Разработка символьно-численных преобразований при интегрировании некоторых классов дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Лукьяненко, Алла Николаевна

• Лукьяненко, Алла Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лукьяненко, Алла Николаевна

Введение.

Общая характеристика работы.

1. Метод самосогласованного базиса и метод интегрирования при помощи обобщенных степенных рядов

Введение.

1.1. Общая схема метода самосогласованного базиса.

1.2. Алгоритм решения задачи на собственные значения методом самосогласованного базиса.

1.3. Общая схема символьно-численного метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с регулярными особыми точками.

1.4. Алгоритм нахождения общего решения уравнения (1.3.1).

2. Применение метода самосогласованного базиса для решения двумерного уравнения Шредингера с дискретной С2у и С3у симметрией.

Введение.

2.1. Решение уравнения Шредингера для С2у симметричного двумерного гамильтониана.

2.2. Решение уравнения Шредингера для С3у симметричного двумерного гамильтониана.

3. Развитие метода самосогласованного базиса для решения двумерного уравнения Шредингера с пятиямным потенциалом

Введение.

3.1. Классическая С4У симметричная двумерная система с одноямным потенциалом.

3.2. Решение уравнения Шредингера с одноямным потенциалом методом самосогласованного базиса.

3.3. Классическая динамика С4У симметричной двумерной системы, поверхность потенциальной энергии которой имеет пять локальных минимумов.

3.4. Символьно-численный метод решения САУ симметричного двумерного уравнения Шредингера с пятиямным потенциалом.

4. Использование метода интегрирования с помощью обобщенных степенных рядов для решения линеаризованного уравнения Навье-Стокса

Введение.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Описание способа решения методом функции тока.

4.3. Символьно-численное решение задачи обтекания сфероида вязкой несжимаемой жидкостью в виде обобщенного степенного ряда.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка символьно-численных преобразований при интегрировании некоторых классов дифференциальных уравнений»

В последнее время внимание ученых сосредоточено на исследованиях задач, которые связаны с решением нелинейных дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений (см., например, [1-14]). С помощью программ аналитических вычислений исследователям удается провести огромную вычислительную работу и проанализировать многие ранее трудно решаемые задачи (см., например, [15-21]).

Дифференциальные уравнения и динамические системы, которые ими описываются, возникают при описании явлений, происходящих в различных областях науки и техники. Основная задача — получить разностороннюю информацию о таких явлениях, на основе решений соответствующих дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.

Первые методы интегрирования дифференциальных уравнений и систем были предложены в работах Ньютона, Лейбница, Эйлера и далее развиты такими математиками, как Лагранж, Пуассон, Лиувилль, Пуанкаре, Ляпунов и др. Основной идеей, лежащей в основе этих работ было предположение о том, что решение уравнений и систем всегда может быть представлено в виде некоторого выражения от известных функций, в частности в виде различного рода рядов. Позже для описания свойств уравнения, которые позволяют получить всю общую и частную информацию о математической модели, было введено и обобщено понятие интегрируемости. Однако применение этих методов без применения быстродействующих электронных вычислительных машин крайне затруднительно.

Точные, то есть решения в явном аналитическом виде для большинства дифференциальных уравнений найдены в исключительных случаях. [22-26].

Поэтому, например, для решения задач на собственные значения, в частности стационарного уравнения Шредингера, разработано достаточно большое число различных как аналитических, так и численных методов [2753].

При этом оказывается, что точность вычислений спектра и волновых функций ухудшается, если квантовая система допускает существование динамического хаоса в классическом пределе [54-55]. Для установления взаимосвязи между свойствами квантовых характеристик и режимом классического движения необходимо рассматривать классический и квантовый случаи для данной системы одновременно [56-67].

Так как вычисления всегда ограничены возможностями даже современных быстродействующих компьютеров, а универсального метода не существует, то приходится искать наиболее оптимальные вычислительные методы для решения конкретных задач. Перспективным современным подходом представляются комбинированные или символьно-численные методы, которые сочетают аналитические преобразования с последующим численным решением исходной задачи с использованием современных систем компьютерной алгебры (СКА).

