Разложение решений уравнения Карлемана-Векуа в ряды обобщенных степенных функций и некоторые задачи теории оболочек тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Калдани, Нерон Васильевич

• Калдани, Нерон Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Калдани, Нерон Васильевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

§1.1. Функциональные пространства и интегральные операторы.

§ 1.2. Некоторые сведения из теории обобщенных аналитических функций.

§ 1.3. Комплексная сопряженно изометрическая параметризация поверхности положительной кривиз

ГЛАВА П. РАЗЛОЖЕНИЕ ЯДЕР УРАВНЕНИЯ КАРЛЕМАНА-ВЕКУА В РЯДЫ ОБОБЩЕННЫХ СТЕПЕННЫХ ФУНКЦИЙ И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

§ 2.1. Некоторые свойства обобщенных степенных функций.

§ 2.2. Разложение ядер уравнения Карлемана-Векуа в ряды обобщенных степенных функций.

§ 2.3. Некоторые применения разложений ядер уравнения Карлемана-Векуа

ГЛАВА Ш. УРАВНЕНИЯ КАРЛЕМАНА-ВЕКУА И БЕЛЬТРАМИ С ПАРАМЕТРАМИ

§ 3.1. Уравнение Карлемана-Векуа с параметром

§ 3.2. Уравнение Бельтрами с параметром

ГЛАВА 1У. ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК

§ 4.1. Вывод основных уравнений

§ 4.2. Сопряженно изометрическая параметризация выпуклой оболочки

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разложение решений уравнения Карлемана-Векуа в ряды обобщенных степенных функций и некоторые задачи теории оболочек»

Теория обобщенных аналитических функций имеет глубокие связи со многими разделами анализа, геометрии и механики. Аналитический аппарат этой теории позволяет существенно расширить и углубить исследование ряда задач, имеющих значительный не только теоретический, но и практический интерес. В свою очередь, связь с реальными объектами исследования наполняет эту теорию конкретным содержанием и способствует ее развитию. Это обстоятельство несомненно указывает на важность и актуальность исследований по теории обобщенных аналитических функций.

Теория обобщенных аналитических функций является теорией функций itf = U (ос, у) + LV (ос,у) точки + f удовлетворяющих уравнению Карлемана-Векуа

9 иок АиУ + ВйГ = 0, Ъ. (1) г г 2Цсс и представляет собой далеко идущее обобщение классической теории аналитических функций от 2 = oc+ly

Уравнение (I) эквивалентно системе вещественных уравнений aU + Bv=o,

Эх

2) cU+dV=0,

Ъос Э^ являющейся канонической формой равномерно эллиптической системы уравнений более общего вида с достаточно гладкими коэффициентами

Зх dl Ясс 12 ^ ч (3)

Начало изучения эллиптических систем вида (3) восходит к Пи-кару L 53], высказавшего идею о возможности построения теории функций uCf = U Сх,у)+ IV(ос,у), действительная и мнимая части которых являются решением системы (3), по аналогии с теорией аналитических функций комплексного переменного 2 = ос + I у . Попытка построения такой теории была предпринята Бельтрами [42, 43]. В 1931 году Н.Теодореску L54] (см. также [55]), рассматривая систему (2) в частном случае С = - 6 ,d=cl (в(1) это соответствует случаю В = О ), получил общее представление ее решений через аналитические функции от 2 = ос + I у . Чуть позже Т.Карлеман [50] доказал фундаментальное свойство решений системы (2) - теорему единственности.

Интерес к системе вида (3) снова пояеился в сороковых годах XX в. В работах Л.Берса и А.Гельбарта [47 , 48], Г.Н.Положия [35, 36], Б.В.Шабата [41], А.Вейнштейна [56] и др. исследовались различные классы систем вида (3). Характерной чертой для этих исследований является применение различных обобщений понятий производной и интеграла. Таким же способом была построена Л.Бер-сом теория псевдоаналитических функций (см. [44], а также Г45, 46, 49]).

Одновременно и независимо от Л.Берса полная теория функций, удовлетворяющих уравнению (I), ныне именуемая теорией обобщенных аналитических функций, была построена И.Н.Векуа и опубликована в фундаментальной работе [8]. В этой работе получены представления первого и второго рода обобщенных аналитических функций через аналитические функции; вводятся ядра уравнения (I), с помощью которых строится обобщенный интеграл типа Коши, выводится обобщенная интегральная формула Коши; получены разложения обобщенных аналитических функций в обобщенные степенные ряды 1-го рода; изучается широкий класс краевых задач для уравнения (I); указаны применения обобщенных аналитических функций к задачам безмомент-ной- теории оболочек.

