Разработка математических моделей для расчёта электромагнитного поля с применением сингулярных интегральных уравнений и их численное исследование тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.09.05, кандидат технических наук Полумисков, Михаил Алексеевич

• Полумисков, Михаил Алексеевич
• кандидат технических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат технических наук Полумисков, Михаил Алексеевич

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В

РАСЧЕТАХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ (обзор)

1.1. Классификация интегральных уравнений.

1.2. Сингулярные интегральные уравнения для расчета электромагнитного поля.

1.2.1. Одномерные сингулярные интегральные уравнения.

1.2.2. Многомерные сингулярные уравнения.

1.3. Состояние теории и методики численной реализации сингулярных интегральных уравнений.

1.4. Выводы.

Глава 2 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ

СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДЛЯ РАСЧЁТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ.

2.1. Сингулярные уравнения для расчета плоскопараллельного и осесимметричного поля.

2.2. Сингулярные уравнения для расчета трехмерного поля

2.3. Выводы.

Глава 3. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ

ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РАСЧЁТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ.

3.1. Численная реализация одномерных уравнений на замкнутых контурах.

3.2. Одномерные уравнения на незамкнутом контуре.

3.3. Расчет электростатического поля, созданного заряженной прямоугольной пластиной.

3.4. Расчет электростатического поля, созданного заряженным двугранным углом.

-33.5. Выводы.

Глава 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ

СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РАСЧЁТА КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ИДЕАЛЬНЫХ ПРОВОДНИКОВ

4.1. Постановка задачи и сингулярные интегральные уравнения на основе поверхностных зарядов и токов для расчёта трёхмерного поля.

4.2. Осесимметричные и плоскопараллельные поля идеальных проводников, и сингулярные интегральные уравнения для их расчёта.

4.3. Выводы.

Глава 5. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РАСЧЁТА КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО ПОЛЯ ИДЕАЛЬНЫХ ПРОВОДНИКОВ.

5.1. Численная реализация полевых моделей.

5.2.Исследование вычислительных свойств сингулярных интегральных уравнений.

5.3. Итерационное решение систем линейных алгебраических уравнений, аппроксимирующих сингулярные интегральные уравнения.

5.4. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка математических моделей для расчёта электромагнитного поля с применением сингулярных интегральных уравнений и их численное исследование»

Задачи разработки элктротехнического оборудования и оптимизации его параметров неизбежно приводит к необходимости внедрения методов математического моделирования, а также численных методов расчета электромагнитного поля. Развитие вычислительной техники не решает всех проблем математического моделирования. Остается открытым вопрос оценки вычислительной эффективности математических моделей, построенных на основе теории электромагнитного поля и определения наиболее эффективных методов их численной реализации.

Актуальность работы. Одним из основных методов, применяемых для расчёта электромагнитного поля электротехнических устройств, является метод интегральных уравнений (МИУ). Он может использоваться как для расчёта поля в линейной среде, где наиболее эффективны граничные интегральные уравнения (ГИУ), так и в нелинейных средах в форме объёмных или пространственных уравнений.

МИУ наиболее эффективен в тех случаях, когда для расчёта поля используются интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Однако эти уравнения могут быть построены далеко не для всех краевых задач, возникающих при расчёте поля конкретных устройств. В частности, при расчёте поля высоковольтных аппаратов, содержащих электроды в виде тонких оболочек, интегральные уравнения второго рода фредгольмовского типа построить нельзя, и поэтому для такого рода задач используются уравнения первого рода. Такие уравнения некорректны, причём это свойство проявляется тем сильнее, чем выше размерность модели, то есть при расчёте трехмерных полей, что необходимо для адекватного моделирования реальных устройств. Альтернативой уравнениям первого рода являются сингулярные интегральные уравнения (СИУ), которые в отличие от уравнений первого рода корректны, то есть, близки по вычислительным свойствам уравнениям Фредгольма второго рода. Поэтому построение СИУ для расчёта электростатического поля, особенно трёхмерного, является актуальной практической задачей. С другой стороны, СИУ естественным и неизбежным образом появляются при расчётах квазистационарного поля различных электромагнитных аппаратов. При этом для расчёта каждого отдельного устройства может быть построено несколько вариантов систем интегральных уравнений, содержащих сингулярные операторы, и возникает проблема выбора наиболее эффективной модели с точки зрения практической реализации, то есть наиболее точной и экономичной. Чисто теоретическим путём эту проблему решить невозможно, и поэтому возникает актуальная задача сравнительной оценки вычислительной эффективности математических моделей, содержащих СИУ. До сих пор методика таких оценок не разработана, и достаточно широкого вычислительного эксперимента (из-за отсутствия теории - это единственный способ исследования) не проводилось. В данной работе предпринята попытка частично восполнить этот пробел.