В диссертационной работе развивается новый, так называемый метод самосогласованного базиса, с помощью которого найдены решения двумерного уравнения Шредингера с поверхностью потенциальной энергии с несколькими локальными минимумами, а также метод нахождения решения линеаризованного уравнения Навье-Стокса в виде обобщенных степенных рядов с применением современных символьно-численных технологий.

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы.

Большинство дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений, которые возникают в математике, физике и других естественных науках, не интегрируется в квадратурах. Как правило, для них не существует и универсальных численных методов нахождения решений. К таким уравнениям относятся, в частности, стационарное двумерное уравнение Шредингера (при решении для него задачи на собственные значения) и уравнение Навье-Стокса. Настоящая диссертационная работа и посвящена исследованию решений этих уравнений с помощью систем компьютерной алгебры (СКА).

Разработка новых методов, как аналитических, так и численных, и особенно символьно-численных, реализация этих методов в виде программных средств с использованием современной эффективной СКА MAPLE и использование этих программ для исследования ряда важных математических моделей классической и квантовой механики является актуальной проблемой математического моделирования сложных физических систем.

В последние десятилетия в связи с активным исследованием детерминированного хаоса в классических системах возникла проблема исследования их квантовых моделей [68-70]. Существование хаотического движения и смешанных состояний (когда при одной и той же энергии в разных потенциальных ямах сосуществуют два типа движений: хаотическое и регулярное) и квантовые эффекты туннелирования приводят к дополнительным вычислительным трудностям в решении соответствующих уравнений при квантово-механическом рассмотрении [54,62]. Аналогично исследование наноструктур, для математического моделирования которых необходимо применять квантовые уравнения, также приводит к решению задач на собственные значения [71-73].

Использование прямых численных способов решений этих задач не всегда приводит к цели, так как численные расчеты имеют большую неточность по сравнению с аналитическими, а также ограничены возможностями даже современных вычислительных систем. В ситуации, когда универсального способа получить решение не существует, приходиться искать более оптимальные вычислительные методы для конкретных математических моделей.

В диссертационной работе, на основе СКА, развиты метод самосогласованного базиса, с помощью которого найдены решения двумерного уравнения Шредингера с поверхностью потенциальной энергии с несколькими локальными минимумами, и метод обобщенных степенных рядов интегрирования линеаризованного при определенных условиях уравнения Навье-Стокса.

Цель диссертационной работы - разработка алгоритмов и программ с использованием современной СКА Maple для решения задач на собственные значения для двумерных дифференциальных операторов Шредингера и проведение с их помощью численных исследований ряда математических моделей классической и квантовой механики, а также интегрирования уравнения Навье-Стокса,

Для достижения этой цели были сформулированы и решены следующие задачи:

1. Разработка алгоритмов и программ для символьно-численного решения задачи на собственные значения для операторов: а) двумерного С2г инвариантного полиномиального гамильтониана, поверхность потенциальной энергии которого имеет два локальных минимума; б) двумерного С3„ инвариантного полиномиального гамильтониана, поверхность потенциальной энергии которого имеет в зависимости от набора параметров один или четыре локальных минимума, в) двумерного САг инвариантного полиномиального гамильтониана с пятиямным потенциалом; 2. Разработка аналитического способа приближенного решения уравнения Навье-Стокса в виде обобщенных степенных рядов и программно-алгоритмической поддержки символьных преобразований для решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с регулярной особой точкой. Использование этой программы для интегрирования линеаризованного уравнения Навье-Стокса с заданными граничными условиями при условии, когда перепад температуры мал.

Методы исследований: методы теории дифференциальных уравнений, математического анализа, математической физики, численного анализа, компьютерной алгебры, вычислительной математики, использование прикладных пакетов программ.

