Методика решения обратной задачи физической геодезии со свободной границей в векторной форме тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.32, кандидат технических наук Аубакирова, Анна Константиновна

• Аубакирова, Анна Константиновна
• кандидат технических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат технических наук Аубакирова, Анна Константиновна

Аналитический обзор существующих способов решения обратной геодезической задачи теории потенциала

1.1 Определение основной уровенной поверхности Земли из решения задачи Стокса

1.2 Краевые (граничные) задачи физической геодезии

1.3 Представление поверхности квазигеоида высотами над общеземным эллипсоидом из разложения возмущающего потенциала в ряд по сферическим функциям

1.4 Способы представления фигуры Нормальной Земли и её гравитационного поля

1.5 Влияние разности между реальным и нормальным значением силы тяжести на высоты квазигеоида

1.6 Погрешность сферического приближения

2 Способы решения нелинейной обратной задачи физической геодезии в векторном виде

2.1 Обратная задача определения внешней уровенной поверхности

Земли в векторной форме

2.2 I способ определения радиус-векторов обобщённой поверхности Земли

2.2.1 Теорема единственности решения

2.2.2 Доказательство сходимости процесса итераций и единственности решения

2.3 II способ определения радиус-векторов

2.4 III способ определения радиус-векторов

2.5 Сравнение способов определения поверхности геоида

3 Описание и анализ численных экспериментов по исследова-нию способов представления моделей уровенных поверх-ностей потенциала силы тяжести в векторной форме

3.1 Численный эксперимент

3.1.1 Исходные данные

3.1.2 Программное обеспечение

3.1.3 Результаты численных экспериментов

3.1.3.1 Определение точек поверхности Нормальной Земли путём определения радиус-векторов

3.1.3.2 Моделирование внешней уровенной поверхности потенциала силы тяжести Земли в виде радиус-векторов

3.2 Сравнительный анализ результатов численных экспериментов

3.2.1 Ошибки исходных данных

3.2.2 Методические погрешности каждого алгоритма 67 Ошибки за сферическое приближение при вычислении высот

3.2.2.1 квазигеоида из разложения возмущающего потенциала в ряд по сферическим функциям

3.2.2.2 Использование значения нормальной силы тяжести при вычислении высоты квазигеоида над эллипсоидом из разложения возмущающего потенциала в ряд по сферическим функциям

3.2.2.3 Ошибки, возникающие при исключении (вычитании) нормального потенциала из полного его значения при вычислении возмущающего потенциала - несоответствие нормальной фигуры Земли представлению её потенциала

3.2.2.4 Ошибки преобразования коэффициентов в методе III

3.2.2.5 Погрешности за переход на сферу Бьерхаммера

3.2.2.6 Ошибка ограничения ряда

3.3 Методика определения радиус-векторов точек произвольной внешней уровенной поверхности потенциала силы тяжести

3.4 Варианты применения планетарной уровенной поверхности Земли в виде радиус-векторов

3.4.1 Вычисление нормальных высот как разности геодезических высот, полученных из спутниковых измерений и высот квазигеоида вычисленных по способам I и II

3.4.2 Применение информации о поле силы тяжести и геометрии, его локальных уровенных поверхностях для решения задач инженерной геодезии

3.4.3 Применение обобщённой уровенной поверхности в векторном виде для изучения фигуры и гравитационного поля Луны и планет

3.4.4 Применение методики представления произвольной уровенной поверхности для целей динамической геодезии

3.4.5 Применение методики представления произвольной уровенной поверхности для создания единой системы счета высот 74 Заключение 76 Список использованных источников 78 Приложения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методика решения обратной задачи физической геодезии со свободной границей в векторной форме»

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Обратная задача физической геодезии, сформулированная Молоденским М.С., состоит в определении фигуры реальной Земли по результатам измерений на неизвестной земной поверхности геопотенциала и силы тяжести [1, 2]. Эта обратная задача теории ньютоновского потенциала с неизвестной (или свободной) краевой поверхностью нелинейна и некорректна в классическом смысле, что значительно затрудняет исследование. Однако, её значение столь высоко, что она оказалась среди актуальных задач современного теоретического и прикладного естествознания. Поскольку общей теории обратных задач не существует, при исследовании и решении конкретной обратной задачи необходимо за счет введения дополнительных условий доказать теорему единственности решения в принятом классе функций и теорему устойчивости этого решения относительно малых изменений в исходных данных, а также разработать алгоритм устойчивого решения.