Целью работы является построение математических моделей с использованием СИУ для расчёта электростатического и квазистационарного электромагнитного полей, сравнительное исследование их вычислительных свойств и определение наиболее эффективных методов численной реализации.

Основные задачи диссертационной работы.

1. Разработать универсальную методику построения сингулярных уравнений для расчёта электростатического поля без применения специальных приёмов (введение систем криволинейных координат, замены переменных, ограничений на геометрию).

2. Построить математические модели для расчёта квазистационарного электромагнитного поля идеальных проводников с использованием уравнений первого и второго рода Фредгольма и СИУ.

-63. Разработать основные положения методики и критерии оценки сравнительной вычислительной эффективности математических моделей на основе различных типов интегральных уравнений.

4. Создать комплекс программ и провести численные эксперименты с целью определения вычислительной эффективности СИУ сравнительно с другими математическими моделями по критериям точности, экономичности расчётов, простоты программной реализации и возможности построения универсальных программных средств.

Методы исследования. Для решения поставленных задач применялись методы теоретической электротехники и прикладной математики, теория интегральных уравнений, вычислительные методы линейной алгебры. Комплекс программ для численного исследования математических моделей реализован на объектно-ориентированном языке программирования Borland Delphi версии 7.0 с применением средств MatLab.

Научная новизна. Новыми научными результатами являются: сингулярные интегральные уравнения для расчёта трехмерного электростатического поля; методика численного решения сингулярных интегральных уравнений с использованием сплайн-аппроксимаций; математические модели для расчёта квазистационарного поля идеальных проводников; методика численного исследования вычислительной эффективности сингулярных интегральных уравнений.

Практическая ценность. Практическая ценность работы состоит в создании корректных математических моделей для расчёта трёхмерного электростатического поля высоковольтных аппаратов, которые могут быть использованы при их проектировании; в разработке новых эффективных трёхмерных математических моделей для расчёта электромагнитных экранов трансформаторов; в создании методики численной оценки различных способов численной реализации МИУ, что необходимо при проектировании электротехнических устройств.

На защиту выносятся:

1. Математические модели для расчёта трёхмерных статических полей на основе сингулярных интегральных уравнений и систем.

2. Варианты систем интегральных уравнений для расчёта поля идеальных проводников, предназначенных для расчёта квазистационарного электромагнитного поля при резко выраженном поверхностном эффекте.

3. Методика исследования вычислительных свойств сингулярных интегральных уравнений, основой которой является анализ взаимного влияния порядка матриц СЛАУ, чисел обусловленности, порядка аппроксимации искомых функций и скорости сходимости.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научно-техническом семинаре "Математическое моделирование процессов и аппаратов", ИГЭУ, Иваново, 1991г.; международной конференции "Состояние и перспективы развития электротехнологии", ИГЭУ, Иваново, 1991г.; всесоюзной конференции по теоретической электротехнике, Винница, 1993г.; научно-техническом семинаре по электротехнике и прикладной математике, ИГЭУ, Иваново, 2003г.; международной конференции "Бенардосовские чтения", ИГЭУ, Иваново, 2005г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 научных работ.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав и заключения общим объемом 158 страниц, списка литературы, включающего 106 наименований и приложения объемом 30 страниц. Работа содержит 85 рисунков и 9 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая электротехника», Полумисков, Михаил Алексеевич

Основные результаты и выводы.

1. Установлено, что сингулярные интегральные уравнения являются характерными составляющими элементами интегральных уравнений и систем, возникающих при математическом моделировании электротехнических устройств.

2. Разработаны новые математические модели для расчёта трёхмерных статических полей на основе сингулярных интегральных уравнений и систем, имеющих нулевой индекс и единственность решения.

3. Разработаны новые варианты систем интегральных уравнений для расчёта поля идеальных проводников, предназначенных для расчёта квзистационарного электромагнитного поля при резко выраженном поверхностном эффекте.

4. Установлено, что на незамкнутых поверхностях можно построить несколько различных систем интегральных уравнений, матрицы СЛАУ которых имеют различные числа обусловленности, что даёт возможность выбора оптимальных по вычислительным свойствам математических моделей.

5. Предложена методика исследования вычислительных свойств сингулярных интегральных уравнений, основой которой является анализ взаимного влияния порядка матриц СЛАУ, чисел обусловленности, порядка аппроксимации искомых функций и скорости сходимости.

