Разработка и исследование моделей и алгоритмов, обеспечивающих возможность повышения достоверности информационных каналов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Ульянина Юлия Александровна

• Ульянина Юлия Александровна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Ульянина Юлия Александровна

Список обозначений и сокращений

Введение

Глава 1. Анализ математических моделей КС и их характеристик, влияющих на достоверность передачи информации

1.1. Анализ классических моделей КС

1.2. Задачи диссертационной работы

1.3. Выводы по главе

Глава 2. Разработка алгоритмов оценки помехоустойчивости в К-каналах ПСП-кодов по их статистическим характеристикам

2.1. Разработка геометрической интерпретации метрики математических моделей недвоичных кодовых множеств

2.2. Разработка алгоритмов оценки помехоустойчивости ПСП-кодов в К-каналах

2.2.1. Разработка алгоритмов оценки помехоустойчивости ПСП-кодов в К-каналах на основе границы избыточности Хемминга

2.2.2. Разработка алгоритмов оценки помехоустойчивости ПСП-кодов в К-каналах на основе границы избыточности Варшамова-Гильберта

2.2.3. Разработка алгоритмов оценки помехоустойчивости ПСП-кодов в К-каналах на основе границы избыточности Плоткина

2.2.4. Синтез новой формулы границы избыточности

2.2.5. Разработка алгоритмов оценки помехоустойчивости в К-каналах ПСП-кодов по их априорным статистическим характеристикам

2.3. Разработка математических моделей К-каналов

2.3.1. Разработка двухкаскадных математических моделей К-каналов

2.3.2. Разработка математических моделей К-каналов с памятью

2.3. Выводы к главе

Глава 3. Разработка моделей и алгоритмов определения вероятностей исходов

приёма информации

3.1. Разработка математических моделей приёма информации

3.1.1. Разработка математических моделей приёма информации в симметричных ^-каналах

3.1.2. Разработка моделей и алгоритмов определения вероятностей исходов приёма информации в несимметричных ^-каналах

3.2. Критерий и параметры эффективности моделей ИК

3.3. Выводы к главе

Глава 4. Результаты моделирования

4.1. Реализация методов исследования ИК повышенной эффективности

4.2. Выводы по главе

Заключение

Публикации по теме диссертации

Список использованных источников

Приложение

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ

ИК - информационный канал; КС - канал связи;

К- основание канального кодового алфавита; К-канал - К-ичный канал;

К-канал с ошибками общего типа - К-ичный ИК с ошибками трансформации и стирания;

ПСП - псевдослучайная последовательность; АКФ - автокорреляционная функция; Мр - рабочее кодовое множество;

п - количество разрядов (длина) кодового слова канального кода;

пс - количество совпадающих символов одноимённых разрядов сравниваемых

кодовых последовательностей;

пнс - количество несовпадающих символов одноимённых разрядов сравниваемых кодовых последовательностей;

п0 - количество разрядов кодового слова с нулевыми символами канального алфавита; пт - количество разрядов кодового слова с токовыми (ненулевыми) символами канального алфавита;

П - количество разрядов кодового слова с /-ми токовыми символами канального алфавита;

п0 (п0 ) - количество разрядов кодового слова с нулевыми символами с ошибками трансформации (стирания);

П (пг ) - количество разрядов кодового слова с токовыми символами с ошибками трансформации (стирания);

к - количество контрольных разрядов кодового слова; т - количество информационных разрядов кодового слова; Я - нормированный коэффициент избыточности кода;

р - нормированный коэффициент АКФ;

d - кодовое расстояние;

dmin - минимальное кодовое расстояние;

d0i ( di0 ) - кодовое расстояние между нулевым (токовым) и токовым (нулевым) символами;

d0x ( dx 0 ) - кодовое расстояние между нулевым символом (символом стирания) и символом стирания (нулевым символом);

dix. ( dxi ) - кодовое расстояние между токовым символом (символом стирания) и

соответствующим ему («своим») символом стирания (токовым символом); dij - кодовое расстояние между двумя несовпадающими токовыми символами;

dix ( dxi ) - кодовое расстояние между токовым символом (символом стирания) и

не соответствующим ему («чужим») символом стирания (токовым символом); s - кратность исправления ошибок трансформации; e - кратность исправления ошибок стирания;

ет - кратность исправления ошибок стирания на разрядах с токовыми символами; r0, {ri : r1, ..., rK_1 ) - кратности обнаружения ошибок трансформации на разрядах с нулевыми (токовыми: единичными, ... , (K_ 1)-ичными) символами, соответственно;

s0, : ¿1, ..., sK_1 ) - кратности исправления ошибок трансформации на разрядах с нулевыми (токовыми: единичными, ... , (K_ 1)-ичными) символами, соответственно;

е0, (et : е1, ..., eK_1 ) - кратности исправления ошибок стирания на разрядах с нулевыми (токовыми: единичными, ... , ( K _ 1) -ичными) символами соответственно; pc ( рнс ) - вероятности совпадения (несовпадения) символов одноимённых разрядов кодовой последовательности и её циклического (фазового) сдвига; q, p0, px - вероятности правильного приёма, трансформации, стирания символов канального кодового алфавита в симметричном ^-ичном ИК, соответственно;

P0 (Pi, Pj) - априорные вероятности в кодовом слове символов канального кодового алфавита: нулевого (ненулевых);

q0 (qi, qx ) - вероятности правильного приёма нулевых (токовых, «стёртых») символов;

P0i (р^0) - вероятности однократных ошибок трансформации на разрядах с нулевыми (токовыми) символами;

Р0x (Px ; PXl 0, PXli) - вероятности однократных ошибок стирания на разрядах с нулевыми (токовыми; «стёртыми») символами;

pij - вероятности трансформации токовых символов i и j друг в друга; pix - вероятности стирания токовых символов в не соответствующие им («чужие») символы;

Л R Л R

q0 , q0 (qt , qt ) - вероятности правильного приёма нулевых (токовых) символов в каналах А и В, соответственно;

Л R Л R

Poi, Poi (Pi0, Pi0) - вероятности однократных ошибок трансформации на разрядах с нулевыми (токовыми) символами в каналах А и В, соответственно;

Л D Л D D D

P0x , P0x (Px, , Pixt ; PXl 0 , Pxi ) - вероятности однократных ошибок стирания на разрядах с нулевыми (токовыми; «стёртыми») символами в каналах А и В, соответственно;

qxB - вероятность правильного приёма символа стирания в канале В;

