Разработка и применение аппарата комплексных пространственных потенциалов в теории упругости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Богашов, Феликс Арианович

• Богашов, Феликс Арианович
• доктор физико-математических наук
• 1995

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Богашов, Феликс Арианович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

1.1. Классическая постановка задач пространственной теории упругости (статика).

1.1.1. Основные уравнения теории в компонентах вектора смещений и тензора напряжений.

1.1.2. Задание краевых условий.

1.2. Инвариантные формы общих действительных решении уравнений п. 1.1.1.

1.2.1. Представления для вектора смещений и тензора деформации.

1.2.2. Представления для тензора напряжений.

1.3. Ортогональные криволинейные координаты

1.3.1. Аксиально-симметричные задачи

1.3.2. Деформация тела вращения

1.4. Решение некоторых классов пространственных задач методами теории функций комплексного переменного.

1.4.1. Зависимости между пространственными и некоторыми плоскими НДС по методу интегральных наложений.

1.4.2. Применение двумерных комплексных потенциалов.

1.4.3. Использование обобщённых комплексных переменных и гиперфункций

1.5. Исходные понятия и их развитие в современной теории функций многих комплексных переменных.

Выводы по главе 1.

ГЛАВА II. ОСНОВНЫЕ ПОЖЖЕШЙ ТЕОРИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ

АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ( С2-П0ТЕНЦИАЛ0В).

2.1. Структура элементов комплексного пространства С

2.2.1. Базисы пространств Е^ и С

Изоморфизм Гамильтона-Кели.

2.1.2. Формы представления элементов в г.

2.1.3. Некоторые геометрические интерпретации.

2.1.4. Предел последовательности комплексных элементов.

2.1.5. Функция переменной Гамильтона.

2.2. Дифференцирование функций.

2.2.1. Дифференциальные операторы.

2.2.2. Простейшие применения дифференциальных операторов.

2.2.3. Производные от комплексной функции.

2.3. Аналитические функции переменной

Гамильтона (С -потенциалы).

2.3.1. Условия аналитичности.

2.3.2. Однородные аналитические полиномы.

2.3.3. Аналоги рядов Тейлора и Лорана.

2.4. Соответствие между конформным отображением областей в пространствах Е^ и С

2.4.1. Геометрический подход и линеаризация системы (1.71).

2.4.2. Сравнение с известными результатами.

2.4.3. Ф -потенциалы и конформное отображение.

2.4.4. Обобщение теоремы Римана на пространство Ф.

2.5. Комплексные представления общих решений ^ полигармонических уравнений в С2.

2.5.1. Вспомогательные формулы и соотношения.

2.5.2. Представления для гармонических и бигармонических функций.

2.5.3. Обобщение для полигармонических функций.III

Выводы по главе II.

ГЛАВА III. ОПИСАНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С ПОМОЩЬЮ С2-П0ТЕНШАД0В.

3.1. Обобщение основных уравнений теории упругости для Е^. Интерпретация формализма.

3.2. Сведение задач пространственной теории упругости к бигармоническим задачам.

4 3.2.1. Обобщение тензора напряжений.

Представления дли компонент.

3.2.2. Свойства функций напряжений.

3.2.3. Задача Дирихле для бигармонического вектора смещений.

3.2.4. Задача Неймана для бигармонических функций напряжений.

3.3. Комплексное представление пространственного решения Буссинека-Галёркина для ¡перемещений.

3.4. Комплексные представления для компонент 6t.

3.5. Редукция основных краевых задач пространственной теории упругости на комплексное пространство (П.

3.5.1. Формулировка пространственной краевой задачи в напряжениях для С -потенциалов.

3.5.2. Формулировка пространственной краевой задачи в смещениях для С -потенциалов Выводы по главе III.

ГЛАВА 1У. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ

С2-ПОТЕНЦИАЛОВ.

V? —к

4.1. Квазилинейная форма представления степеней и к

4.1.1. Представление степеней эе и "ае через инварианты матрицы "К,

4.1.2. Свойства гармоничности действительных однородных полиномов р (l I ').♦.

•к Ь «

4.1.3. Представления для однородных аналитических полиномов Р^ (ге)

4.2. Дифференцирование степеней.

4.2.1. Общие формулы дифференцирования.

4.2.2. Дифференцирование степеней инвариантов. fc —^

4.2.3. Дифференцирование степеней "ä. и ^е

4.3. Сходимость полиномиальных рядов.

