Оптимизация управления инвестиционным портфелем на основе прогнозов доходностей активов и прогнозов матриц ковариаций случайных составляющих тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.10, кандидат наук Хабров, Владимир Викторович

• Хабров, Владимир Викторович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Хабров, Владимир Викторович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. Обзор портфельного конструирования

1.1.Обзор портфельных стратегий

1.1.1. Портфельная теория Марковича

1.1.2 Портфели на основе факторных моделей ценообразования

1.1.3 Многошаговые инвестиционные портфели

1.1.4 Формирование портфелей с помощью моделей временных рядов

1.1.5 Стратегия, минимизирующая дисперсию доходности портфеля

1.1.6 Равномерное распределение средств портфеля

1.2 Ограничения портфельной теории Марковича и ее критика

1.2.1 Гипотеза эффективного рынка

1.2.2. Прочие подходы и особенности формирования портфелей

1.3. Выводы раздела

2. Одношаговые инвестиционные портфели

2.1. Введение в постановку задачи управления

2.1.1. Модель векторной авторегрессии

2.1.2. Прогнозирование в рамках модели векторной авторегрессии

2.1.3. Многомерные модели волатильности

2.1.4. Построение прогнозов матриц ковариаций случайных составляющих

2.2. Управление одношаговым инвестиционным портфелем

2.2.1. Доходность и дисперсия одношагового портфеля

2.2.2. Ошибка прогноза доходности портфеля

2.2.3. Одношаговая оптимизационная задача управления инвестиционным портфелем

2.2.4. Характеристики одношагового квази-оптимального портфеля

2.2.5. Характеристики одношагового средне-дисперсионного портфеля

2.2.6. Сравнение характеристик квази-оптимального и средне-дисперсионного портфелей

2.3. Выводы раздела

3. Многошаговые инвестиционные портфели

3.1. Постановка многошаговой задачи управления

3.1.1. Варианты постановки многошаговых задач управления средне-дисперсионными портфелями

3.1.2. Автокорреляция доходностей многошагового портфеля

3.2. Программное управление многошаговым квази-оптимальным инвестиционным портфелем

3.2.1. Описание многошаговой задачи управления квази-оптимальным портфелем с программным управлением

3.2.2. Оптимизационная задача управления многошаговым квази-оптимальным портфелем с программным управлением

3.2.3. Решение многошаговой задачи управления квази-оптимальным портфелем с программным управление

3.3. Управление с обратной связью многошаговыми инвестиционными портфелями

3.4. Управление многошаговым GMV-квази-оптимальным портфелем

3.4.1. Программное управление многошаговым GMV-квази-оптимальным портфелем

3.4.2. Управление с обратной связью многошаговым GMV-квази-оптимальным портфелем

3.5. Выводы раздела

4. Эмпирическое исследование

4.1. Сравнение характеристик одношаговых инвестиционных портфелей, построенных на основе смоделированных данных

4.2. Влияние типа и размерности многомерной модели волатильности на характеристики инвестиционных портфелей, построенных на основе реальных данных

4.2.1 Одношаговые инвестиционные портфели

4.2.2 Многошаговые инвестиционные портфели

4.3. Влияние размерности модели векторной авторегрессии на характеристики инвестиционных портфелей

4.4. Сравнение характеристик инвестиционных портфелей с программным управлением и с управлением с обратной связью

4.5. Выводы раздела

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приложение 1. Модели инвестиционных портфелей

Приложение 2. Модели векторной авторегрессии

Приложение 3. Сравнение инвестиционных портфелей

Приложение 4. Определение оптимальной размерности VAR модели для

соответствующего инвестиционного горизонта

БИБЛИОГРАФИЯ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимизация управления инвестиционным портфелем на основе прогнозов доходностей активов и прогнозов матриц ковариаций случайных составляющих»

ВВЕДЕНИЕ

Проблема сохранения и приумножения средств путем их распределения среди различных активов является актуальной как для домашнего хозяйства, так и для финансовых институтов от банка до суверенного фонда [3, 7, 12, 130]. Вопрос управления средствами является неотъемлемым явлением рыночной экономики. Развитие мировой финансовой системы происходит под воздействием институциональных и законодательных изменений. Процессы глобализации экономик, появление новых финансовых институтов и инструментов, развитие финансовой инфраструктуры — все это одновременно и упрощает передвижение капитала и усложняет прогнозирование его передвижения. Развитию финансовых рынков сопутствует усложнение поведения его игроков, которое определяется методами, моделями и информацией, которыми они руководствуются при принятии решений.

Существуют различные подходы к решению проблемы управления инвестиционными портфелями, характеризующиеся многообразием критериев, моделей динамики капитала, используемыми моделями эволюции цен и ограничениями на управление и рыночными ограничениями в которых формируются инвестиционные портфели.

Способы формирования портфелей ценных бумаг на основе подхода Марковица [93, 115] и его последователей (модель ценообразования финансовых активов [87, 123], арбитражная теория расчетов [119, 120], трехфакторная модель [61]) не могли учитывать динамику доходностей активов, описанную стохастическими моделями ценообразования, которые являются адекватными инструментами для их представления [77, 127, 133].

Существует достаточное количество современных исследований описывающих подходы управления инвестиционными портфелями, включающими в себя различные критерии оптимальности, моделей динамики капитала и моделей эволюции цен [2, 7, 8, 18, 73, 77, 102, 105, 106, 114].

В том числе, в рамках статической постановки, заложенной Марковичем, особой популярностью пользуется изучение влияния моделей многомерной волатильности на характеристики портфельной стратегии, минимизирующей только дисперсию портфеля (global minimum variance, GMV) [10, 79, 81, 82, 84, 112, 113, 140], что обусловлено результатами исследований [36, 46, 47, 102], показавших, что ошибки в оценках математического ожидания доходностей значительно изменяют структуру портфеля по сравнению с ошибками в дисперсии и ковариациях. Указанная портфельная стратегия не принимает во внимание целевую доходность портфеля.

Для улучшения классических средне-дисперсионных портфелей Марковица были предложены различные подходы, которые были призваны наиболее точно отражать характеристики современных финансовых инструментов [4, 14, 20, 21, 22, 25, 33, 41, 50, 53].

Подход Марковица заключается в одношаговой оптимизации портфеля активов и по окончании данного периода нуждается в пересмотре на основании того, что характеристики рисковых активов и их взаимосвязи могли поменяться в течение указанного периода, что отразилось бы на вариационно-ковариационной матрице и оценках доходностей активов.

