Равновесие в моделях наилучшего выбора с неполной информацией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Коновальчикова Елена Николаевна

• Коновальчикова Елена Николаевна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Коновальчикова Елена Николаевна

Оглавление

Введение

Глава 1. Теоретико-игровая модель наилучшего выбора с непол-

ной информацией для двух лиц

1.1. Игра двух лиц наилучшего выбора из n претендентов с приоритетом

первого игрока

1.1.1. Игра двух лиц наилучшего выбора из двух претендентов с

приоритетом первого игрока

1.1.2. Игра двух лиц наилучшего выбора из трех претендентов с

приоритетом первого игрока

1.1.3. Метод обратной индукции в игре двух лиц наилучшего вы-

бора из n претендентов с приоритетом первого игрока

1.2. Игра двух лиц наилучшего выбора из n претендентов с равноправ-

ными игроками

1.2.1. Игра двух лиц наилучшего выбора из двух претендентов с

равноправными игроками

1.2.2. Игра двух лиц наилучшего выбора из трех претендентов с

равноправными игроками

1.2.3. Метод обратной индукции в игре двух лиц наилучшего вы-

бора из n претендентов с равноправными игроками

1.3. Влияние корреляции качеств претендентов на решение игры двух

лиц наилучшего выбора из n претендентов

1.3.1. Игра двух лиц наилучшего выбора из двух кандидатов c

зависимыми параметрами качества кандидатов

1.3.2. Игра двух лиц наилучшего выбора из трех кандидатов c за-

висимыми параметрами качества конкурсантов

1.3.3. Игра двух лиц из n кандидатов c зависимыми параметрами

качества конкурсантов

3

Глава 2. Теоретико-игровая модель наилучшего выбора с непол-

ной информацией для M игроков

2.1. Игра M лиц наилучшего выбора из двух кандидатов

2.2. Игра двух лиц наилучшего выбора из N претендентов

2.3. Игра M лиц наилучшего выбора из N претендентов

2.4. Игра трех лиц наилучшего выбора из N кандидатов

Глава 3. Теоретико-игровой анализ моделей взаимного выбора

3.1. Моделирование приемных кампаний в вузы

3.2. Иерархическая модель выбора из m вузов с полной информацией

3.3. Модель взаимного выбора партнера с возрастными предпочтениями

Заключение

Литература

Приложение

Приложение

4

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Равновесие в моделях наилучшего выбора с неполной информацией»

Актуальность темы.

Важным направлением в теории игр и теории оптимальной остановки явля-

ется исследование задач наилучшего выбора. Интерес к исследованию данного

класса задач обусловлен тем, что модели наилучшего выбора широко примени-

мы в социально-экономических и естественных науках таких, как экономика,

социология, психология и биология. Преимущества моделей наилучшего выбо-

ра заключаются в том, что они отражают существенные особенности реальных

процессов принятия решения в условиях неопределенности и результаты моде-

лирования достаточно легко интерпретируемы.

В реальности на процессы выбора налагаются множества условий, от ко-

торых зависит конечный результат: степень информированности о качестве на-

блюдаемых объектов или их количестве, наличие возможности возвращения к

просмотренному объекту, наличие конкуренции, наличие возможности выбора

нескольких объектов и плата за просмотр объекта. В связи с этим, является

актуальным исследование новых теоретико-игровых постановок задач наилуч-

шего выбора, их моделирование и изучение оптимального поведения участников

процесса выбора.

Степень разработанности.

В 1875 г. А. Кейли была сформулирована задача наилучшего выбора как

задача об оптимальной остановке следующего вида [26]. Из набора, состоящего

из m объектов с известными значениями x1 , x2 , . . . , xm , разрешается просмот-

реть n объектов (n 6 m). В процессе просмотра текущего объекта необходимо

либо его принять, получив в качестве выигрыша значение объекта, либо от-

вергнуть и перейти к следующему. Повторный просмотр отвергнутых объек-

тов запрещен. Если отвергнуты все объекты, кроме последнего, то последний

объект принимается. В данной задаче необходимо найти ожидаемый выигрыш.

Решение задачи было найдено А. Кейли для набора из четырех объектов со

 5

значениями 1, 2, 3, 4.

Задача А. Кейли была переформулирована и решена в 1956 г. Л. Мозером

для случая m объектов, значения которых представляют собой независимые

равномерно распределенные на отрезке [0, 1] случайные величины x1 , x2 , . . . , xm

[52]. Задачей является выбрать объект с максимальным значением качества. Ре-

шение данной задачи связано со сравнением поступающих наблюдений с зна-

1 + x2n−1

чениями последовательности Мозера x0 = 0, xn = , n = 1, 2, . . . , N .

2

На данный момент существует множество различных постановок задач

наилучшего выбора, среди которых особое место занимает задача о секрета-

ре следующего вида. В компании имеется одно вакантное место секретаря, на

которое претендуют n соискателей, проранжированных по качеству –– лучший

претендент имеет (абсолютный) ранг 1, худший –– ранг n. С претендентами

последовательно в случайном порядке проводятся собеседования (равноверо-

ятны все последовательности, в которой будут приглашаться на собеседование

претенденты). Решение о принятии претендента или отказе в занятии вакансии

основывается на относительном ранге –– оценке качества текущего претендента

относительно качеств предыдущих претендентов. Решение должно быть объяв-

лено соискателю сразу же по окончании собеседования с ним, причем нельзя

принять соискателя, которому ранее было отказано в занятии вакансии. Требу-

ется с наибольшей вероятностью принять лучшего из всех претендентов (если

принятый претендент лучший из всех, то выигрыш равен 1, в противном случае

выигрыш равен 0) [1, 32].

Решение классической задачи наилучшего выбора, основанное на теории

марковских процессов, было получено Е. Б. Дынкиным в 1961 году [2,3]. В этом

же году Д. Линдли получил решение данной задачи с помощью методов дина-

мического программирования [43]. В минимаксном варианте задача наилучшего

выбора впервые была исследована в работе [35]. Обобщение задачи наилучшего

выбора со случайным числом наблюдений рассмотрено в работах [13, 41, 55] и

с бесконечным числом наблюдений — [36]. Задачи о секретаре с возможностью

 6

отказа от претендента были рассмотрены в [16, 69].

При решении задач наилучшего выбора важной составляющей является

определение критерия оптимизации. В классической задаче о секретаре исполь-

зован критерий максимизации вероятности выбора наилучшего объекта. Так-

же используются критерии максимизации (минимизации) ожидаемого выигры-

ша [61, 63] или максимизации (минимизации) абсолютного ранга наблюдаемого

объекта [25, 28].