Научная новизна. Разработаны алгоритмы и в среде МАРЬЕ составлены символьно-численные программы, с помощью которых проведены вычисления энергетического спектра и волновых функций. Составленные программы позволили осуществить дальнейшее развитие метода самосогласованного базиса для решения задачи на собственные значения для С2ч, С3у и СА1, симметричных двумерных полиномиальных гамильтонианов,

Разработан аналитический способ и составлена программа на языке программирования СКА МАРЬЕ для символьно-численного интегрирования линейных дифференциальных уравнений второго порядка с регулярной особой точкой. С использованием полученной программы решено линеаризованное уравнение Навье-Стокса при заданных граничных условиях в случае обтекания нагретой частицы сфероидальной формы вязкой несжимаемой жидкостью при малых перепадах температуры и получено решение в виде обобщенных степенных рядов.

Практическая значимость и полезность полученных результатов.

Данная работа носит теоретический и практический характер. Результаты работы могут быть использованы для исследования динамики нелинейных классических гамильтоновых систем и для решения двумерных уравнений Шредингера. Разработанные символьно-численные алгоритмы и созданные на их основе комбинированные программы, реализованные на языке МАРЬЕ, могут быть использованы для решения задач на собственные значения двумерных дифференциальных операторов Шредингера с полиномиальными потенциалами. Предложенный символьно-численный метод приближенного решения уравнения Навье-Стокса может быть использован для исследования процессов обтекания частиц произвольной формы и при произвольных перепадах температуры.

Положения, выносимые на защиту.

1. Символьно-численный метод самосогласованного базиса для решения задачи на собственные значения для двумерного С2„ инвариантного полиномиального гамильтониана, поверхность потенциальной энергии которого имеет два локальных минимума, программа и результаты конкретных численных расчетов собственных значений и собственных функций.

2. Развитие символьно-численного метода самосогласованного базиса для решения задачи на собственные значения для двумерного С3„ инвариантного полиномиального гамильтониана, поверхность потенциальной энергии которого имеет в зависимости от набора параметров один или четыре локальных минимума, программа и результаты конкретных численных расчетов собственных значений и собственных функций.

3. Обобщение символьно-численного метода самосогласованного базиса для решения задачи на собственные значения для двумерного С4„ инвариантного полиномиального гамильтониана, поверхность потенциальной энергии которого имеет пять локальных минимумов, результаты конкретных численных расчетов собственных значений и собственных функций. 4. Символьно-численный метод интегрирования линейных дифференциальных уравнений с регулярной особой точкой и решение линеаризованного уравнения Навье-Стокса в виде обобщенных степенных рядов в задаче обтекания нагретой частицы сфероидальной формы вязкой несжимаемой жидкостью при малых перепадах температуры и результаты численных расчетов.

Обоснованность и достоверность полученных научных результатов и выводов обусловлена корректностью математических выкладок с использованием положений и теорем теории дифференциальных уравнений, математического анализа, методов математической физики и применением методов численного анализа, а также исследованием точности полученных результатов в зависимости от параметров решаемых задач при символьно-численных вычислениях и воспроизведением имеющихся в литературе результатов, полученных другими методами и другими авторами.

Апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы были представлены и докладывались на конференциях: VIII Международная конференция по математическому моделированию (Феодосия, 12-16 сентября, 2006); The 2nd International Conference on Quantum Electrodynamics and Statistical Physics (Kharkov, Ukraine, September 19-23, 2006); Международная научная конференция для студентов и аспирантов «Современные проблемы математики и ее приложения в естественных науках и информационных технологиях» (Украина, Харьков, 23-25 марта 2007); Международная молодежная научная конференция «XXXIII Гагаринские чтения» (Москва, 3-7 апреля, 2007); XLIII Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, 23-27 апреля, 2007); Международная конференция «Компьютерная математика в образовании и научных исследованиях»

Феодосия, 10-15 сентября 2007); ХЫУ Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, 21-25 апреля, 2008); Международная конференции по математическому моделированию (Феодосия, 15-20 сентября 2008), Международная научная конференция «X Белорусская математическая конференция» (Беларусь, Минск, 3-7 ноября 2008), на семинарах кафедры математического анализа БелГУ.

