Разработка теории и методов решения задач физической геодезии на основе быстрых линейных преобразований тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.32, доктор технических наук Мазурова, Елена Михайловна

• Мазурова, Елена Михайловна
• доктор технических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор технических наук Мазурова, Елена Михайловна

Оглавление

Введение

Глава 1 Классические и современные математические подходы к постановке и решению задач физической геодезии

1.1 Краевые задачи теории потенциала

1.1.1 Прямые и обратные задачи теории потенциала

1.1.2 О корректности постановки краевых задач

1.2 Классические подходы к решению краевых задач физической геодезии

1.2.1 Метод функций Грина

1.2.2 Метод сферических функций

1.2.3 Метод интегральных уравнений

1.3 Современные математические подходы к постановке и решению задач физической геодезии

1.3.1 Концепция сферы Бъерхаммара

1.3.2 Коллокация (статистический и функциональный подходы)

1.3.3 Вариационный метод регуляризации

1.3.4 Метод оптимальных интегральных ядер

1.3.5 Мультипольное представление потенциала. Другие современные подходы к решению дискретных задач физической геодезии

1.3.6 Метод сверток на основе линейных дискретных преобразований. Быстрые алгоритмы

1.4 Аппаратные средства для вычисления БПФ и БПХ

1.5 Краевые задачи физической геодезии

1.5.1 Третья краевая задача

1.5.2 Вторая краевая задача

1.5.3 Краевая задача М.С.Молоденского

1.5.4 Краевая задача GPS

1.6 Анализ состояния проблемы и методов решения задач физической геодезии. Постановка задачи

Глава 2 Теория линейных преобразований Фурье и Хартли

2.1 Непрерывные преобразования

2.1.1 Одномерное и двумерное непрерывные преобразования Фурье

2.1.2 Одномерное и двумерное непрерывные преобразования Хартли

2.2 Дискретизация и квантование

2.3 Дискретные преобразования. Их матричная интерпретация

2.3.1 Одномерное и двумерное дискретное преобразование Фурье

2.3.2 Одномерное и двумерное дискретное преобразование Хартли

2.4 Структура быстрых алгоритмов гармонического анализа

2.4.1 Алгоритмы быстрого преобразования Фурье с децимацией во временной области

2.4.2 Алгоритмы быстрого преобразования Фурье с децимацией по частоте

2.4.3 Двумерное быстрое преобразование Фурье

2.4.4 Матричная интерпретация быстрого преобразования Фурье

2.4.5 Алгоритмы быстрого преобразования Хартли с децимацией во временной области

2.4.6 Алгоритмы быстрого преобразования Хартли с децимацией по частоте

2.4.7 Двумерное быстрое преобразование Хартли. Матричная форма

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка теории и методов решения задач физической геодезии на основе быстрых линейных преобразований»

В настоящее время с развитием глобальных навигационных спутниковых систем GPS (США) и ГЛОНАСС (Россия) геодезическая информация значительно увеличилась в объеме и изменилась в качестве измерений, что привело к пересмотру стратегии развития не только геодезии и гравиметрии как наук, но и топографо-геодезического и гравиметрического производства.

Развитие высокоэффективных спутниковых методов определения трехмерных координат позволяет получить высокоточную высотную сеть без трудоемкого нивелирования, но только при условии, если с сантиметровой точностью удастся определить аномалию высоты. Составляющие уклонения отвеса также надо знать с точностью не только нулевого, но и последующих приближений.

Актуальность диссертационной работы определяется необходимостью точного определения трансформант гравитационного поля.

Использование спутниковых методов, с применением глобальных навигационных систем GPS и ГЛОНАСС, а также создание глобальной сети станций, непрерывно принимающих сигналы со спутников GPS и ГЛОНАСС, сделало реальным распространение с сантиметровой точностью единой трехмерной системы координат на всей поверхности планеты. Это означает, что поверхность Земли S можно считать известной.

Поэтому, в настоящее время, можно перейти от решения краевой задачи физической геодезии, в которой краевая поверхность сама подлежит определению к краевой задаче, в которой краевая поверхность известна. Современные спутниковые измерения позволяют вычислить чистые аномалии силы тяжести не менее точно, чем смешанные. Интегральные оценки, выполненные В.В.Броваром, показали, что вычисления трансформант гравитационного поля по формулам, использующим чистые аномалии силы тяжести Sg, снижают ошибки аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса почти в два раза, относительно вычислений, выполненных по смешанным аномалиям А^ [14].

Таким образом, первым путем повышения точности вычисления указанных трансформант является определение их по формулам, позволяющим использовать чистые аномалии силы тяжести ^, которые являются функцией широты в, долготы I и геодезической высоты н. Для вычисления аномалии высоты - это интеграл Неймана, а для вычисления составляющих уклонения отвеса - это модифицированный интеграл Венинг-Мейнеса.

Дальнейшее повышение точности вычисления указанных трансформант связано с методом вычислений.

Благодаря трудам М.С. Молоденского, В.Ф.Еремеева, М.И. Юркиной, В.В.Бровара, Б.В.Бровара, Л.П.Пеллинена, О.М.Остача, Б.П.Шимбирева, В.А.Магницкого и других ученых методы определения физической поверхности Земли и ее внешнего гравитационного поля базируются на строгой теории, позволяющей принципиально строго с любой степенью точности решать задачи физической геодезии. Общим для этих методов является представление аномалии силы тяжести притяжением материального слоя на поверхности Земли первого приближения и сведением задачи к решению последовательными приближениями составленных интегральных уравнений. При этом обеспечиваются универсальность и теоретически неограниченные возможности повышения точности конечных результатов. Однако Л.П.Пеллинен отмечал, что для практического использования эти методы неудобны, так как " на каждой стадии приближений приходится вычислять в каждой точке физической поверхности несобственные интегралы. Это вычисление предъявляет одинаково высокие требования к знанию высот, аномалии силы тяжести и поправок, найденных в предыдущих приближениях, в окрестностях каждой исследуемой точки. Другой недостаток указанных методов - физическая нереальность материальной модели, объясняющей гравитационные аномалии. Из-за этого распределение плотностей материального слоя оказывается в горных районах весьма сложным и неустойчивым даже при спокойном поле аномалий силы тяжести, а процесс приближений сильно замедляется".

То есть, проблема точного определения трансформант гравитационного поля заключается в том, что классические методы решения задач физической геодезии основаны на составлении и решении того или иного интегрального уравнения, а это требует знания непрерывных безошибочных значений аномалии силы тяжести по всей поверхности Земли. Но непрерывная гравиметрическая изученность практически невозможна, а классический подход не способен дать полный ответ при неполной гравиметрической изученности.

На практике исходная информация дискретна, отягощена ошибками измерений и известна не на всей поверхности Земли.

Важнейшей чертой многих исследований, выполненных в последние годы в области физической геодезии, является подход к задачам физической геодезии, как к задачам аппроксимации. Основные усилия направлены на учет специфики реальных данных, которые не учитываются в классических методах.

