Развитие и исследование алгоритмов вероятностного моделирования движения малых тел солнечной системы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.03.01, кандидат физико-математических наук Сюсина, Ольга Михайловна

• Сюсина, Ольга Михайловна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сюсина, Ольга Михайловна

ВВЕДЕНИЕ

1 Формирование вероятностной модели движения малых тел

1.1 Постановка задачи.

1.2 Уравнения движения.

1.3 Определение начальных параметров

1.3.1 Задача наименьших квадратов.

1.3.2 Свойства метода дифференциальных поправок.

1.4 Задание весовых матриц.

2 Построение доверительных областей

2.1 Вводные замечания.

2.2 Пфстановка задачи.

2.3 Линейный подход к построению доверительных областей

2.4 Построение эллипсоидальных доверительных областей.

2.5 Способы определения показателей нелинейности

2.6 Способы уменьшения нелинейности задач оценивания.

2.7 Нелинейные методы построения начальных доверительных областей

2.8 Исследование влияния весовых матриц на построение доверительных областей

2.9 Влияние систематических ошибок на точность построения доверительных областей

2.10 Комбинированный способ отображения начальной доверительной области.

2.10.1 Линейные отображения.

2.10.2 Примеры определения допустимых интервалов применимости линейных отображений.

3 Определение начальных параметров орбиты кометы Гершель-Риголле

3.1 Алгоритм отбраковки наблюдений.

3.2 Определение лучшей выборки наблюдений.

3.3 Эфемеридные угловые положения кометы и моменты ее следующего сближения с Землей

3.4 Вычисление системы начальных параметров с использованием эфемерид больших планет БЕ414 и БЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие и исследование алгоритмов вероятностного моделирования движения малых тел солнечной системы»

Актуальность проблемы, рассматриваемой в работе, определяется возросшим в последнее время интересом к исследованию движения малых тел (астероидов и комет) Солнечной системы, что вызвано рядом причин. Основной из них является осознание того, что исследование орбитальной динамики малых тел проливает свет на эволюцию Солнечной системы в целом. Значительное увеличение количества открываемых в настоящее время астероидов и комет (общее количество открытых к настоящему времени объектов уже более пятисот тысяч и процесс обнаружения новых, ранее не наблюдавшихся, объектов активно продолжается) требуют развития эффективных вероятностных и численных методов и средств их реализации, способствующих более точному исследованию движения объектов.

Целью работы является совершенствование и разработка математических методов вероятностного описания движения малых тел Солнечной системы, а также их применение к решению ряда практических задач.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи.

1. Разработаны в линейной и нелинейной постановке эффективные методы определения областей возможных значений параметров орбит малых тел по граничным поверхностям доверительных областей. Для варианта, когда доверительная область может быть с высокой точностью представлена в параметрическом пространстве в виде эллипсоида, разработано три линейных алгоритма отображения возможных значений параметров орбит на его граничную поверхность. Для варианта, когда представление доверительной области в виде эллипсоида неправомерно и граничная поверхность рассматривается в виде уровенной поверхности, определяемой целевой функцией, разработан более трудоемкий нелинейный способ отображения на эту поверхность.

2. Разработаны и исследованы различные способы определения в параметрическом пространстве точности аппроксимации доверительных областей эллипсоидами, которая рассматривается как характеристика (показатель) нелинейности и позволяет судить в какой постановке (линейной или нелинейной) надо решать задачу построения области возможных значений параметров орбиты рассматриваемого объекта.

3. Исследованы особенности задачи наименьших квадратов (НК) и построения начальных областей возможных значений параметров орбит в разных системах координат.

4. Разработан комбинированный метод отображения во времени начальной области возможных значений параметров орбит, включающий в себя линейное и нелинейное отображения.

5. Исследован способ отбраковки наблюдений и введения весовых множителей, основанный на уменьшении объемов доверительных областей.

Научная новизна исследования состоит в следующем:

1. Разработаны алгоритмы построения граничных поверхностей доверительных областей в линейной и нелинейной постановке.

2. Предложены варианты приближенных и более точного, имеющего простое геометрическое толкование, способов вычисления показателей нелинейности.

