Интегральные представления решений и граничные задачи для некоторых квазилинейных уравнений гиперболического типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Ильясова, Альбина Куандыковна

• Ильясова, Альбина Куандыковна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ильясова, Альбина Куандыковна

Введение.

Глава I. Явная формула интегрального представления решений для уравнения третьего порядка гиперболического типа с регулярными коэффициентами в трехмерном пространстве.

§1.1. Об одном способе сведения уравнений третьего порядка гиперболического типа общего вида к системе трех линейных уравнений первого порядка пространства И3.

§1.2. Явная формула интегрального представления уравнения третьего порядка гиперболического типа общего вида.

Глава II Интегральные представления и граничные задачи для одного класса квазилинейных уравнений второго порядка с регулярными коэффициентами.

§2.1. Сведение квазилинейного уравнения второго порядка к линейному дифференциальному уравнению.

§2.2. Явная формула интегрального представления решений квазилинейного дифференциального уравнения второго порядка.

§2.3. Некоторые свойства решений квазилинейного дифференциального уравнения второго порядка с регулярными коэффициентами.

§2.4. Граничные задачи для квазилинейного дифференциального уравнения второго порядка с регулярными коэффициентами на плоскости.

Глава III Явные формулы интегральных представлений и граничные задачи для некоторых квазилинейных уравнений с сингулярными коэффициентами.

§3.1. Интегральные представления решений для одного класса квазилинейных уравнений второго порядка с одной граничной сингулярной линией на плоскости.

§3.2. Формулы явных решений граничных задач для квазилинейного уравнения с одной граничной сингулярной линией на плоскости.

§3.3. Интегральные представления решений для одного класса квазилинейных уравнений второго порядка со многими внутренними сингулярными линиями на плоскости.

§3.4. Об одной граничной задаче для одного класса квазилинейных уравнений второго порядка со многими внутренними сингулярными линиями .:.

§3.5. Интегральные представления решений для одного класса квазилинейных уравнений второго порядка с одной сингулярной точкой на плоскости.

Глава IV Интегральное представление решений и граничные задачи для одного класса квазилинейных уравнений третьего порядка с регулярными коэффициентами.

§4.1. Редукция одного класса квазилинейных уравнений третьего порядка к линейному уравнению с частными производными.

§4.2.Интегральные представления решений для одного класса квазилинейных уравнений третьего порядка.

§4.3. Граничная задача для квазилинейного уравнения производных третьего порядка с регулярными коэффициентами.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегральные представления решений и граничные задачи для некоторых квазилинейных уравнений гиперболического типа»

Сингулярные и вырождающиеся гиперболические уравнения, а также уравнения смешанного типа и их исследования являются одним из важных вопросов современной теории дифференциальных уравнений в частных производных. Интерес к этому классу уравнений поддерживается как теоретической значимостью полученных результатов, так и их многочисленными приложениями в газовой динамике, гидродинамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхности, в различных разделах механики сплошных сред и других областях науки и техники.

Основы теории сингулярных и вырождающихся уравнений заложены в работах известных математиков Ф. Трикоми, И.Н. Векуа, С. Геллерстедта, Ф.И. Франкля, М.А. Лаврентьева, К.И. Бабенко, A.B. Бицадзе. Наиболее пристальное внимание к данным уравнениям стало уделяться с конца 40-х годов XX века, после того, как Ф.И. Франкль указал их приложения к проблемам околозвуковой и сверхзвуковой газовой динамики. Позже были найдены приложения этих уравнений в других разделах физики и механики. Так, И.Н. Векуа указал их в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей безмоментной теории оболочек.

Теоретические основополагающие результаты принадлежат Ф. Трикоми, который поставил и решил первую граничную задачу для уравнения

Uxx + Uxy=0 . и С. Геллерстедту, который провел исследования для уравнения nH-1uxx + uyy = 0,meN.

М.А. Лаврентьев, с целью упрощения исследований граничных задач подобных уравнений, предложил новую модель уравнений

A.B. Бицадзе принадлежат исследования задачи Трикоми и ее обобщений для этого уравнения. Теперь оно называется уравнением Лаврентьева -Бицадзе.

C.JI. Соболев для волнового уравнения в трехмерном пространстве i--utt-{uxx + uyy + uZ2)= О

С ^Л1, у, Z) разработал метод сведения задачи Коши к интегральному уравнению.

Задача Коши для линейных уравнений гиперболического типа была решена Адамаром иным методом с использованием особого понятия интеграла.

Одними из основных направлений современной теории дифференциальных уравнений с частными производными являются постановка граничных задач, как по граничным условиям, так и условиям сопряжения, и поиск методов их решения.

Во второй половине XX века в этом направлении появляются новые работы, среди которых можно отметить исследования A.B. Бицадзе [9], М.М. Смирнова [74], С.П. Пулькина [58], В.Ф. Волкодавова [15], A.M. Нахушева [50], Н. Р. Раджабова [62], JI.C. Пулькиной [60] и других ученых.

Для общего уравнения гиперболического типа и^ + а {.х, у) их + Ь{х, у) иу + с(х, у) и = f(x, у) решение задачи Коши получено методом Римана через решения однородного сопряженного уравнения.

В работах М.М. Смирнова указано, что задача Гурса для этого уравнения сводится к решению системы двух линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Данное уравнение и его пространственные аналоги встречаются при исследовании вибрации и играют существенную роль в теориях аппроксимации и отображений [11].

