Разработка методов анализа и синтеза нелинейных динамических систем на основе дифференциально-геометрической теории бесконечномерных многообразий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор физико-математических наук Четвериков, Владимир Николаевич

• Четвериков, Владимир Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Четвериков, Владимир Николаевич

Введение.

1. ДИНАМИЧЕСКИ ЛИНЕАРИЗУЕМЫЕ И ПЛОСКИЕ СИСТЕМЫ

1.1. Системы с управлением

1.2. Линеаризация статической обратной связью.

1.3. Линеаризация динамической обратной связью и плоские системы.

1.4. Решение задач терминального управления и стабилизации методом динамической обратной связи.

1.5. Управление движением самолета вертикального взлета

1.6. Бесконечномерная модель системы с управлением

1.7. Классы эквивалентных систем с управлением.

1.8. Геометрическая интерпретация плоскостности

1.9. Условие регулярности динамической обратной связи

1.10. Построение динамической обратной связи, линеаризующей плоскую систему.

1.11. Геометрическая интерпретация динамической линеа-ризуемости.

1.12. Выводы.

2. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ ПЛОСКОСТНОСТИ

2.1. Формы Картана и их свойства.

2.2. Инфинитезимальная форма Бруновского систем с управлением

2.3. Необходимое и достаточное условие плоскостности, основанное на понятии Б-базиса.

2.4. Условия статической линеаризуемости.

2.5. Высшие симметрии систем с управлением.

2.6. Построение плоских выходов динамически линеаризуемых систем.

2.7. Выводы.

3. ПЛОСКИЕ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ.

3.1. Необходимое условие плоскостности для систем с запаздыванием

3.2. Решение задачи терминального управления.

3.3. Решение задачи стабилизации.

3.4. Геометрическая модель систем с запаздыванием

3.5. Геометрическая интерпретация плоскостности

3.6. Доказательство теорем 3.1и3.2.

3.7. Выводы.

4. УСЛОВИЯ ПЛОСКОСТНОСТИ.

4.1. Плоские системы уравнений в частных производных

4.2. Задача поиска оператора совместности.

4.3. Геометрическая модель систем уравнений в частных производных.

4.4. Геометрические структуры, связанные с дифференциальными операторами

4.5. Переформулировка задач плоскостности и поиска оператора совместности.

4.6. Нелинейный комплекс Спенсера для группы обратимых С-дифференциальных операторов.

4.7. Правая подстановка.

4.8. Теорема о точности нелинейного комплекса Спенсера

4.9. Следствие теоремы о точности

4.10. Выводы.

5. ГЕОМЕТРИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

5.1. Пространства /¿-джетов

5.2. Преобразование уравнений в гранично-дифференциальную форму.

5.3. Пространства (к, С/)-джетов.

5.4. Пространства бесконечных джетов.

5.5. Гранично-дифференциальные операторы.

5.6. Поднятие линейных операторов на .700 (я-; С/).

5.7. Распределение Картана на 7°°(7г;

5.8. Интегральные многообразия распределения Картана

5.9. ^-инвариантные симметрии распределения Картана на ■7°°(7г;а)

5.10. Диффеотопы гранично-дифференциальных уравнений

5.11. Высшие симметрии гранично-дифференциальных уравнений

5.12. Связность Картана инфинитезимальной формы Бру-новского

5.13. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка методов анализа и синтеза нелинейных динамических систем на основе дифференциально-геометрической теории бесконечномерных многообразий»

Проблема, исследуемая в данной диссертации, в более общей формулировке была поставлена еще в 1784 году Г. Монжем [111]. П. Зер-вос в своем обзоре 1932 года [162] сформулировал ее следующим образом: "для недоопределенной системы к обыкновенных дифференциальных уравнений на п неизвестных (к < п) найти общее решение в виде выражения неизвестных через п — к произвольные функции времени, их производные до некоторого порядка и возможно некоторое количество констант". Обозначив через щ,.,ип неизвестные заданной системы, приходим к задаче нахождения таких выражений

К) щ г = 1,., п, (В1) что, подставляя в (В1) вместо /&!,., произвольные дифференцируемые функции времени вместо к\,., — их производные до порядка К, а вместо с\,., сг — произвольные константы, получим решение системы, причем все решения получаются таким образом. В случае существования выражений (В1) будем называть их параметризацией решений системы, а саму систему — параметризуемой.

В 1912 году Д. Гильберт [76] показал, что в случае к = 1,п = 2 любое уравнение первого порядка параметризуемо, а среди уравнений второго порядка имеются непараметризуемые. Примером такого уравнения является уравнение

Щ = (й2)2. (В2)

В 1915 году Э. Картан [41] полностью решил задачу Монжа в случае п — к = 1. Наконец, в 1932 году появился обзор П. Зервоса [162], а в 1971 М. Жанэ [81] дал современное изложение полученных результатов.

Интерес к задаче Монжа возродился в конце XX века после введения М. Флиссом, Ж. Левиным, Ф. Мартиным и П. Рушоном [61] понятия плоской системы с управлением. Плоской они назвали параметризуемую систему в случае, когда параметризация (В1) не содержит констант и обратима в том смысле, что переменные /&!,., Нп-к выражаются через щ,., ип и производные щ,., ип по < до какого-то конечного порядка. Набор функций Н\указанных переменных они назвали плоским выходом системы. Новое понятие оказалось тесно связанным с понятием динамически линеаризуемой системы, введенным чуть ранее Б. Шарле, Ж. Левиным и Р. Ма-рино [42, 43]. Было показано, что любая плоская система с управлением динамически линеаризуема (см. [97, 99, 66]), и для ее управления можно использовать методы, разработанные ранее для линейных систем. Были также найдены примеры плоских систем с запаздыванием [112, 117, 70, 114, 129, 116, 113, 130, 128, 147] и плоских систем с распределенными параметрами, т.е. систем уравнений в частных производных с граничными условиями и граничным управлением [71, 114, 31, 72, 56, 69, 88, 94, 128, 133, 150, 57]. А именно, решения этих систем также параметризуются набором произвольных функций одной переменной.

Оказалось, что многие системы с управлением из различных областей техники являются плоскими и задачи управления для них решаются разработанными методами. В часности, плоский выход допускают модели: плоского твердого тела с силами [103, 121]; ракеты [103]; самолета вертикального взлёта [75, 102]; портального подъемного крана [67, 64, 93, 90]; туннельного вентилятора [109, 123]; перевернутого маятника на тележке [64, 103]; многих подвижных роботов [97, 64, 89, 103, 122, 160]; буксируемой кабельной системы [120, 103]; самолета с обычной схемой взлета [97, 101, 102]; спутника с двумя управлениями [103]; автомобиля с п-прицепами [144, 143, 64, 60]; катящегося диска, катящейся сферы и велосипеда [103]; саморегулирующейся муфты [92]; стеклоочистительных щеток [37]; парковки автомобиля [144, 64, 60]; преобразователя постоянного тока с широтно-импульсной модуляцией [153, 84]; двухфазная модель асинхронного электродвигателя [53, 108, 107, 96, 152]; смесевого химического реактора [141, 115, 72, 103, 147]; трубчатого реактора [72, 147, 103]; реактора, в которой протекает реакция полимеризации [142, 103]; гибкой буровой штанги [117, 70, 31, 71]; движения жидкости в цистерне [56, 133, 103]; передачи сигнала через электрическую цепь [69, 103]; сети сбыта [113]; цепи, один конец которой прикреплен к тележке, а другой свободно свисает [134] и др.