Заметим, что при моделировании теоретико-игровых задач наилучшего вы-

бора выделяются два подхода. В первом подходе игроки наблюдают за одной и

той же последовательностью предложений x1 , . . . , xn и целью является выбрать

предложение сo значением большим, чем у других игроков. Во втором подхо-

де у каждого из игроков собственная последовательность наблюдений и перед

игроком стоит аналогичная цель: выбрать объект с большим значением, чем у

других игроков (см. обзор в [9, 45]). Теоретико-игровым моделям наилучшего

выбора также посвящены работы [30, 33, 42, 51, 59].

Задачи наилучшего выбора характеризуются степенью информированно-

сти о качестве наблюдаемых объектов. Так, классическая задача о секрета-

ре является задачей с отсутствием информации в связи с тем, что множество

объектов линейно упорядочено, но значение их качества не определено. Зада-

чи наилучшего выбора с отсутствием информации рассматриваются в рабо-

тах [56, 60, 61, 68], а работы [12, 14, 67] посвящены исследованию задач с много-

кратным выбором.

В задачах наилучшего выбора с полной информацией качество объектов

рассматривается как случайная величина с известным законом распределения

вероятностей [35,44]. Задачи выбора с полной информацией двух объектов рас-

смотрены в [15, 54, 62]. Также выделяется класс задач наилучшего выбора с

неполной информацией, в которых закон распределения случайных величин

известен, но неизвестны его параметры [8, 24]. Неполнота информации может

быть связана с тем, что точное значение случайной величины неизвестно [29,69].

 7

Задача о секретаре рассмотрена и в случае, когда выбор объекта осуществ-

ляется несколькими участниками путем принятия совместного решения. В за-

дачах m лиц наилучшего выбора принятие совместного решения возможно с

помощью арбитражной процедуры [10, 64–66] или схемы голосования [11, 49].

Особенностью классической задачи о секретаре является односторонний

выбор, то есть выбранный объект всегда согласен с решением игрока. Вышепри-

веденные постановки относятся к задачам одностороннего наилучшего выбора.

Предположив, что объект также имеет право выбора, задача наилучшего выбо-

ра оказывается двусторонней или взаимной. Задачи взаимного выбора широко

применяются в биологии и социологии, например, задача выбора партнера, в

экономике — отношения работодаль-работник и покупатель-продавец.

В работе [40] описана многошаговая модель взаимного выбора, в которой

каждый представитель двух различных групп характеризуется некоторым по-

казателем качества и стремится создать пару с членом противоположной груп-

пы. При создании пары представители групп руководствуются двумя видами

правил: пару образуют с тем, у кого уровень качества близок к его собственно-

му либо пару образуют с тем, у кого уровень качества выше его собственного.

В каждом периоде моделируются случайные встречи представителей групп, в

результате которых пары создаются только при условии, что оба игрока вза-

имно приняты друг другом. При создании пары игроки покидают группы, в

противном случае переходят на следующий этап и продолжают выбор. Обоб-

щения данной модели расмотрены в работах [19–23,50]. Также задачи взаимного

выбора рассмотрены в работах [31, 53].

В 1962 г. Д. Гейлом и Л. Шепли задача взаимного выбора была сформу-

лирована как задача распределения студентов по университетам. В работе [34]

представлен механизм создания устойчивых пар и разработаны основы теории

устойчивых пар (матчингов). Впоследствии исследованием устойчивых пар за-

нимались Д. Гейл, Э. Рот, М. Сотомайэр и другие [17, 18, 57, 58].

Цель диссертационной работы заключается в разработке теоретико-

 8

игровых моделей наилучшего выбора с неполной информацией и методов ре-

шения таких задач для различного числа игроков, претендентов и типов зави-

симости в данных о кандидатах.

Достижение поставленной цели требует решения следующих задач:

1. Разработать методы нахождения равновесия в теоретико-игровой задаче

наилучшего выбора с неполной информацией для ранжированных игро-

ков.

2. Разработать методы нахождения равновесия в теоретико-игровой задаче

наилучшего выбора с неполной информацией для равноправных игроков.

3. Разработать комплекс программ, реализующие полученные алгоритмы

нахождения равновесия в задачах наилучшего взаимного выбора и прове-

сти численные расчеты и оценки эффективности оптимальных стратегий.

Методы исследований. В диссертационной работе применяются методы

динамического программирования, методы теории вероятностей и методы неко-

оперативной теории игр. Для численного моделирования применяются методы

вычислительной математики.

Научная новизна работы заключается в исследовании новых постано-

вок задач наилучшего выбора с неполной информацией и нахождения их реше-

ний. В работе были исследованы теоретико-игровые модели наилучшего выбора

двух и более лиц с неполной информацией, получены рекуррентные формулы

для нахождения оптимальных стратегий и выигрышей игроков. В теоретико-

игровой модели наилучшего выбора двух лиц были рассмотрены два подхода

принятия решения: с приоритетом первого игрока и с равноправными игрока-

ми. Модель с равноправными игроками была исследована в случае коррелиро-

ванных наблюдений. Также рассмотрена модель взаимного выбора на приме-

ре проведения приемных кампаний вузов, найдены решения задач наилучшего

выбора с полной и неполной информацией в случае наличия иерархии между

вузами.

 9

В модели взаимного выбора с возрастными предпочтениями получен ана-

литический вид оптимальных выигрышей представителей группы с большей

численностью, найдены условия существования равновесия.

Теоретическая значимость работы. Полученные в диссертационной

работе теоретические результаты относятся к теории наилучшего выбора, их

значимость заключается в построении теоретико-игровых моделей наилучшего

выбора с неполной информацией и разработке алгоритмов нахождения опти-

мальных стратегий с несколькими игроками и объектами в условиях неполноты

информации о поступающих данных.

Практическая значимость работы определяется применимостью раз-

работанных методов построения оптимальных стратегий в различных задачах

выбора объектов таких, как приемные кампании в вузы, биологические задачи

выбора партнера и другие социально-экономические приложения.

Положения, выносимые на защиту:

1. Предложена теоретико-игровая модель наилучшего выбора с неполной ин-

формацией с ранжированными игрокоми и разработан метод нахождения

равновесия для игр двух лиц и произвольного числа кандидатов.

2. Предложена теоретико-игровая модель наилучшего выбора с неполной ин-

формацией с равноправными игроками и разработан метод нахождения

равновесия для игр двух лиц и произвольного числа кандидатов. Сделано

обобщение теоретико-игровой модели наилучшего выбора с равноправны-

ми игроками в случае коррелированных наблюдений.

3. На основе разработанной модели двустороннего выбора проведено ком-

пьютерное моделирование приемной кампании в вузы.

4. Создан комплекс программ для численной реализации на ЭВМ предло-

женных методов поиска равновесий и проведены численные эксперимен-

ты.

