Методы решения конфликтных задач и их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Красников Кирилл Евгеньевич

• Красников Кирилл Евгеньевич
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Красников Кирилл Евгеньевич

Введение

Глава 1. Индивидуально-кооперативное понятие конфликтного

равновесия

1.1 О необходимости поиска новых понятий конфликтных равновесий

1.2 Общая постановка конфликтной задачи и система конфликтных равновесий

1.3 Сравнение разных систем конфликтных равновесий

1.4 Индивидуально-кооперативное конфликтное равновесие (К-равновесие)

1.5 Выводы к первой главе

Глава 2. Численные методы поиска конфликтных равновесий

2.1 О необходимости построения новых численных методов

решения конфликтных задач

2.2 Численные методы нахождения конфликтных равновесий в матричных игровых задачах двух участников

2.3 Алгоритм приближённого нахождения конфликтных равновесий

в антагонистических играх на плоскости

2.4 Доказательство сходимости численного метода поиска решения антагонистической конфликтной задачи на плоскости

2.5 Использование технологии параллельных вычислений CUDA в алгоритмах поиска конфликтных равновесий

2.6 Выводы ко второй главе

Глава 3. Решение динамической конфликтной задачи преследования

3.1 Постановка задачи преследования на полуплоскости

3.2 Общая постановка динамической конфликтной задачи и обобщение понятий равновесия для дифференциальных игр

3.3 Приведение задачи преследования на полуплоскости в соответствие с общей постановкой динамических конфликтных задач

3.4 Аналитическое решение задачи преследования на полуплоскости

3.5 Решение задачи преследования на полуплоскости с использованием численных методов поиска конфликтных равновесий

3.5.1 Оценка погрешности численного решения задачи преследования на полуплоскости

3.5.2 Динамика расчёта параметров управления

3.5.3 Применение параллельной версии алгоритмов поиска решения конфликтных задач

3.6 Выводы к третьей главе

Глава 4. Методы моделирования социально-этических норм

поведения с помощью теоретико-игровых подходов

4.1 Обзор методов моделирования социально-этических норм поведения с помощью теоретико-игровых подходов

4.2 Модели, отражающие разные типы рациональности агентов

4.3 Теорема существования равновесия по Нэшу в классе игроков Га

4.4 Теоремы существования A-, ^ и D-равновесий в классе

игроков Га

4.5 Способы распределения ресурсов в сообществе на основе

модели поведения участников Га

4.6 Моделирование поведения, основанного на императиве Канта

4.7 Определения класса игроков, действующего на основе

кантовской оптимизации

4.8 Социальная модель выбора между двумя поведенческими нормами

4.9 Пороговые значения в модели неоднородных сообществ

4.10 Социальная модель в динамике

4.11 Устойчивость состояний равновесия

4.12 Модель обучения

4.13 Сравнение различных поведенческих моделей

Глава 5. Анализ влияния кооперации на решение

дифференциальной игры, моделирующей отношения между странами

5.1 Обзор методов математического моделирования экономических отношений между странами

5.2 Параметрическое семейство дифференциальных игр, моделирующих взаимодействие двух экономик

5.3 Унифицированное решение семейства игровых задач

5.4 Особый случай динамической дифференциальной игровой модели

5.5 Моделирование элементов кооперации между сторонами

5.6 Поиск конфликтных равновесий в неантагонистической модели поведения участников

5.7 Выводы к пятой главе

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Словарь терминов

Список рисунков

Список таблиц

Приложение А. Программная реализация алгоритмов

приближённого нахождения конфликтных равновесий для антагонистических игровых задач с двумя участниками

Приложение Б. Благодарственное письмо за активное участие в конкурсе молодых ученых в области наук об образовании на соискание медали «Молодым ученым за успехи в науке» Российской академии образования в 2022 году

Приложение В. Выписка из протокола заседания

Научно-технического совета РТУ МИРЭА о выдвижении работ К.Е. Красникова на соискание медали молодым учёным РАО

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы решения конфликтных задач и их приложения»

Введение

С момента своего появления и активного развития во второй половине XX столетия математическая теория игр стала одним из основных инструментов решения конфликтных задач.

Однако, классическая теория, основанная на понятии равновесия по Нэ-шу имеет ряд существенных ограничений, обусловленных недостатками самого этого понятия:

1. Решение в «чистых» (не вероятностных) стратегиях удаётся найти лишь для тех задач, в которых функции выигрыша игроков являются весьма специфическими. Например, в антагонистических играх двух лиц для существования равновесия по Нэшу в «чистых» стратегиях функции выигрыша должны иметь седловую точку.

2. Даже в случае существования решение конфликтной задачи, найденное с помощью равновесия по Нэшу, может оказаться весьма неудовлетворительным и в конце концов невыгодным для участников, что наглядно демонстрирует классический пример «Дилемма заключённого».

В этой связи большую актуальность приобретает поиск новых, а также численная реализация уже существующих понятий конфликтных равновесий, которые с одной стороны обеспечивали бы существование решения в «чистых» стратегиях для существенно более широкого класса задач, чем это позволяет сделать равновесие по Нэшу, а с другой стороны найденные с помощью данных равновесий решения куда в большей степени удовлетворяли бы некоторым естественным критериям оптимальности.

Целью данной работы является поиск новых понятий конфликтных равновесий и построение численных методов, позволяющих находить приближённое решение конфликтных задач в исходных («чистых») стратегиях с любой заранее заданной точностью, а также применение разработанных методов для поиска решения широкого класса задач из военной, социальной, экономической и других сфер, в которых могут быть поставлены конфликтные задачи.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Определить новое понятие конфликтного равновесия, а также построить численные методы поиска решения конфликтных задач, которые

позволят находить решение в тех случаях, когда классический подход, основанный на поиске равновесия по Нэшу, не позволяет этого сделать.

2. Найти аналитическое решение задачи преследования-уклонения, а затем численное решение этой же задачи, сравнить полученные результаты для оценки точности построенных численных методов.

3. Построить теоретико-игровую модель поведения, предполагающего наличие заинтересованности у каждого участника в максимизации уровня не только индивидуальных, но коллективных достижений (кооперативного дохода). Сформулировать теоремы существования конфликтных равновесий в точке максимума кооперативного дохода в зависимости от значений параметров модели.

4. В качестве примера использования разработанных методов, исследовать динамическую теоретико-игровую экономическую модель взаимодействия двух регионов для установления влияния кооперации на получаемые участниками результаты.

Научная новизна:

1. Найдено новое понятие равновесия (К-равновесие), а также разработаны численные методы поиска решения конфликтных задач, позволяющих находить решение в исходных («чистых») стратегиях для весьма широкого класса конфликтных задач.

2. Предложено решение задачи преследования-уклонения на полуплоскости, основанное на приведении исходной задачи к задаче оптимального управления с фиксированным временем, фиксированным левым концом траектории и свободным правым концом.

3. Доказаны теоремы существования конфликтных равновесий в точке максимума кооперативного дохода при определённых значениях параметров модели, предполагающей заинтересованность агентов в определённой степени совместными достижениями, а не только личными (модель про социального или «альтруистического» поведения).

4. Выполнено оригинальное исследование влияния кооперации на уровень совместного дохода в динамической модели взаимодействия двух экономик.

Теоретическая значимость. Работа вносит вклад в область построения численных методов поиска решений конфликтных задач, а также в область при-

менения теории игр к различным задачам военно-технического, экономического и социального характера.

Практическая значимость. Работа может быть использована для численного решения весьма широкого класса конфликтных задач, требующих нахождения оптимальных стратегий участников и не предусматривающих вероятностного («смешанного») расширения.

Результаты произведённого исследования влияния преобладающих мировоззренческих принципов на уровень кооперативного дохода в точке сильнейшего равновесия в многоагентных конфликтных задачах, приведённые в четвёртой главе настоящей работы, были использованы для обоснования необходимости введения факультативного курса просветительско-воспитательной направленности «Лекции по Этике Жизни» (см. приложение В), который проводился для студентов и преподавателей ФГБОУ ВО «МИРЭА - Российский Технологический Университет» в 2023-2024 учебном году.

Также на основе этих материалов подготовлена лекция «Математическое моделирование этических принципов», которая включена в программу Российских научно-технологических школ «Программа "Шаг в будущее" - высокотехнологичной России будущего» [1] и будет прочитана в ряде городов Российской Федерации.

