Игры наилучшего выбора с несколькими участниками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Фалько, Анна Антоновна

• Фалько, Анна Антоновна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Фалько, Анна Антоновна

Введение

1 Игра т лиц наилучшего выбора с ранговым критерием

1.1 Схема с арбитражной процедурой.

1.2 Схема с голосованием.

1.2.1 Задача с тремя игроками и голосованием.

1.2.2 Задача голосования для т игроков

1.3 Общий случай арбитражной процедуры для трех игроков

1.4 Результаты.

2 Максимизация ожидаемого выигрыша в игре т лиц наилучшего выбора с полной информацией

2.1 Игра наилучшего выбора с возможностью отказа претендента от предложения.

2.1.1 Модель без перераспределения вероятностей.

2.1.2 Модель с перераспределением вероятностей.

2.2 Теоретико-игровая задача выбора двух объектов с полной информацией

2.2.1 Игра двух лиц с доминирующим игроком.

2.2.2 Игра т лиц с возможностью отказа от предложения

2.3 Результаты.

3 Модели наилучшего взаимного выбора

3.1 Решение задачи наилучшего взаимного выбора.

3.2 Задача наилучшего взаимного выбора с пополнением популяции

3.3 Трехмерная задача наилучшего выбора.

3.4 Результаты.

4 Максимизация вероятности наилучшего выбора двух объектов

4.1 Задача с отсутствием информации.

4.2 Задача с полной информацией.

4.3 Игра двух лиц с доминирующим игроком.

4.4 Результаты.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Игры наилучшего выбора с несколькими участниками»

Актуальность темы. Задачи наилучшего выбора составляют важный класс задач, изучаемых теорией игр и теорией оптимальной остановки. Они отражают существенные особенности реальных процессов выбора, имеют простую содержательную постановку и легко интерпретируемые решения, что делает их применимыми в таких науках, как экономика, социология и психология.

Постановка классической задачи наилучшего выбора выглядит следуюл щим образом [1, 29].

Дано N упорядоченных по качеству объектов, из которых требуется выбрать всего один. Ознакомление с объектами происходит в случайном порядке. На каждом шаге очередной объект можно сравнить со всеми предыдущими. Основываясь на данных о ранее просмотренных объектах, необходимо принять решение: остановиться на текущем объекте или отвергнуть его и продолжить процесс выбора, потеряв возможность возвращения к этому объекту в дальнейшем. Требуется найти стратегию, максимизирующую вероятность найти наилучший объект.

Классическая задача наилучшего выбора имеет различные названия: „задача о разборчивой невесте", „задача о секретаре"и т.д. Также задача наилучшего выбора известна под названием „задача Googol"— выбор наибольшего из неизвестного набора чисел. Макквин и Миллер в 1960 году предложили вариант задачи наилучшего выбора под названием „задача о парковке" („задача о велосипедисте").

Существуют различные постановки задач наилучшего выбора, но характерные черты задачи следующие:

• выбор осуществляется в несколько этапов;

• на процесс выбора наложены стратегические и информационные ограничения, связанные с полной или частичной недоступностью для выбора пропущенных вариантов и статистической неопределенностью качества будущих объектов;

• эффект выбора зависит только от сравнения выбранных объектов со всеми остальными объектами и от некоторых внешних факторов (например, от затрат на проведение наблюдений);

• эффект выбора тем выше, чем лучше выбранные варианты.

Задача наилучшего выбора была независимо решена в 1961 г. Дынкиным и Линдли. Решение Дынкина [5] основывалось на теории марковских процессов. Линдли предложил решение методом динамического программирования. Изящное решение задачи приводит к неожиданному результату. Оказывается, необходимо пропустить примерно 37 процентов всех объектов, а затем остановиться на первом объекте, который лучше всех просмотренных ранее. При этом вероятность удачного выбора при N —> оо равна 1 /е.

Задача наилучшего выбора дала толчок к развитию теории оптимальной остановки случайных процессов. Эта математическая дисциплина нашла широкое приложение в задачах о продаже недвижимости, различении статистических гипотез, скорейшего обнаружения момента изменения свойств случайных процессов (так называемая „задача о разладке" [25, 30]), в стохастической финансовой математике.