Теория плоских систем применяется: при проектирование автомобильного оборудования [37, 90], в аэронавтике [101, 102], при управлении вертолетом [118, 107], в гидравлике [36], при управлении изгибом балки [150], при решении задачи расположения магнитных опор [91, 149], в пищевой промышленности [35], в агро-продовольст-веной области [34] и др.

Решения плоской системы находятся во взаимно однозначном соответствии с набором произвольных функций времени. Этот факт позволяет переносить на плоские системы методы управления линейными системами. В частности, на плоские системы распространены методы решения задач терминального управления (см. [143, 144, 64] и параграфы 1.4 и 3.2 ниже), стабилизации ([63, 60], параграфы 1.4 и 3.3), оптимального управления [124, 131, 132, 110], предиктивного управления [68] и др.

Важнейшей нерешенной проблемой теории управления остается задача плоскостности: "для заданной системы выяснить является ли она плоской или нет". Разработка методов решения этой задачи актуальна, потому что:

1) задачи теории управления разрешимы для плоских систем, соответствующие методы или уже разработаны, или успешно разрабатываются;

2) большое количество технических объектов и процессов описывается плоскими системами, поэтому есть надежда, что плоскими являются и системы с управлением, интересные с технической точки зрения и плоскостность (или неплоскостность) которых нельзя доказать существующими методами.

Полного и конструктивного решения задачи плоскостности пока не получено. Основная трудность в ее решении заключается в определении порядка производных щ,., ип по t, от которых может зависеть искомый плоский выход. Назовем этот порядок порядком плоского выхода, а систему, обладающую плоским выходом порядка L, — L-плоской. Если система обладает плоским выходом порядка L, то она обладает также бесконечным количеством плоских выходов любого порядка больше, чем L. Задача проверки L-плоскостности конкретной системы трудна с вычислительной точки зрения, но разрешима. Однако если система не обладает плоским выходом порядка L, она может обладать плоским выходом большего порядка. Оценка для порядка плоского выхода в общем случае не известна, и доказательство неплоскостности остается нерешенной проблемой.

Доказать неплоскостность можно было бы, имея необходимые условия, близкие к достаточным. Используя метод, которым Д. Гильберт [76] доказал непараметризуемость уравнения (В2), П. Рушон получил необходимые условия [142], обобщающие полученные ранее результаты В. М. Слюса [156]. Однако эти условия применимы к незначительному количеству примеров. Значение их в том, что из них П. Рушон вывел [142] следующий важный теоретический результат. Неплоские системы с управлением образуют открытое всюду плотное множество в С°°-топологии Уитни. Этот результат допускает следующую интерпретацию: наугад выбранная система с вероятностью 1 будет неплоской. Казалось бы, это противоречит плоскостности большого количества технических систем (см. выше). Но противоречие исчезает, если учесть, что технические системы не произвольны, а описывают те или иные явления природы. А для таких систем свойство плоскостности может быть общим, т.е. наугад выбранная техническая система с ненулевой вероятностью плоская.

Хотя в общем случае задача плоскостности нерешена, некоторые успехи в ее решении для систем частного вида достигнуты. А именно, получены следующие результаты. Плоской является любая статически линеаризуемая система (см. [61] и следствие 1.4 ниже). Поэтому известные необходимые и достаточные условия статической линеаризуемости (см. [80, 10, 78, 15, 14] и теорему 2.4 ниже) являются одновременно достаточными условиями плоскостности. Но этим условиям удовлетворяют небольшое количество плоских систем. Исключение составляют системы с одномерным управлением, которые плоские тогда и только тогда, когда они статически линеаризуемы (это следствие классических результатов Э. Картана [41], см. также [42, 43, 32] и теорему 2.5 ниже).

Аффинные системы коразмерности 1

71-1

А = /О{х) + ^щ/г(х), X еШП г=1 имеют плоский выход порядка 0, если они удовлетворяют условию сильной достижимости для почти всех х [42, 43]. Так как плоские системы всегда удовлетворяют условию сильной достижимости [66], то приведенный факт представляет собой необходимое и достаточное условие плоскостности и оценку для порядка плоского выхода {Ь = 0) таких систем. Для систем коразмерности 1 нелинейных по управлению (неаффинных) также известны условия плоскостности [98], но формулировка их значительно сложнее.

Необходимые и достаточные условия 1-плоскостности для аффинных систем с двумерным управлением и четырехмерным состоянием получены в [136]. Анализ этих результатов показывает насколько сложна проверка ¿-плоскостности даже для малых Ь.

Для аффинных систем вида известны условия плоскостности в двух случаях: т — 2 [104] и тп = п — 2 [105, 106]. Некоторые результаты о плоских ситемах вида (ВЗ) можно найти также в [119, 122, 160, 159, 155].

В [139] рассмотрены механические системы с п-мерным конфигурационным пространством (2п-мерным состоянием) и управлением размерности п — 1. Получены необходимые и достаточные условия существования плоского выхода, зависящего только от конфигурационных переменных.

Цитируемые работы и древность задачи плоскостности показывают, что эта задача трудна, и для ее решения необходимо использовать новые методы, которые еще не применялись в теории управления. Первоначально плоскостность была определена на алгебраическом языке [61, 64], более привычном ее авторам. Но довольно скоро было понято [62, 135, 65, 66], что более удобен бесконечномерный геометрический язык, развитый российской школой математиков под руководством А. М. Виноградова [2, 4, 161, 1]. Применение языка дифференциальных форм [126], используемого американскими математиками [40], позволило доказать цитируемые выше результаты о плоских ситемах вида (ВЗ). Но на успех этого подхода в дальнейших исследованиях трудно надеяться (это, видимо, понимает и один из авторов работы [126] — см. [ЮЗ]).

ТП

ВЗ)

Подход А. М. Виноградова заключается в отождествлении системы дифференциальных уравнений с бесконечномерным многообразием, снабженным конечномерным распределением. Это распределение называется распределением Картана, а многообразие, на котором оно определено, — диффеотопом. Решения системы отождествляются с максимальными интегральными многообразиями распределения Картана, которые называются графиками решений. Тем самым, диффеотоп и распределение Картана полностью определяют систему и ее решения.

Интерпретируя набор ., /гп-/0 произвольных дифференцируемых функций времени t как решение "пустой системы уравнений", параметризацию (В1) в случае отсутствия констант с\,. ,сг можно понимать как преобразование решений пустой системы в решения заданной системы. При этом функции, задающие такое преобразование, зависят не только от t и решений ,., Нп-к пустой системы, но и от производных ., этих решений до некоторого порядка К. На диффеотопическом языке такое преобразование определяет гладкое отображение из диффеотопа пустой системы в диффеотоп заданной системы, причем распределение Картана пустой системы отображается в распределение Картана заданной системы. Обратимость параметризации означает обратимость этого отображения. Таким образом, плоскостность системы означает существование диффеоморфизма из диффеотопа пустой системы в диффеотоп заданной системы, сохраняющий распределения Картана.