Методология и методы исследования. В основу методологии исследования положена теория поиска конфликтных равновесий, разработанная Э.Р. Смольяковым. При разработке численных методов поиска данных равновесий использовались некоторые подходы, предложенные Ю.Г. Евтушенко. Также в процессе исследования была использована пороговая модель бинарного коллективного поведения, предложенная М. Грановеттером и развитая современными авторами.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Численные методы поиска конфликтных равновесий, позволяющие находить решение в «чистых» стратегиях в большом классе конфликтных задач, и доказательство сходимости данных методов.

2. Аналитическое и численное решение задачи преследования-уклонения на полуплоскости, полученное с помощью приведения первоначальной задачи к задаче оптимального управления с фиксированным временем, заданными условиями на левом конце траектории и свободным правым концом.

3. Теоремы существования конфликтных равновесий в точке максимума кооперативного дохода в зависимости от значений параметров модели просоциального поведения.

4. Доказательство эффекта синергии (увеличения производительности) при повышении уровня кооперации в задаче взаимодействия двух экономик.

Полученные результаты соответствуют следующим пунктам паспорта специальности 1.2.2 (математическое моделирование, численные методы и комплексы программ):

1. Результаты 1 - 2 соответствуют п.2 «Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий», п.3 «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента».

2. Результаты 2-5 соответствуют п.1 «Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений (физико-математические науки)» и п.8 «Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента».

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием адекватных математических методов и численным моделированием.

Апробация работы. Основные результаты, полученные автором, были представлены на следующих конференциях:

- Шестнадцатая международная конференция «Управление развитием крупномасштабных систем» (MLSD'2023) (ИПУ РАН, два доклад с публикацией тезисов на русском и английском языках [108; 106]);

- Национальная научно-практическая конференция «Фундаментальные, поисковые, прикладные исследования и инновационные проекты» (2022, РТУ МИРЭА, очный доклад с публикацией тезисов [107]);

- Международная конференция «Формальная философия» (2022, НИУ ВШЭ, очный доклад);

- XIII научно-практическая конференция «Современные информационные технологии в управлении и образовании» (2014, ФГУП НИИ «Восход», доклад с публикацией тезисов [109]).

Также результаты работ представлялись автором на следующих научных семинарах и заседаниях Научно-технических советов:

- Общемосковский научный семинар «Теория управления организационными системами», проходящий в Институте проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, (24 июня и 8 июля 2021 г., 3 марта и 22 декабря 2022 г., а также 6 июля 2023 г.);

- Научный семинар «Теория управления и динамика систем», проходящий в Институте проблем механики им. А.Ю. Ишлимского РАН;

- Научный семинар «Новые методы решения задач прикладной математики», проходящий в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН;

- Заседания Научно-технического совета Московского института радиоэлектроники и автоматики (РТУ МИРЭА) от 25 мая, 27 сентября и 14 декабря 2022 г.

Работы автора, включая результаты диссертации, были представлены на соискание следующих премий и медалей за достижения в науке:

- Премия правительства Москвы молодым учёным за 2022 год;

- Конкурс на соискание медалей Российской академии наук за 2022 год с премиями для молодых ученых;

- Конкурс молодых ученых в области наук об образовании на соискание медали «Молодым ученым за успехи в науке» Российской академии образования (РАО) в 2022 году. Решением президиума РАО было принято постановление о награждении автора благодарственным письмом за активное участие в конкурсе(см. приложение Б);

Личный вклад. Все положения, выносимые на защиту, получены автором лично.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 9 печатных изданиях, 4 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 1 — в периодических научных журналах, индексируемых Web of Science и Scopus, 4 —в тезисах докладов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и 3 приложений. Полный объём диссертации составляет 148 страниц, включая 23 рисунка и 1 таблицу. Список литературы содержит 99 наименований.

Глава 1. Индивидуально-кооперативное понятие конфликтного равновесия

1.1 О необходимости поиска новых понятий конфликтных равновесий

Как известно, наиболее распространённый в настоящее время метод решения конфликтных задач, основанный на нахождении равновесия по Нэшу[2], имеет ряд существенных ограничений своего применения:

1. Для существования равновесия по Нэшу целевые функции участников должны иметь специальный вид (например, иметь седловую точку в случае антагонистической игры двух лиц).

2. Для остальных задач, в которых равновесие по Нэшу в чистых стратегиях найти не удаётся, существование решения гарантируется лишь в классе смешанных стратегий, представляющих собой функцию распределения вероятности (вероятностную меру) на множестве стратегий игроков [2].

/-■ м V-/ и

этой связи большой теоретический и практический интерес представляет задача поиска новых понятий конфликтных равновесий, которые не имели бы перечисленных недостатков.

Подобная работа проводилась и проводится многими специалистами по теории игр.

В качестве примеров таких понятий можно привести разработанное В.И. Жуковским и соавторами равновесие по Бёржу [3; 4], сформулированное М.Б. Искаковым равновесие в безопасных стратегиях [5], равновесие, предложенное Н.И. Базенковым [6], и множество других. Определение и сравнение некоторых из перечисленных здесь понятий будет дано в третьем разделе настоящей главы.

Данная же работа будет во многом опираться на систему конфликтных равновесий, разработанных Э.Р. Смольяковым [7; 8], которые будут определены в следующем разделе.

Данная система представляет собой последовательность постепенно усиливающихся понятий равновесий, сужающих множество решений конфликтной задачи до наиболее выгодных и устойчивых игровых ситуаций, которые и предлагается рассматривать в качестве решения задачи.

С помощью предложенного Э.Р. Смоляковым итерационного процесса [8] удаётся среди точек игрового множества, на которых ставится конфликтная задача, отобрать наиболее выгодные для всех участников ситуации, от которых ни одна из сторон по тем или иным соображениям не пожелает отклониться.

Данный подход позволяет находить решения в исходных, так называемых «чистых стратегиях», не прибегая к смешанным (основанным на вероятностной мере) стратегиям, поскольку последние могут быть не применимы для задач, не предполагающих многократного повторения.

В данной главе будет сформулировано новое понятие конфликтного равновесия, которое может быть применимо в тех ситуациях, когда не удаётся найти удовлетворительного решения, используя уже известные равновесия.

Но прежде чем перейти к формулировке данного понятия, приведём общую постановку конфликтной задачи, а также определим и сравним уже известные равновесия.

1.2 Общая постановка конфликтной задачи и система конфликтных

равновесий

В данной работе рассматривается игровая модель N участников, предполагающая, что все участники выбирают свои стратегии из одного и того же множества допустимых стратегий.

Допущение 1.1. Пусть Ц - метрическое пространство, С - компактное множество: с== Я х ... х Я и пусть на множестве С определены непре-

N

рывные функции (функционалы) З^д), г = 1,^, д = (дг,... ,дм) £ О.

Пусть дг - стратегия ¿-го игрока, дг £ ф, дг=(дг,...,дг—1 ,дг+х,...,дм) -стратегии остальных N — 1 игроков при фиксированной стратегии ^ ¿-го игрока, дг £ —г. ^(д) - платёжная функция (функционал) игрока I, которая определяет размер некого блага или ресурса, который получает ¿-й участник при выборе им стратегии ^ и при выборе стратегии дг остальными участниками. При этом функции З^д), % = предполагается рассматривать как трансферабельные, то есть предполагающие возможность любого деления и распределения дохода

между игроками. Отметим, что применение механизмов управления организационными системами с трансферабельными функциями полезности подробно рассматривается в обзоре [9].

Пусть С(^) и С(с[1) - сечения (срезы) множества С при фиксированной стратегии 1-го игрока или всех игроков кроме 1-го (обстановке дг), соответственно.

Пусть 3(д)=^к=1 ^к (я) - суммарная платёжная функция всех игроков, 1 (я)=^2 к= (я) - суммарная платёжная функция всех игроков кроме ¿-го.

Предполагается, что г-й участник стремится доставить максимум своей платёжной функции выбирая стратегию ^ Е Q.

Прежде всего дадим определение в наших обозначениях классического равновесия по Нэшу.

Определение 1.1. Ситуацию Е С назовём равновесием по Нэшу

—N

(С -экстремальной), если

тах ,Цдг*,дг) =,Цд*), г=1Д, где дг = ... ,дг+1,... т) (1.1)

Максимум в выражении (1.1) берётся по всем допустимым стратегиям г'-го участника ^ из сечения множества С с зафиксированными в равновесной ситуации д* стратегиями остальных участников (обстановке) дг*.