Мертон [98, 100] и Самюэльсон [121] поставили задачу управления многошаговым портфелем как задачу оптимального управления. В поставленных задачах необходимо было максимизировать полезность потребления и финальное

благосостояние, что отличается от классического средне-дисперсионного подхода, где необходимо максимизировать доходность или минимизировать риск, измеряющиеся математическим ожиданием или дисперсией доходности портфеля соответственно. В качестве модели ценообразования доходностей активов авторы использовали геометрическое броуновское движение. Многошаговый случай управления портфелем активов на основе оптимизации функции полезности инвестора и/или потребления был широко представлен в литературе [44, 55, 56, 64, 76].

В то же время решение многошаговой задачи управления инвестиционным портфелем в рамках средне-дисперсионного подхода в явном виде или в виде численного алгоритма долгое время не было найдено. В работах Фрауэндорфера и Сейде [66, 67, 68, 125] был разобран подход, позволяющий формировать многошаговые портфели на основе информации дискретных моделей условной гетероскедастичности доходностей активов, что позволило авторам смоделировать эволюцию случайных доходностей портфеля в виде «деревьев решений» и тем самым определить оптимальное управление.

В 2000 году в работе Ли и Энга [86] было представлено аналитическое решение многошаговой задачи управления инвестиционным портфелем на основе средне-дисперсионного подхода. Дальнейшее развитие средне-дисперсионного подхода управления многошаговыми инвестиционными портфелями нашло в работах Чжоу, Ли и Инь [45, 141, 142, 143], а также в работах [1, 2, 34].

В большинстве работ по управлению инвестиционными портфелями, исследующих влияние информации моделей ценообразования доходностей финансовых активов, внимание

уделяется или анализу динамики доходностей финансовых активов или влиянию динамики случайных составляющих. В зависимости от принятых предположений о виде модели ценообразования исследуется та или иная постановка оптимизационной задачи. В таких условиях случайные параметры доходностей финансовых активов, их динамика и волатильность заменяются ожидаемыми оценками. При этом при усреднении исходных данных теряется полезная информация, учет которой при формировании и управлении инвестиционным портфелем мог бы положительно отразиться на его характеристиках и результатах управления. Подчас подходы портфельной теории накладывают ряд достаточно жестких, и подчас не соответствующих действительности современных финансовых рынков, ограничений, в том числе и предположения о том, что доходности являются стационарными, а инвесторы обладают одинаковой информацией и имеют точное представление о доходностях и рисках.

Реальные ряды доходностей финансовых активов могут быть одновременно нестационарными, в них могут присутствовать автокорреляции и одновременные корреляции с прошлыми доходностями и доходностями других финансовых активов; в случайных составляющих доходностей может присутствовать гетероскедастичность, одновременная корреляция и автокорреляция. Несмотря на всевозможные сложности, современные модели ценообразования в значительной степени преуспели в способности отображать особенности поведения финансовых активов.

Институциональные инвесторы, например страховые компании или пенсионные фонды, имеющие определенный профиль обязательств, нуждаются в многошаговых подходах управления

инвестиционными портфелями, которые также бы учитывали динамику доходностей и волатильность финансовых активов.

Проведенный анализ литературы и потребности практики подтверждают актуальность построения и исследования стратегий управления инвестиционными портфелями, одновременно учитывающими информацию моделей ценообразования доходностей и волатильности финансовых активов. Данное исследование посвящено управлению многошаговых, и как частному случаю одношаговых, инвестиционных портфелей в рамках средне-дисперсионного подхода для случая, когда известна информация о моделях ценообразования доходностей и их случайных составляющих, а также в зависимости от доступности указанной информации в течение инвестиционного горизонта.

Цель исследования заключается обосновании эффективности построения управления инвестиционными портфелями в рамках средне-дисперсионного подхода с использованием информации о прогнозах доходностей активов и прогнозов матриц ковариаций случайных составляющих для случая одношаговых и многошаговых инвестиционных портфелей.

Цель соответствует решению задачи оптимального управления дискретными динамическими системами, находящимися под воздействием случайных возмущений, с аддитивным оптимизационным функционалом, подлежащим минимизации, при заданных значениях функции от фазовых координат на терминальном шаге и ограничении вида равенств на управляющие переменные.

В рамках указанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Формализация и постановка одношаговой задачи оптимального управления инвестиционным портфелем с учетом информации, предоставляемой теоретической моделью

ценообразования доходностей финансовых активов - модель векторной авторегрессии. Построение оптимального управления инвестиционным портфелем. Сравнение характеристик оптимальных инвестиционных портфелей, построенных с учетом информации модели ценообразования доходностей активов, и оптимальных средне-дисперсионных инвестиционных портфелей, построенных на основе модели геометрического броуновского движения.

2. Постановка и решение многошаговой задачи оптимального управления инвестиционным портфелем при наличии информации, предоставляемой моделью ценообразования доходностей финансовых активов и многомерной моделью волатильности случайных составляющих. Определение программного управления инвестиционными портфелями и управления с обратной связью.

3. Сравнение характеристик оптимальных многошаговых инвестиционных портфелей, построенных с учетом информации модели ценообразования доходностей и модели многомерной волатильности, и оптимальных средне-дисперсионных инвестиционных портфелей, построенных на основе модели геометрического броуновского движения, а также сравнение характеристик инвестиционных портфелей с программным управлением и управление с обратной связью.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы использовались понятия и методы теории оптимального управления, стохастической финансовой математики, теории эконометрики, теории вероятности, линейной алгебры, а также методы компьютерного моделирования.

Основные результаты, полученные в данной работе и выносимые на защиту, следующие.

Формулировка многошаговой задачи управления инвестиционным портфелем в рамках средне-дисперсионного анализа при условии, что управляющему известна информация о моделях ценообразования доходности активов и волатильности случайных составляющих моделей ценообразования.

Определение оптимального управления указанными инвестиционными портфелями при отсутствии и наличии информации, поступающей в течение инвестиционного горизонта -построение программного управления и управления с обратной связью инвестиционными портфелями.

Инвестиционные портфели, построенные с использованием информации о прогнозах доходностей и прогнозах матриц ковариаций случайных составляющих, сформированных на основе оцененных многомерных моделей ценообразования доходностей и волатильности случайных составляющих, обладают меньшей дисперсией ошибки достижения целевой доходности по сравнению с портфелями, сформированными на основе модели геометрического броуновского движения.