Интерес к теории обобщенных аналитических функций и ее приложениям особенно возрос после появления в свет монографии И.Н.Ве-куа [ 93, в которой дано полное изложение многолетних исследований ее автора, а также, некоторых результатов его учеников и последователей (Б.Боярский, В.С.Виноградов, И.И.Данилюк и др.). В этой монографии, в частности, в весьма общей постановке исследованы различные краевые задачи, представляющие естественное обобщение и дальнейшее развитие граничных задач классической теории аналитических функций (см. [31, 17, 14]); особо следует отметить, что в ней важное место занимают приложения теории обобщенных аналитических функций к теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и безмоментной теории оболочек. Теория обобщенных аналитических функций находит также важные применения в теории упругости (см., например, 12, 18, 37]), нелинейной теории оболочек [34], теории бесконечно малых изгибаний высшего порядка (см., например, [34, 19, 20]).

Методы работ [8] и [9], представляющие дальнейшее развитие-методов, созданных ранее в исследованиях И.Н.Векуа об эллиптических уравнениях с аналитическими коэффициентами с двумя независимыми переменными [7], оказались весьма плодотворными в дальнейшем развитии теории обобщенных аналитических функций (см., например, 15, 6, .3, 15, 18, 28, 25, 30, 40]).

В теории обобщенных аналитических функций и ее приложениях одно из центральных мест занимают вопросы, связанные с представлением решений уравнения Карлемана-Векуа. в виде функциональных рядов, близких по своей природе к степенным рядам. Представления 1-го и 2-го рода обобщенных аналитических функций позволяют строить обобщенные степенные ряды двух видов: обобщенные степенные ряды 1-го рода - ряды обобщенных рациональных функций и обобщенные степенные ряды 2-го рода - ряды обобщенных степенных функций (по терминологии И.Н.Векуа). Обобщенные степенные ряды 1-го рода подробно изучены И.Н.Векуа [8, ,9] (см. ;также [51] ). В работах [44] и [45] дается полное исследование рядов формальных степеней (по терминологии Л.Берса). С другой стороны, до последних лет оставалась не разработанной теория обобщенных степенных рядов 2-го рода; в монографии И.Н.Векуа [9] дается лишь общая характеристика этих рядов и отмечается, что для них "можно, по-видимому, доказать" аналог теоремы Тейлора (см. [9], стр. 210). Отметим здесь же, что, как будет видно из полученных в работе результатов, обобщенные степенные ряды 2-го рода по сравнению с другими известными аналогами степенных рядов наиболее полно сохраняют основные свойства последних. Следует отметить также, что к необходимости исследовать вопрос о разложении обобщенных аналитических функций в обобщенные степенные ряды 2-го рода естественным образом приводит ряд задач теории выпуклых оболочек и теории бесконечно малых изгибаний поверхностей. Ниже всюду обобщенные степенные ряды 2-го рода будем называть просто обобщенными степенными рядами.

В диссертационной работе на основе специальных разложений ядер уравнения Карлемана-Векуа по обобщенным степенным функциям развивается достаточно полная теория обобщенных степенных рядов (второго рода), исследуется характер зависимости от параметра решений уравнений Бельтрами и Карлемана-Векуа с коэффициентами, зависящими от этого параметра, и на основе полученных результатов дается решение ряда задач о равновесии замкнутых выпуклых оболочек.

Работа состоит из четырех глав.

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней указаны понятия и факты (в удобной для наших целей форме), систематически используемые в работе. Из этой главы приведем только обозначения и определения, необходимые для изложения некоторых основных результатов диссертации.

Через L р,2 , р >4 , обозначается пространство заданных на всей комплексной плоскости (D функций J , для которых конечна норма ^

Шр,а=СД lJCZ)|Pdcody)VifOHnjrf)|)dccdy)^ г^ц,; п 12К<| mi

С CG) - пространство непрерывных ограниченных на G с (D функций, IJ J C(G)= Sup C^CG) , О < ос ^ 4 , - пространстве во, состоящее из всех функций класса С С G) , удовлетворяющих на G условию Гёльдера с показателем ос (класс таких функций прерывные производные до порядка гп включительно, причем обозначим через Н^ CG), )| J || c^CQ) = || J || cCG) + Н ( J, ск, G),

- пространство функций J , имеющих в замкнутой области G не eC^CG), B =

В p? oo » p> 2 - пространство, состоящее удовлетворяющих условиям: р, оо » cfljoo-o, 6; jeНPj;e с; "9 J, 0. jeLpC®> р производные понимаются в обобщенном смысле), с нормой

IflBpj00=H (J, ^.©HVlLpw'IVIbpwi

Множество функций, заданных на множестве G с (D и принимающих Л значения в банаховом пространстве X , обозначим через X