P(l0 ), P{lj) - априорные вероятности l-ых нулевых и токовых входных символов канального кодового алфавита, соответственно;

P{l т ) - априорная вероятность токовых входных символов канального кодового алфавита в симметричном ИК;

q°, qj (q0, qj) - условные вероятности правильного приёма (l + 1)-го нулевого и

токового символов при правильном приёме l-го нулевого (токового) символа, соответственно;

q00', q0' (q'0°, q'j) - условные вероятности правильного приёма (l + 1)-го нулевого и токового символов при трансформации l-го нулевого (токового) символа, соответственно;

P°j, Рj0 (Poj, pj°) - условные вероятности трансформации (l + 1)-го нулевого и

токового символов при правильном приёме l-го нулевого (токового) символа, соответственно;

P°j, Р°0 (Р0°°, p'jO) - условные вероятности трансформации (l + 1)-го нулевого и

токового символов при трансформации l-го нулевого (токового) символа, соответственно;

0 X,- 0 Х,- / IXj IXj \ / j , л \

% , qj (% , qj ) - условные вероятности правильного приёма (l + 1)-го нулевого и токового символов при стирании l-го нулевого (токового) символа, соответственно;

Р0Х ' Р0X (Р'Х, P'jO ) - условные вероятности трансформации (l + 1)-го нулевого и токового символов при стирании l-го нулевого (токового) символа, соответственно;

Р0Х , Рп (р'х , Р' ) - условные вероятности стирания (l + 1)-го нулевого (токо-

j 0 Xj j 'Xj

вого) символа при правильном приёме l-го нулевого (токового) символа, соответственно;

Р0j , Ро0 (Р'Х , Pj0 ) - условные вероятности стирания (l + 1)-го нулевого (токового) символа при трансформации l-го нулевого (токового) символа, соответственно;

Р0X' ' Р(Хх (Р0Х , Р'Х.) - условные вероятности стирания (l + 1)-го нулевого (токового) символа при стирании l-го нулевого (токового) символа, соответственно; q0 (q0, q ор, q 0Х) - условные вероятности правильного приёма нулевого (l + 1)-го

символа при правильном приёме нулевого (правильном приёме токового, трансформации, стирании) l-го символа;

Я0 (Ят , Я?, ЯX) - условные вероятности правильного приёма токового (I + 1)-го символа при правильном приёме нулевого (правильном приёме токового, трансформации, стирании) 1-го символа;

Ро (Ртр' Р?, Ртр) - условные вероятности трансформации (I + 1)-го символа

при правильном приёме нулевого (правильном приёме токового, трансформации, стирании) 1-го символа;

р° (ртх, рТр , Рхх) - условные вероятности стирания (I + 1)-го символа при правильном приёме нулевого (правильном приёме токового, трансформации, стирании) 1-го символа.

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка и исследование моделей и алгоритмов, обеспечивающих возможность повышения достоверности информационных каналов»

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Современные ИК как совокупности КС и устройств кодирования и декодирования, обеспечивающие процессы точной и качественной передачи и приёма больших и сверхбольших объёмов данных, требуют обеспечения возрастающих требований по достоверности передаваемой информации в условиях канальных ограничений (по информационной ёмкости, частоте, скорости и др.) и неконтролируемых воздействий со стороны КС (в первую очередь, помех). В этом смысле, актуальной является проблема синтеза математических моделей недвоичных (^-ичных) ИК (^-каналов) повышенной достоверности.

Известны классические математические модели дискретных каналов Маркова, Гильберта, Фричмана и др. без памяти и с памятью (А.А. Марков, В.А. Котельников, Р.И. Юргенсон, Л.М. Финк, Б.Я. Советов, А.Г. Зюко, А.А. Гладких, Н.В. Волков, К.К. Васильев В.А. Варгаузин, В.Т. Першин, В.А. Григорьев, C.E. Shannon, D.A. Haffman, R.W. Hamming, D. Hilbert, P. Elias, B.D. Fritchman, T. Richardson, A.J. Viterbi и др.). Эти модели в большинстве случаев не учитывают все возможные режимы обнаружения и/или исправления ошибок различного типа в канале и не позволяют выявлять и анализировать необходимое для синтеза ИК повышенной достоверности количество их параметров и характеристик.

Особенностью современных цифровых ^-каналов является использование кодовых ПСП (Л.Е. Варакин, Э.М. Габидулин, Д.К. Зигангиров, S.W. Golomb, D.A. Haffman, C.E. Shannon и др.). Основные свойства ИК с ПСП зависят от их статистических характеристик, одной из важнейших среди которых является АКФ, количественно характеризующаяся значениями нормированного коэффициента корреляции р. В литературе отсутствуют алгоритмы расчёта нормированных коэффициентов р дискретной АКФ, учитывающие метрические особенности ^-ичных кодов. Между тем, учёт метрических особенностей даёт возможность строить алгоритмы приёма информации повышенной достоверности.

Кроме того, не решена задача определения аналитических зависимостей между нормированными коэффициентами Я избыточности и р автокорреляции.

Вышеизложенное определяет актуальность темы работы и необходимость проводимых исследований.

Цель работы. Целью диссертационного исследования является повышение достоверности ИК в условиях канальных ограничений и мешающих факторов за счёт разработки новых математических моделей и алгоритмов К-каналов с ПСП-кодами, учитывающих все возможные режимы обнаружения и/или исправления ошибок различного типа в канале, построенных на основе аналитических зависимостей, связывающих помехоустойчивость ПСП-кодов и их статистические характеристики.

Поставленная цель достигается решением следующих задач:

1. Разработка алгоритма расчёта нормированных коэффициентов АКФ К-ичных ПСП-кодов, отличающегося от существующих учётом метрических особенностей К-ичных кодов.

2. Разработка алгоритмов оценки помехоустойчивости в К-каналах ПСП-кодов по их статистическим характеристикам, отличающихся принципом вычисления нормированных коэффициентов АКФ и избыточности.

3. Разработка математических моделей К-каналов и на их основе алгоритмов определения вероятностей исходов приёма информации, отличающихся от известных учётом разработанных алгоритмов оценки помехоустойчивости ПСП-кодов в К-каналах, позволяющих проводить синтез и анализ ИК повышенной достоверности.