Дисперсия ошибки достижения целевой доходности портфелей, управляемых по принципу обратной связи меньше, чем дисперсия ошибки портфелей с программным управлением.

Результаты численного моделирования и тестирования построенных управлений инвестиционными портфелями с использованием реальных данных различных финансовых рынков.

Достоверность полученных результатов подтверждается строгими аналитическими выкладками и доказательствами, а также результатами численного моделирования с использованием реальных данных.

Теоретическая и практическая ценность

Разработаны динамические модели управления многошаговыми инвестиционными портфелями для случая, когда цель инвестора заключается в достижении целевой доходности портфеля в конце инвестиционного горизонта при минимальной дисперсии ошибки достижения указанной цели. Указанные модели были разработаны при условии, что управляющему известна информация о моделях ценообразования доходности и волатильности случайных составляющих финансовых активов, составляющих портфель, а также в зависимости от доступности информации в течение инвестиционного горизонта.

Практическая ценность исследования состоит в том, что полученные результаты позволят портфельным управляющим снизить риски при управлении инвестиционными портфелями путем их формирования с учетом информации моделей ценообразования и волатильности.

Структура и объем работы

Настоящая диссертационная работа состоит из Введения, основного текста, Заключения, списка литературы и приложения. Основной текст разбит на 4 главы, содержит 32 рисунка и 19 таблиц. Список литературы включает 143 наименование. Общий объем работы - 244 страницы, основной текст - 150 страниц.

Апробация работы

Результаты работы обсуждались на следующих конференциях и научных семинарах: Ежегодная научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ - 2010 (Москва, 2010), Ежегодная научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ - 2011 (Москва, 2011), Научно-технической конференции студентов,

аспирантов и молодых специалистов МИЭМ, посвященной 50-летию МИЭМ - 2012 (Москва, 2012), научно-практическом семинаре «Системный анализ, управление и информационные системы» кафедр «Кибернетика МИЭМ» и «ВСиС МИЭМ» в МИЭМ НИУ ВШЭ (Москва, декабрь 2012; апрель 2013), научный семинар «Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике, финансах и страховании» ЦЭМИ РАН (Москва, апрель 2013), научный семинар «Теория управления организационными системами» ИПУ РАН (Москва, июль 2013; ноябрь 2013).

Разработанные модели управления инвестиционными портфелями используются Департаментом государственного долга и государственных финансовых активов Министерства финансов Российской Федерации в целях определения оптимальной структуры при размещении средств Резервного фонда и Фонда национального благосостояния в разрешенные финансовые активы, позволяющей минимизировать риски размещения средств российских суверенных фондов в рамках существующих ограничений, что способствует повышению эффективности размещения указанных средств. Внедрение подтверждено соответствующими документами.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ [19 - 26], в том числе в журналах из списка ВАК 3 статьи [19, 20, 21].

1. Обзор портфельного конструирования

Проблема сохранения средств путем их распределения среди различных типов активов всегда волновала людей. Еще задолго до современной портфельной теорией, родоначальником которой считается Гарри Маркович, в четвертом веке нашей эры раввин Иссак бар Axa [31] предложил следующее правило распределения активов: «Всегда нужно разделять свое богатство на три части: треть в землю, треть в товар и треть держать в руках.». Как ни странно, но такая стратегия и по сегодняшний день конкурирует с более современными подходами. Шоу [124] утверждает, что проблема распределения активов в целях минимизации риска не раз поднималась в мировой литературе, в том числе в романе Мигеля Сервантеса «Дон Кихот» [5], в пьесе Уильям Шекспир «Венецианский купец» [27], а также в рассказе Марка Твена «Простофиля Вильсон» [6]: «Дурак сказал: «Не клади все яйца в одну корзину!» - иными словами: распыляй свои интересы и деньги! А мудрец сказал: «Клади все яйца в одну корзину, но... береги корзину!».

1.1.0бзор портфельных стратегий 1.1.1. Портфельная теория Марковица

Основы современной портфельной теории были заложены Гарри Марковичем [93, 94, 115], его статьи предопределили все дальнейшее развитие портфельной теории. В своих статьях Маркович осуществил теоретико-вероятностную формализацию понятия риска и доходности, которая позволила поставить задачу построения инвестиционного портфеля в виде оптимизационной задачи. Математическое ожидание и дисперсию доходности портфеля Маркович предложил использовать в качестве критериев для определения структуры и сравнения портфелей. Портфели,

построенные на основе данных критериев, называют средне-дисперсионными, а подход их построения - средне-дисперсионным анализом. Ожидаемая доходность портфеля Марковича есть взвешенное среднее ожидаемых доходностей каждой ценной бумаги, а дисперсия портфеля — частичная функция дисперсий, ковариаций между ценными бумагами и их весов в портфеле. Маркович основывался на следующих предположениях: доходность активов есть случайные величины со статическими вероятностными характеристиками; отсутствие возможности осуществления коротких продаж; а также предполагал, что математические ожидания доходностей активов различны.

Достаточно часто на практике при построении портфелей Марковича в качестве оченок доходностей и ковариачий используются выборочные аналоги. Принимая во внимание, что характеристики финансовых активов могут существенно изменяться во времени, это приводит к плохим вневыборочным характеристикам портфелей. В связи с этим, в целях улучшения показателей портфелей Марковича, значительные усилия исследователей были посвящены изучению ошибок при оченивании характеристик временных рядов.

Маркович определил понятие эффективных портфелей как совокупность портфелей, принадлежащих эффективному множеству или эффективной границе. Эффективной границе принадлежат портфели, построенные либо на основе максимизации ожидаемой доходности портфелей при заданном уровне их дисперсии, либо на основе минимизации дисперсии портфелей при заданном уровне их ожидаемой доходности. Описание средне-дисперсионных портфельных стратегий и их характеристик, а также соответствующих им оптимизационных задач приведено в Приложении 1.1-1.3.

Тобин [134, 136] обобщил модель Марковица для случая наличия возможности безрискового кредитования и заимствования в дополнение к рисковым активам.

Формирование портфеля активов заключается в выборе набора активов, которые будут входить в состав портфеля, определении функции оптимизации или портфельной стратегии, включающей такие нюансы, как наличие или отсутствие безрискового актива или активов, возможности совершения коротких продаж и пр., а также способа определения будущей доходности активов и их вариации. Обзор базовых портфельных стратегий приведен в Приложении 1.

