Оптимизация траекторий космических аппаратов с электроракетными двигательными установками методом продолжения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.07.09, доктор технических наук Петухоа, Вячеслав Георгиевич

• Петухоа, Вячеслав Георгиевич
• доктор технических наук
• 2013

Оглавление диссертации доктор технических наук Петухоа, Вячеслав Георгиевич

СОДЕРЖАНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

1 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С ЭЛЕКТРОРАКЕТНОЙ ДВИГАТЕЛЬНОЙ УСТАНОВКОЙ

1.1 Уравнения движения космического аппарата с электроракетной двигательной установкой и методы их интегрирования

1.2 Математическая модель оптимальной траектории космического аппарата с идеально-регулируемым двигателем ограниченной мощности

1.3 Математическая модель оптимальной траектории космического аппарата с двигательной установкой ограниченной тяги

1.4 Заключение по разделу

2 МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ

2.1 Метод продолжения по параметру, его приложение к задачам оптимального управления и численная реализация

2.2 Заключение по разделу

3 ОПТИМИЗАЦИЯ МЕЖПЛАНЕТНЫХ ТРАЕКТОРИЙ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ С ИДЕАЛЬНО-РЕГУЛИРУЕМЫМ ДВИГАТЕЛЕМ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ

3.1 Численная реализация метода продолжения по краевым условиям

3.2 Ветвление решений и продолжение по гравитационному параметру

3.3 Численные примеры

3.4 Заключение по разделу

4 ОПТИМИЗАЦИЯ МЕЖПЛАНЕТНЫХ ТРАЕКТОРИЙ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ С ДВИГАТЕЛЯМИ ОГРАНИЧЕННОЙ ТЯГИ

4.1 Гомотопия между задачами с ограниченной мощностью и ограниченной тягой

4.2 Численные примеры

4.3 Заключение по разделу

5 ОПТИМИЗАЦИЯ МЕЖПЛАНЕТНЫХ ПЕРЕЛЕТОВ КА С МАЛОЙ ТЯГОЙ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ГРАВИТАЦИОННЫХ МАНЕВРОВ

5.1 Математическая модель гравитационного маневра

5.2 Метод продолжения для решения задачи межпланетного перелета КА с малой тягой при использовании гравитационного маневра

5.2.1 Граничные условия в начальной и конечной точках траектории

5.2.2 Условие оптимальности направления вектора отлетного гиперболического избытка скорости

5.2.3 Граничные условия в точке гравитационного маневра

5.2.4 Особенности метода решения краевой задачи

5.3 Численные примеры

5.4 Заключение по разделу

6 ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ОРБИТАМИ

6.1 Математическая модель

6.2 Методы решения краевой задачи

6.3 Численные результаты

6.3.1 Перелет между круговыми некомпланарными орбитами

6.3.2 Пространственный перелет с эллиптической орбиты на ГСО

6.3.3 Оптимальный разворот линии апсид

6.3.4 Квазиоптимальные межорбитальные перелеты с учетом влияния нецентральности гравитационного поля и тени Земли

6.3.5 Выведение на высокие эллиптические орбиты

6.3.6 Верификация численных результатов

6.4 Неосредненная задача оптимального быстродействия

6.5 Заключение по разделу

7 КВАЗИОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ДЛЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ НА ЗАДАННУЮ КРУГОВУЮ ОРБИТУ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

7.1 Особенности оптимальных по быстродействию перелетов между некомпланарными эллиптической и круговой орбитами со свободной линией апсид начальной орбиты

7.2 Расчет оптимальных траекторий на сетке значений радиусов перигея, апогея и наклонения начальной орбиты

7.3 Синтез квазиоптимального управления с обратной связью

7.4 Наведение на конечном участке перелета

7.4.1 Переопределение таблиц управления на конечном участке перелета

7.4.2 Использование таблиц характеристической скорости для определения степени близости оскулирующей орбиты к ГСО

7.4.3 Модификация алгоритма расчета параметров ориентации вектора тяги на конечном участке перелета

7.5 Устойчивость КОУСОС по отношению к ошибкам реализации вектора тяги

7.6 Универсальные таблицы характеристической скорости в проектно-баллистическом анализе комбинированных схем выведения на круговую конечную орбиту

7.7 Применение квазиоптимального управления с обратной связью для расчета траекторий перелета между круговыми околоземной и окололунной орбитами и к точке либрации Ы системы Земля-Луна

7.8 Применение квазиоптимального управления с обратной связью для расчета траекторий перелета к коллинеарным точкам либрации системы Земля-Солнце

7.9 Заключение по разделу

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ

ББ - базовый блок;

ВЭО - высокая эллиптическая орбита;

ГМ - гравитационный маневр;

ГСО - геостационарная орбита;

ду - двигательная установка;

ИР - идеально регулируемый;

КА - космический аппарат;

КОУСОС - квазиоптимальное управление с обратной связью;

МЛБ - многоразовый лунный буксир;

МПН - модуль полезной нагрузки;

МРТ - модуль рабочего тела;

ОДУ - обыкновенные дифференциальные уравнения;

оисз - орбита искусственного спутника Земли;

оисл - орбита искусственного спутника Луны;

ом - ограниченная мощность;

от - ограниченная тяга;

ПАО - приборно-агрегатный отсек;

ПО - промежуточная орбита;

РБ - разгонный блок;

РБО - радиционно-безопасная орбита;

РН - ракета-носитель;

СКО - среднеквадратическое отклонение;

СХРТ - система хранения рабочего тела;

СЭРДУ - солнечная электроракетная двигательная установка;

эду - энергодвигательная установка;

ЭРД - электроракетный двигатель;

ЭРДУ - электроракетная двигательная установка;

ЯЭРДУ - ядерная электроракетная двигательная установка;

ЯЭУ - ядерная энергоустановка;

со - аргумент перицентра;

¡л - гравитационный параметр притягивающего центра, О - долгота восходящего узла;

у- истинная аномалия; неопределенный множитель Лагранжа; т- параметр продолжения; р- плотность атмосферы; О - силовая функция гравитационного поля; сг- среднеквадратическое отклонение;

¡3— угол поворота вектора асимптотической скорости при гравитационном маневре; у/- угол рысканья: щ щ- функция переключения; 3 - угол тангажа;

5- функция включения двигателя (<5=1 или 0), к.п.д. ЭРДУ;

ф., /) = щр^х, Щ(х,

/1Р1 — гравитационный параметр планеты;

?!эду - удельная масса энергодвигательной установки;

а - большая полуось;

а - вектор возмущающего ускорения; вектор реактивного ускорения; а = Р/т - величина реактивного ускорения;

аТ, аг, ап - трансверсальная, радиальная и бинормальная проекции реактивного ускорения; А* - масштаб ускорения;

а-аего - ускорение от силы аэродинамического сопротивления;

ар - вектор возмущающего ускорения от притяжения удаленного небесного тела;

ядар - ускорение от светового давления;

ат0 - относительная масса системы хранения рабочего тела;

Ь - начальный вектор невязок краевой задачи;

с - скорость света;

Сс1 - коэффициент аэродинамического сопротивления; Ст - постоянная интегрирования; Е - единичная матрица;

е, ер - единичный вектор, направленный вдоль вектора тяги; е - эксцентриситет; элемент вектора неизвестных параметров краевой задачи; Е - эксцентрическая аномалия; Г - вектор невязок краевой задачи;

.Р— средняя плотность мощности светового потока от Солнца на удалении в 1 а.е.;

go = 9.80665 м/с2 - стандартное ускорение свободного падения; Н- гамильтониан;

к, ех, еу, ¡х, гу, ^ - равноденственные элементы;

Ь = [5/7(Х,0/ЭХ]/2;

г - наклонение;

/уД - удельный импульс тяги;

У - функционал задачи оптимального управления;

к — коэффициент отражения;

Ь* - масштаб длины;

т - масса КА,

М- средняя аномалия;

М* - масштаб массы;

трт - масса рабочего тела;

п - среднее движение;

Ые - электрическая мощность;

Щ - реактивная мощность;

Иг - число целых витков вокруг центрального тела; Р - величина реактивной тяги, р - световое давление; фокальный параметр;

Р = (а > А*»РеуРи' Р,у У - сопряженный вектор;

Рт, рх, Ру - сопряженные переменные к т, х и V соответственно;

0 - матрица поворота для учета вращения Земли и движения плоскости земного экватора; г - вектор положения КА;

г - удаление КА от притягивающего центра,

гр - вектор положения удаленного небесного тела;

гр - радиус перицентра пролетной планетоцентрической орбиты;

в - единичный вектор в направлении Солнце-КА;

5 - характерная площадь отражающей поверхности КА;

- характерная площадь КА для расчета аэродинамического сопротивления;

1 - время;

Т- длительность перелета; Т* - масштаб времени; Тт - моторное время;

и - возмущающая функция обусловленная нецентральностью гравитационного поля Земли,

v - величина орбитальной скорости КА;

У«, - вектор гиперболического избытка скорости;

V* - масштаб скорости;

V\ap, Ух - характеристическая скорость;

w - скорость истечения ЭРДУ

х - вектор, определяющий оскулирующую орбиту КА;

z - вектор неизвестных параметров краевой задачи;

Ир - гравитационная постоянная удаленного небесного тела;

Индексы:

со - асимптотический (относящийся к границе сферы действия); т- относящийся к текущему значению параметра продолжения; «+»- отлетный; «-» - подлетный;

О - относящийся к начальному моменту времени;

а, а- относящийся к апоцентру;

f, к- относящийся к конечному моменту времени;

GEO - относящийся к ГСО;

lamb - относящийся к решению задачи Ламберта;

max - максимальный;

min - минимальный;

р, п- относящийся к перицентру;

pi - относящийся к планете;

КА - относящийся к КА;

ОИСЛ - относящийся к орбите искусственного спутника Луны; ПО - относящийся к промежуточной орбите; РБО - относящийся к радиационно-безопасной орбите; ЭРДУ - относящийся к ЭРДУ;

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимизация траекторий космических аппаратов с электроракетными двигательными установками методом продолжения»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность применения электроракетных двигательных установок (ЭРДУ) для обеспечения космических транспортных операций с течением времени только возрастает. В самом деле, идея использования электрических ракетных двигателей (ЭРД) и их основного преимущества - высокого удельного импульса тяги - появилась еще в начале 20-го столетия [164, 165, 104]. Исследования возможности применения ЭРДУ для межорбитальных и межпланетных перелетов активно проводятся с начала 1950-х годов по настоящее время (хорошая библиография работ, опубликованных до середины 1970-х годов, приведена в [8]). Собственно электроракетные двигатели начали применяться на космических аппаратах (КА) начиная с 1960-х годов в экспериментальном режиме, а начиная с 1980-х - в составе штатных корректирующих двигательных установок геостационарных КА.

Однако, только с 1990-х годов ЭРДУ стали применяться собственно для межорбитальных и межпланетных перелетов. Первыми КА, использовавшими ЭРД для межорбитального перелета с некоторой промежуточной орбиты на ГСО стали КА на основе космической платформы HS-702 (BS-702), Artemis, AEHF-1, AEHF-2 [144, 116]. Первыми межпланетными КА с маршевой ЭРДУ стали КА Deep Space 1 (пролет астероида и 2 комет), Smart-1 (выведение на окололунную орбиту), Hayabusa (возврат грунта с астероида Итокава), Dawn (последовательный перелет на орбиты вокруг астероидов Веста и Церера) [87, 109, 145, 146]. В настоящее время на завершающей стадии разработки находятся КА с маршевой ЭРДУ BepiColombo (перелет на орбиту искусственного спутника Меркурия), Hayabusa-2 (возврат грунта с астероида), ведутся проектные работы по КА с маршевой ЭРДУ TS SM (перелет к Сатурну), «Интергелио-Зонд» (исследование Солнца с близкого расстояния и из внеэклиптических районов) и по другим КА [86, 156, 18].

Как с точки зрения приложений, так и с точки зрения используемых математических моделей можно выделить 3 существенно различных вида космических транспортных операций КА с ЭРДУ: межорбитальные перелеты, перелеты в условиях действия больших внешних возмущений (включая, в первую очередь, перелеты к Луне, к точкам либрации и другие задачи о перелете КА с малой тягой в задаче трех и более тел) и межпланетные перелеты. Все эти типы задач в той или иной степени рассмотрены в данной работе.

Типичные межорбитальные перелеты КА с ЭРДУ характеризуются крайне малым

отношением реактивного ускорения к гравитационному ускорению притягивающего центра

9

- обычно на уровне 10~5-10"4. В этих условиях траектории перелета содержат большое количество витков и решения задачи межорбитального перелета близки к асимптотическим (осредненным) решениям. В связи с этим, большинство задач межорбитального перелета КА с маршевой ЭРДУ вполне можно характеризовать как задачи перелета с малой тягой.

Задачи перелета к Луне и точкам либрации (как и другие сильновозмущенные задачи) характеризуются тем, что возмущающие ускорения соизмеримы, а часто и существенно превосходят управляющее реактивное ускорение. Наличие сильных возмущений приводит к специфическим особенностям траекторий перелета КА с ЭРДУ, что совместно с отсутствием (в отличие от случая движения в центральном ньютоновском поле) аналитического решения для пассивного движения КА, приводит к необходимости использования специфических методов для решения таких задач.