Следует отметить проведенный в этом направлении ряд работ Н.Р. Раджабова [61] - [65], которым в 1985 году был разработан метод разложения главной части дифференциального оператора второго порядка гиперболического типа в виде композиции двух линейных операторов первого порядка. На основе данного метода для линейного дифференциального уравнения второго порядка гиперболического типа общего вида была получена явная формула интегральных представлений многообразия решений через две произвольные функции одного независимого аргумента.

В работе Н.Р. Раджабова «Интегральные представления и граничные задачи для некоторых гиперболических уравнений с одной и двумя сингулярными линиями» впервые было исследовано уравнение с двумя сингулярными линиями вида

Для него найдено интегральное представление через две произвольные функции одной переменной и изучены граничные задачи. В частности, требуется найти в области где g{y) и Ь(х) - заданные на некоторых контурах вещественные функции.

На ранних этапах своего развития теория уравнений в частных производных в качестве одной из основных выдвигала проблему нахождения и исследования уравнений, допускающих явное интегрирование. В начале XX века сильнейшее влияние математической физики привело к переоценке ценностей в теории уравнений в частных производных. В результате, ряд классических результатов, касающихся точного интегрирования, был забыт даже специалистами. Но в настоящее время интерес к этим результатам значительно возрос в связи с открытием новых фундаментальных методов точного интегрирования нелинейных уравнений в частных производных.

Общеизвестным примером точно интегрируемого уравнения в частных производных является уравнение Лиувилля и [ Ь{х,у) и [ с{х,у) Цх.у) у * ху *у

П = {0<х<а,0<у<р} 2 решение и(х,у) данного уравнения из класса С (Б) по граничным условиям и у = ¡ieu, fi = const

Уравнение быстрой диффузии ut = Ainu, и= y,t) , в двумерном координатном пространстве, встречается во многих прикладных задачах, например, при описании процесса растекания сверхтонкой пленки жидкости под действием сил Ван дер Ваальса. Оно возникает при моделировании диффузионных явлений в полупроводниках, полимерах и т. п. Уравнение быстрой диффузии с линейным источником имеет вид ut = Aln и-Ли, где Ле Re\{0}. Его стационарный аналог (эллиптического уравнения)

Д1п и = Ли заменой и = ехр{Лсо) сводится к уравнению Лиувилля Ао) = ехр(Ла)). А.Г. Попов для квазилинейного уравнения Лиувилля вида

Э2 Э2 на основе разработанного им метода, построил формулу точного решения.

В работе В.И. Жегалова «О характеристиках граничных задач для уравнения Лиувилля» выводятся формулы решения задач с граничными условиями первого, второго и третьего типов. В области

D = {0<x<a,0<y<b} рассматривается уравнение Лиувилля. Варианты граничных условий задаются на характеристиках уравнения, проходящих через начало координат.

Задача 1. (Гурса): найти функцию и{х,у) е C(D) n CU{D), являющейся в D решением рассматриваемого уравнения, и удовлетворяющую условиям

1) u{x,0)=ju{x),xe Р=[0,а],

2) u{Q>y)=v{y),yeQ=[Q,bl

3)//(0)=i/(0).

Эта задача, в том числе для общего уравнения и^ = у,и,их,иу) , изучалась в работах А.В. Бицадзе [9], М.М. Смирнова [74], Ф. Трикоми [76], А.Н. Тихонова [75]. В частности, в ([76], с.205) при определенных ограничениях на ( методом последовательных приближений доказано существование единственного решения данной задачи. При этом условия Липшица для Г по последним трем аргументам должны выполняться в некотором пятимерном параллелепипеде, сужение которого на плоскость (х,у) может оказаться лишь частью области Б.

Задача 2. Найти функцию и(х,у) е С{0) п Сол (ИиР)п С1,0 (£>и (?) п С1'1 (£>), удовлетворяющую следующим условиям ди

1}э/ ди

2) у= О

Ъх Ух (У), У £ (?, (л-) и (/) заданные функции непрерывно дифференцируемые на Р и (¡) соответственно.

Задача 3. Найти в Б решение и(х,у) того же класса, что и в задаче 2, удовлетворяющее условию £¿(0,0) = 0 и соотношениям

1) иу М) + Д (л) ехри{х,0) = ¿У, (л), Д (л) е [0, а],Д (л-) >0,

2) их (0, у) + Ьг (/) ехр «(0, у) = со2 (у), Л2 (у) е [0, Ь\ И2 (у) > 0.

В работах Н.Р. Раджабова, С.Т. Фозилова [79], [80] изучены некоторые уравнения типа Лиувилля. В частности, для уравнения вида Г где а,р = {Ы/{1}}, а(у), %) - функции, заданные на некотором отрезке 1 = [о, ь], г Э а(у) а/ / ' при определенных ограничениях коэффициентов получена формула явного решения и исследован ряд граничных задач типа Гурса. 8

В работе «Задачи с нормальными производными в граничных условиях для нелинейных гиперболических уравнений» A.A. Кунгурцева исследуется вопрос разрешимости в евклидовых пространствах различной размерности задач об отыскании решений уравнений вида ^—= F{U) п0 граничным условиям, содержащим значения нормальных производных от функции U. В частности, при л = 2, F{U) = к exр U, к - const > 0 является рассматриваемым уравнением Лиувилля. Частные случаи данного уравнения с линейным оператором f встречаются при изучении процессов, связанных с явлениями вибрации и другими задачами механики и математической физики, играют существенную роль в теориях аппроксимации и отображений, к ним сводится задача интегрального представления преобразований одних обыкновенных линейных дифференциальных операторов в другие. Известное нелинейное синус-уравнение Гордона и его обобщения, имеющие различные приложения (статистическая механика, теория поля, оптика, кристаллография) тоже являются частными случаями выше рассмотренного уравнения.