Среди обратных задач теории потенциала самый почтенный возраст и пожалуй, научную репутацию имеет задача об определении фигур равновесия вращающейся жидкости, связанная с теорией фигур Земли и проблемой изучения внутреннего строения планеты.

Основополагающее значение в этом направлении имеют исследования Ньютона И., Клеро А., Лапласа, Маклорена, Якоби, Гаусса, Стокса Г.Г., Пуанкаре А., Ляпунова A.M., Лихтенштейна Л., Джеффриса Г. и Молоденского М.С.

Решение обратной задачи, применяемое в геодезии, предполагает линеаризацию путем выделения нормального и возмущающего потенциала. Таким образом, по возмущающему потенциалу находятся малые отклонения от фигуры Нормальной Земли [3, 4, 5, 6, 7].

С повышением, в настоящее время, относительной точности геодезических работ до Г10"7-Г10"8, при вычислении производных гравитационного потенциала порядка выше первого и из-за дискретности и неравномерности распределения по поверхности Земли исходных данных необходимо учитывать нелинейность обратной геодезической задачи теории потенциала. Эта задача привлекла внимание таких крупных математиков, как Краруп Т., Хёрмандер Л., Сансо Ф., Данилюк П.И., Данилов В.Л., Прилепко А.И., Новиков П.С., Тихонов А.Н., Иванов В.К., Лаврентьев М.М., Holota Р. и др.

Накопленная в настоящее время разнородная информация о гравитационном поле Земли, а именно, спутниковые модели геопотенциала, а также измеренные значения силы тяжести могут быть использованы для исследования гравитационного поля и фигуры Земли в произвольной точке искомой поверхности [3, 4]. Результаты такого решения могут быть детализированы и уточнены за счет привлечения других видов измерений. Поэтому параллельно с традиционными методами решения задачи теории фигуры и гравитационного потенциала Земли может быть перспективным метод определения радиус-векторов точек уровенной и физической поверхности Земли из решения нелинейной задачи [8, 9, 10].

Данная задача является актуальной.

Изученность проблемы. Способам решения обратной задачи физической геодезии посвящены работы Клеро А., Стокса Д., Пицетти П., Ляпунова A.M., Пеллинена JI.II., Молоденского М.С., Юркиной М.И., Бровара В.В., Бровара Б.В., Бузука В.В., Мигаля Н.К., Мещерякова Г.А., Машимова М.М., Неймана Ю.М., Хёрмандера Л., Вовка И.Г., Жаркова В.Н., Трубицина В.П.

Цель: разработка методики решения нелинейной задачи теории потенциала, путем представления модели уровенной поверхности Земли в виде множества геоцентрических радиус-векторов точек ее поверхности.

Объект исследования: уровенная поверхность потенциала силы тяжести.

Предмет исследования: способы моделирования уровенной поверхности геоцентрическими радиус-векторами.

Основные задачи:

1. Выполнить аналитический обзор методов определения планетарной уровенной поверхности из решения обратной геодезической задачи теории потенциала силы тяжести.

2. Рассмотреть источники и величины погрешностей представления поверхности квазигеоида в виде высот над поверхностью эллипсоида, полученных из разложения возмущающего потенциала в ряд по сферическим функциям и существующие способы преодоления этих погрешностей.

3. Провести детальные аналитические исследования известных методов определения произвольной внешней уровенной поверхности потенциала силы тяжести Земли путем решения нелинейной обратной геодезической задачи в векторной форме, предложенных Мещеряковым Г.А. - способ I (итераций), Машимовым М.М. - способ II (прямого вычисления), Буршей М. - способ III (с преобразованием Стоксовых постоянных).

4. Разработать методику определения произвольной внешней уровенной поверхности потенциала силы тяжести Земли в векторной форме и выполнить необходимую доработку алгоритмов.