На межпланетных траекториях отношение уровня реактивного ускорения ЭРДУ к ускорению от притяжения Солнца в типичных задачах имеет порядок 0.01-0.2, поэтому следует говорить о задаче перелета не с малой, а с конечной тягой. На большой части траектории перелета возмущения слабы, поэтому для расчета межпланетных траекторий КА с ЭРДУ может эффективно применяться метод сфер действия, включая метод точечных сфер действия. Во многих случаях требуется рассмотрение задач перелетов по сложным маршрутам - либо для выполнения целевых задач КА (исследование нескольких небесных тел одним КА с пролетной траектории или с орбиты искусственного спутника, замкнутые перелеты) или для обеспечения возможности реализации транспортной задачи в условиях ограниченности ресурсов КА (гравитационные маневры). Следует отметить, что возможность использования гравитационных маневров рассматривается при анализе большинства современных проектов межпланетных КА с маршевой ЭРДУ [18, 86, 87, 97, 121,124,129-132, 145, 156, 158, 162, 163].

Прикладное значение задач расчета траекторий КА с малой тягой заключается в обеспечении проектно-баллистического анализа КА с ЭРДУ, подготовке исходных данных для проектирования систем КА (бортового комплекса управления, командно-измерительной системы, системы электроснабжения, ЭРДУ, системы обеспечения теплового режима и др.), разработки бортового и наземного программно-математического обеспечения для управления полетом, подготовки полетного задания, сопровождения полета КА с ЭРДУ и анализа телеметрической и целевой информации, полученной с КА.

Целью проектно-баллистического анализа является выбор основных проектных и траекторных параметров КА. Для достижения этой цели необходимо создание

соответствующего методического и программного обеспечения. Основой этого обеспечения являются:

• математическая модель движения КА, обеспечивающая вычисление траекторий КА с необходимой точностью при заданных начальных условиях, программе управления и значениях основных проектных параметров КА;

• проектная модель КА, позволяющая рассчитывать основные проектные параметры по ограниченному набору исходных данных, включающих характеристики средств выведения, тягу, удельный импульс и ресурс двигательной установки и т.д.;

• методы оптимизации траекторий КА.

На этапе проектно-баллистического анализа задачи оптимизации траекторий играют особую роль, что связано не только с естественным требованием достижения наилучших характеристик КА, но и с необходимостью достоверно оценивать влияние вариации различных проектных параметров КА на основные характеристики проекта. В самом деле, корректную оценку влияния вариации какого-либо проектного параметра на показатели качества проекта (масса полезной нагрузки, длительность перелета и т.д.) можно получить только при условии оптимальности вариантов траектории КА со сравниваемыми проектными параметрами. В противном случае разница в показателях качества может быть вызвана не изменением проектных параметров, а различной степенью неоптимальности траекторий в сравниваемых вариантах.

Задачи оптимизации траектории и основных проектных параметров во многих случаях не могут быть разделены, что приводит к необходимости решения задачи совместной оптимизации траектории и основных проектных параметров при проведении проектно-баллистического анализа. Траектории перелета КА по условиям движения, составу КА и применяемым для описания движения КА математическим моделям могут разделяться на участки. В этом случае необходимо проведение сквозной оптимизации траектории. Обычно существует множество траекторий, удовлетворяющих необходимым условиям оптимальности, поэтому необходимо разработка методического и программного обеспечения для локальной и глобальной оптимизации траекторий.

Традиционно методы решения задачи оптимизации траекторий подразделяются на

прямые и непрямые методы. При использовании прямых методов проводится некоторая

параметризация управления или разбиение траектории на малые участки с заданным видом

программы управления на каждом участке. В результате задача оптимизации траектории

сводится к задаче условной минимизации функционала в пространстве большой размерности

11

при наличии значительного числа ограничений, то есть к задаче нелинейного программирования большой размерности. Эта задача, в свою очередь, может решаться различными методами, наиболее распространенным из которых в настоящее время являются методы последовательного квадратичного программирования (SQP) и дифференциального динамического программирования (DDP) и их модификации: статическо-динамическое программирование (SDC), гибридное динамическое программирование (HDDP) и другие. Этот класс методов с успехом применяется к решению многих задач оптимизации траекторий КА с ЭРДУ [59, 60, 110, 111, 127, 159, 160]. Методы дифференциального динамического программирования и их модификации используют некоторые идеи принципа оптимальности Беллмана, поэтому, в ряде случаев, их можно отнести к классу гибридных методов. Другое большое семейство прямых методов использует различные модификации градиентного метода [8, 17, 123, 124]. Прямые методы обычно слабочувствительны к выбору начального приближения и, во многих вариантах, позволяют достаточно легко вводить в математическую модель движения ограничения на управление и фазовые координаты, а также менять состав самой модели движения включением в нее дополнительных возмущающих ускорений. Типичными недостатками прямых методов являются чрезвычайно большие требования к вычислительной производительности, невысокая скорость сходимости и, во многих случаях, невысокая точность, связанная с упрощенным моделированием динамики движения КА на отдельных участках траектории (во многих методах фактически используется схема интегрирования Эйлера, в некоторых других тяга ЭРДУ моделируется импульсным приращением скорости на малом участке траектории и т.д.).

В непрямых методах используются необходимые и/или достаточные условия оптимальности в классической вариационной форме, форме принципа максимума Понтрягина, условий оптимальности Беллмана или Кротова [1, 4, 7, 11, 22, 25, 30-38, 45-52, 58, 77-81, 91, 98, 102, 106-108, 133-135, 139, 147, 154]. При использовании непрямых методов в типичном случае задача оптимизации траектории сводится к решению краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Эта краевая задача решается либо каким-либо специфическим методом для решения краевых задач (например, методом стрельбы или квазилинеаризации), либо общими методами решения систем нелинейных уравнений (например, модификациями метода Ньютона-Рафсона или метода продолжения), либо методами минимизации взвешенной суммы невязок краевой задачи (например, вариантами градиентных методов). Непрямые методы обладают высоким быстродействием, хорошей (в типичном случае - квадратичной) скоростью сходимости и обеспечивают высокую точность вычислений. Однако, типичные непрямые методы имеют ограниченную

область сходимости и в связи с этим для их успешной работы требуется, как правило, выбор хорошего начального приближения для неизвестных параметров краевой задачи.

Наконец, разработано множество гибридных методов, сочетающих особенности прямых и непрямых методов, например [92, 126, 143], в которых необходимые условия оптимальности используются для параметризации управления через сопряженные переменные, но затем проводится прямая минимизация функционала методами нелинейного программирования. Основным стимулом для разработки гибридных методов является стремление совместить преимущества прямых и непрямых методов и избавиться от их недостатков.

Следует также отметить существование ряда специфических методов, основанных на линеаризации уравнений движения К А с ЭРДУ. Это широко известный метод транспортирующей траектории [4], его развитие для задач с произвольной угловой дальностью [50, 51], известное решение для линеаризованных в окрестности круговой орбиты уравнений движения КА с идеально-регулируемым двигателем [80], метод выбора управления на основе решения задачи линейного программирования [53]. Другим интересным направлением является использование обратных задач динамики с целью определения траекторий начального приближения [85, 128-132] и использование различных эвристических методов (генное программирование и т.д.) [158, 162, 163]. С помощью таких подходов в ряде задач удается построить эффективные эвристические алгоритмы глобальной оптимизации.

В настоящей работе рассматриваются задачи оптимизации траекторий КА с малой и конечной тягой с использованием непрямого метода, основанного на принципе максимума J1.C. Понтрягина [43]. Следует отметить, что всюду в дальнейшем в этой работе оптимальными называются траектории, удовлетворяющие необходимым условиям оптимальности принципа максимума, то есть экстремали Понтрягина. Принцип максимума позволяет свести бесконечномерную задачу определения оптимальных программ управления вектором тяги ЭРДУ КА к конечномерной краевой задаче небольшой размерности для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Таким образом, принцип максимума обеспечивает методическую основу для построения быстродействующих (по сравнению с прямыми методами) численных методов решения задач оптимального управления.

Однако, численным методам, основанным на применении принципа максимума свойственен и ряд существенных недостатков, к числу которых следует отнести:

- ограниченность области сходимости решения, что приводит к необходимости поиска хорошего начального приближения перед решением задачи оптимизации;

- высокую чувствительность траекторий к вариациям неизвестных параметров краевой задачи принципа максимума;

- отсутствие (в подавляющем большинстве случаев) информации о существовании и количестве экстремальных решений перед началом решения задачи;

- скачки в матрице частных производных от невязок краевой задачи по неизвестным параметрам краевой задачи при смене структуры программы управления на траектории (последовательности пассивных и активных участков в задачах оптимизации траектории с переключениями тяги), которые могут приводить к отказам численных методов решения задачи;

- сложность математической модели оптимального движения КА (совместной системы дифференциальных уравнений для фазовых и сопряженных переменных) для возмущенных задач оптимального управления, так как требуется вычисление частных производных от возмущающих ускорений по фазовым переменным в то время, как сами возмущающие ускорения часто необходимо вычислять не по конечным формулам а с помощью некоторых итерационных алгоритмов.

Перечисленные недостатки до настоящего времени являются основными причинами, по которым многие авторы предпочитают использовать прямые методы оптимизации траекторий КА с малой тягой. Как правило, при использовании прямых методов достаточно легко вводить в рассмотрение произвольные возмущающие факторы и проще обеспечить сходимость решения. Однако эти преимущества достигаются за счет значительного увеличения объема вычислений (а, следовательно, и времени вычисления - оно обычно на порядки больше, чем при решении непрямыми методами) и снижения точности решения задачи. При проведении проектно-баллистического анализа часто приходится вычислять сотни и тысячи оптимальных траекторий, поэтому вычислительная производительность применяемого метода является одной из важнейших его характеристик.

Последние достижения в прикладной вычислительной математике позволяют по-новому подойти к непрямым методам решения задач оптимального управления на основе принципа максимума и, в значительной степени исправить перечисленные выше недостатки построенных на их основе численных методов, сохраняя высокую вычислительную производительность и точность вычислений.

Например, для расширения области сходимости численного метода решения краевой задачи принципа максимума предлагается использовать метод непрерывного продолжения (или метод ньютоновской гомотопии), позволяющий формально редуцировать краевую задачу к задаче Коши. Различные варианты реализации такого метода, разработанные автором [30, 32-37, 133-135], являются основой настоящей работы. На основе этих методов разработаны методики, позволяющие оптимизировать отдельные типы задач без выбора начального приближения (точнее, при использовании тривиальных начальных приближений) для неизвестных параметров краевой задачи.

Как отмечалось выше, при решении задачи оптимизации траектории КА с малой тягой во многих случаях отсутствует априорная информация о существовании оптимального решения. Однако решение задачи о перелете КА с ЭРДУ ограниченной мощности (ОМ), которое существует для любых несингулярных краевых условий, во многих случаях дает достаточно информации о существовании решения аналогичной задачи для КА с ЭРДУ ограниченной тяги (ОТ). Поэтому предлагаемый в работе метод продолжения ОМ-решения в ОТ-решение во многих случаях позволяет решить вопрос о существовании ОТ-решения после вычисления ОМ-решения перед началом следующего этапа продолжения. В этой работе ОМ-задачей называется задача о перелете КА с идеально-регулируемым двигателем, когда ограничена только реактивная мощность струи ЭРДУ, а ОТ-задачей - задача о перелете КА с ЭРДУ, регулировочные характеристики которого зависят от потребляемой мощности (частным случаем ОТ-задачи является задача о перелете КА с ЭРДУ с нерегулируемой тягой и скоростью истечения).

Для снижения чувствительности траекторий к вариациям неизвестных параметров краевой задачи принципа максимума в ряде задач используется разбиение траектории на участки (например, между гравитационными маневрами) и предлагается специальная схема выбора состава неизвестных параметров краевой задачи.

Условия оптимальности траектории могут удовлетворяться на некотором множестве неизвестных параметров краевой задачи, причем каждому набору неизвестных параметров из этого множества будет соответствовать локально-оптимальная траектория, характеризующаяся определенным показателем качества (длительностью перелета, конечной массой КА и т.д.). Например, для многовитковых перелетов КА с постоянной тягой существует множество локальных экстремумов, соответствующих разной угловой дальности перелета. В работе предлагается метод продолжения по угловой дальности, позволяющий определять оптимальную угловую дальность для многовиткового перелета за минимальное

время, а следовательно, и глобальный экстремум.

15

Скачки в элементах матрицы чувствительности (частных производных от граничных условий по параметрам краевой задачи) из-за появления или исчезновения активных или пассивных участков являются одной из фундаментальных причин отказов традиционных численных методов при решении задачи оптимизации траектории с переключением тяги. В работе предлагается метод «естественного» сглаживания релейной функции тяги, основанной на свойствах функции переключения, обеспечивающий сглаживание скачков в элементах матрицы чувствительности и позволяющий, таким образом, надежно определять оптимальную структуру траектории.

Решение проблемы сложности вывода дифференциальных уравнений оптимального движения в возмущенных задачах уже было найдено в работе [71], где для определения правых частей дифференциальных уравнений для сопряженных переменных предложено использовать метод комплексного шага [113, 114, 152], который используется для высокоточного вычисления частных производных от гамильтониана по фазовым переменным. Таким образом, при использовании предложенного метода, для разработки математической модели оптимального управления в возмущенной задаче дополнительно требуется только создание алгоритмов для вычисления возмущающих ускорений, как и при использовании прямых методов. В работах автора [32, 133] представлен новый метод продолжения для решения задач оптимизации ОТ-траекторий с использованием метода комплексного шага для высокоточного вычисления матрицы частных производных от невязок краевой задачи принципа максимума по ее неизвестным параметрам.

