Разработка и исследование методов представления и уточнения параметров геопотенциала тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.24.01, кандидат технических наук Парамзин, Алексей Валентинович

• Парамзин, Алексей Валентинович
• кандидат технических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат технических наук Парамзин, Алексей Валентинович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ВОПРОСЫ УТОЧНЕНИЯ ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЙ ГРАВИТАЦИОННОЙ

ПОСТОЯННОЙ МЕТОДАМИ КОСМИЧЕСКОЙ ГЕОДЕЗИИ . II

1.1. Общие замечания. II

1.2. Методы определения геоцентрической гравитационной постоянной.

1.3. Уточнение геоцентрической гравитационной постоянной по наблюдениям ЙСЗ на близполярных почти круговых орбитах.

1.4. Уточнение геоцентрической гравитационной постоянной по наблюдениям ИСЗ с произвольными элементами орбиты.

1.5* Выводы по главе.

ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА МЕТОДА ПОЛИНОМИАЛЬНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

ГЕОПОТЕНЦИАЛА.

2.1. Постановка задачи

2.2. Формы представления геопотенциала.

2.3. Полиномиальное представление геопотенциала

2.4. Методика аппроксимации возмущающей части геопотенциала полиномами заданного вида

2.5. Возможности построения аналитической теории движения ИСЗ применительно к полиномиальному представлению возмущающего геопотенциала-.

ГЛАВА 3. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ ПО СОЗДАНИЮ И ИССЛЕДОВАНИЮ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ ГЕОПОТЕНЦИАЛА

3.1. Постановка задачи.

3.2. Численные эксперименты по разработке алгоритма полиномиальной аппроксимации возмущающего геопотенциала

3.3. Аппроксимация геопотенциала в ограниченной области околоземного пространства

3.4. Применение полиномиальной аппроксимации для численного интегрирования уравнений возмущённого движения ИСЗ.

3.5. Выводы по главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка и исследование методов представления и уточнения параметров геопотенциала»

Проблема освоения и изучения космического пространства является в настоящее время одним из наиболее актуальных научных направлений. В решении ХХУ1 съезда КПСС в разделе "Основные направления экономического и социального развития СССР на 1981 - 1985 годы и на период до 1990 года" отмечается, что "дальнейшее изучение, и освоение космического пространства в интересах науки, техники и народного хозяйства" стоит в ряду важнейших проблем, на решение которых необходимо сосредоточить усилия в указанный период. Важное значение в ходе решения задач комплексного исследования космического пространства имеет проблема изучения Земли и других планет Солнечной системы в геодезическом аспекте.

Основная задача геодезии в современной постановке формулируется как определение внешнего гравитационного поля Земли и создание мировой геодезической сети в единой геоцентрической системе координат.

Запуски искусственных спутников Земли и космических зондов дали мощный толчок развитию геодезии. Появление новых методов решения её задач с помощью наблюдений искусственных небесных тел привело к возникновению новой науки - космической геодезии, возникшей на стыке астрономии, геодезии и космонавтики. Методы космической геодезии являются в настоящее время наиболее перспективными для решения таких задач классической геодезии как определение параметров гравитационного поля, уточнение фундаментальных геодезических постоянных, создание мировой геодезической сети в единой геоцентрической системе координат.

В космической геодезии принята классификация её методов на геометрические и динамические. Принципиальное различие двух групп методов заключается в том, что реализация динамических методов возможна лишь при использовании высокоточной теории движения спутников, в то время как для применения геометрических методов теорию движения достаточно знать в первом приближении для вычисления эфемерид.

Преимущество динамических методов заключается в том, что они позволяют получать координаты пунктов в единой системе координат с началом в центре масс Земли, тогда как геометрические методы позволяют определять лишь относительные координаты пунктов. Реализация динамических' методов предусматривает совместное определение координат' пунктов, элементов орбиты ИСЗ, параметров геопотенциала и других возмущающих факторов. Более общая постановка задачи в динамических методах определяет их ведущую роль в космической геодезии.