Ниже всюду предполагается, что коэффициенты уравнения Карлемана-Векуа (I) принадлежат пространству L р,2 , р > 2 . Функция цУ называется решением уравнения (I) в области О е С , если для каждой точки G- , исключая, быть может, точки некоторого дискретного относительно G множества &иу , существует окрестность, в которой иГ обладает обобщенной (в смысле С.Л.Соболева) производной по 2 и почти всюду удовлетворяет уравнению (I). Если G"uj= ^ , то иLT называется регулярным решением уравнения (I) в области G- . Множества решений и регулярных решений уравнения (I) в области От обозначим через Ol.*(A,B;G) и Oi(A,B; G) .В случаях, когда нет необходимости указать на область, в которой UJ является решением или регулярным решением уравнения (I) будем писать иЗ в Ог,* С А, 8) или uT е Ог. (А,8) соответственно. Решения (регулярные решения) уравнения (I) называются обобщенными аналитическими функциями класса Ov ( А, В) (класса Oi ( А , В ) ).

Через R А'В обозначим оператор, сопоставляющий каждой "Ь аналитической функции Ф и точке "Ь е (D решение уравнения

А 8

I) uj(s,-b) = R ' (Ч>)(2) , удовлетворяющее условиям: I) функция Ъ иг ( 2,-Ь) = иг Се,-Ь)/Ч> (Z) - непрерывна в замыкании области аналитичности функции Ф и непрерывно продолжима на (£ , причем utf С* ^eCg^s (£) ; 2) иХС2>"Ь) не обращается в нуль р ~ ни в одной точке расширенной комплексной плоскости; 3) ur (-Ь,-Ь)=<|. Ядра и обобщенные степенные функции класса Оъ* (А, 8) (уравнения (I)) обозначим через ц , сС=4,2 и UK , к= 0,±1, ±2 соответственно:

U toy^Vw"), и^аад-С^Сг-а^;

2к 20

A, В,

Наряду с функциями II мы рассматриваем также обобщенные стеК пенные функции вида

Ядра и обобщенные степенные функции сопряженного с (I) уравнения

0 иУ- Аиг'-Вйг=0 (!') обозначим через -О^ , о( =Н,2 и U^ , V^ , К = 0, ±4, ±2,. .

Во второй главе дается достаточно полное исследование вопросов, связанных с представлением обобщенных аналитических функций в виде обобщенных рядов (2-го рода). Предварительно в § 2.1 устанавливаются некоторые свойства обобщенных степенных функций, а в §2.2 выводятся некоторые соотношения для ядер уравнения Карлема-на-Векуа, в частности, установлена связь между ядрами различных уравнений определенного вида, получены разложения этих ядер в ряды обобщенных степенных функций, обобщающие известные элементарные разложения ядра Коши. Эти результаты имеют определенный самостоятельный интерес и могут быть применены при исследовании различных свойств обобщенных аналитических функций; на их основе в § 2.3 даны разложения обобщенных аналитических функций в ряды Тейлора и Лорана, доказывается аналог теоремы Голубева-Привалова, установлены необходимые и достаточные условия разрешимости неоднородной задачи линейного сопряжения для обобщенных аналитических функций, установлены также необходимые и достаточные условия для того, чтобы регулярное на всей плоскости решение неоднородного уравнения Карлемана-Векуа обращалось в нуль на бесконечности с некоторым заданным порядком.

Приведем некоторые основные результаты П главы.

Теорема 2.1. Пусть Г - кусочно-гладкая простая замкнутая кривая, окружающая точку г0 Ф °о . Тогда имеют место равенства г (4)

Re ^r-JV (г, (2,2o)dg= I K,m, г где I = i (I =~l) , если Кит четные (нечетные) и к j m к,т ' f. 2 ]+ [ г3]= ~ ' I К)П1 = 0 во всех остальных случаях.

Теорема 2.2. Для любого натурального числа К имеют место формулы: (?-2o)H(i-Zo)~Hrie G,-к), (56)

2 ф-ь, 2 Ф , (6а)

J (66) (К) , л где О , cL = , - ядра уравнения ot

8W+ Aw + 8KW=0, B = B(2)(2-^)K(2-2o)"k, со. (7)

2 "К

Теорема 2.3. Ядра уравнения (I) представляются в виде рядов а,(*.*)-£ |ul^bA^^-U^Cbfi^J?^), (8а)

Я^Ч iU-SC«Jb>*°V>%> U2 (86) при I 2-2о | < | -b-2o|, и

00 *-j- -jafei)=-| S uj-b^u^fea,)-U Ji,msJtA), <<») при I 2-2o|>|-fc-2o|.