5. Разработать программное обеспечение для реализации исследуемых способов описания произвольной внешней уровенной поверхности is векторной форме и для вычисления высот квазигеоида из разложения возмущающего потенциала силы тяжести в ряд по сферическим функциям.

6. На основе разработанного программного обеспечения выполнить численные эксперименты на модельных и реальных объектах; сравнить результаты решения линейной и нелинейной обратной задачи; осуществить выбор способа, позволяющего обеспечить наилучшее по точности представление планетарной уровенной поверхности.

Методика исследования. При проведении теоретических, экспериментальных и модельных исследований использовались методы теории рядов, математического анализа и статистики, методы моделирования, методы физической геодезии, методы вычислительной математики

Реализация результатов работы. Модели обобщенной уроненной поверхности в векторном виде реализованы в виде комплекта алгоритмов и компьютерных программ в среде программирования MathCAD, подтверждены численными экспериментами.

На защиту выносятся:

1. Доказательство того, что поверхность, описываемая геоцентрическими радиус-векторами, полученными из решения нелинейной обратной геодезической задачи теории потенциала, позволяет исключить допущения, связанные с гипотезой линейности этой задачи.

2. Методика вычисления модулей геоцентрических радиус-векторов по способу итераций позволит получить поверхность, близкую к уровенной, свободную от ошибок за сферическое приближение, и не требует вычисления возмущающего потенциала и привлечения вспомогательной поверхности нормальной Земли в виде эллипсоида вращения.

3. Утверждение и практическое подтверждение, что планетарная уровенная поверхность, представленная геоцентрическими радиус-векторами, пригодна для решения задач трехмерной геодезии в векторной форме, создания единой системы счёта высот, вычисления нормальных высот из разности радиус-векторов физической поверхности Земли, получаемых из спутниковых измерений и радиус-векторов, вычисленных по данной методике, может быть полезна при проектировании и строительстве крупных инженерных и гидрологических сооружений.

Научная ценность и новизна работы. Рассмотрены источники и величины погрешностей представления поверхности квазигеоида в виде высш над поверхностью эллипсоида, обусловленные линеаризацией обратной задачи.

Предложено и обосновано применение способов вычисления геоцентрических радиус-векторов по способам I, II, III для получения планетарной уровенной поверхности Земли из решения нелинейной обратной задачи.

Разработана методика представления произвольной уроненной поверхности потенциала силы тяжести Земли радиус-векторами ее точек, и с ее помощью получены численные результаты. Выполнено сравнение результатов решения обратной линейной и нелинейной задач.

Вынесенные на защиту научные положения обоснованы и практически реализованы, сформулированные задачи решены. Таким образом, цель исследования - обоснование и разработка методики представления модели основной отсчётной поверхности Земли множеством геоцентрических радиус-векторов - достигнута.

Апробация. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на областной Новосибирской межвузовской научной студенческой конференции 1995 г. «Интеллектуальный потенциал Сибири», XLVII научно-технической конференции преподавателей CITA, 1997 г., международной научно-технической конференции «Современные проблемы геодезии и оптики», Новосибирск, СГГА, 1998 г., научно-технической конференции, посвященной 90-летию K.JI. Проворова «Геомониторинг на основе современных технологий сбора и обработки информации», Новосибирск, 1999 г., международной конференции АПНГ1 2002 г., Lfl международной научно-технической конференции «Современные проблемы геодезии и оптики», посвященной 70-летию СГГА, 2003 г. и конгрессе «ГЕО-Сибирь-2005», Новосибирск, СГГА, 2005 г.

Реализация и внедрение. Результаты внедрены в учебный процесс СГГА - комплект программ используется при проведении практических занятий, учебных практик и дипломном проектировании студентов специальности «Космическая геодезия».

Публикации. По теме диссертации выполнено 10 публикаций, из которых 1 в соавторстве.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, 3-х глав, заключения и 7 приложений, содержит 130 страниц машинописного текста, 7 таблиц, 19 рисунков. Список использованных источников включает 73 наименования.

Заключение диссертации по теме «Геодезия», Аубакирова, Анна Константиновна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулирована нелинейная обратная геодезическая задача теории потенциала в векторной форме.