Развитие космической геодезии ведётся в настоящее время по двум направлениям. Первое направление заключается в непрерывном совершенствовании средств и методов наблюдений ИСЗ. Появление и широкое распространение таких методов наблюдений как спутниковая альтиметрия, лазерные и допплеровские измерения позволили значительно повысить точность определения пространственных положений ИСЗ. Второе направление развития космической геодезии заключается в совершенствовании её теоретических основ, разработке аналитических теорий движения спутников и новых методов численного интегрирования дифференциальных уравнений движения, позволяющих с высокой точностью прогнозировать положение ИСЗ на орбите на длительных интервалах времени.

Точность прогноза возмущённого движения ИСЗ определяется, с одной стороны, точностью собственно численного интегрирования, а с другой - совершенством модели сил, действующих на ИСЗ. Выполненные в последнее десятилетие исследования позволили значительно повысить внутреннюю точность численного интегрировании на длительных зак- интервалах времени. В частности, метод Эверхарта обеспечивает методическую ошибку интегрирования существенно меньше I метра на дугах протяжённостью 30 суток и более [66] , что на данном этапе вполне достаточно для решения задач космической геодезии. С другой стороны, точность моделирования возмущающих сил, действующих на ИСЗ, в настоящее время остаётся ещё недостаточной.

Среди многообразия действующих на ИСЗ возмущающих сил наиболее значительным и трудноучитываемым фактором является влияние аномального гравитационного поля Земли. Несовершенство существующих моделей гравитационного поля - один из главных источников ошибок при прогнозировании движения геодезических спутников. Непрерывное повышение точности наблюдений ИСЗ и разработка высокоточных методов численного интегрирования стимулируют ускоренное решение задачи создания надёжных и удобных для практического использования моделей гравитационного поля Земли. В настоящее время исследования по проблеме ведутся в двух направлениях.

С одной стороны происходит постоянное уточнение параметров гравитационного поля, входящих в заранее заданные аналитические пред-' ставления [65, 90,9 2.1. .Другое направление заключается в разработке новых, более удобных для практического использования аналитических форм представления гравитационного поля.

В космической геодезии наибольшее распространение получило классическое представление гравитационного поля Земли в виде разложения потенциала притяжения по сферическим функциям. Целый ряд советских и зарубежных учёных работал над развитием аналитических теорий движения ИСЗ на основе сферического представления геопотенциала, как например, М.КаиЬа , Е.М.&хро&Ьк1п , Е.П.Аксёнов, В.А.Брумберг, Л.П.Пеллинен, Ю.В.Плахов и многие другие [й, В настоящее время эти теории разработаны весьма детально.

Главным недостатком сферического представления является медленная сходимость разложения, что ведёт к необходимости учёта большого числа членов. Это обстоятельство вызывает затруднения при вычислении правых частей уравнений движения ИСЗ и приводит к чрезмерно большим затратам машинного времени при их численном интегрировании. Кроме того, при уточнении модели приходится иметь дело с очень громоздкими матрицами, что ухудшает обусловленность системы и снижает надёжность решения.

В последние годы ведутся интенсивные исследования по разработке новых аналитических форм представления геопотенциала. Одним из наиболее удачных является предложенное в [101] и получившее дальнейшее развитие в работах [77 АЪ, и др.] представление геопотенциала с помощью совокупности точечных масс, находящихся внутри Земли. Это представление гораздо компактнее и значительно упрощает процесс численного интегрирования. Однако, как показано в [59] , точечные аппроксимации вызывают серьёзные затруднения при аналитическом интегрировании. Аналогичная ситуация складывается и при использовании представления потенциала моделью простого слоя, аппроксимации выборочными функциями и мультипольного представления. В связи с этим актуальна проблема разработки новых форм представления геопотенциала, в равной степени удобных как для численного, так и для аналитического интегрирования.