Совокупность перечисленных новых разработок позволила существенно расширить область использования непрямых методов оптимизации и преодолеть типичные для них недостатки.

В настоящей работе основной акцент сделан на последовательном применении методов численного продолжения по параметру для решения разнообразных задач механики полета КА с ЭРДУ. К числу рассматриваемых задач относятся задачи оптимизации прямых межпланетных перелетов КА с двигателями ограниченной мощности или ограниченной тяги, межпланетных перелетов таких КА при использовании гравитационных маневров, многовитковых межорбитальных перелетов КА с ЭРДУ ограниченной тяги.

В результате работы удалось разработать комплекс методов численного продолжения для решения широкого спектра задач оптимизации траекторий КА с ЭРДУ с улучшенными характеристиками в части сходимости и быстродействия. В некоторых из этих методов используется тривиальное начальное приближение для неизвестных параметров краевой

задачи принципа максимума, то есть достигнута практическая автоматизация процесса определения решения.

Актуальность представляемой работы определяется:

• расширением области применения электроракетных двигательных установок (ЭРДУ) в современных и перспективных космических проектах,

• необходимостью дальнейшего развития механики космического полета с малой тягой как раздела механики,

• необходимостью разработки быстродействующих и устойчивых методов оптимизации и проектирования траекторий КА с ЭРДУ, которые могли бы быть использованы в практической работе проектных и баллистических подразделений предприятий-разработчиков КА и эксплуатирующих организаций.

Основными целями диссертационной работы является является повышение эффективности выполнения космических транспортных операций с использованием ЭРДУ, а также разработка и совершенствование теоретических и методических основ механики полета КА с ЭРДУ.

Достижение сформулированных целей потребовало решения следующих научно-технических задач:

- разработки математических моделей оптимального движения КА с ЭРДУ;

- разработки комплекса методов продолжения для решения задач оптимизации межпланетных и межорбитальных траекторий КА с ЭРДУ;

- исследования фундаментальных закономерностей оптимальных траекторий и оптимальных программ управления КА с ЭРДУ, включая проведение анализа зависимости основных характеристик оптимальных траекторий и программ управления вектором тяги ЭРДУ от граничных условий и основных проектных параметров КА;

- разработки на основе анализа свойств оптимальных траекторий устойчивого, близкого к оптимальному управления КА с ЭРДУ с обратной связью;

- разработки метода оптимизации комбинированных схем выведения КА с ЭРДУ на рабочие орбиты;

- разработки метода для расчета квазиоптимальных траекторий перелета КА с ЭРДУ к Луне и точкам либрации.

Метод проведения исследования - расчетно-теоретический. Для редукции задачи оптимизации траектории КА с ЭРДУ к краевой задаче для системы обыкновенных

дифференциальных уравнений используется принцип максимума Л.С.Понтрягина. Полученная краевая задача с помощью метода продолжения по параметру, основанного на ньютоновской гомотопии, сводится к задаче Коши, решение которой находится численным интегрированием вложенной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (внутренняя система - дифференциальные уравнения оптимального движения КА, внешняя система - дифференциальные уравнения метода продолжения). Для решения ряда задач оптимизации многовитковых межорбитальных перелетов используется метод осреднения. Для исследование свойств оптимальных траекторий и программ управления используется численное моделирование. Для синтеза квазиоптимального управления с обратной связью и метода оптимизации комбинированных схем перелета КА с ЭРДУ используются асимптотические свойства, симметрии и свойства подобия невозмущенных оптимальных траекторий. Для моделирования возмущенных траекторий используются методы численного интегрирования уравнений возмущенного движения и статистическое моделирование. При расчете межпланетных траекторий используется метод точечных сфер действия.

Объектом исследования являются траектории КА с ЭРДУ.

Предметом исследования являются математические модели оптимального движения КА с ЭРДУ.

Научная новизна полученных в работе результатов заключается в следующем:

1 Развита научная и методическая база для оптимизации межпланетных и межорбитальных перелетов КА с ЭРДУ. В частности, разработана серия новых вариантов метода продолжения, предназначенных для решения типовых задач оптимизации траекторий КА с ЭРДУ, включая

1.1 Метод продолжения по краевым условиям для решения задачи оптимизации траекторий КА с идеально-регулируемым двигателем ограниченной мощности;

1.2 Метод продолжения по гравитационному параметру для решения задачи оптимизации траекторий КА с идеально-регулируемым двигателем ограниченной мощности с заданной угловой дальностью;

1.3 Метод продолжения оптимальной траектории КА с идеально-регулируемым двигателем ограниченной мощности в оптимальную траекторию КА с двигателем ограниченной тяги;

1.4 Метод продолжения решения задачи Ламберта в оптимальную траекторию КА с двигателем ограниченной тяги;

1.5 Метод оптимизации траекторий КА с двигателем ограниченной тяги с гравитационными маневрами;

1.6 Метод продолжения для оптимизации осредненных многовитковых траекторий КА с двигателем ограниченной тяги;

1.7 Метод продолжения для оптимизации неосредненных многовитковых траекторий КА с двигателем ограниченной тяги с возможностью оптимизации угловой дальности перелета;

2 Проведен качественный анализ свойств экстремалей Понтрягина в задачах оптимизации многовитковых траекторий КА с двигателем ограниченной тяги, включая задачи минимизации времени перелета и минимизации затрат рабочего тела.

3 Разработан устойчивый, близкий к оптимальному метод управления с обратной связью, обеспечивающий перелет КА с двигателем ограниченной тяги по многовитковой траектории между некомпланарными эллиптической и круговой орбитами;

4 Разработан метод расчета квазиоптимальных траекторий перелета КА с двигателем ограниченной тяги к Луне и к точкам либрации.

Практическая значимость работы заключается в следующем:

1 Разработана научно-методическая основа для решения задач проектно-баллистического анализа КА с ЭРДУ, включая математические модели оптимального движения КА с ЭРДУ, численные методы оптимизации межпланетных и межорбитальных траекторий и результаты анализа свойств оптимальных траекторий КА с ЭРДУ.

2 На основе разработанных математических моделей и численных методов разработан комплекс программно-математического обеспечения для оптимизации межпланетных и межорбитальных траекторий.

3 На основе анализа свойств решений многовитковых траекторий КА с ЭРДУ и с использованием заранее рассчитанных массивов оптимальных решений, разработан новый, простой в применении метод для быстрой оптимизации основных параметров комбинированных схем выведения КА с ЭРДУ, в которых последовательно используются двигательные установки большой тяги для выведения КА на некоторую эллиптическую промежуточную орбиту, а затем ЭРДУ для довыведения КА с этой орбиты на целевую круговую орбиту, например, на ГСО.

4 Разработан новый, близкий к оптимальному, метод управления с обратной связью,

устойчивый к внешним возмущениям, к ошибкам в реализации вектора тяги ЭРДУ и к

19

ошибкам в определении текущих орбитальных параметров. Этот алгоритм содержит только простые регулярные вычисления, связанные с интерполяцией и тригонометрическими преобразованиями и может быть реализован в составе функционального программного обеспечения бортового комплекса управления КА.

5 Разработана новая инженерная методика для расчета перелетов КА с ЭРДУ к точкам либрации Ы и Ь2 системы Земля-Солнца, к точке либрации Ы системы Земля-Луна и на окололунную орбиту.

6 С использованием разработанных методов и программно-математического обеспечения проведен проектно-баллистический анализ ряда перспективных КА с маршевыми ЭРДУ («Диалог-Э», «Двина-ТМ», «Енисей-А1», «Интергелио-Зонд», «Лаплас», перспективные КА для лунной и марсианской пилотируемых программ и другие).

Достоверность полученных результатов подтверждается:

- использованием строгих математических методов при выводе уравнений разработанных методов оптимизации;

- сравнением решений, полученных в диссертации, с решениями, полученными другими методами и другими авторами;

- численным моделированием с использованием различных математических моделей движения.

Реализация результатов работы. Полученные теоретические, методические и практические результаты использовались при проведении научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ, в частности, в ОАО «ИСС им. акад. М.Ф. Решетнева», ФГУП «НПО им. С.А. Лавочкина», ФГУП «ГКНПЦ им. М.В. Хруничева», ФГУП «ОКБ Факел», в НИИ ПМЭ МАИ, ФГУП «ЦНИИмаш», МАИ.

Апробация работы проведена на множестве международных и российских конференций, включая 45-48,51,52,56,57,60-63 конгрессы Международной астронавтической федерации, 3 и 4 Российско-Германскую конференцию по электрическим ракетным двигателям и их применению (Штутгарт, Германия, 1994; Москва, 2012), 4 Международный симпозиум по программному обеспечению и методам астродинамики (1САТТ-4, Мадрид, Испания, 2010), 3 Европейскую аэрокосмическую конференцию по аэрокосмическим наукам (Е11СА88-2009, Версаль, Франция, 2009), 5 Международный аэрокосмический конгресс (Москва, 2006), 11 и 12 Международные научные конференции «Системный анализ, управление и навигация» (Евпатория, Украина, 2006; 2007),

Международный симпозиум по глобальной оптимизации траекторий (Нордвик, Нидерланды, 2006), 24 Международную конференцию по элетроракетным двигателям (1ЕРС-95, Москва, 1995), Научные чтения посвященные разработке творческого наследия К.Э. Циолковского (Калуга, 2006), Объединенные Научные Чтения по космонавтике (Москва, 1994; 1995; 2009), Международный симпозиум по оптимизации траекторий с малой тягой (ЬОТ118-2, Тулуза, Франция, 2002), 17 Международный симпозиум по динамике космического полета (КЭРБ-17, Москва, 2003), Глобальная конференция по использованию Луны (ОШС-2010, Пекин, КНР, 2010) и на других. Результаты работы представлялись на семинарах механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова, ИКИ РАН и кафедры 601 МАИ, на НТС НИИ ПМЭ МАИ, ЦНИИмаш и НПО им. С.А.Лавочкина.

Личный вклад и публикации. Все результаты, приведенные в диссертации, получены лично автором. Основные результаты опубликованы в 50 работах [13, 14, 18-21, 23,26, 28,30-42, 44, 74, 75,77, 96-98, 100, 102, 103, 106-108, 115, 118, 119, 121, 133-142, 166], из которых 12 [18-20, 23, 26, 31, 32, 34-36, 41, 42] - в изданиях из списка ВАК Минобрнауки России и 7 [21, 97, 98, 106, 115, 139, 166] - в иностранных рецензируемых изданиях.

На защиту выносятся:

1) Комплекс методов продолжения для оптимизации траекторий КА с ЭРДУ ограниченной мощности и ограниченной тяги, включая методы продолжения по конечным условиям, продолжения по гравитационному параметру, продолжения оптимальной ОМ-траектории в оптимальную ОТ-траекторию, продолжения решения задачи Ламберта в оптимальную ОМ- или ОТ-траекторию, метод продолжения для оптимизации траекторий КА с ЭРДУ с гравитационными маневрами, метод продолжения для оптимизации многовитковых траекторий межорбитального перелета.

2) Результаты качественного анализа свойств экстремалей Понтрягина в задачах оптимизации многовитковых траекторий КА с двигателем ограниченной тяги, включая задачи минимизации времени перелета и минимизации затрат рабочего тела.

3) Метод для быстрой оптимизации основных параметров комбинированных схем выведения КА с ЭРДУ.

4) Квазиоптимальный метод управления вектором тяги ЭРДУ на многовитковых межорбитальных перелетах.

5) Метод расчета квазиоптимальных перелетов КА с ЭРДУ к точкам либрации Ы и Ь2 системы Земля-Солнца, к точке либрации Ы системы Земля-Луна и на окололунную орбиту.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, семи глав, заключения и списка использованных источников. Диссертация содержит 223 страницы, 111 рисунков, 14 таблиц. Список использованных источников содержит 166 наименований.

1 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С ЭЛЕКТРОРАКЕТНОЙ ДВИГАТЕЛЬНОЙ УСТАНОВКОЙ

1.1 Уравнения движения космического аппарата с электроракетной двигательной установкой и методы их интегрирования

Дифференциальные уравнения невозмущенного движения КА с ЭРДУ в центральном ньютоновском гравитационном поле, записанные в инерциальной декартовой системе координат с началом в притягивающем центре, имеют вид

йГх и дР —г :+ —еп.

dt г3 т р

dm _ SP

dt w '

(1.1.1)

где x - вектор положения КА, t - время; ¡л - гравитационный параметр притягивающего центра, г=|х| - удаление КА от притягивающего центра, 8 - функция включения двигателя (<5=1 при включенной ЭРДУ и д=0 при неработающей ЭРДУ), Р - величина реактивной тяги, т - масса КА, ер - единичный вектор вдоль вектора тяги ЭРДУ, w - скорость истечения ЭРДУ. В качестве инерциальной декартовой системы координат обычно используется система координат J2000 или международная геоинерциальная система координат ICRS, определенная в конвенции 2003 года Международной службы вращения Земли и систем координат (IERS) [117] (система координат ICRS практически совпадает с J2000, отнесенной к среднему экватору и равноденствию на 1.5 января 2000 г., поворот ICRS относительно J2000 не превышает 0.023 угловых секунд). При рассмотрении геоцентрического движения КА основная плоскость инерциальной системы координат совпадает с плоскостью среднего геоэкватора в эпоху 1.5 января 2000 г., а при рассмотрении гелиоцентрического движения - с плоскостью эклиптики в эту же эпоху. Основная ось обеих систем координат направлена в среднее равноденствие эпохи, таким образом переход между эклиптической и экваториальной системами координат определяется поворотом вокруг оси х на угол s наклона плоскости среднего геоэкватора к эклиптике в эпоху. Система уравнений движения

КА в виде (1.1.1) в даинной работе используется, в основном, для анализа гелиоцентрических траекторий с малой тягой в рамках метода точечных сфер действия при относительно небольшой угловой дальности перелета, хотя для ряда тестовых задач при использовании этой системы были получены оптимальные траектории с угловой дальностью 50-100 витков.