Разработана методика представления модели обобщённой уровенной поверхности в векторном виде без привлечения гипотезы о линейности решаемой задачи и, как следствие, гипотез о свойствах Нормальной земли, нормального гравитационного поля и возмущающего потенциала, позволяющая получать решение свободное от погрешностей обусловленных влиянием по тарного сжатия Земли и несоответствия Нормального потенциала i 1ормалыюй фигуре Земли, заложенных в алгоритме представления кавзигеоида его высотами над эллипсоидом, получаемыми из разложения в ряд по сферическим функциям. Такое решение не требует введения поправок за эл. шпсоидальность Земли.

Доказана теорема существования решения и сходимости процесса итераций для способа I. На основании доказанной теоремы сделан вывод со шадающий с выводами сделанными Г.А.Мещеряковым.

Проведены численные эксперименты для оценки влияния параметров раиюжения гравитационного поля Нормальной Земли на её фигуру, представленную геоцентрическими радиус-векторами.

Выполнена оценка и сравнительный анализ точности различных способов представления обобщённой уровенной поверхности радиус-векторами, с целью выявления алгоритма позволяющего получать решение свободное от ошибок за сферическое приближение. Результаты численных экспериментов позволили сделать вывод о нецелесообразности редукции Стоксовых постоянных на сферу Бьерхаммера при вычислении модулей радиус-векторов по способу последовательных приближений I.

Рассмотрена методика вычисления нормальных высот как разности геодезических высот, полученных из спутниковых GPS/ГЛОНАСС измерений, и высот обобщенной уровенной поверхности, представленной геоцентрическими радиус-векторами полученными из решения нелинейной обратной геодезической задачи теории потенциала.

Геоцентрические радиус-векторы поверхности квазигеоида позволяют решать задачи трехмерной геодезии; получать уровенные поверхности в пространстве для решения задач космической и динамической геодезии; спутникового нивелирования; задач прикладной геодезии при сооружении крупных гидрологических и других сложных инженерных объектов требующих знания радиусов кривизны местных уровенных поверхностей, а также представления гравитационных фигур Луны и планет.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Аубакирова, Анна Константиновна, 2007 год

1. Алсксидзе, М.А. Приближенные методы решения прямых а обратных задач гравиметрии/ М.А. Алексидзе. М.: 11аука, 1987. - 336 с.

2. I leek, В. Тете dependent Geodetic boundary value problems/ В. 1 leek// Proc. Int. Symp. Figure and Dynamics of the Earth, Moon and Planets. -Prague: 1988. - p.

3. Демьянов, Г.В. К вопросу об установлении единой общеземной системы нормальных высот/ Г.В. Демьянов, А.Н. Майоров// Научно-технический сборник по геодезии, аэрокосмическим съёмкам и картографии. Физическая геодезия. М.: ЦНИИГАиК, 2004. - С. 168 -182.

4. Пеллинен, Л.П. Высшая геодезия (теоретическая геодезия) / Л.П. Пеллинен. М.: 11едра, 1978. - 264 с.

5. Юркина, М.И. Уточнение связи высоты квазигеоида с возмущающим потенциалом. / М.И. Юркина // Научпо.-техн. сборник по геодезии, аэрокосмическим съёмкам и картографии. Физическая геодезия. Кн. 1. -М.: ЦНИИГАиК, 1999. - с. 55 - 70.

6. Мещеряков, Г.А. Задачи теории потенциала и обобщённая Земля/ Г.А. Мещеряков -М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. литературы, 1991. -216 с.

7. Машимов, М.М. Геодезия. Теоретическая геодезия: справочное пособие/ М.М. Машимов; под ред. В.П. Савиных и В.Р. Ященко. -М.: Недра, 1991.-268 с.

8. Bursa Milan, Kostelecky Jan Space Geodesy and Spase Geodynmics/ Milan Bursa, Jan Kostelecky Prague. Czech Technical University, -Prague: 1999.- Англ.

9. Мигаль, H.K. Теория совместного определения фигуры и размеров Земли/ II.К. Мигаль// Научные записки. Сер. геодез. Львов: Львовский политехи, ин-т, 1949. - Вып. XV. -№ 1- С. 3 - 66.