Связь с научными программами, планами и темами.

Диссертационная работа выполнена в рамках индивидуального плана подготовки аспиранта, научно-исследовательского направления «Нелинейные явления в динамических системах и их физические приложения», утвержденного Ученым советом БелГУ от 3.11 2000 г., с планами НИР кафедры математического анализа БелГУ, а также в рамках проекта Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 0302-16263).

Личный вклад автора. Автор диссертации самостоятельно разработал все алгоритмы, программы и получил результаты, представленные в диссертации. Его вклад в проведение исследований и получение результатов является определяющим.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 18 публикациях в виде статей в журналах и в трудах всероссийских и международных конференций. Программа вычисления собственных значений и функций симметричного двумерного оператора Шредингера методом самосогласованного базиса по теме диссертационного исследования зарегистрирована в отраслевом фонде алгоритмов и программ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и библиографического списка из 108 наименований. Общий объем диссертации составляет 140 страницы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Лукьяненко, Алла Николаевна

Основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Разработан алгоритм и его программная реализация в среде Maple, проведены численные расчеты нижних уровней энергии и волновых функций для квантового аналога C2v инвариантного двумерного гамильтониана с полиномиальным потенциалом, имеющим два локальных минимума и при единственном наборе параметров, при котором система является интегрируемой системы.

2. Разработан алгоритм его программная реализация, с помощью которой выполнены численные расчеты нижних уровней энергии для двумерной C3v симметричной системы, ППЭ которой имеет четыре локальных минимума. Показано существование смешанных состояний, т.е. состояний, когда при одной и той же энергии в одном минимуме характер классического движения является хаотическим, а в другом локальном минимуме — регулярным.

3. С использованием разработанного алгоритма и его программной реализации впервые исследована классическая динамика C4v инвариантной двумерной системы, ППЭ которой имеет пять локальных минимумов. Показано, что в случае ППЭ с пятью локальными минимумами также существует смешанное состояние, и что в этой системе имеет место переход регулярность-хаос-регулярность.

4. Впервые для квантового аналога классической C4v инвариантной системы с пятью локальными минимумами обобщен метод самосогласованного базиса, на основе которого разработан алгоритм и его программная реализация, вычислены первые уровни энергии.

5. Разработан аналитический способ приближенного решения уравнения Навье-Стокса в виде обобщенных степенных рядов, который может быть применен при больших перепадах температуры между движущейся сфероидальной частицей и жидкостью.

6. Разработана программно-алгоритмическая поддержка символьных преобразований, с помощью которых найдены решения задачи обтекания нагретой частицы сфероидальной формы вязкой несжимаемой жидкостью.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лукьяненко, Алла Николаевна, 2009 год

1. Брур, Х.В. Структуры в динамике. Конечномерные детерминированныесистемы / Х.В. Брур, Ф. Дюмортье, С. ван Стрин. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — 336с.

2. Гукенхеймер, Дж. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей / Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 560с.

3. Симо, К. Современные проблемы хаоса и нелинейности / К. Симо, С. Смейл, А. Шенсине. Ижевск: ИКИ, 2002. - 304 с.

4. Gutzwiller, М.С. Chaos in Classical and Quantum Mechanics / M.C Gutzwiller. -New York, Springer, 1990. 432 p.

5. Пузынин, И.В. Обобщенный непрерывный аналог метода Ньютона для численного исследования некоторых нелинейных квантово-полевых моделей / И.В. Пузынин. ФЭЧАЯ, т.30. вып. 1, 1999. - 210-265 с.

6. Славянов, С. Специальные функции: единая теория, основанная на анализе особенностей / С. Славянов, Лай Вольфганг. СПб.: Невский Диалект, 2002. -312 с.

7. Рейман, А.Г. Интегрируемые системы / А.Г. Рейман, М.А. Семенов-тян-Шанский. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. -352 с.

8. Цыганов, A.B. Интегрируемые системы в методе разделения переменных/ A.B. Цыганов. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005.-384 с.