На практике, для уменьшения вычислительной ошибки при численном интегрировании уравнений движения КА, обычно используются уравнения движения в безразмерных переменных. Для гелиоцентрических траекторий в качестве масштаба длины обычно используется 1 а.е., а в качестве масштаба скорости - круговая скорость орбитального движения на гелиоцентрическом удалении 1 а.е. Для геоцентрических траекторий в качестве масштаба длины обычно используется радиус начальной или конечной орбиты КА (в частности, в данной работе при анализе перелетов на ГСО в качестве масштаба длины использовался радиус ГСО), а в качестве единицы скорости - скорость орбитального движения по круговой орбите с радиусом, равным масштабу длины. При выбранных таким образом масштабах длины Ь * и скорости V*, масштаб времени становится равным Т* = Ь */¥*, а масштаб ускорения - А * = ¥*/Т*. В качестве масштаба массы обычно принимается начальная масса К А то: М* = то- В введенных таким образом переменных гравитационный параметр притягивающего центра равен 1 и уравнения движения КА (1.1.1) принимают вид:

и X 1 6Р

—г 1 —гх + —е„.

Л2 гъ т р'

йт _ дР

Ж '

(1.1.2)

Разумеется, при анализе многовитковых перелетов более высокую точность и вычислительную производительность обеспечивают уравнения движения в оскулирующих элементах. Для анализа невозмущеннных многовитковых траекторий КА с ЭРДУ используются уравнения движения в равноденственных элементах [61]:

dh dt

dt m %

dt h dm _ dt

(1.1.3)

dm

dt w

где & - угол тангажа (угол между проекцией вектора тяги на плоскость оскулирующей орбиты КА и трансверсальным направлением), ц/ - угол рысканья (угол между вектором тяги

фокальный параметр, е - эксцентриситет, со - аргумент перицентра, i - наклонение, Q -долгота восходящего узла, v - истинная аномалия, % = 1 + ех cos F + еу sin F,

г] = ix sin F - iy cos F, (p = 1 + i\ + i y.

Система (1.1.3) используется в данной работе при оптимизации невозмущенных геоцентрических траекторий, в частности для анализа свойств оптимальных траекторий в центральном гравитационном поле, построении алгоритма быстрой оценки основных характеристик оптимальных многовитковых геоцентрических перелетов при проведении проектно-баллистического анализа и для синтеза квазиоптимального управления с обратной связью.

Для анализа возмущенного геоцентрического движения КА с ЭРДУ используются дифференциальные уравнения движения в геоинерциальной декартовой системе координат J2000 или ICRS в виде:

и плоскостью оскулирующей орбиты КА),

d2x

dt2 r3 dm _ SP dt w

2 „3

~ л i i « i

г дх m

SP

p

(1.1.4)

где Q - матрица поворота для учета вращения Земли и движения плоскости земного экватора, представляющая собой произведение матриц прецессии, нутации, матрицы движения небесного промежуточного полюса и матрицы собственного суточного вращения Земли; U - возмущающая функция обусловленная нецентральностью гравитационного поля Земли, а - другие возмущающие ускорения (ускорение от притяжение Луны, Солнца и планет; ускорение от светового давления; аэродинамические ускорения). Уравнения движения в форме (1.1.4) используются в данной работе при вычислении геоцентрических траекторий межорбитального перелета, траекторий перелета к Луне и к точкам либрации с квазиоптимальным управлением с обратной связью.

В настоящей работе использовались определения систем координат и времени IERS и Международного астрономического союза (IAU). При проведении расчетов для преобразования систем координат использовалась библиотека программ IAU SOFA (Standards of Fundamental Astronomy, [155]).

Возмущающие ускорения обусловленные нецентральностью гравитационного поля Земли вычислялись в гринвичской геоцентрической системе координат как производные от возмущающей функции U, представленной в виде разложения в ряд по сферическим функциям. Для вычисления этих производных использовался алгоритм Каннингэма [70]. Модель гравитационного поля содержит согласованные числовые значения гравитационного параметра, экваториального радиуса Земли и коэффициентов разложения геопотенциала. В данной работе использовались модели гравитационного поля Земли JGM-2 (разработана в NASA Goddard Space Flight Center совместно с Ohio State University, University of Texas at Austin в 1993 г.), EGM-96 (разработана в NASA Goddard Space Flight Center (GSFC), the National Imagery and Mapping Agency (NIMA) и the Ohio State University в 1996 г.) и ПЗ-90 (государственная геоцентрическая система координат, использующаяся в целях геодезического обеспечения орбитальных полетов и решения навигационных задач). Модели большой размерности при использовании в данной работе усекались до слагаемых 70 степени и порядка, а на практике степень и порядок разложения геопотенциала выбирались различными в разных задачах.

Возмущающие ускорения от притяжения удаленных небесных тел вычислялись следующим образом: если ¡лр - гравитационная постоянная удаленного небесного тела

(Луны, Солнца или планеты), г - вектор положения КА, гр - вектор положения удаленного небесного тела, тогда вектор возмущающего ускорения, вызванного гравитационным воздействием этого небесного тела, вычисляется по формуле:

/

аР =/v

rP~r гР

I3 г3 г - г гр

VI р I У

Для вычисления координат небесных тел гр использовалось эфемеридное программно-математическое обеспечение 1РЬ ВЕ403/Т)Е405 [153]. Это же обеспечение использовалось и для определения координат и компонент скорости небесных тел для их использования в краевых условиях при вычислении межпланентных траекторий, траекторий перелета к Луне и точкам либрации, а также при вычислении светотеневой обстановки на планетоцентрических траекториях.

При решении ряда задач на геоцентрических траекториях учитывалась сила аэродинамического сопротивления. Величина ускорения от силы аэродинамического сопротивления рассчитывалась по формуле:

а =с ^

т

где Cd - коэффициент аэродинамического сопротивления, р - плотность атмосферы, v -величина орбитальной скорости КА, Sm - характерная площадь КА, т - масса КА.

Предполагается, что сила аэродинамического сопротивления направлена против вектора орбитальной скорости КА, то есть собственное движение атмосферы не учитывается.

Для расчета плотности атмосферы р используется динамическая модель верхней атмосферы MET (NASA Marshall Engineering Thermosphere model) [125, 149], основанная на модели верхней атмосферы Яккиа.

В ряде случаев на траекторию КА существенное воздействие оказывает световое давление потока солнечного электромагнитного излучения. При проведении расчетов использовалась упрощенная модель вычисления силы светового давления, в рамках которой КА представлялся в виде пластины, ориентированной нормалью по направлению к Солнцу. В этом случае отраженная и поглощенная части светового излучения создают компоненты силы, действующие в одном и том же направлении - вдоль внутренней нормали к пластине, совпадающим с антисолнечным направлением (диффузная составляющая отраженного светового потока не учитывалась). Эта модель является достаточно обоснованной, так как

большую часть площади КА с маршевой солнечной ЭРДУ составляют панели солнечных батарей, внешняя нормаль которых номинально направлена на Солнце. Модель КА в виде плоской пластины, нормально ориентированной к Солнцу, динамически эквивалентна модели КА в виде сферы с равной площадью миделева сечения и традиционно используется в баллистических расчетных моделях.

(■\ 9

Световое давление (р = 4.56-10" Н/м ) на удалении в 1 а.е. вычисляется какр = Г/с, где Р = 1366.1 Вт/м - средняя плотность мощности светового потока от Солнца на удалении в 1 а.е., с = 299792458 м/с - скорость света.

В рамках принятых допущений, ускорение от светового давления вычисляется в виде:

г т

где 5 - характерная площадь отражающей поверхности КА (для КА с солнечной маршевой ЭРДУ эта площадь примерно равна площади солнечных батарей), т - масса КА, г -гелиоцентрическое удаление КА в а.е., коэффициент отражения (0 < к < 1), в - единичный вектор в направлении Солнце-КА.

При проведении моделирования возмущенного управляемого движения учитывается возможность полного или частичного затенения КА Землей и Луной. Для расчета освещенности применяется как цилиндрическая, так и коническая модель тени. При использовании конической модели степень освещенности вычисляется как отношение незакрытой Луной и Землей части площади солнечного диска к его полной площади. При расчете силы светового давления вышеприведенная формула для вектора ускорения от светового давления умножается на степень освещенности для учета влияния тени/полутени. Смещение геометрического центра незатененной части солнечного диска, вызванное его частичным затенением, вообще говоря, приводит к незначительному отклонению направления вектора светового давления от направления Солнце-КА. Влияние этого отклонения считалось пренебрежимо малым и в расчетах не учитывалось.

При расчете теневых и полутеневых участков принималось допущение о сферической форме Солнца, Земли и Луны. Координаты Солнца и Луны вычислялись с использованием эфемеридного обеспечения (эфемериды Л>Ь БЕ403ЮЕ405), радиус Солнца принят равным 695992 км, Земли - 6378.137 км, Луны - 1738 км. Атмосферная абберация при расчете тени Земли не учитывалась.

Математическая модель теневых участков используется при не только при расчете ускорения от светового давления, но и для учета более существенного эффекта: отключения ЭРДУ при пересечении КА зоны тени в случае, если источником мощности для ЭРДУ является солнечная энергоустановка, а аккумуляторные батареи для обеспечения функционирования ЭРДУ в тени не используются. В этом случае полагалось, что ЭРДУ не может функционировать в периоды движения К А внутри конуса полутени.

Интегрирование рассмотренных систем дифференциальных уравнений движения КА (1.1.1)-(1.1.4) в большинстве случаев проводилось методом Дормана-Принса 7(8) порядка с адаптивным шагом или экстраполяционным методом Грегга-Булирша-Штера (ГБШ) СЮЕХ/СЮЕХ2 с комбинированным управлением длиной шага и порядком [82]. Выход из интегрирования производился либо при достижении заданного момента времени, либо при обращении одной из заданных функций выхода в нуль. Для этого, после завершения расчета каждого шага интегрирования производилась проверка смены знака функций выхода и производных от функций выхода по времени. Алгоритм поиска нуля функции выхода на выполненном шаге запускался в 2 случаях:

1) в случае обнаружения смены знака функции на выполненном шаге интегрирования и

2) в случае смены знака производной от функции выхода на выполненном шаге интегрирования, означающем наличие минимума или максимума функции выхода на этом шаге, и при условии положительности функции выхода в начале шага интегрирования, если значение производной от этой функции на шаге меняется с отрицательного значения на положительное или при отрицательном начальном значении функции выхода при смене знака производной с плюса на минус. В этом случае определялось значение времени (* на шаге интегрирования, в котором достигается экстремум функции выхода и значение этой функции в экстремальной точке. Если знак функции выхода в экстремальной точке отличается от знака этой функции в начале шага интегрирования, то запускается алгоритм поиска нуля функции выхода на отрезке от начала шага интегрирования до 1*.

Поиск корней функций выхода осуществляется комбинацией метода золотого сечения и модифицированного метода Ньютона. При определении значений функций выхода для вычисления текущих фазовых координат КА использовался интерполяционный полином Дормана-Принса на последнем выполненном шаге интегрирования [82]. При наличии нескольких функций выхода, определяются нули всех функций и выход производится в

момент достижения первого нуля. Следует отметить исключительную важность реализации приведенного алгоритма, позволяющего обрабатывать случаи двойной смены знака функции выхода на шаге интегрирования, для задачи оптимизации траекторий с переключениями тяги. Эта важность связана с необходимостью, как будет в дальнейшем показано, точного определения неизвестных параметров краевой задачи, при которых происходит смена структуры траектории, то есть рождение или исчезновение активных или пассивных участков.

1.2 Математическая модель оптимальной траектории космического

аппарата с идеально-регулируемым двигателем ограниченной мощности

Рассмотрим задачу оптимизации траектории КА с идеально-регулируемым двигателем ограниченной мощности следуя, в основном, работам автора [30, 32, 33, 35, 37, 38, 74, 75, 102, 133, 134, 139].

Идеально-регулируемый (ИР) двигатель является математической моделью электроракетного двигателя (ЭРД). В этой модели предполагается, что на удельный импульс и тягу ЭРД накладывается единственное ограничение - механическая мощность реактивной струи ЭРД считается заданной. В рамках указанного ограничения удельный импульс и тяга ИР-двигателя могут произвольно изменяться. Оптимизация траекторий КА с ИР-двигателем рассматривалась во многих работах, например [4, 8, 15, 50, 51, 68, 73, 83, 84, 101, 120, 154]. С известной долей смелости можно утверждать, что задача оптимизации траекторий КА с ИР-двигателем играет в механике космического полета и в теории оптимального управления роль, аналогичную ограниченной задаче трех тел в небесной механике и аналитической динамике. Дифференциальные уравнения этой задачи, как и уравнения ограниченной задачи трех тел, имеют красивую симметричную форму и не интегрируются в квадратурах. Многообразие частных решений обеих задач, наряду с их относительной простотой, симметричностью и гладкостью, привело к тому, что задача оптимизации перелетов КА с ИР-двигателем стала своеобразным «пробным камнем» для новых приближенных методов решения задач оптимального управления, как задача трех тел - для методов аналитической динамики.