Описание базовых подходов построения портфелей финансовых активов на русском языке можно найти в следующих работах [3, 7, 8, 10, 11, 12]. Более подробно проблемы портфельного конструирования, в том числе построения портфелей Марковица обсуждаются в следующих работах иностранных авторов [36, 73, 86, 101, 104, 105, 106, 114, 130].

1.1.2 Портфели на основе факторных моделей ценообразования

Следующий этап развития портфельной теории связан с появлением факторных моделей ценообразования доходностей активов. Использование факторных моделей изначально было ориентировано на параметризацию условного среднего, что произошло под действием появления таких весьма влиятельных моделей, как модели ценообразования финансовых активов (САРМ -Capital Asset Pricing Model) [87, 123] и Теории арбитражного ценообразования (Arbitrage Pricing Theory - АРТ) [119, 120], а в последующем и Трехфакторной модели Фама-Френча [61]. Факторные модели представляют экономичный (parsimonious), но при этом гибкий способ моделирования условного совместного

распределения вероятностей доходности активов, когда рассматривается большое количество активов.

Шарп, развивая подход Марковица путем оценки рисковых активов портфеля в рамках модели ценообразования финансовых активов, разделил риск портфеля ценных бумаг на систематический и несистематический. Включение в портфель безрискового актива приводит к трансформации эффективного множества портфелей, состоящих только из рисковых активов, в луч. Точка касания данного луча и эффективного множества портфелей, состоящих только из рисковых активов, соответствует «рыночному портфелю», называемому в иностранной литературе - «tangency portfolio». Коэффициент Шарапа, показывающий ожидаемый прирост доходности при увеличении риска на единицу, для «рыночного портфеля» является наибольшим среди всех портфелей, состоящих из рисковых активов. Приведение эффективного множества к виду луча позволило свести задачу выбора оптимального портфеля от задачи квадратичной оптимизации к линейной. Описание формирования портфеля Марковица при наличии безрискового актива и его характеристик приведено в Приложении 1.2. Построение тестовой статистики для сравнения коэффициентов Шарпа, соответствующих различным инвестиционным портфелям, представлено в Приложении 3.1.

Вопрос экономичности играет чрезвычайно большую роль при построении портфелей больших размеров, то есть когда моделируется условная ковариационная матрица большого числа доходностей активов. Рациональность использования факторных моделей при использовании их в рамках подхода Марковица раскрывается при работе с портфелями больших размерностей, у которых количество активов увеличивается неограниченно.

В ряде работ рассмотрено поведение эффективных портфелей Марковица со счетным числом активов. Чемберлен и Ротшильд [42, 43] изучали влияние не арбитражных стратегий на эффективную границу при количестве активов, стремящемся к бесконечности. Затем они рассматривали расширенную арбитражную теорию расчетов, представленную Россом [120], для случая, когда доходности активов следуют за приближенной факторной структурой. Хансен и Ричард [74] продолжи исследования Чемберлена и Ротшильда. Грин и Холифилд [70] уточнили взаимосвязи между диверсификацией и эффективностью по Марковичу для общего случая. Сентана [122] сравнивал статистические свойства статических и динамических портфелей, используя динамическую версию арбитражной теории расчетов. Песаран и Заффарони [109] исследовали асимптотическое поведение структуры оптимальных портфелей, принадлежащих парадигме Марковица, когда количество активов становится сколь угодно большим. Были сделаны вспомогательные гипотезы, что вектор доходностей активов распределен в соответствии с динамической факторной моделью. Авторы рассматривали случай, когда совместное распределение доходности активов характеризуется общей факторной моделью, с возможной гетероскедастичностью компонентов. Результаты исследования показали, что при бесконечном количестве активов, оптимальные портфели полностью диверсифицируют риск, связанный с дисперсией случайной составляющей доходности, веса оптимального портфеля становятся функционально независимыми от условного распределения факторов, а доходности портфелей становятся независимыми от текущих и лагированных факторов, влияющих на доходности активов.

1.1.3 Многошаговые инвестиционные портфели

Подход Марковица заключается в одношаговой оптимизации портфеля активов, в связи с чем его называют «миопичным» или «близоруким» [98, 130]. Так как подход Марковица не мог учитывать потоки доходов в виде стохастических процессов [98, 121], которые являются адекватными инструментами для их представления, то был поставлен вопрос о создании подхода для построения портфелей на несколько шагов вперед, учитывающего случайность поведения цен рисковых активов.

В связи с вышесказанным, Мертон [98] и Самуэльсон [121] поставили задачу формирования портфеля как задачу оптимального управления, тем самым заложили основу альтернативного подход построения и управления оптимальными портфелями. Мертон и Самуэльсон использовали методы динамического программирования для определения оптимальной структуры портфелей на основе многошаговых моделей с непрерывным временем, в основе которых лежали стохастические процессы ценообразования активов. В задаче Мертона управление заключалось в определении оптимального потребления капитала в каждый момент времени и его оптимальное распределение среди активов. Мертон решил задачу для конечного и бесконечного инвестиционного горизонта, при дискретном и непрерывном времени, для двух активов (рискового и безрискового) и для п+1 активов, при этом ценообразование активов подчинялось геометрическому броуновскому движению. В 1971 году Мертон [100] определил оптимальное поведение портфеля для стохастического случая.

Формирование инвестиционных портфелей, в том числе и многошаговых, получило достаточно широкое применение, как на

практике [73, 91, 114, 130], так и в теоретических исследованиях [44, 55, 56, 64, 76].