4.4. Теорема Кош.

4.5. Граничные свойства матричных аналитических функций.

Выводы по главе 1У.

ГЛАВА У. ПРИМЕНЕНИЕ (^-ПОТЕНЦИАЛОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

ПРОСТЕЙШИХ ЗАДАЧ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.

5.1. Определение НДС тела и краевых условий из общих решений уравнений теории упругости.

5.1.1. Задание вектора О Бу с с и н ек а -Га леркина.

5.1.2. Задание системы ( ) С! -потенциалов.

5.2. Задача в напряжениях для тела, ограниченного поверхностью (5.20).

5.3. Температурная задача

Выводы по главе У

ОБЩЕ ВЫВОДЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка и применение аппарата комплексных пространственных потенциалов в теории упругости»

В 1861 г. Г.Б.Эри ввёл в рассмотрение действительную бигар-моническую (¿/ункцию и двух действительных переменных,через которую выразил компоненты тензора напряжений для двумерных упругих областей. Исходя из граничных условий задач двумерной теории упругости, исследователями предпринимались попытки построить такие граничные условия для функции Эри и её производных, которые давали бы эффективные решения различных прикладных бигармонических задач. В деист вительных областях двумерного пространства этого не удалось сделат и решения бигармонических задач, определяющих функцию Эри,приходилось получать интуитивно.

В 1898 г. Э.Гурса методами теории функций одного комплексного переменного подучил для действительной двумерной бигармоническо функции комплексное представление через две аналитические функции.

Используя классические результаты работ физиков и механиков (Эри,Ыаксвела и др.), хорошо разработанный к тому времени аппарат теории функций одного комплексного переменного (Коши,Римана,Гурса и др.), Г.В.Колосов для случая плоской задачи впервые получил физически ясные комплексные представления для компонент вектора перемещений и тензора напряжений через две аналитические функции и их производные.

Основываясь на комплексных представлениях Г.В.Колосова,Н.И. Мусхелишвили построил краевые условил,которым подчиняется указанная пара аналитических функций,т.е. свёл гармонические и бигармо-нические двумерные задачи теории упругости (в перемещениях и напряжениях) к краевым задачам теории функций одного комплексного переменного. Построение краевых условий во многом определило последу ющий успех Н.И.Мусхелишвили ,'И.Н.Векуа,их школ и последователей.

В самом общем виде метод Колосова-Мусхежшвили-Векуа можно понимать как отработанный и полный алгоритм построения контактирующего взаимно однозначного соответствия (изоморфизма) произвольных объектов евклидова двумерного пространства Е.и комплексной 1 -плоскости (комплексного пространства € ).Тогда решениям задач плоской теории упругости соответствуют решения краевых задач теории функций одного комплексного переменного.

В ряде работ Н.И.Мусхешшвили.й.Н.Векуа и др. на основе теории аналитических функций одного комплексного аргумента были развиты методы решения широкого круга граничных и контактных задач плоской упругости,а также задач кручения и изгиба (гармонических и бигармонических).

Существенный вклад в развитие метода Колосова-Мусх елишнили-Векуа для решения различных классов задач плоской упругости внесли работы Г.Н.Савина,С.Г.МихлинаД.й.ШерманаД.И.Воровича, их школ и многочисленных последователей. К исследованиям теоретических и прикладных задач применения теории 'функций одного комплексного переменного в теории упру гости относится также цикл работ нижегородской школы, в частности, работы по получению аналитических решений на ЭВМ.

Предложенный и разработанный Н.И.Мусхелишвили и И.Н.Векуа мамитегралоб тематический аппаратТгйпа Коши и сингулярных интегральных уравнений в дальнейшем развивался в работах И .Н .Векуа ,К .П .Векуа,М.А.Лаврентьева ,А.З.Бицадзз,Ф.д.Гахова и др.

Следует отметить,что пр£ разшгах методах теории функции одного комплексного переменного путь от первичных (Зри) до итоговых результатов (шусхежщвили-Векуа) был преодолен за столетие.