В дальнейшем на основе классической постановки сформировался целый класс задач наилучшего выбора. Постановки различались степенью информированности о качествах наблюдаемых объектов: к задачам с отсутствием информации о качествах добавились задачи с полной информацией (качество рассматривается как случайная величина с известным законом распределения [1, 24, 46]) и частичной информацией (например, закон распределения качеств известен, но неизвестны его параметры [9, 32, 55]). Также начали исследоваться сценарии задач с другими критериями оптимальности, такими как максимизация ожидаемого качества объекта в задаче с полной информацией [54] и минимизация ожидаемого абсолютного ранга объекта в задачах как с отсутствием информации [37, 57], так и с полной информацией [33, 35, 36]. Классическая постановка задачи наилучшего выбора относится к задачам с отсутствием информации о качествах объектов и критерием оптимальности „максимизация вероятности выбрать наилучший объект". Другим обобщением задачи является вариант, когда число объектов является случайным ([22, 48, 56]) или бесконечным ([45]). Задача наилучшего выбора с неполной информацией, в которой распределение случайных величин известно, а точное значение наблюдаемой случайной величины не известно, рассмотрена в [40]. Задачи о секретаре с возможностью отказа претендента от предложения рассмотрены в [65, 68]. Существует ряд задач наилучшего выбора, в которых вероятностные характеристики самого случайного процесса зависят от выбранных управлений, например, „задача о двуруком бандите"([6, 7, 23]).

В теории игр широко представлен класс задач наилучшего выбора ([8]). Указанные выше задачи входят в этот класс как частный случай игр с одним участником. Для нахождения решения в данных задачах используется общая теория игр двух и более лиц ([2, 19, 20]). Игровые задачи наилучшего выбора без информации с критерием оптимальности „минимизация ожидаемого абсолютного ранга объекта"рассмотрены в [61, 62, 64], с максимизацией среднего качества объекта — в работах [34, 44, 63].

Многокритериальная задача, в которой необходимо с максимальной вероятностью выбрать объект, лучший хотя бы по одному критерию, рассмотрена в [3]. В играх т лиц наилучшего выбора, в которых принимается совместное решение о выборе объекта, также осуществляется многокритериальный выбор. Здесь возможны различные варианты выработки общего решения. Один из них — арбитражная процедура, при которой общее решение принимается при помощи третьей стороны — арбитра. В литературе такие задачи представлены в основном играми двух лиц, в которых приоритет игрока в решении определяется заданной вероятностью ([58, 64]). Применение арбитражной процедуры в играх трех лиц рассмотрено в работах [59, 63]. В случае трех и более игроков одним из вариантов принятия общего решения является голосование. При этом правила принятия решения могут быть различными, например, выбор претендента большинством голосов или согласно порогу голосования. В [49] рассмотрена игра нескольких лиц с голосованием, в которой целью каждого игрока является максимизировать свой ожидаемый выигрыш, и общее решение выносится большинством голосов. В [43] исследована задача о продаже недвижимости с голосованием и платой за наблюдения. Игра голосования, когда решение принимается посредством монотонного правила, останавливающего процесс просмотра, если число голосов не меньше заданного числа, рассмотрена в [69].

Задачи о выборе объекта с одним из заданных рангов рассмотрены в [4, 67]. В работах [15, 16, 17, 18, 21, 26] были исследованы задачи с отсутствием информации и многократным выбором. В [66] рассмотрена задача двукратной остановки: необходимо выбрать два объекта, максимизировав ожидаемую разность их качеств. Игровые задачи выбора двух объектов с полной информацией рассмотрены в работе [60]. Игровые задачи с оптимальной остановкой случайных процессов рассмотрены в [38, 39].

В приведенных выше постановках задачи выбор осуществляла только одна сторона, то есть считалось, что объект (или секретарь) всегда согласен с решением игрока. Такие задачи можно назвать задачами одностороннего выбора. Если объект также является лицом, принимающим решение, то приходим к задачам так называемого двустороннего или взаимного выбора. Данные задачи имеют широкое применение в биологии и социологии (выбор партнера), в задачах поиска работы (отношения работодатель-работник), при моделировании рыночных отношений (продавец и покупатель осуществляют взаимный выбор). Задачи двустороннего выбора с отсутствием информации о качествах игроков исследованы в работе [41], с полной информацией — в работах [31, 47].