Диффеотопический подход имеет категорное изложение, аналогичное [9] (срав. категории БЕ в [1] и в [9]). Но если в [9] рассматриваются только преобразования, при которых состояние одной системы выражается через состояние другой, то диффеотопический подход позволяет рассматривать наиболее общие преобразования систем, при которых состояние выражается через состояние, управление и производные управления до любого фиксированного порядка.

Применяя диффеотопический подход, Е. Аранда-Брикэр, К. О. Муг и Ж.-Б. Помэ переформулировали задачу плоскостности для стационарных систем как задачу поиска обратимого дифференциального оператора некоторого типа, удовлетворяющего некоторому условию (см. [32] и теорему 2.2 ниже). В диффеотопической геометрии [2, 4, 161, 1] операторы указанного типа исследуются и называются ^-дифференциальными. Обратимые дифференциальные операторы также исследовались ранее [6, 23, 44, 45], но применить известные результаты о них к задаче плоскостности не удалось. Анализ упомянутого условия (см. равенство (2.23) ниже) показал, что для его упрощения естественно использовать теорию деформаций геометрических структур, развитую Д. Спенсером [158], В. Гийемином, С. Стернбергом [74] и др. Напомним, что эта теория изучает деформации (преобразования) под действием непрерывной группы какой-либо геометрической структуры, заданной комплексом. Одним из инструментов этой теории является нелинейный комплекс Спенсера.

Целью диссертации является: разработка методов решения задачи плоскостности и других задач приведения систем к каноническим видам; развитие геометрии диффеотопов, в том числе определение диффеотопа системы с запаздыванием и диффеотопа системы с распределенными параметрами и распространение понятия плоскостности на такие системы; применение диффеотопических методов в теории управления и разработка методов анализа и синтеза систем с управлением на основе диффеотопических методов.

Актуальность диссертации объясняется

1) актуальностью задачи плоскостности (см. выше);

2) возможностью после применения новых методов в теории управления решить как проблемы приведения систем к наиболее простому виду, на подобии задачи плоскостности, так и проблемы управления нелинейными системами;

3) распространением на системы с запаздыванием и системы с распределенными параметрами геометрии диффеотопов, что позволит применить новые методы для решения как задачи плоскостности, так и задач управления такими системами.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные новые результаты, которые выносятся на защиту.

1. Теория динамически линеаризуемых и плоских нестационарных систем с управлением.

В серии работ [42, 43, 61, 62, 64, 135, 65, 66] были получены отдельные факты о динамически линеаризуемых и плоских стационарных системах с управлением. В частности, для таких систем была введена бесконечномерная геометрическая модель, доказано, что плоская система динамически линеаризуема, размерности плоского выхода и управления совпадают, для линейных систем плоскостность эквивалентна управляемости и т.д. В диссертации эти и другие факты доказываются для нестационарных систем с управлением.

2. Решение проблемы плоскостности систем, линеаризуемых динамической обратной связью.

Все попытки доказать, что любая динамически линеаризуемая система плоская, до сих пор были неудачными. Поэтому Ф. Мартин [97, 100] ввел специальный термин "эндогенная" для динамической обратной связи, которая линеаризует плоскую систему. Более точно, эндогенная — это динамическая обратная связь, дополнительные переменные которой выражаются через переменные состояния, управления и производные управления до некоторого порядка. Он доказал, что система, линеаризуемая эндогенной динамической обратной связью, является плоской. В диссертации эта проблема ре-шана в полном объёме и доказано (теорема 2.8), что в окрестности точки общего положения любая динамически линеаризуемая система плоская независимо от типа линеаризующей динамической обратной связи.

Для доказательства последнего факта используется известное понятие накрытия одного диффеотопа другим [3, 86, 87, 1]. Доказывается, что система динамически линеаризуема в том и только том случае, когда она накрывается тривиальной системой (теорема 1.11), а плоская система может накрывать только плоскую систему (теорема 2.7). Из этих двух теорем следует упомянутый выше факт (теорема 2.8), а из их доказательства — метод поиска плоского наблюдателя для динамически линеаризуемой системы (см. § 2.6). Одновременно теорема 2.7 позволяет доказывать неплоскостность системы, если удается построить накрытие из этой системы в какую-либо неплоскую систему (см. пример 2.11).

Исследуется условие регулярности динамической обратной связи (см. [42]) и приводится три эквивалентных ему, но более понятных условия (теорема 1.7). Эти новые условия объясняют понятие динамической обратной связи с разных позиций, при этом для проверки мы по-прежнему используем условие регулярности (см. пример 4.2).

3. Структура алгебр высших симметрии динамических систем с управлением и метод вычисления этих алгебр.

Для высших симметрий используются также термины "операторы Ли-Бэклунда" [12, с. 166] и "обобщенные симметрии" [18, с. 173]. В подходе А. М. Виноградова высшая симметрия интерпретируется как инфинитезимальное преобразование (векторное поле) диффеото-па рассматриваемой системы, сохраняющее распределение Картана (точные формулировки приведены ниже — см. параграфы 2.5 и 5.11). Локальный фазовый поток такого векторного поля, если он существует, отображает графики решений в графики решений. Поэтому высшие симметрии можно понимать как векторные поля на многообразии решений системы. Однако векторные поля на диффеотопе, вообще говоря, не обладают даже локально фазовым потоком, поскольку диффеотоп — бесконечномерное многообразие (подробности см. в [23, 44]). Высшие симметрии, которым соответствуют поднятия векторных полей с конечномерного многообразия, а значит, обладающие фазовым потоком, называются классическими.

Симметрии играют фундаментальную роль в геометрии диффе-отопов (см. [1, 2, 4, 11, 12, 17, 18, 161] и ссылки там). Применение их в теории управления только начинается. В [19, 30, 13] классические симметрии использовались для решения задачи декомпозируемости систем с управлением. В [13] получены также общие результаты о таких симметриях. О связи симметрий и инвариантной задачи стабилизации см. [145], а о симметриях, сохраняющих плоский выход, и о их роли в физических приложениях — [103].

Предложенный метод вычисления алгебры высших симметрий использует инфинитезимальную форму Бруновского систем с управлением [32], обобщенную на нестационарный случай. Однако применить симметрии к решению задачи плоскостности не удается. Полученный результат (теорема 2.6) показывает, что если система не имеет первых интегралов, ее алгебра высших симметрий однотипна как для плоских систем, так и неплоских. Отличия можно ожидать только при более глубоком исследовнии этой алгебры.

4. Обобщение теории деформаций геометрических структур на бесконечномерный случай, разработанные на его основе условия плоскостности и метод поиска плоского выхода для динамических систем и систем уравнений в частных производных.

Обобщение состоит в распространении теории деформаций на случай действия группы обратимых С-дифференциальных операторов на комплекс (4.16) (см. § 4.6). В работе сконструирован нелинейный комплекс Спенсера и доказана его точность в окрестности точки общего положения (теорема 4.3). Это позволило получить необходимые и достаточные условия плоскостности (следствие 4.1) и на их основе метод поиска плоского выхода (см. § 4.9). Эффективность этого метода продемонстрирована на рассмотренных примерах.

В диссертации также показано, что из точности соответствующего нелинейного комплекса Спенсера следуют необходимые и достаточные условия плоскостности систем уравнений в частных производных и условия существования оператора совместности некоторого вида (см. главу 4). Тем самым доказана связь задачи плоскостности с другими классическими задачами теории дифференциальных уравнений.