9. Гориэли, А. Интегрируемость и сингулярность/ А. Гориэли. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2006 — 316с.

10. Переломов, A.M. Интегрирование систем классической механики и алгебры Ли / A.M. Переломов. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. - 238 с.

11. Борисов, А.В. Современные методы теории интегрирования систем / А.В. Борисов, И.С. Мамаев. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003 — 296 с.

12. Турбинер, А.В. Задачи о спектре в квантовой механике и процедура "нелинеаризации»/ А.В. Турбинер. УФН, Том 144, вып. 1, 1984. - С. 35-78.

13. Пивень, В.Ф. Сингулярные интегралы с ядрами типа Коши и их применение к двумерной задаче эволюции границы раздела жидкостей в неоднородном слое / В.Ф. Пивень // Дифференциальные уравнения. — 2006Т. 42, №9.-С. 1201-1213.

14. Zakharov, A.Yu. Ensembles in classical statistical mechanics and their unification via nonlinear field theory/ A.Yu. Zakharov // International Journal of Quantum Chemistry. 2004. - Vol. 100 No. 4. - Pp. 442-447.

15. Proceedings of the 8th International Workshop on Computer Algebra in Scientific Computing, CASC'2005, Kalamata, Greece, September 12-16, 2005.

16. Editor: V.G. Ganzha, E.W. Mayr, E.V. Vorozhtsov. 2005. - 758 p.

17. Proceedings of the 7th International Workshop on Computer Algebra in Scientific Computing, CASC'2004, St. Petersburg, Russia, July 12-19, 2004. /Editor: V.G. Ganzha, E.W. Mayr, E.V. Vorozhtsov. 2004. - 760 p.

18. Корсунов, Н.И. Эволюционные методы компьютерного моделирования / Н.И. Корсунов, А.Ф. Верлань, В.Д. Дмитриенко, В.А. Шолохов. Киев. Наукова Думка, 1993. - 252 с.

19. Миллер, У. Симметрия и разделение переменных / У. Миллер; пер. с англ. под ред. К.И. Бабенко. М.: Мир, 1981.- 342 с.

20. Блохинцев, Д.И. Основы квантовая механика / Д.И. Блохинцев М.: Наука, 1983.-664с.

21. Давыдов, A.C. Квантовая механика / A.C. Давыдов. М.: Наука, 1973— 704 с.

22. Ландау, Л.Д. Квантовая механика. Нерелятивистская теория / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. -М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., Наука, 1963. 703 с.

23. Флюгге, 3. Задачи по квантовой механике. / 3. Флюгге. — М.: Мир, 1974 -Т.1.-343 с.

24. Уилкинсон, Дж. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра/ Дж. Уилкинсон, К. Райнш. -М.: Машиностроение-1976.-392 с.

25. Banerjee, Ву.К. The anharmonic oscillator / By .К Banerjee, S.P. Bhatnagar, V. Choudhry, S.S. Kanwal. Proc. R. Soc. bond., A.360, 1978. - P.575-586.

26. Маслов, В.П. Квазиклассические приближения для уравнений квантовой механики / В.П. Маслов, М.В. Федорюк. М.: Наука, 1976. - 292 с.

27. Фреман, Н. ВКБ-приближение / Н. Фреман, П.У. Фреман. М.: Мир, 1967.- 168 с.

28. Борн, М. Лекции по атомной механике / М. Борн. Харьков-Киев: ГНТИ. 1934.-312 с.

29. Ульянов, В.В. Интегральные методы в квантовой механике / В.В. Ульянов. Харьков: Вища школа. Изд-во при Харьк. Университете, 1982. -160 с.

30. Голуб, Дж. Матричные вычисления / Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. М.: Мир.-1999.-549с.

31. Глазунов, Ю.Т. Вариационные методы / Ю.Т. Глазунов. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»: Институт компьютерных исследований. - 2006.- 470 с.

32. Найфэ, А. Методы возмущений / А. Найфэ. М.: Мир, 1976. - 456 с.