С практической точки зрения, модель ИР-двигателя, не будучи в большинстве случаев достаточно обоснованной с технической точки зрения ввиду сложности реализации регулирования ЭРД в большом диапазоне по удельному импульсу и массовому расходу,

позволяет, тем не менее, определять нижнюю оценку требуемых энергетических затрат на решение рассматриваемой транспортной задачи. Кроме того, в последнее время появляются проекты ЭРД с характеристиками, близкими к ИР-двигателю. Таким, в частности, является проект магнитно-плазменного двигателя УАБШЯ [68,69], использование которого в настоящее время рассматривается как для автоматических межпланетных КА, так и для пилотируемой экспедиции к Марсу.

Другой причиной интереса к задаче оптимизации траекторий КА с ИР-двигателем является возможность использования ее решений в качестве начального приближения для решения более сложных задач оптимизации траекторий КА, имеющих двигатели с более реальными регулировочными характеристиками [32, 33, 37, 38, 133, 139].

В дальнейшем задачу оптимизации траектории КА с ИР-двигателем ограниченной мощности будем называть ОМ-задачей.

Реактивная мощность ЭРДУ Ц равна половине произведения тяги Р на скорость истечения м>\

Ы;=Рм>/2, (1.2.1)

С другой стороны, реактивная мощность может быть представлена как произведение к.п.д. электроракетной двигательной установки щр$ на потребляемую ЭРДУ электрическую мощность Ые. И г)ерз, и Ые могут зависеть от вектора положения КА х и времени I. Зависимость электрической мощности ЭРДУ от фазовых координат КА и времени обычно связана с типом бортовой энергоустановки КА и с эффектами деградации характеристик энергетической и двигательной установок. Наиболее распространенные типы бортовых энергоустановок К А основаны на солнечных и ядерных источниках энергии. Электрическая мощность солнечной энергоустановки зависит от гелиоцентрического удаления КА, а мощность ядерной энергоустановки обычно принимается постоянной. Предварительный баллистический анализ перелетов КА с ЭРД, как правило, проводится в предположении постоянства к.п.д. ЭРД, поэтому случаю переменной электрической мощности соответствует использование солнечной электроракетной двигательной установки (СЭРДУ), а случаю постоянной реактивной мощности - использование ядерной электроракетной двигательной установки (ЯЭРДУ). Другой причиной изменения электрической мощности ЭРДУ является деградация характеристик бортовой энергоустановки и двигателей. Поэтому, в общем случае, Ц также зависит от х и Г. Следовательно,

Щ = т](х, Щ0, 31

где т](х, г) =т]ерь(\, Цо = /оЖ-(хо, 'о) - начальная реактивная мощность, х0 -

начальный вектор положения КА и ¿о - начальное время. Учитывая зависимость Р = -тм>, где т - масса КА, дифференциальное уравнение для массы КА примет вид:

dm _ Р2 _ т2а2 ~dt~~WJ~~2N]0r1{x,ty (L2'2)

где а = Р/т - величина реактивного ускорения.

Уравнение (1.2.2) имеет следующее решение:

где

■W-H^* с-2-4)

2 ^ ^(х,/)

- функционал (показатель качества) ОМ-задачи.

В случае, если движение КА происходит в потенциальном внешнем поле с силовой функцией О, векторы положения х и скорости V КА удовлетворяют дифференциальным уравнениям:

с1х с!\ ^ /л п ^

—-= — = Пх+а, (1.2.5)

ш м

где - силовая функция (О = 1/|х| для центрального ньютоновского поля в безразмерных координатах) и а: а = |а| - вектор реактивного ускорения.

Применяя принцип максимума к задаче оптимального управления (1.2.2), (1.2.4), (1.2.5), имеем следующий гамильтониан:

2/7

1 +

^о у

+ + (1.2.6)

где рт, рх, ру - сопряженные переменные к т, х и V соответственно, а = |а|. Следовательно, из условия максимума (1.2.6) по а, оптимальное управление имеет вид:

(1-2-7)

М^+т Рт

а уравнения оптимального движения -

ах

Ж2

с1т Ж

лг

= п. +

+т Рл

у

г/Ы.0т2р2у

2Ко

+ т р1

= Оиру +

Ф™ _ Чм^тРтр1

Г

дт]

+ т р1

Л Ко

+ т р1

Г

(1.2.8)

Эта система имеет первый интеграл

А

сИ

(т2Рт)=2трт^ + т2^ = 0^т2рт=Сп ш ш

Ф»

(1.2.9)

Следовательно, если масса КА свободна на какой-либо границе (например, в конечной точке), то рт = 0 в этой точке вследствие условий трансверсальности [5, 43] и Ст = 0 (и поэтому рт(/)=0 вследствие (1.2.9)). В этом случае дифференциальные уравнения для х и ру не зависят оттирт, а дифференциальное уравнение для т не зависит отрт. Таким образом, система (1.2.8) может быть разделена на независимые динамическую (уравнения для х и ру) и параметрическую (уравнение для массы КА) части если т свободна по крайней мере в одной граничной точке. Это свойство ОМ-задачи было открыто Ирвингом [15, 84] полвека назад. Следует отметить, что декомпозиция задачи оптимального управления на динамическую и параметрическую части невозможна в достаточно экзотическом случае, когда имеются ограничения на массу К А на обоих концах траектории.

Принимая во внимание указанную декомпозицию задачи, уравнения для динамической части можно записать в виде:

£±

л2

= ПХ +?7РУ,

Л2 2 дх )

(1.2.10)

где ру = |ру|. Уравнение для массы имеет вид:

йт Г]т2р1

<И

2Ы

(1.2.11)

и масса КА может быть вычислена из (1.2.3) с использованием (1.2.4), (1.2.7) после решения (1.2.10). Большинство авторов используют этот подход. Однако, рассмотрение гомотопии

33

между ОМ-задачей и задачей с ограниченной тягой (ОТ-задачей) требует использования полной системы (1.2.8).

Уравнения (1.2.8) должны быть дополнены краевыми условиями. В рамках допущений метода точечных сфер действия, типичные начальные условия для гелиоцентрического участка межпланетной траектории имеют вид

х(/о) = х0(/0), y(to) = v0(/o), m(t0) = т0 (1.2.12)

если гиперболический избыток скорости у планеты отправления равен нулю или

x(t0) = Xo(to), v(/0) = v0(/0)+ KooPvo/fvo, m(to) = m0 (1.2.13)

в противном случае. Здесь хо, vo - векторы положения и скорости планеты отправления соответственно, /о - заданное время отправления, то - начальная масса KA, pvo = Pv('o), Pvo~|Pvo|- Второе уравнение (1.2.13) получено из хорошо известного условия трансверсальности [1] (в разделе 5.2.2 это условие будет проанализировано подробнее).

Типовые конечные условия соответствуют сопровождению или пролету. Для задачи сопровождения эти условия имеют вид:

x(tf) - Xj(tf) = О, V(//) - Vjitf) = О, (1.2.14)

а для пролета граничные условия и условия трансверсальности имеют вид:

x(tf) - xj{tf) = 0, pv({/) = 0. (1.2.15)

Здесь х/, vf - векторы положения и скорости планеты прибытия соответственно, tj- заданное время прибытия.

1.3 Математическая модель оптимальной траектории космического аппарата с двигательной установкой ограниченной тяги

ОМ-задача использует идеализированную математическую модель ЭРДУ. Как было отмечено выше, задача о перелете КА с ЭРДУ ограниченной тяги (далее - ОТ-задача) существенно реалистичнее. При ее описании будем следовать работам автора [32, 133] В рамках ОТ-задачи принимается, что реактивная мощность является функцией от положения КА и времени, а тяга Р и скорость истечения - функциями от реактивной мощности:

ЛГ, (1.3.1)

Р = Р[г){хД, (1.3.2)

= 4/М] (1.3.3)

Выражения (1.3.1), (1.3.2) и (1.3.3) определяют математическую модель регулировочных характеристик энергодвигательной установки, то есть зависимость доступной для ЭРДУ мощности, тяги и скорости истечения от условий полета КА (фазовых координат и времени). Частным случаем ОТ-задачи является, например, задача о перелете с заданными постоянными значениями тяги и скорости истечения.

Уравнения движения КА с ЭРДУ во внешнем потенциальном поле с силовой функцией О в рамках ОТ-задачи имеют вид:

с/х с/у Р с/т „Р ,,

— = V, — = ах + ^ — е, = —, (1.3.4)

ш т т ш м>

где 3- функция тяги (д= 1 во время работы двигателя 3= 0 во время пассивного движения), е - единичный вектор, направленный вдоль вектора тяги.

Рассмотрим задачу минимизации затрат рабочего тела, то есть задачу минимизации функционала:

Л = [д-сИ. (1.3.5)

Л -ц/

Гамильтониан задачи оптимального управления имеет вид:

н = -3- + р]у + р10х+3-р1е-3рт-, (1.3.6)

м> т м/

где рх = Ру, и рт- переменные, сопряженные к х, v и т соответственно.

Оптимальное управление может быть получено из максимизации гамильтониана (1.3.6) по управлению е и 5:

е = — (1.3.7)

«. [1. ¥ > 0

д = { У (1.3.8)

[О, щ<0

где ц/- функция переключения,

Заключение диссертации по теме «Динамика, баллистика, дистанционное управление движением летательных аппаратов», Петухоа, Вячеслав Георгиевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенных исследований решена научная проблема разработки эффективных методов оптимизации траекторий КА с ЭРДУ, имеющая важное значение для космической техники.

В диссертации разработана математическая модель, описывающая оптимальное движение КА с ЭРДУ и основанная на использовании необходимых условиях оптимальности принципа максимума. Эта математическая модель позволяет анализировать и проектировать траектории КА с идеально-регулируемым двигателем ограниченной мощности и КА с двигательной установкой ограниченной тяги. Введена математическая модель регулировочных характеристик двигателей ограниченной тяги и источника мощности идеально-регулируемого двигателя. Получены уравнения оптимального движения и приведены типовые краевые условия для задач оптимизации траекторий КА с малой тягой.

Развит численный метод продолжения по параметру, основанный на ньютоновской гомотопии между системой нелинейных уравнений краевой задачи принципа максимума и системой нелинейных уравнений с известным решением. Метод позволяет формально редуцировать краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений к задаче Коши, при этом требуется интегрирование вложенных систем дифференциальных уравнений.

Рассмотрены два варианта метода продолжения: с продолжением только по невязкам краевой задачи и с дополнительным погружением рассматриваемой динамической системы в однопараметрическое семейство, зависящее от параметра продолжения.

Проанализированы различные варианты вычисления матрицы частных производных от невязок краевой задачи по ее неизвестным параметрам. Проведен сравнительный анализ эффективности трех различных методов вычисления этих производных: конечно-разностного метода, метода совместного интегрирования дифференциальных уравнений для элементов матрицы чувствительности с уравнениями оптимальной системы и метода комплексного шага. Показаны преимущества метода комплексного шага.

В работе рассмотрены задачи оптимизации и проектирования межпланетных, межорбитальных траекторий и траекторий перелета к Луне и к точкам либрации.

Межпланетные перелеты.

Разработаны варианты метода продолжения по параметру, которые продемонстрировали свою эффективность для оптимизации траекторий КА с идеально регулируемыми двигателями ограниченной мощности. Метод продолжения по краевым условиям и метод продолжения по гравитационному параметру взаимно дополняют друг друга, позволяя, с одной стороны, варьировать основные проектно-баллистические параметры (дату старта, величину начального гиперболического избытка скорости, продолжительность и угловую дальность перелета), а с другой - использовать тривиальные начальные приближения (например, пассивное движение вдоль орбиты планеты отправления).

Разработанные численные методы непрерывного продолжения были реализованы в ряде программных средств, которые поддерживают оптимизацию ОМ-траекторий в задачах сопровождения и пролета больших планет Солнечной системы, астероидов, комет и небесных тел, определенных пользователем. Типичная оптимизация траектории при использовании разработанных программных средств включает, во-первых, применение метода продолжения по гравитационному параметру для оптимизации траекторий в широком диапазоне по датам старта, времени перелета и угловой дальности. Затем наиболее интересные траектории анализируются с использованием метода продолжения по краевым условиям для анализа зависимости характеристик траектории от начального гиперболического избытка скорости, времени старта и длительности перелета. Одной из основных задач разработанного программно-математического обеспечения является подготовка данных для продолжения ОМ-задачи в ОТ-задачу.

Разработанные методы и программные средства с успехом использовались для оптимизации траекторий КА с постоянной (ЯЭРДУ) и переменной (СЭРДУ) реактивной мощностью, для задач пролета и сопровождения, для центрального гравитационного поля и для задачи трех тел. Реализованные в программных средствах методы продолжения использовались для оптимизации как относительно простых перелетов с малой угловой дальностью, так и многовитковых перелетов; для определения оптимальных траекторий с изменением направления орбитального движения и траекторий с гравитационными маневрами; для оптимизации траекторий между небесными телами с большими эксцентриситетами и наклонениями.

Разработанные методы и программно-математическое обеспечение позволяют оптимизировать практически любые представляющие интерес межпланетные траектории КА с ИР-двигателем ограниченной мощности.