4. Разработка критерия эффективности моделей К-каналов, отличного от известных метрическими особенностями математических моделей К-каналов, позволяющего проводить количественную оценку моделей и степени их адекватности К-каналу.

5. Разработка программного комплекса численного моделирования К-каналов, дающего возможность синтеза и исследования моделей К-каналов повышенной достоверности.

Методы исследования. В работе используются общие методы математического анализа, линейной алгебры, теории вероятностей и математической статистики, корреляционного и спектрального анализа, а также методы теории приближений, вычислительной математики, теории кодирования, теории сигналов, теории потенциальной помехоустойчивости.

Научная новизна результатов, полученных в ходе диссертационного исследования, состоит в следующем:

1. Разработан алгоритм расчёта нормированных коэффициентов АКФ К-ичных ПСП-кодов, отличающийся от существующих учётом метрических особенностей К-ичных кодов, для которых при вычислении ётт минимального кодового расстояния, в отличие от традиционного подхода, принято, что метрически в кодовом алфавитном пространстве ненулевые символы (включая символы стирания) расположены вдвое дальше друг от друга, чем от нулевого символа, что позволяет получить модели приёма, реализующие повышенную корректирующую способность кодов.

2. Разработаны алгоритмы оценки помехоустойчивости ПСП-кодов в К-каналах, в отличие от существующих, позволяющие определить избыточность и корректирующую способность кодов по их статистическим характеристикам, полученные на основе предложенных аналитических зависимостей, связывающих помехоустойчивость ПСП-кодов с их статистическими характеристиками.

3. Разработаны математические модели К-каналов и на их основе алгоритмы определения вероятностей исходов приёма информации, отличающиеся от известных учётом всех возможных режимов обнаружения и/или исправления ошибок различного типа в канале и позволяющие выявлять и анализировать необходимые для синтеза ИК повышенной достоверности дополнительные параметры, что даёт возможность проводить синтез и анализ ИК повышенной достоверности.

4. Разработан обобщённый критерий эффективности моделей К-каналов, отличный от известных метрическими особенностями математических моделей К-каналов, учитывающий дополнительные параметры моделей К-каналов и по-

зволяющий проводить количественную оценку моделей и степени их адекватности К-каналу.

Практическая ценность работы. Разработанные математические модели К-каналов и алгоритмы оценки помехоустойчивости и определения вероятностей исходов приёма ПСП-кодов в таких каналах дают возможность синтеза и анализа К-каналов повышенной достоверности. Разработанный программный комплекс позволяет проводить численное моделирование, исследование и синтез моделей К-каналов повышенной достоверности.

На защиту выносятся следующие основные положения и результаты:

1. Разработанный алгоритм расчёта нормированных коэффициентов АКФ К-ичных ПСП-кодов, отличающийся от существующих учётом метрических особенностей К-ичных кодов, реализующий повышенную корректирующую способность кодов.

2. Разработанные алгоритмы оценки помехоустойчивости в К-каналах ПСП-кодов по их статистическим характеристикам, отличающиеся принципом вычисления нормированных коэффициентов АКФ и избыточности.

3. Разработанные математические модели К-каналов и полученные на их основе алгоритмы определения вероятностей исходов приёма информации, отличающиеся от известных учётом разработанных алгоритмов оценки помехоустойчивости ПСП-кодов в К-каналах, дающие возможность проводить синтез и анализ ИК повышенной достоверности.

4. Разработанный критерий эффективности моделей К-каналов, отличный от известных учётом их метрических особенностей, позволяющий проводить количественную оценку моделей и степени их адекватности К-каналу.

5. Разработанный программный комплекс численного моделирования К-каналов, дающий возможность синтеза и исследования моделей К-каналов повышенной достоверности.

Реализация результатов. Результаты исследований внедрены в учебный процесс на кафедре «Информационные системы и технологии» СГТУ имени Га-

гарина Ю.А., а также в Институте проблем точной механики и управления РАН, что подтверждено актами использования результатов исследования.

Апробация работы. Основные результаты работы доложены и обсуждены на: XXIV - XXVII Международных научных конференциях «Математические методы в технике и технологиях» ММТТ-24 (Саратов, 2011), ММТТ-25 (Волгоград, Харьков, 2012), ММТТ-26 (Нижний Новгород, 2013) и ММТТ-27 (Тамбов, 2014); II и III Международных научных конференциях «Проблемы управления, передачи и обработки информации» АТМ-2011, АТМ-2013 (Саратов, 2011; 2013); XXV Международной научной конференции в рамках программы У.М.Н.И.К. (Саратов, 2012); VI Всеукраинской научно-практической конференции САИУ-2013 (Запорожье, 2013); V Международной научной конференции «Системный синтез и прикладная синергетика» ССПС-2013 (Пятигорск, 2013); XII Всероссийском совещании по проблемам управления ВСПУ-2014 (Москва, 2014); Международной научной конференции «Компьютерные науки и информационные технологии» памяти А.М.Богомолова КНИТ-2014 (Саратов, 2014); XXI Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» АПЭП-2014 (Саратов, 2014); X Международной научно-практической конференции «Naukowa mysl mformacyjnej powieki» (Польша, Przemysl, 2014); семинаре под руководством члена-корреспондента РАН, д.т.н., профессора А.Ф. Рез-чикова в ИПТМУ РАН (Саратов, 2014); Международной научно-технической конференции «Перспективные информационные технологии ПИТ-2015» (Самара, 2015); VII Всероссийской научной конференции «Системный синтез и прикладная синергетика» ССПС-2015 (Таганрог, 2015). Автор является лауреатом конкурса по программе «Участник молодежного научно-инновационного конкурса» У.М.Н.И.К. (Саратов, 2012) Фонда содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере, где им получен и реализован грант на проведение НИОКР.

Публикация результатов исследования. Полученные научные результаты изложены в 31 опубликованных работах, из них 5 - работы в журналах, рекомен-

дованных ВАК РФ; имеются 2 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ. Список основных публикаций приведён в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения и четырёх глав, заключения, библиографического списка в алфавитном порядке и приложения.

Содержание работы

Во введении характеризуются актуальность, новизна, научная и практическая значимость, цель работы, формулируются задачи и основные вопросы исследования, проводится краткий анализ работ, посвящённых данной теме, перечисляются основные научные и практические результаты, выносимые на защиту, и раскрываются содержание основных разделов работы и структура исследований.