33. Robnik, М. The algebraic quantization of the Birkhoff-Gustavson normal form / M. Robnik. J. Phys. A: Math. Gen. v. 17. - 1984. - P. 109-130.

34. Bender, C.M. Anharmonic oscillator. II. A study of perturbation theory in large order / C.M. Bender, T.T. Wu. Phys. Rev., D7.No.6, 1973. - pp. 1620-1636.

35. Bender, C.M. Anharmonic oscillator / C.M. Bender, T.T. Wu. Phys. Rev., v,184.No.5, 1969. - pp.1231-1260.

36. Джакалья, Г.Е. Методы теории возмущений для нелинейных систем / Г.Е. Джакалья. -М.: Наука, 1979. 320 с.

37. Белокуров, В.В. Теория возмущений со сходящимися рядами для вычисления величин, заданных конечным числом членов расходящегося ряда традиционной теории возмущений / В.В. Белокуров, Ю.П. Соловьев, Е.Т. Шавгулидзе // ТМФ, т. 123. №3, 2000. - 452-461с.

38. Брюно, А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях / А.Д. Брюно. М: Наука, 1998. - 288 с.

39. Swimm, R.T. Semiclassical calculation of vibrational energy levels for nonseparable systems using Birkhoff-Gustavson normal form / R.T. Swimm, J.B. Delos // J. Chem. Phys., v.71, 1979. pp. 1706-1716.

40. Ali, M.K. The quantum normal form and its eigenvalues / M. K. Ali. J. Math. Phys., v. 26, №10, 1985. - pp. 2565-2572.

41. Nikolaev, A.S. On the diagonalization of quantum Birkhoff-Gustavson normal form / Nikolaev A.S.// J. Math. Phys. v.37.No.6, 1996. -pp.2643-2661.

42. Jaffe, L.G. Large N limits as classical mechanics / Jaffe L.G // Rev. Mod. Phys., v.54, 1982. -pp.407-435.

43. Ivanov, I.A. Link between the strong-coupling and weak-coupling asymptotic perturbation expansions for the quartic anharmonic oscillator / I.A. Ivanov // J. Phys. A: Math. Gen. v.31, 1998. -pp.6995-7003.

44. Tang, A.Z. Shifted 1/N expansion for the Hulten potential / A.Z. Tang, F.T. Chan // Phys. Rev. A35.No.2, 1987. pp.911-914.

45. Dineykhan, M. The Schroedinger equation for bound state systems in the oscillator representation / M. Dineykhan, G.V. Efimov // Repots of Math. Phys., v.6, No.2/3, 1995. -pp.287-308.

46. Adhikari, R. Exact solutions for polynomial potentials using supersymmetry inspired factorization method / R. Adhikari, R. Dutt // Phys. Lett., A141.No.l,2, 1989.-pp.l-8.

47. Chun-Hui, Miao. Variational supersymmetric WKB approximation / Chun-Hui Miao, Shang-Wu Qian // Phys. Rev. A56.No.3, 1997. -pp.2412-2414.

48. Kinoshita, H. Symplectic integrator and their application to dynamical astronomy / H. Kinoshita, H. Yoshida, H. Nakai // Celestial mechanics and dynamical astronomy, 1991. V.50 - P. 59-71.

49. Канторович, JI.B. Приближенные методы высшего анализа / Л.В. Канторович, В.И. Крылов. Л., Физматгиз, 1962 г. - 708 с.

50. Bolotin, Yu.L. The transition regularity-chaos-regularity and statistical properties of wave function / Yu.L. Bolotin, V.Yu. Gonchar, V.N. Tarasov, N.A.

51. Chekanov // Phys. Lett., 1990. v. A144, n. 8, 9. - p. 459-461.

52. Болотин, Ю.Л. Проявление стохастичности в спектрах некоторых гамильтоновых систем с дискретной симметрией / Ю.Л. Болотин, С.И. Виницкий, В.Ю. Гончар. Дубна, Препринт ОИЯИ, 1989. - Р4-89-590, - 26 с.