Разработан эффективный численный метод продолжения для оптимизации ОТ-траекторий. В качестве начального приближения для этого метода используется оптимальная

ОМ-траектория. При использовании разработанных методов для последовательного решения задач оптимизации ОМ- и ОТ-траекторий, типичные гелиоцентрические траектории с ограниченной тягой могут быть оптимизированы без выбора начального приближения для неизвестных параметров краевой задачи (начальных значений сопряженных переменных).

Разработанные методы были реализованы в виде численных алгоритмов и соответствующего программного обеспечения, что позволило провести практическую оценку их вычислительной устойчивости и эффективности. По результатам решения серии типичных задач межпланетного перелета было выявлено, что вариант метода продолжения ОМ-траекторий в ОТ-траектории с вычислением матрицы чувствительности методом комплексного шага устойчиво работает, если уровень реактивного ускорения в ОТ-задаче превышает уровень реактивного ускорения в ОМ-задаче не более, чем в 3-5 раз. Максимальная угловая дальность перелета, для которой удалось получить решение, составила около 50 витков. Разработанный метод продемонстрировал свою работоспособность на «околокритических» траекториях, которые характеризуются наличием очень малых активных или пассивных участков, появляющихся или исчезающих при малом изменении краевых условий или параметров КА.

Разработан метод продолжения решения задачи Ламберта в оптимальную ОТ-траекторию.

Разработан метод оптимизации гелиоцентрической ОТ-траектории КА с малой тягой с использованием гравитационных маневров.

На основе разработанных методов создано программно-математическое обеспечение, позволяющее оптимизировать межпланетные траектории КА с ЭРДУ, содержащие несколько гравитационных маневров.

Межорбитальные перелеты.

Разработаны методы оптимизации многовитковых перелетов между некомпланарными эллиптическими орбитами. Для решения задачи оптимального быстродействия используется метод продолжения по параметру. При необходимости, решение этой задачи используется в качестве начального приближения для вычисления траектории с минимальными затратами рабочего тела при заданном времени перелета модифицированным методом Ньютона.

Выявлено существование двух типов экстремалей в задаче перелета за минимальное время между некомпланарными круговыми орбитами. Показано существование критического значения величины угла между плоскостями граничных орбит, разбивающего параметрическое пространство задачи оптимального управления на две области, в одной из которых существует единственный тип оптимального решения, а в другой - оба.

Показано, что при перелете между некомпланарными эллиптической и круговой орбитами также существует два типа оптимальных по быстродействию траекторий, порожденных соответствующими типами траекторий задачи перелета между некомпланарными круговыми орбитами. Проанализирована структура управления на оптимальной по быстродействию траектории и ее эволюция при изменении начальных условий.

Рассмотрена задача оптимального многовиткового перелета с минимальными затратами рабочего тела. Проанализирована зависимость эволюции структуры оптимальной траектории (расположения активных и пассивных участках на отдельных фазах движения и чередование этих фаз) в зависимости от времени перелета.

Рассмотрена задача оптимизации многовитковых траекторий выведения КА с ЭРДУ на ВЭО. Решена серия задач минимизации времени перелета и массы рабочего тела. Полученные результаты, в силу применения метода осреднения, носят асимптотический характер, и применимы в достаточно большом диапазоне изменения величины начального реактивного ускорения (вплоть до единиц мм/с ).

В работе введены понятия фазы траектории и характеристики фазы траектории для облегчения описания структуры многовитковых оптимальных траекторий и их эволюции с изменением продолжительности перелета и граничных условий. Введены два варианта нотаций - «симметричная» и «несимметричная» - для обозначения характеристик фаз траекторий и структуры траектории, рассматриваемой как последовательность фаз. Проведен анализ эволюции структуры оптимальных многовитковых траекторий с низкой круговой орбиты на ВЭО в зависимости от длительности перелета и анализ эволюции структуры перелета с эллиптической орбиты на ВЭО в зависимости от высоты апогея начальной орбиты и продолжительности перелета.

Обнаружен ряд новых эффектов, например, «отрыв» и «дрейф» области апогейных активных участков при перелете с низкой круговой орбиты на ВЭО, двойное изменение знака производной от радиуса перигея по времени в этой же задаче. Проанализированы условия существования несимметричных активных участков и витков с тремя активными участками.

Проведено сравнение полученных численных результатов с оптимальными решениями, полученными другими авторами; показана близость полученных результатов и относительная малость ошибки, обусловленной применением метода осреднения.

Разработан численный метод для оптимизации неосредненной невозмущенной многовитковой траектории, включающий возможность продолжения решения по угловой дальности и определения глобально-оптимальной угловой дальности перелета.

Получено устойчивое квазиоптимальное управление с обратной связью для перелета между некомпланарными эллиптической и круговой орбитами, которое может использоваться как в качестве бортового алгоритма для обеспечения автономности КА так и при проведении проектно-баллистического анализа. Для использования такого управления в составе бортовых алгоритмов управления движением КА необходимо иметь бортовой орбитальный прогноз, периодически обновляемый либо средствами автономной навигации, либо с помощью определения траекторных параметров с привлечением наземных средств.

Показано, что предлагаемый алгоритм является устойчивым, то есть обеспечивает наведение КА в окрестность целевой круговой орбиты по квазиоптимальной траектории при действии типовых возмущающих ускорений, при больших отклонениях начальных условий от номинальных значений и при наличии ошибок в реализации вектора тяги. Использование рассмотренного алгоритма приводит к незначительному увеличению времени выведения с начальной орбиты на ГСО по сравнению с оптимальной траекторией. Алгоритм достаточно прост в реализации, основан только на регулярных неитерационных методах вычислений, обладает высоким быстродействием и не требует большого объема памяти.

Разработана методика статистического моделирования траекторий перелета КА с ЭРДУ при использовании квазиоптимального управления с обратной связью с учетом воздействия основных внешних возмущающих факторов, ошибок бортового орбитального прогноза и ошибок реализации вектора тяги ЭРДУ.

Разработан метод быстрого проектно-баллистического анализа комбинированных схем выведения КА с ЭРДУ на круговые орбиты с использованием универсальных таблиц характеристической скорости.

Перелеты к Луне и точкам либрации

Разработана методики расчета квазиоптимального перелета КА с ЭРДУ между круговыми околоземной и окололунной орбитами, а также между точкой либрации Ы системы Земля-Луна и круговой околоземной или окололунной орбитой. Аналогичная методика применима для расчета квазиоптимальных траекторий перелета между круговой околоземной орбитой и точками либрации Ы или Ь2 системы Земля-Солнце.

Разработана методика проектно-баллистического анализа перелета КА с ЭРДУ между орбитами ИСЗ и ИСЛ.

Разработанные методы и полученные в работе результаты использовались при проектно-баллистическом анализе перспективных КА с ЭРДУ, в частности, в рамках проектов «Диалог-Э», «Двина-ТМ», «Енисей-А1», «Интергелио-Зонд», «Лаплас», перспективных КА для лунной и марсианской пилотируемых программ и других.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Петухоа, Вячеслав Георгиевич, 2013 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ источников

1. Ахметшин Р.З., Белоглазов С.С., Белоусова Н.С. и др. Оптимизация перелетов к астероидам и кометам космических аппаратов с комбинированием большой и малой тяги. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша № 144, М., 1985.

2. Ахметшин Р.З., Егоров В.А. Полеты к астероидам и кометам с кусочно-постоянной малой тягой. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша № 94, М., 1997.

3. Ахметшин Р.З.. Плоская задача оптимального перелета космического аппарата с малой тягой с высокоэллиптической орбиты на геостационар. Космические исследования, т. 42, № 3, с. 248-259, 2004.

4. Белецкий В.В., Егоров В.А. Межпланетные полеты с двигателями постоянной мощности. Космич. исслед., т. 2, № 3, 1964.

5. Брайсон А., Хо Ю Ши. Прикладная теория оптимального управления. Оптимизация, оценка и управление. М.: Мир, 1972.

6. Гавурин М.К. Нелинейные функциональные уравнения и непрерывные аналоги итеративных методов. Известия вузов. Математика. 1958. № 5, с. 18-31.

7. Гришин С.Д., Захаров Ю.А., Оделевский В.К.. Проектирование космических аппаратов с двигателями малой тяги. М.: Машиностроение, 1990.

8. Гродзовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев В.В. Механика космического полета. Проблемы оптимизации. М., Наука, 1975.

9. Давиденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений. ДАН СССР. 1953, т. 88, № 4, с. 601-602.

10. Дубошин Г.Н. (ред.). Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. М.: Наука, 1976.

11. Ельников Р.В. Анализ перелета Земля-Марс с гравитационным маневром у Луны при исполльзовании малой тяги. Вестник МАИ, 2012, т. 19, № 5. с. 38-44.

12. Захаров Ю.А. Проектирование межорбитальных космических аппаратов. Выбор траекторий и проектных параметров. М.: Машиностроение, 1984.

13. Ивашкин В.В., В.Г. Петухов В.Г. Определение траектории перелета КА от Земли к Луне с малой тягой при использовании орбиты захвата Луной. Тезисы XXXIII академических чтений по космонавтике, Москва, ИИЕТ, 2009.

14. Ивашкин В.В., В.Г. Петухов. Траектории перелета с малой тягой между орбитами спутников Земли и Луны при использовании орбиты захвата Луной. Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН № 81, 2008, 32 с.

15. Ирвинг Д. Полеты с малой тягой в гравитационных полях при переменной скорости истечения. В сб.: Космическая техника. Под ред. Г. Сейферта. М.: Наука, 1964.

16. Кифоренко Б.Н., Васильев И.Ю. Численные решения точных уравнений движения космического аппарата в ньютоновском центральном гравимтационном поле по многовитковым траекториям, близким к оптимальным. Космические исследования, 2011, том 49, №5, с. 436-452.

17. Константинов М.С. Методы математического программирования в проектировании летательных аппаратов. М., Машиностроение, 1975.

18. Константинов М.С., Леб Х.В. , Петухов В.Г. Применение высокочастотного ионного двигателя RIT-22 в проекте «Интергелио-Зонд». Электронный журнал «Труды МАИ», выпуск 60, 10 с.

19. Константинов М.С., Леб Х.В., Петухов В.Г., Попов Г.А. Проектно-баллистический анализ пилотируемой марсианской миссии с ядерной электроракетной двигательной установкой. Труды МАИ, 2011, № 42, 21 с.

20. Константинов М.С., Петухов В.Г. Поддержание орбитальной конфигурации системы КА на высоких эллиптических орбитах. Вестник МАИ, №1 том 15, 2008.

21. Константинов М.С., Петухов В.Г., Попов Г.А. Применение СПД при выведении спутников на геостационарную орбиту с использованием ракет-носителей легкого класса. Вестник двигателестроения, №2, 2003.

22. Кувшинова Е.Ю., Синицын A.A. Эффективность применения межорбитальных буксиров на основе ядерных электроракетных двигательных установок в транспортных операциях Земля - Луна - Земля. Космонавтика и ракетостроения, №3 (60), 2010.

23. Лёб Х.В., Петухов В.Г., Попов Г. А. Гелиоцентрические траектории космического аппарата с ионными двигателями для исследования Солнца. Электронный журнал «Труды МАИ», 2011, № 42, 22 с.

24. Лебедев В.Н. Расчет движения космического аппарата с малой тягой. М., Изд.-во ВЦ АН СССР, 1968.

25. Лоуден Д.Ф. Оптимальные траектории для космической навигации. М.: Мир, 1966.

26. Мартынов М.Б., Петухов В.Г. Концепция применения электроракетной двигательной установки в научных космических проектах: преимущества и особенности, примеры реализации. Вестник ФГУП «НПО им. С.А.Лавочкина», 2011, №2, с. 3-11.

27. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. М.: Мир, 1982.

28. Обухов В.А., Петухов В.Г., Попов Г.А. Выбор параметров электроракетных двигательных установок для лунных миссий. Вторая Международная конференция «Передовые космические технологии на благо человечества». Украина, г. Днепропетровск, 2009.

29. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975.

30. Петухов В.Г. Использование методов продолжения по параметру для оптимизации траекторий космических аппаратов с малой тягой. Тезисы докладов XXXII Научных Чтений, посвященных разработке творческого наследия К.Э. Циолковского. М., ИИЕТ РАН, 1997.

31. Петухов В.Г. Квазиоптимальное управление с обратной связью для многовиткового перелета с малой тягой между некомпланарными эллиптической и круговой орбитами. Космические исследования, 2011, том 49, № 2, с. 128-137.

32. Петухов В.Г. Метод продолжения для оптимизации межпланетных траекторий с малой тягой. Космические исследования, т. 50, № 3, 2012, стр. 258 - 270.

33. Петухов В.Г. Метод продолжения для оптимизации траекторий с малой тягой. Тезисы Пятого международного аэрокосмического конгресса IAC06. Москва, 27-31 августа 2006 г.

34. Петухов В.Г. Оптимальные многовитковые траектории выведения космического аппарата с малой тягой на высокую эллиптическую орбиту. Космические исследования, том 47, № 3, 2009, с. 271-279.

35. Петухов В.Г. Оптимизация межпланетных траекторий космических аппаратов с идеально-регулируемым двигателем методом продолжения. Космические исследования, том 46, № 3, 2008, с. 224-237.

36. Петухов В.Г. Оптимизация многовитковых перелетов между некомпланарными эллиптическими орбитами. Космические исследования, т. 42, № 3, 2004, с. 260-279.

37. Петухов В.Г. Оптимизация траекторий и эволюция движения космических аппаратов с двигательными установками малой тяги. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.07.09 «Динамика, баллистика и управление движением летательных аппаратов», М., МАИ, 1996, 132 с.