Любое представление геопотенциала молено записать в обобщённой форме так ^ и- м!бпУп(г,Фд), (О

J п=о где ^х - геоцентрическая гравитационная постоянная, функции сферических координат Г , , - постоянные параметры геопотенциала. Ошибку вычисления потенциала' следует рассматривать как сумму влияний ошибок геоцентрической гравитационной постоянной Sju, и параметров геопотенциала :

Su = (а)

Проблема уточнения геоцентрической гравитационной постоянной Jx , входящей в систему фундаментальных геодезических констант, является одной из наиболее актуальных задач геодезии. В последние годы в связи с повышением точности измерительной техники, в первую очередь лазерных дальномеров, появилась возможность уточнить значение JX по наблюдениям ЙСЗ. К этой проблеме обращался ряд исследователей 44, 72 и др.] . Успешному решению задачи препятствуют математические трудности, обусловленные корреляцией между определяемыми неизвестными. В настоящее время этот вопрос окончательно решённым считать нельзя.

Основной целью, стоящей перед автором данной диссертационной работы является разработка и исследование метода аппроксимации возмущающего геопотенциала, отвечающего сформулированным выше требованиям с одновременной разработкой эффективной методики уточнения геоцентрической гравитационной постоянной.

В связи с этим были поставлены следующие задачи:

I/ исследовать существующие методы определения геоцентрической гравитационной постоянной JU и выявить возможности их совершенствования;

2/ разработать методику определения геоцентрической гравитационной постоянной, позволяющую при существующей точности измерений уточнить её значение;

3/ выполнить экспериментальное исследование указанной методики на моделях;

4/ разработать метод аппроксимации возмущающего геопотенциала, в равной степени пригодный для численного и аналитического интегрирования уравнений движения ИСЗ;

5/ исследовать вопрос о возможности использовании аппроксимаций данного типа для построения аналитической теории движения ИСЗ;

6/ на основе разработанной аналитической формы представления геопотенциала выполнить аппроксимацию гравитационного поля Земли;

7/ выполнить оценку точности полученной аппроксимации и исследовать вопрос о возможности её использования для численного интегрирования уравнений движения ИСЗ.

Диссертация состоит из трёх глав. В первой главе рассматриваются методы уточнения геоцентрической гравитационной постоянной jju , обсуждаются методы определения JUL по наблюдениям ИСЗ на близполярных почти круговых орбитах и по наблюдениям заатмосферных ИСЗ с произвольными элементами орбиты. Там же приводятся результаты исследований данных методов на моделях.

Во второй главе излагаются теоретические основы разработанного автором полиномиального представления геопотенциала, рассматриваются способы создания аппроксимаций такого типа, а также возможности их использования для построения аналитической теории движения ИСЗ.

В третьей главе приводятся результаты численных экспериментов по созданию и исследованию полиномиальных аппроксимаций геопотенциала.

В заключении подводятся итоги выполненных исследований, делаются выводы, а также намечаются направления дальнейших исследований.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах автора:

I. Парамзин A.B. К вопросу об уточнении геоцентрической гравитационной постоянной по наблюдениям ИСЗ.-М.,1983, 7 стр. Рукопись представлена Моск. ин-том инж. геод., аэрофот. и картогр. Деп. в ВИНИТИ I декабря 1983 г., № 6471-83 ДЕП.

2. Парамзин A.B. О представлении геопотенциала на спутниковых высотах ограниченным числом гладких функций,- Научно-технический реферативный сборник ÜPI03. Совершенствование техники и технологии и передовой опыт выполнения геодезических и топографических работ,- М.: ЦНИИГАиК, 1983, с. 13-14.

3. Плахов Ю.В., Парамзин A.B. Об аппроксимации возмущающей части геопотенциала многочленами заданного вида.- Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъёмка, 1984, № 3, с. 61-66.

4. Парамзин A.B. Аппроксимация модели геопотенциала GEM-toB последовательностью коэффициентов полиномов заданного вида,-Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъёмка, 1984, № 4, с. 56-59.