Дальнейшее развитие портфельное моделирование на основе моделей динамического программирования получило в работах Фрауендофера и Сейде [66, 67, 68, 125], в которых авторы вводят альтернативный многошаговый подход, заключающийся в минимизации дисперсии, выступающей мерой риска, учитываемой в бюджетном уравнении. В связи с тем, что модели оптимального управления работают со случайными величинами, которые в частности определяют характеристики активов, то эволюция случайных величин представляется путем построения «деревьев решений». Использование модели геометрического броуновского движения для описания ценообразования рискового актива редко способно адекватно отображать доходности реальных финансовых активов, так как подразумевает стационарность доходностей активов и нормальность их распределения, в связи с чем Фрауендофер и Сейде [68] предложили использовать модель стохастической волатильности (8У-тос1еШп§) и модели, относящиеся к моделям типа GAR.CH, для учета особенностей поведения рисковых активов. Авторы утверждают, что портфели, построенные на основе моделей оптимального управления при инкорпорировнии в них моделей временных рядов превосходят другие портфельные стратегии в связи с тем, что учитывают изменяющуюся структуру матрицы ковариаций активов на всем горизонте планирования, конструируют портфель в соответствии с будущим развитием факторов риска, а также способны рассматривать огромное количество сценариев развития событий.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Хабров, Владимир Викторович, 2014 год

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Домбровский Д.В. Динамические модели управления инвестиционным портфелем на нестационарном финансовом рынке с учетом транзакционных издержек и ограничений: дис. ... канд. ф.-м. наук - Томск: ТГУ, 2008.- 188 е.: ил.

2. Ерешко А.Ф. Методы и модели решения одного класса многошаговых задач управления портфелем ценных бумаг: дис. канд. ф.-м. наук. - Москва: МФТИ, 2002 - 117 с.

3. Инвестиции / Шарп У., Александер Г., Бейли Дж. - М.: ИНФРА-М, 2006.-1028 с.

4. Колоколов А. Хеджирование фьючерсами: многомерные G ARCH с динамическими условными корреляциями // Квантиль. - 2011. -№9.-С. 61-75.

5. Любимов Н. Хитроумный идальго Дон Кихот Ламанчский // Мигель де Сервантес Сааведра - М.: Художественная литература, 1988.

6. Марк Твен. Собр. соч. в 8 томах. Перевод В.Лимановской Том 6. -М.: Правда, 1980

7. Математика финансовых обязательств / Мельников A.B., Волков С.Н., Нечаев М.Л. - М.:ГУ ВШЭ, 2001.

8. Математические методы финансового анализа / Мельников A.B., Попова Н.В., Скорнякова B.C. - М.: Анкил, 2006. - с. 440

9. Михаленок Ю.М. и Малюгин В. И. Оптимизация портфеля финансовых активов на основе многомерных моделей волатильности. // Материалы Международного конгресса по информатике: информационные системы и технологии. - Минск: БГУ, 2011. URL:http://www.fpmi.bsu.by/ImgFpmi/Cache/l5483.pdf (дата обращения 21.09.2012).

10. Модели финансовых рынков: Оптимальные портфели, управление финансами и рисками / Ширяев В.И. - Новосибирск: Издательство СО РАН , 2009. - с. 216

11. Новоселов A.A. Выбор инвестиционного портфеля // Лекция для студентов Института математики СФУ URL: http://risktheory.ru/lectures/inport.pdf (дата обращения 23.01.2013).

12. Основы стохастической финансовой математики / Ширяев А.Н. -М.: ФАЗИС, 1998.

13. Основы теории оптимального управления. / Ли Э.Б., Маркус Л.. -М.: Наука, 1973.

14. Первознанский A.A. Оптимальный портфель ценных бумаг на нестационарном неравновесном рынке // Экономика и математические методы. - 1999. - Т.35. - 3. - С. 63-68

15. Прикладная теория оптимального управления / А. Брайсон и Хо Ю-Ши - М.: МИР, 1972. - 272 с.

16. Теория игр и экономическое поведение / фон Нейман Дж., Моргенштерн О. -М.: Наука, 1970.

17. Теория экстремальных задач / Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. - М.: Наука, 1974. - 480 с.

18. Терлыга Н.Г. Динамическая реструктуризация инвестиционного портфеля на основе методов теории гарантированного управления: дис. канд. эконом, наук. - Екатеринбург: УГТУ, 2003 -175 с.

19. Хабров В.В. Многошаговая задача управления инвестиционными портфелями на основе моделей векторных авторегрессий и моделей многомерной волатилыюсти // Проблемы управления. -2013. -№2.-С. 20-35.

20. Хабров В.В. Оптимизация управления инвестиционным портфелем на основе моделей векторных авторегрессий и моделей многомерной волатильности // Прикладная эконометрика. - 2012. - № 4. - С. 35 - 63.

21. Хабров В.В. Построение оптимальных валютных портфелей на основе прогнозов линейных моделей // Вопросы статистики. -2011. - № 11.-С. 44-52.

22. Хабров В.В. Построение эффективных мультивалютных портфелей. // Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. --М.~:МИЭМ, 2011. 320-321

23. Хабров В.В. Новый подход к формированию портфелей ценных бумаг и оценке инвестирования средств пенсионных накоплений/ В.В. Хабров// Инновационная система государства и перспективы его развития. Сборник научных трудов - Гомель, Белоруссия: ЦНИИР, 2010.

24. Хабров В.В. Особенности прогнозов на основе моделей с переменной структурой/ В.В. Хабров// Инновационная система государства и перспективы его развития. Сборник научных трудов - Гомель, Белоруссия: ЦНИИР, 2010.

25. Хабров В.В. Построение эффективных портфелей на основе прогнозов моделей векторных авторегрессий // Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых

специалистов МИЭМ. Тезисы докладов.--М.~:МИЭМ, 2012. -

363-364.

26. Хабров В.В. Практические результаты прогнозирования с помощью линейных, нелинейных и моделей с переменной структурой. // Научно-техническая конференция студентов,

аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. -- М.~:МИЭМ, 2010. - 368-369.

27. Шепелевич JI. Ю. Венецианский купец // Шекспир В. Полное собрание сочинений / Библиотека великих писателей под ред.

C. А. Венгерова. Т. 1, 1903. С. 420—431.

28. Эконометрия / Суслов В.И. и др. - Новосибирск: Издательство СО РАН, 2005.-744 с.

29. Analysis of financial time series / Tsay R.S. - New Jersey: John Wiley and Sons, 2002.-714 p.

30. Applied multivariate statistical analysis / Johnson R.A. and Wichern

D.W. - New Jersey: Prentice Hall, 2007. - 396 p.

31. Babylonian Talmud: Tractate Baba Mezi'a, folio 42a.

32. Bachelier L. Théorie de la spéculation // Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. - 1900. № 3(17). - P. 21 - 86.

33. Balduzzi P., Lynch A.W. Transaction Costs and Predictability: Some Utility Cost Calculations // Journal of Financial Economics. - 1999. № 52.-P. 47 - 78.