Большую роль в создании и развитии современных методов физической геодезии сыграли такие ученые, как А.Бъерхаммар (Bjerhammar), Х.Мориц (H.Moritz), Рапп P.(Rapp R.), Чернинг С. (Tscherning С.), Краруп T.(Krarup Т.), Р.Хирвонен (R.Hirvonen), В.И.Аронов, М.И.Марыч, Ю.М.Нейман и другие.

В настоящее время разработано достаточно большое количество различных методов решения задач физической геодезии. Однако большие трудности возникают даже при вычислении первого поправочного члена, не говоря уже о последующих.

Поэтому целью данной диссертационной работы является разработка принципиально новых теоретических и практических методов решения задач физической геодезии на основе современных математических достижений.

Интегралы Стокса, Неймана, интеграл Венинг-Мейнеса и модифицированный интеграл Венинг-Мейнеса, а также последующие члены классических рядов Молоденского являются интегралами двумерной свертки (двумерным уравнением Фредгольма 1 рода). Проведенный анализ современных методов вычисления указанных трансформант показал, что очень эффективно использовать для вычисления указанных интегралов в центральной и ближней зонах метод линейных дискретных преобразований, таких как Фурье, Хартли, Уолша, Уолша-Адамара, Хаара, Карунена-Лоэва, cas - cas и г - преобразования, вейвлет-преобразование. Указанные преобразования имеют две формы: аналитическую и дискретную. Для нас важны обе - первая позволяет сделать вывод аналитических образов ядер вычисляемых интегралов, вторая привлекательна тем, что, во-первых: исходные данные в задачах физической геодезии имеют дискретный вид и естественно использовать для их обработки алгоритмы дискретных преобразований, во-вторых: для некоторых из указанных дискретных преобразований разработана эффективная техника вычислений - быстрые алгоритмы, использование которых позволяет вычислять большие массивы дискретной информации, присущие задачам физической геодезии, в реальном масштабе времени. Так для 1024-точечного дискретного преобразования Фурье(ДПФ) объем требуемых вычислений можно снизить в 208,4 раза. Экономия возрастает с увеличением N и для достаточно больших N достигает 99% объема вычислительных затрат стандартного метода. При выполнении ДПФ требуется N2 операций комплексного умножения и сложения. При выполнении быстрого преобразования Фурье (БПФ) требуется (N/2)\og2N тех же операций. Поэтому выигрыш в вычислениях растет по закону N2 -(iV72)log2 N. Использование спецпроцессоров еще больше увеличивает скорость обработки.

Вычисление трансформант гравитационного поля на основе быстрых преобразований имеет ряд бесспорных преимуществ относительно других методов, поскольку позволяет получать окончательный результат одновременно во всех узлах заданной решетки в реальном масштабе времени и вычислить любой порядок приближения, что практически сложно или даже невозможно сделать другими методами.

При использовании метода быстрых линейных преобразований точность вычисления указанных трансформант зависит только от точности исходной аномалии силы тяжести и ошибки дискретизации, но это присуще всем методам вычислений.

Проверка разработанных подходов и методов проводилась на дискретных преобразованиях Фурье и Хартли, так как эти преобразования имеют наибольшее количество быстрых алгоритмов эффективно реализующих дискретные преобразования. К тому же, в настоящее время, разработаны спецпроцессоры для данных преобразований.

Одной из задач данной диссертационной работы является разработка двух методов точного определения указанных трансформант: первый связан с вычислением аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса по формуле Неймана и модифицированного интеграла Венинг-Мейнеса в плоской аппроксимации с точностью нулевого приближения и вычисления поправочных членов, которые так же являются интегралами свертки. Здесь разрабатывались как методы вычисления, в которых поправочные члены вводятся непосредственно в значения чистой аномалии силы тяжести, так и методы вычисления, когда поправочные члены вводятся в нулевые приближения указанных трансформант.

Второй метод связан с выводом уточненных ядер в рассматриваемых интегралах. Все методы реализуются на основе вычисления интегралов свертки через быстрые алгоритмы преобразований Фурье и Хартли. Поскольку известно, что гораздо эффективнее быстрые преобразования Фурье и Хартли работают, если известны аналитические образы Фурье (Хартли) ядер в указанных интегралах, то ставится задача, на основе теории специальных функций, получить для второго метода соответствующие аналитические образы уточненных ядер. При использовании спектрального анализа для вычислений трансформант гравитационного поля возникает достаточно большое количество побочных эффектов, которые необходимо исследовать и учесть при разработке алгоритмов.

Поэтому данная диссертационная работа направлена на достижение следующих результатов:

1. Развитие теории решения задач физической геодезии

- доказать эквивалентность интегрального решения В.В.Бровара и метода аналитического продолжения Марыча-Морица в терминах свертки для исвторой краевой задачи физической геодезии;

- обосновать целесообразность использования дискретных линейных преобразований при решении задач физической геодезии;

- разработать несколько видов уточненных ядер для интеграла Неймана и модифицированного интеграла Венинг-Мейнеса с целью повышения точности вывода аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса. При выполнении коррекции использовать различные аппроксимирующие функции, произвести сравнение скорректированных ядер и выбрать оптимальное по точности и удобству использования;

- на основе непрерывных преобразований Фурье, Хартли и теории специальных функций сделать вывод аналитических образов Фурье и Хартли для оптимальных уточненных ядер в интеграл Неймана и модифицированный интеграл Венинг-Мейнеса.

2. Разработать методы вычисления трансформант гравитационного поля, реализующую теорему о свертке в частотной области с использованием алгоритмов быстрых преобразований Фурье и Хартли по формулам плоской аппроксимации в рамках строгой теории М.С.Молоденского (с точностью нулевого, первого и последующих приближений). Здесь необходимо разработать два подхода: в первом создать методы вычисления, в которых поправочные члены вводятся непосредственно в значения чистой аномалии силы тяжести, во втором создать методы вычисления, когда поправочные члены вводятся в нулевые приближения рассматриваемых трансформант гравитационного поля.

3. Разработать методы вычисления трансформант гравитационного поля, реализующие алгоритмы вычисления интегралов Неймана и модифицированного интеграла Венинг-Мейнеса с аналитическими образами скорректированных ядер.

4. Выполнить сравнение методов.

5. Провести исследования различных эффектов, возникающих при работе с дискретными линейными преобразованиями, выработать конкретные рекомендации по учету этих эффектов в разработанных методах исследовать переход от циклической свертки к линейной (эффекты подмены и наложения); исследовать вопрос, связанный с дискретностью обрабатываемой информации и выбором интервала дискретизации;

- исследовать эффект, связанный с конечностью длины выборки; выполнить исследование и подбор двумерных окон;

- рассмотреть сдвиг функций по осям координат во временной и частотной областях;

- рассмотреть взаимосвязь преобразований Фурье и Хартли;

- сравнить эффективность быстрых дискретных преобразований Фурье и Хартли.

6. Обосновать общие подходы и разработать технологические схемы, позволяющие строить новые методы и алгоритмы решения задач физической геодезии на основе других дискретных линейных преобразований, например, Уолша, Хаара и родственных им преобразований. Провести проверку общих подходов и технологических схем, используя преобразования Фурье и Хартли.