Однако данное равновесие обладает рядом недостатков: во-первых, оно существует далеко не всегда и, во-вторых, даже когда существует, может определять далеко не самую выгодную для всех участников задачи ситуацию (что будет продемонстрировано на разбираемом ниже примере). Поэтому, помимо этого ставшего классическим равновесия в работе используется также система конфликтных равновесий, разработанная Э.Р. Смольяковым [7; 8]. Данная система представляет собой набор усиливающихся равновесий, самое слабое из которых существует в любой игровой задаче, удовлетворяющей допущению 1.1. Таким образом для любой такой задачи можно найти наиболее сильное из существующих равновесий, что и будет являться решением.

Ниже приводятся определения некоторых базовых равновесий данной системы.

Определение 1.2. Ситуацию (точку) д* Е С назовём А-экстремальной, если или С(дг*) = д*, или каждой стратегии ^ Е С (У*) г-го игрока можно

поставить в соответствие по крайней мере одну ответную стратегию дг = дг < дг > остальных N — 1 игроков, такую, чтобы

^ <щ). (1.2)

Обозначая через А{ множество всех А-экстремальных ситуаций, ситуацию (точку) д* £ С назовём ситуацией симметричного слабого активного равновесия или, короче, А-равновесием, если д* £ А\ П • • • П А^=А

Запись дг < ^ > обозначает, что остальные участники выбирают свою ответную стратегию дг как реакцию на выбор стратегии, 1-м участником в том случае, если он решит отклониться от равновесной стратегии д*, выбрав другую стратегию д!^ £ С(дг*)\д*.

Смысл равновесия, задаваемого определением 1.2, заключается в том, что если г-й участник пожелает отклониться от своей равновесной стратегии д*, выбрав какую-то другую допустимую для него в данной игровой ситуации стратегию ^ (в погоне за более высоким значением своей платёжной функции то остальные участники могут «наказать» отступника ответной стратегией д1 < дГ1 >, в результате чего г-й участник получит не больше, чем он получил бы в равновесной игровой ситуации д*. Поэтому ситуация д* и называется равновесной в том смысле, что ни одному из участников не выгодно отклоняться от неё, поскольку иначе они рискуют быть «наказанными» остальными игроками.

Симметричное А-равновесия является самым слабым из предлагаемой к рассмотрению системы конфликтных равновесий. В работе [8, Теорема 1.2, стр. 95] доказывается, что данное равновесие существует во всяком случае в любой е-аппроксимации, Уе>0, в любых игровых задачах, удовлетворяющих довольно общим допущениям 1.1. Поскольку при численном решении в реальных задачах равновесные ситуации ищутся приближённо, то для приложений неважно, окажется ли ситуация д* точным А-равновесием или же равновесной с допустимой точностью е, где е - сколь угодно малое число. Таким образом введение данного равновесия решает проблему существования решения игровой задачи.

Однако, как правило, А-равновесные ситуации оказываются не единственными. Поэтому следующие понятия определяют естественные усиления (сужения) множества А-равновесий.

Определение 1.3. Ситуацию (точку) д* е назовём В ¡-экстремальной, если она удовлетворяет условию

Назовём ситуацию д* е С В -равновесием, если д* е П ¡=1 Вi = Б, где Вi -множество всех В ¡-экстремальных ситуаций.

Логика построения В -равновесия такова, что каждый из участников, отобрав для себя круг игровых ситуаций, от которых ему не выгодно отклоняться ввиду наличия угроз уменьшения выигрыша (множества Л ¡-равновесных ситуаций), предоставляет теперь остальным участникам выбрать на этом множестве наилучшие для них игровые ситуации. Тем самым равновесная ситуация стано-

Поэтому в выражении (1.3) выбирается наилучшая для остальных участников ситуация в сечении множества А{ фиксированной в равновесной точке стратегией ¡-го участника д*.

Равновесие, задаваемое следующим определением, является одним из возможных усилений В -равновесия.

Определение 1.4. Ситуацию (точку) е А{ назовём С ¡-экстремальной, если она удовлетворяет условию

Ситуацию д* е С назовём С -равновесием, если д * е П«=1 ^ = С, где Сi - множество всех С ¡-экстремальных ситуаций.

Отличие В и С-равновесий заключается в том, что при поиске В-равновесия, ¡-й участник предлагает остальным выбрать наилучшие для себя ситуации на множестве А{ -экстремальных ситуаций (максимум в выражении (1.4) берётся по сечению А^*)). Тогда как при поиске С-равновесия, остальным участникам предлагается выбрать наилучшую ситуацию на всём сечении игрового множества С(д*),что делает С-равновесие более устойчивым к отклонениям участников нежели В -равновесие.

В играх двух лиц С-равновесие и равновесие по Нэшу совпадают.

Дадим ещё несколько определений, усиливающих соответственно В и С-равновесия.

тах =-У'(я*)

* еМя*)

(1.3)

вится более устойчивой по отношению к отклонениям от неё участников задачи.

(1.4)

Определение 1.5. Ситуацию q* G Bt назовём D¡-экстремальной, если она удовлетворяет условию

max Ji(q) = Ji(q*)

qGBi

или (то же самое только в развёрнутом виде) - условию

max Ji(Arg max J%(qi,q%)) = Ji(q*) (1.5)

QiGPrq. Ai qiGAi(qi)

и назовём её D-равновесием, если q* G f]^Li Di = D.

Данное понятие равновесия усиливает введённое выше понятие ^-равновесия.

Смысл его заключается в том, что после того, как все участники кроме г-го, отобрали для себя наиболее выгодные ситуации в сечениях множества Ai(qi), для каждой допустимой стратегии г-го участника (множество Д--экстремальных ситуаций, аргумент функции Jt в выражении (1.5)), г-й участник выбирает стратегии (из проекции множества Ai на множество его допустимых стратегий Qi -PfQi Ai), доставляющие максимум целевой функции

Аналогичный смысл имеет даваемое ниже определение D--экстремальных ситуаций, с той лишь разницей, что выбор г-м игроком производится не на множестве Bi, а на множестве Ci.

Определение 1.6. Ситуацию q* G Ci назовём D¡-экстремальной, если она удовлетворяет условию

max Ji(q) = Ji(q*)

qGCi

и назовём её D-равновесием, если q* G f]i Di = D.

1.3 Сравнение разных систем конфликтных равновесий

Отметим, что приведённый здесь принцип угроз и контругроз в разных вариациях используется и в других системах конфликтных равновесий, в част-

ности в концепции равновесий в безопасных стратегиях (РБС), представленной М.Б. Искаковым и соавторами в работах [5; 10] и других.

Одним из ключевых понятий в этой концепции является понятие угрозы ¡-му игроку со стороны ]'-го в какой-то игровой ситуации д е С.

Угрожающей называется такая ситуация (д'-, д^), что 3^ , У) ^ 3^ (д), а Зг ,<?) < Зг (д) [5].

Отметим два момента:

Во-первых, в концепции РБС предполагается, что игроки угрожают друг другу по отдельности. То есть, например, возможность двух игроков совместно выбрать такую ситуацию, чтобы третий был «наказан» угрозой не считается. М.Б. Искаков отмечает в работе [10], что построение конструкции, аналогичной РБС для коалиционного взаимодействия «пока представляется затруднительным».

Из приведённого же здесь определения А-равновесия следует, что остальные игроки могут создавать угрозы коллективно (в виде общей стратегии дi = д1 < д1 > остальных участников в ответ на стратегию дГ1 ¡-го участника).

Во-вторых, при построении А-равновесия предполагается, что игроки могут угрожать друг другу даже в ущерб себе, иначе говоря, отсутствует требование 3^ , д^) ^ 3^ (д), которое означает, что в ситуации-угрозе значение платёжной функции угрожающих игроков должно быть не меньше, чем в ситуации, содержащей угрозу.

Отсутствие этого требования, объясняется тем, что, вообще говоря, между игроками могут существовать какие-либо договорённости и скрытые коалиции, и кто-то может пожертвовать собой, закрыть, так сказать, грудью амбразуру -пойти на уменьшение собственной целевой функции, чтобы его коалиция в итоге победила. Но, как уже отмечалось выше, коллективное взаимодействие в РБС не рассматривается.