34. Belecki T., Jin H., Pliska S.R., Zhou X.Y. Continuous-time mean-variance portfolio choice with no bankruptcy constraint // proceedings of the 42nd IEEE Conference on Decision and Control. - 2003. - P. 5945-5950

35. Berndt E., Hall В., Hall R., Hausman J. Estimation and Inference in Nonlinear Structural Models // Annals of Economic and Social Measurement. - 1974. № 3(4). - P. 653 - 665.

36. Best M.J., Grauer R.R. On the Sensitivity of Mean-Variance Efficient Portfolios to Changes in Asset Means: Some Analytical and Computational Results // The Review of Financial Studies. - 1991. № 4.-P. 315 - 342.

37. Bhardwaj R., Brooks L. The January Anomaly: Effects of Low Share Price, Transaction Costs, and Bid-Ask Bias // Journal of Finance. -1992. №47. -P. 553 - 574.

38. Bollerslev T. Modeling the coherence in short-run nominal exchange rates: A multivariate generalized ARCH model // Review of Economics and Statistics - 1990. - № 72. - P. 498-505.

39. Bollerslev T., Engle R.F., Wooldridge J.M. Capital asset pricing model with time-varying covariances // Journal of Political Economy. - 1988. - № 96. - P.116-131.

40. Cappiello L., Engle R.F., Sheppard K. Asymmetric dynamics in the correlations of global equity and bond returns // Journal of Financial Econometrics. - 2006. - № 4. - P. 537-572.

41. Carriero A., Kapetanios G., Marcellino M. Forecasting Government Bond Yields with Large Bayesian VARs // Queen Mary, University of London, School of Economics and Finance. - 2010. Working Papers № 662.

42. Chamberlain G. Funds, factors and diversification in arbitrage pricing models // Econometrica. - 1983. № 51. - P. 1305 - 1324.

43. Chamberlain G., Rothschild M. Arbitrage, factor structure and mean-variance analysis on large asset markets // Econometrica. - 1983. № 51.-P. 1281 - 1304.

44. Chen A.H., Jen Y.C. and Zionts S. The Optimal Porftolio Revision Policy //Journal of Business. - 1971. - № 44. - P. 51-61.

45. Chiu M., Li D. Asset and liability management under a continuous time mean-variance optimization framework // Insurance: Mathematics and Economics. - 2006. - № 39. - P. 330-355.

46. Chopra V.K. Mean-variance revisited: Near optimal portfolios and sensitivity to input variations // Journal of Investing. - 1993. № 2(1). -P. 51-59.

47. Chopra V.K., Ziemba W.T. The effect of errors in means, variances, and covariances on optimal portfolio choice // Journal of Portfolio Management. - 1993,- № 19(2). - P. 6-11.

48. Cochrane J.H. Portfolio advice of a multifactor world // Economic Perspectives, Federal Reserve Bank of Chicago. - 1999. № QUI. - P. 59-78.

49. Cochrane J.H., Piazzesi M. Bond Risk Premia // American Economic Review. - 2005. № 95(1). - P. 138-160.

50. DeMiguel, V., Garlappi L., Uppal R. Optimal Versus Naive Diversification: How Inecient is the 1/N Portfolio Strategy? // The Review of Financial Studies. - 2009. № 22. - P. 1915 - 1953.

51. Diebold F.X., Mariano R.S. Comparing predictive accuracy // Journal of Business and Economic Statistics. - 1995. № 13. - P. 253 - 263.

52. Duchin R., Levy. H. Markowitz versus the Talmudic portfolio diversification strategies. Journal of Portfolio Management. - 2009. -№35(2).-P. 71-74.

53. Dupacova J. Portfolio optimization via stochastic programming: Methods of output analysis // Mathematical methods of Operations Research. - 1999. - 50. - P. 245 - 270.

54. Econometric analysis / Greene W.H. - New Jersey: Prentice Hall, 1999.- 1052 p.

55. Elton E.J. and Gruber M.J. On the optimality of some multiperiod portfolio selection criteria // Journal of Busines - June 1974. - P. 231243.

56. Elton E.J. and Gruber M.J. The multi-period consumption investment problem and single period analysis // Oxford Economics Papers. -Oxford, 1974.-P. 289-301.

57. Engle R.F. and Sheppard K. Theoretical and empirical properties of Dynamic Conditional Correlation // MVGARCH. Working paper № 2001-15, University of California, San Diego. URL:http://pagcs.stern.nyu.edu/~rcnglc/Dcc-Sheppard.pdf (дата обращения 23.08.2012).

58. Engle R.F. Dynamic conditional correlation - A simple class of multivariate GARCH models // Journal of Business and Economic Statistics. - 2001. - № 20. - P. 339-350.

59. Engle R.F., Kroner K.F. Multivariate simultaneous generalized ARCH // Econometric Theory. - 1995. - № 11(1). - P. 122-150.

60. Estimation Risk and Optimal Portfolio Choice / Bawa V.S., Brown S.J., Klein R.W. - Amsterdam: North Holland, 1979.

61. Fama E., French K. The cross-section of expected stock returns // Journal of Finance. - 1992. - № 47. - P. 427^165.

62. Fama E.F. Efficient Capital Markets II // Journal of Finance. - 1991. -№46(5).-P. 1575-1617.

63. Fama E.F. Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical Work // Journal of Finance. - 1970. - № 25(5). - P. 387-417.

64. Fama E.F. Multiperiod consumption - investment decisions // American Economic Review. - 1970. - № 60. - P. 163-174.

65. Fama E.F., Bliss R.R. The information in long-maturity forward rates // American Economic Review. - 1987. - № 77(4). - P. 680-692.

66. Frauendorfer К. The stochastic programming extension of the Markowitz approach // International Journalon Neuraland Mas-Paralel Computing and Information Systems. -1995. - №5. - P. 449 - 460.

67. Frauendorfer K., Siede H. Portfolio Selection Using Multistage Stochastic Programming // Central European Journal of Operations Research. - 2000. - № 7. - P. 277-289.

68. Frauendorfer K., Siede H. Time Series Models in Intertemporal Portfolio Optimisation //. St. Gallen, CH: Institute for Operations Research, University of St. Gallen. - 1998. URL:http://www.alexandria.unisg.ch/publications/7242 (дата обращения 10.05.2012).

69. Giacomoni R., White H. Test of Conditional Forecast Accuracy // Econometrica. - 2006. № 74. - P. 1545 - 1578.

70. Green R., Hollifield B. When will mean-variance efficient portfolios be well diversified? // Journal of Finance. - 1992. № 47. - P. 1785 -1809.