3. Показано, что при решении задач НК и определении начальных областей возможных значений параметров орбит малых тел, наблюдаемых в одной оппозиции, лучшей системой параметров орбит является декартовы координаты и скорости.

4. Предложен комбинированный способ отображения во времени начальных областей возможных значений параметров орбит, включающий в себя линейное и нелинейное отображения.

5. Предложены способы отбраковки наблюдений и введения весовых множителей, основанные на предположении, что лучшей выборкой наблюдений и лучшими весовыми множителями является вариант, в котором определяемая доверительная область имеет меньшие размеры.

6. Определены показатели нелинейности в задачах построения начальных областей возможных значений параметров орбит 412 АСЗ, наблюдавшихся в одной оппозиции.

Практическая значимость работы

Представленные в работе методы и разработанное на их основе программно-математическое обеспечение могут быть использованы в задачах исследования вероятностной эволюции движения малых тел Солнечной системы, построения эфемерид их движения, идентификации объектов, а также в задачах определения вероятности столкновения исследуемых объектов с большими планетами. Особенностью методов является их направленность на уменьшение численных расчетов, которая включает в себя следующее.

1. Применение быстрых и более точной оценок показателей нелинейности для выбора линейных либо нелинейных методов построения областей возможных значений параметров орбит объектов. В частности, в работе получены такие оценки для 412 АСЗ, которые наблюдались в одной оппозиции. На основе полученных оценок даются четкие рекомендации по использованию алгоритмов построения доверительных областей.

2. Представление областей возможных значений параметров орбит в виде граничных поверхностей доверительных областей, что позволяет осуществлять нелинейные отображения областей во времени значительно меньшим количеством возможных траекторий объектов.

3. Применение комбинированного способа отображения во времени начальных областей возможных значений параметров орбит, что позволяет уменьшить интервал времени, на котором нужно использовать трудоемкое нелинейное отображение, основанное на расчете ансамбля большого числа возможных траекторий объекта.

Кроме того, предлагаемый в работе способ отбраковки наблюдений и введения весовых множителей в ряде случаев позволяет повысить точность НК-оценок параметров орбит объектов и уменьшить размеры вероятностного разброса возможных значений этих параметров. Применяя этот способ, автором получена новая система начальных параметров орбиты кометы Гершель-Риголле и на основе ее построена новая эфемерида кометы.

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Алгоритмы построения граничных поверхностей доверительных областей, определяемых в линейной и нелинейной постановке.

2. Способы определения показателей нелинейности в задачах построения областей возможных значений параметров орбит малых тел и их применение к АСЗ, наблюдавшихся в одной оппозиции.

3. Комбинированный способ отображения во времени областей возможных значений параметров орбит, включающий в себя линейное и нелинейное отображения.

Апробация результатов исследования

По результатам исследования опубликованы 25 работ, из которых 11 статей в российских изданиях (Черницов и др., 2006а: Черницов и др., 2007а; Черницов и др., 2007b; Сюсина и др., 2009; Сюсина и др., 2010b; Сюсина и др., 2011а; Сюсина и др., 2011b; Сюсина и др., 2011с; Сюсина и др., 201 Id; Сюсина и др., 2011е; Сюсина и др., 2012), входящих в перечень рецензируемых научных изданий, а также 14 работ в других изданиях (Дубае, 2005; Дубае и др., 2005; Дубае, 2006а; Дубае, 2006b; Дубае, 2008; Дубае, 2009; Черницов и др., 2006b; Черницов и др., 2006с; Chernitsov et.all, 2007; Сюсина и др., 2010а; Сюсина и др., 2010с; Сюсина и др., 2010d; Сюсина и др., 2010е; Сюсина и др. 2010f).