7. Обосновать возможность и целесообразность использования разработанных методов, технологических схем и алгоритмов, как в смежных областях (сейсмографии, гравиразведке, магниторазведке, геофизике и т.д.), так и в других областях науки, касающихся цифровой обработки сигналов, например, голографии, распознавании речи и образов, цифровой связи и т.д.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений, вынесенных в отдельный том.

Заключение диссертации по теме «Геодезия», Мазурова, Елена Михайловна

Основные результаты опубликованы в статьях [42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50,51].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Определение координат точек в трехмерном пространстве с сантиметровой точностью позволяет получить высокоточную высотную сеть без трудоемкого наземного нивелирования, но только при условии, что с не меньшей точностью удается определить аномалию высоты.

Современные спутниковые измерения позволяют вычислить чистые аномалии силы тяжести не менее точно, чем смешанные. Одним из путей повышения точности вычисления аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса заключается в вычислении их через интеграл Неймана и модифицированный интеграл Венинг-Мейнеса. Дальнейшее повышение точности связано с методом вычисления указанных трансформант.

На основе изучения проблем и проведенного анализа, как классических, так и современных методов решения задач физической геодезии в диссертации разработана теория и методы решения указанных задач на основе линейных дискретных преобразований в рамках строгой теории М.С.Молоденского.

Все методы разрабатывались на основе использования дискретных линейных преобразований Фурье и Хартли с использованием быстрых алгоритмов вычисления этих преобразований. Использование сразу двух преобразований позволило теоретически обосновать и разработать общие технологические схемы, позволяющие строить новые методы и алгоритмы решения задач физической геодезии на основе других дискретных линейных преобразований, таких как, например, преобразования Уолша, Хаара, Уолша-Адамара, саз-саэ преобразования, г-преобразования и других родственных им преобразований.

Современные требования к точности вычисления аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса требуют вычисления не только с точностью нулевого, но и последующих приближений. В диссертационной работе разработаны три метода вычисления с точностью первого приближения. А также разработана теория и алгоритмы вычисления с точностью не только первого, но и последующих приближений.

Разработаны различные уточненные ядра для интеграла Неймана и модифицированного интеграла Венинг-Мейнеса, проведены их исследования, сделано сравнение по точности и простоте использования. Получены аналитические образы Фурье и Хартли уточненных ядер, рекомендуемых к использованию.

Проведенные эксперименты показали, что вычисление интеграла Неймана и модифицированного интеграла Венинг-Мейнеса с разработанными образами Фурье (Хартли) уточненных ядер данных интегралов дают точность первого приближения.

Сделан сравнительный анализ по простоте, скорости, удобству использования алгоритмов БПФ и БПХ в разработанных методах. Данные исследования показали, что преобразование Хартли, являясь вещественным преобразованием, специально предназначенным для обработки вещественного сигнала, не имеет существенных преимуществ перед преобразованием Фурье, так как, в настоящее время, разработано достаточно большое количество алгоритмов быстрого преобразования Фурье, приспособленных для обработки вещественных последовательностей. Организация двумерных алгоритмов преобразования Хартли более сложная, чем для преобразования Фурье. Тем не менее, в диссертационной работе разрабатывались методики вычисления трансформант гравитационного поля, в которых можно использовать как преобразование Фурье, так и преобразование Хартли.

Отметим, что разработанные технологические схемы вычисления сверток могут быть использованы не только при решении задач физической геодезии, но также в смежных науках, например, сейсморазведке, гравиразведке, геофизике, гидрологии, картографировании планет, а так же при получении и обработки речевых сигналов и изображений, голографических системах, радиолокации и в других областях, связанных с цифровой обработкой сигналов.

Представленные к защите результаты являются дальнейшим развитием работ, выполненных автором на протяжении многих лет.

Таким образом, основные теоретические и практические разработки, полученные в данной диссертации, заключаются в следующем:

1. Развитие теории решения задач физической геодезии выполнено доказательство эквивалентности интегрального решения В.В.Бровара и метода аналитического продолжения Марыча-Морица в терминах свертки для второй краевой задачи физической геодезии;

- обоснована целесообразность использования дискретных линейных преобразований при решении второй и третьей краевых задач физической геодезии;

- разработано несколько видов уточненных ядер для интеграла Неймана и модифицированного интеграла Венинг-Мейнеса с целью повышения точности вычисления аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса. При выполнении коррекции использовать различные аппроксимирующие функции, проведено сравнение скорректированных ядер и выбраны оптимальные по точности и удобству использования;

- на основе непрерывных преобразований Фурье, Хартли и теории специальных функций сделан вывод аналитических образов Фурье и Хартли для оптимальных уточненных ядер в интеграл Неймана и модифицированный интеграл Венинг-Мейнеса.

2. Разработаны методы вычисления трансформант гравитационного поля, реализующую теорему о свертке в частотной области с использованием алгоритмов быстрых преобразований Фурье и Хартли по формулам плоской аппроксимации в рамках строгой теории М.С.Молоденского (с точностью нулевого, первого и последующих приближений). Здесь разработано два направления: в первом созданы методы вычисления поправочных членов, которые вводятся непосредственно в значения чистой аномалии силы тяжести, во втором разработаны методы вычисления поправочных членов в рассматриваемые трансформанты гравитационного поля.

3. Разработаны методы вычисления трансформант гравитационного поля, реализующие алгоритмы вычисления интегралов Неймана и модифицированного интеграла Венинг-Мейнеса с аналитическими образами скорректированных ядер.

4. Выполнено сравнение методов из пунктов 2 и 3.

5. Проведены исследования различных эффектов, возникающих при работе с дискретными линейными преобразованиями, выработаны конкретные рекомендации по учету этих эффектов в разработанных методах исследован переход от циклической свертки к линейной (эффекты подмены и наложения); исследована проблема, связанная с дискретностью обрабатываемой информации и выбором интервала дискретизации;

- исследован эффект, связанный с конечностью длины выборки; выполнено исследование и подбор двумерного окна;

- исследован эффект, возникающий в результате сдвига функций по осям координат во временной и частотной областях;

- исследована взаимосвязь преобразований Фурье и Хартли; произведено сравнение эффективности быстрых дискретных преобразований Фурье и Хартли.

6. Разработаны общие принципы и технологические схемы, позволяющие строить новые методы и алгоритмы решения задач физической геодезии на основе других дискретных линейных преобразований, например, Уолша, Хаара и родственных им преобразований, которые в данной работе проверены на использовании преобразований Фурье и Хартли.

7. Рассмотрена возможность и целесообразность использования разработанных методов, технологических схем и алгоритмов, как в смежных областях (сейсмографии, гравиразведке, магниторазведке, геофизике и т.д.), так и в других областях науки касающихся цифровой обработки сигналов, например, голографии, распознавании речи и образов, цифровой связи и т.д.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Мазурова, Елена Михайловна, 2006 год

1. Агурок И.П. Использование алгоритма быстрого преобразования Фурье для ускорения алгоритма быстрой интерполяции Котельникова// Изв. вузов, Приборостроение, 1985,№9, стр.35-38.