5. Обобщение теории плоских систем на случай динамических систем с запаздыванием.

Понятия плоскостности обобщается на случай систем с запаздыванием (см. главу 3). При этом учитывается замечание М. Флис-са [59] (см. также [ЮЗ]) о том, что для таких систем переход от переменных состояния и управления к переменным плоского выхода, как и обратный переход может зависеть не только от значений переменных "в настоящем и прошлом", но и от значений переменных "в будущем". Однако при решении задач теории управления следует использовать только функции переменных "в настоящем и прошлом". Эта особенность создает дополнительную трудность при распространении методов решения упомянутых задач в случае плоских систем без запаздывания на случай плоских систем с запаздыванием. В диссертации предлагаются методы решения задач терминального управления и стабилизации с преодолением этой трудности (см. параграфы 3.2 и 3.3).

Доказано необходимое условие плоскостности для систем с запаздыванием (теорема 3.1). Используя это условие можно доказывать как неплоскостность, так и плоскостность систем с запаздыванием. Мы демонстрируем это на примере системы, описывающей модель дизельного двигателя, рассмотренной в [82]. Используя предложенные методы, мы находим плоский выход и показываем, как решается задача стабилизации для этой системы (см. примеры 3.1 и 3.2).

6. Теория диффеотопов систем функционально-дифференциальных уравнений, имеющих гранично-дифференциальную форму, ориентированная на решение задач теории управления.

Вводится понятие диффеотопа для систем с запаздыванием, для систем интегро-дифференциальных уравнений и для других типов систем, имеющих гранично-дифференциальную форму (см. § 5.2). Разделы геометрии диффеотопов, касающиеся пространств конечных и бесконечных джетов, дифференциальных операторов, описания распределения Картана и симметрий, обобощаются на этот случай (см. главу 5). Это обобщение дает возможность распространить в дальнейшем на случай систем с запаздыванием и систем с распределенными параметрами результаты, полученные для динамических систем с управлением, в частности, необходимые и достаточные условия плоскостности, следующие из точности нелинейного комплекса Спенсера.

Совокупность основных результатов диссертации можно рассматривать как основание для формирования нового научного направления, состоящего в разработке методов анализа и синтеза нелинейных динамических систем на основе дифференциально-геометрической теории бесконечномерных многообразий.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции "Современные дифференциально-геометрические и компьютерно-алгебраические методы исследования нелинейных проблем физики и механики" (Тарту, Эстония, 1989), Всесоюзной конференции "Современные дифференциально-геометрические и компьютерно-алгебраические методы исследования нелинейных проблем" (Одесса, 1990), 9-ом межгосударственном коллоквиуме " Современный групповой анализ. Методы и приложения" (Ниж.-Новгород, 1992), Международной конференции "Геометрические и алгебраические структуры в дифференциальных уравнениях" (Энсхеде, Голландия, 1993), Международной конференции

Классическая и квантовая геометрия однородных пространств" (Москва, 1994), Международной конференции "Вторичное дифференциальное исчисление и нелинейные проблемы в физике" (Вьетри-суль-Маре, Италия, 1994), Международной конференции "Вторичное дифференциальное исчисление и когомологическая физика" (Москва, 1997), 5-ом международном симпозиуме "Нелинейные системы с управлением (ЮЬС08'01)" (Санкт-Петербург, 2001), 15-ом всемирном конгрессе ИФАК (Барселона, Испания, 2002), на 7-ом Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 2002), 6-ой международной конференции "Современная геометрия" (Неаполь, Италия, 2005), на 9-ом Международном семинаре семинара им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 2006), а также на научных семинарах в МГТУ им. Н.Э. Баумана, на механико-математическом факультете и факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ, в Независимом университете в Москве, в Международном институте математической физики им. Шредингера в Вене, в Национальном Исследовательском Институте по Информатике и Автоматике (ШША, отделение в София Антиполис, Франция).

Публикации. Материалы диссертации использовались при публикации 21 работы: монографии [1], статей в отечественных журналах [8, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29], статей в зарубежных журналах [44, 45, 47, 48, 49, 51, 52], переводной монографии [38] и тезисов докладов [5, 7, 46, 50].

Структура диссертации. Диссертация разбита на пять глав в порядке усложнения методов. Глава 1 содержит результаты о динамически линеаризуемых и плоских системах с управлением. Используются бесконечномерная геометрическая модель, методы теории систем и теории гладких отображений. В главе 2 исследуется инфинитезимальная форма Бруновского систем с управлением и выводятся следствия из нее. Используется геометрическая теория дифференциальных форм. Глава 3 посвящена распространению понятия плоскостности на системы с запаздыванием. Глава 4 содержит обобщение теории деформаций на бесконечномерный случай и применение этого обобщения к задаче плоскостности. Полученное обобщение применимо как к обыкновенным дифференциальным уравнениям, так и к уравнениям в частных производных. Наконец, глава

5 посвящена геометрии функционально-дифференциальных уравнений. Здесь доказываются все факты геометрии диффеотопов, которые использовались в предыдущих главах без доказательства. При этом сначала определяются диффеотопы наиболее общего вида — систем функционально-дифференциальных уравнений. А потом показывается, что диффеотопы динамических систем с управлением, систем уравнения в частных производных и систем с запаздыванием являются частными случаями введенного понятия.

Каждая глава и некоторые параграфы начинаются с краткого введения, где формулируются решаемые задачи. Каждая глава заканчивается выводами по главе, а диссертация — заключением. В них в краткой форме перечисляются основные полученные результаты и выводы.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Четвериков, Владимир Николаевич

Основные выводы диссертации.

1. Бесконечномерная геометрия является основой для решения задачи плоскостности и других задач приведения систем к каноническим видам.

2. Динамическая линеаризуемость эквивалентна плоскостности.

3. Динамические системы с управлением имеют богатые алгебры высших симметрий. Этот факт является базой эффективного применения теории высших симметрий для анализа и синтеза нелинейных динамических систем.

4. Бесконечномерная теория деформаций является основой применения метода линеаризации в теории дифференциальных уравнений.

5. Установлена связь задачи плоскостности с другим классическими нелинейными задачами теории дифференциальных уравнений. Их решение не получено известными методами и поэтому требует разрабоки новых методов, в том числе на основе бесконечномерной геометрии.

6. Теория диффеотопов является основой для дальнейшего распространения развитых в диссертации методов анализа и синтеза нелинейных динамических систем на системы с запаздыванием и системы с распределенными параметрами.

7. Совокупность основных результатов диссертации можно рассматривать как основание для формирования нового научного направления, состоящего в разработке методов анализа и синтеза нелинейных динамических систем на основе дифференциально-геометрической теории бесконечномерных многообразий.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Четвериков, Владимир Николаевич, 2006 год

1. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики / А. В. Бочаров, А. М. Вербовецкий, А. М. Виноградов и др. — М.: Факториал, 1997. — 464 с.

2. Виноградов А. М. Геометрия нелинейных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. — 1980. — Т. И. Проблемы геометрии. — С. 89-134.

3. Виноградов А. М., Красильщик И. С. К теории нелокальных симметрий нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных // Доклады АН СССР. — 1984. — Т. 275, № 5.1. С. 1044-1049.