Ввиду перечисленных особенностей эти две системы проблематично сопоставить, поскольку, например, некая А-равновесная ситуация может содержать угрозы со стороны других игроков, и поэтому не будет являться простым РБС (порядок безопасности 0 [5; 10]).

РБС же более высоких порядков может содержаться во множестве А-равновесных ситуаций, как, например, это имеет место быть в следующей биматричной игровой задаче из работы [10].

Пусть первый участник выбирает одну из двух стратегий, соответствующих строкам, а второй - столбцам платёжных матриц и соответственно. При этом каждый из них стремятся доставить максимум своей платёжной матрице.

Множества конфликтных равновесий для заданных платёжных матриц выглядят следующим образом:

Ji =

0 1 0 -1

, J? =

1 -1 1 2

Ai =

+ + + ■

А? =

+ •

+ +

, А = Ai р|

+ +

Bi = (ап, a?i), В2 = (a?i, а??), В = [a?i] ; Ci = {an} ; С? = (a?i} ; С = 0; Di = {а?\} ; D? = {a??} ; D = 0;

Таким образом сильнейшим игровым равновесием из приведённых является В = {а^}. В этой ситуации, кстати, достигается и максимум кооперативного дохода.

Простым РБС же здесь оказывается не самая выгодная для обоих участников ситуация aii, однако РБС первого порядка будет уже a?i (см. [10]).

Следует отметить, что помимо различий у сравниваемых систем прослеживается общий итеративный принцип построения. Например, если на начальной (нулевой) итерации мы бы не нашли ни одного равновесия более сильного нежели А, то нам пришлось бы рассмотреть следующую итерацию (первую), которая отличалась бы тем, что в качестве множества допустимых игровых ситуаций мы рассматривали бы не всё множество G, а лишь его подмножество А-равновесных ситуаций. И для этой новой игровой задачи мы бы нашли соответствующие равновесия Ai, Вi,Cl,Dl. Этот процесс можно продолжать до тех пор, пока на очередном шаге не найдено достаточно сильное равновесие.

Аналогично и в концепции РБС мы ищем равновесия нулевого, первого и так далее порядков.

Ещё одним примером итеративной процедуры поиска равновесной ситуации является концепция двойного наилучшего ответа, описываемая в работе

Н.И. Базенкова [6], однако, алгоритм нахождения равновесия, описанный в этой работе, останавливается после второй итерации.

В заключении заметим, что в работе [10] М.Б. Искаков, рассматривая систему конфликтных равновесий Э.Р. Смольякова, предполагает, что РБС может быть включено в эту систему, как одно из равновесий среди А, В,С,И и других.

1.4 Индивидуально-кооперативное конфликтное равновесие (К-равновесие)

Сформулируем новое понятие конфликтного равновесия, которое может быть полезно в тех ситуациях, когда не удаётся найти достаточно сильного равновесия, которое могло бы претендовать на решение конфликтной задачи.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Красников Кирилл Евгеньевич, 2024 год

Список литературы

1. Российские научно-технологические школы «Программа "Шаг в будущее-высокотехнологичная Россия будущего» [Текст]. — 2024. — URL: http:// www.step- into-the- future.ru/.

2. Васин, А. А. Теория игр и модели математической экономики [Текст] / А. А. Васин, В. В. Морозов. — Москва : Макс Пресс, 2005. — С. 272.

3. Берж, К. Общая теория игр нескольких лиц [Текст] / К. Берж. — Москва : Физматлит, 1961.

4. Жуковский, В. И. Математические основы Золотого правила нравственности: Теория нового авльтруистического равновесия в противоположность "эгоистическому"равновесию по Нэшу [Текст] / В. И. Жуковский, А. А. Гусейнов, К. Н. Кудрявцев. — Москва : ЛЕНАНД, 2016. — С. 280.

5. Искаков, М. Б. Равновесие в безопасных стратегиях [Текст] / М. Б. Иска-ков // Автоматика и телемеханика. — 2005. — Т. 3. — С. 139—153.

6. Базенков, Н. И. Динамика двойных наилучших ответов в игре формирования топологии беспроводной ad hoc сети [Текст] / Н. И. Базенков // Автоматика и телемеханика. — 2014. — Т. 75, № 6. — С. 1155—1171.

7. Смольяков, Э. Р. Теория поиска конфликтных равновесий [Текст] / Э. Р. Смольяков. — М. : Эдиториал УРСС, 2005.

8. Смольяков, Э. Р. Методы решения конфликтных задач [Текст] / Э. Р. Смольяков. — М. : МГУ, 2010.

9. Бурков, В. Н. Согласованность и неманипулируемость механизмов организационного управления: текущее состояние проблемы, ретроспектива, перспективы развития теоретических исследований [Текст] / В. Н. Бурков, А. К. Еналеев, Н. А. Коргин // Автоматика и телемеханика. — 2021. — Т. 7. — С. 5—37.

10. Искаков, М. Б. Равновесие в безопасных стратегиях и равновесия в угрозах и контругрозах в некооперативных играх [Текст] / М. Б. Искаков // Автоматика и телемеханика. — 2008. — Т. 2, № 114—134.

11. Карлин, С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике [Текст] / С. Карлин. — Москва : Мир, 1964.

12. Демьянов, В. Ф. Введение в минимакс [Текст] / В. Ф. Демьянов, В. Н. Ма-лозёмов. — Москва : Наука, 1972.

13. Евтушенко, Ю. Г. Численные методы решения некоторых задач исследования операций [Текст] / Ю. Г. Евтушенко, В. Г. Жадан // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1973. — Т. 13, № 3. — С. 583—598.

14. Фёдоров, В. В. Численные методы максмина [Текст] / В. В. Фёдоров. — Москва : Наука, 1979.

15. Евтушенко, Ю. Г. Итеративные методы решения минимаксных задач [Текст] / Ю. Г. Евтушенко // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1974. — Т. 14, № 5. — С. 1138—1149.

16. Отыскание множеств решений систем нелинейных неравенств [Текст] / Ю. Г. Евтушенко [и др.] // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2017. — Т. 57, № 8. — С. 1248—1254.

17. Параллельные вычисления на GPU. Архитектура и программная модель CUDA : Учебное пособие [Текст] / А. В. Боресков [и др.]. — Москва : Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 2015. — С. 336.

18. Айзекс, Р. Дифференциальные игры [Текст] / Р. Айзекс. — Москва : Издательство "Мир", 1967.

19. Петросян, Л. А. Теория игр [Текст] / Л. А. Петросян, Н. А. Зенкевич, Е. В. Шевкопляс. — Санкт-Петербург : БХВ-Петербург, 2012.

20. Понтрягин, Л. С. К теории дифференциальных игр [Текст] / Л. С. Понт-рягин // УМН. — 1966. — Т. 21, № 4. — С. 219—274.

21. Красовский, Н. Н. Позиционные дифференциальные игры [Текст] / Н. Н. Красовский, А. И. Субботин. — Москва : Издательство "Наука", 1974.

22. Петросян, Л. А. Преследование на плоскости [Текст] / Л. А. Петросян, Б. Б. Рихсиев. — Москва : Наука, 1991.

23. Смольяков, Э. Р. Обобщённое оптимальное управление и динамические конфликтные задачи [Текст] / Э. Р. Смольяков. — Москва : МГУ, 2010.

24. Васильев, Ф. П. Численные методы решения конфликтных задач [Текст] / Ф. П. Васильев. — Москва : Наука, 1988.

25. Математическая теория оптимальных процессов [Текст] / Л. С. Понтрягин [и др.]. — Москва : Наука, 1983.

26. Федеральный закон от 31 июля 2020 г. N 304-Ф3 "О внесении изменений в Федеральный закон "Об образовании в Российской Федерации" по вопросам воспитания обучающихся" [Текст]. — 2020. — URL: https://rg.ru/ 2020/08/07/ob- obrazovanii- dok.html.

27. Smith, A. The Theory of Moral Sentiments; Reedited (1976) [Текст] / A. Smith. — Oxford, UK : Oxford University Press, 1759.

28. Smith, A. An Inquiry into the Nature and Causes of the Wealth of Nations; Reedited (1976) [Текст] / A. Smith. — Oxford, UK : Oxford University Press, 1776.