Диссертационная работа посвящена вопросам построения явных формул интегральных представлений некоторых классов квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго и третьего порядков гиперболического типа с регулярными и сингулярными коэффициентами, являющимися аналогами уравнения Лиувилля. Для рассматриваемых дифференциальных уравнений исследуются некоторые граничные задачи

Во введении дана краткая историческая справка по рассматриваемым вопросам, раскрывается актуальность темы и приводится краткое содержание работы.

В первой главе исследуется линейное дифференциальное уравнение третьего порядка гиперболического типа с регулярными коэффициентами.

Обозначим через Q прямоугольный параллелепипед

П{а, J3, у) = {{х,у $ : 0 < х< а, 0 < у< Д 0 < z< у}

Пусть

Пх{а) = {(л;y,z):0< х<а,у — z= О}, Пг{Р)~{(*.y*z):Q< у< р,х= О}, = {(*> у, z) :0 < z< у,х= у= 0} Грани данного параллелепипеда обозначим

П, {а, Д) = {Uу, z) : 0 < х< а,0 < у< Д z=0}, Пг {а, у) = {(х, у, z) : 0 < х < а, у = 0,0 < z < у\ Пъ{р,у)={{х,уг)'.х=Ъ,Ъ<у<р,Ъ<г<у\

В области £2 рассмотрим уравнение д3и . . д2и ,, ч д2и V д2и , . Ъи

- + a(x, у, z) —— + Ь{х, у, z) —— + d{x, у, z) —- + т{х, y,z) — + dxdyoz dxdz dyàz дхду dx du du i0-1) n{x, y,z) — + c{x,y,z)~ + ju(x, y,z)u = Ф(х, y, z), dy dz где а{х, y, z), à(x, y, z), c(x, y, z), d(x, y, z), m{x, y, z), n{x, y, z),/u(x, z) заданные функции в области £2. Теорема 1. Пусть в уравнении (0.1) а(х, у, z) € C^Q), b{x, у, z), с(х, у, z) е С\(i2) и выполнены условия ч да{х,у,г) , ч ,, Л т{х, у, z) =-— + а(х, у, z) d(x, у, z), dz л(х, у, z) = b(x, у, z) d(x, y, z) + ) dz

JLI(яг, y, z) = dc(*>y>z) + c(Xi y> z) dyt z), dz \ t \ da(x,y,z) c{x, y, z) = а (x, y, z) b(x, y, z) +--. dx

Тогда любое решение u{x,y) уравнения (0.1) из класса С3 (£2) представимо в виде и(х, у z) = ехр[— щ (х, у, z) }р(х, z) + у J ехр[бц (х, r,z)-o\{x,y,z)\{ехр[- <ог {х, r,z)\y/{r, z) +

Уо х Jехр[<у20,r,z)-co2{t,z,z)]- (ехр[— щ(t,г, z) ] • 77 (f, -г) + z |ехрЦ{Uт,£)-щ(х,т,г)]-Ф(t,т,£)dt }dr, где (р{х, z),y/{y,z),ri(х, у) произвольные непрерывные вещественные функции, причем<р(х, z) е С3 {а, у), у/(у, z) е С2 (/?, у), г/{х, у) е C{a,fi) , У а\ (х, y,z) = f а(х, т, z) dt,

Уо х

0)г (х, y,z) = J b{t, у, z) dt, z щ {x, y, z) — j d{x, y, £)

Во второй главе изучается квазилинейное дифференциальное уравнение второго порядка, которое является аналогом уравнения Лиувилля. Пусть область Р представляет собой прямоугольник

П{а,Ъ) = {{х,у)0 < х<а,0 < у< Ъ}. Далее обозначим

П1^)={{х>ур<х<а,у=о}

В области Р рассмотрим уравнение

- + а(х,у)^- + Ь{х,у)ехр\^- + а{х,у)и} + с(х,у)и = 0 . (0.2) дхду дх \°У ) где а(х,у),Ь(х, у),с{х,у) заданные непрерывные функции в области Р.

В параграфах 2.1 и 2.2 построена формула явных решений уравнения

0.2).

Теорема 2. Пусть в уравнении (0.2) а{х, у) е С\{р), Ь{х,у),с{х,у)<Е С(р) . Кроме того, пусть о.

Тогда всякое решение и(х,у) уравнения (0.2) из класса С2 (Р) представимо в виде и(х, у) = <р{х) ехр(-й^ (х, у)) - |ехр[й} (х, т) - сох (х, у)]\п(у/{т) + сог (х, т))ёт

Уо

0.3) где <р{х) ,у/{у) произвольные непрерывные вещественные функции из классов

У х

Сг {П1 (а)) , С{П2 (Ь)), Щ и у) — \ а г) М, 0)2 (х, у) =

Уо -*о

В параграфе 2.3 излагаются некоторые свойства решения уравнения

0.2).