10. Арсенин, В.Я. Методы математической физики и специальные функции/ В.Я.Арсенин. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1984. -384 с.

11. Бровар, В.В. Теория фигуры Земли/ В.В. Бровар, В.А. Магницкий, Б.П. Шимбирев. М.: Геодезиздат, 1961.- 256 с.

12. Аубакирова, А.К. О проблеме соответствия модели Нормальной Земли нормальному гравитационному полю/ Аубакирова А.К. // Материалы VI междунар. конф. АПЕП 2002. - Новосибирск: НГТУ, 2002. - Том 3. -С. 20-23.

13. Аппель, П. Фигуры равновесия вращающейся однородной жидкости/ П. Аппель. Л.; М.: ОНТИ. -1936.

14. Идельсон, Н.И. Теория потенциала/ Н.И. Идельсон. М.; Л.: ОНТИ НКТП, 1936.-424 с.

15. Клеро, А. Теория фигуры Земли основанная на началах гидростатики/

16. A. Клеро. -М.; Л.: Изд-во АН СССР. 1947. - 358 с.

17. Статьи о силе тяжести и фигуре Земли/ Д. Стоке, Г. Брунс, А. Пуанкаре, Веиинг-Мейнес Ф.; под ред. А.А. Михайлова. М.: Изд-во геодезической литературы, 1961.

18. Гельмерт, Ф.Р. Математические и физические теории высшей геодезии/ Ф.Р. Гельмерт. Т. 1. - М.: Геодезиздат, 1962.

19. Пицетти, П. Основы механической теории фигуры планет/ I I. Пицетти, М.;Л.: ГТТИ, 1933.- 170 с.

20. Бровар, В.В. Оптимизация модели нормальной Земли/ В.В. Бровар // Геодезия и картография. 1995. -№ 9. - С. 10-13.

21. Бровар, В.В. Решение внешних краевых задач Дирихле и стокса для Земного эллипсоида/ В.В. Бровар, З.С. Копейкина, М.В. Павлова// Научно-техн. сб. по геодезии, аэрокосм, съёмкам и картографии. Физическая геодезия, кн. 1. М.: ЦНИИГАиК, 1996.- С. 130-140.

22. Мещеряков, Г.А. Обратные задачи теории геопотенциала: препринт/ Г.А. Мещеряков; АН УССР, ин-т. теорет. физики. Киев: 1983. - 37с.

23. Мигаль, Н.К. К вопросу определения фигуры Земли без использования нормального гравитационного поля/ Н.К. Мигаль //Научные записки. Сер. геодез. Львов: Львовский политехи, ин-т, 1959.- № 5.-Вып. 59. - С. 79-86.

24. Жарков, В.Н. Физика Земли и планет. Фигуры и внутреннее строение/

25. B.Н.Жарков, В.П.Трубицин, Л.В. Самсоненко. -М.: Наука, 1971.-384 с.

26. Ляпунов, A.M. Работы по теории потенциала/ A.M. Ляпунов. М.; Л.: Гос.-тех. издат. -1949.

27. Лихтенштейн, Л. Фигуры равновесия вращающейся жидкости/ Л. Лихтенштейн. М.: Наука, 1965.

28. Закатов, П.С. Курс высшей геодезии: учебник для ВУЗов/ I I.С.Закатов. 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Недра, 1976. - 511с.

29. Куштин, И.Ф. Геодезия: учебно-практ. пособие/ И.Ф.Куштии. М.: ПРИОР, 2001.-448 с.

30. Параметры общеземного эллипсоида и гравитационного ноля Земли, (параметры Земли 1990 года). -М.6 РИОТСВС, 1991. 68 с.

31. Нейман, Ю.М. Вариационный метод физической геодезии/ Ю.М. Нейман. М.: Недра, 1979. - 200 с.

32. Молоденский, М.С. Основные вопросы геодезической гравиметрии/ М.С. Молоденский// тр. ЦНИИГАиК. 1945. - Вып. 42. - С. 10 - 61.

33. Еремеев, В.Т. Теория высот в гравитационном поле Земли/ В.Т. Еремеев, М.И. Юркина. М.: Недра, 1971. - 144 с.