Попытки установить связи между пространственными (в основном осесимметричными) и соответствующим! им плоским! задачами предпринимилась давно. С одной стороны, были найдены те или иные аналогии между формами записи их обидах решений (А.и Л.Феппль,Т.Пёашь, К.Маргер,П .Папкович,К.Голецкий,А.Я.Александров и др.).С другой стороны, были установлены интегральные зависимости между решениями указанных задач (К.Вебер),где функция напряжений осесимметряч-ной задачи связывалась с плоской бигармонической функцией.В работах Г. II .Положил зависимости между плоскими и осесимметричными задачами при помощи -аналитических функций одного комплексного переменного. Удобным приёмом получения интегральных зависимостей является метод наложений (В.И.Смирнова »С.Л.Соболева,А.Я.Александрова), который использовался при решении задач типа Буссинека для анизотропного полупространства. Получение вышеназванных зависимостей основано на введении определённых вспомогательных состояний,компоненты которых в прямоугольных координатах зависят лишь от двух переменных. В качестве таких состояний принимаются плоская деформация и деплаиация (двумерное состояние при отсутствии смещений в двух направлениях). Пространственное напряжённое состояние заданного тела рассматривается как суммарное состояние плоских напря -жённых состояний в плоских сечениях пучка цилиндров, пересечение которых и даёт объём заданного тела.

Наибольший вклад в применение методов теории функций одного комплексного переменного к пространственным задачам теории упругости внесли работы В.Т.Койтера,Я.Н.Снеддона,И.И.Воровича,С.М. Белоносова и А.Я.Александрова.

Применение плоских комплексных потенциалов для описания пространственных задач стимулировало попытки механиков разработать методы трёхмерных комплексных потенциалов для приложений,несмотря на то, что современная теория функций многих комплексных переменных до сих пор не располагает эффективным аппаратом изучения структур и свойств комплексных функций, выделения из них класса аналитических функций ( € -потенциалов). Известны попытки обобщения описания уравнений равновесия и совместности с помощью функций двух комплексных переменных (А.й.Александрович), гиперфункций (Д.Д.Пенрод) и кватернионных функций (И.П.Мельниченко, Е.М.Пик). Однако, это не привело к получению трёхмерных обобщений комплексных потенциалов, выражению через них представлений Колосова-Мус-хелишвили и построению схемы сведения бигармонических задач теории упругости к краевым задачам теории функций двух комплексных переменных.

Целью работы является создание методологических основ для решения трёхмерных задач теории упругости с помощью аппарата пространственных комплексных потенциалов. Методологические основы включают в себя:

- введение аксиоматики для описания комплексного пространства С , соответствующего трёхмерному действительному пространству Еъ ;

- построение начал теории матричных комплексных функций в пространстве С »определение и изучение класса аналитических функций г С -потенциалов); г

- описание НДС упругого тела с помощью системы С -потенциалов;

- формулировка граничных условий (для определения системы С -потенциалов) по соответствию их краевым условиям бигармонических задач трёхмерной теории упругости и постановки граничных задач т. теории С -потенциалов.

Тема диссертационной работы входит в перечень тем Федеральной Программы "Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемых сред и конструкций".

В главе I выполнен обзор существующих описаний и решений систем дифференциальных уравнений статической пространственной теории упругости с помощью теории функций действительных и комплексных переменных. Основное внимание уделено уточнению,формализации и обобщению на четырёхмерный случай систем уравнений равновесия,совместности и Гуна и их решений для получения единого описания НДС упругого тела независимо от размерности задач и для выработки целостного подхода при анализе существующих и получаемых в главе III результатов.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Богашов, Феликс Арианович

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

I. В качестве эффективного математического аппарата для решения трёхмерных задач теории упругости разработаны начала теории матричных комплексных функции матричной комплексной переменной,в том числе:

1.1.Установлено соответствие между описаниями трёхмерного действительного Е5 и комплексного € пространств. Исследована единая матричная структура для представления комплексных переменных, функций и операторов матричных аргументов в пространстве

Структура содержит в себе (как частный случай) представления ска-лярных комплексных элементов € »принятых в современной теории функций многих комплексных переменных. При упрощении введённая структура вырождается в обычную комплексную переменную,т.е. не противоречит основным понятиям теории функций одного комплексного переменного.

1.2.Исходя из выбранной матричной структуры, сформулированы и доказаны основные положения новой теории пространственных комплексных функций переменной Гамильтона. Даны геометрические интерпретаций, которые нельзя получить в рамках современной теории функций многих комплексных переменных.