Результаты диссертационной работы /методика полиномиальной аппроксимации возмущающего геопотенциала и соответствующие программы/ внедрены в научно-исследовательскую работу НИИГАиК по хоздоговорной тематике кафедры астрономии и гравиметрии /тема № 199-81/. Ожидаемый годовой экономический эффект от внедрения указанных разработок составляет 12 тыс. рублей.

Кроме того, результаты исследований по разработке методов уточнения геоцентрической гравитационной постоянной и методики полиномиальной аппроксимации геопотенциала внедрены в учебный процесс МИИГАиК в курсах космической геодезии /специальность 1302/ и небесной механики /специальность 1305/, а также используются в разработках по госбюджетной и хоздоговорной тематике /тема 586-Х/ кафедры астрономии и космической геодезии МИИГАиК.

Заключение диссертации по теме «Геодезия», Парамзин, Алексей Валентинович

Основные результаты диссертации можно сформулировать в следующих выводах.

1. Проанализированы возможности существующих методов опреде^ ления геоцентрической гравитационной постоянной^ для уточнения её принятого значения при современной точности наблюдений. Рассмотрена задача совместного определения поправок в^ , большую полуось орбиты С1 и координаты пунктовна основе орбитального метода космической геодезии. Показано, что решение данной задачи возможно только при введении ряда условий: применение специализированного спутника /в отношении наклона и эксцентриситета орбиты/, использование эффекта накопления погрешности вдоль орбиты, выполнение синхронных измерений расстояний и направлений на ИСЗ с текущего пункта на одних и тех же участках орбиты, использование преобразованных уравнений орбитального метода, в которых коэффициентами являются периодические функции быстрой переменной, а неизвестными - линейные комбинации медленных переменных.

2. Разработан метод уточнения^ по наблюдениям ИСЗ на близпо-лярных почти круговых орбитах. Экспериментальные вычисления на моделях подтвердили результаты теоретических исследований.

3. Предложена методика раздельного уточнениями ОЬпо наблюдениям ИСЗ с произвольными элементами орбиты, основанная на использовании большого числа мерных интервалов и наблюдений нескольких ИСЗ.

4. Проанализированы возможности известных форм представления геопотенциала для решения задач космической геодезии с точки зрения удобства для численного и аналитического интегрирования уравнений движения ИСЗ.

5. Предложена полиномиальная форма представления возмущающего геопотенциалат, сочетающая достоинства сферического и точечного представлений для аналитического и численного интегрирования.

6. Исследованы возможности и указаны пути построения аналитической теории движения ИСЗ применительно к полиномиальному представлению геопотенциала. Получено разложение полиномиальной пертурбационной функции по элементам орбиты.

7. Разработан алгоритм полиномиальной аппроксимации геопотенциала и составлены соответствующие программы.

8. Эффективность разработанного алгоритма подтверждена на примере аппроксимации геопотенциала в малой ограниченной области околоземного пространства.

9. Получена полиномиальная аппроксимация возмущающего геопотенциала в области пространства 8000 км ^ Г" ^ 60000 км, содержащая 416 коэффициентов. Назначение аппроксимации - численное интегрирование уравнений движения ИСЗ.

10. Исследован вопрос об использовании полиномиальных аппроксимаций геопотенциала для численного интегрирования.Показано, что по эффективности численного интегрирования полиномиальные аппроксимации рассмотренного типа по крайней мере в 10 раз превосходят сферическое представление геопотенциала.

Дальнейшие исследования в данной области, по мнению автора, следует вести по следующим направлениям.

1. Исследовать различные варианты полиномиального представления геопотенциала! с целью наиболее рационального выбора типа аппроксимирующих полиномов и их аргументов.