2. Аронов В.И. К вопросу о редуцировании аномалий силы тяжести в горной области// В кн. Геофизическая разведка. М.: Госгеолтехиздат, 1963.

3. Аронов В.И. Обработка на ЭВМ значений аномалий силы тяжести при произвольном рельефе поверхности наблюдений// М., «Недра», 1976, 129 е., илл. (1976, 7.52.86).

4. Бабешко JI.O., Нгуен Тхань Вьет. Исследование некоторых методов восстановления скалярного поля с хаотичной сетки// Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1988, №1, с.30-34.

5. БатМ. Спектральный анализ в геофизике//М.: Недра, 1980.

6. Бейтмен Г., А.Эрдейи Высшие трансцендентные функции (гипергеометрическая функция, функции Лежандра)// М., Наука, 1965, 294с.

7. Белый A.A., Бовбель Е.И., Микулович В.И. Исследование алгоритмов быстрого преобразования Фурье по основанию 4 с постоянной структурой// Радиотехн. и электрон., 1980, Т.25, №8, с.1638-1647.

8. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов// М.: Недра, 1971.

9. Блейхуд Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов// М.: Мир, 1989, 448с.

10. Болд Г.Э.Дж. Сравнение времен вычисления быстрых преобразований Хартли и Фурье// ТИИЭР, 1985, Т.73, №12, с.184-185.

11. Брейсуэлл Р.Н. Быстрое преобразование Хартли// ТИИЭР, 1984, Т.72, №8, стр. 19-27.

12. Брейсуэлл Р. Преобразование Хартли// М. ,Мир, 1990 г.,175с.

13. Бровар B.B. О решении краевой задачи Молоденского// Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1963, №4, с. 129-137.

14. Бровар В.В. О возможном повышении точности гравиметрических выводов в геодезии // Астрономический журнал, 1971, т.48, №6, с. 1327-1332.

15. Бровар В.В., Магницкий В.А., Шимбирев Б.П. Теория фигуры Земли// М., Изд-во геодезической литературы, 1961, 256с.

16. Бровар В.В., Чеснокова Т.С. Аппроксимационные формулы для вычисления возмущающего потенциала и его производных в приближении Стокса // Труды государственного астрономического института им. П.К. Штернберга, 1990, т.61, с.141-185.

17. Ватсон Дж.(Watson G.N.) Теория бесселевых функций//ИЛ., 1949.

18. Вьюхина H.H. Индексное устройство процессора для быстрого преобразования Фурье // Автометрия, 1973, №3, стр.32-39.

19. Гладкий К.В., Серкеров С.А. Преобразования Фурье и их приложения в гравиразведке и магниторазведке//М.: Недра, 1974, 74с.

20. Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов// М.: Сов. радио, 1973, 367с.

21. Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов// М.: Мир, 1988,488с.

22. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения// М.: Мир, 1971-72, т.1 и т.2, 316с., 287с.

23. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам,РХД, Москва-Ижевск, 2004, 463 с.

24. Евтеев Ю.А., Кущев Б.И., Пикулин B.C. и др. Аппаратурная реализация дискретного преобразования Фурье//М.: Энергия, 1978, стр.128.

25. Еремеев В.Ф., Юркина М.И. Теория высот в гравитационном поле Земли// М.," Недра", 1972,144с.

26. Еремеев В.Ф., Юркина М.И. Интегральные уравнения для плотности простого поля// Тр. ЦНИИГАиК, вып. 198, 1972, с. 57 178

27. Ефанов В.Н., Коршевер И.И., Лобастов В.М. О вычислении мгновенного спектра // Автометрия., 1973, №3, с.39-45.

28. Ефимов A.B. Математический анализ (специальные разделы). Общие функциональные ряды и их приложение// М.: Высшая школа, 1980, т.1, 279с.

29. Жонгалович И.Д. Некоторые формулы, относящиеся к движению материальной точки в поле тяготения уровенного эллипсоида вращения// «Бюллетень института теоретической астрономии», т. VII, 1960, № 7, с. 521 — 537

30. Зайцев Г.В., Пагулин Н.Е. Класс алгоритмов быстрого преобразования Фурье действительной последовательности // Проблемы передачи инф., 1983, Т.19, №1, с.49-60.

31. Залманзон JI.A. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их приложение в управлении, связи и других областях // М. Наука, 1989, с.495.

32. Идельсон Н.И. Теория потенциала и ее приложения к вопросам геофизики// Гос. технико- теоретическое издательство, Ленинград, 1932 г., 348с.

33. Канасевич Э.Р. Анализ временных последовательностей в геофизике// М.: Недра, 1985.

34. Каханер Д., К.Моулер, С. Нэш Численные методы и программное обеспечение// М.: Мир, 2001г., 575с.

35. Короткова Л.Л. Выборочные функции и их использование в геодезии и селенодезии.// Геодезия, картография и аэрофотосъемка (Львов), 1979, № 29, с. 30-42

36. Косарев Е.Л. Методы обработки экспериментальных данных// М.: МФТИ, 2003, 256с.

37. Кузнецов M.B. Об учете первого приближения в решении задачи Молоденского вариационным методом// «Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка», 1978, № 4, 46 51 (1979, 3.52.61)

38. Кузнецов М.В. Использование обобщенного параметра регуляризации в решении задачи Молоденского вариационным методом// «Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка», 1979, № 4, 36 41 (1979, 11.52.73)

39. Кухарев Г.А., Тупиков В.Д. О некоторых алгоритмах обработки сигналов, реализуемых с использованием быстрого преобразования Фурье// Изв. вузов, приборостроение, 1980, №6, с.52-56.

40. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа// М.: Физматгиз, 1961,274с.

41. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения// М. Изд. ф-м лит., 1983, 358с.

42. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации// М., Мир, 1980, 608с.

43. Мазурова Е.М. Алгоритмы быстрого преобразования Фурье// Изв.вузов Геодезия и аэрофотосъемка, №3, 2004, с. 18-3 5.

44. Мазурова Е.М. Двумерное и матричное представление быстрого преобразования Фурье//Изв.вузов.Геодезия и аэрофотосъемка,№4,2004,с.3-12.

45. Мазурова Е.М. О сравнении эффективности быстрого дискретного преобразования Фурье и быстрого дискретного преобразования Хартли//Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, №1,2005, с.3-9.

46. Мазурова Е.М. К вопросу о вычислении поправки за рельеф на основе преобразования Фурье. В сб.научных докладов V международной научно-практической конференции // М.: МГИУ, 2005, с.241-244.

47. Мазурова Е.М. Алгоритм вычисления первого поправочного члена в формулы нулевого приближения теории Молоденского на основе преобразования Фурье // "Геодезия и Картография" , №5, 2005, с. 18-20.

48. Мазурова Е.М. Вычисление вторых поправочных членов при определении аномалии высоты и компонентов уклонения отвесной линии на основепреобразования Фурье и Хартли для района Центральных Альп// " Геодезия и Картография" , №6, 2005, с.22-25.

49. Мазурова Е.М. К вопросу об определении одной из компонент внешнего гравитационного поля Земли// "Исследование Земли из космоса", №6, 2005,с.28-33.