Во всех работах, написанных совместно с A.M. Черницовым и В.А. Тамаровым, A.M. Черницов}' принадлежит выбор тем исследования, постановка задач и обсуждение полученных результатов. В.А Тамаров принимал участие в тестировании на упрощенных моделях численных расчетов и подготовке публикаций. Соавторы А.П. Батурин (Сюсина и др., 2011е) и A.A. Кудашкина (Сюсина и др., 2010с; Сюсина и др., 2010f) принимали участие в тестировании ряда численных расчетов, связанных с построением численной теории движения кометы Гершель-Риголле. Соавторы работы (Черницов и др., 2007b) В.А. Авдюшев и М.А. Баныцикова принимали участие лишь в численном эксперименте для спутника Юпитера Himalia, результаты которого в диссертации не приводятся. Автору во всех публикациях принадлежит разработка рабочих алгоритмов, их программная реализация и проведение всех численных экспериментов, включенных в диссертацию.

Результаты исследований докладывались и обсуждались на 14 конференциях:

1. XXXIV Международная студенческая научная конференция, г. Екатеринбург, 31 января - 4 февраля 2005 г.;

2. Всероссийская астрономическая конференция "Околоземная астрономия — 2005", г. Казань, 19 - 24 сентября 2005 г.;

3. V всероссийская конференция "Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики", г. Томск, 3-5 октября 2006 г.;

4. XXXV Международная студенческая научная конференция, г. Екатеринбург, 30 января - 3 февраля 2006 г.;

5. Международная научная конференция "Современные проблемы астрономии", г. Одесса, 2007 г.;

6. International astronomical meeting "Dynamics of Solar System Bodies" in Siberia, Tomsk, July 27 - 31, 2008 г.;

7. VI Всероссийская конференция "Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики", г. Томск, 25 сентября - 2 октября 2008 г.;

8. Всероссийская конференции "Современная баллистика и смежные вопросы механики", г. Томск, 17 - 19 ноября 2009 г.:

9. XXXVIII Международная студенческая научная конференция, г. Екатеринбург, 2-6 февраля 2009 г.;

10. Всероссийская астрономическая конференция (ВАК—2010) "От эпохи Галилея до наших дней", пос. Нижний Архыз, 12 - 19 сентября 2010 г.;

11. Всероссийская конференция с участием зарубежных ученых "Математическое и физическое моделирование опасных природных явлений и катастроф", г. Томск, 18-20 октября 2010 г.;

12. VI Всероссийская конференция "Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики", г. Томск, 12 - 14 апреля 2011 г;

13. Международная конференция "Околоземная астрономия — 2011", Красноярск, 5-10 сентября 2011 г.;

14. II Всероссийская Молодежная научная конференция "Актуальные проблемы современной механики сплошных сред и небесной механики", г. Томск, 11-13 апреля 2012 г.

Результаты, представленные в диссертации, включены в отчеты по проекту N 2.1.1/2629 "Развитие и применение основанных на параллельных вычислениях математических моделей сложных космических систем естественного и искусственного происхождения", выполняемого в рамках АВЦП "Развитие потенциала высшей школы"; в отчеты по гос. контрактам N П1247 и N П882 в рамках реализации ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России"; в отчеты по гранту РФФИ N 05-02-17043 и N 11-02-00918-а.

Содержание диссертационной работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников (99 наименований), двух приложений, содержит 23 рисунка и 15 таблиц. Объем диссертации составляет 117 страниц.

Заключение диссертации по теме «Астрометрия и небесная механика», Сюсина, Ольга Михайловна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенное исследование по совершенствованию и разработке математических методов вероятностного описания движения малых тел Солнечной системы, а также их применение к решению ряда практических задач, позволяет сделать следующие выводы:

1. Получены в линейной и нелинейной постановке эффективные методы определения областей возможных значений параметров орбит малых тел по граничным поверхностям доверительных областей. Численными экспериментами показано, что способ задания граничной поверхностью начальной доверительной области позволяет минимизировать количество необходимых для этого точек. Оценки показывают, что для построения доверительных областей в б-ти мерном параметрическом пространстве по граничной поверхности требуется на несколько порядков меньше точек, чем в случае заполнения этими точками всего объема области.

2. Для оценки нелинейности решаемой задачи предложены приближенные и более точный способы вычисления показателей нелинейности. Численные оценки для 412 АСЗ, наблюдавшихся в одной оппозиции, показали хорошее совпадение значений показателей, вычисленных разными способами. Поэтому можно применять приближенные способы для быстрой оценки степени нелинейности задачи, что позволяет выбрать, не прибегая к трудоемкому точному способу, в какой постановке (линейной или нелинейной) надо решать задачу построения области возможных значений параметров орбит рассматриваемого объекта.