4. Виноградов А. М., Красильщик И. С., Лычагин В. В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1986. — 335 с.

5. Громов М. Дифференциальные соотношения с частными производными. — М.: Мир, 1990. — 536 с.

6. Дорошенко Т. Г., Четвериков В. Н. Управление плоскими системами // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов VII Международного семинара. — М., 2002. — С. 154-155.

7. Дорошенко Т. Г., Четвериков В. Н. Терминальное управление плоской системой // Нелинейная динамика и управление: Сборник статей / Под ред. C.B. Емельянова, С.К. Коровина (М.).2003. — Вып. 3 — С. 191-200.

8. Елкин В. И. Редукция нелинейных управляемых систем: Дифференциально-геометрический подход. — М.: Наука, Физ-матлит, 1997. — 320 с.

9. Жевнин А. А., Крищенко А. П. Управляемость нелинейных систем и синтез алгоритмов управления // Доклады АН СССР.- 1981. Т. 258, № 4. - С. 805-809.

10. Журавлев В. Ф., Климов Д. М. Прикладные методы в теории колебаний. — М.: Наука, 1988. — 328 с.

11. Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физике. — М.: Наука, 1983. — 280 с.

12. Канатников А. Н., Крищенко А. П. Симметрии и декомпозиция нелинейных систем // Дифференциальные уравнения. — 1994. — Т. 30, № 11. — С. 1880-1891.

13. Краснощеченко В. И., Крищенко А. П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. — 520 с.

14. Крищенко А. П. Преобразования аффинных систем и их множества достижимости // Дифференциальные уравнения. — 1997.

15. Т. 32, № 8. — С. 1144-1145.

16. Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1980. — 439 с.

17. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978. — 400 с.

18. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. — М.: Мир, 1989. — 635 с.

19. Павловский Ю. Н. Групповые свойства управляемых динамических систем и фазовые организационные структуры // Ж. вы-числ. мат. и мат. физ. — 1974. — Т. 14, № 4. — С. 862-872; Т. 14, № 5. — С. 1093-1103.

20. Павловский Ю. Н., Яковенко Г. Н. Группы, допускаемые динамическими системами // Методы оптимизации и их приложения.

21. Новосибирск: Наука, 1982. — С. 155-189.

22. Поммаре Ж. Системы уравнений с частными производными и псевдогруппы Ли. — М.: Мир, 1983. — 400 с.

23. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1984. — 421 с.

24. Четвериков В. Н. О структуре интегрируемых С-полей на бесконечно продолженных уравнениях // Доклады АН СССР. — 1986. — Т. 286, № 1. — С. 54-57.

25. Четвериков В. Н. Геометрическая интерпретация систем с управлением // Научный вестник МГТУ ГА. Математика. — 1999. — № 16. — С. 69-75.

26. Четвериков В. Н. Высшие симметрии и инфинитезимальная форма Бруновского систем с управлением // Научный вестник МГТУ ГА. Математика. — 1999. — № 16. — С. 77-83.

27. Четвериков В. Н. Высшие симметрии и инфинитезимальная форма Бруновского систем с управлением // Дифференциальные уравнения. — 2002. — Т. 38, № 11. — С. 1525-1532.

28. Четвериков В. Н. Плоскостность динамически линеаризуемых систем // Дифференциальные уравнения. — 2004. — Т. 40, № 12.1. С. 1665-1674.

29. Четвериков В. Н. Плоские управляемые системы с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. — 2005. — Т. 41, № 12.1. С. 1655-1662.

30. Четвериков В. Н. Динамически линеаризуемые и плоские системы с управлением // Дифференциальные уравнения. — 2006.

31. Т. 42, № 8. — С. 1143-1144.

32. Яковенко Г. Н. Декомпозиция управляемых нелинейных систем с группой симметрий // Механика гироскопических систем (Киев). — 1986. — Вып. 5. — С. 131-137.

33. Theory and practice in the motion planning and control of a flexible robot arm using mikusiriski operators / Y. Aoustin, M. Fliess, H. Mounier et all // Proc. of the Fifth IFAC Symposium on Robot Control. — Nantes (France), 1997. — P. 287-292.

34. Avanessof D., Baratchart L., Pomet J.-B. Sur l'intégrabilité (très) formelle d'une partie des équations de la platitude des systèmes de contrôle // Preprint of INRIA. — Décembre 2003, — 78 p. (http : / / www. inria. fr/rrrt/rr-5045. html)

35. Baron R., Boillereaux L., Lévine J. Platitude et conduite non-linéaire: illustration en extrusion et en photobioréacteur // C.R. Acad. Sei. Paris. Série I. — 2004. — V. 339 — P. 519-524.

36. Baron R., Lévine J., Mastail M. Modeling and control of a fish extrusion process // Proc. of the 1st IMACS/IFAC Conf. Mathematical Modeling and Simulation in Agriculture and BioIndustries. — Bruxelles, 1995. — P. 37-42.

37. Flachheitsbasierte Regelung eines hydraulischen Antriebs mit zwei Ventilen für einen Grossmanipulator / R. Bindel, R. Nitsche, R. Rothfuss et all // Automatisierungstechnik. — 2000. — Bd. 48. — S. 124-131.

38. Bitauld L., Fliess M., Lévine J. A flatness based control synthesis of linear systems and application to windshield wipers // Proc. of the 4th European Control Conf. — Brussels, 1997. — P. 29-34.

39. Symmetries and conservation laws for differential equations of mathematical physics / A. V. Bocharov, V. N. Chetverikov, S. V. Duzhin et al. — Providence (RI): Amer. Math. Soc., 1999. — 333 p.

40. Brunovsky P. A classification of linear controllable systems // Kybernetica. — 1970. — V. 6. — P. 176-188.

41. Exterior Differential Systems / R. L. Bryant, S. S. Chern, R. B. Gardner et all. — New-York: Springer-Verlag, 1991. — 324 p.

42. Cartan E. Sur l'intégration de certains systèmes indéterminés d'équations différentielles // J. fiir reine und angew. Math. — 1915.

43. Bd. 145. — S. 86-91. (Also in OEuvres Complètes, part II. — Paris: CNRS, 1984. — V. 2. — P. 1164-1174).

44. Char let B., Lévine J., Marino R. On dynamic feedback linearization // Systems and Control Letters. — 1989. — V. 13. — P. 143151.

45. Charlet B., Lévine J., Marino R. Sufficient conditions for dynamic state feedback linearization // SIAM J. Control Optim. — 1991.1. V. 29 — P. 38-57.

46. Chetverikov V. N. On the structure of integrable C-fields // Differential Geom. Appl. — 1991. — V. 1. — P. 309-325.

47. Chetverikov V. N. Invertible linear differential operators on two-dimensional manifolds // Preprint of the Erwin Schrodinger International Institute for Mathematical Physics (Vienna). — 1993.55. — 16 p.

48. Chetverikov V. N. New flatness conditions for control systems // Proc. of NOLCOS'Ol. — St.Petersburg, 2001. — P. 168-173.

49. Chetverikov V. N. New flatness conditions for control systems // Nonlinear Control Systems 2001 / A. B. Kurzhanski, A. L. Fradkov, Eds. — St.Petersburg, 2002. — P. 191-196.