1.3.Развито обобщение условий Моисила-Теодереску сопряжения гармонических функций в действительном трёхмерном пространстве на евклидово пространство Е^ . Для условий Моисила-Теодереску построено соответствие с новыми условиями аналитичности комплексной т. функции переменной Гамильтона в комплексном пространстве С .Ввег дено понятие аналитической функции ( (С -потенциала). Приведено сравнение с результатами современной теории функций многих комплексных переменных. Исследована возможность конформного отображения областей в комплексном С пространстве с помощью С-потенциалов. Доказана теорема ( С -аналог теоремы Римана) о конформном отображении. Приведены примеры отображающих С^-потенциалов.

1.4.Разработана методика построения однородных аналитических полиномов. Изучены их свойства. Показано,что однородные аналитические полиномы в комплексном пространстве С*" играют роль степенных

1 1 функций пространства € ( ъ -плоскость). Рассмотрены С -аналоги рядов Тейлора и Лорана со структурными единицами в виде однородных аналитических полиномов. Доказаны теоремы.

1.5.Развиты способы построения комплексных представлений для трёхмерных действительных гармонических и бигармонических функций с помощью (ь -потенциалов. Дано обобщение комплексных представлений для пространственных полигармонических функций.

II. Разработана проблема сведения трёхмерных гармонических и бигармонических задач теории упругости к краевым задачам теории <ь -потенциалов, в том числе:

11.1.Получены и исследованы обобщённые на действительное пространство Е^ дафференциальные зависимости компонент тензора напряжений и функций напряжений. Показано, что зависимости имеют единую структуру описания для действительных пространств и = 2,3,4. Это позволило провести сравнительный анализ решений трёх-и двумерных задач теории упругости и дать целостное представление о проводимых исследованиях.

11.2.Разработана схема сведения статических задач пространственной теорий упругости в смещениях и напряжениях к действительным бигармоническим задачам Дирихле и Неймана в форме интеграла по замкнутому пространетвенному контуру. Схема позволяет получить граничные условия, которым удовлетворяют действительные функции напряжений.

11.3. Показано, что четырёхмерная структура. (С -потенциалов наиболее полно и рационально описывает геометрию я НДС тела в трёхмерной теорий упругости. Сформулированы положения (леммы и теоремы), устанавливающие соответствия между действительными характеристиками НДС тела и их комплексными образами в пространстве Сг. 2.

11.4. Дано описание НДС упругого тела с помощью системы (С -потенциалов.

11.5. Получены формулировки граничных условий, определяющих систему € -потенциалов, по их соответствию краевым условиям би-гармонических задач трёхмерной теории упругости.

11.6. Разработана методика сведения основных задач трёхмерной теории упругости в напряжениях и смещениях к граничным задачам

-Л теории С -потенциалов. Дана анализ формулировок граничных задач

Г>г теории (L-потенциалов.

II.7 В качестве примера приведено решение трёхмерной темпера-турной задачи Дирихле для шара с помощью € -потенциалов.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Богашов, Феликс Арианович, 1995 год

1. Колосов Г.В. Применение комплексной переменной к теории упругости. М.-Л.: ОНТИ, 1935,

2. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. 5-е изд. Ы. :Наука, 1966.

3. Лурье А.И. Теория упругости. Ы.:Наука, 1970.

4. Ляв А. Математическая теория упругости. Перев. с англ. М.: ОНТИ, 1935.

5. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник. Т. 2,3. М.:Машиностроение, 1968.

6. Мейз Д®. Теория и задачи механики сплошных сред.M. :Мир,1974.

7. Седов 1.И. Механика сплошной среды.T.I.М.:Наука, 1970.

8. Папкович П.Ф. Теория упругости.М.:0боронгиз, 1939.

9. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. 3-е изд.М.:Наука, 1984.

10. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. 2-е изд. М. -.Наука, 1982,

11. Будак Б.М. »Самарский А.А.Дихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. М.:ГИТТЛ, 1956.

12. Goarsai Е. ^ur E'e^ûuUon- Д&а^О/'Ви.С Soc. MaH.1. Frcttvce, 1888. V. 26, p.

13. A£vna,»v^û E. Su&C«. ficerca ¿Mb £uixî.v.ottC f^h -атоьл cAe щг* ft-^ect |pi.atva sivnja&cemeftie conni&sa, fitr dû-te condtîCon.L ai contor rtoReixcl. Cire, Mai^v. Pa/Cermo^ 1S99. T, XIÏ, P. Я25-262.