В первой главе проведён анализ известных классических математических моделей КС. В результате анализа сделаны выводы о том, что эти модели не являются универсальными, в смысле учёта всех возможных режимов обнаружения и/или исправления ошибок в канале. Кроме того, такие модели не позволяют выявлять и анализировать требуемое для синтеза ИК повышенной достоверности количество их параметров и характеристик. Показана необходимость разработки математических моделей, учитывающих особенности К-каналов с ПСП, а также оценки помехоустойчивости ПСП-кодов по их статистическим характеристикам.

Сформулирована основная задача исследования, заключающаяся в повышении достоверности ИК в условиях канальных ограничений и мешающих факторов за счёт синтеза новых алгоритмов оценки помехоустойчивости ПСП-кодов в К-каналах и вычисления вероятностей исходов приёма информации на основе их новых математических моделей, что позволяет реализовать алгоритмы приёма, обеспечивающие повышенную достоверность передачи информации.

Во второй главе разработан алгоритм расчёта нормированных коэффициентов АКФ К-ичных ПСП-кодов, отличающийся от существующих учётом метрических особенностей К-ичных кодов; разработаны алгоритмы оценки помехо-

устойчивости ПСП-кодов в К-каналах по их статистическим характеристикам, отличающиеся принципом вычисления нормированных коэффициентов АКФ и избыточности; синтезированы математические модели К-каналов, отличающиеся от известных учётом разработанных алгоритмов оценки помехоустойчивости ПСП-кодов в К-каналах, позволяющие проводить синтез и анализ ИК повышенной достоверности.

В третьей главе разработаны модели и алгоритмы определения вероятностей исходов приёма информации на базе синтезированных математических моделей, отличающиеся от известных учётом разработанных алгоритмов оценки помехоустойчивости ПСП-кодов в К-каналах, позволяющие проводить синтез и анализ ИК повышенной достоверности; предложен критерий эффективности моделей К-каналов, отличный от известных метрическими особенностями математических моделей К-каналов, позволяющий более качественно оценить эффективность моделей К-каналов.

В четвёртой главе представлены сравнительные результаты исследования предложенных моделей и алгоритмов ИК и известных моделей КС, полученные с помощью разработанного программного комплекса численного моделирования и исследования К-каналов повышенной достоверности, а также подтверждена эффективность предложенных математических моделей К-каналов по введённому критерию.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы, дана итоговая оценка и приведены документы, подтверждающие практическое использование результатов.

В приложении к диссертационной работе представлены документы, подтверждающие использование результатов исследования.

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ КС И ИХ ХАРАКТЕРИСТИК, ВЛИЯЮЩИХ НА ДОСТОВЕРНОСТЬ

ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ

В главе проведён анализ известных классических математических моделей КС. Также рассмотрен ряд параметров, влияющих на достоверность передачи информации. Показана необходимость разработки геометрической интерпретации метрики математических моделей недвоичных кодовых множеств, реализующей потенциальную помехоустойчивость недвоичных кодов в более полной мере, чем существующие, и необходимость оценки помехоустойчивости ПСП-кодов по их статистическим характеристикам. Сформулирована основная задача исследования. Глава, по большей части, не содержит новых результатов, а её материал необходим для введения основных понятий, используемых в дальнейшем.

1.1. Анализ классических моделей КС

Наибольшее распространение получили простые и широко используемые модели КС, т.е. модели двоичных, реже ^-ичных, симметричных каналов [32, 39, 46, 50, 60, 82, 103, 108].

Математическая модель двоичного симметричного КС с ошибками трансформации:

ч

___»•

0

ч + Ро = 1.

Рисунок 1.1. Математическая модель симметричного КС с ошибками трансформации

1

1

В работах [30, 34, 40, 47, 61, 78, 79, 91] рассматриваются математические модели симметричных КС без памяти, учитывающие ошибки стирания. Матема-

тическая модель двоичного симметричного КС с ошибками стирания (без ошибок трансформации):

Я

Я + Рх =1.

Рисунок 1.2. Математическая модель двоичного симметричного КС с ошибками стирания

Математическая модель КС общего типа в исследуемой литературе [37, 41, 56, 77, 80, 86, 111] представлена для симметричных каналов:

Я

Я + Ро + Рх = 1

Рисунок 1.3. Математическая модель двоичного симметричного КС общего типа

Математическая модель двоичного несимметричного КС с ошибками общего типа [102, 110]:

Яо

0

Яо + Р01 + Ро х = 1;1 Я1 + Р10 + Р1х = 1-.

х

Рисунок 1.4. Математическая модель двоичного несимметричного КС общего типа

р =

Достоинство таких моделей, заключающееся в относительной простоте реализации, никак не компенсирует их недостатков, один из существенных среди которых состоит в том, что, с математической точки зрения, они являются весьма приближёнными, в связи с чем не позволяют выявлять и анализировать достаточное для синтеза эффективных ИК количество их параметров и характеристик.

Модели каналов, примеры которых приведены выше, не способны в необходимой степени адекватно описать природу реальных каналов передачи, в частности не учитывают важное свойство памяти каналов, что сужает круг задач, которые могут быть решены с использованием таких моделей.

Наиболее простой моделью двоичного канала с памятью является модель Маркова [56], задаваемая матрицей Р переходных вероятностей:

41 Р1

42 Р2

где ч1 - вероятность сохранения состояния £, в котором ошибки в канале отсутствуют (символы входного алфавита принимаются правильно с вероятностью д); Ч2 - вероятность сохранения состояния £2, в котором независимые ошибки возникают с вероятностью р0 (4 + р0 = 1); р1, р2 - вероятности взаимных переходов состояний и £2 канала друг в друга.

Тем не менее, и эта модель, хотя она достаточно проста для использования и учитывает память канала, не отражает многих свойств реальных каналов, также являясь упрощённой с математической точки зрения. К тому же, она вообще не учитывает наличия в каналах ошибок стирания.

Большую точность позволяет получить модель Гильберта для дискретного канала с памятью [94]. Модель Гильберта, по сути, является моделью Маркова первого порядка с двумя состояниями - «хорошим» и «плохим». Если ошибки в принятых данных отсутствуют, то речь идёт о «хорошем» состоянии. В «плохом» состоянии вероятность ошибки принимает некоторое значение, большее 0. На рисунке 1.5 схематично показана модель Гильберта.