2. На основании выбранной оптимальной формы полиномиального представления геопотенциала разработать аналитическую теорию движения ИСЗ и исследовать полиномиальные аппроксимации на численном интегрировании орбит геодезических спутников.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Парамзин, Алексей Валентинович, 1984 год

1. Аким Э.Л., Степаньянц В.А., Власова З.П. Уточнение масс Земли и Луны по наблюдениям за движением автоматических межпланетных станций "Венера-4", "Венера-5", "Венера-6", "В9нера-7".-Доклады АН СССР, т.201, № 6, 1971, с. 1303-1306.

2. Аксёнов Е.П. Теория движения искусственных спутников Земли. М.: Наука, 1977, 360 с.

3. Алексидзе М.А. Об одном представлении аномального гравитационного поля.- Доклады АН СССР, 1966, т. 170, 4, с. 828-830.

4. Антонов В.А. Представление гравитационного поля планеты системой точечных масс.- Тр. Астрон. обсерватории Ленингр. ун-та, 1978, 34, с. 145-155.

5. Антонов В.А., Тимошкова В.И., Холшевников К.В. Сравнительные свойства различных представлений гравитационного поля Земли.-В кн.: Изучение Земли как планеты методами астрономии, геодезиии геофизики, Киев: Наукова думка, 1982, с. 93-106.

6. Арнольд К. Методы спутниковой геодезии. И.: Недра, 1973, 224 с.

7. Бальмино Дж. Представление потенциала Земли с помощью совокупности точечных масс, находящихся внутри Земли.- В кн.: Использование искусственных спутников для геодезии. М.: Мир, 1975, с. 178-183.

8. Бахвалов Н.С. Численные методы, т.1- М.: Наука, 1975, 632с.

9. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т.1- КГ.: Физ-матгиз, 1959, 464 с.

10. Березин И.С., Жидков НШ. Методы вычислений, т.2- М.: Физ-матгиз, 1959, 620 с.

11. Беррот А., Хофманн В. Космическая геодезия. М.: Иностранная литература, 1963, 410 с.

12. Бойко Е.Г., Кленицкий Б.М., Ландис И.М., Устинов Г.А. Использование искусственных спутников Земли для построения геодезических сетей. М.: Недра, 1977, 376 с.

13. Бойков В. В., Каплан Б. Л., ЛутфуллинИ.А., Насретдинов К. К., Устинов Г.А. Определение геоцентрической гравитационной постоянной по наблюдениям ИСЗ.- Геодезия и картография, 1980, № 10,с. 9-12.

14. Большаков В.Д., Гайдаев П.А. Теория математической обработки геодезических измерений. М.: Недра, 1977, 367 с.

15. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: Наука, 1977, 872 с.

16. Брумберг В.А. Аналитические алгоритмы небесной механики. М.: Наука, 1980, 208 с.

17. Бурша М. Основы космической геодезии, т.2- М.: Недра, 1975, 280 с.

18. Вейс Г. Геодезическое использование искусственных спутников Земли. М.: Недра, 1967, 116"; с.

19. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1982 , 256 с.

20. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971, 1108 с.

21. Грушинский Н.П. Основы гравиметрии. И.: Наука, 1983,352 с.

22. Динамика движения искусственных спутников Земли. М.: ВАГО, 1978, 92 с.

23. Демидович Б.П. Марон Й.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967, 368 с.

24. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970, 664 с.

25. Дубопгин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1968, 800 с.

26. Евтушенко Ю.Г., Крылов И.А., Мержанов Р.Ф., Самойлович Г.В.

27. Движение искусственных спутников в гравитационном поле Земли. М.: ВЦ АН ССОР, 1967, 299 с.

28. Капилевич Д.И., Устинов Г.А. Етшяние ошибки геоцентрической гравитационной постоянной на точность вычисления орбит МСЗ.-Геодезия и картография, 1982, № 2, с. 11-13.

29. Капилевич Д.И., Устинов Г.А. Влияние ошибок определения геопотенциала на орбиты ИСЗ.- Геодезия и картография, 1983, № 4, с. 11-17.