34. Юркина, М.И. Системы координат и ситемы отсчёта в геодезии и теории фигуры Земли/ М.И. Юркина, М.В. Пик// Научно-техн. сб. по геодезии, аэрокосм.съёмкам и картографии. Физическая геодезия. М.: ЦНИИГАиК, 2004. - С. 103-122.

35. Юркина, М.И., Серебрякова Л.И. Действующие системы координат в России. Геодезия и картография, № 7 с. 40 53 науч.-техн. сборник по геодезии, аэрокосмическим съёмкам и картографии «Физическая геодезия» 2002 г. или 2003 рукопись статьи. 2004

36. Юркина, М.И. К определению общего земного эллипсоида/ М.И. Юркина// Научно.-техн. сб. по геодезии, аэрокосм, съёмкам и картографии. Физическая геодезия. М.: ЦНИИГАиК, 1999. — С. 71 — 80.

37. Бурша, М. Фундаментальные геодезические постоянные/ М.Бурша// Геодезия и картография. 1996. - № 5. - С. 15 - 22.

38. Мориц, Г. Современная физическая геодезия/ Г. Мориц; пер. с англ. -М.: Недра, 1983. 392 с. - Пер. изд.: ФРГ, 1980.

39. Grafarend, E.W. World Geodetic Datum 2000/ E.W.Grafarend,

40. A. A. Ardalan//Journal of Geodesy, 1999. -vol. 73. 611 - 623 p.

41. Бурша, M. Фундаментальные геодезические постоянные/ M. Бурша// Геодезия и картография. 1996. - № 5. - С. 15 - 22

42. Gonzales, Abin Jose М. Sobre la diferencia entre los radios vectores del elipsoide internacionaly el esferoide de nivel/ Abin Jose M. Gonzales, "Ciensias", 1960. -vol. 25. № 4. - 780 - 784 p.

43. Грушинский, Н.П. Аномалии силы тяжести и высоты геоида относительно нормального геоида 8-го порядка/ Н.П.Грушинский, М.У.Сагитов, Чан Ван Няк// сб. статей ГАИШ. Морские гравиметрические исследования. М., 1982. - С. 96 - 99.

44. Грушинский, Н.П. Нормальный геоид/ Н.П.Грушинский, М.У.Сагитов, Чан Ван Няк// Сообщения ГАИШ. М., 1978. - № 202 - 203. -С. 49-62.

45. Данилов, В.Л. Методы установления в прикладных обратных задачах потенциала гравитационной разведки и теории фигуры Земли/

46. B.Л. Данилов. М.: Наука, 1996. - 248 с.

47. Мещеряков, Г.А. О нормальной Земле/ Г.А. Мещеряков// Геодезия, картография и аэрофотосъёмка. 1986 .-№ 43.-С. 64-71.

48. Мещеряков, Г.А. Предварительный вариант нетрадиционной нормальной Земли/ Г.А. Мещеряков, Н.Ф. Агеев// Геодезия, картография и аэросъёмка. 1986. - № 44. - С. 58 - 63.

49. Мещеряков, Г.А. Предварительный вариант нетрадиционного нормального поля Земли/ Г.А. Мещеряков, Н.Ф. Агеев.// Геодезия, картография и аэросъёмка. 1986. - № 45, - С. 58 - 62.

50. Мещеряков, Г.А. Нетрадиционная нормальная Земля/ Г.А. Мещеряков, Н.Ф. Агеев, М.М.Фыс// Геодезия, картография и аэросъёмка. 1986.- № 46, - С. 31 - 33.

51. Мещеряков, Г.А. О гидростатической равновесной и нормальной Земле / Г.А. Мещеряков// Научн. тр. ВАГО. М.: 1987. - С. 22 - 27.

52. Мигаль, I I.К. Лекции по теории фигуры Земли/ Н.К. Мигаль. Львов: Львовский политехи, ин-т, 1969.- 133 с.

53. Мигаль, Н.К. К вопросу определения фигуры Земли без использования нормального гравитационного поля/ Н.К. Мигаль // Научные записки. Сер. геодез. Львов: Львовский политехи, ин-т, 1959. - Вып. 59. -№ 5. - С. 79 - 86.