50. Мазурова Е.М. О вычислении аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса с точностью первого приближения теории Молоденского на основе преобразования Фурье// Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка , №6, 2005, с.14-21.

51. Мазурова Е.М. О краевой задаче геодезии в плоской аппроксимации с точностью нулевого приближения теории Молоденского на основе преобразования Фурье// Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, №5, 2005, с.14-22.

52. Мазурова Е.М. О вычислении циклической и линейной сверток// Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, №1, 2006, с.28-45.

53. Мазурова Е.М. Алгоритм вычисления третьего поправочного члена в формулах определения аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса на основе преобразования Фурье //Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка , №2, 2006, с.24-30.

54. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов// Мир, Москва, 2005, 671 с.

55. Майоров А.Н. Использование спектрального представления высот рельефа и аномалий силы тяжести при вычислении поправки 01 // Физическая геодезия ( сборник статей ), М.: ЦНИИГАиК, 1999, с.81-87.

56. Маккелан Дж.Х., Рейдер Ч.М. Применение теории чисел в цифровой обработке сигналов// М.: Радио и связь, 1983, 367с.

57. Марченко А.Н. О вычислении моментов гравитационных мультиполей Земли//Геодезия, картография и аэрофотосъемка, 1977, вып. 25, стр. 35-41.

58. Марыч М.И. О решении задачи Молоденского с помощью ряда Тейлора// В сб. Геодезия, картография и аэрофотосъемка. Издательство Львовского университета, вып.17, 1973, с.26-33.

59. Мещеряков Г.А., Марченко А.Н. Нахождение осей гравитационных мультиполей//Геодезия, картография и аэрофотосъемка,1977,вып.25,с.42 47.

60. Молоденский М.С., Еремеев В.Ф., Юркина М.И. Методы изучения внешнего гравитационного поля и фигуры Земли// Труды ЦНИИГАиК, М., вып.131,1960, 251с.

61. Молоденский М.С. Определение фигуры геоида при совместном использовании астрономо-геодезических уклонений отвеса и карты аномалий силы тяжести// Труды ЦНИИГАиК, М.: Редбюро ЦЕ1Ж при СНК СССР, вып. 17,1937.

62. Молоденский М.С. Основные вопросы геодезической гравиметрии// Труды ЦНИИГАиК, М., вып.42,1945.

63. Мориц Г. Современная физическая геодезия// М.: Недра, 1983, с.391.

64. Мориц Г. Теория Молоденского и GPS (Памяти М.С.Молоденского) // Геодезия и картография, № 6,2001,с.7-17.

65. Нейман Ю.М. Вариационный метод физической геодезии// М., «Недра», 1979,200с., (1980,2.52.59).

66. Нейман Ю.М. О регуляризации краевой задачи Молоденского// "Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка", 1975, № 3, 57 64 (1976, 6.52.92).

67. Нейман Ю.М. Вариационный метод решения дискретных задач физической геодезии// «Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка», 1977, № 1, 21 27 (1977, 10.52.67).

68. Нейман Ю.М. К обоснованию вариационного метода теории фигуры Земли// «Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка», 1977, № 4, 21 25 (1978, 3.52.62)

69. Нейман Ю.М. Вероятностная модификация формулы Стокса при вычислении аномалии высот// «Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка», 1974, №6, с. 21-24

70. Нуссбаумер Г.Д. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток// М.: Радио и связь, 1985, 248с.

71. Нэш Р.А., Джордан С.К. Статистическая геодезия: вклад инженеров и практические применения// ТИИЭР, т.66, №5, 1978, с.5-26.

72. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции// М. Наука, 1978, 375 с.

73. Орлова Е.М. Труды ЦНИИГАиК, М.: Недра, 1965, вып. 157

74. Отнес Р., Эноксон JI. Прикладной анализ временных рядов// М: Мир, 1982, 428с.

75. Пеллинен Л.П. Исследование уклонений отвеса и вывод фигуры квазигеоида на Кавказе// Труды ЦНИИГАиК, вып. 86, 1951, с.62-96.

76. Пеллинен Л.П., Остач О.М. Об учете влияния топографических масс при вычислении уклонений отвеса и высот квазигеоида// Stad. geophys. et geod., Vol.18, №4,1974, p.319-328.

77. Пеллинен Л.П. О тождественности различных решений задачи Молоденского// Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1974, №3, с.65-71.

78. Пеллинен Л.П. Влияние топографических масс на вывод характеристик гравитационного поля Земли// Труды ЦНИИГАиК, М.: Геоиздат, вып. 145, 1962.

79. Пеллинен Л.П. О вычислении уклонений отвеса и высот квазигеоида в горах// Тр. ЦНИИГАиК, вып. 176, М„ Недра, 1969, стр. 99 112.

80. Петров Ю.П., Сизиков В.С. Корректные , некорректные и промежуточные задачи с приложениями//С-Пб, Политехника, 2003, с.261.

81. Никулин В.П., С.И. Похожаев Практический курс по уравнениям математической физики// М., МЦНМО, 2004, 208с.

82. Прадо Ж. Замечания к статье "Быстрое преобразование Хартли "// ТИИЭР, 1985.Т.73,№12, с.182-183.

83. Прангишвили И.В., Виленкин С.Я., Медведев И.Л. Параллельные вычислительные системы с общим управлением// М.:Энергоатомиздат,1983, 312с.

84. Прангишвили И.В. Применение микропроцессоров в приборостроении// Приборы и системы управления, 1981, №2, с. 48-50.

85. Прудников А.П., Ю.А. Брычков, О.И. Маричев Интегралы и ряды. Специальные функции // М., Наука, 1983, 750с.

86. Прудников А.П., Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды//М., Наука, 1981,798с.

87. Рабинер JL, Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов//М.,Мир, 1978, 848с.

88. Ракошиц B.C., Козлов A.B., Можаев И.А., Беляев A.A. Специализированные микропроцессоры, реализующие быстрые преобразования. Цифровая обработка сигналов и ее применения // Отв.ред. Л.П. Ярославский, М.: Наука, 1981, с.206-217.

89. Рейнберг A.M. Оценка точности аппаратной реализации алгоритма быстрого преобразования Фурье//Труды НИИР,№1, Спутниковая и радиорелейная связь, М., Радио и связь, 1986, с.113-120.

90. Сабанин Б.П.Дискретное преобразование Хартли и его приложение// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Математическое моделирование физических процессов, №4, 1977, с.75.

91. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов//Сан.-Пет.:Питер, 2004, 603с.

92. Сретенский Л.Н. Теория Ньютоновского потенциала// М-Л, Гостехиздат, 1946,318 с.

93. Староверова Е.М. О Вычислении редукции аномалии силы тяжести на горизонтальную поверхность методом быстрого преобразования Фурье// Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1989, №1, с.108-112.

94. Староверова Е.М. Об учете первого приближения в вычислениях компонентов уклонения отвеса с использованием преобразования Фурье// Деп. УДК 528.232.24 № 377 гд - 89 от 20 апреля, Юс.