Связь работы с научными программами, темами. Основные резуль-

таты диссертации были получены в рамках выполнения исследований при фи-

 10

нансовой поддержке РФФИ (проект 16-31-50013 «Задачи наилучшего выбора с

неполной информацией»).

Апробация работы.

Основные результаты диссертационного исследования были представлены

и обсуждены на следующих семинарах и конференциях:

1. Седьмая международная конференция Теория игр и менеджмент, Санкт-

Петербург, Россия, 26-28 июня 2013;

2. VII Московская международная конференция по исследования операция

(ORM2-2013), Москва, Россия, 15-19 октября, 2013;

3. Третий российско-финский симпозиум по дискретной математике, Петро-

заводск, Россия, 15-21 сентября 2014;

4. Восьмая международная конференция Теория игр и менеджмент, Санкт-

Петербург, Россия, 25-27 июня 2014;

5. Международная конференция по вопросам беспроводных технологий,

встроенных и интеллектуальных систем (WITS-2015), Фес, Марокко, 29-

30 апреля 2015;

а также на семинарах кафедры фундаментальной и прикладной математики,

теории и методики обучения математике факультета естественных наук, мате-

матики и технологии Забайкальского государственного университета и на се-

минарах лаборатории математической кибернетики ИПМИ КарНЦ.

По материалам диссертации опубликовано 10 работ, из которых две в жур-

налах из «Перечня российских рецензируемых научных журналов» [6,7] и одна

статья в издании, индексируемом в библиографической базе данных Scopus [48],

и тезисы пяти докладов [4, 37, 38, 46, 47].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из вве-

дения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Общий

объем диссертации составляет 125 страниц.

 11

Во введении отражена актуальность диссертационного исследования,

представлен краткий обзор по теме диссертации, сформулированы цель и зада-

чи исследования, обоснованы научная новизна, теоретическая и практическая

значимость работы, сформулированы положения, выносимые на защиту.

В первой главе диссертации рассматриваются теоретико-игровые моде-

ли наилучшего выбора двух лиц с неполной информацией. Перед игроками

поставлена задача из последовательности n объектов, качество которых состо-

ит из двух параметров, представляющих собой равномерно распределенные на

множестве [0, 1] × [0, 1] случайные величины, выбрать объект с максимальным

суммарным значением качества. Выбор осуществляется на основании известной

характеристики качества объекта, так как в процессе наблюдений за объектами

информация о первом параметре качества игрокам поступает в явном виде, а

информация о втором параметре недоступна им. Исследованы два подхода к

принятию решения о выборе объекта: с приоритетом первого игрока и с рав-

ноправными игроками. В обоих случаях получены рекуррентные соотношения

для вычисления выигрышей игроков и найдены численные значение порого-

вых стратегий выбора. Модель наилучшего выбора с равноправными игроками

была исследована в случае коррелированных наблюдений.

Во второй главе исследована теоретико-игровая модель наилучшего вы-

бора M лиц с неполной информацией, вычислены оптимальные пороговые стра-

тегии и выигрыши игроков в случае выбора из двух и более объектов. Отдельно

исследована модель наилучшего выбора трех лиц из N кандидатов.

Третья глава посвящена исследованию двустороннего наилучшего выбо-

ра с различной степенью информированности о качестве наблюдаемого объек-

та. Рассмотрены модели взаимного выбора с полной и неполной информацией

на примере проведения приемных кампаний в предположении о том, что ву-

зы упорядочены согласно некоторому рейтингу. В модели взаимного выбора с

возрастными предпочтениями исследованы оптимальные выигрыши предста-

вителей популяции, в которой максимальный возраст и численность индивидов

 12

больше, чем у представителей противоположной популяции.

В заключении представлен краткий обзор полученных результатов дис-

сертанционного исследования. Список литературы содержит 69 наименований.

Приложения содержат листинги программ, разработанных в пакете

Mathematica 9.0, с помощью которых были проведено численное моделирова-

ние, и результаты моделирования задач наилучшего выбора, рассмотренных в

первой главе, реализованных в виде эксперимента со студентами Забайкальско-

го государственного университета.

 13

Глава 1

Теоретико-игровая модель наилучшего выбора с

неполной информацией для двух лиц

В данной главе рассматривается следующая игра двух лиц наилучшего вы-

бора с неполной информацией. Допустим, что каждому из двух руководителей

(игроков) требуется сотрудник на должность секретаря. Для поиска сотрудни-

ка организуется собеседования, в рамках которого руководители одновременно

просматривают n кандидатов, качество которых состоит из двух компонент, об-

разующих последовательность случайных величин (xi , yi ), i = 1, . . . , n. Первый

параметр качества соответствует уровню профессиональных навыков в одной

сфере (например, уровень владения иностранным языком), второй параметр —

уровню профессиональных навыков в другой сфере (например, уровень вла-

дения персональным компьютером). Предполагается, что в процессе собеседо-

вания игроки получают неполную информацию о качестве кандидата: первый

параметр качества кандидата поступает в явном виде, а второй параметр —

скрыт от них. Таким образом, на основании известного параметра качества

претендента каждый игрок решает принять или отвергнуть текущего канди-

дата. Игроки, одновременно отвергнувшие текущего претендента, переходят

к рассмотрению следующей кандидатуры, при этом возвращение к отвергну-

тому кандидату невозможно. Кандидат, получивший предложение от одного

из игроков, принимается к нему на работу. В случае получения более одного

предложения от игроков, кандидат самостоятельно принимает решение о выбо-

ре руководителя. В данной главе рассматриваются два подхода к построению

теоретико-игровой модели наилучшего выбора с неполной информацией: игра

с приоритетом первого игрока и игра с равноправными игроками. Первый под-

ход соответствует случаю существования иерархии у игроков, принимающих

решение о выборе сотрудника, либо различия в репутации игроков. В рамках

данной модели кандидат, получивший несколько предложений от игроков, вы-

 14

бирает игрока с наивысшей репутацией. Второй подход соответствует случаю,

когда оба игрока обладают одинаковой репутацией и кандидаты, получившие

предложение от двух игроков, выбирают одного из них с одинаковой вероятно-

стью. В рассматриваемой задачи каждый игрок стремится выбрать кандидата

с максимальным суммарным значением качества.