3. Разработан комбинированный метод отображения на заданный момент времени начальной (эллипсоидальной) области возможных значений параметров орбит, включающий в себя линейное и нелинейное отображения. В предложенном комбинированном способе построения отображений вначале применяется линейное отображение начальной области с последующей оценкой полученной области на нелинейность. Если показатель нелинейности для отображенной области оказывается больше заданного порогового значения, то область вычисляется линейным способом на некоторый предельный момент времени, для которого она еще остается эллипсоидальной. Затем на последующем интервале времени осуществляется нелинейное отображение. Определение на примере четырех астероидов допустимых интервалов, на которых возможно применение линейных отображений, показало, что такой подход дает возможность значительно уменьшить вычислительные затраты, так как позволяет сузить интервал, на котором нужно использовать нелинейное отображение.

4. Исследованы особенности задачи наименьших квадратов и построения начальных областей возможных значений параметров орбит малых тел в разных системах координат и при выборе различных моментов времени, на которые определяются начальные параметры их опорных орбит. На примере нескольких исследуемых астероидов показано, что если объект наблюдался в одной оппозиции, процесс улучшения начальных параметров следует проводить в пространстве декартовых переменных, так как в этом случае скорость сходимости метода дифференциальных поправок будет выше, а область сходимости шире. Для большинства объектов, наблюдавшихся в двух и более оппозициях, лучшей системой начальных параметров является кеплерова система, но существует ряд исключений, поэтому для таких объектов нет однозначного ответа о выборе лучшей системы начальных параметров. Показано также, что начальную область желательно определять на момент времени внутри интервала наблюдаемости объекта, например, на момент, равный среднеарифметическому моментов времени наблюдений. Такой выбор момента времени уменьшает нелинейность задачи оценивания начальной области и позволяет во многих случаях использовать для ее решения линейный подход.

5. Для объектов, содержащих малые систематические ошибки в модели движения и наблюдениях, исследован способ отбраковки наблюдений и введения весовых множителей, основанный на уменьшении объемов доверительных областей. Способ применен для построения новой численной теории движения кометы Гершель-Риголле. Выбор этой кометы для исследования связан с тем, что ее наблюдения в значительной мере неравноточные, и поэтому на этом объекте возможна в полной мере демонстрация рассматриваемого способа отбраковки наблюдений. Учесть негравитационные возмущения в движении этой кометы невозможно, так как она наблюдалась только в двух появлениях. В то же время, из-за низкой точности визуальных наблюдений кометы Гершель-Риголле в первом ее появлении и значительных ошибок многих фотографических наблюдений во втором появлении, можно сделать предположение, что систематические ошибки, связанные с ис учетом в модели ее движения негравитационных возмущений относительно велики и тем самым позволяют считать результаты отбраковки корректными.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сюсина, Ольга Михайловна, 2012 год

1. Авдюшев В.А. Новый метод для статистического моделирования возможных значений параметров в обратных задачах орбитальной динамики // Астрон. вест. 2009. Т. 43. N. 6. С. 565-574.

2. Авдюшев В.А. Численное моделирование орбит. Томск: Изд-во HTJI, 2010. 284 с.

3. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. Спр. изд. М.: Фин. и стат., 1983. 471 с.

4. Аттеков A.B., Галкин C.B., Зарубин B.C. Методы оптимизации. Москва: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. 440 с.

5. Бажинов И.К., Почукаев В.Н. Оптимальное планирование навигационных измерений в космическом полете. М.: Машиностроение, 1976. 288 с.

6. Бард Й. Нелинейное оценивание параметров. М.: Статистика, 1979. 349 с.

7. Брауэр Д., Клеменс Дж. Орбиты и массы планет и спутников // Планеты и спутники. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. С. 43—95.

8. Брауэр Д, Клеменс Дж. Методы небесной механики. М.: Мир, 1964. 515 с.