29. Микушина, Т. Н. Проблема нравственности и глобальный кризис общества [Текст] / Т. Н. Микушина, М. Л. Скуратовская // Материалы II международной научно-практической конференции "Мир на пороге новой эры. Как это будет?". Издательство: ООО "Центр профессионального менеджмента "Академия Бизнеса"(Саратов). — 2014.

30. Гусейнов, А. А. История этических учений: Учебник для вузов [Текст] / А. А. Гусейнов. — Москва : Академический проект, 2015.

31. Guth, W. An experimental analysis of ultimatum bargaining [Текст] / W. Giith, R. Schmittberger, B. Schwarze // J. Econ. Behav. Organ. — 1982. — Т. 13. — С. 367—388.

32. Fairness in simple bargaining experiments [Текст] / R. Forsythe [и др.] // Game Econ. Behav. — 1994. — Т. l6. — С. 347—369.

33. Korenok, O. Impure altruism in dictators' giving [Текст] / O. Korenok, E. Millner, R. L. // Public Economics. — 2013. — Т. 97. — С. 1—8.

34. Krupka, E. Identifying social norms using coordination games: Why does dictator game sharing vary? [Текст] / E. Krupka, R. Weber // J. European Economic Association. — 2013. — Т. 11, № 3. — С. 495—524.

35. Moral costs and rational choice: Theory and experimental evidence [Текст] / J. C. Cox [и др.]. — 2019. — URL: http://excen.gsu.edu/working-%20papers/ GSU_EXCEN_WP_2019-02.pdf.

36. Левченков, В. С. Два принципа рациональности в теории выбора: Борда против Кондорсе : Учеб. пособие для студентов [Текст] / В. С. Левчен-ков. — Москва : Издат. отд. фак. математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова, 2002. — С. 263.

37. Braithwaite, R. B. Theory of Games as a Tool for the Moral Philosopher. An Inaugural Lecture Delivered in Cambridge on 2 December 1954 [Текст] / R. B. Braithwaite. — Cambridge, UK : Cambridge University Press, 1955.

38. Harsanyi, J. C. Game and decision theoretic models in ethics [Текст] / J. C. Harsanyi. — 01.1992.

39. Harsanyi, J. C. Rule utilitarianism and decision theory [Текст] / J. C. Harsanyi // Erkenntnis. — 1977. — Т. 11. — С. 25—53.

40. Люьис, Р. Д. Игры и решения [Текст] / Р. Д. Люьис, Х. Райфа ; под ред. И. иностранной Литературы. — Москва, 1961. — С. 33—67.

41. Kranz, S. Moral norms in a partly compliant society [Текст] / S. Kranz // Games and Economic Behavior. — 2010. — Янв. — Т. 68, № 1. — С. 255—274.

42. Alfano, M. Ethics, Morality, and Game Theory [Текст] / M. Alfano, H. Rusch, M. Uhl // Games. — 2017.

43. Alger, I. Strategic Behavior of Moralists and Altruists [Текст] / I. Alger, J. W. Weibull // Games. — 2017. — Ethics, Morality, and Game Theory.

44. Smith, J. M. Evolution and the Theory of Games [Текст] / J. M. Smith. — Cambridge University Press, 1982.

45. Newton, J. Evolutionary game theory: A renaissance [Текст] / J. Newton // Games. — 2018. — Т. 9.

46. Ридли, М. Происхождение альтруизма и добродетели: от инстинктов к сотрудничеству [Текст] / М. Ридли. — Москва : Эксмо, 2013. — С. 272.

47. Axelrod, R. The evolution of cooperation [Текст] / R. Axelrod. — New York : Basic Books, 1984.

48. Nowak, M. A. The arithmetics of mutual help [Текст] / M. A. Nowak, R. M. May, K. Sigmund // Scientific American. — 1995. — Т. 272. — С. 50—55.

49. Kitcher, P. The evolution of human altruism [Текст] / P. Kitcher // Journal of Philosophy. — 1993. — Т. 90. — С. 497—516.

50. Steven J. Brams. Game theory and the humanities : bridging two worlds [Текст] / Steven J. Brams. — London : The MIT Press, 2011.

51. Гермейер, Ю. Б. Игры с иерархическим вектором интересов [Текст] / Ю. Б. Гермейер, И. А. Ватель // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. — 1974. — Т. 3. — С. 54—69.

52. Горбанева, О. И. Цена анархии и механизмы управления в моделях согласования общественных и частных интересов [Текст] / О. И. Горбанева, Г. А. Угольницкий // Математическая Теория Игр и её Приложения. — 2015. — Т. 7, выпуск 1. — С. 50—73.

53. Горбанева, О. И. Модели сочетания общих и частных интересов независимых агентов [Текст] / О. И. Горбанева // Математическая Теория Игр и её Приложения. — 2018. — Т. 10, № 4. — С. 3—15.

54. Лефевр, В. А. Алгебра совести [Текст] / Лефевр, В. А. — Москва : "Когнито Центр", 2003.

55. Зак, Ф. Л. О некоторых моделях альтруистического поведения [Текст] / Ф. Л. Зак // Журнал Новой экономической ассоциации. — 2021. — Т. 1, № 49. — С. 12—52.

56. Зак, Ф. Л. Психологические игры в теории выбора. II. Стыд, сожаление, эгоизм и альтруизм [Текст] / Ф. Л. Зак // Журнал Новой экономической ассоциации. — 2014. — Т. 22, № 2. — С. 12—40.

57. Saito, K. Impure Altruism and Impure Selfishness [Текст] / K. Saito // California Institute of Technology. — 2014. — Т. 5.

58. Леонтьев, С. В. Критериальное и мотивационное управление в активных систем [Текст] / С. В. Леонтьев, Д. А. Новиков, С. Н. Петраков // Автоматика и телемеханика. — 2002.

59. Бурков, В. Н. Механизмы критериального управления активными системами в задачах стимулирования [Текст] / В. Н. Бурков, Д. А. Новиков // Сборник трудов ИПУ РАН. — 2000. — Янв. — С. 76—85.

60. Смольяков, Э. Р. Справедливый делёж в кооперативных играх [Текст] / Э. Р. Смольяков // Доклады Академии Наук. — 2008. — Т. 418, № 2. — С. 176—180.

61. Микушина, Т. Н. О России [Текст] / Т. Н. Микушина, Е. Ю. Ильина. — Омск : ИД "СириуС", 2021.

62. Ostrom, E. Governing the commons: The evolution of Institutions for collective action [Текст] / E. Ostrom. — Cambridge : CUP, 1974.

63. Гусейнов, А. А. «Золотое правило» нравственности [Текст] / А. А. Гусейнов // Вестник Московского университета. Философия. — 1972. — Т. 4.

64. Laffont, J.-J.Macroeconomic Constraints, Economic Efficiency and Ethics: an Introduction to Kantian Economics [Текст] / J.-J. Laffont // Economica. — 1975. — Т. 42, № 168. — С. 430—437.

65. Roemer, J.Kantian Optimization: A Microfoundation for Cooperation [Текст] / J. Roemer // Journal of Public Economics. — 2014. — Апр. — Т. 127.

66. Жуковский, В. И. Линейно-квадратичные дифференциальные игры [Текст] / В. И. Жуковский, А. А. Чикрий. — Москва : Наукова думка Украина, 1994. — С. 241.

67. Sarkisian, R. Team Incentives under Moral and Altruistic Preferences: Which Team to Choose? [Текст] / R. Sarkisian // Games. — 2017. — URL: https: //www.mdpi.com/2073-4336/8/3/37/htm.

68. Кант, И. Основы метафизики нравственности. Сочинения в шести томах (с рецензией на книгу И.Шульца. 1783). 1785 [Текст] / И. Кант. — М. : «Мысль», 1965. — С. 211—310.

69. Нравственность - сила нации. Учебное пособие [Текст] / З. И. Галицкая [и др.]. — Омск : Фонд "За Нравственность!", 2017.

70. Roemer, J.How We Cooperate: A Theory of Kantian Optimization [Текст] / J. Roemer. — 04.2019.

71. Cooper, R. Coordination Games [Текст] / R. Cooper. — Cambridge: Cambridge University Press, 1998.

72. Granovetter, M. Threshold models of interpersonal effects in consumer demand [Текст] / M. Granovetter, R. Soong // Journal of Economic Behavior and Organization. — 1986. — Март. — Т. 7, № 1. — С. 83—99.