95. Староверова Е.М. Вычисление дискретной свертки с использованием быстрого преобразования Фурье при определении гравиметрических уклонений отвеса//Деп. УДК 528.232.24 № 394 гд - 89 от 12 июля, 11с.

96. Староверова Е.М. Разработка и исследование методов решения задач физической геодезии на основе быстрого преобразования Фурье// Дисс. на соискание ученой степени кандидата технических наук, М.,1989,220с.

97. Старостенко В.И. Устойчивое решение задачи Неймана для гравитационного потенциала// "Изв. АН СССР. Физ. Земли", 1976, № 5, 46 -58 (1976,11.52.97)

98. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я.Методы решения некорректных задач// М.,Наука, 3-е изд., 1986 , 288 с.

99. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов A.A. Математические задачи компьютерной томографии// М., Наука , 1987;160 с.

100. Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач// М.,Наука,1990; 160 с.

101. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач// М., «Наука», 1974 .

102. Умов H.A. Построение геометрического образа потенциала Гаусса как прием изыскания законов земного магнетизма// Избр. соч. -М. Л., Гостехиздат, 1950, 555с.

103. Хемминг Р.В. Цифровые фильтры// М., Недра, 1987, 221с.

104. Херрис Р.Дж. Использование окон при гармоническом анализе методом дискретного преобразования Фурье// ТИИЭР, т.66, №1, 1978, с.60-96.

105. Хокни Р., Джессхоуп К. Параллельные ЭВМ. Архитектура, программирование и алгоритмы// М., Радио и связь, 1986, 392с.

106. Чуйкова H.A. О представлении разложения геометрической фигуры Луны по сферическим и выборочным функциям// "Астроном, ж.", 1978, 55, № 3, с. 617-627

107. Шварцтраубер П. Векторизация быстрого преобразования Фурье. В кн. Параллельные вычисления// М., Наука, 1986, с.56-87

108. Шеннон К. Связь при наличии шума. В кн. Работы по теории информации и кибернетике//М., Ил., 1963, с.433-460

109. Шимбирев Б.П. Теория фигуры Земли// М.: Недра, 1975, с.431,432

110. Юркина М.И. Методы исследования фигуры Земли в горном районе// Труды ЦНИИГАиК, М., Геодезиздат, вып. 103,1954.

111. Юркина М.И. Вычисление первой и второй вертикальных производных силы тяжести по картам ее аномалий // Труды ЦНИИГАиК, М., вып. 157,1965

112. Юркина М.И. Основы теории Молоденского. Оценка точности// Тр.ЦНИИГАиК, 1972, вып. 198, с.9 56.

113. Янке Е., Ф.Эмде, Ф.Леш Специальные функции. Формулы, графики и таблицы//М., Наука, 1968, 344с.

114. Agarwal,R.C., and Burrus C.S. Fast one-dimensional digital convolution by multi-dimensional techniques// IEEE , Trans. Acoust., Speech . Signal Process., ASSP-22,1, February 1974, pp.1-10.

115. Agarwal,R.C., and Burrus C.S. Number theoretic transforms to implement fast digital convolution // Proc. IEEE , 63, April, 1975, pp.550-560.

116. Agarwal,R.C., and J.W.Cooley New Algorithms for Digital Convolution// IEEE Trans.Acoust.,Speech, Signal Proc. ASSP-25(1977),pp.392-410.

117. Balmino G. Introduction to Least Squares Collocation// "Approximation Mathods in Geodesy", ed. H. Moritz, H. Sunkel. . Herbert Wichmann Verlag, Karlsruhe, 1978.

118. Bellaire R.G. Correlation functions on the upper half space// "Bull, geod.", 1977, 51, № 2,149 161 (1978,1.52.71).

119. Bergland G.D. and M.T.Dolan" Subroutine FFA" in Programs for Digital Signal Processing// New York : IEEE PRESS,1979, pp.1211-1216.

120. Bergland, G.D. A fast Fourier transform algorithm for real valued series// Communs ACM., 1968, Vol.11, №10, pp.703-710.

121. Bingham, C., M.D. Codfrey, Y.W. Tukey. Modern Techniques of Power Spectrum Estimation// IEEE Transaction on Audio and Electroacoustics, 1967, Vol.AU-15, №2, pp.56-66.

122. Bold J. A comparison of the time involved in computing fast Hartley and Fourier transform// Proc.IEEE, 1985, Vol.73,pp. 1863-1864.

123. Bracewell R.N., O. Buneman , H.Hao, I.Villasenor /Fast two-dimensional Hartley transform// IEEE, Vol.74,1986, pp.1282-1283.

124. Bracewell R. The fourier transform and its application// New-York et.at.: MeGraw-Hill Book Company, 1978, 448p.

125. Bracewell R.N. The Discrete Hartley Transform// J. Opt. Soc. Amer., Vol.73, Dec. 1983, pp. 1832-1835.

126. Bracewell R.N. The fast Hartley transform// Proc.IEEE, 1984, Vol.72, pp.1010-1018.

127. Brigham E.O., Morrow R.E. The Fast Fourier Transform// IEEE Spectrum, 1974, Vol.4, №12, pp.63-70

128. Bjerhammar A. Gravimetric Geodesy Free of Density Estimates Through Analysis of Discrete Gravity Data// "Gimrada. Fort Belvoir", 1963.

129. Bjerhammar A.A. New Theory of Geodetic Gravity// Royal Institute of Technology, Geodesy Division, Stockholm, 1964.

130. Bjerhammar A. On the discrete boundary value problem in physical geodesy// "Proc. Symp. Earth's Gravit. Field and Secul. Variat. Posit. Syndey, 1973". Sudney, 1974, 475 488 (1776, 8.52.68)

131. Bjerhammar A. Discrete approaches to the solution of the boundary value problem in physical geodesy//"Boll. geod. y sci. affmi", 1975, 34, # 2, 185 240 (1975, 11.52.53)

132. Bjerhammar A. A Dirac approach to physical geodesy// "Z. Vermessungsw, 1976,101, № 26 41 44 (1976, 8.52.67)

133. Bjerhammar A. A review of discrete methods in physical geodesy. "Approximation Methods in Geodesy", ed. by H. Moritz, H. Sunkel. Herbert Wichmann Verlag, Karlsruhe, 1978

134. Buneman O./ Conversion of FFT's to fast Hartley transform//SIAM J. Sci. Statist. Comp.,1986,Vol.7,№2, pp.624-638.

135. Buneman O. Two Hartley Transform for the price of one FFT// IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Proc. ASSP-26,1979, pp.328-345.

136. Burrus, C.S., Computation of the Discrete Fourier Transform, Trends and Perspectives in Signal Processing, USA, 1982, Vol.2, pp. 1-4

137. Chevilat P.R, Transform-Domain Filtering with Number Theoretic Transforms and Limited Word Length// IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Proc. ASSP-26, 1978, pp.284-290.

138. Chen I.I. Methods for Computing Deflection of the Vertical by Modifying Vening-Meinezs'Function//Bull.Geod., 56,1982, pp.9-26.

139. Colley J.W. Applications of the Fast Fourier Transform method. //Proc. of the IBM Scientific Computing Sump., June 1966.