50. Chetverikov V. N. Flat control systems and deformations of structures on diffieties // Forum Math. — 2004. — V. 16. — P. 903923.

51. Chetverikov V. N. A nonlinear Spencer complex for the group of invertible differential operators and its applications // Acta Appl. Math. — 2004. — V. 83, № 1-2. — P. 1-23.

52. Chetverikov V. N., Kanatnikov A. N., Krishchenko A. P. Classical and higher symmetries of control systems // Proc. of the 15th World Congress IFAC b'02. — Barcelona (Spain), 2002. — P. 221-226.

53. Chetverikov V. N., Kudryavtsev A. G. A method for computing symmetries and conservation laws of integro-differential equations // Acta Appl. Math. — 1995. — V. 41, № 1-3. — P. 45-56.

54. Chetverikov V. N., Kudryavtsev A. G. Modelling integro-differential equations and a method for computing their symmetries and conservation laws // Amer. Math. Soc. Transi. Ser. 2. — 1995.1. V. 167. — P. 1-22.

55. Chiasson J. Dynamic feedback linearization of the induction motor // IEEE Trans. Automat. Control. — 1993. — V. 38. — P. 15881594.

56. Delaleau E., Rudolph J. Decoupling and linearization by quasi-static feedback of generalized states // Proc. of the 3rd European Control Conf. — Rome, 1995.— P. 1069-1074.

57. Delaleau E., Rudolph J. Control of flat systems by quasi-static feedback of generalized states // Int. J. Contr. — 1998. — V. 71.1. P. 745-765.

58. Dubois F., Petit N., Rouchon P. Motion planing and nonlinear simulations for a tank containing a fluid // Proc. of the European Control Conference. — Karlsruhe, 1999. — P. 673-678.

59. Motion planing for a nonlinear Stefan problem / W. B. Dunbar, N. Petit, P. Rouchon et all // ES AIM: COCV. — 2003. — V. 9.1. P. 275-296.

60. El Moubaraki J., Bastin G., Lévine J. Nonlinear control of biological processes with growth/production decoupling // Mathematical Biosciences. — 1993. — V. 116. — P. 21-44.

61. Fliess M. Variations sur la notion de controlabilité // Journée Soc. Math France. — 17 juin 2000. — P. 1-39.

62. Sur les systèmes non linéaires différentiellement plats / M. Fliess, J. Lévine, Ph. Martin et ail // C.R. Acad. Sei. Paris. Série I. — 1992.1. V. 315 — P. 619-624.

63. Linéarisation par bouclage dynamique et transformations de Lie-Bäcklund / M. Fliess, J. Lévine, Ph. Martin et ail // C.R. Acad. Sei. Paris. Série I. — 1993. — V. 317 — P. 981-986.

64. Design of trajectory stabilizing feedback for driftless flat systems / M. Fliess, J. Lévine, Ph. Martin et all // Proc. 3rd European Control Conf. — Rome, 1995. — P. 1882-1887.

65. Flatness and defect of non-linear systems: Introductory theory and examples / M. Fliess, J. Lévine, Ph. Martin et all // Int. J. Contr.1995. — V. 61, № 6. — P. 1327-1361.

66. Nonlinear control and diffieties, with an application to physics / M. Fliess, J. Lévine, Ph. Martin et all // Contemporary Mathematics.1998. — V. 219. — P. 81-92.

67. A Lie-Bäcklund approach to equivalence and flatness of nonlinear systems / M. Fliess, J. Lévine, Ph. Martin et all // IEEE Trans. Automat. Control. — 1999. — V. 44, № 5. — P. 922-937.

68. Fliess M., Lévine J., Rouchon P. A generalized state variable representation for a simplified crane description // Int. J. Contr.1993. — V. 58. — P. 277-283.

69. Fliess M., Marquez R. Continuous time linear predictive control and flatness: a module theoretic setting with examples // Int. J. Contr. — 2000. — V. 73. — P. 606-623.

70. Active signal restoration for the telegraph equation / M. Fliess, Ph. Martin, N. Petit et all // Proc. of the 38th IEEE Conf. on Decision and Control. — Phoenix, 1999. — P. 1107-1111.

71. Controllability and motion planning for linear delay systems with an application to a flexible rod / M. Fliess, H. Mounier, P. Rouchon et all // Proc. of the 34th IEEE Conf. on Decision and Control. — New Orleans, 1995. — P. 2046-2051.

72. Systèmes linéaires sur les opérateurs de Mikusinski et commanded'une poutre flexible / M. Fliess, H. Mounier, P. Rouchon et ail/ '

73. ESAIM Proc. Elasticité, viscolélasticité et contrôle optimal. 8ème entretiens du centre Jacques Cartier. — Lyon, 1996. — P. 157-168.

74. A distributed parameter approach to the control of a tubular reactor: A multi-variable case / M. Fliess, H. Mounier, P. Rouchon et all // Proc. of the 37th IEEE Conf. on Decision and Control. — Tampa, 1998. — P. 439-442.

75. Fliess M., Rudolph J. Corps de Hardy et observateurs asympto-tiques locaux pour systèmes différentiellement plats // C.R. Acad. Sei. Paris. Série II. — 1997. — V. 324. — P. 513-519.

76. Guillemin V., Sternberg S. Deformation theory of pseudogroup structures // Mem. Amer. Math. Soc. — 1966. — V. 64. — P. 1-80.

77. Hauser J., Sastry S., Meyer G. Nonlinear control design for slightly nonminimum phase systems: Application to V/STOL aircraft // Automatica. — 1992. — V. 28. — P. 665-679.

78. Hilbert D. Uber den Begriff der Klasse von Differentialgleichungen // Math. Ann. — 1912. — V. 73. — P. 95-108. (Also in Gesammelte Abhandlungen, V. III. — Chelsea, New York, 1965. — P. 81-93).

79. Hoo K. A., Kantor J. C. An exothermic continuous stirred tank reactor is feedback equivalent to a linear system // Chem. Eng. Commun. — 1985. — V. 37. — P. 1-10.

80. Hunt L. R., Su R., Meyer G. Global transformations of nonlinearsystems // IEEE TVans. Automat. Control. — 1983. — V. 28. — P. 24-31.

81. Ibragimov N. H., Kovalev V. F., Pustovalov V. V. Symmetries of Integro-Differential Equations: A Survey of Methods Illustrated by the Benney Equations // Nonlinear Dynamics. — 2002 — V. 28, № 2. — P. 135-153. (http://arxiv.org/abs/math-ph/0109012)

82. Jakubczyk B., Respondek W. On linearization of control systems // Bull. Acad. Pol. Sci. Ser. Sci. Math. — 1980. — V. 28. — P. 517522.

83. Janet M. P. Zervos et le problème de Monge // Bull. Sci. Math.1971. — V. 95, № 2. — P. 15-26.

84. Jankovic M. Control Design for a Diesel Engine Model with Time Delay // Proc. of the 40th IEEE Conf. on Decision and Control.

85. Orlando, 2001. — P. 117-122.

86. KailathT. Linear Systems. Englewood Cliffs. — N J: Prentice-Hall, 1980. — 328 p.

87. Karsenti L., Rouchon P. A tracking controller-observer scheme for DC-to-DC converters // Proc. of the 4th European Control Conf.