14. Галёршш Б.Г. К вопросу об исследовании напряжений и деформаций в упругом изотропном теле//Собрание сочинений Б.Г. Галёркина.М.:Нзд-во АЕ СССР, 1953. T.I. С. 318-321.

15. Стейи И,,Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.:Мир, 1974.

16. Крутков 10.А. Тензор функций напряжений и общие решения в статике теории упругости. М.:Изд-во АН СССР, 1949.

17. Колтунов М.А.»Васильев Ю.Н.,Черных H.A. Упругость и прочность цилиндрических тел. М.:Высшая школа, 1975.

18. Александров 1.Я.»Соловьёв lû.ïï. Пространственные задачи теории упругости. Ы.:Наука, 1978.19. ¿лусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения, 3-е изд. М.:Каука, 1968.

19. Веку а И.Н. ,№усхелишвили Н.И. Методы теории аналитических функций в теории упругости//Труды Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике.М,:11зд-во АН СССР,1962.С. 310-338,

20. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки.М.:Гостехиздат,1957.

21. Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М.:Мир, 1968.

22. Бохнер С.,Мартин У,Т.Функции многих комплексных переменных. М,:йзд-во иностр. лит., 1951.

23. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных. M. :Наука, 1964.

24. Фукс Б.А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. М.:Наука, 1962.

25. Ганнинг Р.»Росси X. Аналитические функции многих комплексных переменных. М.:Мир, 1969.

26. Мальгранж Б. Лекции по теории функции комплексных переменных. М.:Наука, 1969.

27. Weber С. AcPi^ert$yiDmetKs.cie Ье^огтаЛСоа von,

28. Um-dre^u^-äfecrpern. /I 1- ftft^* McdA. МесА . ,1925. Bd. .5, H.6.1. S . 464-468.

29. Беленький М.Я. Некоторые осесимметричные задачи теории упругости// ПММ, i960. Т. 24. Вып. 3. С. 582-584.

30. Положий Г.Н. О применении р -аналитических и ( р , cj, -аналитических функций//Труды Международного симпозиума "Приложения теории функций в механике сплошной среды" (Тбилиси,1963).

31. М.:Наука, 1965. С. 309-326.

32. Смирнов В,И.»Соболев С.Л. О применении нового метода к изучению упругих колебаний в пространстве с осевой симметрией// Труды Сейсмологического ин-та АН СССР. М.: йзд-во АН СССР,1933. Ш 29.

33. Свекло В.А. Задачи типа Буссинеска для анизотропного полупространства//ПММ, 1964. Т. 28. Вып. 5. С. 908-913.

34. Векуа И.Н. Обобщённые аналитические функции.M.:Физмат-гиз, 1959.

35. Александрович А.И. Применение теории функций двух комплексных переменных в теории упругости//ДАН СССР,1977. Т. 232.3. С. 542-544.

36. Pen-rod D.D. Ah. an.<tfojwe о£ iKe KoiosofS- МЛ

37. С formu£ae Ch, "tlvr^e dc^erv^Cotvs//Qucurt. Appi, Mo/t&.j1966. У. 23, № 4. P. 312-322.

38. Мельниченко И.П.,Пик S.M. Кватернионные переменные и гиперкомплексные потенциалы в механике сплошной среды//Прикладная механика. 1973. Т. 9. Вып. 4. С. 45-50.

39. Ван-дер-Варден Б.Л. Алгебра.М.:Наука, 1976.

40. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.:Наука, 1967.

41. Арфкен Г. Математические метода в физике.М. :Атомиздат,

42. Корн Г.,Корн Т. Справочник по математике.М.:Наука,1968.

43. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.:Наука, 1965.

44. Березин Ф.А. Метод вторичного квантования.!.:Наука,1965.

45. Канторович Л.В.,Крылов В.И. Приближённые методы высшего анализа. 3-е изд. М.-Л.:ШШ, 1950.

46. Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Т. 1,2. М.:Изд-во иностр. лит., 1962.

47. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. ш.-Л.: ГИТТЛ, 1952.

48. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Т.1.2-е изд. М.:Наука, 1967.