6. Вычислительные свойства СИУ с точки зрения аппроксимации искомых функций и расположения узлов дискретизации существенно отличается от уравнений Фредгольма. В отличие от них, для успешного применения СИУ в вычислительных целях целесообразно применение сплайнов первого порядка и выше.

7. При кусочно-постоянной аппроксимации искомых функций для численного расчёта СЛАУ, заменяющих СИУ необходимо применять прямые методы, которые дают достаточно точные результаты, несмотря на высокие числа обусловленности.

8. Возможность применения итерационных методов решения СИУ может быть обеспечена при условии аппроксимации искомых функций сплайнами не ниже первого порядка.

9. Скорость сходимости итерационных методов для решения СИУ может быть существенно повышена путём применения метода полуобращения при условии, что числа обусловленности матриц СЛАУ

-л достаточно малы (порядка 1-10 ).

10. Основной вывод представленной работы состоит в том, что сингулярные интегральные уравнения могут успешно решаться численными методами и поэтому должны более широко использоваться при математическом моделировании физических процессов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Полумисков, Михаил Алексеевич, 2007 год

1. Абрамович М., Стигаи И. Справочник по специальным функциям. — М.: Наука, 1979. 832 с.

2. Амромин Э.Л., Новгородцев А.Б. Определение формы электродов конденсатора с постоянной напряженностью на краевых участках // Электричество. 1983. -№ 12. - С.31-34.

3. Аполлонский С.М., Ерофеенко В.Т. Электромагнитные поля в экранирующих оболочках. Мн.: Университетское, 1988. -246с.

4. Астахов В.И. Обращение оператора Лапласа на замкнутых оболочках методом интегральных уравнений//Изв. вузов. Электромеханика. -1975. -№11.-0.1175-1183

5. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. -М.: Наука, 1985. -256с.

6. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. -М.: Мир, 1984. -494с.

7. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966. -203с.

8. Бреббия К., Тылес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. -М.: Мир, 1987. -524с.

9. Бухгольц Г, Расчет электрических и магнитных полей. М.: Изд-во иностр. лит., 1961.-712с.

10. Ю.Васильев В.В., Коленский Л.Л., Медведев Ю.А., Степанов Б.М. Проводящие оболочки в импульсном электромагнитном поле. М.: Энергоатомиздат, 1982. -200с.

11. Васильев Е.Н. Возбуждение тел вращения. М.: Радио и связь, 1987. -279с.

12. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ. Киев: Наукова думка, 1978. -292с.

13. Виноградов С.С. К решению задач электростатики для незамкнутых сферических проводников. Симметричные конденсаторы // ЖТФ. -1985.1. Т.55, №2 С.251-260.

14. Виноградов С.С. К решению задач электростатики для незамкнутых сферических проводников. Несимметричные конденсаторы // ЖТФ. 1985. --Т.55. - № 11 -С.2097-2105.

15. Вишневский A.M., Лаповок А.Я. Алгоритмы расчета поля намагничивания тонких пластин и оболочек // Энергетика и транспорт. -1987. -№4. С.44-50.

16. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.-303с.

17. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. -М.: Наука, 1963. -639с.

18. Гегелиа Т. Г. О композиции сингулярных ядер // ДАН СССР. 1960. -Т. 135. - № 4. - С.767-770.

19. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматиздат, 1962. -1100с.

20. Грацианова О.Л., Иоссель Ю.Я., Кадников С.Н., Якобсон А.Н. Расчет частичных емкостей ограничителей перенапряжений // Эффективность и надежность нелинейных ограничителей перенапряжений: сб. научн. тр. НИИПТ. Л.: Энергоатомиздат, 1987. - С.95-103.

21. Гримальский О.В. Метод расчета электромагнитного поля оболочек в режиме сильного экранирования // Известия РАН. Энергетика. 1995. -№5. -С.99-106.

22. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. -М., Л.: Изд-во АН СССР, 1948. -724с.

23. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. -М.: Гостехиздат, 1953. -.360с.

24. Демирчян К.С., Чечурин В.Л. Машинные расчеты электромагнитных полей. М.: Высшая школа. -240с.

25. Дэвенпорт Д. Интегрирование алгебраических функций. -М.: Мир, 1985.-192с.

26. Ерофеенко В.Т. Теоремы сложения. Мн.: Наука и техника, 1989. -255с.-16127. Жуков С.В. О граничных условиях для определения переменных магнитных полей тонких металлических оболочек // ЖТФ. -1969. -Т.39, №7.-С.1149-1154.

27. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А. и др. Интегральные уравнения. -М: Наука, 1968. -448с.