Цель диссертационной работы заключается в построении и исследовании математических моделей т лиц наилучшего выбора с помощью методов некооперативной теории игр и оптимальной остановки. Рассматриваются игровые задачи т лиц наилучшего выбора с различными критериями оптимальности, с отсутствием и полной информированностью игроков о качествах наблюдаемых объектов, задачи выбора двух объектов, а также задачи многостороннего выбора. В работе исследуются следующие основные задачи:

1. игровая задача т лиц наилучшего выбора с отсутствием информации о качествах объектов и различными процедурами принятия общего решения; все игроки стремятся минимизировать ожидаемый абсолютный ранг выбранного объекта;

2. игровая задача т лиц наилучшего выбора одного и двух объектов с полной информацией и критерием оптимальности в виде максимума ожидаемого среднего качества объекта;

3. задача двустороннего и трехстороннего выбора с полной информацией;

4. задача наилучшего выбора двух объектов, в которой необходимо максимизировать вероятность выбрать сначала наилучший, затем наихудший по качеству объект с различной информацией о качествах объектов, а также игровая постановка данной задачи.

Научная новизна работы заключается в исследовании новых постановок задач наилучшего выбора и нахождении их решений.

В задаче т лиц наилучшего выбора с ранговым критерием оптимальности исследованы два способа принятия общего решения: с помощью арбитражной процедуры и голосованием. Для первой схемы доказано возрастание оптимальных порогов с увеличением числа игроков, а также найдены границы для значений оптимальных порогов. Во второй схеме для трех игроков доказано, что процедура голосования комиссии из трех человек дает лучший результат, чем арбитражная процедура в игре двух лиц. Для случая трех игроков с арбитражной процедурой более общего вида найдены численные значения ожидаемых выигрышей и оптимальных порогов принятия решений при различных значениях параметров.

В задаче т лиц наилучшего выбора одного и двух объектов с полной информацией и критерием оптимальности в виде максимума ожидаемого среднего качества объекта (секретаря) исследованы модели с возможностью отказа претендента на должность от предложения игрока. Рассмотрены варианты задачи без перераспределения вероятностей принять предложения игроков и с их перераспределением. Доказано, что в задачах без перераспределения вероятностей каждый игрок может вести себя независимо от общего числа игроков.

Исследованы постановки задач двустороннего и трехстороннего взаимного выбора с полной информацией. Доказано, что в задаче двустороннего выбора с пополнением групп оптимальное поведение игроков аналогично поведению игрока в задаче одностороннего выбора. В задаче трехстороннего выбора найдены оптимальные стратегии игроков.

Рассмотрены задачи наилучшего выбора, в которых необходимо с наибольшей вероятностью выбрать сначала наилучший, а затем наихудший объект. Исследованы варианты как с отсутствием информации о качествах объектов, так и с полной информацией о распределении качеств. Также исследована игровая постановка данной задачи.

Практическую ценность в работе представляют построенные модели выбора объекта, имеющие приложения в задачах социологии, биологии, экономики, в которых осуществляется выбор какого-либо объекта.

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие положения.

1. Найдены оптимальные стратегии в игре т лиц наилучшего выбора с ранговым критерием оптимальности для двух постановок задачи: в первой схеме общее решение о выборе объекта принимается с помощью арбитра, а во второй — голосованием. В задаче с арбитром доказано возрастание оптимальных порогов по т, а также найдены границы для значений оптимальных порогов. Доказано, что выигрыш в игре с голосованием для трех игроков больше, чем с игре двух лиц с арбитром. Найдено значение порога голосования, дающее оптимальное значение выигрыша при больших т.

2. Получены оптимальные стратегии игроков в задаче т лиц наилучшего выбора одного и двух объектов с полной информацией и критерием оптимальности в виде максимума ожидаемого среднего качества объекта. Доказано, что в задачах без перераспределения вероятностей выигрыш каждого игрока не зависит от общего числа игроков.