71. Handbook of Econometrics / Engle R. F. and eds. - Amsterdam: Elsevier, 1994.-3160 p.

72. Handbook of Econometrics / Engle R.F., McFadden D. (eds.). -Vector Autoregressions and Cointegration / Watson M. - Amsterdam: Elsevier Science Ltd., 1994.

73. Handbook of Financial Econometrics / Ait-Sahalia Y. and L. P. Hansen. Portfolio Choice Problems / Brandt M. W. - St. Louis: Elsevier, 2007.

74. Hansen, L., Richard S. The role of conditioning information in deducing testable restrictions implied by dynamic asset pricing models // Econometrica. - 1987. № 55. - P. 587 - 613.

75. Harvey D.I., Leybourne S.J., Newbold P. Testing the equality of prediction mean squared errors // International Journal of Forecasting. - 1997. №13.-P. 281 - 291.

76. Introduction to Mathematical Finance / Pliska S.R. - Maiden: Basil Blackwel, 1997.-262 p.

77. Introduction to Multiple Time Series Analysis / Lutkepohl H. -Berlin: Springer-Verlag, 1991.

78. Introduction to Multiple Time Series Analysis / Lutkepohl H. -Berlin: Springer-Verlag, 1993.

79. Jagannathan R., Ma T. Risk reduction in large portfolios: why imposing the wrong constraints helps // Journal of Finance. - 2003. № 58.-P. 1651 - 1684.

80. Jobson J. D., Korkie R. Performance Hypothesis Testing with the Sharpe and Treynor Measures // Journal of Finance. - 1981. № 36. -P. 889 - 908.

81. Jorion P. Bayesian and CAPM Estimators of the Means: Implications for Portfolio Selection // Journal of Banking and Finance. - 1991. № 15.-P. 717 - 727.

82. Kempf A., Memmel C. Estimating the global Minimum Variance Portfolio // Schmalenbach Business Review (sbr). - 2006. № 58(4). -P. 332 - 348.

83. Kritzman M., Page S., Turkington D. In Defence of Optimization: The Fallacy of 1/N // Fianancial Analysts Journal. - 2010. - Vol 66(2). - P. 9.

84. Ledoit O., Wolf M. Improved Estimation of the Covariance Matrix of Stock Returns with an Application to Portfolio Selection // Journal of Empirical Finance. - 2003. № 10. - P. 603 - 621.

85. Lesmond D.A., Ogden J.P., Trzcinka C.A. A New Estimate of Transaction Costs // The Review of Financial Studies. - 1999. № 12. -P. 1113 - 1141.

86. Li D., Ng W.-L. Optimal dynamic portfolio selection: Multi-period mean-variance formulation // Mathematical Finance. - 2000. - № 10. -P. 387-406.

87. Lintner J. The valuation of risky assets and the selection of risky investments in stock portfolios and capital budgets // Review of Economics and Statistics. - 1965. № 47. - P. 13 - 37.

88. Litterman R.B Forecasting with Bayesian vector autoregressions — Five years of experience // Journal of Business and Economic Statistics. - 1986. - № 4(1). - P. 25-38.

89. Litterman R.B. Techniques of forecasting using vector autoregressions // Working Papers 115, Federal Reserve Bank of Minneapolis. URL:http://www.minneapolisfed.org/research/wp/wpl 15.pdf (дата обращения 23.04.2012).

90. Malkiel B.G. The Efficient Market Hypothesis and Its Critics // The Journal of Economic Perspectives. - 2003. № 17(1). - P. 59 - 82.

91. Managing Investment Portfolios: A Dynamic Process, 3d edition // Maginn J., Tuttle D. McLeavy D.W., Pinto J.E. - New Jersey: Jon Wiley & Sons, Hoboken, 2007.

92. Marcellino M. Instability and nonlinearity in the EMU // CEPR Working Paper No. 3312. URL:http://www.eui.eu/Personal/Marcellino/documents/paper24.pdf (дата обращения 03.05.2012).

93. Markowitz H. M. Portfolio selection // The Journal of Finance. - 1952. -№7(1).-P. 77-91.

94. Markowitz H.M. The optimization of a quadratic function subject to linear constraints // Naval Research Logistics Quarterly. - 1956. № 3. -P. Ill - 133.

95. Matrix differential calculus with applications in statistics and econometrics / Magnus J., Neudecker H. - England: John Wiley and Sons, 1999.-400 p.

96. McNees S.K. The Role of Judgment in Macroeconomic Forecasting Accuracy // International Journal of Forecasting. - 1990. № 6. - P. 287 - 299.

97. Memmel C. Performance Hypothesis Testing with the Sharpe Ratio // Finance Letters. - 2003. № 1. - P. 21 - 23.

98. Merton R.C. Lifetime portfolio selection under uncertainty: The continuous-time case // The Review of Economics and Statistics. -1969. - № 51(3). - P. 247-257.

99. Merton R.C. On Estimating the Expected Return on the Market: An Exploratory Investigation // Journal of Financial Economics. - 1980. №8.-P. 323 - 361.

100. Merton R.C. Optimum Consumption and Portfolio Rules in a Continuous-Time Model // Journal of Economic Theory. - 1971. - № 3. - P. 373—413.

101.Michaud R.O. The Markowitz Optimization Enigma: Is Optimized Optimal? // Financial Analysts Journal. - 1989. № 45. - P. 31 - 42.

102. Mis-Specification in Portfolio Selection Problems / Kallberg J.G., Ziemba W.T. - New York: Springer-Verlag, 1984.

103. Modeling financial time series with S-Plus / Zivot E. and Wang J. -New York: Springer, 2002. - 1016 p.

104. Modern Developments in Investment Management / Lorie J.H., Brealey R.A. (eds.) - Portfolio Selection in a Dynamic and Uncertin

World / Hodges S.D., Brealey R.A. - Hinsdale, IL: Dryden Press, 1978.

105. Modern Investment Management: An Equilibrium Approach / Litterman R. -New York: Wiley, 2003.

106. Modern Portfolio Theory and Investment Analysis / Elton E., Gruber M. - New York: John Wiley & Sons, 1995.

107. New introduction to multiple time series analysis / Lutkepohl H. -Berlin: Springer, 2005. - 764 p.

108. Pagan A.R., Schwert G.W. Alternative models for conditional stock volatility // Journal of Econometrics. - 1990. - № 50. - P. 267-290.