В настоящей главе получены оптимальные пороговые стратегии выбора

кандидатов и выигрыши игроков в игре двух лиц наилучшего выбора с непол-

ной информацией, представлены численные значения выигрышей и оптималь-

ных порогов выбора из n кандидатов. Также исследовано влияние корреляции

качеств кандидатов на решение игры двух лиц наилучшего выбора с неполной

информацией

1.1. Игра двух лиц наилучшего выбора из n претендентов с при-

оритетом первого игрока

Рассмотрим игру наилучшего выбора Γn с неполной информацией для двух

лиц, в которой игроки (Игрок I и Игрок II) различаются наличием у одного из

них приоритета при выборе. Наличие приоритета выбора у игрока означает, что

данный игрок первым принимает решение о выборе текущего кандидата, в слу-

чае отказа от кандидата ход переходит ко второму игроку. Пусть приоритетом

выбора обладает Игрок I. Игрокам необходимо выбрать по одному кандидату

из n претендентов. Качество кандидата представляет собой последовательность

независимых равномерно распределенных на множестве [0, 1] × [0, 1] случайных

величин (xi , yi ), i = 1, . . . , n, где параметр качества xi поступает игрокам в яв-

ном вида, а параметр качества yi — скрыт от них. Игроки, одновременно про-

сматривая последовательность из n претендентов, делают выбор на основании

известной характеристики качества кандидата xi .

Процесс выбора кандидатуры происходит следующим образом. На первом

 15

шаге игроки наблюдают известную характеристику x1 из набора данных (x1 , y1 )

первого кандидата. При его выборе Игрок I получает в качестве выигрыша ве-

личину m = x1 + y1 и выбывает из игры, а значение m становится известным

Игроку II. На следующем шаге Игрок II стремится выбрать из оставшихся та-

кого кандидата i (i = 2, . . . , n), качество которого удовлетворяло бы условию

xi + yi > m. При отказе Игрока I от первого кандидата Игрок II принимает

решение о выборе текущего кандидата или об отказе от него. При выборе канди-

дата Игрок II выбывает из игры с выигрышем m, а Игрок I продолжает выбор

из оставшихся кандидатов при известном значении m, стремясь получить кан-

дидата i (i = 2, . . . , n) с качеством, удовлетворяющим условию xi + yi > m.

Если же оба игрока отвергают первого кандидата, то игра Γn переходит к игре

Γn−1 и описанная процедура повторятся. В процессе выбора игроки используют

пороговые стратегии вида: если известный параметр качества текущего канди-

дата xi больше некоторого значения ui (vi ), то Игрок I (Игрок II) принимает

кандидата, в противном случае отказывает ему. Победителем в данной игре

объявляется тот из игроков, у которого сумма параметров качества выбранно-

го кандидата будет больше, чем у его оппонента.

1.1.1. Игра двух лиц наилучшего выбора из двух претендентов

с приоритетом первого игрока

Рассмотрим игру наилучшего выбора двух лиц Γ2 , в которой для выбора

доступны два кандидата. Предположим, что Игрок I, имеющий приоритет в

выборе, использует пороговую стратегию u: если известный параметр качества

кандидата больше или равен пороговому значению, то кандидат принимается,

в противном случае — отвергается. Учитывая преимущество в выборе Игрока I,

второй игрок использует пороговую стратегию v = 0.

Процедура выбора осуществляется следующим образом. На первом эта-

пе наблюдается значение x1 из набора параметров качества первого кандидата

 16

(x1 , y1 ). Игрок I выбирает текущего кандидата и покидает игру с выигрышем

x1 + y1 , если x1 > u. В противном случае Игрок I отвергает текущего претен-

дента и право выбора переходит к Игроку II, который принимает кандидата.

Первый же игрок переходит на второй этап игры и выбирает последнего кан-

дидата с качеством (x2 , y2 ).

Оптимальное значение пороговой стратегии u находится из следующих со-

ображений. Пусть наблюдаемое значение x1 = u, тогда выигрыши Игрока I

при выборе первого кандидата и отказе от него совпадают. Обозначим Ha (u) —

выигрыш первого игрока при выборе первого кандидата, который равен

Ha (u) = 1·P {u+y1 > x2 +y2 }−1·P {x2 +y2 > u+y1 } = 2·P {u+y1 > x2 +y2 }−1,

и Hr (u) — выигрыши при отказе от кандидата, равный тому же самому значе-

нию, но с обратным знаком, то есть

Hr (u) = −1·P {u+y1 > x2 +y2 }+1·P {x2 +y2 > u+y1 } = −2·P {u+y1 > x2 +y2 }+1.

Оптимальное значение пороговой стратегии первого игрока u находится из

уравнения Ha (u) = Hr (u), или

2 · P {u + y1 > x2 + y2 } − 1 = 0,

которое можно представить в виде

Z1−u 2 Z1  

(y1 + u) (2 − (y1 + u))2 1

dy1 + 1− dy1 = .

2 2 2

0 1−u

С помощью замены t = y1 + u, получим уравнение

u3 u 2 u 1 1

− − − = ,

3 2 2 6 2

 17

1

решение которого является оптимальная пороговая стратегия u = .

2

При использовании найденной пороговой стратегии выигрыш Игрока I бу-

дет равен

1

Z2

H1 = [1 · P {x1 + y1 < x2 + y2 } − 1 · P {x1 + y1 > x2 + y2 }] dx1 +

0

Z1

+ [1 · P {x1 + y1 > x2 + y2 } − 1 · P {x1 + y1 < x2 + y2 }] dx1 =

1

2

1

Z2 Z1

= −2 · [P {x1 + y1 > x2 + y2 }] dx1 + 2 · [P {x1 + y1 > x2 + y2 }] dx1 =

0 1

2

1  1−x 1 



Z2 Z 1 Z 

 (y1 + x1 )2 (2 − (y1 + x1 ))2

= −2 · dy1 + 1− dy1  dx1 +

2 2

0 0 1−x1

 1−x 

Z1 Z 1 2 Z1  2



 (y1 + x1 ) (2 − (y1 + x1 ))

+2 · dy1 + 1− dy1  dx1 ≈ 0.3541.

2 2

1 0 1−x1

2

Следовательно, найдено значение игры наилучшего выбора Γ2 , равное

H1 = 0.3541, и требования к качеству кандидатов, предъявляемые Игроком I,

1

определяемые пороговой стратегией u = , согласно которой известный пара-

2

метр качества кандидата должен быть не ниже среднего уровня.

1.1.2. Игра двух лиц наилучшего выбора из трех претендентов

с приоритетом первого игрока

Рассмотрим игру наилучшего выбора Γ3 . Пусть для выбора доступны три

кандидата, качество которых состоит из двух компонент, представляющих со-

бой последовательность независимых равномерно распределенных на множе-

 18

стве [0, 1] × [0, 1] случайных величин (xi , yi ), i = 1, 2, 3. Игрокам I и II необ-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Коновальчикова Елена Николаевна, 2016 год

Литература

1. Березовский Б.А., Гнедин A.B. Задача наилучшего выбора. — М.: Наука,

1984.— 200 с.