Ряды (8a,6)((9a,6)) сходятся абсолютно и равномерно внутри области {(Ч-Ь): |2-2o!<R, |-fc-20|>R} ({(2,-t): [2-20|> R, | -fc - 2о I < R } ) при любом R > 0. В § 2.1 доказываются равенства v' a? )V (i? )-V' ft2)V (гя)>

-2CK+-0 ° 2k ° -2к-Л > °J ак+А 5 о/

Y2(l<to Ъ^т^СЬ,^ C2A), где К - произвольное целое число, 2 Ф?0 , ~Ь Ф 2о . Из этих равенств видно, что в теоремах 2,2 и 2.3 вместо функций UK и U'K можно брать функции VK и "V^ соответственно.

Теорема 2.6. Если функция иУ -регулярное решение уравнения (I) в области G и 20 - произвольная точка G , то в любом круге К ъ С 20) с G эту функцию можно представить в виде суммы сходящихся рядов со

10(2) =2 a UK(2,2J3 (ioa) к=о К К и оо £ 6Л С2'8<0» (ЛИ) коэффициенты которых определяются по формулам а = RG —

2к 23Ть

1^(2) U' .(2,2o)d2,

-еск+о 4 а =-Re

23Ti

12-2о|=Р

6 =Re

UJ(2)v' (% 20)d2,

2k 2£JTu J

12)

6 =- Re—- f L0"C2)V' fe^cte,

1г-2о1=р где скр<ъ.

Теорема 2.7. Если функция Ltf - регулярное решение уравнения (I) в кольце Кг R Сго): O^Z< 12-20| < R , то эту функцию можно представить в виде суммы сходящихся в указанном кольце рядов оо

UJ(2)=Z aKUK(2,2o) (I3a)

К=-оо И оо ш) коэффициенты которых определяются по формулам (II) и (12), соответственно, где R [ ,а индекс К пробегает значения О, ±4 9± 2, . .

Теорема 2.8. Пусть UJ - регулярное решение уравнения (I) в кольце К „ (20) , 1 ь О и пусть m(p)= max |lu(z)|, pe]zR[ Тогда коэффициенты лорановских разложений (13а,б) функции uJ удовлетворяют неравенствам (неравенства Коши): l<VLaa«J£ M-mfj»)./",

14)

I К: 'Л™ Is м ■m <-?>?*> к=0> где М - постоянная, зависящая только от коэффициентов уравнения (I), a j> - произвольное число из интервала ]?/; R [•

Теорема 2.9. Пусть Ф - суммируемая функция на простой замкнутой спрямляемой кривой Г , ограничивающей конечную одно-связную область G • Для того, чтобы существовала функция из класса Gi ( А, В; G-) , представимая обобщенным интегралом Ко-ши, угловые граничные значения которой совпадают с ЧЧ?) почти везде на Г , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

Im J'PC^VJ К = (15) г

Представления (8 а,б) и (9 а,б) ядер уравнения Карлемана-Ве-куа являются аналогами известных элементарных разложений ядра Ко-ши. Теоремы 2.6 и 2.7, представляют собой обобщение теорем Тейлора и Лорана. Теорема 2.9 обобщает теорему Голубева-Привалова на обобщенные аналитические функции.

Разложения ядер уравнения Карлемана-Векуа оказываются полезными и при изучении некоторых граничных задач. В качестве примера в п. 4 § 2.3 рассматривается задача линейного сопряжения для обобщенных аналитических функций:

Найти кусочно-регулярное решение уравнения (I) с граничной линией Г , имеющее конечный порядок на бесконечности, по граничному условию ur+Ct) = G(-fc)ur-Ct) + g(-b) на Г, (16) где Г - совокупность конечного числа простых гладких замкнутых кривых, не имеющих общих точек, G и g - заданные функции класса Н ^ ( Г) , О < с£ ^ А , причем G СЪ) ф О всюду на Г, из"1" С-Ь) и UJ~(-b) - граничные значения искомой функции uJ" на Г соответственно слева и справа (относительно выбранного на Г положительного направления).

В приложениях особый интерес представляют решения задачи (16), удовлетворяющие на бесконечности условию

ЫГ(2)= О С12|-гт>), (17) где m - заданное целое неотрицательное число.

Установлено, что если зе^т--) ( ае = [ат.д&(Ъ)]г - индекс задачи (16)), то общее решение задачи (16)-(17) линейно зависит от 2(зе-т+0 произвольных вещественных постоянных; если ае ^ гп - 2 » то для разрешимости задачи (16)-(17) необходимо и достаточно выполнение условий:

Im J^'ftd J^db=0 , К = ОИэ.,2Ст-ае)-3? (18) г х+ ш

Л ( А | где V (2)=V (2; 0) - обобщенные степенные функции класса

К к

Зг. ( - А, - 8' » ) , X - каноническое решение задачи линейного сопряжения для аналитических функций с граничным условием на

Г: 9 + (t)=G(404>"а).