В параграфе 2.4 решены граничные задачи. Задача Кх. Требуется определить регулярное в области Р решение и(х,у) уравнения (0.2), удовлетворяющее условиям

1) и{х,у0)= /¡(л),

2) и{х^у) = д,{у),

3) /Каь) = йСУО) У где А (л) , gl (у) заданные функции точек

Теорема 3. Пусть коэффициенты уравнения (0.2) удовлетворяют всем требованиям теоремы 2. Кроме того, пусть функции х)е Сг {П1{а)), gl{y) е Сг{П2(Ь)) . Тогда задача Кг имеет единственное решение, которое дается формулой вида и(х, у) = fy (л) ехр(-щ (х, у)) у

- Jexpfo {х, т) - œx {х, у)]In сог (л, т) + ехр

Уо

-зЛУЫУ)-^ dy . dt

Задача Кг. В области Р требуется найти регулярное решение и{х, у) уравнения (0.2), которое удовлетворяет условиям

1) и(х>У)\у=у0 = Ш, Э и

2)

Э/ 8г ( У) , где f2 (*) , §i (у) - заданные непрерывные функции контуров Пх (а), Пг (Ь). Теорема 4. Пусть коэффициенты уравнения (0.2) удовлетворяют всем условиям теоремы 2. Кроме того, пусть /2 (я) е С2 (П1 (a)), g2 (у) е С1 (Я2 (Ь)) . Тогда задача кг имеет единственное решение, которое дается формулой (0.3), где р{х) = /2 (а) р{у) = ехр[а(/) (С-1 {g2 о7) + Ф) ехрНц (77)) f2 (х0)) drj] - g2 (у) - а{у) Гг {х0) ехр(-<у, (/))). о

Задача к3. Требуется найти в области Р регулярное решение и{х,у) уравнения (0.2), которое удовлетворяет условиям

1) "(*.Уо)=

2) где /3 (а) , (у) - заданные непрерывные функции контуров П1 (а), Пг (Ь), \р) - линейный регулярный дифференциальный оператор вида

Теорема 5. Пусть коэффициенты уравнения (0.2) удовлетворяют всем условиям теоремы 2. Кроме того, пусть Г2(х)<= С2 (П^а)), g2(y) е Сх (П2(Ь)). Тогда задача К3 имеет единственное решение, которое дается формулой (0.3), где р{х) = /3(л), = ехр(-#3 {у}).

В третьей главе исследованы квазилинейное уравнение второго порядка с одной граничной сингулярной линией на плоскости, квазилинейное уравнение второго порядка с одной сингулярной точкой на плоскости, квазилинейное уравнение второго порядка с п внутренними сингулярными линиями на плоскости.

В параграфе 3.1 построена формула явных решений уравнения вида и] + Ь(х, у) ехр(4, [и]) = 0, (0.4) где £(52). ^п - линейные сингулярные дифференциальные операторы кл) =у2-^ + уа(х,у), д2 Э

55 / Уа(х>У) ^+У1 У)

Через Г2 обозначим прямоугольник к(а,/3) = {(х, /): 0 < х< а, 0 < у< /?}

Далее щ(а) = {(*,у):0<х<а, у= 0}, (Р) — {(*» у): 0,0 < у< /?}.

В области О, рассмотрим уравнение (0.4), а(х, у), Ь(х, у), с(х, у) -заданные функции в области £2.

Теорема 6. Пусть в уравнении (0.4) з(х,у) е С\, а в окрестности любой точки яг (/?) по переменной у удовлетворяет условию Гельдера а(х,у) - а{х,Щ ^ Н\)\Ь, где Я > 0, 0</г<1.

Кроме того, пусть Ь{х, у) е С(£2), с(^/)бС(й) и тождественно выполняется условие ус{х,у)--= дх

Тогда любое решение и{х,у) уравнения (0.4) из класса С2 (£2) представимо в виде а{х'0) ехр(-¿ци,/))х

ЛЧ Г

0.5) где (р{х) , у/ {у) произвольные вещественные функции, (р{х) е С2 [я:1 (а)],

Кх^с'М/?)], а^.т) - а(х,0)

Уо о\(х,у) = у с1т, X

Поведение решения уравнения (0.4) вида (0.5) существенно зависит от значения функции а(х,0) . Поскольку а{х,0)>1, то решение вида (0.5) в окрестности лг (/?) неограниченно, его порядок определяется из равенства при

В параграфе 3.2 рассматриваются граничные задачи для уравнения (0.4). Задача Д. В области £2 найти решение и(х,у) уравнения (0.4) из класса С2(£2), удовлетворяющее следующим условиям

У=Уа

2)

М-Г0') ЯЛУ), где А (*)• Я1 (у) - заданные непрерывные функции точек контуров

Теорема 7. Пусть коэффициенты уравнения (0.4) удовлетворяют всем требованиям теоремы 6. Кроме того, пусть С2[7Гх{сс)], g^{y)e С1 [я2(/?)]. Тогда задача Д имеет решение, притом единственное. Это решение дается при помощи формулы (0.5), где р{х) = ^ (л) , уАу)=ехр с- П

Уо т

- ехр(- Щ {у)М%)+gx (/) |

Задача йг. Требуется найти в области а решение и(х, у) уравнения (0.4) из класса С2 (£2), удовлетворяющее следующим условиям 1) и(х'У\у=уп = ^Ы,

2)

-{и(х,уи^М(х,у)) ёг{у), где /2 (*)> 8г (у) ~ заданные непрерывные функции контуров [а), к2 (/?),