2. Дынкин Е. Б Оптимальный выбор момента остановки марковского процес-

са// Докл. АН СССР. — 1963. — Т. 150. – № 2. — C. 238–240.

3. Дынкин Е.Б., Юшкевич А.А. Теоремы и задачи о процессах Маркова. —

М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967. — 232 с.

4. Ивашко А А., Коновальчикова Е. Н., Мазалов В.В. Теоретико-игровые

иерархические модели выбора // Труды XII Всероссийского совещания

по проблемам управления ВСПУ-2014, 16-19 июня 2014 г. Москва: ИПУ

РАН. – 2014. – C. 8308-8313

5. Коновальчикова Е.Н. Модель взаимного выбора с возрастными предпочте-

ниями // Математический анализ и его приложения: Сборник научных

трудов. – Чита. – ЗабГУ. – 2012. – С. 10-25.

6. Коновальчикова Е.Н. Модель наилучшего выбора с неполной информацией

// Управление большими системами. – 2015. – Выпуск 54. – С. 114–133.

7. Kоновальчикова Е.Н., Мазалов В.В. Теоретико-игровая модель телевизи-

онного конкурса «Голос» // Математическая Теория Игр и ее Приложе-

ния. – 2015. – Том 7, Выпуск 2. – С. 14-32.

8. Мазалов В. В., Домбровский Ю. А., Перрин Н. Теория оптимальной оста-

новки: приложение к экологии поведения // Обозрение прикладной и про-

мышленной математики. – 1994. – T. 1, Вып. 6. – C. 894-900.

9. Мазалов В.В., Винниченко С.В. Моменты остановки и управляемые слу-

чайные блуждания. – Новосибирск: Наука, 1992, 104 с.

10. Мазалов В. В., Фалько А. А. Арбитражная процедура в задаче совместного

наилучешего выбора для m лиц // Вестник СПбГУ. Серия 10. – 2008. –

Вып. 4. – C. 52-59.

 114

11. Мазалов В. В., Фалько А. А. Голосование в задаче наилучшего выбора с

ранговым критерием // Обозрение прикладной и промышленной матема-

тики. – 2006. – T. 13, Вып. 4. – C. 577-588.

12. Николаев М.Л., Софронов Г.Ю., Полушина Т. В. Задача последовательного

выбора нескольких объектов с заданными рангами // Известия высших

учебных заведений, С.-К. рег. ест. наук. – 2007. – T. 4. – C. 225-229.

13. Пресман Э. Л., Сонин И. М. Задача наилучшего выбора при случайном

числе объектов // Теория вероятностей и ее применения. – 1972. – T. 20,

Вып. 4. – C. 785-796.

14. Софронов Г. Ю., Кроуз Д.П., Кейтз Д.М., Николаев М.Л. Об одном спосо-

бе моделирования порогов в задаче многократного наилучшего выбора //

Обозрение прикладной и промышленной математики. – 2006. – T. 13, Вып.

6. – C. 975-983.

15. Фалько А. А. Задачи наилучшего выбора двух объектов // Методы матема-

тического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ. –

Петрозаводск: КарНЦ РАН. – 2007. – Вып. 8. – C. 34-42.

16. Фалько А. А. Игра наилучшего выбора с возможностью отказа от пре-

тендента и перераспределением вероятностей // Методы математического

моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ. – Петроза-

водск: КарНЦ РАН. – 2006. – Вып. 7. – C. 87-94.

17. Abdulkadiroglu A., Pathan P. A. Roth A. E., Sonmez T. The Boston Public

School Match. American Economic Review. Papers and Proceeding. – 2005. –

№95(2). – pp. 36-371.

18. Abdulkadiroglu A., Sonmez T. School Choice: A Mechanism Design Approuch.

American Economic Review. – 2003. – №993. – pp. 729-747.

19. Alpern S., Reyniers D. Strategic mating with common preferences// Journal of

Theoretical Biology. — 2005. — №237. — pp. 337–354

 115

20. Alpern S., I. Katrantzi, D. Ramsey. Strategic mating with age dependent

preferences.// The London School of Economics and Political Science. —2010. —

pp. 32.

21. Alpern S., Reyniers D.J. Strategic mating with homotypic preferences.//

Journal of Theoretical Biology. —1999. —№ 198. — pp. 71–88

22. Alpern S., Katrantzi I., Reyniers D. Mathematical models of mutual mate

Choice// CDAM Research Report, CDAM-2005-20. — 2005. — pp 22.

23. Alpern S. Katrantzi I., Ramsey D. Partnership formation with age-dependent

preferences. European Journal of Operational Research. – 2013. – №225. – pp.

91–99.

24. Ano K., On a partial information multiple selection problem // Game Theory

and Application. – 1998. – Vol. 4 – pp. 1–10.

25. Bruss F. T. What is know about Robbin’s problem // J. Appl. Prob. – 2005. –

Vol. 42. – pp. 108-120.

26. Cayley A. Mathematical question with their solutiion // The Collected mathe-

matical papers of Artur Cayley. Vol X (1896) Cambridge Univ. Press., 1875. –

pp. 587-588.

27. Chow Y.S., Robbins H., Siegmund D. Great Expectations:The Theory of

Optimal Stopping. – Houghton Mifflin. – Boston. – 1971.

28. Chow Y.S., Moriguti S., Robbins H., Samuels S. M. Optimal selection based on

relative rank (the «Secretary probltm») // Israel J. Math. – 1964. – Vol. 2. –

pp. 81-90.

29. Enns E. Selecting the maximum of a sequence with imperfect information //

J. American Statistical Association. – 1975. – Vol. 70, № 351. – pp. 640–643.

30. Enns E., Ferenstein E. The horse game // J. Oper. Res. Soc. Japan. – 1985. –

№28. – pp. 51–62.

31. Eriksson K., Strimling P., Sjostrand J. Optimal expected rank in a two-sided

secretary problem // Oper. Res.. – 2007. — Vol. 55, №5. – pp. 921-931.

 116

32. Ferguson S, Who Solved the Secretary Problem? // Statist. Sci. – 1989. – Vol. 4.,

№ 3 – pp. 282-289

33. Fushimi M. The secretary problem in a competitive situation // J. Oper. Res.

Soc. Japan. – 1981. – Vol. 24. – pp. 350–358.

34. Gale D., Shapley L.S. College Admissions and the Stability of Marriage // The

American Mathematical Monthly. – 1962. – Vol. 69, № 1. – pp. 9-15.

35. Gilbert J., Mosteller F. Recognizing the maximum of a sequence // J. Amer.

Statist. Ass. – 1966. – №61. – pp. 35–73.