88. Brussels, 1997. — P. 197-202.

89. Kiss B., Lévine J., Lantos B. Trajectory planning for dextrous manipulation with rolling contacts // Proc. of the 37th IEEE Conf. on Decision and Control. — Tampa, 1998. — P. 2118-2119.

90. Krasilshchik I. S., Vinogradov A. M. Nonlocal symmetries and the theory of covering // Acta Appl. Math. — 1984. — V. 2. — P. 79-86.

91. Krasilshchik I. S., Vinogradov A. M. Nonlocal trends in the geometry of differential equations: symmetries, conservation laws, and Bâcklund transformations // Acta Appl. Math. — 1989. — V. 15. — P. 161-209.

92. Laroche B., Martin Ph., Rouchon P. Motion planing for the heat equation //Int. Journal of Robust and Nonlinear Control. — 2000.1. V. 10. — P. 629-643.

93. Lenoir Y., Martin Ph., Rouchon P. 2kn, the juggling robot // Proc. of the 37th IEEE Conf. on Decision and Control. — Tampa, 1998.1. P. 1995-2000.

94. Lévine J. Are there new industrial perspectives in the control of mechanical systems // Advances in Control: Highlights of ECC'99 / P. M. Frank, Ed. — London: Springer-Verlag, 1999. — P. 197-226.

95. Lévine J., Lottin J., Ponsart J. C. A nonlinear approach to the control of magnetic bearings // IEEE Trans. Control Systems Technology, Special Issue on Magnetic Bearing Control. — 1996.1. V. 4. — P. 524-544.

96. Lévine J., Rémond B. Flatness based control of an automatic clutch // Proc. of the MTNS-2000 — Perpignan, 2000. — P. 331336.

97. On the control of US Navy cranes / J. Lévine, P. Rouchon, G. Yuan et all // Proc. of the 4th European Control Conf. — Brussels, 1997.1. P. 417-422.

98. Malgrange B. Ideals of differentiable functions. — Oxford: Oxford University Press, 1966. — 198 p.

99. Marquez R., Delaleau E. Une application de la commande prédictive linéaire basée sur la platitude // Actes Journées Doctorales d'Automatique. — Nancy (France), 1999. — P. 148-152.

100. Martin Ph. Contribution à l'étude des systèmes diffèrentiellement plats: PhD thesis, — Paris: École des Mines, 1992. — 176 p.

101. Martin Ph. A geometric sufficient conditions for flatness of systems with m inputs and m + 1 states. // Proc. of the 32nd IEEE Conf. on Decision and Control. — San Antonio, 1993. — P. 3431-3436.

102. Martin Ph. An intrinsic condition for regular decoupling 11 Systems and Control Letters. — 1993. — V. 20. — P. 383-391.

103. Martin Ph. Endogenous feedbacks and equivalence // Systems and Networks: Mathematical Theory and Applications (MTNS'93).

104. Berlin: Akademie Verlag, 1994. — V. 2 — P. 343-346.

105. Martin Ph. Aircraft control using flatness // Proc. of the CESA'96 IMACS Multiconf. — Lille (France), 1996. — P. 194-199.

106. Martin Ph., Devasia S., Paden B. A different look at output tracking: Control of VTOL aircraft // Automatica. — 1996. — V. 32. — P. 101-108.

107. Martin Ph., Murray R., Rouchon P. Flat systems // Proc. of the 4th European Control Conf. Plenary lectures and Mini-courses.

108. Brussels, 1997. — P. 211-264.

109. Martin Ph., Rouchon P. Feedback linearization and driftless systems // Math. Control Signal Syst. — 1994. — V. 7. — P. 235254.

110. Martin Ph., Rouchon P. Any (controllable) driftless system with 3 inputs and 5 states is flat // Systems and Control Letters. — 1995.1. V. 25. — P. 167-173.

111. Martin Ph., Rouchon P. Any (controllable) driftless system with m inputs and m+2 states is flat // Proc. of the 34th IEEE Conf. on Decision and Control. — New Orleans, 1995. — P. 2886-2891.

112. Martin Ph., Rouchon P. Flatness and sampling control of induction motors // Proc. of the IFAC World Congr. — San Francisco, 1996. — P. 389-394.

113. Martin Ph., Rouchon P. Two remarks on induction motors // Proc. of the CESA'96 IMACS Multiconf. — Lille, 1996. — P. 7679.

114. Milam M. B., Murray R. M. A testbed for nonlinear flight control techniques: The Caltech ducted fan // Proc. of the IEEE International Conference on Control and Applications. — Tampa, 1999. — P. 1320-1325.

115. Milam M. B., Mushambi K., Murray R. M. A new computational approach to real-time trajectory generation for constrained mechanical systems // Proc. of the 39th IEEE Conf. on Decision and Control. — Sydney, 2000. — P. 845-851.

116. Mounier H. Propriétés structurelles des systèmes linéaires à retards: aspects théoriques et pratiques: PhD thesis, — Orsay: Université Paris Sud, 1995. — 115 p.

117. High speed network congestion control with a simplified time-varying delay model / H. Mounier, M. Mboup, N. Petit et all // Proc. of the IFAC Conf. System Structure Control. — Nantes, 1998. — P. 43-47.

118. Mounier H., Rouchon P., Rudolph J. Some examples of linear systems with delays //J. Europ. Syst. Autom. — 1997. — V. 31. — P. 911-925.

119. Mounier H., Rudolph J. Flatness based control of nonlinear delay systems: A chemical reactor example // Int. J. Contr. — 1998. ■— V. 71. — P. 871-890.

120. Tracking control of a vibrating string with an interior mass viewed as delay system / H. Mounier, J. Rudolph, M. Fliess et all // ESAIM: COCV. — 1998. — V. 3. — P. 315-321. (www.eamth.fr/cocv)

121. A flexible rod as a linear delay system / H. Mounier, J. Rudolph, M. Petitot et all // Proc. of the 3rd European Control Conf. — Rome, 1995. — P. 3676-3681.

122. A toy more difficult to control than the real thing / P. Mullhaupt, B. Srinivasan, J. Levine et all // Proc. of the 4th European Control Conf. — Brussels, 1997. — P. 497-502.

123. Murray R. M. Nilpotent bases for a class on nonintegrable distributions with applications to trajectory generation for nonholonomic systems // Math. Control Signal Syst. — 1994. — V. 7. — P. 58-75.

124. Murray R. M. Trajectory generation for a towed cable flight control system // Proc. of the IFAC World Congress. — San Francisco, 1996. — P. 395-400.

125. Murray R. M., Rathinam M., Sluis W. Differential flatness of mechanical control systems: A catalog of prototype systems // Proc. of the ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition. — Baltimor, 1995. — P. 361-366.

126. Murray R. M., Sastry S. S. Nonholonomic motion planning: Steering using sinusoids // IEEE Trans. Automat. Control. — 1993. — V. 38. — P. 700-716.

127. Van Nieuwstadt M. J., Murray R. M. Approximate trajectory generation for differentially flat systems with zero dynamics // Proc. of the 34th IEEE Conf. on Decision and Control. — New Orleans, 1995. — P. 4224-4230.

128. Van Nieuwstadt M. J., Murray R. M. Real time trajectory generation for differentially fiat systems // Int. Journal of Robust and Nonlinear Control. — 1998. — V. 8, № 11. — P. 995-1020.