140. Colley J.W., Y.W. Tukey. An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series // Mathematics of Computation. Vol.19, №90, 1965, pp.297-301.

141. Danielson, G.C. and C. Lanczos. Some improvements in practical Fourier analysis and their application to X-ray scatting from liquids// J. Franklin Institute, Vol.233,1942, pp.365-380 andpp.435-452

142. Duhamel P., Hollmann H. Implementation of " split-radix" FFT algorithms for complex, real and real-symmetric data // ICASSP85, Tampra.

143. Duhamel P. Un algorithme de transformation de Fourier rapider a double base //Ann. Telecom. Vol.40,n.9-10, Sept-Oct.1985,pp.481-494.

144. Duhamel P., Vetterli M. Cyclic convolution of real sequences: Hartly versus Fourier and new schemes// International Conference On Acoustics, Speech and signal processing, Tokyo, Japan, 1986.

145. Ecker E. Uber die raumliche Konvergenz von Kugerlfünctionsreihen// Publ. Dent. Geod. Konem., A., 68,1970.

146. Erker E. The Austrian geoid Local geoid determination using modified conservative algorithms. The gravity field in Austria// Graz, 1987, pp. 19-46.

147. Ecker E. Boundary value problem for the sphere// "Bull. geod. e sei. affini", 1976, 35, №2, p.p. 185-224

148. Forsberg R. Gravity field terrain effect computations by FFT// Fall Meeting of the AGU. San Francisco, Calif, Dec., 1984.

149. Gentleman, W.M., G. Sande. Fast Fourier Transform For Fan and Profit, presented at 1966 Fall Joint Computer Conference, AFIPS Proc., 1966, Vol.29, pp.563-578.

150. Giacaglia G.E., Lundkuist C.A. Sampling functions for geophysics// "Spec. Rept. Smithson. Astrophys. Observ", 1972, № 344

151. Good,I.J. The Interaction Algorithm and Practical Fourier Analysis// Y.Roual Statist.Soc.,Ser.B20, 1958, pp.361-375.

152. Hadamard J. Sur les problemes aux derives partielles et leux signification physique// Bull.Univ. Princeton, 13, 1902.

153. Hadamard J. Le probleme de cancy et les equations aux derives partielles lineaires hyperboliques//P. .Hermann, 1932.

154. Harries, D.B., J.H. McClellan, D.S.K. Chan and H.W. Schuessler. Vector Radix Fast Fourier Transform// Rec. 1977, IEEE Internat. Conf. Acoust., Speech, Signal Proc. (1977), pp.548-551.

155. Hartliy.R.V. L. A more symmetrical Fourier analysis applied to transmission problems// Proc. Inst. Radio Engrs. March 1942, Vol30, pp.144-150.

156. Hartwell Is Hartley really faster? // Byte.1988.Vol.13, №17, pp.26-28.

157. Heiskanen, W.A. and H. Moritz. Physical geodesy// Freeman W.H., San Francisco, 1967.

158. Hirvonen R.A. Interpolation and integration of the normal free anomalies// "Bull, geod.", 1962, № 63, pp. 69-71

159. Hinton O.R. and Salex R. Two-dimensional discrete Fourier with small multiplicative complexity using number theoretical transforms//IEEE Proc. G., Electron. Circuits & Syst., 1984, 131 (6), pp.234-236.

160. Huang Th. S., Two-Dimensional Windows. IEEE Transaction on Audio and Electro acoustics//1972, AU-20, №1, pp.88-90.

161. Johnson, H.W. and C.S. Burrus. The Design of Optimal DFT Algorithms Using Dynamic Programming//IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Proc. ASSP-31, 1983, pp.378-387.

162. Keller W. Zur Konvergenzverhalten des Kollokations. Verfahrens. "Vermessungstechnik"// 1978, 26, № 12, 420 422 (1978, 8.52.70)

163. Kolba, D.P., T.W. Parks. A Prime Factor FFT Algorithm Using High Speed Convolution// IEEE Trans. Accoust., Speech, Signal Proc. ASSP-25, 1977, pp.281294

164. Kraiger G., N. Kiihtreiber, Y.M. Wang. The correction terms of the solution of Molodensky's problem by analytical continuation in the Central Alps of Austria// The gravity field in Austria. Graz, 1987, pp.95-109.

165. Krarup T. Some remarks about collocation. "Approximation Methods in Geodesy"// ed. H. Moritz, H. Sunkel. Herbert Wichmann Verlag, Karlsruhe, 1978

166. Kumaresan R., Gupta P.K. Vector-radix algorithm for a 2-D discrete Hartley transform // IEEE, Vol.74, n.5, May, 1986, pp.755-757.

167. Maxwell J.C. A treatise on Electricity and MagnetismZ/Oxford, 1881, V.l -2d ed., 464 pp.

168. McCovan, D.W. Finite Fourier Transform Theory and Its Application to the Computation Convolution, Correlations and Spectra. Research Department Technical Memorandum// № 8-66, Earth Sciences Division, Teledyne, Inc., Dec. 1966.

169. Meckelburg H.J., Lipka D. Fast Hartley transform algorithm // FRG, Electron. Lett., vol.21, no.8, Apr.ll, 1985, pp.341-343.

170. Merserean, R. and T.C. Speake. A Unified Treatment of Cooley-Tukey Algorithms for the Evaluation of the Multidimensional DFT// IEEE Trans. Accoust., Speech, Signal Proc. ASSP-29,1981, pp.1011-1018.

171. Moritz H. Series solutions of Molodensky's problem// Publ. Deut. Geod. Komm., A, 70, 1971 .

172. Moritz H. On the convergence of Molodensky's series//Boll. t. Geod. Sei. Affini, 32,1973, pp. 125-144.

173. Moritz H. The operational approach to physical geodesy// "Repts. Dep. Geod. Sei. Ohio State Univ.", 1978, № 277, 62 pp. (1979, 9.52.36)

174. MoritzH. Integral formulas and collocation//"Manuscr. geod", 1976,1, № 1, 1 -40 (1976,11.52.95)

175. Moritz H. Least Squares Collocation// Publ. Deut. Geod. Kommis. Reihe A, Heft 75, München, 1973, 91 p.

176. Moritz H. Introduction to interpolation and approximation //"Approximation Methods in Geodesy", ed. H. Moritz, H. Sunkel. . Herbert Wichmann Verlag, Karlsruhe, 1978, pp. 1 46

177. Morris P.L. A Comparative Study of Time Efficient FFT and WFTA Programs// IEEE Trans. Accoust., Speech, Signal Proc. ASSP-26, 1978, pp. 141150.

178. Nyquist H. Certain Factors Affecting Telegraph Speed// Bell. Systems Journal, Vol.3,1924.

179. Paul M.K. A method of evaluating the truncation error coefficients for geoidal height// Bulletin geodesique. 1973. V.110. p.413-425.

180. Pease, M.C. Journal Association Computation Machine// 1968, Vol.15, pp.252264.

181. Pellinen, L.P. Accounting for topography in the calculation of quasigeoidal heights and plumb-line deflections from gravity anomalies// Bull. Geod., Vol.63, 1962, pp.57-65.