М(х, у) — ехр I

Уо з(х,т)-з(х, 0) с/т

Теорема 8. Пусть коэффициенты уравнения (0.4) удовлетворяют всем условиям теоремы 6. Кроме того, пусть /2 (лт)е С2 [а)), gг (у)е С1 (я"2 (/?)). Тогда задача Б2 имеет единственное решение, которое дается в виде (0.5), где 1/оГ "0) • «, V{У) - еЧ>(- & Ш Ы"^ <*р(- (* • /)))■

В параграфе 3.3 получена формула интегрального представления уравнения вида

А[и\+Ь{х,у)ех?{В[и\)=Ъ, (0.6)

16 л= в= д2 п д — + П(у-ак )а(х, у)- + П(у- ак )с(х, у),

П(У-ак)

- + П(у-ак)а{х,у). ду

Через Р обозначим прямоугольник

П = {{х,у) :а < х< Ь, с<у<с/}.

Далее

П1{а,Ъ) = {(х,у):а<х<Ъ, /=о},

П2(с,с1) = {{х,у):х= 0, с < у< д}.

Пусть прямые у=ак(к = 1,2.л) лежат внутри данного прямоугольника р. Совокупность этих прямых, в дальнейшем, обозначим

Гк={а<х<Ъ, у— ак } а (л-, /),Ь(х, у), с {х, у) - заданные функции в области Р.

В области Р рассмотрим уравнение (0.6). Теорема 9. Пусть в уравнении (0.6) функция а(х,у)е С1Х(Р), и в окрестности каждой точки прямых у—ак удовлетворяет условию Гельдера а(х, у)-а(х, ак)\< Н\у-ак\а, Н > 0, 0<а <1.

Кроме того, пусть Ь{х,у)еС{Р), с{х,у)еС(Р) и тождественно выполняется условие ч да(х, у) с[х>У)--— = 0. д х

Тогда всякое решение уравнения (0.6) из класса С2(Р) представлено в явном виде и дается при помощи формулы к=1 х ¿у(а, г)] ехр х (а, т)

Ах

Уо

П(т-ак) П\т — а

-тка{х,ак) к=1 к=У

0.7) где

О)

Щуг, со) = -1п {у/{у)+со(х, 7)), X со(х,у) =

I —---1-~

3 т-а,

Уо шк известные постоянные числа, зависящие от ак.

Решение вида (0.7) получено при предположении, что тка(х,ак)> 1, и

В этом случае решение уравнения (0.7) в окрестности точек прямых у — ак обращается в бесконечность следующего порядка и(х,у)= о|/-а1Г"<"*)).

В параграфе 3.4 рассмотрена и решена граничная задача. Задача М. Требуется найти в области Р решение и (х, у) уравнения (0.6) из класса С2 (Р), которое удовлетворяет условиям

1) "М^'М.

2) — \р{х, у)и{х, у) я(у),

Х=Хо где f{x), Я (у) ~ заданные непрерывные вещественные функции контуров

Пх {а, Ь),Пг (с, </), р{х, у) = П1 У- ак\тка{х-ак) ехр к=I тксок(х,у) к=1

Теорема 10. Пусть в уравнении (0.6) коэффициенты удовлетворяют всем требованиям теоремы 9.

Кроме того, пусть f{x) е С2 {Пу (а,Ъ)) ,q(y)e С1 (Я2 (с, d)), q{y) Ф 0, шка{х0,ак) >1.

Тогда задача М имеет единственное решение вида (0.7), в которой функции i р{х)= f{x)Y[\y0-ak тка(х.ак) к=1 in п

W(y)=exV ехР it ткй)к(х0,у) к=\ а*)

У~ак\

V к=1 *=1

В параграфе 3.5 исследуется квазилинейное уравнение второго порядка с одной сингулярной точкой на плоскости вида

Т / \ Ь(х,у) ( а(х, у) Л у+^^и =0, (0.8) г \ г ) где

Г - и i а(х' У) д i 2 2 , 2

Через Í2 обозначим прямоугольник л(а,/3) = {0 < х< а, 0 < у< 0}, и пусть лг(«) = {0< х<а,у=0}, К{0) = {*= 0.0 < у< a(x, у), b(x, у), с(х, у) за данные функции области Q,. В области Í2 рассмотрим уравнение (0.8). Теорема 11. Пусть в уравнении (0.8) b(x, у), с(х, у)е С(0), а(х, у) е С1Х(0.) и удовлетворяет условию Гельдера а(х, у) - а(0,0)| < г°1 Нх .где Нх > 0, 0 < ах < 1 и 0 < а(0,0) < 1, функция Ь(х, у) удовлетворяет условию Гельдера ь{х,у)-фЩ< га^Н2,гд& #2>0, 0 < ос2 < 1.

Кроме того, допустим, что тождественно выполняется условие гс(х, у)-г2^- + ха{х, у)=0. дх

Тогда всякое решение уравнения (0.8) из класса С2(0) представимо в виде и{х,у) = х э(0,0) ехр(- о\ [х, j/))x х Z

W-jln у/(т) + 0)2 (лг, -г) + ь(0,0) 1п

Г Х+л1 х2 +т2 jj ехр(^ (л-, т)]

I Т + л/х2 +Т2 X з(0,0

В четвертой главе получена формула явных решений квазилинейного дифференциальному уравнению третьего порядка гиперболического типа с регулярными коэффициентами на плоскости.