Рисунок. 1.5. Схематическая иллюстрация модели Гильберта

Достоинства модели Гильберта - самовозобновляемость модели и учёт памяти канала. Однако существенным недостатком для практического применения является невозможность получения параметров модели {p0, q, P(1/S2)} непосредственно в процессе моделирования. Они могут быть оценены лишь с использованием специальных триграмм или с помощью аппроксимации кривых [111].

Представленным математическим моделям каналов соответствуют наиболее часто встречающиеся в литературе модели исходов приёма [10, 33, 42, 53, 88, 92, 93, 112, 114]:

• КС с ошибками трансформации в режиме обнаружения r-кратных ошибок:

^ =(1 - Po )n;

?,0. = Е О0 (1 - Po У- i + Е а,-Po (1 - Po )n-i;

i=1

j = r +1

^л.пр.= Е вр* (1 - Ро У-7,

7 = Г +1

где А7 и В7 - число вариантов ошибок трансформации, приводящих к защитному отказу и ложному приёму, соответственно (А7 + В7 = С]п);

• КС с ошибками трансформации в режиме обнаружения г-кратных и исправления ^-кратных ошибок:

рпр = Е сПРО(1 - Ро У-;

I=о

p,0 = Е Cm (1 - Po у-i + Е AjPo (1 - Po у-J;

i=5+1

j=r+1

п

Рд.пр.= Е /О (1 - Ро )п-7;

/ = Г +1

л+в = С'п.

• КС с ошибками стирания в режиме исправления е-кратных ошибок:

е

рпр = Е с'пР'Х (1 - Рх )п-г;

I=о

Рз.о.= ЕЛрХ(1 - Рх)п-7;

/ = е+1

п

Рл.пр.= Е (1 - Рх)п - 7;

/=е+1

Л + В = С .

Анализ литературы, приведённой в списке использованных источников, показал отсутствие формул расчёта вероятностей исходов приёма информации для каналов с ошибками обоих типов.

Как известно, достоверность передаваемой информации, в первую очередь, характеризуется помехоустойчивостью ИК [29, 52, 57, 63, 74, 98, 106, 113]. Основные методы и способы повышения помехоустойчивости ИК основаны на использовании для передачи информации помехоустойчивых (корректирующих) кодов [85, 96, 100, 115, 117]. Главным свойством корректирующих кодов является их избыточность, то есть длина п этих кодов избыточна с точки зрения их информационной ёмкости, определяющейся числом т информационных разрядов кодовых слов, кроме которых в кодовых словах имеется к контрольных (избыточных) разрядов:

п = т + к.

Избыточность кода принято характеризовать нормированным коэффициентом Я избыточности [52, 63, 98, 113]:

Я = к/п = (п - т)/ п = 1 - т/ п, где т/п представляет собой скорость кода (точнее, кодирования).

В теории кодирования доказано, что корректирующие свойства кода повышаются с увеличением значений коэффициента Я избыточности, которые теоретически лежат в диапазоне от 0 до 1. Однако с практической точки зрения интерес представляют лишь коды, для которых 0 < Я < 1.

Наряду с коэффициентом избыточности корректирующие свойства кода определяются его метрикой, вводимой на основе геометрической интерпретации кодового множества в некотором координатном пространстве, наиболее часто декартовом [31, 44, 62, 65, 87, 89]. Геометрические модели позволяют оценивать помехоустойчивость кодов по значению dmin минимального кодового расстояния. На практике при решении большинства задач синтеза систем передачи информации наиболее употребительны метрики Хемминга, Ли [51, 59, 71, 75, 85, 96, 101, 107, 109].

По определению:

Лтп = } ,

где /, у - номера кодовых слов в рассматриваемом кодовом множестве с информационной емкостью Мр (/,у = 1, 2, ... , Мр; I Фу).

При этом справедливы соотношения, связывающие значения минимального кодового расстояния со значениями кратностей обнаруживаемых и/или исправляемых ошибок различного типа [49, 54, 55, 64, 72, 99, 104]:

Лтт — Г + 1;

Лтт — + 1; dmin — Г + + 1 ^ < г) ;

Лтт — е + 1; dmin— е +г +1;

Лтт — + е + 1;

Лтт — Г + ^ + е + 1 ^ ^ г) .

Как показал анализ, использование традиционных геометрических интерпретаций метрик математических моделей и метрик кодов не позволяет в полной мере реализовать потенциальную помехоустойчивость ^-ичных кодов, следовательно, обеспечить высокую эффективность ^-каналов по достоверности.

Особенностью современных цифровых ИК является использование кодовых ПСП. Основу теории систем связи с ПСП заложили работы В.А. Котельникова [52] и К. Шеннона [113]. Математическим аппаратом обработки информации, передаваемой с помощью ПСП, является математическая статистика [28, 38, 67, 68, 76, 90, 97]. Основными для ПСП являются их корреляционные и спектральные характеристики [36, 43, 45, 48, 70, 105].

В работах [35, 69, 84, 95] корреляционные свойства определяются значениями нормированного коэффициента р АКФ, вычисляемого с учётом циклической структуры этих сигналов по формуле:

Р = Рс - Рнс . (11)

Формула (1.1) может быть преобразована к виду:

р = (пс - пнс )/(пс + пнс ).

Для удобства вычисления нормированных коэффициентов АКФ двоичных ПСП исходная последовательность и последовательность её циклического сдвига для всех значений фаз сдвигов поразрядно суммируются по модулю 2. Учитывая, что нули в суммарной последовательности соответствуют совпадению символов одноимённых разрядов в последовательностях, а единицы - несовпадению, величину нормированного коэффициента АКФ для каждого фазового сдвига можно определить по формуле [95]:

N - N1 р N + N ,

где Ы0 и N - количество нулей и единиц, соответственно, в сумме по модулю 2 исходной двоичной ПСП и её циклического (фазового) сдвига.

Используя эту формулу, можно вычислять значения нормированных коэффициентов АКФ для любых бинарных последовательностей, в том числе и для ПСП с различными законами распределения при любых значениях вероятностей двоичных символов в ПСП.

Немаловажными свойствами ПСП являются их спектральные частотные характеристики. В работах [27, 66, 83, 84, 105] энергетический спектр £ (ю) двоичного сигнала определяется через АКФ и имеет вид:

£ (ю) =

Т +1

Т2

Б1П

(0,5-ю-t 0)

0,5 - ю - tl

0

ж

X 8

п=-ж пф0

ю-

2ж - п

Т1

1

0

Т2

8(ю)

где ю - частота; Т - период последовательности; 10 - длительность двоичного символа; 8(ю - ю0 ) - дельта-функция Дирака.