28. Зимин Е.Ф., Качанов Э.С., Кузовкин В.А., Полумисков М.А. Индукционный магнитометр. Авторское свидетельство №1208925

29. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. -Киев.: Наукова думка, 1968, -288с.

30. Иванов В.Я. Методы автоматизированного проектирования приборов электроники. Новосибирск.: Институт математики СО АН СССР, 1986. -Т.1. -192с.

31. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных полей на двух телах. -М.: Наука и техника, 1968. -583с.

32. Иоссель Ю.Я. Расчет потенциальных полей в энергетике. -JL: Энергия, 1978.-351с.

33. Иоссель Ю.Я., Кочанов Э.С., Струнский М.Г. Расчет электрической ёмкости. -JL: Энергоиздат,. 1981. -288с.

34. Иоссель Ю.Я. Электрические поля постоянных токов. -JL: Энерго-атомиздат, 1986. -160с.

35. Иоссель ЮЛ. Расчет электрической емкости. Аннотированный библиографический указатель отечественной и зарубежной литературы. -JL: НИИПТ, 1987.-451с.

36. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. М.:1. Наука, 1985.-336с.

37. Кадников С.Н. Расчет проводимости растекания электродной системы из двух сферических сегментов с непроводящей прослойкой методом парных рядов // РЖ Электротехника и энергетика. -1977, -№7, -Реф. 7A31-77. -С.5-5.

38. Кадников С.Н. Сингулярные интегральные уравнения для тонких проводящих оболочек // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1989. -№5. -С. 179-182.

39. Кадников С.Н. Осесимметричная электростатическая задача для сферических оболочек и дисков // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. -1984. -№3. -С.10-10.

40. Кадников С.Н. Вычисление емкости тонкой сферической оболочки с двумя коаксиальными вырезами (сферического кольца) // Изв. вузов. Энергетика. -1983. -№8. -С.4-4.

41. Кадников С.Н. Метод интегральных уравнений для расчета электростатических полей. Иваново: ИвГЭУ, 1995. -84с.

42. Кадников С.Н. Инверсия в сфере и криволинейные ортогональные координаты // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. -1989. -Геометрическая часть. -4.1. -№2. -С.103-105., Расчет электрических полей. -4.2. -№3. -С.40-46.

43. Кадников С.Н., Клемин Е.А. Электростатическая задача для осесимметричных сфероидальных оболочек // Электричество. -1986, №10, -С.5-5.

44. Кадников С.Н., Клемин Е.А. Расчет параметров датчиков электрического поля в проводящей среде // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. -1986. -№6. -С.57-60.

45. Кадников С.Н., Полумисков М.А. Сравнительный численный анализ эффективности интегральных уравнений первого рода и сингулярныхинтегральных уравнений при решении электростатических задач для тонких оболочек// Электричество. -1989. -№1. -С.66-70.

46. Кадников С.Н., Полумисков М.А. Сингулярные интегральные уравнения для расчёта трёхмерного электростатического поля // Вестник научно-промышленного общества. -М., 2004. -Вып.7., -С.7-11.

47. Кадников С.Н., Полумисков М.А. Краевая задача и интегральные уравнения для расчёта квазистационарного электромагнитного поля идеальных проводников // Вестник научно-промышленного общества. -М., 2004. -Вып.7. -С. 11-15.

48. Кадников С.Н., Полумисков М.А. Смирнов С.К. Сингулярные интегральные уравнения для расчёта осесимметричного электростатического поля // Вестник ИГЭУ; вып.2. -Иваново, 2004. -С.43-48.

49. Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. -М., JI.: Наука, 1962. -696с.

50. Колечицкий Е.С. Анализ и расчеты электрических полей. -М.: МЭИ, 1977. -4.1. -80с.

51. Колечицкий Е.С. Анализ и расчеты электрических полей. М.: МЭИ, 1977.-4.2. 1977.-82 с.

52. Колечицкий Е.С. Расчет электрических полей устройств высокого напряжения. -М.: Энергоатомиздат, 1983. -168с.

53. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. -М.: Высш. шк., 1970. -710с.

54. Краснов И.П. О решении магнитостатических задач для тонких замкнутых оболочек // ЖТФ, 1972, -T.XI, -Вып.8.- с. 1545-1549.

55. Краснов И.П. О решении некоторых граничных задач теории гармоничных функций // Дифференциальные уравнения, 1975. -T.XI, -№11.-С.2052-2066.

56. Краснов И.П. Численные методы исследования судового магнетизма. -Л.: Наука, 1986. -200с.

57. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. -М.: Наука, 1975. -301с.