Пусть О представляет собой прямоугольный параллелепипед

П{а,р,у) = {(л-, у, г): 0 < х< а, 0 < у< /?, 0 < у} Грани этого параллелепипеда обозначим

Пх {а,р) = {(*, у, г): 0 < а,0 < у< /?, 0}, Пг {а, /)={(х,у,г):0<х<а,у=0,0<г< 0}, Щ (/?, у) = {(*, у, г): х= 0, 0 < у < /?, 0 < х< у}.

В области О, рассмотрим уравнение д3и ( ч д2и ,/ ч д2и , чЭи тт+++ oxdyàz oxoz ôyoz az d(x,y)ex p f ZSÏ ddu tdu

Ju a(x,y)— + b(x,y)— + c(x,y)u axay ax ay 0,

0.9) где а(х, y), b{x, y), c{x, y) заданные функции в области Q. Теорема 11. Пусть в уравнении (0.9) а(х, у), с(х, у), d(x, yh Ф), Ь(х,у)е ф).

Кроме того, выполняется условие а(х,у)Ь(х,у)+*^-с(х,у) = 0. ¿У

Тогда, любое решение уравнения (0.9) из класса С3 {О} представимо в виде х и{х, у, z) = (рг (у ^)ехр(- сц {х, у)) + ]У2 О, ^)ехр {о\ у)-щ (х, у) - сог {и /))<#+

-Ч) У 11п(т7(л т) + т)(г- z0 ))"1 ехр(сог т) - со2 (¿, у) )(1т (0 л 0)

Уо где г{х,г)е Сг(П2 (а,у)),<р2(у, z)e С2{П3(р,у)),7]{х,у)<Е С^П^аф)), р у

Щ (х, у)= | Ь(и у)Ж, сог у)= | а(х, т)с!т.

Уо

В параграфе 4.3 найдено решение граничной задачи для уравнения (0.9). Задача Кх. Требуется найти в области решение и(х,у,г) уравнения (0.9) из класса С3 (£2), удовлетворяющее следующим условиям

1) и{х,у,г)^{х,г),

2)

3) и&уг]^ = 1\(х,у),

4) ф0,г0)=д1(у0,г0) = Ъ1{х0,у0), где /*! {х, у), ^ (аг, у), Д (х, у) заданные вещественные непрерывные функции плоскостей Пх {а, ¡3), Пг (а, у), П3 (/?, у).

Теорема 12. Пусть в уравнении (0.9) коэффициенты удовлетворяют всем требованиям теоремы 11. Тогда задача К1 имеет единственное решение, которое дается формулой (0.10), где

Ух (*, г) = /; {х, г) ,

Ъу

Г!(х,у) = ехр а(х, у)^- + Ь(х, + с(х, у(х, у) дхду ох ду

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Ильясова, Альбина Куандыковна

Заключение

В диссертационной работе исследован вопрос, который относится к одной из основных задач теории дифференциальных уравнений - нахождения явных формул решений уравнений в частных производных. В работе упор делается на метод исследования, разработанный Н.Р. Раджабовым, позволяющий значительно расширить круг изучаемых уравнений, допускающие явные решения.

В процессе исследования для некоторых уравнений в частных производных гиперболического типа, как в регулярном, так и в сингулярном случаях получены формулы явных решений, содержащие произвольные функции. Это позволяет поставить и решить ряд граничных задач, что и было реализовано.

В работе изучены квазилинейные сингулярные уравнения, для которых не только получены формулы решений, но и исследовано поведение решений в окрестностях сингулярных точек. Также рассмотрены граничные задачи для этих уравнений.

Все результаты и выводы, полученные в диссертации, сформулированы в виде теорем.

В работе применены классические и современные методы исследования дифференциальных и интегральных уравнений. А также метод представления главной части дифференциальных операторов гиперболического типа в виде композиции линейных операторов первого порядка.

В заключении, автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю Г.А. Айгунову за поставленные задачи, ценные научные консультации и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ильясова, Альбина Куандыковна, 2011 год

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. - М.,1978(1923). - 352с.

2. Айгунов Г.А. Об ограниченности ортонормированных собственных функций одного класса нелинейных операторов типа Штурма-Лиувилля с весовой функцией неограниченной вариации на конечном отрезке. // УМН. -2000. Т. 55. - № 4. - С. 213-214.

3. Алиев Р.Г. Уравнения математической физики Изд-во ДГУ. 1987. - 80с

4. Андреев А.Ф. Особые точки дифференциальных уравнений. Минск, Вышэйшая школа, 1972.

5. Бжихатлов Х.Г. Краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения и сингулярные интегральные уравнения третьего рода. // Дифференциальные уравнения. 1971. - т.7 - №1.- С.3-14.

6. Бицадзе A.B. К теории уравнений смешанного типа, порядок которых вырождается вдоль линии изменения типа. Механика сплошных сред и родственные проблемы анализа. М., 1972. - С.42-47.

7. Бицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.:Наука,1966.

8. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М., 1982. - 448с.

9. Бицадзе A.B. Уравнения математической физики. М., 1982. - 336с.

10. Бицадзе A.B., Нахушев A.M. К теории вырождающихся гиперболических уравнений. // Докл.АН СССР. 1972. - т.204.с.1289 - 1291.

11. Бондаренко Б.А. Базисные системы полиномиальных и квазиполиномиальных решений уравнений в частных производных. Ташкент: Фан, 1987. 146с.