Часто интерес представляет амплитудный спектр А(ю), связанный с энергетическим как £(ю) = 1А2(ю) [45, 58, 81]. Если л - номер гармоники амплитудного

спектра, то для ПСП справедливо выражение:

Ам = А

(о > 27 - Ц _ 2

V ^0 7 - Ц

л/Т+1

+ 1Б1П

71 - Ц

Т

Необходимо отметить, что представленные формулы не применимы для кодов с повышенным основанием, и не могут быть эффективно использованы в случае ^-каналов. Кроме того, они не удобны при машинных вычислениях.

Как показал анализ, прямые вычисления коэффициента избыточности, минимального кодового расстояния, кратностей обнаружения и/или исправления ошибок трансформации и/или стирания для таких ПСП-кодов - достаточно сложные задачи. Вместе с тем, алгоритмически относительно не сложно определить статистические характеристики ПСП. Таким образом, применение в ^-каналах корректирующих кодов в виде ПСП обусловило необходимость исследования взаимосвязи помехоустойчивости и статистических характеристик ПСП. В литературе отсутствуют прямые формульные оценки таких связей. В частности, для повышения эффективности синтезируемых ИК принципиальный интерес представляют аналитические зависимости между нормированными коэффициентами избыточности и АКФ.

Приведённые выше формулы учитывают метрику Хемминга. Основными метриками в теории кодирования являются метрика Хемминга и метрика Ли [31,

62, 85, 96]. Как показал анализ, для каналов, в которых используются такие коды, традиционная метрика Хемминга не даёт адекватных результатов. В [85] предложена метрика троичного кода (К = 3; {К}={0, 1, 2}), которая характеризуется тем, что расстояние по геометрической модели между любым ненулевым и нулевым символами равно единице, а расстояние между символами единицы и двойки равно двум. Как показал анализ К-ичных кодов, этот подход может быть принят и для К-каналов [9, 23]. В классической теории кодирования используются формулы для вычисления статистических характеристик кодовых последовательностей лишь с учётом метрики Хемминга. Таким образом, возникает необходимость вычисления статистических характеристик К-ичных кодовых последовательностей с учётом метрики, описанной в [85] и распространённой на К-каналы.

1.2. Задачи диссертационной работы

Проведённый в главе анализ состояния вопроса позволяет сделать вывод о том, что ключевой недостаток всех упомянутых математических моделей каналов заключается в том, что, с математической точки зрения, они являются приближёнными, в основном, характеризуют симметричные каналы и в большинстве случаев не могут быть успешно использованы для синтеза эффективных ИК.

Дальнейшее исследование вопроса выявило необходимость разработки геометрической интерпретации метрики кодовых множеств, учитывающей метрические особенности недвоичных кодов, и определения взаимосвязи между помехоустойчивостью ПСП-кодов и их статистическими характеристиками.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ульянина Юлия Александровна, 2016 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

32.Бакалов, В.П. Цифровое моделирование случайных процессов / В.П. Бакалов.

- М.: Сайнс-пресс, 2002. - 88 с.

33.Варакин, Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами / Л.Е. Варакин. -М.: Радио и связь, 1985. - 384 с.

34.Варгаузин, В.А. Вблизи границы Шеннона / В.А. Варгаузин // ТелеМультиМедиа, 2005. - № 3. - С. 3-10.

35.Варгаузин, В.А. Помехоустойчивое кодирование в пакетных сетях // ТелеМультиМедиа. - 2005. - № 3. - С. 10-16.

36.Варшамов, Р. Р. Оценка числа сигналов в кодах с коррекцией ошибок / Р.Р. Варшаомв // Доклады Академии наук СССР, 1957. - № 117(5). - С. 739-741.

37.Васильев, К.К. Математическое моделирование систем связи: учеб. пособие / К.К. Васильев, М.Н. Служивый. - Ульяновск : УлГТУ, 2008. - 170 с.

38.Васильев, К.К. Методы обработки сигналов: учебное пособие / К.К. Васильев.

- Ульяновск: УлГТУ, 2001. - 78 с.

39.Васюков, В.Н. Теория электрической связи: учебник / В.Н. Васюков. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2005. - 393 с.

40.Вентцель, Е.С. Теория вероятностей: учеб. для втузов / Е.С. Вентцель. - М.: Физматлит, 1999. - 576 с.

41. Вероятностные методы в инженерных задачах: справочник / А.Н. Лебедев [и др.]. - СПб.: Энергоатомиздат, 2000. - 333 с.

42.Волков, Н.В. Информационные характеристики каналов с памятью: учеб. пособие / Н.В. Волков, Б.Я. Советов, Н.Г. Мустафин. - Л.: ЛЭТИ, 1978. - 85 с.

43.Габидулин, Э.М. Ранговые Q-циклические и псевдо-Р-циклические коды / Э.М. Габидулин // Труды Московского физико-технического института. 2010.

- Т. 2. - № 3. - С. 3-8.

44.Гильберт, Д. Избранные труды. Т1. Теория инвариантов. Теория чисел. Алгебра. Геометрия. Основания математики / Д. Гильберт. - М.: Факториал, 1998. -575 с.

45.Гладких, А.А. Основы теории мягкого декодирования избыточных кодов в стирающем канале связи / А. А. Гладких. - Ульяновск : УлГТУ, 2010. - 379 с.

46.Голяницкий, И.А. Математические модели и методы в радиосвязи / И.А. Го-ляницкий. - М. : Эко-Трендз, 2005. - 440 с.

47.Гоппа, В.Д. Введение в алгебраическую теорию кодирования / В.Д. Гоппа. -М.: Наука. Физматлит, 1995. - 112 с.

48.Дерин, Х. Случайные процессы марковского типа с дискретными аргументами / Х. Дерин, П. Келли // ТИИЭР, 1989. - Т. 77, № 10. - С. 42-71.

49. Добрушин, Р.Л. Математические вопросы шенноновской теории оптимального кодирования информации / Р.Л. Добрушин // Проблемы передачи информации, 1961. - Т. 10. - С. 63-107.

50.Ермаков, С.М. Статистическое моделирование: учеб. пособие / С.М. Ермаков, Г.А. Михайлов. - М.: Наука, 1982. - 296 с.