38. Петухов В.Г. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой. Семинар ИКИ РАН по динамике и управлению, Москва, ИКИ РАН, 2000 (URL: http://arc.iki.rssi.ru/seminar/200006/QLTTR2.ppt).

39. Петухов В.Г. Программа для расчета многовитковых траекторий межорбитального перелета с малой тягой с параметрическим или квазиоптимальным управлением. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2010616183. Правообладатель: Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (государственный технический университет)» (RU). Заявка № 2010614343, дата поступления 20 июля 2010 г. Зарегистрировано в реестре программ для ЭВМ 20 сентября 2010 г.

40. Петухов В.Г. Проектно-баллистический анализ лунного транспортного космического аппарата с электроракетной двигательной установкой. Тезисы XXXIII академических чтений по космонавтике, Москва, ИИЕТ, 2009.

41. Петухов В.Г. Робастное квазиоптимальное управление с обратной связью для перелета с малой тягой между некомпланарными эллиптической и круговой орбитами. Вестник МАИ, т. 17, №3, с. 50-58.

42. Петухов В.Г. Эволюция орбит в двукратно осредненной задаче Хилла под влиянием малого трансверсального ускорения. Космические исследования, 1989,1.21, №3.

43. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976.

44. Попов Г.А., Константинов М.С., Петухов В.Г. Проектирование траекторий межорбитального перелета космического аппарата с маршевыми электроракетными двигательными установками. Вестник РФФИ, №3 (47) Май - июнь 2006, с. 16-30.

45. Рыжов С.Ю. Проблемы оптимизации многовитковых траекторий перелетов космического аппарата с реактивным двигателем ограниченной тяги. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.01 «Теоретическая механика», М., МГУ, 2007, 97 с.

46. Рыжов С.Ю., Григорьев И.С.. К проблеме решения задач оптимизации многовитковых траекторий межорбитальных перелетов К А. Космические исследования, том 44, № 3, с. 272-280, 2006.

47. Салмин В.В. Оптимизация космических перелетов с малой тягой. М.: Машиностроение, 1987.

48. Синицин А.А. Эффективность применения электроракетных двигательных установок в транспортной операции выведения космических аппаратов на геостационарную орбиту. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальностям 05.07.05 «Тепловые, электроракетные двигатели и энергоустановки летательных аппаратов» и 05.07.09 «Динамика, баллистика и управление движением летательных аппаратов», М., ФГУП «Исследовательский центр им. М.В. Келдыша, 2009, 160 с.

49. Старинова O.J1. Расчет межпланетных перелетов космических аппаратов с малой тягой. Самара: Издательство Самарского научного центра РАН, 2007, 196 стр.

50. Суханов А.А. Астродинамика. ИКИ РАН, Серия «Механика, управление, информатика», 2010, 103 с.

51. Суханов А.А., Прадо А.Ф.Б. де А. Межорбитальные перелеты с малой тягой в поизвольном поле сил. Космические исследования, т. 51, № 2, 2013, с. 159-170.

52. Тейн М. Оптимизация схем выведения космического аппарата на высокие рабочие орбиты. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.07.09 «Динамика, баллистика и управление движением летательных аппаратов», М., МАИ, 2000,135 с.

53. Улыбышев Ю.П. Оптимизация межорбитальных перелетов с малой тягой при ограничениях. Космические исследования, т. 50, № 5, 2012, с. 403-318.

54. Федотов Г.Г. Методические основы проектно-баллистического анализа межпланетных КА с ЭРД. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 05.07.09 «Динамика, баллистика и управление движением летательных аппаратов», М., МАИ, 2002, 179 с.

55. Федотов Г.Г. Оптимизация перелетов между орбитами искусственных спутников двух планет при использовании комбинации большой и малой тяги. Космические исследования, том 40, № 6, 2002.

56. Холодниок М., Клич А., Кубичек М. и др. Методы анализа нелинейных динамических моделей. М.: Мир, 1991.

57. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация. М.: Эдиториал УРСС, 1999.

58. Andreev P.V., Fedotov G.G., Galkin A.Y., Gryaznov G.M., Konstantinov M.S., Petukhov V.G., Zaritsky G.A., Zhabotinsky E.E.. Associated optimizalion of the low-thrust trajectory and parameters of the nuclear power plant. Paper IEPC-95-214, Moscow, September 1995.

59. Betts J.T. Survey of numerical methods for trajectory optimization. Journal of Guidance, Control and Dynamics, 21(2), 1998.

60. Betts J.T., Erb S.O. Optimal Low Thrust Trajectories to Moon (URL: http://www.boeing.com/phantom/socs/extra/smrtppr.pdf)

61. Brouke R.A., Cefola P.J. On the Equinoctial Orbital Elements, Celestial Mechanics, v. 5, 1972, pp. 303-310.

62. Brown P.N., Byrne G.D., Hindmarsh A.C. VODE: A Variable Coefficient ODE Solver. SIAM J. Sci. Stat. Comput., 10 (1989), pp. 1038-1051.

63. Caillau J.B., Gergaud J., Noailles J. 3D Geosynchronous Transfer of a Satellite: Continuation on the Thrust, 2001 (URL: http://www.enseeiht.fr/~caillau/papers/iota01.pdf).

64. Cano J.L., Schoenmaekers J., Jehn R., et al. SMART-1 Mission Analysis: Collection of Notes on the Moon Mission. Sl-ESC-RP-5004, 1999.

217

65. Casalino L., Colasurdo G. Indirect Methods for the Optimization of Spacecraft Trajectories // Modeling and Optimization in Space Engineering, Springer Science+Business Media New York, 2013, pp. 141-158.

66. Casalino L., Colasurdo G., Pastrone D. Optimization of AV Earth-Gravity-Assist Trajectories. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, Vol. 21, No. 6, January-February 1998, pp. 991995.

67. Casalino L., Colasurdo G., Pastrone D. Optimization Procedure for Preliminary Design f Opposition-Class Mars Missions. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, Vol. 21, No. 1, January-February 1998, pp. 134-140.

68. Chang Diaz F., Hsu M., Braden E. et al. Rapid Mars Transits with Exhaust-Modulated Plasma Propulsion. NASA TP-1995- 3539. Johnson Space Center, Houston, Texas, 1995.

69. Chang Diaz F., Squire J., Bengston R. et al.. The Physics and Engineering of the VASIMR Engine. AIAA-00-3756, 2000.

70. Cunningham L.E. On the Computation of the Special Harmonic Terms Needed During Numerical Integration of Artificial Satellite. Celest.Mech., 1970, v. 2, p. 207-216.

71. Dargent T. Automatic Minimum Principle Formulation for Low Thrust Optimal Control in Orbit Transfers using Complex Numbers. Sept. 2009. International symposium on space flights dynamics, Toulouse, France, 9 p.

72. de Boor C. A Practical Guide to Splines. Springer, New-York 1978, 372 p.

73. Edelbaum, T.N. Optimum power-limited orbit transfer in strong gravity fields./ AIAA J. 1965. V. 3. № 5. P. 921-925.

74. Eneev T.M., Efimov G.B., Konstantinov M.S., Petukhov V.G., Akhmetshin R.Z., Fedotov G.G. Mercury-to-Pluto Range Missions Using Solar-Nuclear Electric Propulsion. Keldysh Institute of Applied Mathematics, Russia Academy of Sciences, preprint 111, 1996.

75. Eneev T.M., Egorov V.A., Efimov G.B., Konstantinov M.S., Petukhov V.G., Akhmetshin R.Z., Fedotov G.G. Some Methodical Problems of Low-Thrust Trajectory Optimization. Keldysh Institute of Applied Mathematics, Russia Academy of Sciences, preprint 110, 1996, pp. 1-24.

76. Everhart E. Implicit Single Sequence Methods for Integrating Orbits. Celestial Mechanics, 1974, v.10, p.35.

77. Fedotov G.G., Konstantinov M.S., Petukhov V.G. Application of the power-limited problem to the electric propulsion mission design. IEPC-95-220, Moscow, 1995.

78. Fourcade J., Geffroy S., Epenoy R. An Averaging Optimal Control Tool for Low-Thrust Optimum-Time Transfers (URL: http://logiciels.cnes.fr/MIPELEC/en/logiciel.htm)

79. Geffroy S. Generalisation des Techniques de Moyennation en Controle Optimal - Application aux Problemes de Transfert et Rendez-Vous Orbitaux a Poussee Faible, November 1997.

80. Gobetz F.W. Optimal Variable-Thrust Transfer of a Power-Limited Rocket between Neighboring Circular Orbits. AIAA J., v.2, N 2, 1964.

81. Haberkorn T., Martinon P., Gergaud, J., Low Thrust Minimum-Fuel Orbital Transfer: A Homotopic Approach, Journal of Guidance, Control, and Dynamics, Vol. 27, No. 6, 2004, pp. 1046-1060.

82. Hairer F., Norsett S.P., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations I. Non-Stiff Problems. Spinger-Verlag, Berlin, 1987.

83. Haissig C.M., Mease K.D., Vinh N.X. Minimum-Fuel Power-Limited Transfers between Coplanar Elliptical Orbits. Paper IAF-91-346, Montreal, 1991.

218

84. Irving, J.H. Low Thrust Flight: Variable Exhaust Velocity in Gravitational Fields. Space Techn., 10(4), 1959.

85. Izzo D. Lambert's problem for exponential sinusoids. Journal of Guidance,Control, and Dynamics. Vol. 29, No. 5, September-October 2006, p. 1242-1245.

86. Jehn R., Schoenmaekers J., Garcia D., Ferri P. BEPICOLOMBO - A Mission to Mercury. Proceedings of International Symposium on Low-Thrust Trajectories Optimization (LOTUS-2), Toulouse, 2002

87. Schoenmaekers J., Pulido J., Cano J.L. SMART-1. Moon mission: Trajectory design using the moon gravity. ESA Sl-ESC-RP-5501, Issue 1, May 1999, 44 p.

88. Karrask V.K., Medvedev A. A., Liagin P.I., Petukhov V.G. et al. Feasibility Study of the SS-19 Ballistic Missile Conversion for the Scientific Space Missions. IAA-B2-0408P, Berlin, 1999.

89. Kiforenko B.N., Vasil'ev I.Yu. On Optimization of Many-Revolution Low-Thrust Orbit Transfers: Part I. International Applied Mechanics, Vol. 44, No. 7, 2008. pp. 810-817.

90. Kiforenko B.N., Vasil'ev I.Yu. On Optimization of Many-Revolution Low-Thrust Orbit Transfers: Part I. International Applied Mechanics, Vol. 44, No. 9, 2008. pp. 1050-1055.

91. Kim M. Continuous Low-Thrust Trajectory Optimization: Techniques and Applications. PhD thesis, Virginia Polytechnic Institute and State University, 2005, 136 p.

92. Kluever C.A., Pierson B.L. Optimal Low-Thrust Three-Dimensional Earth-Moon Trajectories. Journal of Guidance, Control and Dynamics, 18(4), July 1995.

93. Konstantinov M.S. Estimate of the Optimal Mercury-Rendezvous Low-Thrust Trajectory with Venus Swingby. Moscow: IEPC-95-213, 1995.

94. Kluever C.A., Pierson B.L. Optimal Low-Thrust Earth-Moon Transfers with a Switching Function. The Journal of Astronautical Sciences, 42(3), p. 269-284, July-September 1994.

95. Konstantinov M.S., Fedotov G.G. Optimization of Low Thrust Transfer Between Noncomplanar Elliptic Orbits. IAF-97-A.6.06, 1997.

96. Konstantinov M.S., Fedotov G.G., Petukhov V.G., et al. Electric Propulsion Mission to GEO Using Soyuz/Fregat Launch Vehicle. 52nd International Astronautical Congress. IAF-01-V.3.02, France, Toulouse, 2001.

97. Konstantinov M.S., Latyshev L.A., Petukhov V.G., Popov G.A., Fedotov G.G. Application of stationary plasma thrusters M100-M290 to Pluto fast flyby. Space Technology, Elsevier Science Ltd, Great Britain, 1995, vol.15, No.6.

98. Konstantinov M.S., Loeb H.W., Petukhov V.G., Popov G.A. One Variant of Manned Mission to Mars with a Nuclear Electric Propulsion. International Journal of Space Technology Management and Innovation (IJSTMI). 1(2), p. 1-17.

99. Konstantinov M.S., Obukhov V.A., Petukhov V.G., et al. Spacecraft Station-Keeping in the Molniya Orbit using Electric Propulsion. IAC-05-C 1.1.01, 2005.

100.Konstantinov M.S., Petukhov V.G. Easy Engineering Technique of Optimal Electric Propulsion Trajectory Estimation. IAC-06-C4.4.06, 2006.

101.Kluever C.A. Geostationary Orbit Transfers using Solar Electric Propulsion with Specific Impulse Modulation. Journal of Spacecraft and Rockets, 41(3), p. 461-466, May-June 2004.

102.Konstantinov M.S., Petukhov V.G. Methodical Aspects of Optimization of Complex Interplanetary Trajectories (Global Trajectory Optimization). IAC-06-C1.4.03, 2006.

103.Konstantinov M.S., Petukhov V.G. One Version of a Space Transport System for Research of the Sun. IAC-11.C4.6.10, 62nd International Astronautical Congress, Cape Town, South Africa, 3-7 October 2011.

104.Глушко В.П. Развитие ракетостроения в СССР. М., Машиностроение, 1987.