А |

Функции = K = OJ , 2(m-se;-3, составляют полную систему решений задачи линейного сопряжения для функций класса Gz. А, ~ В ) с граничным условием на Г : tu,+a)=[G(-t)]HLCfl-a)? удовлетворяющих на бесконечности условию иа'С2) = 0С1 2|т"2).

В п. 5 § 2.3 расскатривается неоднородное уравнение

0иУ+АиГ + 6uCT=F, (19) 2 где A,8,FsLpja, р > 2 ; кроме того предполагается, что вблизи бесконечности

F(2) = 0(|?rm) для некоторого •

Существует единственное регулярное на всей плоскости решение уравнения (19), исчезающее на бесконечности. В приложениях часто возникает необходимость, установить необходимые и достаточные условия для того, чтобы это решение обращалось в нуль на бесконечности с некоторым заданным порядком. С помощью формул (6 а,б) доказывается следующее утверждение: для того, чтобы регулярное на всей плоскости решение уравнения (19) удовлетворяло на бесконечности условию

11100 = 0 О 2ГК) для некоторого К , , необходимо и достаточно выполнение условий

R<

U ft) F

20) D i где U: (2) = Uj(2;0) - обобщенные степенные функции уравнения J J

I ).

В третьей главе рассматриваются уравнения Карлемана-Векуа и Бельтрами с зависящими от параметра коэффициентами.

В § 3.1 изучается характер зависимости решений уравнения

Э UJ + A uJ+ В.йУ=0. (2I)

2 Я А от параметра Зь , пробегающего некоторый интервал I числовой оси. Предполагается, что Ад , В^е Lpj2 , р>2.

Пусть ~ аналитическая функция в (D , а 20 в (D - произвольная точка. Тогда иО^ (2,20)= ( 2 ) ляется вполне определенной функцией параметра Л» в I . Установлено, что если Ал , Вл е LTp, е - непрерывные, диф|еренцируе-мне или аналитические функции в точке е I , то иУ^ (г,,г0)= ( % > также является непрерывной, дифференцируемой или аналитической, соответственно, функцией параметра JL в точке Л>о со значениями в пространстве С С©)

Установлено, также, что если , , ^ е Ls ^ р>2-непрерывные, дифференцируемые или аналитические функции в точке JbQ е I , то исчезающее на бесконечности регулярное в (D решение уравнения иУ+ BQuJ= R g Л Л> Jb является непрерывной, дифференцируемой или аналитической, соответственно, функцией параметра Л в точке jb0 со значениями в пространстве С ((D)*

В § 3.2 рассматривается уравнение Бельтрами

9 uT-JU д Щ-=0, (22) а л 2 где JJ - функция параметра jb , пробегающего некоторую область G- G ' 00 значениями в пространстве L ^ ((D) . Предполагается, что при всех jb е G выполняется условие

I^JL.ce,^ -соп8Ъ< 4

Доказывается следующее утверждение: если jj е L р С для некоторого р > 2 , достаточно близкого к 2, или, если JJ л е [ L р ((D) П С^ CC)]G , р > 2 , то уравнение (22) допускает решение вида

-.«-If».

23) осуществляющее при любом A>eG гомеоморфное отображение расширенной комплексной плоскости на себя. При этом, если ju^ е L р ( - непрерывная (аналитическая) функция параметра Л в точке Л>0 е & , то иО^ (2) — 2 является непрерывной (аналитической) функцией параметра Л в точке JbD со значениями в пространстве В р> <» •

В четвертой главе, применяя результаты предыдущих глав, решаются задачи об определении напряженного и деформированного состояний выпуклой замкнутой оболочки постоянной толщины. За основу принимается вариант теории оболочек, развитый И.Н.Векуа в работах [ 11-13], основанный на определенном допущении относительно распределения сил напряжений в оболочке и представляющий собой обобщение безмоментной теории оболочек.