30. Каплан М.Г., Кункив Б.Г. Модель потенциалах Луны с учётом влияния масконов.- В кн.: Использование искусственных спутников для геодезии /Пер. с англ. М.: Мир, 1975, с. 370-382.

31. Каула У.М. Космическая геодезия /Пер. с англ. М.: Недра, 1965, 162 с.

32. Каула У.М. Спутниковая геодезия. Теоретические основы /Пер. с англ. М.: Мир, 1970, 172 с.

33. Кокурин Ю.Л. Лазерная локация Луны.- Труды Физ. ин-та АН! СССР, 1977, 91, с. 159-225.

34. Кох К.Р. Использование модели потенциала простого слояв космической геодезии.- В кн.: Использование искусственных спутников для геодезии /Пер. с англ. М.: Мир, 1975, с. 158-162.

35. Красноршгов И.И., Плахов Ю.В. Основы космической геодезии.- М.: Недра, 1976, 216 с.

36. Математическое обеспечение ЕС ЭШ. Пакет научных подпрограмм. Минск: Институт математики АН БССР, вып. 4, 1973.

37. Машимов М.М., Бойков В.В. Вопросы согласования основных постоянных, применяемых в астрономии и геодезии.- Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъёмка, 1975, № 2, с. 67-71.

38. Машимов М.М. Уравнивание геодезических сетей. М.: Недра, 1979, 367 с.

39. Медведев П.П. Методы и результаты спутниковой геодезии.

40. Итоги науки и техники. Геодезия и аэросъёмка.- М.: ВИНИТИ, 1980, т.16, 112 с.

41. Медведев П.П. Исследование гравитационного поля и фигуры Земли новыми средствами космической геодезии.- Итоги науки и техники. Геодезия и аэросъёмка.- М.: ВИНИТИ, 1980, т.17, 100 с.

42. Меллер И. Введение в спутниковую геодезию. М.: Мир, 1967, 367 с.

43. Мещеряков Г.А. О мультипольном представлении гравитационного потенциала.- Геодезия, картография и аэрофотосъёмка. Львов, 1974, Р 19, с. 63-72.

44. Мещеряков Г.А., Марченко А.Н. Мультипольное представление потенциала и возможности использования его в космической геодезии.- В сб;: Динамика движения искусственных спутников Земли.-М.: BATO, 1978, с. 49-50.

45. Мещеряков Г.А., Марченко А.Н. О многоточечных моделях геопотенциала?.-В кн.:Изучение Земли как планеты методами астрономии, геодезии и геофизики. Киев: Наукова думка, 1982, с. 121-131.

46. Насретдинов К.К. Анализ возможности определения геоцентрической гравитационной постоянной по различным видам траектор-ных измерений.- Геодезия и картография, 1981, Р 12, с. 12-17.

47. Основы спутниковой геодезии /Под ред. A.A. Изотова. М.: Недра, 1974, 320 с.

48. Основы теории полёта космических аппаратов /Под ред. Н.Г. Нариманова, М.К. Тихонравова. М. Машиностроение, 1972, 607с.

49. Остач О.М., Агаева И.Н. Аппроксимация внешнего гравитационного поля Земли моделью точечных масс.- В кн.: Изучение Земли как планеты методами астрономии, геодезии и геофизики. Киев: Наукова думка, 1982, с. I06-II4.

50. Парамзин A.B. К вопросу об уточнении геоцентрической гравитационной постоянной по наблюдениям ИСЗ.- М., 1983 , 7 с.

51. Рукопись представлена Моск. ин-том инж. геод., аэрофот. и карт. Деп. в ВИНИТИ I декабря 1983 г., Р 6471-83.

52. Парамзин A.B. Аппроксимация модели геопотенциала GEM40B последовательностью коэффициентов1полиномов заданного вида,-Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъёмка, 1984, № 4, с. 56-59.

53. Пеллинен Л.П. Геодезическое использование искусственных спутников Земли.- В сб.: Геодезия. Итоги науки.- М.: ВИНИТИ, 1967, с. 7-68.