105.Уманский С.П. Ракеты-носители и космодромы. М., изд.-вл «Рестарт+», 2001,193 с.

106.Konstantinov M.S., Petukhov V.G. The Analysis of Manned Mars Mission with Duration of 1000 Days. Acta Astronautica, v. 73, p. 122-136.

107.Konstantinov M.S., Petukhov V.G. The Analysis of One Concept of Manned Mission to Mars. IAC-10-A5.4.6, 61st International Astronautical Congress, 27.9-01.10.2010, Prague, Czech Republic, 11 pp.

108.Konstantinov M.S., Petukhov V.G. The Analysis of Required Characteristics of Electric Power Plant and Electric Propulsion at Realization of one Mission of Manned Expedition onto Mars. Space Propulsion-2010, 3-5 May 2010, San Sebastian, Spain, 8 pp.

109.Kuninaka H., Kazutaka Nishiyama K., Funakai I., Tetsuya, Shimizu Y., Kawaguchi J. Asteroid Rendezvous of Hayabusa Explorer Using Microwave Discharge Ion Engines. IEPC-2005-10, The 29th International Electric Propulsion Conference, Princeton University, October 31 -November 4, 2005, 10 p.

110.Lantoine G. A Methodology for Robust Optimization of Low-Thrust Trajectories in Multi-Body Environments. PhD Thesis, Georgia Institute of Technology. 2010, 327 p.

111.Lantoine G. A, Russel R.P. A Hybrid Differential Dynamic Programming Algorithm for Constrained Optimal Control Problems. Part 1: Theory. J Optim Theory Appl (2012) 154:382417, DOI 10.1007/sl0957-012-0039-0, 36 p.

112.Lantoine G. A, Russel R.P., Dargent T. Using Multicomplex Variables for Automatic Computation of High-Order Derivatives. AAS 10-218, 2010, 18 p.

113.Lyness, J.N., Moller, C.B. Numerical differentiation of analytic functions, SIAM J. Numer. Anal., 4, 1967, pp. 202-210.

114.Lyness, J.N. Numerical algorithms based on the theory of complex variables, Proc. ACM 22nd Nat. Conf., Thompson Book Co., Washington, DC, 1967, pp. 124-134.

115.Martynov M.B., Petukhov V.G. Applications of Electric Propulsion in Scientific Space Projects: Benefits, Features, and Implementation Examples. Solar System Research, v. 46, N 7, pp. 523-530.

116.Mathers A., de Grys K., Paisley J. Performance Variation in BPT-4000 Hall Thrusters. IEPC-2009-144, The 31st International Electric Propulsion Conference, University of Michigan, USA September 20 - 24, 2009, 8 p.

117.McCarthy D.D., Petit G. (eds.). IERS Technical Note No. 32. IERS Conventions (2003). IERS Conventions Centre, Frankfurt am Main 2004, 127 pp.

118.Medvedev A., Khatulev V., Yuriev V., Petukhov V. et al. Lunar and Planetary Missions Using Rockot Launch Vehicle. IAA-L-0704P.

119.Medvedev A., Khatulev V., Yuriev V., Petukhov V. et al. Combined flight profile to insert telecommunication satellite into geostationary orbit using "Rockot" light-weight class launch vehicle. 51st International Astronautical Congress. IAF-00-V.2.09, Brasilia, Rio de Janeiro, 2000.

120.Melbourne W.G., Sauer C.G. Optimum Interplanetary Rendezvous with Power-Limited Vehicles. AIAA J., v. 1, N 1, 1963.

121.0bukhov V.A., Fedotov G.G., Konstantinov M.S., Petukhov V.G., Popov G.A. Application of Solar Electric Propulsion to Outer Planet Space Missions. The 60-th International Astronautical Congress, IAC-09-C4.8.8, Daejon, Korea,, 2009.

122.01esen S.R., Myers R.M., Kluever C.A., et al. Advance Propulsion for Geostationary Orbit Insertion and North-South Station Keeping. J. Spacecraft and Rockets. 1997. V. 34, No. 1.

123.01ympio J.T. A Second-Order Gradient Solver using a Homotopy Method for Space Trajectory Problems. ACT-RPR-MAD-2010-AIAA7827, 2010, 13 p.

124.01ympio J.T. Optimisation and Optimal Control Methods for Planet Sequence Design of Low-Thrust Interplanetary Transfer Problems with Gravity-Assists. PhD Thesis, l'Ecole des Mines de Paris, 169 p., 2008.

125. Owens J.K. NASA Marshall Engineering Thermosphere Model-Version 2.0. NASA / TM-2002-211786, June 2002, Marshall Space Flight Center, Alabama, 41 pp.

126.0zimek M.T., Howell K.C. Low-Thrust Transfers in the Earth-Moon System, Including Applications to Libration Point Orbits. Journal of Guidance,Control, and Dynamics, Vol. 33, No. 2, March-April 2010, 17 p.

127.Patel P.L. Automating Interplanetary Trajectory Generation for Electric Propulsion Trade Studies. PhD Thesis, The University of Michigan. 2008, 147 p.

128.Petropoulos A.E. A Review of Some Exact Solutions to the Planar Equations of Motion of a Thrusting Spacecraft. In 2nd International Symposium Low-Thrust Trajectories, Toulouse, France, 2002.

129.Petropoulos A.E. A Shape-Based Approach to Automated, Low-Thrust Gravity-Assist Trajectory Design. PhD thesis, Purdue University, 2001.

130.Petropoulos A.E., Longuski J.M. Automated Design of Low-Thrust Gravity-Assist Trajectories, AIAA-2000-4033, 10 p.

131.Petropoulos A.E., Longuski J.M.,. Bonfiglio E.P. Trajectories to Jupiter via Gravity Assists from Venus, Earth, and Mars. Journal of Spacecraft and Rockets, 37(6), 2000.

132.Petropoulos A.E., Longuski J.M.. A Shape-Based Algorithm for the Automated Design of Low Thrust, Gravity Assist Trajectories. In AAS/AIAA Astrodynamics Specialists Conference, 2001.

133.Petukhov V.G. Homotopic Approach to Low-Thrust Trajectory Optimization: Numerical Technique and Tools. 4th International Conference on Astrodynamics Tools and Techniques, 3-6 May 2010, ESA/ESAC, Madrid, Spain. ESA Proceedings WPP-308, 8 pp.

134. Petukhov V.G. One Numerical Method to Calculate Optimal Power-Limited Trajectories. International Electric Propulsion Conference. IEPC-95-221, Russia, Moscow, 1995, 8 pp.

135.Petukhov V.G. Optimal Multirevolutional Transfers between Non-Coplanar Orbits. Proceedings of International Symposium on Low-Thrust Trajectories Optimization (LOTUS-2), Toulouse, 2002.

136.Петухов В.Г. Минимальные по продолжительности многовитковые перелеты между некомпланарными эллиптическими орбитами. Космос на страже родины. 3 научные чтения по военной космонавтике памяти М.К.Тихонравова. Т. 2, СИП РИА, М., 2001, 3 с.

137.Petukhov V.G., Konstantinov M.S. Spacecraft Insertion into Earth-Moon LI and Lunar Orbit. IAC-09-D2.3.11,2009.

138.Petukhov V.G., Konstantinov M.S. Spacecraft Insertion into High Working Orbits using Light-Class Launcher and Electric Propulsion. 17th International Symposium on Space Flight Dynamics. Proceedings. Vol. 2, Moscow, 2003

139.Petukhov V.G., Konstantinov M.S., Fedotov G.G. 1st ACT Global Trajectory Optimisation Competition: Results found at Moscow Aviation Institute and Khrunichev State Research and Production Space Center. Acta Astronautica, Volume 61, Issue 9, November 2007, Pages 775785.

140.Petukhov V.G., Popov G.A., Obukhov V.A. Application of Stationary Plasma Thrusters for Spacecraft Insertion Into the Geostationary Orbit. IAC-12-C4.4.3, 63rd International Astronautical Congress, Naples, Italy, 1-5 October 2012.

141.Petukhov V.G., Popov G.A., Svotina V.V. Suboptimal Low-Thrust Trajectories for Lunar Missions. GLUC-2010-2.2.P3, Global Lunar Conference, 31 May - 3 June 2010, IAF Beijing, China, 8 pp.

142.Petukhov V.G., Svotina V.V.. Robust Suboptimal Feedback Control for Low-Thrust Transfers between Noncoplanar Elliptical and Circular Orbits. 3 rd European Conference for Aero-Space Sciences (EUCASS-2009). France, Versailles, 2009.

143.Pierson B.L, Kluever C.A. Three Stage Approach to Optimal Low-Thrust Earth Moon Trajectories. Journal of Guidance Control and Dynamics, 17(6): 1275 - 1282, 1994.

144.Poole M., Ho M. Boeing Low-Thrust Geosynchronous Transfer Mission Experience. 20th International Symposium on Space Flight Dynamics. Annapolis, Maryland, USA, 24-28 September, 2007, 6 p.

145.Rayman M.D., Fraschetti T.C., Raymond C.A., Russell C.T. Dawn: A Mission in Development for Exploration of Main Belt AsteroidsVesta and Ceres. Acta Astronautica, vol. 58, 2006, pp. 605-616

146.Rayman M.D., Varghese P., Lehman D.H., Livesay L.L., Results from the Deep Space 1 Technology Validation Mission. Acta Astronautica 47, p. 475, 2000.

147.Sackett L.L., Malchow H.L., Edelbaum T.N. Solar Electric Geocentric Transfer with Attitude Constraints: Analysis. NASA CR-134927, 1975.

148.Schwer A.G., Schottle U.M., Messerschmid E. Operational Impacts and Environmental Effects on Low-Thrust Transfer-Missions of Telecommunication Satellites. 46th International Astronautical Congress. IAF-95-S.3.10. Norway, Oslo, 1995.

149. Smith R.E. The Marshall Engineering Thermosphere (MET) Model. Volume I. Technical Description. ASA / CR-1998-207946, May 1998. Prepared for Marshall Space Flight Center under Contract NAS8-38333, Physitron, Inc., Huntsville, Alabama, 106 pp.

150.Spitzer A. Novel Orbit Raising Strategy Makes Low Thrust Commercially Viable. 24th International Electric Propulsion Conference, IEPC 95-212, Russia, Moscow, 1995.

151.Spitzer, A., De Picciotto, S.A. Constant Sun Angle Transfer Orbit Sequence and Method Using Electric Propulsion. United States Patent No. 5716029, Feb. 10, 1998, 16 p.

152. Squire W., Trapp G. Using complex variables to estimate derivatives of real functions. SIAM Rev., 40(1), 1998, pp. 110-112.

153.Standish, E.M., Newhall, X X, Williams, J.G. and Folkner, W.F.: 1995, "JPL Planetary and Lunar Ephemerides, DE403/LE403", JPL IOM 314.10-127.

154.Tadashi S. A Study of Variable Thrust, Variable Specific Impulse Trajectories for Solar System Exploration. PhD thesis, Georgia Institute of Technology, December 2004.

155.The SOFA Software Libraries. International Astronomical Union. Division 1: Fundamental Astronomy, Commission 19: Rotation of the Earth, Standards Of Fundamental Astronomy Board. Release 9, 2012 March 1, 252 pp.

156.Titan Saturn System Mission Study Final Report on the NASA Contribution to a Joint Mission with ESA. Task Order #NM0710851, 2009, 412 p.

157.Toputto F. Low-Thrust Non-Keplerian Orbits: Analysis, Design, and Control. PhD thesis, Politecnico di Milano, Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale, 2007, 158 p.

158.Vasile M., Campagnola S. Design of Low-Thrust Multi-Gravity Assist Trajectories to Europa, Journal of the British Interplanetary Society, Vol. 62, No.l, January 2009, pp. 15-31.

159.Whiffen G.J. Application of a Novel Optimal Control Algorithm to Low Thrust Trajectory Optimization. In AAS/AIAA Space Flight Mechanics Meeting, 2001.

160.Whiffen G.J., Sims J.A. Application of the SDC optimal control algorithm to low thrust escape and capture including fourth body effects. In 2nd International Symposium on Low Thrust Trajectories, Toulouse, France, June 18-20 2002.

161. Whiting J.K. Orbital Transfer Trajectory Optimization. Master Thesis, MIT, 2004, 87 p.

162. Yam Ch.H. Design of Missions to the Outer Planets and Optimization of Low-Thrust, Gravity-Assist Trajectories via Reduced Parameterization. PhD Thesis, Purdue University, West Lafayette, Indiana, 2008

163. Yam Ch.H., McConaghy T.T., Chen K.J., Longuski J.M. Design of Low-Thrust Gravity-Assist Trajectories to the Outer Planets. IAC-04-A.6.02, 2004, 16 p.

164.Циолковский К.Э. Исследование мировых пространств реактивными приборами. Рукопись статьи, законченной в 1903 г., Архив РАН, фонд №555, рукопись 1, дело 35.

165.Циолковский К.Э. Исследование мировых пространств реактивными приборами. Научное обозрение, 1903, №5, с. 45-75; Вестник воздухоплавания, 1911, №19, 20-22; 1912, №3,5, 6, 7, 9.

166.Balebanov V., Fedotov G., Kim V., Konstantinov M., Kostenko V., PivovarovM., Petukhov V., Popov G., Sukhanov A. Small Universal Space Platform: Mission Capabilities. Acta Astronautica, Elsevier Science Ltd, Great Britain, 39 (1-4), 1996, p. 181-188.