54. Мигаль, Н.К. Теория совместного определения фигуры и размеров Земли: автореф. дисс. На соиск. учен. степ, физико-математ. наук. На правах рукописи./ Н.К.Мигаль. Львов: МВО - СССР, Львовский политехи, ин-т, 1951. - 11 с.

55. Изотов, А.А. Основы спутниковой геодезии/ А.А. Изотов, В.И. Зубинский, ПЛ. Макаренко, A.M. Микиша. М.: Недра, 1974.-320 с.

56. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление/ Н.С.Пискунов. Т. 2.-М.: Наука, 1970.-576 с.

57. Аубакирова, А.К. Постановка обратной геодезической задачи теории потенциала в векторной форме/ А.К.Аубакирова // Известия ВУЗов. Горный журнал, Екатеринбург: 2007. - № 2. - С. ? .

58. Кошляков, Н.С. Основные дифференциальные уравнения математической физики/ Н.С. Кошляков, Э.Б.Глинер, М.М. Смирнов; под общ. ред. Н.С. Кошлякова. М.: Гос. изд. физ.-мат. Лит., 1962. -768 с.

59. Аубакирова, А.К. Решение обратной задачи теории потенциала методом итераций/ Аубакирова А.К.// Материалы VI междунар. конф. АПЕП 2002. - Новосибирск: НГТУ, 2002. - Том 6. - С. 9 - 13.

60. Мещеряков, Г.А. О сфероиде Клеро, обобщающем поверхность Марса/ Г.А. Мещеряков// Картографирование Луны и Марса. М.: Недра, 1978.-С. 28-34.

61. Мещеряков, Г.А. Об определении физической поверхности Земли с использованием параметров геопотенциала, определяемых методами космической геодезии/ Г.А. Мещеряков// Наблюдения ИСЗ. М.: 1984. - № 21. - С. 131 - 137.

62. Moritz, H. Geodetic Reference System 1980/ II. Moritz// Bulletin geodesique, 1980. vol. 54. - № 3. - p. 395 - 405.

63. Сагитов М.У. Лунная гравиметрия/ М.У.Сагитов. M.: Наука, 1979. -431с.

64. Пантелеев, В.Л. Теория фигуры Земли Текст./ В.Л. Пантелеев. М.: ГАИШ МГУ, 2000. Режим доступа: www.Astronet.ru/db/msg.

65. Математическая статистика: учебник / В.М. Иванова, В.Н. Калинина, Л.А. Нешумова, И.О. Решетникова. М.: Высш. Школа, 1981.-371 с.

66. Bjerhammar, A. A new theory of geodetic gravity/ A. Bjerhammar. Trans. Roy. Inst. Technol. - Stockholm: 1964.-243 p.

67. Машимов M.M. Всеобщий взгляд на геоспутниковую технологию// Геодезия и картография. -1996. № 1. - С. 14-26.

68. Гиенко Е.Г. Регулярная методика оценивания параметров взаимного трансформирования локальных спутниковых геодезических сетей и государственной координатной основы. Рукопись дисс. на соискание ст. канд. наук. Новосибирск. 2002 г. 193 с.

69. Бровар, В.В. Гравитационное поле в задачах инженерной геодезии/ В.В.Бровар. М.: Недра, 1983. - 112 с.

70. Бузук, В.В. Краевые задачи динамической геодезии и методы их решения: сб. докл. секции конгр. ИНПРИМ 98 «Математические модели в геодезии, кадастре и оптотехнике.»/ В.В. Бузук, В.Ф. Канушип. -11овосибирск: СГГА, 1998. - С 5.

71. Bursa Milan. Zaklady geodrsie planet. Praha. Geograficka sluZba armady Ceske Republiku: 2001. 88 p.

72. Постановка проблемы динамической геодезии, как решение геодезической краевой задачи М.С.Молоденского с краевыми условиями и граничной поверхностью, изменяющимися во времени: отчёт о НИР/ Рук. В.В. Бузук. -Новосибирск: СГГА, 1996. 45 с.