109.Pesaran M. H., Zaffaroni P. // Optimal Asset Allocation with Factor Models for Large Portfolios URL: http://www3.imperial.ac.Uk/pls/portallive/docs/l/49997704.PDF (дата обращения:23.01.2013)

110. Peters. Т. Forecasting the covariance matrix with the DCC GARCH model // Stockholm University. URL:http://www2.math.su.se/matstat/reports/serieb/2008/rep4/report. pdf (дата обращения 14.08.2012).

111.Photiou G. Extend the ideas of Kan and Zhou paper on Optimal Portfolio Construction under parameter uncertainty: diss. Masters of science in math, and computational finance - Oxford: University of Oxford, 2010-P. 45.

112.Pojarliev M. and Polasek W. Applying multivariate time series forecasts for active portfolio management. University of Basel. URL:http://www.hathersage.com/fx/readings/multivariate time_series.pdf (дата обращения 25.06.2012).

113.Pojarliev M. and Polasek W. Portfolio construction by volatility forecasts: Does the covariance structure matter? // INVESCO Asset Management and Institute of Statistics and Econometrics University of

Basel. URL:http://www.istfin.eco.usi.ch/seminar-papers-

polasekport_diag_rev2.pdf (дата обращения: 15.06.2012).

114. Portfolio Construction and Risk Budgeting / Scherer B. - London: Riskwaters, 2004.

115. Portfolio selection: Efficient diversification of investments / Markowitz H. M. - New Jersey: John Wiley and Sons, 1959. - 344 p.

116. Risk and Capital / Bamberg, G. & Spremann, A. (eds.) - Mis-Specification in Portfolio Selection Problems / Kallberg J.G., Ziemba W.T., - New York: Springer-Verlag, 1984.

117. RiskMetrics. Technical Document / RiskMetrics Group - 1996.

118. Roberts H.V. Stock Market «Patterns» and Financial Analysis: Methodological Suggestions // Journal of finance. - 1959. № 14(1). -P. 1 - 10.

119. Roll R., Ross S. An empirical investigation of the arbitrage pricing theory // Journal of Finance. - 1980. № 35(5). - P. 1073 - 1103.

120. Ross S. The arbitrage theory of capital asset pricing // Journal of Economic Theory. - 1976. № 13. - P. 341 - 360.

121. Samuelson P.A. Lifetime portfolio selection by dynamic stochastic programming // The Review of Economics and Statistics. - 1969. - № 51(3).-P. 239-246.

122. Sentana E. Factor representing portfolios in large asset markets // Journal of Econometrics. - 2004. № 119. - P. 257 - 289.

123.Sharpe W. Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk // Journal of Finance. - 1964. № 19(3). - P. 425 - 442.

124. Shaw W. // Monte Carlo Portfolio Optimization for General Investor Risk-Return Objectives and Arbitrary Return Distributions: a Solution

for Long-only Portfolios URL:http://arxiv.org/pdf/l 008.3718.pdf (дата обращения: 23.01.2013)

125. Siede H. Multi-Period Portfolio Optimization - with Emphasis on an Mean-Variance Criterion: diss. PhD - Bamberg: University of St. Gallen, 2000.- 195 p.

126. Sims C.A. Macroeconomics and reality // Econometrica. - 1980. - № 48.-P. 1-48.

127. Stock J.H., Watson M.W. Evidence on structural instability in macroeconomic time series relations // Journal of Business and Economic Statistics. - 1996. № 14. - P. 11 - 30.

128. Stock J.H., Watson M.W. Forecasting Output and Inflation: The Role of Asset Prices // Journal of Economic Literature, American Economic Association. - 2003. № 41(3). - P. 788 - 829.

129. Stoll H., Whaley R. Transaction Costs and the Small Firm Effect // Journal of Financial Economics. - 1983. № 12. - P. 57 - 79.

130. Strategic Asset Allocation / Campbell, J. Y., Viceira L.M. - New York: Oxford University Press , 2002.

131. The econometrics of financial markets / Campbell J.Y., Lo A.W., MacKinlay A.C. - New Jersey: Princeton University Press, 1997. -314 p.

132. The Economics of Time and Uncertainty / Gollier C. - MA: MIT Press, 2001.

133. The Mis(behavior) of Markets: A Fractal View of Risk, Ruin, and Reward / Mandelbrot B. and Hudson R.L. - New York: Basic Books, 2004. - 328 p.

134. The Theory of Interest Rates / Hahn F.H., Brechling F.P.R. - The Theory of Portfolio Selection / Tobin J. - London: Macmillan and Co., 1965.

135. Time series analysis / Hamilton J.D. - New Jersey: Princeton University Press, 1994. - 820 p.

136. Tobin J. Liquidity Preference as Behavior Towards Risk // Review of Economic Studies. - 1958. № 25. - P. 68 - 85.

137. Tse Y.K., Tsui A.K.C. A multivariate GARCH model with time-varying correlations // Journal of Business and Economic Statistics. -2002. - №20. -P. 351-362.

138. Tu J., Zhou G. Markowitz meets Talmud: A combination of sophisticated and naive diversification strategies // Journal of Financial Economics. - 2011. - № 99(1). - P. 204-215

139. Vector Autoregressions / Lutkepohl H. - Institut fur Statistik und Ökonometrie, Humboldt-Universit 'at zu Berlin, 1999.

140.Yilmaz Т. Improving portfolio optimization by DCC and DECO GARCH: Evidence from Istanbul Stock Exchange // MPRA Paper 27314, University Library of Munich, Germany. URL:http://mpra.ub.uni-

muenchen.de/27314/l/DCC_Portfolio_Optimization_tolgahan_yilmaz .pdf (дата обращения 10.07.2012).

141. Yin G., Zhou X.Y. Markowitz mean-variance portfolio selection with regime switching: from discrete-time models to their continuous-time limits // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2004. - Vol. 49, 3.-P. 349-360.

142. Zhou X. Y. and Li D. Continuous-Time Mean-Variance Portfolio Selection: A Stochastic LQ Framework // Applied Mathematics and Optimization. - 2000. - 42. pp. 19-33

143. Zhou X.Y. and Yin G. Markowitz mean-variance portfolio selection with regime switching: A continuous-time model // SIAM Journal on Control and Optimization. - 2003. - Vol. 42. - 4. - P. 1466-1482.