129. Van Nieuwstadt M. J., Murray R. M. Rapid hover to forward flight transitions for a thrust vectored aircraft // Systems and Control Letters. — 1998. — V. 21, № 1. — P. 93-100.

130. Van Nieuwstadt M. J., Rathinam M., Murray R. M. Differential flatness and absolute equivalence of nonlinear control systems // SIAM J. Control Optim. — 1998. — V. 36, № 4. — P. 12251239.

131. Nijmeijer H., Van der Schaft A.J. Nonlinear Dynamical Control Systems. — New-York: Springer-Verlag, 1990. — 468 p.

132. Petit N. Delay Systems. Flatness in Process Control and Controlof some Wave Equations: PhD thesis, — Paris: Ecole des Mines, 2000. — 89 p.

133. Petit N., CrefF Y., Rouchon P. ¿-freeness of a class of linear delayed systems // Proc. of the 4th European Control Conf. — Brussels, 1997. — P. 225-230.

134. Petit N., Creff Y., Rouchon P. Motion planning for two classes of nonlinear systems with delays depending on the control // Proc. of the 37th IEEE Conf. on Decision and Control. — Tampa, 1998.1. P. 1007-1011.

135. Minimum time constrained control of acid strength on a sulfuric acid alkylation unit / N. Petit, Y. Creff, L. Lemaire et all // Chemical Engineering Science. — 2001. — V. 56, № 8. — P. 27672774.

136. Petit N., Milam M. B., Murray R. M. Inversion based constrained trajectory optimization // Proc. of the NOLCOS'Ol.

137. St.Petersburg, 2001. — P. 186-191.

138. Petit N., Rouchon P. Dynamics and solutions to some control problems for water-tank systems // IEEE Trans Automatic Control.— 2002. — V. 47, № 4. — P. 1-16.

139. Petit N., Rouchon P. Flatness of heavy chain systems // SIAM J. Control Optim. — 2001. — V. 40, № 2. — P. 475-495.

140. Pomet J.-B. On dynamic feedback linearization of four-dimensional affine control systems with two inputs // ESAIM: COCV. — 1997. — V. 2. — P. 151-230. (www.edpsciences.com/cocv)

141. Pomet J.-B., Moog C. H., Aranda-Bricaire E. A non-exact Brunovsky form and dynamic feedback linearization // Proc. of the 31st IEEE Conf. on Decision and Control. — Tucson, 1992.1. P. 2012-2017.

142. Raczy C. Commandes optimales en temps pour les systèmes différentiellement plats: PhD thesis, — Lille: Université des Sciences et Technologies de Lille, 1997. — 117 p.

143. Rathinam M., Murray R. M. Configuration flatness of Lagrangian systems underact uated by one control // SI AM J. Control Optim. — 1998. — V. 36, № 1. — P. 164-179.

144. Rothfuss, R. Anwendung der flachheitsbasierten Analyze und Regelung nichtlinearer Mehgrössensysterne. — Düsseldorf: VDI, 1997. — 278 p.

145. Rothfuss R., Rudolph J., Zeitz M. Flatness based control of a nonlinear chemical reactor model // Automatica. — 1996. — V. 32.1. P. 1433-1439.

146. Rouchon P. Necessary condition and genericity of dynamic feedback linearization //J. Math. Systems Estim. Control. — 1994.1. V. 4, № 2. — P. 1-14.

147. Flatness and motion planning: the car with n-trailers / P. Rouchon, M. Fliess, J. Lévine et all // Proc. of ECCT93. — Groningen, 1993.1. P. 1518-1522.

148. Flatness, motion planning and trailer systems / P. Rouchon, M. Fliess, J. Lévine et all // Proc. of the 32nd IEEE Conf. Decision and Control. — San Antonio, 1993. — P. 2700-2705.

149. Rouchon P., Rudolph J. Invariant tracking and stabilization: problem formulation and examples // Lecture Notes in Control and Information Sciences. — 1999. — V. 246. — P. 261-273.

150. Rouchon P., Rudolph J. Réacteurs chimiques différentiellement plats: planification et suivi de trajectoires // Automatique et procédés chimiques / J. P. Corriou, Ed. — Paris: Hermès, 2000.1. P. 116-127.

151. Rouchon P., Rudolph J. Réacteurs chimiques différentiellement plats: planification et suivi de trajectoires // Commande de procédés chimiques: réacteurs et colonnes de distillation. / J. P. Corriou, Ed.

152. Paris: Hermès, 2001. Traité IC2. — P. 163-200.

153. Rudolph J. Flatness-based control by quasi-static feedback illustrated on a cascade of two chemical reactors // Int. J. Control.2000. — V. 73. — P. 115-131.

154. Rudolph J., Woittennek F., von Löwis J. Zur Regelung einer elektromagnetisch gelagerten Spindel // Automatisierungstechnik.2000. — Bd. 48. — S. 132-139.

155. Sedoglavic A. Méthodes seminumériques en algèbre différentielle; applications à l'étude des propriétés structurelles de systèmes différentiels algébriques en automatique: PhD thesis, — Paris: Ecole Polytechnique, 2001. — 121 p.

156. Sekhavat S. Planification de Mouvements sans Collision pour Systèmes non Holonomes: PhD thesis, — Toulouse: LAAS-CNRS, 1996. — 138 p.

157. Sira-Ramirez H. A passivity plus flatness controller for the permanent magnet stepper motor // Asian J. Control. — 2000. — V. 2. — P. 1-9.

158. Sira-Ramirez H., Ilic-Spong M. Exact linearzation in switched-mode DC-to-DC power converters // Int. J. Control. — 1989. — V. 50. — P. 511-524.

159. Sira-Ramirez H., Rios-Bolivar M. Feedback passivity of nonlinear multivariable systems // Proc. of the XIV World Congress IFAC. — Peking (China), 1999. — P. 73-78.

160. Sluis W. M. Absolute Equivalence and its Application to Control Theory: PhD thesis, — Ontario: University of Waterloo, 1992. — 158 p.

161. Sluis W. M. A necessary condition for dynamic feedback linearization // Systems Control Letters. — 1993. — V. 21. — P. 277-283.

162. Smoluchowsky M. Drei Vorträge über Diffusion, Brounische Bewegung und Koagulation von Kolloidteilehen // Phys. Zeits. — 1916. — Bd.17. — S. 557-585.

163. Spencer D. C. Deformation of structures on manifolds defined by transitive continuous pseudogroups // Ann. of Math. — 1962. — V. 76. — P. 306-445; — 1965. — V. 81. — P. 389-450.

164. Tilbury D., Sordalen 0., Bushnell L., Sastry S. A multisteering trailer system: conversion into chained form using dynamic feedback // IEEE Trans. Robotics Automation. — 1995. — V. 11, № 6. — P. 807-818.

165. Tilbury D. M. Exterior differential systems and nonholonomic motion planning: PhD thesis, — Berkeley: University of California, 1994. — 138 p.

166. Vinogradov A. M. Local symmetries and conservation laws // Acta Appl. Math. — 1984. — V. 2, № 1. — P. 21-78.

167. P. Zervos. Le problème de Monge. // Mémorial des Sciences Mathématiques. — 1932. — V. 53. — P. 1-38.