49. Богашов Ф.А. О представлении пространственных задач теории упругости в функциях комплексных переменных.Сообщение I// Прикладные проблемы прочности и пластичности .Всесоюзный межвузовский сборник.Горьковский ун-т,1989. Вып. 41. С. 110-118.

50. Богашов Ф.А* Структура пространственных аналитических функций и формирование обобщённых функций Эри//Прикладные проблемы прочности и пластичности.Всесоюзный межвузовский сборник.Нижегородский ун-т, 1991. Вып. 47. С. 15-26.

51. Ддураев А. 0 постановке пространственных эллиптических краевых задач для систем//ДАН СССР,1991. Т. 319,& 1.С. 33^37.

52. Джураев А. О задаче Коши для неоднородных систем Коши-Римана//ДАН СССР, 1991. Т. 319, Й 6. С. 1292-1296.

53. Богашов Ф.А. Представление бигармонической функции в комплексном пространстве С*//ДАН, 1993. Т. 332, № 2.С.135-137.

54. Богашов Ф.А. Решение бигармонического уравнения в комплексном пространстве//Дифференциальные уравнения,1993. Т. 29,й 8. С. 1370-1379.

55. Богашов Ф.А.,Угодчиков А.Г. Комплекснозначные представления пространственных решений Буссинека-Галёркина для перемеще-ний//Прикладные проблемы прочности и пластичности .Всесоюзный межвузовский сборник.Нижегородский ун-т,1991.Вып.49. С. 15-24.

56. Богашов Ф.А.,Угодчиков А.Г. Пространственные комплексные потенциалы в бигармонической задаче//Прикладные проблемы прочности и пластичности.Всесоюзный межвузовский сборник.Нижегородский ун-т,1992. Вып. 50. С. 3-16.

57. Угодчиков А.Г.,Длугач М.И.»Степанов А.Е. Решение краевых задач плоской теории упругости на цифровых и аналоговых машинах. М.:Высшая школа, 1970.

58. Снедцон И.Н.,Берри Д.С. Классическая теория упругости. М.-.Физматгиз, 1961.

59. Курош А.Г. Теория групп. 3-е изд. М.:Наука, 1967.

60. Курант Р. Уравнения с частными производными.М.:Мир,1964.

61. Богашов Ф.А. Описание пространственных задач теории упругости с помощью аналитических функций переменной Гамильтона. Сообщение 2//Прикладные проблемы прочности и пластичности.Всесоюзный межвузовский сборник.Горьковский ун-т, 1990.Вып. 44.С.46-55.

62. Богашов Ф.А. Конформное отображение в трёхмерном комплексном пространстве//Прикладные проблемы прочности и пластич -ности. Всесоюзный межвузовский сборник .Нижегородски ун-т,1991. Вып. 48. С. 83-91.

63. Богашов Ф.А., Хомутецкая С,И. О применений методов пространственных комплексных потенциалов в теории оболочек// Труды ХУ1 Международной конференции по теории оболочек и пластин. Н.Новгород, IS94. Т. 2. С. 47-52.

64. Бицадзе A.B. О полигармонических фушодиях//ДАН СССР, 1987. Т. 294, № 3. С. 521-525.

65. Бицадзе A.B. О задаче Неймана для полигармоническихфункций//Диф)ференциальные уравнения. 1986. Т. 22, № 5.С.823-828.

66. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. 9-е изд. М.:Иаука, 1965.

67. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.:Физматгиз, 1963.

68. Уэрмер Две. Теория потенциала. М.:Мир, 1980.

69. Тиман А.Ф. »Трофимов В.Н. Введение в теорию гармонических функций. М.:Наука, 1968.

70. Фрид Д., Уленбек К. Инстантоны и четырехмерные многообразия. М.:Мир, 1988.

71. Белов В.В., Воробьёв Е.М. Сборник задач по дополнительным главам математической физики.М.:Высшая школа, 1978.

72. Мелан 3.» Паркус Г. Термоупругие напряжения,вызываемые стационарными температурными полями. М.:Физматгиз, 1958.

73. Новацкий В. Вопросы термоупругости. М.: Изд-во АН СССР,1. ГОиГОЖЕНИЗ

74. СООТВЕТСТВИЕ ЭШШТОВ ПРОСТРАНСТВ Ги=3,4) и С§1. Матричное представление векторов в Е к,11. Расслоение векторов

75. В связи с этим введём в рассмотрение матрицы-представления для правосторонних базисных векторов:о