73. Schelling, T. Dynamic Models of Segregation [Текст] / T. Schelling // Journal of Mathematical Sociology. — 1971. — Т. 1. — С. 143—186.

74. Новиков, Д. А. Модели порогового коллективного поведения в задачах управления эколого-экономическими системами [Текст] / Д. А. Новиков, В. В. Бреер, А. Д. Рогаткин // Управление большими системами. — 2015.

75. Бреер, В. В. Модели толерантного порогового поведения (от Т. Шеллинга к М. Грановеттеру) [Текст] / В. В. Бреер // Проблемы управления. — 2016. — Т. 1.

76. Бреер, В. В. Теоретико-игровые модели бинарного коллективного поведения [Текст] / В. В. Бреер // Математическая теория игр и ее приложения. Петрозаводск: Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН. — 2020. — Т. 12, № 2. — С. 3—19.

77. Соболевская, М. К. Анализ показателей моральной статистики России за 2000-2015 гг. [Текст] / М. К. Соболевская, С. А. Стрекалова // Молодой ученый. — 2016. — Т. 20 (124). — С. 419—421. — URL: https://moluch.ru/ archive/124/34342/.

78. Blackman, F. F. Optima and limiting factors [Текст] / F. F. Blackman // Annals of Botany. — 1905. — Апр. — Т. os—19, № 2. — С. 281—296. — URL: https: //academic.oup.com/aob/article/os-19/2/281/156306.

79. Bertalanffy, L. V. Modern Theories of Development. [Текст] / L. V. Bertalanffy, J. H. Woodger // Modern Theories of Development. — 1938.

80. Modelling the stochastic dynamics of transitions between states in social systems incorporating self-organization and memory [Текст] / D. Zhukov [и др.] // Technological Forecasting and Social Change. — 2020. — Сент. — Т. 158. — С. 120134.

81. Istratov, L. Modeling group behavior based on stochastic cellular automata with memory and systems of differential kinetic equations with delay [Текст] / L. Istratov, A. Smychkova, D. Zhukov // Vestnik Tomskogo Gosudarstvennogo Universiteta - Upravlenie, Vychislitel'naya Tekhnika i Informatika. — 2020. — №51. —С. 45—54.

82. McLennan, A. The Index +1 Principle [Текст] / A. McLennan. — Queensland, Australia : University of Queensland, 2016.

83. Вышел в свет комплект материалов курса лекций «нравственность - сила нации» [Текст]. — 2017. — URL: https://fondzn.org/projects/course.

84. Ответы учреждений образования и государственных органов на курс лекций «Нравственность - сила нации» [Текст]. — 2017. — URL: https://fondzn. org/volunteer/responses.

85. Отзывы и благодарности [Текст]. — 2017. — URL: https://fondzn.org/news/ responses.

86. Alger, I. Homo Moralis-Preference Evolution Under Incomplete Information and Assortative Matching [Текст] / I. Alger, J. Weibull // Econometrica. — 2013. — Т. 81.

87. Васин, А. А. "Эволюционная теория игр и экономика. Часть I." Принципы оптимальности и модели динамики поведения [Текст] / А. А. Васин // Журнал Новой экономической ассоциации. — 2009. — Т. 3. — С. 10—27.

88. Васин, А. А. "Эволюционная теория игр и экономика. Часть II." Устойчивость равновесий. Особенности эволюции социального поведения [Текст] / А. А. Васин // Журнал Новой экономической ассоциации. — 2009. — Т. 4. — С. 10—27.

89. Bester, H. Is altruism evolutionarily stable? [Текст] : тех. отч. / H. Bester, W. Gu Eth.

90. Смольяков, В. Э. Решение дифференциальной игры, моделирующей отношения между странами [Текст] / В. Э. Смольяков, Э. Р. Смольяков // Труды ИСА РАН. — 2013. — Т. 3. — С. 71—77.

91. Смольяков, Э. Р. Универсальная система управления параметрическим семейством дифференциальных игр [Текст] / Э. Р. Смольяков, В. А. Ефрюш-кина // Дифференциальные уравнения. — 2019. — Т. 55, № 1. — С. 117—122.

92. Каталкина, М. Ю. Анализ глобального и российского рынков слияний и поглощений: тренды, движущие факторы, эффективность сделок [Текст] / М. Ю. Каталкина // Вестник университета. — 2020. — Т. 9. — С. 5—14.

93. Dechert, W. A complete characterization of optimal growth paths in an aggregated model with a non-concave production function [Текст] / W. Dechert, K. Nishimura // Journal of Economic Theory. — 1983. — Т. 31, № 2. — С. 332—354.

94. Nishimura, K. Nonlinear Dynamics and Chaos in Optimal Growth: An Example [Текст] / K. Nishimura, M. Yano // Econometrica. — 1995. — Т. 63, № 4. — С. 981—1001.

95. Lewis, W. A. Economic Development with Unlimited Supplies of Labor [Текст] / W. A. Lewis // The Manchester School. — 1954. — Т. 22, № 2. — С. 139—91.

96. Киселёв, Ю. Н. Построение в аналитической форме оптимального управления и множеств достижтмости в одной задаче распределения ресурсов [Текст] / Ю. Н. Киселёв, С. Н. Аввакумов, М. В. Орлов // Прикладная математика и информатика. — 2007. — Т. 27. — С. 80—99.

97. Киселёв, Ю. Н. Исследование одной двухсекторной модели экономического роста с производственной функцией Кобба-Дугласа [Текст] / Ю. Н. Киселёв, М. В. Орлов // Вестник Московского университета. Серия 15: Вычислительная математика и кибернетика. — 2010. — Т. 2. — С. 21—28.

98. Киселёв, Ю. Н. Особые режимы в модели двухсекторной экономики С интегральной функцией полезности [Текст] / Ю. Н. Киселёв, М. В. Орлов, С. М. Орлов // Вестник Московского университета. Вычислительная математика и кибернетика. — 2016. — Т. 1.

99. Математическая теория оптимальных процессов [Текст] / Л. С. Понтрягин [и др.]. — Москва : Наука, 1976.

100. Никольский, М. С. Упрощённая игровая модель взаимодействия двух государств [Текст] / М. С. Никольский // Вестник Московского университета. Вычислительная математика и кибернетика. — 2009. — Т. 2.

101. Кротов, В. Ф. Методы и задачи оптимального управления [Текст] /

B. Ф. Кротов, В. И. Гурман. — Москва : Наука, 1973.

Публикации автора по теме диссертации

В изданиях из списка ВАК РФ

102. Красников, К. Е. Программная реализация методов решения конфликтных задач [Текст] / К. Е. Красников // ИТ-СТАНДАРТ. — 2022. — Т. 33, № 4. —

C. 34—39.

103. Красников, К. Е. Математическое моделирование некоторых социально-этических норм поведения с помощью теоретико-игровых подходов [Текст] / К. Е. Красников // Проблемы управления. — 2022. — Т. 1. — С. 33—53.

104. Красников, К. Е. Математическое моделирование некоторых социальных процессов с помощью теоретико-игровых подходов и принятие на их основе управленческих решений [Текст] / К. Е. Красников // Russian Technological Journal. — 2021. — Т. 9, № 5. — С. 67—83.

105. Красников, К. Е. Моделирование социально-этических принципов в терминах игровых задач [Текст] / К. Е. Красников // Экономика вчера, сегодня, завтра. — 2020. — С. 221—237.

В изданиях, входящих в международную базу цитирования Scopus

106. Krasnikov, K. Numerical solution of the half-plane pursuit-evasion problem [Текст] / K. Krasnikov // 16th International Conference on Management of Large-Scale System Development (MLSD'2022). — Moscow : Trapeznikov Institute of Control Sciences, Russian Academy of Sciences, 2023.

В сборниках трудов конференций

107. Красников, К. Е. Анализ влияния кооперации на решение дифференциальной игры, моделирующей отношения между странами [Текст] / К. Е. Красников // Фундаментальные, поисковые, прикладные исследования и инновационные проекты: сборник трудов Национальной научно-практической конференции / под.ред. С.У.Увайсов. — Москва : РТУ МИРЭА, 2022. — С. 161—165.

108. Красников, К. Е. Численные методы поиска решений конфликтных задач [Текст] / К. Е. Красников // Управление развитием крупномасштабных систем (MLSD'2023): труды Шестнадцатой международной конференции. — Москва : ИПУ РАН, 2023.