9. Брумберг В.А. Релятивистская небесная механика. М: Наука, 1972. 384 с.

10. Быкова Л.Е. Исследование орбитальной эволюции астероидов, сближающихся с Землей и движущихся в окрестности соизмеримости 4/1 с Юпитером // Изв. вузов. Физика. Томск: Изд-во ТГУ, 2006. Приложение. Т. 49. N 2. С. 17-26.

11. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. М.: Высшая школа, 2000. 480 с.

12. Виноградова Т.А., Кочетова О.Ad., Чернетенко Ю.А. и др. Орбита астероида (99942) Апофис, определенная из оптических и радарных наблюдений // Астрон. вестн. 2008. Т. 42. N 4. С. 291-300.

13. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. М.: Фин. и стат., 1986. Кн.1. 366 с.

14. Дубае О.М. Определение вероятностных областей движения астероидов // Тр. 34-й междунар. студ. науч. конф. "Физика космоса". Екатеринбург, 31 января-4 февраля 2005 г. Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 2005. С. 225.

15. Дубае О.М. Применение методов наименьших квадратов в задаче построения областей возможных движений астероидов // Тр. 35-й междунар. студ. науч. конф. "Физика космоса". Екатеринбург, 30 января-3 февраля 2006 г. Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 2006а. С. 218.

16. Дубае О.A4. Особенности построения доверительных областей в нелинейных задачах оценивания // Тр. 38-й междунар. студ. науч. конф. "Физика космоса". Екатеринбург, 2-6 февраля 2009г. Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 2009. С. 325.

17. Дубошин Г.Н. Теория притяжения. М.: Изд-во физ.-мат. лит., 1961. 208 с.

18. Дэннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. М.: Мир, 1988. 440 с.

19. Ермаков С.М., Жиглявский A.A. Математическая теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1997. 320 с.

20. Жданюк Б.Ф. Основы статистической обработки траекторных измерений. М.: Советское радио, 1978. 384 с.

21. Железнов Н.Б. Влияние корреляционных связей между орбитальными параметрами астероида на определение вероятности его столкновения с планетой методом Монте-Карло// Астрон. вестн. 2010. Т. 44. N 2. С. 150-157.

22. Заботин A.C., Медведев Ю.Д. Определение орбит и эллипсоидов рассеяния потенциально опасных для Земли астероидов // Труды ИПА РАН. 2008, вып. 19. С. 68-78.

23. Заботин A.C., Медведев Ю.Д. О точности орбиты астероида (99942) Apophis на момент его сближения с Землей в 2029г. // Письма в Астрон. журн. 2009. Т. 35. N 4. С. 312-320.

24. Ивашкин В.В., Стихно К.А. О проблеме коррекции орбиты сближающегося с Землей астероида (99942) Apophis // Докл. РАН. 2008. Т. 419. N 5. С. 624-627.

25. Ивашкин В.В., Стихно К.А. О предотвращении возможного столкновения астероида Апофис с Землей // Астрон. вестн. 2009. Т. 43. N 6. С. 502-516.

26. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976. 576 с.

27. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 744 с.

28. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 1998. 575 с.

29. Кочетова О.М., Чернетенко Ю.А., Шор В.А. Насколько точна орбита астероида (99942) Апофис и какова вероятность столкновения с ним в 2036-2037 гг. // Астрон. вестн. 2009. Т. 43. N 4. С. 338-347.

30. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы высшей математики. Т.1. М.: Высшая школа, 1972. 584 с.

31. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов. М.: Наука, 1986. 232 с.

32. Медведев Ю.Д., Свешников М.А., Сокольский А.Г., Тимошкова Е.И., Чернетенко Ю.А., Черных Н.С., Шор В.А. Астероидно—кометная опасность // Спб.: ИТА РАН, 1996. 244 с.

33. Мудров В.И., Кушко В.Л. Методы обработки измерений. М.: Радио и связь, 1983. 304 с.

34. Огарков М.А. Методы статистического оценивания параметров случайных процессов. М.: Энергоатомиздат, 1990. 208 с.

35. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986. 288 с.

36. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: А4ир, 1975. 560 с.