58. Крылов В.И., Бобоков В.В., Монастырный П.И. Начала теории вычислительных методов. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. -Минск: Наука и техника, 1985. -280с.

59. Курбатов П.А., Аринчин С.А. Численный расчет электромагнитных полей.-М.: Энергоатомиздат, 1984.-168с.

60. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения. -М.: Гос. изд-во технико-теор. мет., 1950. -280с.

61. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. -М.: Наука, 1965. -716с.

62. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. -М.: Гостехтеориздат, 1963.-380с.

63. Лебедев Н.Н., Скальская И.П. Распределение электричества на тонком гиперболоидальном сегменте // ЖВМ и МФ. -1967. -Т.7. -№2. -С.348-356.

64. Литвиненко Л.Н., Сальникова Л.П. Численное исследование электростатических полей в периодических структурах. -Киев: Наукова думка, 1968. -160с.

65. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. -М.: Мир, 1980. -608с.

66. Маергойз И.Д. Итерационные методы расчета статических полей в неоднородных, анизотропных и нелинейных средах. -Киев: Наукова думка, 1979. -210с.

67. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. -М.: Наука, 1977. -456с.-16572. Миролюбов Н.Н., Костенко М.В., Левинштейн М.А., Тиходеев Н.Н Методы расчета электростатических полей. -М.: Высшая школа, 1963. -531с.

68. Мииков И.М. Решение задачи о поле конденсатора, пластины которого имеют форму полых сферических сегментов // ЖТФ. -1960. -Т.30. -№11. -С.1355-1361.

69. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. -М.: Физматиздат, 1959. -232с.

70. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. -М.: Наука, 1962. -254с.

71. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. -М: Высшая школа, 1977.-431с.

72. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы математической физики. М.: Изд-во иностр. лит., 1958. -Т.1. - 930с.

73. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы математической физики. М.: Изд-во иностр. лит., 1958. -Т.2. -886с.

74. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. -М.: Наука, 1966. -708с.

75. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. -М.: Наука, 1968. -512с.

76. Никифоров А.Ф., Уваров Б.В. Специальные функции математической физики. -М.: Наука, 1978. -319с.

77. Острейко В.Н. Расчёт электромагнитных полей в многослойных средах. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, -1981. -152с.

78. Полумисков М.А. Интегральные уравнения для расчёта ЭМП идеальных проводников // XII Бенардосовские чтения: сб. науч. трудов. -Иваново, 2005.-С. 156-160.

79. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение. -М.: Мир, 1989. -478с.

80. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. -М.: Наука, 1989. -432с.

81. Светов Б.С., Губатенко В.П. Аналитические решения электродинамических задач. -М.: Наука, 1988. -344с.

82. Смайт В. Электростатика и электродинамика. -М.: Изд. иностр. лит., 1954. -604с.

83. Тамм И.Е. Основы теории электричества. -М: Наука, 1976. -616с.

84. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1974. -224с.

85. Тозони О.В., Маергойз И.Д. Расчет трехмерных электромагнитных полей. -Киев: Техника, 1974. -352с.

86. Тозони О.В. Метод вторичных источников в электротехнике. -М.: Энергия, 1975. -294с.

87. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука. 1986. -420с.

88. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. / Под ред. Купрадзе В.Д. -М.: Наука, 1976. -663с.

89. Уфлянд Я.С. Метод парных уравнений в задачах математической физики. -JL: Наука, 1977. -220с.

90. Фельд Я.Н., Сухаревский И.В. О сведении задач дифракции на незамкнутых поверхностях к интегральным уравнениям второго рода // Радиотехника и электроника. -1966, -№7. -С.30-36.

91. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Пер. с англ. -М.: Мир, 1982. -304с.

92. Форсайт Д., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. -М.: Мир, 1980. -279с.

93. Фридман В.М. Метод последовательных приближений для интегральных уравнений 1-го рода // УМН. -Т.Х1. -Вып. 1. -1956.

94. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. -М.: Мир, 1964. -428с.

95. Цейтлин J1.A. Об определении магнитных и электрических полей тонких слоев и оболочек //ЖТФ. -1958. -Т.28. -Вып.6. -С.1326-1329.

96. Численные методы теории дифракции: Сб. статей. М.: Мир, 1982.200с.

97. Цырлин Л.Э. Избранные задачи расчета электрических и магнитных полей. -М.: Советское радио, 1977. -320с.

98. Шестопалов В.П. Сумматорные уравнения в современной теории дифракции. -Киев: Наукова думка, 1983. -251с.

99. Тиходеев Н.Н., Шур С.С. Изоляция электрических сетей. -Л.: Энергия, 1979, -302с.