53. Болотин, Ю.Л. Стохастическая ядерная динамика. Физика элементарных частиц и атомного ядра. Т.20. вып.4. / Ю.Л. Болотин, В.Ю. Гончар, Е.В. Инопин, 1989, -с.878-929.

54. Лихтенберг, А. Регулярная и хаотическая динамика / А. Лихтенберг, М Либерман. М.:Мир, 1984. - 528с.

55. Заславский, Г.М. Стохастичность динамических систем / Г.М. Заславский. — М.: Наука, 1984. — 272с.

56. Заславский, Г.М. Физика хаоса в гамильтоновых системах / Г.М. Заславский. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. -288с.

57. Штокман, X. Ю. Квантовый хаос / X. Ю. Штокман. М.: Физматлит, 2004.-374 с.

58. Bohigas, О. Quantum tunneling and chaotic dynamics / О. Bohigas, D. Boose, R. de Carvalho, V. Marvulle // Nucl. Phys. A 560, 1993. p. 197-210.

59. Болотин, Ю.Л. Конструктивный хаос / Ю.Л. Болотин, А.В. Тур, В.В. Яновский Харьков: Институт монокристаллов, 2005. — 420 с.

60. Матинян, С.Г. Динамический хаос неабелевых калибровочных полей / С.Г. Матинян. ФЭЧАЯ, т.16, 1985 - с.522-550.

61. Gutzwiller, М. С. Chaos in Classical and Quantum Mechanics / M.C. Gutzwiller. New York, Springer, 1990. - 432 p.

62. Haake, F. Quantum Singnatures of Chaos / F. Haake. Berlin: SpringerVerlag, 2001.-479 p.

63. Табор, M. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике / М. Табор. -М.: Эдиториал УРСС, 2001. 318 с.

64. Berry, M.V. Classical Chaos and Quantum Eigenvalues. Order and Chaos in

65. Nonlinear Physical Systems / M.V. Berry, S. Lundquist, N. March, M. Tosti. -New York and London: Plenum Press, 1988. p. 340-348.

66. Bohigas, O. Chaotic motion and random-matrix theory / O. Bohigas, M.J. Giannoni. Lecture Notes in Physics. 1984, v. 209. - p. 1871-1969.

67. Berry, M.V. Classical Chaos and Quantum Eigenvalues / M.V. Berry, S. Lundquist, N. March, M. Tosti Order and Chaos in nonlinear physical systems. — New York and London: Plenum Press, 1988. - p. 340-348.

68. McDonald, S.W. Spectrum and Eigenfunctions for a Hamiltonian with Stochastic Trajectories / S.W. McDonald, A.N. Kaufman. Phys. Rev. Lett. 1979, v. 42.-p. 1189-1191.

69. Фрадков, JI.А. Управление молекулярными и квантовыми системами / JI.A. Фрадков, О.А. Якубовский. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 408с.

70. Тавгер, Б.А. Квантовые размерные эффекты в полупроводниках и полуметаллических пленках / Б.А. Тавгер, В .Я. Демиховский. Успехи физических наук, 1968,Т. 96, Вып.1 - С.61-86.

71. Демиховский, В.Я. Физика квантовых низкоразмерных структур / В.Я. Демиховский. М.: Логос, 2000. - 248 с.

72. Чеканов, Н.А. Квантование нормальной формы Биркгофа-Густавсона / Н.А. Чеканов. -ЯФ, т.50.вып.8. с.344-346.

73. Канторович, Л.В. Изв. АН СССР, ОМЕН, № 5./ д.В. Канторович // 1933. - с.294-325.

74. Виницкий, С.И. Решение двумерного уравнения Шредингера в самосогласованном базисе / Виницкий, С.И., Инопин Е.В., Чеканов Н.А. // Препринт ОИЯИ, Р4-93-150, Дубна, 1993. 11с.

75. Степанов, В.В. Курс дифференциальных уравнений / В.В. Степанов. М. ГИТТЛ.- 1953.-468 с.