Пусть П - оболочка постоянной толщины 2ft с регулярной серединной поверхностью S ъ = Ъ ( аз" 9 ос2') . Рассмотрим координатную систему (ос) , связанную с нормально связанной с 5 координатной системой (аУ) преобразованием вида ос*= ос°Ч ас", асе', ее3'; , oL= ±,2

CD3 = CD3!,

25) где со* е ( G X [- R] ) , £ ^ 2, G - область плоскости, на которую гомеоморфно отображается S при данной параметризации. Семейство координатных систем, нормально связанных с S , обозначим через R1 , а семейство координатных систем вида (25) О через l| •

В работе И.Н.Векуа [12] доказано, что в произвольной системе координат (со1) е f^1 при заданном поперечном поле сил напряжений Р3 система уравнений равновесия оболочки для каждого фиксированного значения Л> е [- R; ft ] нормальной координаты з1

X приводится к системе уравнений безмоментной теории оболочек. В случае выпуклой оболочки эту систему можно записать в виде неоднородного уравнения Карлемана-Векуа для комплексной функции напряжений. Для этого координатную систему (ф", ос2'; нужно подобрать так, чтобы она была сопряженно-изометрической на з1 поверхности S^ : ос = cons-b , т.е. так, чтобы в этой системе координат вторая основная форма поверхности Sjb имела канонический вид. Но в произвольной системе координат (cc'jeF1 з1 , на всех поверхностях ос = const задается одна и та же параметризация С зв1' ' зс2') . Легко проверить, что эта параметризация может оказаться сопряженно-изометрической одновременно для двух поверхностей S и , иЦ Ф Л2» тогда и только тогда, когда S - сферическая поверхность. Следовательно, если оболочка не является сферической, то сопряженно-изометрическую параметризацию нужно строить для каждой координатной поверхнос-з' ти S ' og = X = cons-b в отдельности и, стало быть, в процессе решения задачи невозможно оставаться в одной фиксированной координатной системе ( со') е Fj . Это обстоятельство приводит О нас к необходимости, использовать для параметризации выпуклой оболочки координатные системы из семейства

В § 4.1 показано, что при заданном поперечном поле сил напряжений система уравнений равновесия оболочки редуцируется к системе уравнений безмоментной теории оболочек для каждого фиксированного значения нормальной координаты а? ив том случае, когда оболочка отнесена к произвольной системе координат С ос) е F6 .

В § 4.2 доказывается, что если S - регулярная поверхность класса Cm , m ^ 3 , положительной главной кривизны, то в Fs существует система такая, что индуцированные ею параметризации на всех эквидистантных с S поверхностях являются сопряженно-изометрическими; в этой системе координат систему уравнений равновесия оболочки можно записать в виде уравнения Карлемана-Вез куа с зависящими от нормальной координаты ас коэффициентами и правой частью.

В § 4.3 решается задача равновесия замкнутой оболочки с регулярной серединной поверхностью класса Cm, т 3 положительной главной кривизны. Задача об определении напряженного состояния оболочки приводится к отысканию регулярного на всей плоскости решения уравнения

- г- , fluJ+Bitf-F, в Г eL , р> 2, (26) удовлетворяющего на бесконечности условию иг 00-О CIS Г4). (27) v/b

Существует единственное регулярное в (D решение уравнения (26), исчезающее в бесконечности; оно имеет вид D где > - ядра уравнения (26). С помощью формул

5а,б) устанавливаются необходимые и достаточные условия для того, чтобы функция UX^(^) удовлетворяла условию (27). Они накладывают определенные ограничения на заданное заранее поперечное поле сил напряжений Р3 и выражают условия статического равновесия поверхностей Sj^ - ее- = JL = cons-b, (как абсолютно жестких тел), когда на эти поверхности действует некоторое поле сил, выражающееся через заданное поперечное поле сил напряжений и объемные силы, действующие в оболочке.

В п. 2 § 4.3 путем применения закона Гука только для компонент тангенциального поля напряжений определяется деформированное состояние замкнутой оболочки с регулярной серединной поверхностью положительной главной кривизны. Напряженное состояние оболочки при этом считается заданным и, кроме того, принимается гипотеза Кирхгоффа-Лява о том, что при деформации оболочки длины поперечных волокон не изменяются.

В п. 3 § 4.3 приводится упрощенная схема решания задачи об определении напряженного состояния оболочки с регулярной серединной поверхностью положительной главной кривизны, основанная на приближенном представлении тангенциального поля напряжений в з виде полинома относительно нормальной координаты ос . Поперечное поле напряжений в этом случае считается заданным.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [21-24].

Основные результаты диссертации в разное время докладывались на семинарах Института прикладной математики им. академика И.Н.Ве-куа Тбилисского государственного университвта, на Ш международном симпозиуме по теории оболочек (Тбилиси, 1978 г.), на международной конференции по комплексному анализу и его применениям в теории дифференциальных уравнений в частных производных (Галле, 1ДР, 1980 г.), на всесоюзной конференции по дифференциальным уравнениям в частных производных, посвященной памяти акад. АН УССР Я.Б.Лопатинского (Львов, 1981 г.), на всесоюзной конференции по дифференциальным уравнениям в частных производных (Тбилиси, 1982 г.).