54. Пеллинен Л.П. Исследование гравитационных полей и формы Земли, других планет и. Луны по наблюдениям космических аппаратов.- Итоги науки и техники. Исследование космического пространства." М.: ВИНИТИ, 1972, 180 с.

55. Пеллинен Л.П. Высшая геодезия. М.: Недра, 1978 , 264 с.

56. Пеллинен Л.П. Современное состояние и перспективы планетарных исследований гравитационного поля Земли.- В кн.: Изучение Земли как планеты методами астрономии, геодезии и геофизики. Киев: Наукова думка, 1982, с. 55-63.

57. Пеллинен Л.П., $литроченков В.Н. В Мезздународной ассоциации геодезии на Генеральной ассамблее МГГС.- Геодезия и картография, 1976, № 2, с. 65-69.

58. Петровская М.С. Обобщение ряда Лапласа в теории потенциала.- В сб.: Динамика движения искусственных спутников Земли.-М.: ВАГО, 1978, с. 47-48.

59. Плахов Ю.В. О разложении пертурбационной функции планеты.- Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъёмка, 1975, Р I, с. 31-34.

60. Плахов Ю.В. Исследования по усовершенствованию методов теории возмущённого движения, применяемых для решения задач космической геодезии: Дис;. доктора технических наук.- М.: 1976.

61. Плахов Ю.В. О роли точечного представления геопотенциала в астродинамике.- В кн.: Исследования по геодезии, 1978, № 3/1/, М.: МИИГАиК, с. 51-56.

62. Плахов Ю.В. Применение теории возмущений в космической геодезии. М.: Недра, 1983, 200 с.

63. Плахов Ю.В., Парамзин:A.B. Об аппроксимации возмущающей части геопотенциала многочленами заданного вида.- Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъёмка, 1984, Р 3, с. 61-66.

64. Плахов Ю.В., Парамзин A.B. Об определении; геоцентрической гравитационной постоянной методами космической геодезии.- Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъёмка, 1984, № 5* с. 46-53.

65. Плахов Ю.В., Стёпин Ю.Д., Парамзин A.B. Об унификации вычисления возмущений в движении спутников при решении задач космической геодезии.- Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъёмка, 1982, № 3, с. 67-74.

66. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике /Под ред. Г.Н.Дубошина. М.: Наука, 1976, 864 с.

67. Стандартная Земля. Геодезические параметры Земли на 1966г. /Под ред. К.Лунквиста и Г.Вейса. Пер.с англ. М.: Мир, 1969 , 278 с.

68. Стёпин Ю.Д. Совершенствование методики численного интегрирования орбит геодезических спутников: Дисс. канд. технических наук.- М.: 1982.

69. Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. М.: Наука, 1968, 800 с.

70. ТатевянтС.К. Динамические методы спутниковой геодезии.-В сб.: Наблюдения искусственных спутников Земли, 1973 /1974/, № 13, с. 184-189.

71. Уралов С.С. Общая теория методов геодезической астрономии. М.: Недра, 1973, 271 с.

72. Урмаев М.С. Орбитальные методы космической геодезии. М.: Недра, 1981, 256 с.

73. Устинов Г.А.,Допплеровские измерения и масштаб,- Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъёмка, 1975, № 3, с. 53-55.

74. Устинов Г.А., Капилевич Д.И. К вопросу определения геоцентрической гравитационной постоянной по спутниковым наблюдениям.- Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъёмка, 1983, № 2, с. 57-61.

75. Хемминг Р.В. Численные методы. М.: Наука, 1972 , 400 с.

76. Эльясберг П.Е. Введение в теорию полёта искусственных спутников Земли. М.: Наука, 1965, 539 с.

77. Эскобал П. Методы определения орбит /Пер. с англ. М.: Мир, 1970, 471 с.