3. Найдено равновесие в задаче двустороннего и трехстороннего взаимного выбора с полной информацией. Доказано, что в задаче двустороннего выбора с пополнением групп оптимальное поведение игроков совпадает с поведением игрока в задаче одностороннего выбора.

4. Получено решение задачи наилучшего выбора, в которой необходимо максимизировать вероятность выбрать сначала наилучший, затем наихудший по качеству объект с различной информированностью игроков. Получено равновесие в данной задаче в игровой постановке.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

1. Российско-скандинавский симпозиум "Probability Theory and Applied Probability", 26-31 августа 2006, Петрозаводск.

2. Российско-финская летняя школа "Dynamic Games and Multicriteria Optimization", 2-7 сентября 2006, Петрозаводск.

3. V Московская международная конференция по исследованию операций, посвященная 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Моисеева, 10-14 апреля 2007, Москва.

4. Международный конгресс "Нелинейный динамический анализ", 4-8 июня 2007, Санкт-Петербург.

5. Международная конференция "Теория игр и менеджмент", 28-29 июня 2007, Санкт-Петербург.

6. II летняя школа Российского журнала менеджмента, 9-20 июля 2007, Санкт-Петербург.

7. Девятая Всероссийская научная конференция "Электронные библиотеки: перспективные методы и технологии, электронные коллекции (RCDL)", Семинар "Интернет-математика 2007", 15-18 октября 2007, Переславль-Залесский.

8. VII Международная петрозаводская конференция "Вероятностные методы в дискретной математике", 1-6 июня 2008, Петрозаводск.

9. Вторая международная конференция "Теория игр и менеджмент", 26-27 июня 2008, Санкт-Петербург.

10. XIII Международный симпозиум "Dynamic Games and Applications", 30 июня-3 июля 2008, Вроцлав, Польша.

11. Третья Всероссийская школа молодых ученых "Математические методы в экологии", 24-29 августа 2008, Петрозаводск.

По материалам диссертации опубликовано 12 работ, из них 6 статьей [10, 11, 13, 27, 28, 42] и тезисы 6 докладов [12, 14, 50, 51, 52, 53]. Диссертация поддержана грантами РФФИ (проект 06-01-00128-а), Отделением математических наук, ООО "Яндекс" (конкурс "Интернет-математика-2007").

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Во введении отражена актуальность работы, приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, поставлена цель исследования, обоснована новизна работы, сформулированы положения, выносимые на защиту, показана практическая ценность полученных результатов.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Фалько, Анна Антоновна

Заключение

В работе представлены результаты исследования игровых задач наилучшего выбора т лиц с различными критериями оптимальности и различной информированностью игроков.

Рассмотрена задача наилучшего выбора т лиц с ранговым критерием, в которой игроки принимают совместное решение о выборе секретаря. Исследованы два варианта принятия общего решения: с помощью арбитражной процедуры и голосованием. При использовании арбитражной процедуры претендент с определенной вероятностью принимается в зависимости от числа игроков, которые согласны его принять. При голосовании претендент принимается на место, если число голосов превысит порог голосования. Найдены оптимальные стратегии и пороги принятия претендентов. В задаче с голосованием найдены оптимальные значения порога голосования при большом числе претендентов. Рассмотрена игра трех лиц с более общей арбитражной процедурой. Найдены оптимальные стратегии и пороги принятия претендентов при различных значениях параметров.

Рассмотрена задача наилучшего выбора одного и двух объектов (секретарей) с критерием оптимальности в виде максимума ожидаемого выигрыша игрока в условиях полной информации о качествах объектов. Исследованы постановки задачи с возможностью отказа претендента от предложения в двух вариантах: с перераспределением вероятностей отказа на оставшихся в игре игроков и без их перераспределения. Рассмотрены задачи двукратного выбоpa, в которых каждый игрок стремится максимизировать ожидаемую сумму качеств выбранных объектов. Исследован вариант задачи двух лиц с доминирующим игроком, а также вариант игры нескольких лиц с возможностью отказа претендента от предложения и без перераспределения вероятностей отказа. В задачах найдены оптимальные стратегии игроков.