182. Pick,M. Analytical continuation of a function from the Earth's surface upwards// "Bull. Geod. sei. affini", 1975, 34, № 4, p.p. 417 431

183. Rader, C.M. Discrete Fourier Transform when the Number of Data Samples is Prime//Proc. IEEE, Vol.56,1968, pp.1107-1108.

184. Rader, C. M. Discrete convolution Mersenne transform // IEEE Trans. Comput., C-21,12. December 1972, pp. 1269-1273.

185. Rapp R.H., Agajelu S.J. Comparison of upward continued anomalies computed by the Poisson integral and by collocation// "Repts. Dep. Geod. Sei. Ohio State Univ.", 1975, № 223.

186. Rivard, G.E. Direct Fast Fourier Transform of Bivariate Functions// IEEE Trans. Accoust., Speech, Signal Proc. ASSP-25,1977, pp.250-252.

187. Rummel R. A model comparison in least-squares collocation// "Bull, geod.", 1976, 50, № 2, 181 192 (1977, 2.52.66)

188. Rummel R. Gravity parameter estimation from large and densely spaced Homogeneous data set// Presented at the 8 Symposium on Mathematical Geodesy 5-th Hotine Symposium. Como., Italy, Sept. 7-9,1981

189. Schmidt H.F. Möglichkeiten zur Erstellung von Erdmodellen mit Hilfe der Sampling-Funktionen// "Veroff. Bayer. Kommis. Int. Erdmess. Bayer. Akad. Wiss. Astron-Geod. Arb", 1975, № 33,119- 123 (1976, 3.52.192).

190. Schwarz, K.P., M.G. Sideries, R. Forsberg. Ortometric heights without leveling// Journal of Surveying Engineering, New York, Vol.113, №1, 1987.

191. Sideries M.G. A Fast Fourier Transform method for computing terrain corrections// Manuscript Geodetic, Vol.10, №1, 1985, pp.66-77.

192. Sideries M.G. and K.P. Schwarz. Advances in the numerical Solution of the linear Molodensky problem// Bull. Geodesique, Vol.62, №1,1988, pp.59-69.

193. Sideries M.G. and K.P. Schwarz. Solving Molodensky s series by Fast Fourier Transform techniques// Bull. Geodesique, Vol.60, 1986, pp.51-63.

194. Silverman, H.F. An Introduction to Programming the Winograd Fourier Transform Algorithm (WETA)// IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Proc. ASSP-25, 1977, pp.152-165.

195. Singleton, R.C. A method for computing the Fast Fourier Transform with Auxiliary Memory and Limited High-Speed Storage// IEEE Transaction on Audio and Electro acoustics, 1967, Vol.AU-15, №2.

196. Singleton, R.C. An Algorithm for Computing the Mixed Radix Fast Fourier Transform// IEEE Transaction on Audio and Electroacoustics, 1969, Vol.AU-17, №2, pp.93-103.

197. Siu W.C. and Constantinides A.G. Very fast discrete Fourier transform using number theoretic transform// IEE Proc. C., Electron. Circuits & Syst., 1983, 130, (5), pp.201-204.

198. Sloane, E.A. Comparison of Linearly and Quadratically Modified Spectral Estimates of Gaussian Signals// IEEE Transaction on Audio and Electroacoustics, 1969, Vol.AU-17, №2.

199. Sorensen H.V., Jones D.L., Buris S. and Heideman M.T. On computing the discrete Hartley transform// IEEE Trans., Oct. 1985, ASSP-33, Vol.32, №4, pp.1231-1238.

200. Stockham, T.G. High Speed Convolution and Correlation// Spring Joint Computer Conference, APIPS Proc., Washington, 1966, Vol.28, pp.229-233.

201. Sunkel H. Reconstruction of functions from discrete mean values using cubic spline- functions// 16-th Gen. Assem. IAG/IUGG Grenoble, 1975, s.l, Techn. Univ. Graz. 1976,27 p., (1976,11.52.315)

202. Stokes G.G. On Attraction and clairaut's theorem// Mathem. And Phys.Papers, vol.2,Cambridge, 1883, pp.131-171.

203. Sylvester J.J. Note of spherical harmonics, 1876 in Collected Mathematical Papers// V.3., Cambridge, 1909, pp.37 51.

204. Tscherning C.C., Rapp R.H. Closed covariance expressions for gravity anomalies, geoid undulations and deflections of the vertical implied by anomaly degree variance models// "Repts. Dep. Geod. Sci., Ohio State Univ.", 1974, № 208

205. Tscherning C.C. Application of collocation// Lecture notes. Ramsau, 1973

206. Tscherning C.C. On the relation between the variation of the degree-variances and the variation of the anomalous potential// "Boll. geod. e sci. affini", 1973, 32, № 3, 149 159 (1974, 9.52.92)

207. Tscherning C.C. On the convergence of least squares collocation// "Boll. geod. e sci. affini", 1978, 37, № 2 3, 507 - 516 (1979, 6.51.61)

208. Terman F.E. Radio Engineers// Handbook. New York: Mc-Graw-Hill, 1943,The oscillator was first described in a patent disclosure dated .Feb.10,1915.

209. Theilheimer, F. A Matrix Version of the Fast Fourier Transform// IEEE Transaction on Audio and Electroacoustics, 1969, Vol.AU-17, №2, pp.1011-1024.

210. Thomas, L.H., Using a Computer to Solve Problems in Physics, in Applications of Digital Computers// Giun and Co., Boston, Mass, 1968.

211. Vassiliou, A.A. and K.P. Schwarz. Study of the high frequency spectrum of the anomaly gravity potential// The University of Calgary, Division of Surveying Engineering, Alberta, Canada, T2№1№4, 1985, 28 p.

212. Velkoborsky P. On the solution of the boundary problem of the potential theory by means of the vertical derivative of the gravity anomaly// "Stud, geophys. et geod.", 1978, 22, № 1, 38 44 (1978, 7.52.74)

213. Vetterli M., Nussbaumer H.J. Simple FFT and DCT algorithms with reduced number of operator //Signal Processing, Vol.6, №4, July 1984, pp,267-278.

214. Vetterli M., Nussbaumer H.J. Algorithmes de transformation de Fourier et en cosinus mono et bi-dimensionnels // Ann. Telecom, Vol.40, №9-10, Sept.-Oct., 1985, pp.466-476.

215. Winograd, S. A new algorithm for Inner Product// IEEE Trans. Comp. C-17, 1968, pp.693-694.

216. Winograd, S. On Computing the Fast Fourier Transform// Proc. Nat. Acad. Seien. USA, Vol.73,1976, pp.1005-1006.

217. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ

218. Разработка теории и методов решения задач физической геодезии на основебыстрых линейных преобразований (приложение)

219. Специальность 25.00.32 Геодезия

220. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук1. На правах рукописи1. Мазурова Елена Михайловна

221. Научный консультант: Почетный профессор университета, доктор технических наук Хельмут Мориц (Helmut Moritz)1. Москва 20061. Оглавление1. Оглавление 2