Результаты диссертации систематически обсуждались на семинарах кафедры высшей математики факультета кибернетики и прикладной математики ТГУ (руководитель семинара проф. Р.А.Кордзадзе) и отдела комплексного анализа и его применений Института прикладной математики им. академика И.Н.Векуа ТГУ (руководитель семинара проф. Г.Ф.Манджавидзе).

Считаю своим долгом с глубоким уважением и благодарностью вспомнить своего научного руководителя академика И.Н.Векуа, советы и указания которого способствовали выполнению данной работы.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Калдани, Нерон Васильевич

Результаты работы В.С.Виноградова LI6] дают возможность, путем повышения требований относительно гладкости коэффициента J* уравнения (I), освободиться от условия 2 < р <• 2+ &(>!*) , л которое накладывает определенное ограничение на поведение функции jd (•) в бесконечности. G

Имеет место следующее утверждение: если ju в ((П)П1.р(а;)] ,

О < о( ^ 1 , р > 2 , me N + ,то уравнение (I) допускает решение вида (3), осуществляющее при любом гомеоморфное отображение расширенной комплексной плоскости на себя. При этом, если j^J е Lp ((К) - непрерывная (аналитическая) функция в точке Я о е G , то uJ^(2)-2 является непрерывной (аналитической) функцией параметра Л в точке со значениями в пространстве В р, оо •

В самом деле, в [16] доказано, что для любого jI е G- oneратор У - П непрерывно обратим в Lp (С) ,р>2 . Значит, если ju е Lp ((D)g непрерывна (аналитична) в точке л. ^ то функция п также будет непрерывной аналитической) функцией параметра.А в точке Я0 . В силу теоремы 1.4 отсюда следует, что если y^eLp ((D)& - непрерывна (аналитична) в точке Л0 е G , то функция иУя(г)-2 = о G СТ |л)(в)еВр,в также является непрерывной (аналитической) функцией параметра А. е точке Хо

Докажем теперь, что при любом фиксированном X е G функция иУ^(2) принимает один и только один раз любое фиксированное значение А . Действительно, функция 03*^(2) = иГя(2ЬА. , которая, очевидно, является решением уравнения (I), в силу теоремы 1.5 вблизи бесконечности имеет вид

4+ 0 12| Р ]; (3.2.13)

11ГЯС2) = 2 согласно теореме 2.4 из [9}, гл. 2, эта функция принадлежит классу ( т>) для любого компактного множества Т) с (D .Из л Л

13) следует, что приращение ат-о аУ^ (2) вдоль окружс 01 ности достаточно большого радиуса с центром в точке 2=0 равно I. Значит, в силу принципа аргумента (см. [9], гл. 2, теорема 2.8) найдется единственная точка , где функция иУл (?) имеет нуль 1-го порядка, т.е. в точке ' и только в этой точке (г) принимает значение А , что и требовалось доказать.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Калдани, Нерон Васильевич, 1984 год

1. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. - М., 1969. - 134 с.

2. Александров А.Я., Соловьев 10.И. Пространственные задачи теории упругости. М., 1978. - 462 с.

3. Блиев Н.К. Эллиптические системы дифференциальных уравнений первого порядка на плоскости в дробных пространствах и краевые задачи. Докторская диссертация. Матем. институт им.

4. В.А.Стеклова АН СССР, 1979.

5. Бляшке В. Круг и шар. М., 1967. - 232 с.

6. Боярский Б.В. Обобщенные решения системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа с разравными коэффициентами. Матем. сборник, 1957, т. 43(93), с. 451-503.

7. Боярский Б.В. Теория обобщенного аналитического вектора. -Annales Polonicri Ifetthematici, 1966, XYII, s.

8. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. М., 1948.

9. Векуа И.Н. Системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа и граничные задачи с применением к теории оболочек. Матем. сборник, 1952, 31(79):2, с. 217-314.

10. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М., I959-. -625 с.

11. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантоЕ. -М., 1978. 296 с.

12. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М., 1982. - 286 с.

13. Векуа И.Н. Об одном классе статически определимых задач теории оболочек. Сообщ. АН ГССР, 1976, т. 83, В 2, с. 273-276.

14. Векуа И.Н. Об одном классе статически определимых задач теорииоболочек. Сообщ. АН ГССР, 1976, т. 83, В 3, с. 529-532.

15. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М., 1968. - 380 с.

16. Виноградов B.C. Исследование граничных задач для эллиптических систем первого порядка. Математические заметки, 1973, т. 14, № 2, с. 291-304.

17. Виноградов B.C. О разрешимости одного сингулярного интегрального уравнения. ДАН СССР, 1978, т. 241, № 2, с. 272-274.

18. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М., 1977. - 640 с.