36. Gianini J., Samuels S. The infinite secratary problem // The Annals of

Probability. – 1976. – Vol. 4, №3. – pp. 418-432.

37. Ivashko А.А., Konovalchikova Е.N. Discrete time two-sided mate choice

problem with age preferences // Third Russian-Finnish symposium on discrete

mathematics. Extended abstracts. – Petrozavodsk: IAMR KRC RAS. – 2014. –

pp. 48-50

38. Ivashko A.A., Konovalchikova E.N. and Mazalov V. Game-theoretic model of

university admissions //Game Theory and Management. Collected abstract of

papers presented on the Eighth International Conference / Editors Leon S.

Petrosyan and Nikolay A. Zenkevich. – SPb.: Graduate School of Management

SPbSU, 2014. – pp 107-109

39. Ivashko A.A., Konovalchikova E.N.. Equilibrium strategies in two-sided mate

choice problem with age preferences // Contributions to game theory and

management. – Vol. 7. – 2014. – pp 142-150.

40. Kalick S.M., Hamilton T.E. The mathing hypothesis reexamined // J. Per-

sonality Soc. Psychol. – 1986 – № 51. – pp. 673-682.

41. Kawai M., Tamaki M. Choosing either the best or the second best when

the number of applicants is random // International Journal Computer and

Mathematics with Applications. – 2003. – Vol. 46. – pp. 1065-1071.

 117

42. Kurano M., Nakagami J., Yasuda M. Multi-variate stopping problem with a

majority rule // J. Oper. Res. Soc. Japan. – 1980. – Vol. 23. – pp. 205–223.

43. Lindley D. V. Dynamic programming and decision theory // Applied Statis-

tics. – 1961. – Vol. 10. – pp. 39-51.

44. Mazalov V. A game related to optimal stopping of two sequences of independent

random variables having different distributions // Mathematica Japonica. –

1996. – Vol 43 – pp. 121–128.

45. Mazalov V. Mathematical Game Theory and Applications. – John Wiley &

Sons. – 2014 – 414 p.

46. Mazalov V., Ivashko A. And Konovalchikova E. Equilibria in two-sided Mate

Choice with Age Preferences // Game Theory and Management. The Seventh

International Conference (GTM 2013, St. Petersburg, 26-28 June). – 2013. –

pp. 154-155.

47. Mazalov V. V., Ivashko А. А., Konovalchikova Е. N. Mutual Mate Choice

Problem with Age Dependent Payoffs // Proceedings of the VII Moscow

International Conference on Operation Research (Moscow, Russia, October 15-

19, 2013). – 2013. – Volume I. – pp. 187-188.

48. Mazalov V., Konovalchikova E. The job-search problem with incomplete

information // Procedia Computer Science. – 2015. – V. 55. – pp. 159-164

DOI: 10.1016/j.p rocs.2015.07.025

49. Mazalov V., Banin M. N -person best-choice game with voting // Game Theory

and Applications. – 2003. – IX, edited by L. Petrosjan and V. Mazalov. – pp.

45-53.

50. Mazalov V.V., Falko A.A. Nash equilibrium in two-sided mate choice problem

// International Game Theory Review. – 2008. – Vol. 10, №4. – pp. 421–435.

51. Mazalov V.V., Falko A.A., Equilibrium in n-person game of Showcase-Show-

down // Probability in the Engineering and Informational Sciences, Cambridge

Univ. Press. – 2010. – Vol 24. – pp. 397–403.

 118

52. Mozer L. On a problem of Cayley // Scripta Math. – 1956. – Vol. 22. – pp.

289-292.

53. McNamara J., Collins E. The job search problem as an employer-candidate

game // J. Oper. Res. Soc. Japan. – 1990. – Vol. 28. – pp. 815–827.

54. Neumann P., Porosinski Z., Szajowski K. On two person full-information best

choice problem with imperfect observation // Game Theory and Application. –

1996. – Vol. 2. – pp. 47–55.

55. Porosinski J. On a best choice problem with a random number of observations

// Stochastic Processes and their Applications. – 1987. – Vol. 24. – pp. 293-307.

56. Robbins H. Remarks on the secretary problem // American Journal of

Mathematical and Management Sciences. – 1991. – Vol. 11. – pp. 25-37.

57. Roth A, Sotomayor M Two-sided matching: A study in game-theoretic modeling

and analysis // Cambridge University Press – 1992 – pp. 488-541

58. Roth A.E. The Evolution of the Labor Market for Medical Interns and

Residents: A Case Study in Game Theory // Journal of Political Economy. ––

1984. –– Vol. 92. –– pp. 991–1016.

59. Sakaguchi M. Equilibrium in two-player games of «Showcase Showdown» //

Scientiae Mathematicae Japonicae. – 2005. – Vol 61. – pp. 145-151.

60. Sakaguchi M., Mazalov V. A non-zero-sum no-information best-choice game //

Mathematical Methods of Operations Research. – 2004. – Vol 60, №3. – pp.

437-451.

61. Sakaguchi M. Non-zero-sum games related to the secretary problem // J. Oper.

Res. Soc. Japan. – 1980. – Vol. 23, №3. – pp. 287–293.

62. Sakaguchi M. Non-zero-sum best-choce games where two stops are required //

Scientiae Mathematicae Japonicae. – 2003. – Vol. 58, №1. – pp. 137–176.

63. Sakaguchi M. Optimal stopping games where players have weightad privilege //

Annals jf the International Society of Dynamic Games, Advances in Stochastic

Control. – 2005. – Vol. 7. – pp. 116-131.

 119

64. Sakaguchi M. Multistage non-zero-sum arbitration game // Scientiae Mathe-

maticae Japonicae. – 2003. – Vol. 58, №2. – pp. 183-189.

65. Sakaguchi M. Multistage three-person game with arbitration // Scientiae Mat-

hematicae Japonicae. – 2004. – Vol. 60, №2. – pp. 403-410.

66. Sakaguchi M. Three-member committee where odd-man’s judgment is paid

regard // Scientiae Mathematicae Japonicae. – 2007. – Vol. 66, №1. – pp. 31-36.

67. Sofronov G., Keitz D., Kroese D. An optimal sequential procedure for a buying-

selling problem with independent observations // J. Appl. Prob. – 2006. – Vol.

43. – pp. 454-462.

68. K. Szajowski, On non-zero-sum game with priority in secretary problem //

Mathematica Japonica. – 1993. – Vol 37. – pp. 415–426.

69. Smith M. A secretary problem with uncertain employment // J. Appl. Probab. –

1975. – Vol. 12, № 3. – pp. 620–624.

 120

Приложение 1

Листинг программы вычисления оптимальных пороговых стратегий в мо-

дели наилучшего выбора с равноправными игроками из четырех кандидатов,

разработанной в пакете Mathematica 9.0.

