963. - 432 е.: ил.

75. Паули, В. Теория относительности / В. Паули. - Москва: Наука, 1983. - 336 е.: ил.

76. Терлецкий, Я. П. Электродинамика / Я. П. Тсрлецкий. - Москва: Высшая школа, 1990. - 129 с.

77. Фейиман, Р. Фейнмановекие лекции по физике / Р. Фейимап. Р. Лейтон, М. Сэндс. - Москва: Мир, 1977. - Вып. 6. Ки.4. - 352 с.

78. Ландау, Л.Д. Теория поля / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - Москва: Наука, 1988. - Т.2. - 378 с.

79. Фурса, Т. В. Исследование механоэлектрических преобразований в образцах цементного раствора в процессе трещинообразования, вызванного циклическим замораживанием-оттаиванием / Т. В. Фурса // Письма в ЖТФ. - 2010.

- Т. 36, вып. 8. - С. 1 - 6.

80. Суржиков, А. П. Механоэлектрические преобразования при упругом ударном возбуждении композиционных диэлектрических материалов / А. П. Суржиков, Т. В. Фурса / Журнал теоретической физики. - 2008. - Т. 78, вып. 4. - С. 71 - 76.

81. Суржиков. А. П. Математическая модель электрического отклика на акустическое возбуждение композиционных материалов [Электронный ресурс] / А. П. Суржиков, Т. В. Фурса, H. Н. Хорсов // Известия Томского политехнического университета. - 2005. - Т. 308. - №7. - С. 6 - 9. - Электрон. версия печат. публ. - URL http://www.lib.tpu.ru/fulltext/v/Bulletm_ TPU/2005/v308/i7/01.pdf (дата обращения 02.05.13).

82. Петров, H. И. Излучение молниевого разряда / Н. И. Петров, И. Н. Сисакян // Компьютерная оптика. - 1993. - Вып. 13. - С. G5 - 75.

83. Крымский, В. В. Прямая и обратная задачи для молниевого разряда: формулировка задач и методы их решения / В. В. Крымский, А. С. Староверов // Вестник ЮУрГУ. - 2008. - №11. - С. 22 - 24.

84. Россер, У. Радиационные пояса земли / У. Россер // Успехи физических наук. - 19G5. - Т. 85. В. 1. - С. 147 - 177.

85. A Long-Lived Relativistic Electron Storage Ring Embedded in Earth's Outer Van Allen Belt. / D. N. Baker, S. G. Kanekal, V. C. Hoxie, M. G. Henderson , at all. // Science. - 2013. - Vol. 340, №6129. - P. 186 - 190.

86. Michel, F. C. Theory of Neutron Star Magnetospheres / F. C. Michel - London: Chikago Press, 1991. - 287 p.

87. Импульсное электромагнитное излучение силикатных стекол при симметричном изгибе / А. А. Воробьев [и др.]// Стекло и керамика. - 1978. - №10. - С.10 - 12.

88. Исследование импульсных электромагнитных сигналов, излучаемых льдом при механическом нагружении / А. А. Воробьев [и др.]// Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 1982. - №4. -С. 116-119.

89. Аппаратура для контроля качества неметаллических материалов и изделий но характеристикам электромагнитной эмиссии / В. Ф. Гордеев [и др.] // Дефектоскопия. - 1994. - №4. - С.48 - 54.

90. Источники электромагнитной эмиссии в бетонах / В. Ф. Фурса [и др.] // Письма в ЖТФ, - 1994. - Т. 20, вып. 21. - С. 1-5.

91. Электромагнитная эмиссия диэлектрических материалов при статическом и динамическом нагружении / В. Ф. Гордеев [и др.] // ЖТФ. - 1994. - Т. 64, вып. 4. - С. 57 - 67.

92. Brigante, М. An efficient numerical algorithm for crack reconstruction in elastic media by the circular US scanning / M. Brigante, M. A. Sumbatyan // Inverse Problems in Science and Engineering. - 2010. - V. 18. - P. 361 - 379.

93. Malyshkov, Yu.P. Periodicity of geophysical fields and seismicity: possible link with core motion / Yu. P. Malyshkov. S. Yu. Malyshkov // Russian Geology and Geophysics. - 2009. - V. 50. - P. 115 - 130.

94. Malyshkov, Yu.P. Periodicity of geophysical fields and seismicity: possible link with core motion / Yu. P. Malyshkov, S. Yu. Malyshkov // Russian Geology and Geophysics. - 2009. V.50. - P. 115 - 130.

95. Оценка напряженно-деформированного состояния горного массива по параметрам ЕИЭМПЗ / В. Ф. Гордеев и др. // "ГЕО-Сибирь-2009": Сб. материалов V Междунар. научн. конф. Новосибирск, 20 - 24 апреля 2009 г. -Новосибирск: СГГА, 2009. - Т. 1. Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия. Ч. 2. - С. 71 - 75.

96. Юшкова, О. В. Восстановление параметров слоистой среды / О. В. Юшкова // Радиофизика. - 1995. - №7. - С. 648.

97. Low-frequency magnetic field measurements near the epicentre of the ms 7.1 Loina Prieta earthquake / A. C. Fraser-Smith [and etc.] // Geophysical Research Letters. - 1990. - V. 17. - P. 1465 - 1472.

98. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. - Москва: Наука, 1976. - 576 е.: ил.

99. Эльсгольц, Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление: учебник / Л. Э. Эльсгольц. - Изд. 5-е. - Москва: YPCG, 2002. - 320 с.

100. Fursa, Т. V. The effect of the filler particle size on the efficiency of mechanoelectrical transformations in concretes / Т. V. Fursa, V. F. Gordeev /7 Technical Physics Letters. - 2000. - V. 26. - P. 105 - 106.

101. Mognaschi, E. R. On the possible origin, propagation and detectability of electromagnetic precursors of earthquakes / E. R. Mognaschi // AttiTicinensi di Scienzedella Terra. - 2002. - V. 43. - P. Ill - 118,

102. Бори, M. Основы оптики / M. Бори, Э. Вольф. - Москва: Наука, 1973. -720 с.