51.Ермолаев, В.Т. Гауссовская модель многолучевого канала связи в городских условиях / В.Т. Ермолаев, А.Г. Флаксман, И.М. Аверин // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия: Радиофизика, 2004. -№ 1. - С. 127-137.

52.Зигангиров Д.К. Декодирование низкоплотностных кодов с проверочными матрицами, составленными из перестановочных матриц, при передаче по каналу со стираниями / Д.К. Зигангиров, К.Ш. Зигангиров // Проблемы передачи информации, 2006. - Т. 42. - № 2. - С. 44-52.

53.Игнатов, В.А. Теория информации и передачи сигналов: учеб. для вузов / В.А. Игнатов. - М.: Сов. радио, 1979. - 280 с.

54.Ильин, В.А. Телеуправление и телеизмерение / В.А. Ильин. - М.: Энергоиз-дат, 1982. - 560 с.

55.Кловский, Д.Д. Модели непрерывных каналов связи на основе стохастических дифференциальных уравнений / Д.Д, Кловский, В.Я. Конторович, С.М. Широков. - М.: Радио и связь, 1984. - 248 с.

56. Колесник, В.Д. Алгебраическая теория блоковых кодов: учеб. пособие / В.Д. Колесник. - СПб.: Изд-во ГУАП, 2006. - 29 с.

57.Котельников, В.А. Теория потенциальной помехоустойчивости / В.А. Котельников. - М.: Радио и связь, 1956. - 152 с.

58.Кузьмин, И.В. Основы теории информации и кодирования / И.В. Кузьмин, В.А. Кедрус. - К.: Вища шк. Головное изд-во, 1986. - 238 с.

59.Марков А.А. Теория алгоритмов / А.А. Марков, Н.М. Нагоный. - М.: Наука, 1984. - 432 с.

60.Марков, А.А. Введение в теорию кодирования / А.А. Марков. - М.: Наука, Гл.ред.физ.-мат.лит., 1982. - 192 с.

61. Марков, А.А. Комбинаторно-алгебраические методы в прикладной математике / А.А. Марков. - Горький, 1986. - 210 с.

62.Михайлов, В.Е. Помехозащищенность информационно-измерительных систем / В.Е. Михайлов. - М.: Энергия, 1975. - 104 с.

63. Моделирование информационных систем: учеб. пособие / под ред. О.И. Ше-лухина. - М.: Радиотехника, 2005. - 368 с.

64. О минимальном расстоянии низкоплотностных кодов с проверочными матрицами, составленными из перестановочных матриц / К.Ш. Зигангиров [и др.] // Проблемы передачи информации, 2005. - Т. 41. - № 1. - С. 39-52.

65.Передача дискретных сообщений: учебник для вузов / В.П. Шувалов [и др.] -М.: Радио и связь, 1990. - 464 с.

66.Першин, В.Т. Основы современной радиоэлектроники: учеб. пособие / В.Т. Першин. - Ростов н/Д: Феникс, 2009. - 541 с.

67. Плоткин М. Двоичные коды с заданным минимальным расстоянием / М. Плот-кин // Кибернетический сборник, 1963. - №7. - С. 60-73.

68. Помехозащищенность радиосистем со сложными сигналами / Г.И. Тузов [и др.]. - М.: Радио и связь, 1985. - 264 с.

69.Помехоустойчивость и эффективность систем передачи информации / А.Г. Зюко [и др.]. - М: Радио и связь, 1985. - 272 с.

70. Потапов, В.Н. Теория информации. Кодирование дискретных вероятностных источников: учеб. пособие / В.Н. Потапов. - Новосибирск: НГУ, 1999. - 71 с.

71.Пригарин, С.М. Методы численного моделирования случайных процессов и полей / С.М. Пригарин. - Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2005. -259 с.

72.Прохоров, С.А. Математическое описание и моделирование случайных процессов / С.А. Прохоров. - Самара: СГАУ, 2001. - 209 с.

73.Прохоров, С.А. Прикладной анализ случайных процессов / С.А. Прохоров. -Самара: СНЦ РАН, 2007. - 582 с.

74.Прохоров, С.А. Программный комплекс корреляционно-спектрального анализа в ортогональных базисах / С.А. Прохоров, В.В. Графкин. - Самара: СНЦ РАН, 2005, 198 с.

75.Прохоров, С.А. Структурно-спектральный анализ случайных процессов / С.А. Прохоров, В.В. Графкин. - Самара: СНЦ РАН, 2010. - 147 с.

76. Самойленко, С.И. Сети ЭВМ / С.И. Самойленко. - М.: Наука, 1986. - 158 с.

77.Сергиенко, А.Б. Цифровая обработка сигналов: учеб. для вузов / А.Б. Серги-енко. - СПб.: Питер, 2003. - 608 с.

78. Советов, Б.Я. Теория информации: теорет. основы передачи информации в АСУ: учеб. пособ. для вузов / Б.Я. Советов. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977.

- 184 с.

79. Советов, Б.Я. Эффективность введения избыточности в системы передачи телемеханической информации / Б.Я. Советов. - Л.: Наука, 1972. - 131 с.

80. Соловьёва, Ф.И. Введение в теорию кодирования: учеб. пособие / Ф.И. Соловьёва. - Новосибирск.: Изд-во НГУ, 2006. - 124 с.

81. Теория и применение псевдослучайных сигналов / А.И. Алексеев [и др.]. -М.: Наука, 1969. - 369 с.

82.Теория передачи сигналов: учебник для вузов / А.Г. Зюко [и др.]. - М.: Связь, 1980. - 287 с.

83.Теория электрической связи / В.А. Григорьев [и др.]. - СПб: НИУ ИТМО, 2012.

- с. 148

84.Теория электрической связи / К.К. Васильев [и др.]. - Ульяновск : УлГТУ, 2008. - 452 с.

85.Теория электрической связи: учебник для вузов / А.Г. Зюко [и др.]. - М.: Радио и связь, 1999. - 432 с.

86.Тимошинов, П.М. О наиболее рациональных принципах построения универсальных систем телеуправления подвижными промышленными объектами / П.М. Тимошинов // Л.: Известия ЛЭТИ, 1967. - Вып. 59. - С. 145-157.

87.Финк, Л.М. Теория передачи дискретных сообщений / Л.М. Финк. - Сов. радио, 1970. - 728 с.