19. Данилюк И.И. Исследование пространственных осесимметричных краевых задач. Сибирск. матем. журнал, 1963, т. 6, № 4, с. I27I-I3I0.

20. Калдани Н.В. О бесконечно малых изгибаниях высшего порядка поверхностей положительной кривизны. Тезисы докладов конференции молодых ученых Тбилисского гос. ун-та, Тбилиси, 1974, с. 69-70.

21. Калдани Н.В. Применение обобщенных аналитических функций к задачам бесконечно малых изгибаний поверхностей. -Komplexe Analisis and ihre Anwendung auf partielle Differentialglei-chungen, Halle (Saale), 1977, s. 98.

22. Калдани Н.В. Determination of the stressed state of convex composite sells. . Theory of sells, North-Holland

23. Publ. Company, 1980, s. 345 352.

24. Калдани Н.В. Разложения ядер уравнения Карлемана-Векуа в ряды обобщенных степенных функций и некоторые их применения. -Граничные задачи обобщенных аналитических функций и их применения, сборник статей, изд. ТГУ, Тбилиси, 1983, с. 17-62.

25. Кордзадзе Р.А., Эль-Кашиф A.M. Общее представление решений линейной системы уравнений первого порядка эллиптического типа с двумя независимыми переменными. Сб. трудов факультета кибернетики и прикладной математики ТГУ, 1980, с.

26. Крушкаль С.Л. Квазиконформные отображения и римановы поверхности. Новосибирск, 1975. - 196 с.

27. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные уравнения со сдвигом. М., 1977. - 448 с.

28. Михайлов Л. Г. Краевая задача типа задачи Риглана для систем дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа и некоторые интегральные уравнения. Ученые записки Таджикского гос. ун-та, 1957, т. 10, с. 32-79.

29. Мусаев К.Н. О некоторых граничных свойствах обобщенных аналитических функций. ДАН СССР, 1967, т. 181, В 6, с. 1335-1338.

30. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск, 1977. - 424 с.

31. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., 1972. - 512 с.

32. Оболашвили Е.И. Некоторые обобщения двумерных задач теории упругости. Комплексный анализ и его приложения. Сборник статей, посвященный академику И.Н.Векуа к 'его семидесятилетию,1. М., 1978, с. 447-449.

33. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. М., 1950. - 336 с.

34. Погорелов А.В. Геометрические методы в нелинейной теории уп- 129 ругих оболочек. М., 1967. - 280 с.

35. Положим Г.Н. 0 р -аналитических функциях комплексного переменного. ДАН СССР, 1947, т. 58, В 7, с. 1258-1278.

36. Полоний Г.Н. Особые точки и. вычеты р -аналитических функций комплексного переменного. ДАН СССР, 1948, т. 60, 5, с. 769-772.

37. Положий Г.Н. Теория и применение р -аналитических и (Pj'v) -аналитических функций. Киев, 1973. - .422 с.

38. Стоилов С. Лекции о топологических.принципах теории аналитических функций. М., 1964. - 226 с. .

39. Треногин В.А. Функциональный анализ. М., 1980. - 496 с.

40. Усманов З.Д. К вопросу о деформации поверхности с точкой уплощения. Матем. сб., 1978, т. 89(131), № 1(9), с. 61-82.

41. Шабат Б.В. Об обобщенных решениях одной системы уравнений в частных производных. Матем. сборник, 1945, 17(59), с. 193209.

42. Beltrami Е. Sulle funcioni potenziali di sistemi simmetrici intorno ad un asse.- Opere mat.,,Milano, 1911, v.3, s. 115128.

43. Beltrami E. Sulle teoria delle funzioni potenziali simmetri-che ibid. Opere mat., Milano, 1911, v. 3, s. $49-377 .

44. Bers L. Theory of pseudo-analytic functions,- Nev York University, 195345. Bers L. Formal powers and power series. Comm. a App. Math.1956, 9, s. 693-711.

45. Bers L. and Agmon S. The expansion theorem for pseudo-anali-tic functions. Proc. Amer. Math. Soc., 1952, 3, N5, s.757-764.

46. Bers L. and Gelbart A. On a Glass of Differential Equations in Mechanics of Gontinua. Quart, of Appl. Math., 1943, 1,s. 168-188.

47. Carleman T. Sur les systemes aux derive'es partielles du premier ordere a deux variables. С. R., Paris, 1935» 197» s. 471-474.

48. Theodoresco N. Theses, Paris, 1931.55• Theodoresco N. La de'rive'es are'olaire . Ann. Koumaist Math. Gahier, Bucharest, 1936, 3.

49. Weinstein A. Discontinuons Integrals and Generalized Potential Theory,- Transactions, Amer. Math. Soc., 1948, 63, 2, s. 342-354.