109. Красников, К. Е. Технологический комплекс разработки автоматизированных систем организационного управления [Текст] / К. Е. Красников, З. Ш. Путуридзе // XIII научно-практическая конференция «Современные информационные технологии в управлении и образовании». — Москва : ФГУП НИИ «Восход», 2014.

110. Красников, К. Е. Моделирование некоторых социально-этических норм в терминах игровых задач [Текст] / К. Е. Красников // 23-я международная мультидисциплинарная научно-практическая конференция «Российская наука в современном мире». — 2019.

Список рисунков

2.1 Введение сетки с шагом £ на игровом множестве С...........26

2.2 Игровое множество С и множество А2-равновесных точек при £ = 0.1. 30

2.3 Множество А2-равновесных точек при £ = 0.06 и £ = 0.01........31

2.4 Ускорение вРИ-версии программы по сравнению с СРи-версией

при увеличение размерности целевых матриц игроков ..................32

3.1 Пространство игры и связанная с ним система координат........36

3.2 Гамильтониан Н и его линии уровня....................47

3.3 Множества А-равновесных ситуаций....................47

3.4 Множества В -равновесных ситуаций....................49

3.5 Множества Л-равновесных ситуаций....................50

3.6 С-равновесие и равновесие по Нэшу....................51

3.7 Блок-схема алгоритма расчёта управлений в динамической задаче преследования ................................................................56

3.8 Траектории движения преследуемого и преследователя, рассчитанные согласно описанному в данном разделе алгоритму. . . . 57

3.9 Ускорение вРИ-версии алгоритмов поиска решения задачи преследования по сравнению с СРи-версией. ............................57

4.1 График функций распределения Б(х) порогового значения ......91

4.2 График функции распределения пороговых значений с отмеченными точками состояний равновесия значения 6^................94

4.3 Изменение функции распределения порогового значения со

временем в модели с обучением.......................97

5.1 Игровое множество..............................107

5.2 График гамильтониана Н1 (слева) и его линии уровня (справа).....108

5.3 График гамильтониана Н2 (слева) и его линии уровня (справа).....108

5.4 График суммарного гамильтониана Н (слева) и его линии уровня (справа).....................................109

5.5 Н2 при а = 0.................................117

5.6 Н2 при а = \.................................117

5.7 Зависимость гамильтониана Н, соответствующего функции кооперативного дохода 3, от параметра модели а............119

Список таблиц

1 Задача «Семейный выбор».........................84

Приложение А

Программная реализация алгоритмов приближённого нахождения конфликтных равновесий для антагонистических игровых задач с двумя

участниками

Приведём код функций вычисляющих А-равновесия, задаваемые определениями 1.2.

function [A1,A2,A]=find_A_eq(x, y, J1, J2)

10

15

20

25

%Функция вычисления А-равновесия %Аргументы:

%х - массив координат х (выбор первого игрока). %у - массив координат у (выбор второго игрока). %Л - матрица значений целевой функции первого игрока. %J2 - матрица значений целевой функции второго игрока. %Возвращаемые значения:

%Матрицы А1,А2,А-равновесий размерности у строк на х столбцов

%Определяем размер массивов координат szx = size(x); szy = size(y);

%Выделяем память под нулевую матрицу A1 A1 = zeros(szy, szx);

%Элемент матрицы J1 будет являться Al-равновесием тогда %и только тогда, когда его значение будет больше или равным %значению максимального по всем столбцам среди минимальных %по каждому столбцу значений элементов целевой матрицы J1.

%Прежде всего определим значение искомого максимина. %Функция min возвращает вектор минимумов всех столбцов. si=max(min(J1));

%Цикл по всем элементам целевой матрицы первого игрока. %Сравниваем их с найденным выше максимином. %Элементы, которые пройдёт проверку - Al-равновесны. for i=1:szy for j=1:szx

5

40

45

50

55

60

65

70

if Jl(i,j) >= si

A1(i,j) = 1; end end end

%Выделяем память под нулевую матрицу A2 A2 = zeros(szy, szx);

%Элемент матрицы J2 будет являться А2-равновесием тогда %и только тогда, когда его значение будет больше или равным %значению максимального по всем строкам среди минимальных %по каждой строке значений элементов целевой матрицы J2.

%Поскольку min() возвращает вектор минимумов всех столбцов,

%то прежде всего транспонируем матрицу J2.

J2T=J2';

%Находим максимин. si=max(min(v2T));

%Цикл по всем элементам целевой матрицы второго игрока, %Элементы, которые пройдут проверку - А2-равновесны. for i=1:szy for j=1:szx

if J2(i,j) >= si

A2(i,j) = 1; end end end

%Наконец находим А-равновесия.

%Прежде всего выделяем память под нулевую матрицу А A2 = zeros(szy, szx);

%Элементы (координаты), являющиеся А1 и А2-равновесиями, %будут А-равновесиями for i=1:szy for j=1:szx

if A1(i,j) == 1

if A1(i,j) == A2(i,j)

A(i,j) = 1; end

end end end

%Визуализация полученных результатов - матриц A1, A2 и A-равно весий figure;

surf(x,y, A1); title('A1'); shading flat; figure;

surf(x,y, A2); title('A2'); shading flat; figure; surf(x,y, A); title('A'); shading flat; end

Далее приведём код функций вычисляющих В и С-равновесия, задаваемые определениями 1.3 и 1.4 соответственно.

function [B1,B2,B]=find_B_eq(x, y, J1, J2)

о. %

%Функция вычисления B-равновесия %Аргументы:

5 %x - массив координат x (выбор первого игрока).

%y - массив координат y (выбор второго игрока). %J1 - матрица значений целевой функции первого игрока. %J2 - матрица значений целевой функции второго игрока. %Возвращаемые значения: 10 %Матрицы B1,B2 и B-равновесий размерности y строк на x столб

цов

о. %

szx = size(x); szy = size(y);

15 %Строим матрицы A1,A2 и A-равновесий

[A1, A2, A]=find_A_eq(x, y, J1, J2);

%Выделяем память под нулевые матрицы B1, B2 и B. B1 = zeros(szy, szx); 20 B2 = zeros(szy, szx);

85

90

30

35

40

45

50

55

B = zeros(szy, szx); %Построение матрицы B1

%Прежде всего выполним поэлементное умножение матриц J2 и A1 J2A1=J2.*A1;

%Находим вектор максимумов по столцам в полученной матрице J2A1max=max(J2A1);

%Для нахождения Bl-равновесных ситуаций первый игрок предлаг ает второму,

%выбрать на множестве Al-равновесных наилучшие для себя %(максимумы по солбцам матрицы J2A1) for i=1:szx for j=1:szy if A1(j,i)==1

if J2(j,i) >= J2A1max(i)

B1(j,i)=1; end end end end

%Аналогично строится матрица B2 J1A2=J1.*A2;

%Для нахождения вектора максимумов по строкам %транспонируем J1A2. J1A2max=max(J1A2'); for j=1:szy for i=1:szx if A2(j,i)==1

if v1(j,i) >= vb1max(j)

B2(j,i)=1; end end end end

%Строим B for i=1:szy for j=1:szx

if B1(i,j) == 1

if B1(i,j) == B2(i,j) B(i,j) = 1;

70

75

80

85

90

95

end end end end

end

function [C1,C2,C]=find_C_eq(x, y, J1, J2)

%Функция вычисления C-равновесия %Аргументы:

%x - массив координат x (выбор первого игрока).

%y - массив координат y (выбор второго игрока).

%J1 - матрица значений целевой функции первого игрока.

%J2 - матрица значений целевой функции второго игрока.