Рассмотрена задача взаимного выбора. Исследован вариант задачи двустороннего выбора с пополнением групп игроков на каждом шаге игры. Доказано, что при большом значении коэффициента рождаемости оптимальные пороги принятия партнера в задаче двустороннего выбора совпадают с оптимальными порогами в задаче одностороннего наилучшего выбора. Рассмотрено обобщение задачи взаимного выбора на случай трехстороннего выбора, в которой целью каждого игрока является максимизировать сумму качеств выбранных партнеров. Найдены оптимальные стратегии и пороги принятия партнеров.

Рассмотрена задача наилучшего выбора, в которой необходимо с наибольшей вероятностью выбрать сначала наилучший по качеству объект, затем наихудший. Исследованы постановки задачи с отсутствием информации о качествах объектов, с полной информацией и игровая постановка. Найдены оптимальные пороги выбора объекта для каждой задачи.

Полученные результаты носят как теоретический, так и прикладной характер, представляя различные модели задач наилучшего выбора, которые могут быть применены при принятии решений в задачах поиска работы, выбора партнера, при моделировании рыночных отношений и принятии решений о покупке финансовых активов на бирже.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Фалько, Анна Антоновна, 2009 год

1. А., Гнедин А. В. Задача наилучшего выбора. - М.: Наука, 1984. - 196 с.

2. Воробьев Н. Н. Теория игр. Лекции для экономистов-кибернетиков. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1974. - 160 с.

3. Гнедин А. В. Многокритериальная задача об оптимальной остановке процесса выбора // Автоматика и телемеханика. 1980. - N 7. - С. 161-166.

4. Гусейн-Заде А. А. Задача выбора и оптимальное правило остановки последовательности независимых испытаний // Теория вероятностей и ее применения. 1966. - T.ll, N 3. - С. 534-537.

5. Дынкин Е. Б., Юшкевич А. А. Теоремы и задачи о процессах Маркова. -М.: Наука, 1967. 232 с.

6. Колногоров А. В. О минимаксном подходе к оптимальному целесообразному поведению в стационарных средах на конечном времени // Известия АН СССР, Техническая кибернетика. 1988. - N 6. - С. 143-146.

7. Колногоров А. В. О целесообразном управлении средним уровнем случайных помех // Автоматика и телемеханика. 2000. - N 1. - С. 70-80.

8. Мазалов В. В., Винниченко С. В. Моменты остановки и управляемые случайные блуждания. Новосибирск: Наука, 1992. - 104 с.

9. Мазалов В. В., Домбровский Ю. А., Перрин Н. Теория оптимальной остановки: приложения к экологии поведения // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1994. - Т.1, Вып. 6. - С. 894-900.

10. Мазалов В. В., Фалько А. А. Арбитражная процедура в задаче совместного наилучшего выбора для га лиц j j Вестник СПбГУ. Серия 10. 2008. - Вып. 4. - С. 52-59.

11. Мазалов В. В., Фалько А. А. Голосование в задаче наилучшего выбора с ранговым критерием // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2006. - Т. 13, Вып. 4. - С. 577-588.

12. Мазалов В. В., Фалько А. А. Задача взаимного выбора // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2008. - Т. 15, Вып. 3. - С. 561-562.

13. Мазалов В. В., Фалько А. А. Задача наилучшего выбора и ее применение в рекламных кампаниях поисковой системы Яндекс // "Интернет-математика 2007". Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2007. - С. 126-134.

14. Николаев М. Л. Об одном обобщении задачи наилучшего выбора // Теория вероятностей и ее применения. 1977. - Т. 22, Вып. 1. - С. 191-194.

15. Николаев М. Л. Об оптимальной многократной остановке марковских последовательностей // Теория вероятностей и ее применения. 1998. - Т.43, Вып. 2. С. 374-382.

16. Николаев М. JI. Оптимальные правила многократной остановки // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1998. - Т.5, Вып. 2. -С. 309-348.

17. Николаев М. JL, Софронов Г. Ю., Полушина Т. В. Задача последовательного выбора нескольких объектов с заданными рангами // Известия Высших учебных заведений, С.-К. per., ест. науки, 2007. Т.4. - С. 11-14.

18. Оуэн Г. Теория игр. М.: Мир, 1971. - 230 с.