78. Яцкив Я.С. Н овая система астрономических постоянных Международного астрономического союза MAC, 1976.- Астрометрия и астрофизика. Киев, 1978, № 34, с. 52-58.

79. Яшкин С.Н. Возмущения элементов орбиты ЙСЗ от тессераль-ных и секториальных гармоник геопотенциала.- Астрономический журнал, т.47, 1970, № 5, с. 37-41.

80. Ш Bursa М. Geodentricka gmv'itacni konstanta.- R\s>e hvezd,

81. B\. byrns D.h., Overs-tree.t G-.E. High |ргесл8>\оп With satellite laser ranging. Ind. Res. and DeveLop.,Ш0, Afir., |p-12.7- i29.52, Esposvto RB.,Ng A.T.X, Geocentric gravitational constant determined -from ^aeaarcxft radiometric data. Physics o fUie

82. Earth and PLanet. Inter., 1976, NM2,, j>.2&3-2£9.53, Everhart E. Implicit single-sequence methods fbr Integrations orbits» CelestiaL Mech., <0,4974, f>.35-56.

83. Gaposhkin E.M. Gravity -field determination from Laser observations. Phi I.Trans. Rog. S>oc. London, №77, A 284, NM326,p.515-527.

84. Khan MA Accuracy of the Earth s .gravity -field models. -Phgs.Earth,and PLanet.Inter., 49&3,31,№-3,^.231-240.

85. Kokurin Yu.I.? Kurhasov V.V., Lotanov V. F.,Sukhanovsky A.N. Lunar laser ranging system -for measuring distances with accuracy to 2Q cm. §>paoe. Rev/., vol. i7., Oxfcrd E. A.,1977, f>.77-&0.

86. Lerch EX, Klosko &.M., Laubsher R.Y, Wagner CJ\. Gravity modeL improvement using GEOS-3 (GEM9 and {0).-tj.Geojoh3&.Res., 84, B$, 1979, p.3897-3916.

87. Lerch- El, KLosko &.M., Pa-fceLG.B. A refined gravity model •from LAG-EOS (GEM L2), - Geophys. Res. Lett, I9&2, 9,p. 1263-126 e:

88. Earth models, for oceanographvc applicotions (&EM i0B and IOC). -Marine Geodesy, №(, 5,

89. Martin Oh l.H. Utilisation of satellite- satellite, tracking data -for determination of the cj eccentric gravitational constantiJ.Geophip.Res., <979, &4, Bfc, p. 3944-3950.

90. MeshoherLjakov G-. A. et at On the use of point mass models of (jeopoWtial -{or- orbit predictions.- Adv.¿pace. Res., i9&<, <,H-6,p,<-6.

91. Mi son K. Inaccuracy effect of gravitational parameter.

92. Acta Technics CSAV, <975, 20, p. 348-365.

93. Mison K. Consequences of mac.auracy of gravitational parameter value -for or Wits m the Earth's gravitational -field. -Acta Technica &S>AV, <977, 22,, p.7<S-730.

94. Morit!t H, Geocietia Reference System <9&0.-Bull.^eod., <9*0,54, №3, p. 395 405.

95. Muller RM., Sjorgen W.L. Information -from deep~s|*xce tracking. PhysicsTodaij, <989, 22,№-7, p.46-52,.

96. Petrovskaya M.&. A new form of representing the cjeopotetftial.-BuLL. GeodL, 1976,50, №-4, p.353-362.400. ¿mith "D.E. Recent advances in computational "techniques.-Repts.l)ep.Geod.^Lci,; <97&, №28>0; p.207~2H.

97. Weigktman 3.A. Gfavity, geodesy and artificial satellitest a unified analytical approach, in the Use o f Artificial ¿akliites For Geodesy, vol.2., MationaL Technical University, Athens,Greene, <967, p.467-4^6.

98. Wong S.K., Remhold 4.3. Earth-Moon mass ratio from Mariner 9 tadio tracking data.— Mature, <973, 241, January, p.«<-U2. \