88.Шалыгин, А.С. Прикладные методы статистического моделирования / А.С. Шалыгин, Ю.И. Палагин. - Л.: Машиностроение, 1986. - 320 с.

89.Шульгин, В.И. Основы теории кодирования / В.И. Шульгин. - Харьков: ХАИ, 2005. - 194 с.

90.Юргенсон, Р.И. Помехоустойчивость цифровых систем передачи телемеханической информации / Р. И. Юргенсон. - Л. : Энергия. Ленингр. отд-ние, 1971.

- 250 с.

91.Adoul, J-P.A. A critical statistic for channels with memory / J-P.A. Adoul, B.D. Frinchman, L.N. Kanai // IEEE Transactions on Information Theory, 1972. - № 18.

92.Berlekamp, E.R. Algebraic coding theory / E.R. Berlekamp. - New York, St. Louis, San Francisco, Toronto, London, Sydney: McGraw-Hill Book Company, 1968. -478 p.

93.Bernard, S. Digital Communications: Fundamentals and Applications / S. Bernard.

- Prentice Hall, 2001. - 1079 p.

94. Blahut R.E. Theory and Practice of Error Control Codes / R.E. Blahut. - Addison-Wesley, Reading, MA, 1983. - 576 p.

95.Davenport, W. R. An Introduction to the Theory of Random Signals and Noise / W. R. Davenport, W. L. Root. - Wiley: IEEE Press, 1987. - 393 p.

96.Elias, P. Error-free coding / P. Elias // IEEE Trans. Inform. Theory, 4, 1954. - P. 29-37.

97.Garrett, P. The Mathematics of Coding Theory / P. Garrett. - Prentice Hall, 2003. -398 p.

98.General Theory of Information Transfer and Combinatorics / Ahlswede R. [et. al].

- Springer, 2006. - 1137 p.

99. Gilbert, E.N. A comparison of signalling alphabets / E.N. Gilbert // Bell System Technical Journal, 1952. - № 31. P. 504-522.

100. Golomb, S.W. Digital Communications with Space Applications / S.W. Golomb.

- New Jersey: Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1964. - 272 p.

101. Hamming, R.W. Coding and Information Theory / R.W. Hamming. - Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall, 1986. - 272 p.

102. Howard R.M. Principles of Random Signal Analysis & Low Noise Design / R. M. Howard. - John Wiley, 2002. - 321 p.

103. Huffman, D.A. A Method for the Construction of Minimum-Redundancy Codes / D.A. Huffman // Proceedings of the IRE 40 (9), 1952. - 1098-1101.

104. Levanon, N. Radar Signals / N. Levanon, E. Mozeson. - John Wiley & Sons, Inc., 2004. - 411 p.

105. Lin, S. Error Control Coding Fundamentals and Applications / S. Lin, D. Costel-lo. - Prentice-Hall, 1983. - 624 p.

106. MacWilliams, F. J. The Theory of Error-Correcting Codes / F.J. MacWilliams, N.J.A. Sloane. - Amsterdam, Netherlands, North-Holland, 1977. - 762 p.

107. Mandal, M. Continuous and Discrete Time Signals and Systems / M. Mandal, A. Asif. - Cambridge University Press, 2007. - 880 p.

108. McDougall, J. A Statistical Approach to Developing Channel Models for Network Simulations / J. McDougall, Y. Yi, S. Miller // Proceedings of the IEEE Wireless Communication and Networking Conference, 2004. - Vol. 3. - P. 1660-1665.

109. Miao, G. J. Signal Processing in Digital Communications / G. J. Miao. - Artech House, 2007. - 533 p.

110. Miller, S. Probability and Random Processes: With Applications to Signal Processing and Communications / S. Miller, D. Childers. - Academic Press, 2012. -522 p.

111. Moon, T.K. Error Correction Coding / T.K. Moon. - New Jersey: Wiley-Interscience, 2005. - 794 p.

112. Morelos-Zaragoza, R.H. The Art of Error Correcting Coding / R.H. Morelos-Zaragoza. - Wiley, 2006 - 269 p.

113. Murthy, D.N.P. Models / D.N.P. Murthy, M. Xie, R.W. Jiang. - John Wiley & Sons Ltd., 2007.

114. Peterson, W.W. Error-correcting codes / W.W. Peterson, E.J. Weldon. - Cambridge, Massachusetts, and London, England: The Mit Press, 1972. - 593 p.

115. Pimentel, C. Modeling Burst Channels Using Partitioned Frinchman's Markov Models / C. Pimentel, F. Blake // IEEE Transactions on Vehicular Technology, 1998. - № 47.

116. Richardson, T. Modern Coding Theory / T. Richardson, R. Urbanke. - Cambridge University Press, 2008. - 545 p.

117. Sabin, W. E. Discrete-signal analysis and design / W. E. Sabin. - Hoboken, John Wiley & Sons, 2009. - 190 p.

118. Shannon, C.E. Mathematical Theory of Communication / C.E. Shannon // The Bell System Technical Journal, 1948. - Vol. 27. - P. 379-423, 623-656.

119. Sundararajan, D. Practical approach to signals and systems / D. Sundararajan. -India: Noida, 2008. - 400 p.

120. Sweeney, P. Error Control Coding. From Theory to Practice / P. Sweeney. - John Wiley, 2002. - 252 p.

121. Thomas, M.C. Elements of Information theory / C. Thomas. - New Jersey: Published by John Wiley & Sons, 2006. - 748 p.

122. Viterbi, A.J. Principles of digital communication and coding / A.J. Viterbi, J.K. Omura. - McGraw-Hill, 1979. - 584 p.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Гемери. 1141 к> и директор

ФопОп о«)«'н< тмин ри шит ма.ш.х фор.ч предприятий в пиучпо-тсхпичестп! ч/п'рг

СВИДЕТЕЛЬСТВО

о государственной регистрации программы для ЭВМ

№ 2015619287

Моделирование помех в/Г-ичных информационных каналах

Правообладатель: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» (СГТУ имени Гагарина Ю.А.) (Яи)

Авторы: Львов Алексей Арленович (ЯС/), Светлов Михаил Семенович (Я11), Мартынов Павел Владимирович (Я11), Ульянина Юлия Александровна (Я11)

Заявка № 2015615599

Дата поступления 24 ИЮНЯ 2015 Г.

Дата государственной регистрации

в Реестре программ для эвм 27 августа 2015 г.

Заместитель руководителя Федеральной службы по интеллектуа!ьной собственности