19. Петросян JI. А., Зенкевич Н. А., Семина Е. А. Теория игр. М.: Высшая школа, 1998. - 300 с.

20. Полушина Т. В. Об одном обобщении задачи Гусейн-Заде // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2007. - Т. 14, Вып. 2. - С. 225-229.

21. Пресман Э. Л., Сонин И. М. Задача наилучшего выбора при случайном числе объектов // Теория вероятностей и ее применения. 1972. - Т. 20, Вып. 4. - С. 785-796.

22. Пресман Э. Л., Сонин И. М. Последовательное управление по неполным данным. Байесовский подход. -М.: Наука, 1982.- 256 с.

23. Роббинс Г., Сигмунд Д., Чао И. Теория оптимальных правил остановки. М.: Наука, 1977. - 168 с.

24. Розанов Ю. А. Случайные процессы (краткий курс). М.: Наука, 1971. -288 с.

25. Софронов Г. Ю., Кроуз Д. П., Кейтз Д. М., Николаев М. JI. Об одном способе моделирования порогов в задаче многократного наилучшего выбора // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2006. - Т.13, Вып. 6. - С. 975-983.

26. Фалько А. А. Задача наилучшего выбора двух объектов // Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ. Петрозаводск: КарНЦ РАН, 2007. - Вып. 8. - С. 34-42.

27. Фалько А. А. Игра наилучшего выбора с возможностью отказа от предложения и перераспределением вероятностей // Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ. Петрозаводск: КарНЦ РАН, 2006. - Вып. 7. - С. 87-94.

28. Ширяев А. Н Вероятность: В 2-х кн. 4-е изд., переработ, и доп. М.: МЦНМО, 2007. - 552+416 с.

29. Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ. М.: Наука, 1976. - 272 с.

30. Alpern S., Reyniers D^ Strategic mating with common preferences // Journal of Theoretical Biology. 2005. - Vol. 237, N 4. - P. 337-354.

31. Ano K. On a partial information multiple selection problem // Game Theory and Application. 1998. - Vol. 4. - P. 1-10.

32. Assaf D., Samuel-Cahn E. The secretary problem: minimizing the expected rank with i.i.d. random variables // Adv. Appl. Prob. 1996. - Vol. 28. - P. 828-852.

33. Baston V., Garnaev A. Competition for staff between two department // Game Theory and Applications. 2005. - X, edited by L. Petrosjan and V. Mazalov. - P. 13-26.

34. Bruss F.T. What is known about Robbins' problem? // J. Appl. Prob. 2005.- Vol. 42. P. 108-120.

35. Bruss F.T., Ferguson T.S. Minimizing the expected rank with full information // J. Appl. Prob. 1993. - Vol. 30. - P. 616-626.

36. Chow Y., Moriguti D., Robbins H., Samuels S. Optimal selection based on relative rank (the "Secretary problem") // Israel J. Math. -1964. Vol. 2. -P. 81-90.

37. Domansky V. K. Dynkin's stopping games with zero payoffs for separate stopping // Game Theory and Applications. 2006. - Vol. 2. - P. 33-47.

38. Domansky V. K. Dynkin's games with randomized optimal stopping rules// Annals of the International Society of Dynamic Games. 2004. - Vol. 7. - P. 247-262.

39. Enns E. G. Selecting the maximum of a sequence with imperfect information // Journal of the American Statistical Association. 1975. - Vol. 70, N 351.- P. 640-643.

40. Eriksson K., Strimling P., Sjostrand J. Optimal expected rank in a two-sided secretary problem // Oper. Res. 2007. - Vol. 55, N 5. - P. 921-931.

41. Falko A. A. Secretary problem with group choice // Contributions to game theory and management. Collected papers presented on the International Conference Game Theory and Management / Editors Leon A. Petrosjan,

42. Nikolay A. Zenkevich. SPb.: Graduate Schooll of Management, SPbSU, 2007. - P. 123-129.

43. Ferguson T. Selection by committee // Annals of the International Society of Dynamic Games, Advances in Dynamic Games Application to Economics, Finance, Optimization and Stochastic Control. 2005. - Vol. 7. - P. 203-209.