%Возвращаемые значения:

%Матрицы C1,C2 и C-равновесий размерности y строк на x столб

цов

у

J2)

szx = size(x); szy = size(y);

%Строим матрицы A1,A2 и A-равновесий [A1, A2, A]=find_A_eq(x, y, J1, J2);

%Выделяем память под нулевые матрицы C1, C2, C C1 = zeros(szy, szx); C2 = zeros(szy, szx); C = zeros(szy, szx);

%Построение матрицы C1

%Находим вектор максимумов по столбцам матрицы J2 J2max=max(J2);

%Для нахождения С1-равновесий первый игрок предлагает втором

%выбрать на на всём сечении игрового множества %наилучшие для себя ситуации (максимумы по солбцам матрицы

for i=1:szx for j=1:szy if A1(j,i)==1

if J2(j,i) >= J2max(i)

120

125

130

135

C1(j,i)=1; end end end end

%Аналогично строиться матрица C2

%Для нахождения вектора максимумов по строкам транспонируем

J1.

v1max=max(v1');

for j=1:szy for i=1:szx if A2(j,i)==1

if v1(j,i) >= v1max(j)

C2(j,i)=1; end end end end

%Строим матрицу C for j=1:szy for i=1:szx

if C1(j,i) == 1

if C1(j,i) == C2(j,i)

C(j,i) =v(j,i); end end end end

end

Приложение Б

Благодарственное письмо за активное участие в конкурсе молодых ученых в области наук об образовании на соискание медали «Молодым ученым за успехи в науке» Российской академии образования в 2022 году

ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

ВЫПИСКА ИЗ ПОСТАНОВЛЕНИЯ ПРЕЗИДИУМА от 27 октября 2022 года № 10/1

Об итогах I этапа Конкурса молодых ученых в области наук об образовании на соискание медали «Молодым ученым за успехи в науке» Российской академии образования в 2022 году

Заслушав и обсудив сообщение члена-корреспондента РАО Т. Н. Тихомировой, президиум Российской академии образования постановляет:

Наградить Благодарственным письмом Российской академии образования Красникова Кирилла Евгеньевича, ассистента ФГБОУ ВО «МИРЭА - Российский технологический университет», - за активное участие в I этапе Конкурса молодых ученых в области наук об образовании на соискание медали «Молодым ученым за успехи в науке» Российской академии образования в 2022 году.

П/п Президент РАО

академик РАО

О.Ю. Васильева

П/п Главный ученый секретарь президиума РАО, член-корреспондент РАО

С.В. Иванова

Верно: Главный ученый секоетаоь

С.В. Иванова

X

м&щ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

НАГРАЖДАЕТ

Красникова Кирилла Евгеньевича

ассистента ФГБОУВО «МИРЭА -Российский технологический университет», за активное участие в I этапе Конкурса молодых ученых в области наук об образовании на соискание медащ^Молодым ученым за успехи в науке» Российсщй^ашЬШцм образования в 2022 году

Президент, академик Р

О.Ю. Васильева

Москва

Постановление президиума РАО от 27 октября 2022 года № 10/1

Приложение В

Выписка из протокола заседания Научно-технического совета РТУ МИРЭА о выдвижении работ К.Е. Красникова на соискание медали молодым учёным

РАО

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования «МИРЭА - Российский технологический университет»

РТУ МИРЭА

г. Москва

ВЫПИСКА ИЗ ПРОТОКОЛА № 6/23 заседания Научно-технического совета РТУ МИРЭА от 29 августа 2023 г.

ПРИСУТСТВОВАЛИ: председатель НТС, президент РТУ МИРЭА, академик РАН Сигов A.C.; зам. председателя НТС, советник по научной работе, к.т.н. Рагугкин A.B.; зам. председателя НТС, проректор Винокуров O.E.; к.т.н. Андрианова Е.Г.; в.н.с. ФИРЭ им. В.А. Котсльникова РАН, д.т.н. Афанасьев М.С.; д.ф-м.н. Васильев А.Г.; к.ф-м.н. Вегера Ж.Г.; к.х.н. Гераськин A.A.; д.т.н. Зуев A.C.; к.т.н. Коновалов A.M.; д.т.н. Костин М.С.; к.т.н. Кузнецов В.В.; к.т.н. Магомедов Ш.Г.; д.х.н. Маслов М.А.; д.ф-м.н. Мишина Е.Д.; к.э.н. Мыльникова А.Н.; д.т.н. Романов М.П.; д.т.н., с.н.с. Рыженков A.B.; начальник ОССТ Савичева JI.H.; к.т.н. Смирнов A.B.; к.т.н. Снедков А.Б.; д.т.н. Терешонок М.В.; д.т.н. Фролкова А.К.; к.т.н. Холопов В.А.; начальник ООНИ Чебенева И.Е.; д.э.н. Шацкая И.В.; к.х.н. Юловская В.Д.; д.ф.-м.н. Юрасов А.Н.; секретарь НТС, к.х.н. Гаврилова A.B. (29 из 30 членов научно-технического совета РТУ МИРЭА).

СЛУШАЛИ: выступление Красникова Кирилла Евгеньевича о выдвижении исследования "Методы математического моделирования воспитательной функции образования и их приложения в учебном процессе профессиональных образовательных организаций и организаций высшего образования" Института информационных технологий РТУ МИРЭА на соискание медали «Молодым ученым за успехи в науке» Российской академии образования в номинации «За научные достижения в сфере воспитания и наставничества».

В своём научном исследовании К.Е. Красников применил методы математического моделирования для анализа влияния на развитие общества преобладающие среди всех его представителей поведенческие нормы. В качестве инструмента для исследования была выбрана математическая теория игр, которая позволяет моделировать разные виды рациональности, которыми руководствуются индивиды при попадании в ситуацию, в которой интересы участников так или иначе сталкиваются.

Наиболее хорошо изученной и широко применяемой в экономической и военной сферах является модель максимизации каждым участником конфликтной задачи своей функции полезности -математического выражения интереса или мотива, который движет индивидом при принятии решения.

Однако, многочисленные исследования различных специалистов показывают, что данная модель слишком упрощает реальный процесс принятия решения человеком, в следствии чего большую практическую значимость представляет построение новых моделей, которые бы учитывали и другие аспекты, влияющие на выбор разумного индивида, помимо исключительно максимизации собственной полезности.

Автором построена и исследована собственная модель, предполагающую учёт каждым участником с некоторым весовым коэффициентом помимо собственной полезности также суммарной полезности остальных представителей сообщества. Для данной модели просоциального или альтруистического поведения удалось установить факт существования конфликтного равновесия в

? W .J-,. '• г . ■ ■ • . V >"

I .."■, - ■ Л I /, . • .' \\- ' / ■•■'\y- Л ^ ■

I ; " 2

I... .-; ■ •',-;'„

точке максимума кооперативного дохода (то есть той точки, в которой суммарная полезность всех участников достигает своего максимума) при определенным уровне параметров системы, отражающих уровень кооперации между участниками.

Данное утверждение сформулировано и доказано автором в виде ряда теорем впервые в современной научной литературе. Все результаты исследований опубликованы автором в периодических научных изданиях, входящих в перечень ВАК и базу Web of Science, а также были представлены на нескольких конференциях. Также раздел посвященный моделированию социально* этических принципов включен автором в качестве главы его диссертации на соискание звания кандидата физико-математических наук в качестве примера использования методов теории игр не только в традиционных для данной теории сферах - экономической и военной, но и в социальной сфере.

Ввиду отмеченных выше обстоятельств очевидны конкурентные преимущества, которые приобретают сообщества, в которых данная модель поведения культивируется на самом высоком уровне прежде всего через образование и воспитание.

Однако, для того, чтобы воспитательный процесс не вызвал отторжения и новые модели поведения были усвоены учащимися, крайне важна форма, в которой данная работа проводится.

На основе опыта, полученного при проведении классных часов воспитательной направленности для учащихся средних учебных заведений, а также факультатива по Объектно-ориентированному программированию, организованному К.Е. Красниковым в весеннем семестре 2023 года, был разработан курс просветительской направленности для студентов ВУЗов.

Курс направлен на популяризацию науки, как точной, так и гуманитарной её областей, с акцентом на те сведения, которые помогут не только получить практические навыки, но и будут способствовать формированию ориентиров, необходимых для взрослой самостоятельной жизни.

Также в рамках курса планируется приглашать специалистов и представителей различных научных направлений, которые смогли бы расширить кругозор и послужить примером для юных исследователей.

Автор рассчитывает в рамках опытно-экспериментального исследования провести данный курс в формате факультативных занятий для студентов РТУ МИРЭА в 2023-2024 учебном году.

ПОСТАНОВИЛИ: выдвинуть работу "Методы математического моделирования воспитательной функции образования и их приложения в учебном процессе профессиональных образовательных организаций и организаций высшего образования" Красникова К.Е. на соискание медали «Молодым ученым за успехи в науке» Российской академии образования.

Председатель НТС,

Президент РТУ МИРЭА

Секретарь НТС