37. Соколов Л.Л., Башаков A.A., Питьев Н.П. Особенности движения астероида 99942 Apophis // Астрон. вестн. 2008. Т. 42. N 1. С. 20-29.

38. Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. М.: Наука, 1968. 800 с.

39. Сюсина О.М., Черницов A.M., Тамаров В.А. Новые алгоритмы построения методом Монте-Карло начальных доверительных областей движения малых тел // Изв. вузов. Физика. 2009. Приложение. Т. 52. N 10/2. С. 48-55.

40. СюсинаО.М.,Черницов A.M., Тамаров В.А. Алгоритмы построения граничных поверхностей доверительных областей движения малых тел // Изв. вузов. Физика. 2010b. Приложение. Т. 53. N 8/2. С. 77-83.

41. Сюсина О.М., Черницов A.M., Кудашкина A.A. Определение начальных параметров орбиты кометы Гершель-Риголле. // Тр. Всеросс. астрон. конф. ВАК—2010 "От эпохи Галилея до наших дней", пос. Нижний Архыз, 12-19 сентября 2010г. 2010с. С. 52.

42. Сюсина О.A4., Черницов A.M., Тамаров В.А. Методы построения доверительных областей движения малых тел Солнечной системы. // Вест. СибГАУ. Красноярск: РИО СибГАУ, 2011а. С. 15-20.

43. Сюсина О.М., Черницов A.Ad., Тамаров В.А. К задаче определения граничной поверхности доверительной области в нелинейном случае // Изв. вузов. Физика. 2011b. Приложение. N 6/2. С. 63-70.

44. Сюсина О.М., Черницов A.M., Тамаров В.А. Оценивание нелинейности в задачах построения начальных доверительных областей движения малых тел // Изв. вузов. Физика. 2011с. Приложение. N 6/2. С. 71-77.

45. Сюсина О.М., Черницов A.M., Тамаров В.А. Комбинированный способ отображения доверительных областей движения малых тел на произвольный момент времени // Изв. вузов. Физика. 201 Id. Приложение. N 6/2. С. 78-83.

46. Сюсина О.М., Черницов A.M. Тамаров В.А., Батурин А.П. Определение начальныхпараметров орбиты кометы Гершель-Риголле // Изв. вузов. Физика. 2011е. Приложение. N 6/2. С. 110-117.

47. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами. А4.: Мир, 1973. 959с.

48. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975. 534с.

49. Черницов А.А4. Анализ некоторых упрощенных схем определения оценок параметров движения небесных тел // Астрон. и геод. Томск: Изд-во ТГУ, 1975. Вып. 5. С. 6-19.

50. Черницов A.M. О применении одного обобщенного итерационного метода при оценивании параметров движения небесных тел // Астрон. и геод. Томск: Изд-во ТГУ, 1976. Вып. 6. С. 47-55.

51. Черницов A.M. Улучшение орбит при грубых значениях начальных параметров //Астрон. и геод. Томск: Изд-во ТГУ, 1981. Вып. 9, С. 48-56.

52. Черницов A.M., Боярова Н.В. Численное исследование методов ускоренной сходимости в задачах улучшения начальных параметров орбит // Астрон. и геод. Томск: Изд-во ТГУ. 1989. Вып.15. С. 223-240.

53. Черницов A.M., Батурин А.П. О точности прогнозирования движения комет // Исследования по баллистике и смежным вопросам механике: Сб. статей. Томск: Изд-во ТГУ. 1998а. С. 144-148.

54. Черницов A.M., Батурин А.П., Тамаров В.А. О представлении вероятностных областей движения малых тел // Астрон. и геод. Томск: Изд-во ТГУ, 1998b. Вып.16. С. 98-113.

55. Черницов A.M. Батурин А.П. Новая система элементов кометы Гершель-Риголле // Астрон. и геод. Томск: Изд-во ТГУ. 1998с. Вып.16. С. 172-176.

56. Черницов A.M., Батурин А.П., Тамаров В.А. Анализ некоторых методов определения вероятностной эволюции движения малых тел Солнечной системы // Астрон. вест. М.: Наука, 1998d. Т. 32. N 5. С. 459-467.