44. Garnaev A., Solovyev A. On a two department multi stage game // Extended abstracts of International Workshop "Optimal Stopping and Stochastic Control", August 22-26, 2005, Petrozavodsk, Russia, 2005. P. 24-37.

45. Gianini J., Samuels S. The infinite secretary problem // The Annals of Probability. 1976. - Vol. 4, N 3. - P. 418-432.

46. Gilbert J., Mosteller F. Recognizing the maximum of a sequence // Journal of the American Statistical Association. 1966. - Vol. 61. - P. 35-73.

47. McNamara J., Collins E. The job search problem as an employer-candidate game // J. Appl. Prob. 1990. - Vol. 28. - P. 815-827.

48. Kawai M., Tamaki M. Choosing either the best or the second best when the number of applicants is random // International Journal Computers and Mathematics with Applications. 2003. - Vol. 46. - P. 1065-1071.

49. Mazalov V., Banin M. N-person best-choice game with voting // Game Theory and Applications. 2003. - IX, edited by L. Petrosjan and V. Mazalov. - P. 45-53.

50. Mazalov V. V., Falko A. A. Full-information best-choice problem with two stops // Proceedings of V Moscow. International Conference on Operations

51. Research (ORM2007), dedicated to the outstanding Russian scientists Nikita N. Moiseev 90th birthday: Moscow, April 10-14, 2007. P. 174.

52. Mazalov V. V., Falko A. A. Voting in the best-choice problem with rank criterion // Extended abstracts of Russian-Finnish Graduate School Seminar "Dynamic Games and Multicriteria Optimization", IAMR, Petrozavodsk, 2006. P. 59-61.

53. Moser L. On a problem of Cayley // Scripta Math. 1956. - Vol. 22, N 5. -P. 289-292.

54. Petruccelli J. On a best choice problem with partial information // The Annals of Statistics. 1980. - Vol. 8, N 5. - P. 1171-1174.

55. Porosinski Z. The full-information best choico problem with a random number of observations // Stochastic Processes and their Applications. 1987. - Vol. 24. - P. 293-307.

56. Robbins H. Remarks on the secretary problem // American Journal of Mathematical and Management Sciences. 1991. - Vol. 11. - R 25-37.

57. Sakaguchi M. Multistage non-zero-sum arbitration game // Scientiae Mathematicae Japonicae. 2003. - Vol. 58, N 2. - P. 183-189.

58. Sakaguchi M. Multistage three-person game with arbitration // Scientiae Mathematicae Japonicae. 2004. - Vol. 60, N 2. - P. 403-410.

59. Sakaguchi M. Non-zero-sum best-choice games where two stops are required // Scientiae Mathematicae Japonicae. 2003. - Vol. 58, N 1. - P. 137-176.

60. Sakaguchi M. Non-zero-sum games related to the secretary problem // J. Oper. Res. Sos. Jap. 1980. - Vol. 23, N 3. - pp. 287-293.

61. Sakaguchi M. Three-member committee where odd-man's judgment is paid regard // Scientiae Mathematicae Japonicae. 2007. - Vol. 66, N 1. - P. 31-36.

62. Sakaguchi M., Mazalov V. A non-zero-sum no-information best-choice game // Mathematical Methods of Operation Research. 2004. - Vol. 60. - P. 437-451.

63. Smith M. A secretary problem with uncertain employment // J. Appl. Probab. 1975. - Vol. 12, N 3. - P. 620-624.

64. Sofronov G., Keith J., Kroese D. An optimal sequential procedure for a buying-selling problem with independent observations // J. Appl. Prob. -2006. Vol. 43. - P. 454-462.

65. Suchwalko A., Szajowski K. Non standard, no information secretary problems // Scientiae Mathematicae Japonicae. 2002. - Vol. 56. - P. 443-456.

66. Tamaki M. Minimal expected ranks for the secretary problems with uncertain selection // Game Theory, Optimal Stopping, Probability and Statistics, ed. Bruss F.T. and Cam L.Le, Institute of Mathematical Statistics, 2000. P. 127-139.

67. Yasuda M., Nakagami J., Kurano M. A multi-variate stopping problems with a monotone rule // Journal of the Operation Research, Society of Japan. -1982. Vol. 25, N 4. - P. 334-349.