"prob 4";

"Подсчет"

m = x1 + y1;

H1min = 1 - m^2; H1max = (2 - m)^2 - 1;

"выбираем x3, устанавливаем порог s2";

s2min = m - (1 - H1min)/2;

s2max = m - (1 - H1max)/2;

H2min = Simplify[

Integrate[H1min, {x3, 0, s2min}] +

Integrate[1 - 2 m + 2 x3, {x3, s2min, m}] +

Integrate[1, {x3, m, 1}]];

H2max = Simplify[

Integrate[H1max, {x3, 0, s2max}] +

Integrate[1 - 2 m + 2 x3, {x3, s2max, 1}]];

"выбираем x2, устанавливаем порог s3";

s3min = m - (1 - H2min)/2;

s3max = m - (1 - H2max)/2;

H3min = Simplify[

Integrate[H2min, {x2, 0, s3min}] +

Integrate[1 - 2 m + 2 x2, {x2, s3min, m}] +

Integrate[1, {x2, m, 1}]];

H3max = Simplify[

Integrate[H2max, {x2, 0, s3max}] +

Integrate[1 - 2 m + 2 x2, {x2, s3max, 1}]];

Листинг программы вычисления оптимальных пороговых стратегий в мо-

дели наилучшего выбора с равноправными игроками из трех кандидатов с за-

висимыми параметрами качества„ разработанной в пакете Mathematica 9.0.

k = 0;

H1min := 1 - m^2 - k m^2 + (4 k m^3)/3 - (k m^4)/3; "m<1";

 121

H1max := 3 - (4 k)/3 - 4 m + (4 k m)/3 + m^2 + k m^2

- (4 k m^3)/3 + (k m^4)/3; "m>=1";

"Один игрок. Порог выбора из двух конкурсантов";

s2min := m - (1 - H1min)/2; "m<1";

s2max := m - (1 - H1max)/2; "m>=1";

H2min := H1min s2min +

Integrate[1 - 2 Integrate[(1 + k (1 - 2 x1) (1 - 2 y1)),

{y1, 0, m - x1}], {x1, s2min, m}] + 1 - m

H2max := H1max s2max +

Integrate[1 - 2 Integrate[(1 + k (1 - 2 x1) (1 - 2 y1)),

{y1, 0,m - x1}], {x1, s2max, 1}]

m := x + y;

"Два игрока. Пороги игроков при выборе из 2 конкурсантов"

T2 = Integrate[ Integrate[H1min, {y, 0, 1 - x}] +

Integrate[H1max, {y, 1 - x, 1}], {x, v, u}];

T3 = Integrate[Integrate[H2min, {y, 0, 1 - x}] +

Integrate[H2max, {y, 1 - x, 1}], {x, v, u}];

NSolve[D[T2, u] == 0, Reals]

"Два игрока. Пороги игроков при выборе из 3 конкурсантов"

NSolve[D[T3, u] == 0, Reals]

Clear[m];

"Один игрок. Порог выбора из трех конкурсантов";

s3min := m - (1 - H2min)/2; "m<1";

s3max := m - (1 - H2max)/2; "m>=1";

H3min := H2min s3min +

Integrate[1 - 2 Integrate[(1 + k (1 - 2 x1) (1 - 2 y1)), {y1, 0,

m - x1}], {x1, s3min, m}] + 1 - m

H3max := H2max s3max +

Integrate[1 - 2 Integrate[(1 + k (1 - 2 x1) (1 - 2 y1)), {y1, 0,

m - x1}], {x1, s3max, 1}]

m := x + y;

"Два игрока. Пороги игроков при выборе из 4 конкурсантов"

T4 = Integrate[

Integrate[H3min, {y, 0, 1 - x}] +

Integrate[H3max, {y, 1 - x, 1}], {x, v, u}];

 122

NSolve[D[T4, u] == 0, Reals]

Листинг программы вычисления оптимальных пороговых стратегий в

иерархической модели выбора из двух вузов с неполной информацией, разра-

ботанной в пакете Mathematica 9.0.

V1[n_, k1_] := If[k1 <= 0 || n <= 0 , 0,

Integrate[V1[n - 1, k1], {x, 0, u}] +

Integrate[u + 1/2 + V1[n - 1, k1 - 1], {x, u, 1}]]

V2[n_, k1_, k2_] := If[k1 <= 0, V1[n, k2],

If[k2 <= 0 || n <= 0 , 0, Integrate[V2[n - 1, k1, k2], {x, 0, v}] +

Integrate[(v + 1/2) + V2[n - 1, k1, k2 - 1], {x, v, u}] +

Integrate[((u + 1/2) + V2[n - 1, k1, k2 - 1])

If[k1 <= 0, 1,0] + V2[n - 1, k1 - 1, k2] If[k1 > 0, 1, 0],

{x, u, 1}]]];

n = 100; k1 = 1; k2 = 1;

For[thresholdV1 = {}; i = 1, i <= n, i++,

thresholdV1 = Append[thresholdV1,

u /. FindRoot[D[V1[i, k1], u] == 0, {u, 1} ] [[1]]]];

For[winV1 = {}; i = 1, i <= n, i++, winV1 = Append[winV1,

V1[i, k1] /. FindRoot[D[V1[i, k1], u] == 0, {u, 1} ] [[1]]]];

For[i = 1, i <= n, i++,

T = V2[i, k1, k2] /. FindRoot[D[V1[i, k1], u] == 0, {u, 1} ] [[1]];

sol = FindRoot[D[T, v] == 0, {v, 1} ] [[1]] ;

Print[ "No=", i , " Порог = ", sol, " Выигрыш = ",

T /. FindRoot[D[T, v] == 0, {v, 1} ]]]

For[thresholdV2 = {}; i = 1, i <= n, i++, thresholdV2 =

Append[thresholdV2,

v /. FindRoot[D[V2[i, k1, k2], v] == 0, {v, 1} ] [[1]]]];

For[winV2 = {}; i = 1, i <= n, i++,

winV2 = Append[winV2,

V2[i, k1, k2] /.FindRoot[D[V2[i, k1, k2], v] == 0, {v, 1} ] [[1]]]];

 123

Приложение 2

Результаты моделирования задач наилучшего выбора двух лиц из N кан-

дидатов N = 2, 3, 4, 5, 6, реализованных в виде экспериментов со студентами

Забайкальского государственного университета.

Игра с приоритетом первого игрока

Таблица 1. Результаты выбора из трех кандидатов.