12. Будак Б.М., Горбунов А.Д. О разностном методе решения задачи Коши дляуравнения y=f(x,y) и для системы уравнений = X{t,хх,хг.хп) (/=1.л)сразрывными правыми частями. // Вестник МГУ. Сер. матем. 1958 - № 5. - С. 7-11.

13. Векуа H.H. Системы сингулярных интегральных уравнений. М. - Л., Гостехиздат, 1950.

14. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.:Наука, 1988. - 512с.

15. Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я. Краевые задачи для ЭПД. Куйбышев, 1984. - 80с.

16. Волкодавов В.Ф., Специн B.JL, Федоров Ю.И. Краевые задачи для одной системы уравнений в жестко пластических телах вращения. // Дифференциальные уравнения Куйбышев, 1980 - С.36-45.

17. Вольперт А.И. Об индексе системы двумерных сингулярных интегральных уравнений. //Доклады АН СССР. 1962. - Т. 142 - №4 - С.776-778.

18. Вольперт А.И. Эллиптические уравнения на сфере и двумерные сингулярные интегральные уравнения. // Математический сборник 1962. - № 59(101).- С.195-214.

19. Врагов В.Н. О задачах Гурса и Дарбу для одного класса гиперболических уравнений. // Дифференциальные уравнения. 1972 - т.8 - №1. - С.7-16.

20. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.,1977. - 640с.

21. Гохберх И.И. К теории многомерных сингулярных интегральных уравнений. // Доклады АН СССР 1952. - Т.132 - №6. - С.1279-1282.

22. Джумаев Э.Х. Приближенное решение краевых задач для некоторых уравнений в частных производных с сингулярной линией: Автореф. дис. . канд. физ.- мат. наук. Душанбе, 2004. - 18с.

23. Джураев А.Д. Метод сингулярных интегральных уравнений. М.,1987 -415с.

24. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнения смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент, 1979. - 238с.

25. Дынин A.C. Сингулярные операторы произвольного порядка на многообразии. //Доклады АН СССР 1961. - Т.141 - №2. - С.285-287.

26. Елеев В.А. О некоторых задачах типа задачи Коши и задачи со смещением для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения.- 1997. т.12 - №1.- С.46-58.

27. Жегалов В.И. Трехмерный аналог задачи Гурса // Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа. Новосибирск: Ин-т матем. СО АН СССР, 1990 - С. 94-98.

28. Жегалов В.И., Кунгурцев A.A. О характеристиках граничных задач для уравнения Лиувилля. // Извести вузов. Математика. 2008. - №11. - с.40-47.

29. Крупник H .Я. О непрерывности многомерного сингулярного оператора в пространстве основных и обобщенных функций.// Учебные записки Кишиневского университета. 1962. - № 50 - С.111-117.

30. Кунгурцев A.A. Задачи с нормальными производными в граничных условиях для нелинейных уравнений гиперболического типа: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Казань, 2008. - 16 с.

31. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.,1973. -408с.

32. Ладыженская O.A. Смешанная задача для гиперболических уравнений. -М., 1953. 280с.

33. Ланина Т.И. О некоторых задачах для уравнений гиперболического и смешанного типов. //Дифференциальные уравнения.- 1973. т.9 - №1.- С.115-122.

34. Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М., «Мир» 1972.-587 С.

35. Леднев H.A. Новый метод решения дифференциальных уравнений с частными производными. // Математический сборник. №22(64) - 1948 -С.205-266.

36. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. О задаче Коши для гиперболических сингулярных интегральных уравнений типа свертки.// Вестник ЛГУ. Серия: матем., мех. и астр. 1965. - вып.4. - №19. - С.161-163.

37. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. О сингулярных уравнениях с символом, обращающимся в нуль. //Доклады АН СССР. 1965. - Т.160. - №1965. -С.1250-1253.

38. Матвеев Н.М. Аналитическая теория дифференциальных уравнений. Уравнения класса Фукса и иррегулярная особая точка. JL, 1989.

39. Михайлов Л.Г. К теории полных дифференциалов с сингулярными точками. ДАН России, 1992, т.332,№4, с.646-650.

40. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе, Изд-во АН Тадж. ССР. - 1963. - 183с.

41. Михайлова-Губенко Н.М. Сингулярные интегральные уравнения в пространствах Липшица. // Вестник ЛГУ. 1966. - №1 - С.51-63.

42. Михлин С.Г. К вопросу об индексе системы сингулярных уравнений. ДАН СССР 152, №3, 1963. С.555-558.

43. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.,1962.

44. Михлин С.Г. Сингулярные интегральные уравнения. // УМН. 1948. - вып. 3(25).

45. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. -М.,1988.- 150 с.

46. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М. 1962.

47. Найдюк Ф.О. О свойствах решений гиперболических уравнений с сингулярными коэффициентами: Автореф. дис. . канд. физ.- мат. наук. Воронеж, 2004. 19с.

48. Нахушев A.M. О задаче Дарбу для вырождающихся гиперболических уравнений. // Дифференциальные уравнения 1971 - Т.187 - №1 - С.49-56.

49. Нахушев A.M. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области. // Дифференциальные уравнения. 1970. - Т.6. - №1. - С.190-191.

50. Нахушев A.M. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения. // Доклады АН СССР 1969 - Т.187 - №4 - С.736 -739.

51. Нахушев A.M. Об одном классе линейных краевых задач для гиперболического и смешанного типов уравнений второго порядка. Нальчик,1992. 155 с.

52. Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа. //«Дифференциальные уравнения». 1969. №1. С.79-84

53. Ниров Х.С. Классификация симметрии и решение тодовских систем : Автореф. дис. . .докт. физ.- мат. наук. М.,2009. - 39с.

54. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях в частных производных. М. -Л.,1950. - 400 с.

55. Петровский И.Г. О поведении интегральных кривых системы обыкновенных дифференциальных уравнений вблизи особой точки. Т.41. -Вып.З. - 1935.

56. Попов А.Г. Геометрический метод точного решения эллиптического уравнения Лиувилля. // Вестник Московского университета. Математика. Механика. 1995. - №3 - С.38-42.

57. Пуанкаре А.О. О кривых, определенных дифференциальными уравнениями. М.-Л., ГТТИ, 1947.

58. Пулькин С.П. Задача Трикоми для общего уравнения Лаврентьева -Бицадзе.// Доклады АН СССР. 1958. - Т.118. - №1. - С.38-41.

59. Пулькина Л.С. Краевые задачи для уравнений смешанного типа с двумя параллельными линиями сингулярности коэффициентов: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Горький, 1975. - 11 с.

60. Пулькина Л.С. Об одной нелокальной задаче для гиперболического уравнения с сингулярными коэффициентами./ Труды второго Международного семинара «Дифференциальные уравнения и их приложения». Самара, 1988. -С. 129- 132.

61. Раджабов Н.Р. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых гиперболических уравнений с одной и двумя сингулярными линиями. //Доклады АН СССР. 1985. - Т.281. - №3. - С.539-543.

62. Раджабов Н.Р. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярными линиями или сингулярными поверхностями. Душанбе. Изд.ТГУ. - 4.1.1980, 127с.; 4.2.1981, 170с.; 4.3.1982, 170с.; 4.4.1985, 148с.

63. Раджабов Н.Р. К теории линейных гиперболических уравнений со сверхсингулярными коэффициентами. / Материалы конференции «О некоторых применениях функционального анализа в теории дифференциальных уравнений». Душанбе, 1990. -С.132-135.

64. Раджабов Н.Р. К теории одного класса линейных гиперболических уравнений с двумя сверхсингулярными линиями. // Докл. АН Тадж. ССР. -1989. Т.32. - №9. - С.573-577.

65. Раджабов Н.Р. Об одном уравнении гиперболического типа второго порядка с двумя сингулярными линиями. // Дифференциальные уравнения, -1988. Т.24. - №12. - С.2129-2133.

66. Раджабов Н.Р., Мирзоев А.Х. Интегральные представления решений для одной системы уравнений первого порядка гиперболического типа с сингулярной точкой. Душанбе, Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения, 1991. - С.75-79.

67. Раджабов Н.Р., Рузметов С.Т., Фозилов С.Т. К теории линейных дифференциальных уравнений с частными производными третьего порядка в пространстве. Душанбе, Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения, 1991. - С.80-86.

68. Сабитов К. Б. Критерий единственности решения задачи Дирихле для вырождающегося гиперболического уравнения. / Материалы международной конференции «Тихонов и современная математика». М., 2006. - С. 223 - 224.

69. Салахитдинов М.С., Уринов А.К. Об одной краевой задачи для уравнения смешанного типа негладкими линиями вырождения.// Доклады АН СССР. -1982. Т.262. - №3. - С.539-541.

70. Салехов Г.С. К вопросу о задаче обратной задачи Коши Ковалевской. // УМН - №5(51) - 1952 - С.169-192.

71. Самко С.Г. Общее сингулярное уравнение в исключительном случае. // Дифференциальные уравнения. 1965. - № 8. - С.1108-1115.

72. Смирнов М.М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. Минск: Вышэйшая школа, 1977. - 157с.

73. Смирнов М.М.Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка М.: Наука, 1964. - 208с.

74. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. - 736с.

75. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных второго порядка. М.:Ин.лит.,1957. - 443с.

76. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. -М., 1985. (

77. Фозилов С.Т. Граничная задача для уравнения типа Лиувилля. /Материалы Республиканской научной конференции, посвященной памяти Собирова Т. «О некоторых применениях функционального анализа в теории дифференциальных уравнений». Душанбе, 1990. - С.213-215.

78. Фозилов С.Т. К регулярной теории квазилинейных уравнений типа Лиувилля. Астрахань, Наука: Поиск 2005. - Т.2. - С. 11-13.

79. Фозилов С.Т. К теории нелинейных уравнений в частных производных. -Астрахань, Наука: Поиск 2003. Вып.1. - С.308-310.

80. Фозилов С.Т. О некоторых многомерных системах первого порядка со сверхсингулярными плоскостями. Тезисы докладов. Душанбе, ТГУ, 1992. -С.9-10.

81. Фозилов С.Т. Явная формула многообразия решений одного класса нелинейных уравнений гиперболического типа с частными производными в пространстве R3. Астрахань, Наука: Поиск 2003. - Вып.1. - С.306-308.

82. Фозилов С.Т., Раджабов Н.Р. Явная формула решений одного класса нелинейных уравнений третьего порядка. // Естественные науки. 2004. -№3(9). - С.101-104.

83. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике М.: Наука - 1973. -771с.

84. Чечик B.JI. Исследование систем обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярностью. // Труды Московского математического общества. 1959. - Т.8. - С.155-198.