57. Черницов A.M., Батурин А.П. Новая улучшенная система элементов орбиты кометы 35Р/Herschel-Rigollet // Астрон. вест. 2001. Т.4. В. 35. С.357-368.

58. Черницов A.M., Тамаров В.А. Определение допустимого уровня систематических ошибок наблюдений при построении областей возможных движений Малых тел // Изв. вузов. Физика. Томск: Изд-во ТГУ, 2003. Приложение. N 12. С. 75-81.

59. Черницов A.M., Дубае О.М., Тамаров В.А. Способы уменьшения нелинейности задачи наименьших квадратов при построении областей возможных движений астероидов

60. Изв. вузов. Физика. Томск: Изд-во ТГУ, 2006а. Приложение. Т. 49. N 2. С. 44-51.

61. Черницов A.M., Тамаров В.А., Дубае О.М. Влияние ошибок в задании весовых матриц на точность определения доверительных областей движения астероидов // Изв. вузов. Физика. Томск: Изд-во ТГУ, 2007b. Приложение. Т. 50. N 12/2. С. 52-59.

62. Шапорев С.Д. Оценка статистических характеристик ошибок наблюдений в анализе данных о траекториях движения небесных тел // Автореф. дисс. на соискание уч. степ, д.ф.-м.н. СПб., 1996а. 33 с.

63. Шапорев С.Д. Оценка корреляционной функции ошибок наблюдений методом двойного быстрого преобразования Фурье // Препринт ИТА РАН. СПб.:ИТА РАН, 1996b. N 61. 20 с.

64. Шапорев С.Д. Оценка корреляционной функции ошибок наблюдений статистическими методами бутстрепа и складного ножа // Препринт ИТА РАН. СПб.:ИТА РАН, 1996с. N 62. 25с.

65. Шеффе Г. Дисперсионный анализ. М.: Наука, 1980. 512 с.

66. Эльясберг П.Е. Определение движения по результатам измерений. М.: Наука, 1976. 416 с.

67. Avdyushev V.A. Nonlinear methods of statistic simulation of virtual parameter values for investigating uncertainties in orbits determined from observations // Celest. Mech. Dyn. Astr. 2011. V. 110. N 4. P. 369-388.

68. Bates D.M., Watts D.G. Relative Curvature Measures of Nonlinearity // J. R. Statist. Soc. 1980. V. 42. N 1. P. 1-25.

69. Bcale E.M.L. Confidence Regions in Nonlinear Estimation // J. R. Statist. Soc. 1960. V. 22. R 41-88.

70. Astron. J. 74. 1969 P. 297-307. Marsden B.G., Williams G.V. Catalogue of cometary orbits. // 8-th Edition. Smithsonian

71. Astrophys. obs., Cambridge, USA, 1993. 106 p. Marsden B.G., Sekanina Z., Yeomans D. Comets and nongravitational forces. V.// Astron. J. 78, 1973. 211 p.

72. Milani A, Sansaturio M.E., Tommei G., Arratia O, Chesley S.R. Multiple solutions for asteroid orbits: Computational procedure and applications. // Astron. Astrophys. 2005. V 431. P. 729-746.

73. Muinonen K. Orbital covariance eigenproblem for asteroids and comets // Mon. Not. R.

74. Sitarski G. Generating of "Clones"/ : of an Impact Orbit for the Earth-Asteroid Collision

75. Acta Astronomica. 2006. V. 56. P. 283-292. Standish E.M. JPL Planetary and Lunar Ephemerides, DE405/LE405 // Interoffice

76. Memorandum. 1998. V. 312. F-98-048. P. 1-18. Virtanen J., Muinonen K., Bowell E. Statistical Ranging of Asteroid Orbit // Icarus. 2001. V. 154. P. 412-431.

77. Urabe J. Convergence of numerical iteration in solution of equations // Journal of Science,

78. Hiroshima University, A19, 156. P. 479 489. http://www.oaa.gr.jp/ oaacs/index.htm, 2005 ftp: //ssd.jpl.nasa.gov/pub/eph / planets ftp: / / ssd. jpl. nasa. gov / pub / eph / planets