№ Стратегии выбора из трех кандидатов Победитель

игры Игрок c приоритетом (П) Игрок без приоритета (Б) игры

1. u1 = {0.8, 0.6, 0.3} v1 = {0.3} Б

2. u2 = {0.8, 0.65} v2 = {0.75, 0.2, 0.75} П

3. u3 = {0.9, 0.8, 0.65} v3 = {0.65, 0.25} Б

4. u4 = {0.85, 0.75, 0.2} v4 = {0.7} П

5. u5 = {0.6} v5 = {0.2, 0.3} Б

6. u6 = {0.25} v6 = {0.3, 0.25} П

7. u7 = {0.7, 0.65, 0.1} v7 = {0.55} П

8. u8 = {0.15} v8 = {0.6, 0.6, 0.2} П

9. u9 = {0.25, 0.2} v9 = {0.65, 0.25, 0.2} П

10. u10 = {0.35, 0.3, 0.15} v10 = {0.7, 0.5, 0.15} П

Таблица 2. Результаты выбора из четырех кандидатов.

№ Стратегии выбора из четырех кандидатов Победитель

игры Игрока c приоритетом (П) Игрока без приоритета (Б) игры

1. u1 = {0.75, 0.4} v1 = {0.4, 0.4, 0.4} Б

2. u2 = {0.75, 0.65} v2 = {0.3} Б

3. u3 = {0.8, 0.65, 0.7, 0.3} v3 = {0.7, 0.2} Б

4. u4 = {0.8, 0.7, 0.35} v4 = {0.25, 0.3} Б

5. u5 = {0.4, 0.2} v5 = {0.65, 0.6, 0.55} Б

6. u6 = {0} v6 = {0.6, 0.25} П

7. u7 = {0.3} v7 = {0.35, 0.7, 0.4, 0.2} П

8. u8 = {0.2} v8 = {0.25, 0.7, 0.65, 0.5} П

9. u9 = {0.3} v9 = {0.3, 0.3} П

10. u10 = {0.1} v10 = {0.35, 0.35} Б

 124

Таблица 3. Результаты выбора из пяти кандидатов.

№ Стратегии выбора из пяти кандидатов Победитель

игры Игрока c приоритетом (П) Игрока без приоритета (Б) игры

1. u1 = {0.85, 0.8, 0.65} v1 = {0.25} П

2. u2 = {0.6} v2 = {0.85, 0.8, 0.9, 0.95, 0.35} Б

3. u3 = {0.9, 0.8, 0.65, 0.6} v3 = {0.8, 0.75, 0.25, 0.35} Б

4. u4 = {0.75, 1, 1, 0.9, 0.9} v4 = {0.3, 0.8} Б

5. u5 = {0.9, 0.8, 0.7, 0.35} v5 = {0.75, 0.7, 0.75, 0.2, 0.2} П

6. u6 = {0.5} v6 = {0.1, 0.3, 0.1} П

7. u7 = {0.85, 0.75, 0.1} v7 = {0.7} П

8. u8 = {0.8} v8 = {0.75, 0.75} П

9. u9 = {0.7} v9 = {0.8, 0.8, 0.75} П

10. u10 = {0.3} v10 = {0.35, 0.65, 0.65, 0.7, 0.65} П

Игра с равноправными игроками

Таблица 4. Результаты выбора из трех кандидатов.

№ Стратегии выбора из трех кандидатов Победитель

игры Игрок №1 Игрок №2 игры

1. u1 = {0.7, 0.3} v1 = {0.25} №1

2. u2 = {0.6, 0.4, 0.35} v2 = {0.75} №1

3. u3 = {0.5, 0.65} v3 = {0.35} №1

4. u4 = {0.1} v4 = {0.3, 0.4} №2

5. u5 = {0.75, 0.85, 0.95} v5 = {0.2} №1

6. u6 = {0.1, 0.2} v6 = {0.45} №2

7. u7 = {0.45, 0.35, 0.7} v7 = {0.8, 0.25, 0.45} №1

8. u8 = {0.65, 0.85, 0.4} v8 = {0.55, 0.8, 0.5} №1

9. u9 = {0.25, 0.4, 0.75} v9 = {0.25, 0.3, 0.35} №1

10. u10 = {0.25, 0.2} v10 = {0} №1

Таблица 5. Результаты выбора из четырех кандидатов.

№ Стратегии выбора из четырех кандидатов Победитель

игры Игрок №1 Игрок №2 игры

1. u1 = {0.2} v1 = {0.2, 0.55} №2

2. u2 = {0.65, 0.85, 0.5} v2 = {0.3, 0.4} №2

3. u3 = {0.95, 0.55, 0.2} v3 = {0.85, 0.25} №1

4. u4 = {0.65} v4 = {0.45, 0.55, 0.35} №1

 125

5. u5 = {0.65, 0.8, 0.85, 0.2} v5 = {0.25} №1

6. u6 = {0.9, 0.75, 0.3} v6 = {0.55} №2

7. u7 = {0.55} v7 = {0.15, 0.95, 0.85, 0.15} №1

8. u8 = {0.3, 0.65, 0.75} v8 = {0.65} №1

9. u9 = {0.85, 0.7, 0.3, 0.35} v9 = {0.45} №1

10. u10 = {0.8, 0.25} v10 = {0.8, 0.65, 0.3} №2

Таблица 6. Результаты выбора из пяти кандидатов.

№ Стратегии выбора из пяти кандидатов Победитель

игры Игрок №1 Игрок №2 игры

1. u1 = {0.25} v1 = {1, 1, 1, 1, 0.25} №1

2. u2 = {0.65, 0.45} v2 = {0.25} №2

3. u3 = {0.4, 1, 0.8, 0.75, 0.15} v3 = {0.45} №2

4. u4 = {0.4, 0.3, 0.2} v4 = {0.2} №2

5. u5 = {0.65, 0.3, 0.25} v5 = {0.7, 0.65, 0.75, 0.4, 0.35} №2

6. u6 = {0.25} v6 = {0.15, 0.2} №2

7. u7 = {0.35, 0.25} v7 = {0} №1

6 8. u8 = {0.15, 0.25, 0.3} v8 = {0.35, 0.2} №1

9. u9 = {0} v9 = {0.2, 0.15} №2

10. u10 = {0.75, 0.5} v10 = {0.8, 0.85, 0.7, 0.55, 0.6} №1

Таблица 7. Результаты выбора из шести кандидатов.

№ Стратегии выбора из шести кандидатов Победитель

игры Игрок №1 Игрок №2 игры

1. u1 = {0.55} v1 = {0.35, 0.45} №1

2. u2 = {0.6, 0.4, 0.8, 0.45, 0.3, 0.35} v2 = {0.25} №2

3. u3 = {0.6, 0.8, 0.4} v3 = {0.25} №2

4. u4 = {0.4, 0.65, 0.1} v4 = {0.65, 0.25} №1