76. Матвеев, Н.В. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. СПб Лань. - 2003. - 832 с.

77. Forsythe, G.E. Singularity in numerical analysis / G.E. Forsythe. Amer. Math. Monthly. - 1958. - P.229-240.

78. Айне, Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Э.Л. Айне. -Харьков: гос. науч.-техн. изд-во Украины. 1939. - 719 с.

79. Коддингтон, Э.А., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон. М.:ИЛ, 1958. - 474 с.

80. Смирнов, В.И. Курс высшей математики, т.2 / В.И. Смирнов М.«Наука», 1967.-655 с.

81. Смирнов, В.И. Курс высшей математики, т.З, ч.2 / Смирнов В.И. М., «Наука», 1974.-672 с.

82. Голубев, В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений /В.В. Голубев. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.

83. Трикоми, Ф. Дифференциальные уравнения / Ф. Трикоми. М.:, ИЛ, 1962.-352 с.

84. Уиттекер, Э.Т. Курс современного анализа, 4.1 / Э.Т. Уиттекер, Дж.Н. Ватсон. М.: ГИФМЛ, 1963. - 344с.

85. Айзенберг, И. Модели ядер. Коллективные и одночастичные явления / Айзенберг И., Грайнер В. М.: Атомиздат, 1975. - 456 с.

86. Болотин, Ю.Л. Стохастическая ядерная динамика. Физика элементарных частиц и атомного ядра, т.20. вып.4. / Ю.Л. Болотин, В.Ю. Гончар, Е.В. Инопин. 1989. - с.878-929.

87. Виницкий, С.И. Решение двумерного уравнения Шредингера в самосогласованном базисе / С.И. Виницкий, Е.В. Инопин, Н.А. Чеканов // Препринт ОИЯИ, Р4-93-150, Дубна, 1993. 11с.

88. Лукьяненко, А.Н. Символьно-численное решение двумерного уравнения Шредингера с двухъямным потенциалом / А.Н. Лукьяненко, Н.А. Чеканов // Вопросы современной науки и практики. Университет им. В.И. Вернадского. № 13 (30), 2008. Т. 2. - С. 43-50.

89. Toda, М. Instability of trajectories of lattice with cubic nonlinearity / M. Toda // Phys. Lett., v.48, 1974. pp.335-336.

90. Беллман, P. Введение в теорию матриц / Р. Беллман. — М.: Наука, 1969. — 368 с.

91. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. -М.: Наука, 1967.,576 с.

92. Гилмор, Р. Прикладная теория катастроф / Р. Гилмор. М.: Мир, 1984. -350 с.

93. Лукьяненко, А.Н. Спектр двумерного модельного гамильтониана с четырьмя локальными минимумами/ Лукьяненко А.Н., Чеканов Н.А. // Сб. тр. XLIII всерос. конф. по проблемам математики, информатики, физики и химии.- М: РУДН, 2007. С. 24.

94. Bohigas, О. Quantum tunneling and chaotic dynamics / О. Bohigas, D. Boose, R. de Carvalho, V. Marvulle //Nucl. Phys. A 560, 1993. -P.197-210.

95. Болотин, Ю.Л. Конструктивный хаос / Болотин Ю.Л., Тур А.В., Яновский В.В. — Харьков: Институт монокристаллов, 2005. 420 с.

96. Матинян, С.Г. Динамический хаос неабелевых калибровочных полей / С.Г. Матинян. ФЭЧАЯ - 1985 - т. 16 - с.522-550.

97. Lakshmanan, М. Coupled quartic anharmonic oscillators Painleve analysisand integrability / M. Lakshmanan , R. Sahaderan. Phys. Rev. A., vol. 31, № 2, 1985. -pp.861-876.

98. Хаппель, Дж. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса / Хаппель Дж., Бреннер Г.- М.: Мир, 1976. 630 с.

99. Малай, Н.В.: автореф. дисс. на соискание научн. степени док. физ.-мат. наук / Малай Н.В. 2001.